Bài toán kết nhập mờ theo cách tiếp cận bộ 4 của đại số gia tử

i

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

NGUYỄN THỊ QUÝ

BÀI TOÁN KẾT NHẬP MỜ THEO CÁCH TIẾP CẬN BỘ 4 CỦA
ĐẠI SỐ GIA TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ
KHOA HỌC MÁY TÍNH

NGƢỜI HƢỚNG DẪN:
TRẦN THÁI SƠN

THÁI NGUYÊN 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

ii

LỜI CAM ĐOAN
Tên tôi là : Nguyễn Thị Quý
Sinh ngày 21 tháng 11 năm 1986
Học viên cao học lớp: K12I- trường Đại học CNTT&TT Thái Nguyên
Xin cam đoan : Đề tài “Bài toán kết nhập mờ (fuzzy aggregation) theo
cách tiếp cận bộ 4 của Đại số gia tử” do TS Trần Thái Sơn hướng dẫn là công
trình nghiên cứu của riêng tôi. Tất cả tài liệu tham khảo đều có nguồn gốc, xuất
xứ rõ ràng.

Tôi xin cam đoan tất cả những nội dung trong luận văn đúng như nội dung
trong đề cương và yêu cầu của thầy giáo hướng dẫn. Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu
trách nhiệm trước Hội đồng khoa học và trước pháp luật.
Thái Nguyên, ngày 30 tháng 07 năm 2015
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Quý

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

iii

LỜI CẢM ƠN
Bài toán sắp xếp mờ và lựa chọn đối tượng (hay phương án tối ưu) căn cứ
vào ý kiến đánh giá của các chuyên gia theo một số tiêu chí cho trước là một bài
toán thường gặp trong các hoạt động thường xuyên của con người.
Có rất nhiều phương pháp để giải quyết bài toán kết nhập mờ theo nhiều
hướng tiếp cận khác nhau, mỗi hướng tiếp cận đều có ưu nhược điểm riêng.
Được sự đồng ý của trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông
Thái Nguyên và Thầy giáo hướng dẫn em xin mạnh dạn nhận đề tài: “Bài toán kết
nhập mờ (fuzzy aggregation) theo cách tiếp cận bộ 4 của Đại số gia tử” làm đề
tài luận văn thạc sỹ của mình.
Sau một thời gian nghiên cứu nghiêm túc được sự hướng dẫn nhiệt tình của
Thầy giáo hướng dẫn luận văn đã hoàn thành gồm các chương sau:
Chương 1: Xử lý giá trị biến ngôn ngữ - các cách tiếp cận xấp xỉ.
Chương 2: Bài toán kết nhập đối với các từ ngôn ngữ
Chương 3: Giải bài toán kết nhập mờ theo cách tiếp cận bộ bốn của Đại
số gia tử.

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Trần Thái Sơn, người đã tận tình
hướng dẫn trong suốt quá trình hoàn thành luận văn. Em cũng xin chân thành cảm
ơn gia đình, bạn bè đã hết sức ủng hộ về vật chất lẫn tinh thần để em hoàn thành
luận văn.
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 30 tháng 07 năm 2015
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Quý

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

iv

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................. iii
MỤC LỤC ....................................................................................................... iv
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT .................................. vi
DANH MỤC HÌNH ....................................................................................... vii
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................... 1
2. Mục tiêu của đề tài .................................................................................... 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu............................................................. 3
4. Phương pháp nghiên cứu........................................................................... 3
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn .................................................................. 3
Chƣơng 1. XỬ LÝ GIÁ TRỊ BIẾN NGÔN NGỮ - CÁC CÁCH TIẾP
CẬN XẤP XỈ.................................................................................................... 4

1.1. Xử lý giá trị biến ngôn ngữ theo cách tiếp cận của Lý thuyết tập mờ ... 4
1.1.1. Tập mờ và biến ngôn ngữ ............................................................... 4
1.1.2. Logic mờ ....................................................................................... 10
1.2. Một số kiến thức cơ bản về Đại số gia tử ............................................ 15
Chƣơng 2. BÀI TOÁN KẾT NHẬP ĐỐI VỚI CÁC TỪ NGÔN NGỮ ... 21
2.1. Kết nhập các từ ngôn ngữ tự nhiên ...................................................... 21
2.2. Một số phương pháp giải bài toán kết nhập từ ngôn ngữ tự nhiên ...... 23
2.2.1. Phương pháp tính toán ngôn ngữ dựa trên nguyên lý mở rộng của
tập mờ ...................................................................................................... 23
2.2.2. Phương pháp tính toán trên các kí hiệu ngôn ngữ ........................ 25
2.2.3. Phương pháp tính toán ngôn ngữ dựa trên biểu diễn dữ liệu bộ 2 .......26
2.2.4. Phương pháp tính toán ngôn ngữ dựa trên biểu diễn dữ liệu bộ 3 .......29

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

v

Chƣơng 3. GIẢI BÀI TOÁN KẾT NHẬP MỜ THEO CÁCH TIẾP CẬN
BỘ 4 CỦA ĐẠI SỐ GIA TỬ ........................................................................ 31
3.1. Bộ 4 ngữ nghĩa trong Đại số gia tử ...................................................... 32
3.1.1. Lân cận ngữ nghĩa của các từ ngôn ngữ ....................................... 34
3.1.2. Biểu diễn từ ngôn ngữ bằng bộ 4 ngữ nghĩa ................................. 36
3.1.3. Xây dựng biểu diễn bộ 4 ngữ nghĩa cho thang đánh giá ngôn ngữ .....38
3.2. Phương pháp kết nhập mờ theo cách tiếp cận bộ 4 của Đại số gia tử ....... 42
3.2.1. Các phép kết nhập trên các bộ 4 ngữ nghĩa .................................. 42
3.2.2. Ví dụ minh họa mô tả phép kết nhập trên các bộ 4 ngữ nghĩa ..... 45
3.3. Giải bài toán kết nhập mờ theo cách tiếp cận bộ 4 của Đại số gia tử ..........47
3.3.1. Bài toán kết nhập mờ .................................................................... 47

3.3.2. Xác định đầu vào, ra của thuật toán giải bài toán kết nhập theo tiếp
cận của ĐSGT ......................................................................................... 48
3.3.3. Thuật toán giải bài toán kết nhập mờ theo cách tiếp cận bộ 4 của
đại số gia tử ............................................................................................. 49
3.3.4. Đánh giá thuật toán ....................................................................... 51
3.3.5. Chương trình thể hiện thuật toán .................................................. 52
KẾT LUẬN .................................................................................................... 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 58

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

vi

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Các ký hiệu
AX

Đại số gia tử tuyến tính của biến ngôn ngữ X

AX

Đại số gia tử tuyến tính đầy đủ

fm(x)

Độ đo tính mờ của hạng từ xυ

H(x)

Tập tất cả các phần tử sinh ra từ một phần tử

S(k)

Hệ khoảng tương tự ở mức k của các giá trị ngôn ngữ

Sl(s)

Khoảng lân cận ngữ nghĩa mức l của từ ngôn ngữ s

T(X)

Tập các giá trị ngôn ngữ của biến X

(s)

Giá trị định lượng của từ s

Xl

Tập các phần tử của X có độ dài của biểu diễn chính tắc là l.

A

Hàm thuộc của tập mờ A

A(x)

Hàm biểu diễn mức độ thuộc của phần tử x trong A

(h)

Độ đo tính mờ của gia tử h.

Các chữ viết tắt
ĐSGT

Đại số gia tử

ĐLNN

Định lượng ngữ nghĩa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

vii

DANH MỤC HÌNH
Hình 1.1: Đồ thị biểu diễn hàm thuộc của tập mờ già (old) ............................. 6
Hình 2.1: Biểu diễn bộ 2 ................................................................................. 27
Hình 3.1: Khoảng tính mờ............................................................................... 34
Hình 3.2: Cây biểu diễn tập S ......................................................................... 36
Hình 3.3: Các khoảng tính mờ mức l của I(s‟) ............................................... 40
Hình 3.4: Sơ đồ thuật toán .............................................................................. 51
Hình 3.5: Giao diện chương trình kết nhập ĐSGT ......................................... 53

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong đời sống hàng ngày cũng như trong hoạt động kinh tế xã hội,
chúng ta thường xuyên phải tổng hợp các ý kiến chuyên gia để đưa ra một
phương án tốt nhất dựa trên các tiêu chí nào đó đã xác định trước. Thí dụ,
trong một công ty, khi đánh giá nhân viên tiêu biểu theo các tiêu chí thành
tích công việc, tư cách đạo đức, hoạt động khác...; Từ kết quả tổng hợp đó ra
quyết định người quản lý các nhân viên khác, tổ trưởng, trưởng nhóm theo
các tiêu chí khả năng quản lý, khả năng chuyên môn, sức khỏe...Để có kết quả
đúng đắn, người ta có thể căn cứ vào các đánh giá theo từng tiêu chí, có thể là
bằng số (tức là điểm) hoặc bằng từ ngữ (như “tốt”, “giỏi”, “rất xuất sắc”, "khá
tốt", " bình thường"..), rồi tổng hợp lại theo một cách nào đó. Kết quả tổng
hợp nào tốt hơn sẽ được lựa chọn. Trong trường hợp các đánh giá bằng số cụ
thể, thông thường người ta tổng hợp bằng cách lấy trung bình số học (trung
bình cộng, trung bình nhân, trung bình bình phương, trung bình có trọng
số...). Trường hợp các đánh giá bằng từ ngữ (không phải là số cụ thể), bài
toán trở nên phức tạp hơn vì khó tổng hợp, chẳng hạn, (“khá tốt” +”bình
thường”)/2 sẽ cho kết quả là gì?
Bài toán tổng hợp ý kiến đánh giá (bằng số hoặc từ ngữ) của các
chuyên gia thành một đánh giá kết quả được gọi là bài toán kết nhập
(aggregation). Kết nhập là tập hợp lại thông tin để đưa ra kết luận. Như đã
nói, bài toán kết nhập trở nên phức tạp hơn khi các thông số đưa vào tổng hợp
thường không phải là số đo chính xác, mà có thể là các từ, gói từ. Với các
thông số cần tổng hợp như vậy nên chuyển sang tập mờ vì bản chất mờ,
không xác định của các từ ngôn ngữ.

Lý thuyết tập mờ được đề xuất bởi L. A. Zadeh năm 1965, và có lẽ
đến nay thuật ngữ “fuzzy” trở nên rõ ràng đối với các nhà nghiên cứu và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

2

các kỹ sư. Nó đã và đang được tiếp tục nghiên cứu rất mạnh mẽ. Hệ suy
diễn mờ áp dụng cho lập luận xấp xỉ được phát triển dựa trên lý thuyết tập
mờ, với những ràng buộc nhất định, được xem như là một bộ xấp xỉ vạn
năng . Hơn nữa, thế mạnh của hệ mờ là có thể xấp xỉ các hành vi hệ thống
mà ở đó các hàm giải tích hoặc các quan hệ dạng số không tồn tại. Vì vậy,
hệ mờ có tiềm năng to lớn để ứng dụng giải quyết các hệ thống phức tạp
như hệ sinh học, hệ xã hội, hệ kinh tế và hệ thống chính trị. Mặt khác, hệ
mờ còn có thể ứng dụng trong các hệ thống ít phức tạp, ở đó không cần
một giải pháp chính xác mà chỉ cần một giải pháp xấp xỉ nhưng nhanh hơn,
hiệu quả hơn khi giảm chi phí tính toán.
Mục đích của luận văn là dựa trên cơ sở biểu diễn dữ liệu bộ 4 trong lý
thuyết Đại số gia tử (bao gồm hai đầu mút của khoảng tính mờ, giá trị định
lượng ngữ nghĩa và một tham số đánh giá sai số có thể của tính toán trong
khoảng tính mờ), tiến hành giải bài toán kết nhập mờ, lập chương trình thử
nghiệm thuật toán. Sử dụng bộ bốn các tham số khoảng tính mờ cho phép làm
việc với các thang điểm linh hoạt hơn (không đòi hỏi thang điểm phải đầy đủ
như trường hợp bộ ba).
Cùng với sự đồng ý của của trường Đại học công nghệ thông tin và
Truyền thông, Thầy giáo hướng dẫn, Học viên xin mạnh dạn nhận đề tài:
“Bài toán kết nhập mờ (fuzzy aggregation) theo cách tiếp cận bộ 4 của Đại số
gia tử” làm đề tài luận văn thạc sỹ của mình.
2. Mục tiêu của đề tài

Luận văn nghiên cứu các phương pháp giải bài toán kết nhập mờ của
các tác giả trong nước cũng như trên thế giới, giới hạn ở miền đánh giá là các
từ, gói từ, nêu ra các nhược điểm của phương pháp đã có đồng thời đưa ra
cách tiếp cận bộ 4 của Đại số gia tử.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

3

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là các đánh giá bằng ngôn ngữ tự
nhiên của chuyên gia cho tập hợp cá thể xác định và giải quyết bài toán
chuyển các từ, gói từ sang con số. Sử dụng lý thuyết tập mờ và bộ 4 của Đại
số gia tử.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Tìm hiểu lý thuyết về logic mờ, các dạng tập mờ, tìm hiểu cách biểu
diễn tập giá trị chân lý ngôn ngữ cho tập mờ. Tìm hiểu mối quan hệ giữa các
dạng biểu diễn tập mờ với bộ 4 của đại số gia tử, tìm hiểu cách thức chuyển
đổi giá trị chân lý ngôn ngữ thành một giá trị số.
Phân tích, đối sánh, liệt kê, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp các kết quả
của các nhà nghiên cứu liên quan đến lĩnh vực nghiên cứu.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Bài toán kết nhập mờ nói chung đóng vai trò quan trọng trong quá trình
lấy quyết định và do đó nó có ý nghĩa ứng dụng rộng lớn, đặc biệt loại bài
toán kết nhập thông tin mờ vì con người thường quyết định thông qua thông
tin mờ ngôn ngữ. Cho đến nay các phương pháp giải bài toán này chủ yếu dựa
trên các tập mờ. Bài toán đánh giá, lựa chọn ra quyết định là bài toán có ý
nghĩa ứng dụng to lớn và thường xuyên gặp trong công việc cũng như cuộc
sống hàng ngày. Giải bài toán kết nhập mờ theo cách tiếp cận bộ bốn của Đại

số gia tử cho ta một phương pháp mới hơn, đi theo tiếp cận cách khác, có cấu
trúc tương đối đẹp, cách xử lý sẽ tốt hơn, hiệu quả hơn. Với việc sử dụng độ
đo tính mờ nói chung, việc xử lý các từ ngôn ngữ được gắn chặt với ngữ
nghĩa, đặc biệt là quan hệ thứ tự tự nhiên của chúng. Do đó, việc mất thông
tin được hạn chế tối đa. Đồng thời, quá trình xử lý cũng như kết quả thu được
là dễ dàng cảm nhận theo tư duy con người.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

4

Chƣơng 1
XỬ LÝ GIÁ TRỊ BIẾN NGÔN NGỮ - CÁC CÁCH TIẾP CẬN XẤP XỈ
1.1. Xử lý giá trị biến ngôn ngữ theo cách tiếp cận của Lý thuyết tập mờ
1.1.1. Tập mờ và biến ngôn ngữ
Lý thuyết tập mờ được đề xuất bởi L. A. Zadeh năm 1965, và có lẽ đến
nay thuật ngữ “fuzzy” trở nên rõ ràng đối với các nhà nghiên cứu và các kỹ sư.
Nó đã và đang được tiếp tục nghiên cứu rất mạnh mẽ. Thế mạnh của hệ mờ là
có thể xấp xỉ các hành vi hệ thống mà ở đó các hàm giải tích hoặc các quan hệ
dạng số không tồn tại. Vì vậy, hệ mờ có tiềm năng to lớn để ứng dụng giải
quyết các hệ thống phức tạp như hệ sinh học, hệ xã hội, hệ kinh tế và hệ thống
chính trị. Mặt khác, hệ mờ còn có thể ứng dụng trong các hệ thống ít phức
tạp, ở đó không cần một giải pháp chính xác mà chỉ cần một giải pháp xấp xỉ
nhưng nhanh hơn, hiệu quả hơn khi giảm chi phí tính toán.
 Kiến thức cơ sở về tập mờ
Là người khởi xướng cho lý thuyết tập mờ, L. A. Zadeh đã có rất nhiều
nghiên cứu mở đường cho sự phát triển và ứng dụng [5]. Ý tưởng nổi bật của
Zadeh là từ những khái niệm trừu tượng về ngữ nghĩa của thông tin mờ,

không chắc chắn như trẻ-già, nhanh-chậm, cao-thấp,… ông đã tìm cách biểu
diễn chúng bằng một khái niệm toán học, được gọi là tập mờ và được định
nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.1. [5] Cho một tập vũ trụ U với các phần tử ký hiệu bởi
x, U={x}. Một tập mờ A trên U là tập được đặc trưng bởi một hàm A(x) mà
nó liên kết mỗi phần tử xU với một số thực trong đoạn [0,1]. Giá trị hàm

A(x) biểu diễn mức độ thuộc của x trong A. A(x) là một ánh xạ từ U vào
[0,1] và được gọi là hàm thuộc của tập mờ A.
Như vậy, giá trị hàm A(x) càng gần tới 1 thì mức độ thuộc của x trong
A càng cao. Khi A là một tập hợp kinh điển, hàm thuộc của nó, A(x) chỉ nhận
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

5

2 giá trị 1 hoặc 0, tương ứng với x có nằm trong A hay không. Rõ ràng, tập
mờ là sự mở rộng của khái niệm tập hợp kinh điển. Các khái niệm, phép toán
trong lý thuyết tập kinh điển cũng được mở rộng cho các tập mờ.
Họ tất cả các tập mờ trên miền cơ sở U là không gian các hàm từ U vào
đoạn [0,1], tức là F (U ,[0,1]) = {A : U[0,1]}, một không gian tương đối
giàu về cấu trúc tính toán mà nhiều nhà nghiên cứu đã sử dụng cho việc mô
phỏng các phương pháp suy luận của con người.
Chúng ta có thể biểu diễn tập mờ bằng các cách sau, tùy theo tập U là
hữu hạn, đếm được hay vô hạn liên tục:
- Trường hợp U hữu hạn, U={ui : 1 i  n}, ta có thể viết
A = A(u1)/u1 + A(u2)/u2 + … + A(un)/un = 1 i n A(ui)/ui
- Trường hợp U vô hạn đếm được, U={ui : i=1,2,… }, ta viết
A = 1 i < A(ui)/ui

- Trường hợp U vô hạn liên tục, U=[a,b], ta viết
b

A =   A (u ) / u
a

Sau đây ta định nghĩa một số khái niệm đặc trưng liên quan đến tập mờ.
Định nghĩa 1.2. [5] Cho một tập mờ A trên tập vũ trụ U và [0,1].
Tập lát cắt  của A là một tập kinh điển, ký hiệu A, được xác định như sau :
A = {u  U : A(u)}.
Tập A còn gọi là tập mức  của A.
Định nghĩa 1.3. [5] Cho một tập mờ A trên tập vũ trụ U,
i) Giá của tập mờ A, ký hiệu support(A), là tập con của U trên đó

A(u)0, tức là support(A) = {u  U : A(u)0}.
ii) Độ cao của tập mờ A, ký hiệu high(A), là cận trên đúng của hàm
thuộc A(u) trên U, tức là high(A) = sup{A(u) : uU}.
iii) A được gọi là tập mờ chuẩn nếu high(A)=1. Ngược lại gọi là tập mờ
dưới chuẩn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

6

iv) Lõi của tập mờ A, ký hiệu core(A), là một tập con của U được xác
định như sau:
core(A) = {uU : A(u) = high(A)}.
Định nghĩa 1.4. [5] Cho một tập mờ A trên tập vũ trụ U,
i) Lực lượng vô hướng hay bản số của tập mờ A, ký hiệu count(A),

được xác định là:
count(A) = uU A(u), nếu U là hữu hạn hay đếm được,
count(A) = U A(u)du, nếu U là vô hạn liên tục.
ii) Lực lượng mờ hay bản số mờ của tập mờ A, ký hiệu card(A), là một
tập mờ trên tập các số nguyên không âm N, được xác định như sau:
card(A) = N card(A)(n)dn
trong đó, card(A)(n) được xác định theo công thức sau, với |A| là lực
lượng tập mức A,

card(A)(n) = sup{t[0,1] : |A| = n}.
Ví dụ 1.1. Cho tập vũ trụ chỉ tuổi tính chẵn năm U={u : 0 u 120},
A là một tập mờ chỉ tuổi già (old) được xác định bởi hàm thuộc sau [5]
(hình 1.1):
u  [0, 60]

0

2

1
u  60

(1  ( 6 ) ) u  [61,120]

old (u )  

Khi đó tập mức =0.5 của A là A0.5 = {u : 66 u 120} ; support(A) =
{u : 61 u 120} ; high(A) = 1.01-1; core(A) = {120}.

Hình 1.1. Đồ thị biểu diễn hàm thuộc của tập mờ già (old)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

7

Tiếp theo chúng ta định nghĩa một số phép toán cơ bản trên tập mờ, các
phép này làm cơ sở cho việc phát triển lôgíc mờ và lập luận xấp xỉ sau này.
Định nghĩa 1.5. [5] Cho hai tập mờ A và B trên tập nền U có hàm
thuộc tương ứng là A và B, ba phép toán cơ bản là hợp, giao của hai tập mờ
và lấy phần bù của tập mờ A là một tập mờ C, được viết là
C = A  B, hoặc C = A  B, hoặc C = A~
với hàm thuộc được xác định như sau:

AB(u) = max(A(u), B(u)), u  U,
AB(u) = min(A(u), B(u)), u  U,
A~(u) = 1- A(u), u  U.
Hay viết ở dạng thu gọn là

AB(u) = A(u)  B(u)),
AB(u) = A(u)  B(u)).
Ví dụ 1.2. [5] Xét tập nền U = {1,2,3,4,5,6,8,9,10,11} là tập các giá trị
trong thang điểm 10 đánh giá kết quả học tập của học sinh. Hai tập mờ G và K
tương ứng là hai khái niệm mờ về năng lực học giỏi và học kém, với hàm
thuộc được cho dưới dạng bảng như sau:
uU

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

G(u)

0.0

0.0

0.0

0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

1.0

1.0

K(u)

1.0

0.9

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

0.0

0.0

0.0

Ta có kết quả của các phép toán trên hai tập mờ này với hàm thuộc thể
hiện trong bảng sau:
uU

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

GK(u)

0.0

0.0

0.0

0.6

0.5

0.5

0.7

0.9

1.0

1.0

GK(u)

0.0

0.0

0.0

0.1

0.3

0.2

0.0

0.0

0.0

0.0

G~(u)

1.0

1.0

1.0

0.9

0.7

0.5

0.3

0.1

0.0

0.0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

8

Một lớp đặc biệt các tập mờ là lớp các quan hệ mờ, chúng là các tập mờ
trên không gian tích Đề-các các miền cơ sở. Như tên gọi, quan hệ mờ mô tả
mối quan hệ mờ giữa các đối tượng trong miền cơ sở. Về mặt hình thức chúng
ta định nghĩa quan hệ mờ như sau.
Định nghĩa 1.6. [5] Cho U là tích Đề-các của n miền cơ sở Ui, i=1,
,…, n. Khi đó mỗi một tập mờ trên U được gọi là một quan hệ mờ n-ngôi
và được kí hiệu là R, gọi là tên của quan hệ đó, và nó được biểu thị bằng
công thức sau:
R

U1 ...U n

 (u1 ,..., u1 ) / (u1 ,..., u1 )

Trong đó (u1,…,un) là hàm thuộc của tập mờ R. Dấu  biểu diễn hình
thức của hàm thuộc, có thể một trong ba trường hợp là hữu hạn hoặc đếm
được hoặc liên tục.
Quan hệ mờ cũng có các phép tính cơ bản như trên tập mờ vì bản thân
nó cũng là tập mờ. Ngoài ra, quan hệ mờ có những phép tính đặc thù riêng mà
trên tập mờ không có, đó là phép hợp thành dưới đây.
Định nghĩa 1.7. [5] Cho R là một quan hệ mờ trên UV và S là quan hệ
mờ trên VW. Khi đó, phép hợp thành của hai quan hệ này là một quan hệ
trên UW, được ký hiệu là RS và được định nghĩa như sau:

RS = vV [R(u,v)S(v,w)]/(u,w)
trong đó  là một phép tính 2-ngôi trong [0,1] có tính giao hoán, kết
hợp và phân phối đối với phép max . Nếu  là phép min , thì ta có phép hợp
thành max-min, nếu  là phép nhân số học thì ta có phép hợp thành maxproduct.
Ví dụ 1.3. Cho U = {u1, u2, u3}, V = {v1, v2} và W = {w1, w2}, với quan
hệ mờ R trên UV và S trên VW được cho hàm thuộc dưới dạng ma trận
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

9
v1

v2

w1
w2
u1  0.4 1 
v
0.2
0.8


1
R  u2  1 0.3 và S  
v2 0.7 0.1
u3 0.7 0.8 
w1

w2

u1  0.7 1 
khi đó phép hợp thành max-min là R  S  u2  0.3 0.8  ,
u3  0.7 0.7 
w1

w2

u1  0.8 0.32 
và max-product là R  S  u2  0.21 0.8  .
u3 0.56 0.56

Phép hợp thành các quan hệ mờ đóng vai trò quan trọng trong quá trình
lập luận xấp xỉ sau này. Trong hầu hết các ứng dụng, tri thức được biểu diễn
dưới dạng luật “if-then” và mỗi luật được xem như một quan hệ mờ
Chúng ta thấy rằng lý thuyết tập mờ với mục tiêu mô hình hóa toán học
ngữ nghĩa của các khái niệm mờ và, hơn nữa, mô hình hóa cách lập luận của
con người. Tuy nhiên, những vấn đề này thuộc loại có cấu trúc yếu, khó có
thể có một cấu trúc toán duy nhất mô hình hóa trọn vẹn những vấn đề đó.
 Biến ngôn ngữ
Trong [6], L. A. Zadeh đã viết “Khi thiếu hụt tính chính xác bề ngoài
của những vấn đề phức tạp cố hữu, một cách tự nhiên là tìm cách sử dụng các
biến ngôn ngữ, đó là các biến mà giá trị của chúng không phải là số mà là
các từ hoặc các câu trong ngôn ngữ tự nhiên hoặc nhân tạo. Động lực cho
việc sử dụng các từ, các câu hơn các số là ở chỗ đặc trưng ngôn ngữ của các
từ và các câu thường ít xác định cụ thể hơn của các số”, và ông đã đưa ra một
lớp khái niệm rộng hơn có thể mô hình qua các tập mờ, đó là biến ngôn ngữ.
Định nghĩa 1.8. [6] Biến ngôn ngữ là một bộ năm (X,T(X),U,R,M),
trong đó X là tên biến, T(X) là tập các giá trị ngôn ngữ của biến X, U là không
gian tham chiếu hay còn gọi là miền cơ sở của biến X, R là một quy tắc ký

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

10

pháp sinh các giá trị ngôn ngữ cho T(X), M là quy tắc gán ngữ nghĩa biểu thị
bằng tập mờ trên U cho các từ ngôn ngữ trong T(X).
Ví dụ 1.4. Cho X là biến ngôn ngữ có tên AGE, miền tham chiếu của X
là U=[0,120]. Tập các giá trị ngôn ngữ T(AGE)={very old, old, possible old,
less old, less young, quite young, more young,…}. Chẳng hạn với giá trị ngôn
ngữ old, quy tắc gán ngữ nghĩa M cho old bằng tập mờ cho bởi ví dụ 1.1,
M(old) = {(u,old(u)) : u[0,120]}.
Chúng ta thấy rằng một biến ngôn ngữ được cấu trúc theo hướng mà
trong đó có hai quy tắc cơ bản. Thứ nhất là quy tắc cú pháp, qui định cách
thức để sinh các giá trị ngôn ngữ. Thứ hai là quy tắc ngữ nghĩa, qui định thủ
tục tính toán ngữ nghĩa của các giá trị ngôn ngữ. Ngoài các giá trị sinh nguyên
thủy, các giá trị ngôn ngữ có thể gồm các từ liên kết như and, or, not,… và
các gia tử ngôn ngữ như very, possible, less, quite, more,….
Trong thực tế có nhiều biến ngôn ngữ khác nhau về giá trị sinh nguyên
thủy, tuy nhiên cấu trúc miền giá trị của chúng tồn tại một “đẳng cấu” sai
khác nhau bởi giá trị sinh nguyên thủy này. Đây gọi là tính phổ quát của biến
ngôn ngữ.
Khác với giá trị nguyên thủy của các biến ngôn ngữ phụ thuộc vào ngữ
cảnh, ngữ nghĩa của các gia tử và các từ liên kết hoàn toàn độc lập với ngữ
cảnh. Đây là tính độc lập ngữ cảnh của gia tử và liên kết.
1.1.2. Logic mờ
Cùng với khái niệm biến ngôn ngữ, L. A. Zadeh đã phát triển lôgic mờ
mà các giá trị chân lý nhận trong T(Truth) = {true, very true, more false,
possible false, very very false,…}, tập các giá trị của biến ngôn ngữ Truth.

Khi đó, một mệnh đề dạng “X is A”, với A là một khái niệm mờ, sẽ có giá trị
chân lý thuộc T(Truth) và được biểu thị bởi một tập mờ có hàm thuộc A trên
không gian tham chiếu U.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

11

Lý thuyết tập mờ là cơ sở toán học cho việc phát triển các phương
pháp mô phỏng lập luận của con người. Về nguyên tắc, vấn đề tư duy, lập
luận của con người rất phức tạp và do đó không thể sử dụng một cấu trúc
toán học duy nhất để mô phỏng. Vì vậy, mục tiêu của chúng ta là càng xây
dựng được nhiều cấu trúc đại số các tập mờ càng tốt để linh hoạt trong tiếp
cận các vần đề ứng dụng. Ở đây, chúng ta sẽ định nghĩa một họ các cặp đối
ngẫu t-norm và t-conorm cùng với phép phủ định làm cơ sở cho lôgic mờ
và lập luận xấp xỉ.
Định nghĩa 1.9. [6] Một hàm 2-biến T : [0,1][0,1]  [0,1] được gọi là
phép t-norm nếu nó thỏa các tính chất sau với a,a’,b,c [0,1]:
i) Tính chất điều kiện biên:

T(a,1) = a

ii) Tính giao hoán: T(a,b) = T(b,a)
iii) Tính đơn điệu: a  a’  T(a,b)  T(a’,b)
iv) Tính kết hợp:

T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c)

Ngoài ra, một số tính chất khác cần đòi hỏi phải có trong nhiều ứng

dụng đối với phép t-norm bao gồm:
v) Tính liên tục:

T là hàm hai biến liên tục

vi) Tính lũy đẳng dưới:

T(a,b) < a

vii) Tính đơn điệu chặt: a  a’ và b  b’  T(a,a’) < T(b,b’)
Định nghĩa 1.10. [6] Một hàm 2-biến S : [0,1][0,1]  [0,1] được gọi
là phép t-conorm nếu nó thỏa các tính chất sau với a,a’,b,c [0,1]:
i) Tính giới nội:

S(a,0) = a

ii) Tính giao hoán:

S(a,b) = S(b,a)

iii) Tính đơn điệu:

a  a’  S(a,b)  S(a’,b)

iv) Tính kết hợp:

S(a,S(b,c)) = S(S(a,b),c)

Như vậy, chỉ có hai tính chất điều kiện biên và giới nội làm nên sự khác
biệt giữa hai họ phép tính t-norm và t-conorm.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

12

Chúng ta cũng có thể mở rộng định nghĩa cho phép t-norm và t-conorm này
đối với trường hợp nhiều biến vào, tức là Tex : [0,1]n  [0,1] và Sex : [0,1]n 
[0,1], bằng cách áp dụng liến tiếp các phép t-norm và t-conorm ở trên.
Định nghĩa 1.11. [6] Hàm N : [0,1]  [0,1] được gọi là phép phủ định
(negation) nếu nó thỏa các tính chất sau với a,a’ [0,1]:
i) Tính đơn điệu giảm:
iv) Tính lũy đẳng:

a  a’  N(a)  N(a’)

N(N(a)) = a

Ví dụ 1.5. Các phép t-norm, t-conorm và phép phủ định hay được sử
dụng như:
TM(a,b) = min{a,b}
TP(a,b) = a.b
TL(a,b) = max{0,a+b-1}
a

T (a, b)  b
0

*

khi b  1
khi a  1
khi a  1& b  1

SM(a,b) = max{a,b}
SP(a,b) = a+b-a.b
SL(a,b) = min{1,a+b}
a

S (a, b)  b
0

*

khi b  0
khi a  0
khi a  0 & b  0

N(a) = 1-a.
Định nghĩa 1.12. [6] Ba phép tính t-norm T, t-conorm S và phép phủ
định N được gọi là một hệ đối ngẫu (T,S,N) nếu chúng thỏa điều kiện sau:
N(S(a,b)) = T(N(a),N(b)), a,b[0,1].
Việc áp dụng các phép t-norm, t-conorm và phép phủ định cho việc
tính toán các toán tử hội, tuyển và phủ định trong lôgic mờ làm tăng tính mềm
dẻo trong ứng dụng. Thực vậy, khi hai mệnh đề “X is A” và “X is B” có giá trị
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

13

chân lý được biểu thị bởi hai hàm thuộc tương ứng A và B trên không gian
tham chiếu U và V thì mệnh đề mờ “X is A and B” có hàm thuộc biểu thị giá
trị chân lý là AB = T(A,B), với T là một t-norm nào đó. Tương tự, mệnh đề
“X is A or B” có hàm thuộc là AB = S(A,B) và mệnh đề “X is not A” có
hàm thuộc là ~A = N(A), ở đây S là một t-conorm và N là một phép phủ định
được chọn nào đó.
Các mệnh đề mờ cùng với giá trị chân lý của chúng là những đối tượng
nghiên cứu chính của lôgíc mờ. Trong đó, một dạng mệnh đề mờ thường biểu
diễn cho tri thức dạng luật trong lập luận xấp xỉ và ứng dụng, đó là mệnh đề
mờ có điều kiện dạng “If X is A then Y is B” và được biểu diễn bằng toán tử
kéo theo mờ.
Định nghĩa 1.13. [6] Phép kéo theo là một hàm số I : [0,1]2  [0,1] có
các tính chất sau:
i) Tính đơn điệu giảm đối với biến thứ nhất
x  z  I(x,y)  I(z,y), y[0,1]
ii) Tính đơn điệu tăng đối với biến thứ hai
y  u  I(x,y)  I(x,u), x[0,1]
iii) Tính chi phối của giá trị chân lý sai
I(0,x) = 1
iv) Tính trung tính của giá trị chân lý đúng
I(1,x) = x
v) Tính đồng nhất
I(x,x) = x
vi) Tính chất hoán đổi
I(x,I(y,z)) = I(y,I(x,z))
vii) Tính chất về điều kiện giới nội
I(x,y) = 1 nếu và chỉ nếu x  y
viii) Tính chất khái quát hóa của phép kéo theo kinh điển
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

14

I(x,y) = I(N(y),N(x)), trong đó N là phép phủ định
ix) I là hàm liên tục theo cả hai biến.
Rõ ràng mệnh đề điều kiện ở dạng “If X is A then Y is B” thể hiện mối
quan hệ giữa hai khái niệm mờ A và B. Vì vậy, chúng cảm sinh một quan hệ
mờ R thể hiện bởi một tập mờ trên không gian tích Đề-các UV được xác
định bởi hàm thuộc thông qua một phép kéo theo được chọn.
Ví dụ 1.6. Một số dạng phép kéo theo thường dùng
 Mamdani
I(x,y) = min{x,y}
 Dạng khái quát từ phép kéo theo kinh điển
I(x,y) = S(N(x),y), hoặc
I(x,y) = S(N(x),T(x,y)), hoặc
I(x,y) = S(T(N(x),N(y)),y), với T, S và N là các phép t-norm, t-conorm
và phép phủ định.
 Reichenbach
I(x,y) = 1-x+x.y
 Lukasiewicz
I(x,y) = min{1, 1-x+y}.
 Một cách tiếp cận khác, phép kéo theo được định nghĩa thông qua
phép t-norm bằng công thức sau:
I(x,y) = sup{ u[0,1] : T(x,u)  y}.

(1.1)

Định lý sau đây cho chúng ta xem xét liệu phép kéo theo như thế nào sẽ

thỏa mãn tất cả các tính chất trong định nghĩa 1.13.
Định lý 1.1. [6] Một hàm 2-biến I : [0,1]2  [0,1] thỏa các tính chất từ
i) đến ix) trong định nghĩa 1.13 nếu và chỉ nếu có tồn tại một hàm liên tục đơn
điệu tăng thực sự f : [0,1]  [0,+) sao cho f(0) = 0 và
I(x,y) = f-1(f(1)-f(x)+f(y)), với x,y  [0,1], và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

15

N(x) = f-1(f(1)-f(x)), với x [0,1].
Tuy nhiên, bản chất ngữ nghĩa của phép kéo theo mờ trong lập luận của
con người rất phức tạp, khó có một hệ tiên đề chung cho mọi tình huống. Vì
vậy, các tính chất ở định nghĩa 1.13 không bắt buộc mọi phép kéo theo mờ
đều phải thỏa mãn. Hơn nữa, cũng không có quyền đặt ra các yêu cầu về một
tính chất nào đó khác mà một phép kéo theo cần phải có. Chỉ có ứng dụng
thực tiễn là tiêu chuẩn cuối cùng chứng minh tính phù hợp của một định nghĩa
phép kéo theo mờ.
Lý thuyết tập mờ ra đời cho chúng ta một công cụ mềm dẻo để xử lý
các thông tin không chắc chắn, không đầy đủ trong hầu hết các lĩnh vực
nghiên cứu hiện đại. Tuy vậy, lý thuyết tập mờ cũng có một số hạn chế. Hạn
chế lớn của lý thuyết tập mờ chính là việc xây dựng các hàm thuộc mang
nặng tính chủ quan, không gắn chặt với ngữ nghĩa của tập mờ mà nó biểu
diễn, nhất là trong các trường hợp mà hàm thuộc biểu diễn các từ ngôn ngữ tự
nhiên. Luận văn này sẽ sử dụng một cách tiếp cận khác, cách tiếp cận của Đại
số gia tử (ĐSGT), cho phép hạn chế phần nào các nhược điểm nói trên của lý
thuyết tập mờ. Trước hết, một số khái niệm và tính chất cơ bản của ĐSGT sẽ
được trình bày trong mục tiếp theo.
1.2. Một số kiến thức cơ bản về Đại số gia tử

Trong một số ứng dụng, chẳng hạn như trong việc trợ giúp ra quyết
định, chúng ta lại đòi hỏi kết quả bài toán phải được biểu diễn ở dạng ngôn
ngữ. Như vậy kết quả của phương pháp lập luận mờ ở dạng tập mờ (tức là
một hàm số) cần phải được chuyển thành dạng ngôn ngữ. Đây là bài toán
phức tạp và đòi hỏi tính toán lớn.
Mặt khác, phương pháp luận tính toán nhằm giải quyết vấn đề mô
phỏng tư duy, lập luận của con người chính là chúng ta mượn cấu trúc tính
toán rất phong phú của tập tất cả các hàm F (U ,[0,1]) để mô phỏng cách lập
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

16

luận của con người thường vẫn được thực hiện trên nền ngôn ngữ tự nhiên.
Trong [1], N.C. Ho đã chỉ ra rằng tập các giá trị ngôn ngữ của một biến ngôn
ngữ sẽ là một cấu trúc đại số đủ giàu để tính toán.
Cùng với W. Wechler, N.C. Ho đã đề xuất cách tiếp cận đại số gia tử
đến tập mờ. Trong đó, các khái niệm mờ được biểu diễn bằng ngôn ngữ và
các tính toán cũng dựa trên các giá trị ngôn ngữ này. Cùng với những kết quả
nghiên cứu của các cộng sự, lý thuyết đại số gia tử ngày càng được hoàn thiện
cả về lý thuyết và ứng dụng.
Xét một tập giá trị ngôn ngữ là miền của biến ngôn ngữ (linguistic
domain) của biến chân lý TRUTH gồm các từ sau:
T = dom(TRUTH) = {true, false, very true, very false, more true, more
false, approximately true, approximately false, little true, little false, less true,
less false, very more true, very more false, very possible true, very possible
false, very more true, very more false, …}
Khi đó miền ngôn ngữ T = dom (TRUTH) có thể biểu thị như là một
cấu trúc đại số AT = (T, G, H, ≤), trong đó:

- T: Là tập cơ sở của AT.
- G: Là tập các từ nguyên thủy (tập các phần tử sinh: true, false).
- H: Là tập các toán tử một ngôi, gọi là các gia tử (các trạng từ nhấn).
- ≤: Là biểu thị quan hệ thứ tự trên các từ (các khái niệm mờ), nó được
“cảm sinh” từ ngữ nghĩa tự nhiên.
Định nghĩa1.14.[3] Một cấu trúc đại số AT = (T, G, H, ≤) với H được
phân hoạch thành H+ và H- các gia tử ngược nhau được gọi là một đại số gia
tử nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau:
(1) Mỗi gia tử hoặc là dương hoặc là âm đối với bất kỳ một gia tử nào
khác, kể cả với chính nó.
(2) Nếu hai khái niệm u và v là độc lập nhau, nghĩa là u  H(v) và
v  H(u), thì (  x  H(u)) {x  H(v)}. Ngoài ra nếu u và v là không sánh được
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

17

thì bất kỳ x  H(u) cũng không sánh được với bất kỳ y  H(v). (H(u) là tập các
giá trị được sinh ra do tác động của các gia tử của H vào u).
(3) Nếu x ≠ hx thì x  H(hx) và nếu h ≠ k và hx ≤ kx thì h‟hx ≤ k‟kx, với
mọi gia tử h, k, h‟ và k‟. Hơn nữa nếu hx ≠ kx thì hx và kx là độc lập.
(4) Nếu u  H(v) và u ≤ v (hoặc u ≥ v) thì u ≤ hv (hoặc u ≥ hv) đối với
mọi gia tử h.
Định lý sau chứng tỏ rằng cấu trúc đại số gia tử là đủ giàu để nghiên
cứu các phương pháp lập luận.
Định lý 1.2. [3] Có tồn tại một hệ tiên đề hóa sao cho mỗi miền ngôn
ngữ AT của biến ngôn ngữ trở thành dàn đầy đủ (complete lattice) có một
phần tử 0, một phần tử đơn vị 1 và một phần tử trung hòa W. Như vậy phép
tuyển  và hội  lôgíc có thể định nghĩa được trong cấu trúc này. Hơn nữa,

nếu AT là một đại số gia tử đối xứng thì trong cấu trúc đó ta có thể định nghĩa
phép phủ định ~ và phép kéo theo  và ta có:
a) ~hx = h~x, với mọi hH.
b) ~~hx = x, ~1 = 0, ~0 = 1 và ~W = W.
c) ~(xy) = (~x  ~y) và ~(xy) = (~x  ~y).
d) x~x  y~y với mọi x,yX.
e) x~x  W  y~y.
f) x > y khi và chỉ khi x < ~y.
g) x  y = ~x  ~y.
h) x  (y  z) = y  (x  z).
i) x  y  x’  y’ khi và chỉ khi x  x’ và/hoặc y  y’.
j) 1  x = x, x  1 = 1 và x  0 = ~x.
k) x  y  W khi và chỉ khi hoặc x  W hoặc y  W.
l) x  y  W khi và chỉ khi y  W và x  W.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

18

m) x  y = 1 khi và chỉ khi hoặc x = 0 hoặc y = 1.
Trong các nghiên cứu và phát triển ứng dụng của đại số gia tử, chúng ta
xét miền ngôn ngữ của một biến ngôn ngữ X như là một đại số AX =
(X,G,C,H,,,) tuyến tính và đầy đủ [18,19,21], trong đó X là miền ngôn
ngữ của biến X, G là tập các từ nguyên thủy được xem như là các phần tử
sinh, H là tập các gia tử được xem như là các phép toán một ngôi, C là các giá
trị hằng gồm 0, 1 và W,  và  là hai gia tử tới hạn min và max, quan hệ 
trên các từ (tức là các khái niệm mờ) là quan hệ thứ tự được cảm sinh từ ngữ
nghĩa tự nhiên. Mỗi phần tử của X sẽ có dạng biểu diễn là x = hnhn-1…h1u,
uG. Tập tất cả các phần tử sinh ra từ một phần tử x ký hiệu là H(x). Nếu G

chỉ gồm đúng hai từ nguyên thủy thì một được gọi là phần tử sinh dương ký d
gọi là độ đo tính mờ của các gia tử và được ký hiệu là (h).
Mệnh đề 1.1. [3] Với mỗi độ đo tính mờ fm trên X có các tính chất sau:
i) fm(hx) = (h)fm(x), xX.
ii) hH fm(hx) = fm(x).
iii) hH fm(hc) = fm(c), c{c-,c+}.
iv) hH- (h) = , hH+ (h) =  với >0, >0 và + = 1.
Định nghĩa 1.15. [3] Một hàm Sign : X  {-1,0,1} là một ánh xạ được
định nghĩa bằng đệ qui như sau, với h,h’  H và c  {c-,c+}:
i) Sign(c-) = -1, Sign(c+) = 1.
ii) Sign(hc) = -Sign(c) nếu h âm đối với c; Sign(hc) = Sign(c) nếu h
dương đối với c.
iii) Sign(h’hx) = -Sign(hx) nếu h’hx  hx và h’ âm đối với h;
Sign(h’hx) = Sign(hx) nếu h’hx  hx và h’ dương đối với h.
iv) Sign(h’hx) = 0 nếu h’hx = hx.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>