Hình học phân hình và ứng dụng của nó

N TT NGHIP SVTH: Nguyn Ngc Hựng Cng

ti : Hỡnh hc Fractal Trang 1
LI NểI U

Trong nhng nm gn õy, toỏn hc v khoa hc t nhiờn ó bc lờn
mt bc thm mi, s m rng v sỏng to trong khoa hc tr thnh mt cuc
th nghim liờn ngnh. Cho n nay nú ó a khoa hc tin nhng bc rt
di. Hỡnh hc phõn hỡnh ó c ụng o mi ngi chỳ ý v thớch thỳ nghiờn
cu. Vi mt ngi quan sỏt tỡnh c mu sc ca cỏc cu trỳc phõn hỡnh c s
v v p ca chỳng to nờn mt s lụi cun hỡnh thc hn nhiu ln so vi
cỏc i tng toỏn hc ó tng c bit n. Hỡnh hc phõn hỡnh ó cung cp
cho cỏc nh khoa hc mt mụi trng phong phỳ cho s thỏm him v mụ hỡnh
hoỏ tớnh phc tp ca t nhiờn. Nhng nguyờn nhõn ca s lụi cun do hỡnh
hc phõn hỡnh to ra l nú ó chnh sa c khỏi nim li thi v th gii thc
thụng qua tp hp cỏc bc tranh mnh m v duy nht ca nú.

Nhng thnh cụng to ln trong cỏc lnh vc ca khoa hc t nhiờn v k
thut dn n s o tng v mt th gii hot ng nh mt c ch ng h
v i, trong ú cỏc quy lut ca nú ch cũn phi ch i gii mó tng bc
mt. Mt khi cỏc quy lut ó c bit, ngi ta tin rng s tin hoỏ hoc phỏt
trin ca cỏc s vt s c d oỏn trc chớnh xỏc hn nhiu, ớt ra l v mt
nguyờn tc. Nhng bc phỏt trin ngon mc y lụi cun trong lnh vc k
thut mỏy tớnh v s ha hn cho vic iu khin thụng tin nhiu hn na ca
nú ó lm gia tng hy vng ca nhiu ngi v mỏy múc hin cú v c nhng
mỏy múc tng lai. Nhng ngy nay ngi ta ó bit chớnh xỏc da trờn ct
li ca khoa hc hin i l kh nng xem xột tớnh chớnh xỏc cỏc phỏt trin
tng lai nh th s khụng bao gi t c. Mt kt lun cú th thu c t
cỏc lý thuyt mi cũn rt non tr ú l : gia s xỏc nh cú tớnh nghiờm tỳc
vi s phỏt trin cú tớnh ngu nhiờn khụng nhng khụng cú s loi tr ln nhau
m chỳng cũn cựng tn ti nh mt quy lut trong t nhiờn. Hỡnh hc phõn

hỡnh v lý thuyt hn n xỏc nh kt lun ny. Khi xột n s phỏt trin ca
mt tin trỡnh trong mt khong thi gian, chỳng ta s dng cỏc thut ng ca
lý thuyt hn n, cũn khi quan tõm nhiu hn n cỏc dng cú cu trỳc m
mt tin trỡnh hn n li trờn ng i ca nú, chỳng ta dựng cỏc thut ng
ca hỡnh hc phõn hỡnh l b mụn hỡnh hc cho phộp sp xp th t s hn
n. Trong ng cnh no ú hỡnh hc phõn hỡnh l ngụn ng u tiờn mụ t,
mụ hỡnh hoỏ v phõn tớch cỏc dng phc tp ó tỡm thy trong t nhiờn. Nhng
trong khi cỏc phn t ca ngụn ng truyn thng (Hỡnh hc Euclide) l cỏc
dng hin th c bn nh on thng, ng trũn v hỡnh cu thỡ trong hỡnh hc
phõn hỡnh ú l cỏc thut toỏn ch cú th bin i thnh cỏc dng v cu trỳc
nh mỏy tớnh.

Vic nghiờn cu ngụn ng hỡnh hc t nhiờn ny m ra nhiu hng
mi cho khoa hc c bn v ng dng. Trong ti ny ch mi thc hin
nghiờn cu mt phn rt nh v hỡnh hc phõn hỡnh v ng dng ca nú. Ni
dung ca ti gm cú ba chng c trỡnh by nh sau:

THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường

Đề tài : Hình học Fractal Trang 2
Chương I: Trình bày các kiến thức tổng quan về lịch sử hình học phân
hình, về các kết quả của cơ sở lý thuyết.

Chương II: Trình bày các kỹ thuật hình học phân hình thơng qua sự
khảo sát các cấu trúc Fractal cơ sở và thuật tốn chi tiết để tạo nên các cấu trúc
này.

Chương III: Kết quả cài đặt chương trình vẽ một số đường mặt fractal
và các hiệu ứng.

Nhân đây, em xin chân thành cảm ơn thầy T.S Huỳnh Quyết Thắng đã
tận tình hướng dẫn, chỉ dạy giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện đề tài
nghiên cứu này.

Em cũng xin chân thành cảm ơn q thầy cơ khoa cơng nghệ thơng tin
đã tận tình giảng dạy, trang bị cho chúng em những kiến thức cần thiết trong
suốt q trình học tập, và em cũng xin gởi lòng biết ơn đến gia đình, cha, mẹ,
và bạn bè đã ủng hộ, giúp đỡ và động viên em trong những lúc khó khăn.

Đề tài được thực hiện trong một thời gian tương đối ngắn, nên dù đã hết
sức cố gắng hồn thành đề tài nhưng chắc chắn sẽ khơng thể tránh khỏi những
thiếu sót nhất định. Rất mong nhận được sự thơng cảm và đóng góp những ý
kiến vơ cùng q báu của các Thầy Cơ, bạn bè, nhằm tạo tiền đề thuận lợi cho
việc phát triển đề tài trong tương lai.

Sinh viên thực hiện
Nguyễn Ngọc Hùng Cường.

THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN
N TT NGHIP SVTH: Nguyn Ngc Hựng Cng

ti : Hỡnh hc Fractal Trang 3


MC LC

Trang

LI NểI U. ..................................................................................................... 1
Chng I:S RA I V CC KT QU CA HèNH HC PHN HèNH. ..... 5
I.1 S ra i ca lý thuyt hỡnh hc phõn hỡnh .................................................. 5
Tớnh hn n ca cỏc quỏ trỡnh phỏt trin cú quy lut trong t nhiờn ............. 5

S m rng khỏi nim s chiu v o trong lý thuyt hỡnh hc Eulide
c in .................................................................................................................. 8
I.2 S phỏt trin c a l ý thuyt hỡnh hc phõn hỡnh ......................................... 9
I.3 Cỏc ng dng tng quỏt ca hỡnh hc phõn hỡnh ....................................... 10
ng dng trong vn to nh trờn mỏy tớnh .............................................. 11

ng dng trong cụng ngh nộn nh ............................................................. 11

ng dng trong khoa hc c bn ................................................................. 13

I.4 Cỏc kin thc c s ca hỡnh hc phõn hỡnh .............................................. 13
I.4.1 o Fractal ....................................................................................... 13

I.4.2 Cỏc h hm lp IFS ............................................................................. 17

Chng II : MT S K THUT CI T HèNH HC PHN HèNH. .......... 21
II.1 H ng Von Kock ................................................................................ 21
ng hoa tuyt Von Kock-Nowflake ........................................................ 21

ng Von Kock-Gosper ........................................................................... 26

ng Von Kock bc hai 3-on ................................................................ 28

ng Von Kock bc hai 8-on ................................................................ 30

ng Von Kock bc hai 18-on............................................................... 32

ng Von Kock bc hai 32-on............................................................... 33
ng Von Kock bc hai 50-on............................................................... 35

Generator phc tp ...................................................................................... 38

II.2 H ng Peano ...................................................................................... 44
ng Peano nguyờn thu ........................................................................... 44

ng Peano ci tin................................................................................... 45

Tam giỏc Cesaro .......................................................................................... 49

Tam giỏc Cesaro ci tin.............................................................................. 51

Mt dng khỏc ca ng Cesaro ................................................................ 54

Tam giỏc Polya ............................................................................................ 56

ng Peano-Gosper ................................................................................. 58

ng hoa tuyt Peano 7-on ................................................................... 62

ng hoa tuyt Peano 13-on ................................................................. 66

II.3 ng Sierpinski ..................................................................................... 70
II.4 Cõy Fractal............................................................................................... 73
Cỏc cõy thc t ........................................................................................... 73

Biu din toỏn hc ca cõy ......................................................................... 73

II.5 Phong cnh Fractal ................................................................................... 77
II.6 H thng hm lp (IFS) ............................................................................ 84
Cỏc phộp bin i Affine trong khụng gian R
2
............................................ 84

THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN
N TT NGHIP SVTH: Nguyn Ngc Hựng Cng

ti : Hỡnh hc Fractal Trang 4
IFS ca cỏc phỏp bin i Affine trong khụng gian R

2
................................ 85

Gii thut lp ngu nhiờn ............................................................................ 86

II.7 Tp Mandelbrot ........................................................................................ 88
t vn .................................................................................................. 98

Cụng thc toỏn hc ...................................................................................... 88

Thut toỏn th hin tp Mandelbrot ............................................................. 89

II.8 Tp Julia ................................................................................................... 94
t vn .................................................................................................. 94

Cụng thc toỏn hc ..................................................................................... 94

Thut toỏn th hin tp Julia ........................................................................ 95

II.9 H cỏc ng cong Phoenix...................................................................... 97
Chng III : GII THIU V NGễN NG CI T V KT QU
CHNG TRèNH. ........................................................................................... 100
III.1 Gii thiu v ngụn ng ci t ............................................................... 100
III.2 Kt qu chng trỡnh ............................................................................. 111
TI LIU THAM KHO ................................................................................. 116

THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN
N TT NGHIP SVTH: Nguyn Ngc Hựng Cng

ti : Hỡnh hc Fractal Trang 5
CHNG I: S RA I V CC KT QU CA HèNH HC

PHN HèNH.

I.1 S RA I CA Lí THUYT HèNH HC PHN HèNH:

S ra i ca lý thuyt hỡnh hc phõn hỡnh l kt qu ca nhiu thp k
n lc gii quyt cỏc vn nan gii trong nhiu ngnh khoa hc chớnh xỏc,
c bit l vt lý v toỏn hc. Mt cỏch c th, lý thuyt hỡnh hc phõn hỡnh
c xõy dng da trờn 2 vn ln c quan tõm nhng thp niờn u th
k 20. Cỏc vn ú bao gm:
Tớnh hn n ca cỏc quỏ trỡnh phỏt trin cú quy lc trong t
nhiờn.
S m rng khỏi nim s chiu v o trong lý thuyt hỡnh
hc Euclide c in.
TNH HN N CA CC QU TRèNH PHT TRIN Cể QUY
LUT TRONG T NHIấN:

Cỏc cụng thc lp cú dng:
X
n+1
=f(X
n
)
thng c s dng trong cỏc ngnh khoa hc chớnh xỏc mụ t cỏc quỏ
trỡnh lp i lp li cú tớnh xỏc nh. Cỏc quỏ trỡnh c xỏc nh bi cụng thc
trờn, trong ú f th hin mi liờn h phi tuyn gia hai trng thỏi ni tip nhau
X
n
v X
n+1
, c quan tõm c bit. Cỏc kho sỏt trong nhng thp niờn gn

õy ó phỏt hin ra cỏc c x k d ca cỏc tin trỡnh lp nh vy.

Kho sỏt chi tit u tiờn c nh khớ tng hc Edward N. Lorenz
tin hnh vo nm 1961 khi nghiờn cu h toỏn hc mụ phng d bỏo thi tit.
V mt lý thuyt, h ny cho ra cỏc kt qu d oỏn chớnh xỏc v thi tit trong
mt khong thi gian di. Tuy nhiờn, theo Lorenz quan sỏt, khi bt u tớnh
toỏn li da vo d liu cho bi h ti mt thi im tip sau ú khụng ging
vi cỏc kt qu d oỏn ban u. Hn na sai s tớnh toỏn s tng lờn nhanh
chúng theo thi gian. iu ny dn n kt lun l nu tin trỡnh d oỏn li t
mt thi im no ú trong tin trỡnh d bỏo, khong thi gian cỏc kt qu
d bỏo tip theo vn cũn chớnh xỏc s b thu hp li tc l khụng th d bỏo
chớnh xỏc v thi tit trong mt khong thi gian khỏ ln. Vn c Lorenz
tỡm thy õy ngy nay c gi l s hin din ca tớnh cht hn n trong
cỏc tin trỡnh lp xỏc nh.

Tip theo sau phỏt hin ca Lorenz, vo nm 1976 Robert May trong
bi vit vi ta Cỏc mụ hỡnh toỏn hc n gin vi cỏc h ng lc phc
tp ó cp n mt vn tng t. ú l s hn n ca quỏ trỡnh phỏt
trin dõn s trong t nhiờn, vn c xem l ó c xỏc nh rt rừ rng v
chi tit nh mụ hỡnh dõn s Verhulst xõy dng di õy.
Nu ký hiu:


THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường

Đề tài : Hình học Fractal Trang 6
- R là tốc độ gia tăng dân số mỗi năm.
- P
o

là lượng dân số khởi điểm (của một quốc gia, một thành
phố,…).
- P
n
là lượng dân số có được sau n năm phát triển.
Ta có quan hệ sau:




Để ý là nếu dân số phát triển đều, tức là R không đổi từ năm này sang
năm khác, từ (1) ta sẽ có:
P
n+1
= f(P
n
) = (1+R)P
n

Do đó sau n năm, lượng dân số khảo sát sẽ là:
P
n
= (1+R)
n
.P
o

Công thức này chỉ ra sự gia tăng dân số theo hàm mũ là một điều không
thực tế. Vì vậy Verhulst đề nghị R thay đổi cùng với lượng dân số được khảo
sát. Một cách cụ thể, Verhust cho R tỉ lệ với tốc độ phát triển dân số theo môi

trường (P-P
n
) / N. Trong đó N là lượng dân số tối đa có thể có ứng với điều
kiện môi trường cho trước. Như vậy có thể biểu diễn R dưới dạng:





Với r là hệ số tỷ lệ gọi là tham số phát triển theo môi trường.
Từ (1) và (2) suy ra:






Do đó:






Đặt:

Pn+1 - Pn
R = , ∀n > 0 (1)
P
n

N - P
n

R = r (2)
N

P
n+1
- P
n
N - P
n

= r
P
n
N
P
n+1
- P
n

N P

n

= r
P
n
N

N
P
k

P
k
= ta có:
N
P
n+1
- P
n

= r(1 - P
n
)
P
n


THÖ VIEÄN ÑIEÄN TÖÛ TRÖÏC TUYEÁN
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường

Đề tài : Hình học Fractal Trang 7

Suy ra:
P
n+1
= P
n
+ rP
n
(1 – P
n
)
Phương trình này được gọi là phương trình dân số Verhust. Rõ ràng
phương trình được xác định rất đơn giản. Do đó, kể từ khi được đưa ra người ta
áp dụng mà khơng nghi ngờ gì về tính ổn định của nó. Tuy nhiên khi May khảo
sát phương trình này thì với r thay đổi trong phạm vi khá lớn, ơng đã khám phá
ra sự bất ổn định về tỉ lệ phát triển dân số theo mơi trường P
k
.
Các kết quả quan sát chi tiết cho thấy khi số lần lặp n trở nên khá lớn ta
có các trường hợp sau:
- Với 0 < r < 2: Dãy (P
n
) tiến đến 1, tức là sự phát triển dân số đạt
mức tối đa.
- Với 2 < r < 2,449: Dãy (P
n
) dao động tuần hồn giữa hai giá trị,
tức là sự phát triển dân số biến động giữa hai mức xác định. Hình
vẽ (I.1) minh hoạ cho trường hợp r = 2.3 và P

o

Dân số:








Thời gian
Hình vẽ I.1 với r = 2.3 và P
0
= 0.01
- Với 2,449 < r < 2,570: Dãy (P
n
) dao động ổn định với các giá trị
được lặp lại theo chu kỳ lần lượt được nhân đơi khi giá trị r chạy
từ 2,449 đến 2,570. Hình vẽ (I.2) minh hoạ trường hợp r = 2,5 và
sự dao động ở đây có chu kỳ 4.
Dân số:

Thời gian
Hình vẽ I.2 với r = 2.5
- Với r > 2.570: Dãy (P
n
) khơng còn tuần hồn nữa mà trở nên hỗn
độn, theo nghĩa các giá trị của dãy được chọn một cách hồn tồn
xác định nhưng khơng có thể dự đốn chính xác. Hình vẽ (I.3)
minh hoạ trường hợp r = 3.0 và P
o
= 0.1

THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường

Đề tài : Hình học Fractal Trang 8
Dân số










Thời gian
Hình vẽ I.3 với r = 3.0 và P
o
= 0.1

Một kết quả lý thuyết cũng đã được chứng minh bởi Jame York và Tiên
Yien Li trong bài viết ”Các chu kỳ 3 chứa đựng sự hỗn độn” vào tháng
12/1975. York và Li đã chỉ ra rằng mọi hàm số được xác định tương tự như
phương trình dân số có một chu kỳ tuần hồn 3 thì cũng có chu kỳ tuần hồn n,
với n là số tự nhiên khác 0 và 1. Điều này dẫn đến sự kiện là vơ số các tập giá
trị tuần hồn khác nhau được sản sinh bởi loại phương trình này.
Vào năm 1976, Mitchell Feigenbaum đã nghiên cứu phương trình này
một cách độc lập với May và York. Feigenbaum xét phương trình dân số ở
dạng đơn giản:
y = x(1- x)
và thể hiện nó trên sơ đồ phân nhánh. Nếu gọi r
n
là giá trị tham số phát
triển theo mơi trường của mơ hình Verhulst tại lần rẻ nhánh thứ n (là lúc ứng
với r
n
đó, chu kỳ 2
n
trở nên khơng ổn định nữa và chu kỳ 2
n+1
đạt được sự ổn
định), thì tỷ số của các khoảng liên tiếp δ
n
xác định bởi:




Sẽ tiến về giá trị δ = 4.669 khi n→∞. Tính chất này cũng được tìm thấy

trong các tiến trình có chu kỳ lần lượt được nhân đơi và khác với tiến trình
Verhulst. Do đó giá trị này ngày nay được gọi là hằng số phổ dụng
Feigenbaum (trong lý thuyết hỗn độn).

□ SỰ MỞ RỘNG KHÁI NIỆM SỐ CHIỀU VÀ ĐỘ ĐO TRONG LÝ
THUYẾT HÌNH HỌC EULIDE CỔ ĐIỂN:

Vào các năm 1890 & 1891, trong khi tìm kiếm các đặc trưng bất biến
của các đối tượng hình học qua các phép biến đổi đồng phơi trong lý thuyết
topo, các nhà tốn học Peano & Hilbert đã phát minh ra các đường cong có
tính chất rất đặc biệt. Đó là các đường cong khơng tự cắt theo một quy luật
được chỉ ra bởi Peano và Hilbert, chúng lấp đầy mọi miền hữu hạn của mặt
phẳng. Hình học Euclide cổ điển quan niệm các đường cong như vậy vẫn chỉ là
r
n
- r
n-1

δ
n
=
r
n+1
- r
n

THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường

Đề tài : Hình học Fractal Trang 9

các đối tượng một chiều như các đường thẳng. Tuy nhiên trực quan cho thấy
cách nhìn như vậy về số chiều là rất gò bó. Do đó người ta bắt đầu nghĩ đến
một sự phân lớp mới, trong đó các đường có số chiều bằng 1 được đại diện bởi
đường thẳng, các đối tượng hai chiều được đại diện bởi mặt phẳng, còn các
đường cong lấp đầy mặt phẳng đại diện cho các đối tượng có số chiều giữa 1
và 2. Ý tưởng cách mạng này đã dẫn đến việc hình thành và giải quyết bài tốn
số chiều hữu tỷ gây ra nhiều tranh luận tốn học trong các thập kỷ gần đây.

Tiếp sau đó, vào năm 1904 nhà tốn học Thụy Điển Helge Koch đã đưa
ra một loại đường cong khác với những đường cong của Peano và Hilbert. Các
đường cong Von Koch khơng lấp đầy mặt phẳng nhưng lại có độ dài thay đổi
một cách vơ hạn mặc dù chúng được chứa trong một miền hữu hạn. Những
đường cong như vậy có rất nhiều trong tự nhiên, ví dụ như các đường bờ biển,
đường biên của một bơng hoa tuyết, các đám mây, vv… Tất vả các đường cong
này đều một tính chất đặc trưng là đồng dạng. Nó được biểu hiện bởi sự giống
nhau giữa một phần rất nhỏ của đường cong được phóng lớn với một phần
khác lớn hơn của cùng một đường cong đó. Tính chất này giữ một vị trí quan
trọng trong việc hình thành nên các dạng cấu trúc vơ cùng phức tạp của tự
nhiên, nhưng vào thời Von Koch lại được hiểu biết rất sơ lược.

Chỉ với sự giúp đỡ của máy tính điện tử, bản chất của tính đồng dạng
mới được nghiên cứu đầy đủ và chi tiết trong tác phẩm “Hình học phân hình
trong tự nhiên” của Benoit B. Mandelbrot xuất bản năm 1982. Trong tác phẩm
của mình, Mandelbrot đã phân rã các dạng cấu trúc phức tạp của tự nhiên
thành các thành phần cơ bản gọi là fractal. Các fractal này chứa đựng các hình
dáng tự đồng dạng với nhiều kích thước khác nhau. Mandelbrot đã tạo nên
những bức tranh fractal trừu tượng đầu tiên và nhận thấy rằng đằng sau các đối
tượng tự nhiên như các đám mây, các dãy núi, các khu rừng, vv… là các cấu
trúc tốn học tương tự nhau. Chúng có khuynh hướng hài hồ về màu sắc và
cân đối về hình thể. Ngồi ra Mandelbrot cũng thiết lập cách xác định số chiều

và độ dài của các dạng fractal cơ sở. Chính với định nghĩa về số chiều này, bài
tốn số chiều khơng ngun mới được giải quyết một cách hồn chỉnh. Có thể
nói cơng trình của Benoit B.Mandelbrot đã chính thức khai sinh lý thuyết hình
học phân hình sau hơn nửa thế kỷ nghiên cứu liên tục.

I.2 SỰ PHÁT TRIỂN CỦA LÝ THUYỂT HÌNH HỌC PHÂN HÌNH:

Kể từ khi ra đời một cách chính thức vào năm 1982 cho đến nay, lý
thuyết hình học phân hình học phân hình đã phát triển một cách nhanh chóng.

Sau khi đặt nền móng cho lý thuyết phân hình, Mandelbrot cùng với các
nhà tốn học khác như A. Douady và J.Hubbard đã phát triển lý thuyết về các
mặt fractal. Các kết quả đạt được chủ yếu tập trung ở các tính chất của các cấu
trúc fractal cơ sở như tập Mandelbrot và tập Julia. Ngồi ra các nghiên cứu
cũng cố gắng tìm kiếm mối liên hệ giữa các cấu trúc này, ví dụ như mối liên hệ
giữa tập Mandelbrot và Julia.
THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường

Đề tài : Hình học Fractal Trang 10

Dựa trên các cơng trình của Mandelbrot (trong những năm 1976, 1979,
1982) và Hutchinson (1981), vào các năm 1986, 1988 Michael F.Barnsley và
M.Begger đã phát triển lý thuyết biểu diễn các đối tượng tự nhiên dựa trên cơ
sở lý thuyết về các hệ hàm lặp IFS. Các hệ hàm lặp này bao gồm một bộ hữu
hạn các phép biến đổi affine cho phép với sự giúp đỡ của máy tính tạo nên hình
ảnh các đối tượng trong tự nhiên. Theo lý thuyết này hình học Euclide cổ điển
rất có hiệu lực trong việc biểu diễn các đối tượng nhân tạo như một tồ nhà,
một cổ máy nhưng lại hồn tồn khơng thích hợp cho việc biểu diễn các đối
tượng của thế giới thực vì đòi hỏi một lượng q lớn các đặc tả cần có. Nếu

như trong hình học Euclide các yếu tố cơ sở là đường thẳng, đường tròn, hình
vng,… thì lý thuyết IFS mở rộng hình học cổ điển với các yếu tố cơ sở mới
là vơ số thuật tốn để vẽ nên các fractal của tự nhiên.

Ngồi ra các cơng trình có tính chất lý thuyết, hình học phân hình còn
được bổ sung bởi nhiều nghiên cứu ứng dụng lý thuyết vào khoa học máy tính
và các khoa học chính xác khác, ví dụ dựa trên lý thuyết IFS, Barnsley đã phát
triển lý thuyết biến đổi phân hình áp dụng vào cơng nghệ nén ảnh tự động trên
máy tính, là một lĩnh vực đòi hỏi những kỹ thuật tiên tiến nhất của tin học hiện
đại.

Hiện nay nhiều vấn đề, về lý thuyết phân hình vẫn đang được tiếp tục
nghiên cứu. Một trong những vấn đề lớn đang được quan tâm là bài tốn về các
độ đo đa phân hình (multifractal measurement) có liên quan đến sự mở rộng
các khái niệm số chiều fractal với đối tượng fractal trong tự nhiên, đồng thời
cũng liên quan đến việc áp dụng các độ đo fractal trong các ngành khoa học tự
nhiên.

I.3 CÁC ỨNG DỤNG TỔNG QT CỦA HÌNH HỌC PHÂN HÌNH:

Hiện nay có 3 hướng ứng dụng lớn của lý thuyết hình học phân hình,
bao gồm:
▪ Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh trên máy tính.
▪ Ứng dụng trong cơng nghệ nén ảnh.
▪ Ứng dụng trong nghiên cứu khoa học cơ bản.

□ ỨNG DỤNG TRONG VẤN ĐỀ TẠO ẢNH TRÊN MÁY TÍNH:

Cùng với sự phát triển vượt bậc của máy tính cá nhân trong những năm
gần đây, cơng nghệ giải trí trên máy tính bao gồm các lĩnh vực như trò chơi,

anmation video… nhanh chóng đạt đỉnh cao của nó. Cơng nghệ này đòi hỏi sự
mơ tả các hình ảnh của máy PC với sự phong phú về chi tiết và màu sắc với sự
tốn kém rất lớn về thời gian và cơng sức. Gánh nặng đó hiện nay đã được giảm
nhẹ đáng kể nhờ các mơ tả đơn giản nhưng đầy đủ của lý thuyết fractal về các
đối tượng tự nhiên. Với hình học phân hình khoa học máy tính có trong tay
một cơng cụ mơ tả tự nhiên vơ cùng mạnh mẽ.
THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường

Đề tài : Hình học Fractal Trang 11

Ngồi các ứng dụng trong lĩnh vực giải trí, hình học phân hình còn có
mặt trong các ứng dụng tạo ra các hệ đồ hoạ trên máy tính. Các hệ này cho
phép người sử dụng tạo lập và chỉnh sửa hình ảnh, đồng thời cho phép tạo các
hiệu ứng vẽ rất tự nhiên hết sức hồn hảo và phong phú, ví dụ hệ phần mềm
thương mại Fractal Design Painter của cơng ty Fractal Design. Hệ này cho
phép xem các hình ảnh dưới dạng hình hoạ véctơ cũng như sử dụng các ảnh
bitmap như các đối tượng. Như đã biết, các ảnh bitmap hiển thị hết sức nhanh
chóng, thích hợp cho các ứng mang tính tốc độ, các ảnh véctơ mất nhiều thời
gian hơn để trình bày trên màn hình (vì phải được tạo ra bằng cách vẽ lại)
nhưng đòi hỏi rất ít vùng nhớ làm việc. Do đó ý tưởng kết hợp ưu điểm của hai
loại đối tượng này sẽ giúp tiết kiệm nhiều thời gian cho người sử dụng các hệ
phần mềm này trong việc tạo và hiển thị các ảnh có độ phức tạp cao.

□ ỨNG DỤNG TRONG CƠNG NGHỆ NÉN ẢNH:

Một trong những mục tiêu quan trọng hàng đầu của cơng nghệ xử lý
hình ảnh hiện nay là sự thể hiện hình ảnh thế giới thực với đầy đủ tính phong
phú và sống động trên máy tính. Vấn đề nan giải trong lĩnh vực này chủ yếu do
u cầu về khơng gian lưu trữ thơng tin vượt q khả năng lưu trữ của các thiết

bị thơng thường. Có thể đơn cử một ví dụ đơn giản: 1 ảnh có chất lượng gần
như chụp đòi hỏi vùng nhớ 24 bit cho 1 điểm ảnh, nên để hiện ảnh đó trên màn
hình mày tính có độ phân giải tương đối cao như 1024x768 cần xấp xỉ 2.25Mb.
Với các ảnh “thực” 24 bit này, để thể hiện được một hoạt cảnh trong thời gian
10 giây đòi hỏi xấp xỉ 700Mb dữ liệu, tức là bằng sức chứa của một đĩa CD-
ROM. Như vậy khó có thể đưa cơng nghệ multimedia lên PC vì nó đòi hỏi một
cơ sở dữ liệu ảnh và âm thanh khổng lồ.

Đứng trước bài tốn này, khoa học máy tính đã giải quyết bằng những
cải tiến vượt bậc cả về phần cứng lẫn phần mềm. Tất cả các cải tiến đó dựa trên
ý tưởng nén thơng tin hình ảnh trùng lặp. Tuy nhiên cho đến gần đây, các
phương pháp nén thơng tin hình ảnh đều có 1 trong 2 yếu điểm sau:

● Cho tỉ lệ nén khơng cao. Đây là trường hợp của các phương pháp nén
khơng mất thơng tin.
● Cho tỉ lệ nén tương đối cao nhưng chất lượng ảnh nén q kém so với
ảnh ban đầu. Đây là trường hợp của các phương pháp nén mất thơng
tin, ví dụ chuẩn nén JPEG.

Các nghiên cứu lý thuyết cho thấy để đạt một tỷ lệ nén hiệu quả (kích
thước dữ liệu nén giảm so với ban đầu ít nhất hàng trăm lần), phương pháp nén
mất thơng tin là bắt buộc. Tuy nhiên một vấn đề đặt ra là làm thế nào có được
một phương pháp nén kết hợp cả tính hiệu quả về tỷ lệ nén lẫn chất lượng ảnh
so với ảnh ban đầu? Phương pháp nén ảnh phân hình được áp dụng gần đây bởi
Iterated System đáp ứng được u cầu này.
THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường

Đề tài : Hình học Fractal Trang 12
Như đã biết, với một ánh xạ co trên một khơng gian metric đầy đủ, ln

tồn tại một điểm bất động x
r
sao cho:
X
r
= f(x
r
)
Micheal F.Barnsley đã mở rộng kết quả này cho một họ các ánh xạ co
f.Barnsley đã chứng minh được với một họ ánh xạ như vậy vẫn tồn tại một
“điểm” bất động x
r.
. Để ý rằng với một ánh xạ co, ta ln tìm được điểm bất
động của nó bằng cách lấy một giá trị khởi đầu rồi lặp lại nhiều lần ánh xạ đó
trên các kết quả thu được ở mỗi lần lặp. Số lần lặp càng nhiều thì giá trị tìm
được càng xấp xỉ chính xác giá trị của điểm bất động. Dựa vào nhận xét này,
người ta đề nghị xem ảnh cần nén là “điểm bất động” của một họ ánh xạ co.
Khi đó đối với mỗi ảnh chỉ cần lưu thơng tin về họ ánh xạ thích hợp, điều này
làm giảm đi rất nhiều dung lượng cần có để lưu trữ thơng tin ảnh.
Việc tìm ra các ảnh co thích hợp đã được thực hiện tự động hố nhờ q
trình fractal một ảnh số hố do cơng ty Iterated System đưa ra với sự tối ưu về
thời gian thực hiện. Kết quả nén cho bởi q trình này rất cao, có thể đạt tỷ lệ
10000: 1 hoặc cao hơn. Một ứng dụng thương mại cụ thể của kỹ thuật nén phân
hình là bộ bách khoa tồn thư multimedia với tên gọi “Microsoft Encarta”
được đưa ra vào tháng 12/1992. Bộ bách khoa này bao gồm hơn 7 giờ âm
thanh, 100 hoạt cảnh, 800 bản đồ màu cùng với 7000 ảnh chụp cây cối, hoa
quả, con người, phong cảnh, động vật,… Tất cả được mã hố dưới dạng các dữ
liệu fractal và chỉ chiếm xấp xỉ 600Mb trên một đĩa compact.

Ngồi phương pháp nén phân hình của Barnsley, còn có một phương

pháp khác cũng đang được phát triển. Phương pháp đó do F.H.Preston,
A.F.Lehar, R.J.Stevens đưa ra dựa trên tính chất của đường cong Hilbert. Ý
tưởng cơ sở của phương pháp là sự biến đổi thơng tin n chiều về thơng tin một
chiều với sai số cực tiểu. Ảnh cần nén có thể xem là một đối tượng 3 chiều,
trong đó hai chiều dùng để thể hiện vị trí điểm ảnh, chiều thứ ba thể hiện màu
sắc của nó. Ảnh được qt theo thứ tự hình thành nên đường cong Hilbert chứ
khơng theo hàng từ trái sang phải như thường lệ để đảm bảo các dữ liệu nén kế
tiếp nhau đại diện cho các khối ảnh kế cạnh nhau về vị trí trong ảnh gốc. Trong
q trình qt như vậy, thơng tin về màu sắc của mỗi điểm ảnh được ghi nhận
lại. Kết quả cần nén sẽ được chuyển thành một tập tin có kích thước nhỏ hơn
rất nhiều vì chỉ gồm các thơng tin về màu sắc. Phương pháp này thích hợp cho
các ảnh có khối cùng tơng màu lớn cũng như các ảnh dithering.

□ ỨNG DỤNG TRONG KHOA HỌC CƠ BẢN:

Có thể nói cùng với lý thuyết topo, hình học phân hình đã cung cấp cho
khoa học một cơng cụ khảo sát tự nhiên vơ cùng mạnh mẽ như đã trình bày
trong phần I.1, vật lý học và tốn học thế kỷ XX đối đầu với sự xuất hiện của
tính hỗn độn trong nhiều q trình có tính quy luật của tự nhiên. Từ sự đối đầu
đó, trong những thập niên tiếp theo đã hình thành một lý thuyết mới chun
nghiên cứu về các hệ phi tuyến, gọi là lý thuyết hỗn độn. Sự khảo sát các bài
tốn phi tuyến đòi hỏi rất nhiều cơng sức trong việc tính tốn và thể hiện các
quan sát một cách trực quan, do đó sự phát triển của lý thuyết này bị hạn chế
THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN
N TT NGHIP SVTH: Nguyn Ngc Hựng Cng

ti : Hỡnh hc Fractal Trang 13
rt nhiu. Ch gn õy vi s ra i ca lý thuyt fractal v s h tr t lc
ca mỏy tỡnh, cỏc nghiờn cu chi tit v s hn n mi c y mnh. Vai
trũ ca hỡnh hc phõn hỡnh trong lnh vc ny th hin mt cỏch trc quan cỏc

c x k d ca cỏc tin trỡnh c kho sỏt, qua ú tỡm ra c cỏc c trng
hoc cỏc cu trỳc tng t nhau trong cỏc ngnh khoa hc khỏc nhau. Hỡnh hc
phõn hỡnh ó c ỏp dng vo nghiờn cu lý thuyt t tớnh, lý thuyt cỏc phc
cht trong hoỏ hc, lý thuyt tỏi nh chun v phng trỡnh Yang & Lee ca
vt lý, cỏc nghim ca cỏc h phng trỡnh phi tuyn c gii da trờn
phng phỏp xp x liờn tip ca Newton trong gii tớch s, Cỏc kt qu thu
c gi vai trũ rt quan trng trong cỏc lnh vc tng ng.

I.4 CC KIN THC C S CA Lí THUYT HèNH HC PHN
HèNH:

I.4.1 O FRACTAL:

S chiu Hausdorff ca mt tp hp A

R
n
:
Cho trc cỏc s thc dng s v . Gi h
s
(A) l o Hausdorff s-
chiu ca tp A thỡ h
s
(A) c xỏc nh bi:
H
s
(A) = lim h
s

(A)

0
vi:




trong ú:

diam (U
i
) = sup [ d(x,y) : x,y U
i
], vi d l metric Euclide trong khụng
gian R
n
, [U
1
, U
2
, ] l mt ph m ca A v diam(U
i
) < , i.

Hausdorff ó chng minh c s tn ti ca mt s D
H
(A) sao cho:

0 khi s > D
H
(A)

h
S
(A) =
khi s < D
H
(A)
Giỏ tr D
H
(A) c gi l s chiu Hausdorff ca tp A.
Núi cỏch khỏc:
D
H
(A) thỡ h
S
(A) cú th l mt s thc dng 0 hay .
nh ngha ny gi vai trũ quan trng trong lý thuyt hỡnh hc phõn
hỡnh hin i nhng khụng cú tớnh thc tin vỡ vic xỏc nh s chiu theo nh
ngha ny rt phc tp ngay c vi trng hp tp A rt n gin. Do ú, xut
phỏt t nh ngha ny, Mandelbrot ó a ra khỏi nim s chiu fractal tng
quỏt d xỏc nh hn vi ba dng c bit ỏp dng cho tng loi i tng (tp
A) c th. Sau õy chỳng tụi s trỡnh by cỏc nh ngha v cỏc dng c bit

h
s

(A) = inf diam(U
i
)
s

i=1
THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN
N TT NGHIP SVTH: Nguyn Ngc Hựng Cng

ti : Hỡnh hc Fractal Trang 14
ú, ng thi ch ra mi liờn h gia chỳng vi nh ngha s chiu ca
Hausdorff.

S CHIU T NG DNG: (S CHIU HAUSDORFF-
BESCOVITCH ):

nh ngha:
Cho trc mt cu trỳc t ng dng c chia thnh N phn, h s thu
nh ca mi phn so vi cu trỳc ban u l r. Ký hiu D
S
l i lng xỏc
nh bi:




Khi ú D
S
c gi l s chiu t ng dng ca cu trỳc ú.

Vớ d:
Xột mt hỡnh vuụng c chia thnh 9 hỡnh vuụng nh vi t l ng
dng l 1/3. Khi ú s chiu t ng dng ca hỡnh vuụng ban u
c xỏc nh bi:

Xột mt khi lp phng c chia thnh 27 khi lp phng nh
hn vi t l ng dng 1/3. Ta cú s chiu ca t ng dng ca
khi lp phng c xỏc nh bi:





Hai vớ d trờn cho thy nh ngha s chiu t ng dng phự hp vi
nh ngha thụng thng ca hỡnh hc Euclide.

S CHIU COMPA:

S chiu c xỏc nh theo nh ngha ny c ỏp dng cho cỏc
ng cong khụng phi l cỏc ng cong t ng dng hon ton (nh cỏc
ng b bin, cỏc con sụng,), nhng cú th s dng nhiu n v khỏc nhau
xỏc nh di ca chỳng.

nh ngha:
log N
D
S
=
log 1/r

D 2
3 log
2
3 log
3
1
1
log
9 log
s
==
=

D 3
3 log
3
3 log
3
1
1
log
27 log
s
==
=
THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN
N TT NGHIP SVTH: Nguyn Ngc Hựng Cng

ti : Hỡnh hc Fractal Trang 15

Xột mt ng cong khụng t ng dng. Biu din s o ca ng
cong trờn h to log / log vi:
- Trc honh: th hin logarit ca chớnh xỏc trong phộp o chiu
di ng cong. chớnh xỏc c c t bi 1/s, vi s l n v
o di. õy giỏ tr s cng nh thỡ chớnh xỏc ca phộp o
cng ln.
- Trc tung: th hin logarit ca di u o c ng vi mt n
v o s.
- d: l h s gúc ca ng thng hi qui dựng xp x cỏc giỏ tr
o u o c da trờn phng phỏp bỡnh phng cc tiu. Ta cú
quan h:
log u = d . log (1/s + b), b l h s t do.
Khi ú s chiu compa D
C
c xỏc nh bi:
D
C
= 1 + d
Vớ d:

Xột ng cong 3/2 c xõy dng theo k thut initiator / generator
ch ra bi hỡnh v sau:

Biu din cỏc i lng cú liờn quan trờn h to log/log ó c trỡnh
by trờn vi chỳ ý sau bc to sinh th k, ng cong gm 8
k
on, mi
on cú di s = 1 / 4
k
nờn di ca ng cong s l 8
k
.1/4
k
= 2
k
.
Khi ú giỏ tr trờn trc honh l log
4
1 / 1 / 4
k

= k ng vi giỏ tr trờn trc
tung l: log
4
2
k
= k / 2. Do ú ta xỏc nh c d = 0.5.
Vy: D
C
= 1 + 0.5 = 1.5


generator
initiator










generator
THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường

Đề tài : Hình học Fractal Trang 16
□ SỐ CHIỀU BOX-COUNTING:

Số chiều xác định theo định nghĩa này được áp dụng cho các đường
cong fractal khơng thể xác định số chiều theo 2 cách vừa trình bày. Cách tính
số chiều này có thể áp dụng cho mọi cấu trúc trong mặt phẳng và mở rộng cho
cấu trúc trong khơng gian.

Định nghĩa:
Xét một cấu trúc fractal bất kỳ. Lần lượt đặt cấu trúc này lên một dãy
các lưới có kích thước ơ lưới s giảm liên tiếp theo tỉ lệ ½. Gọi N(s) là các ơ
lưới có kích thước s có chứa một phần cấu trúc. Ta xây dựng hệ toạ độ log/log
như sau:
- Trục hồnh biểu thị giá trị của đại lượng log
2
(1/s).
- Trục tung biểu thị giá trị của đại lượng log
2
N((s)).
- D
B
là hệ số góc của đường thẳng hồi qui đối với tập hữu hạn các
điểm (s, N(s)) của hệ toạ độ.
Khi đó ta có:






D
B
xác định như vậy được gọi là số chiều box-counting của cấu trúc

fractal đã cho.

□ SỐ CHIỀU BOX-COUNTING TRONG MỐI LIÊN HỆ VỚI SỐ
CHIỀU HAUSDORFF:











Định nghĩa:
Gọi N
δ
(A) là giá trị nhỏ nhất của các tập hợp có khả năng phủ A và có
đường kính tối đa là δ. Khi đó ta có:




log
2
N(2
– (k+1)
) – log
2

N(2
– k
) N(2
– (k + 1)
)
D
B
= = log
2

log
2
2
k + 1
– log
2
2
k
N(2
– k
)

sau như
n
R của A chặn bò
con tậpmột trên
B
D counting- boxchiều số của thức hìnhnghóa đònh
một có Ta .
s

hạngsố các bởi
s
)
i
diam(U hạngsố các thay cách bằng
này tác thao hóagiản đơn counting- boxchiều Số .
s
)
i
diam(U
1 i
hạn
vô tổng đònh xác việc là Hausdorff chiều số tính khiyếu chủ khănKhó
δ
Σ
∞
=
THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường

Đề tài : Hình học Fractal Trang 17

Tuy nhiên 2 định nghĩa số chiều này khơng phảI ln cho kết quả
giống nhau. Ví dụ xét tập các số hữu tỷ trong khoảng đóng [0, 1]. Tập này có
số chiều box-counting là 1 trong khi số chiều Hausdorff tương ứng bằng 0.
Kết quả này còn có thể mở rộng cho tập con trù mật A của R
n
, vớI D
B
(A) = n
và D
H
(A) ≠ n.

I.4.2 CÁC HỆ HÀM LẶP IFS:

□ Khơng gian ảnh Hausdorff:

Giả sử (X, d) là một khơng gian mtric đầy đủ. Ở đây X được giới hạn
bằng R
2
và d là metric Euclide. Ký hiệu H(X) là khơng gian các tập con
compact khác rỗng của X. Ta có các định nghĩa sau:

Định nghĩa 1:
Khoảng cách từ một điểm x ∈ X đến một tập B ∈ H(X) được xác định
bởi:

Định nghĩa 2:
Khoảng cách từ một tập A ∈ H(X) đến một tập B ∈ H(B) được xác định
bởi:

Định nghĩa 3:

i,)
i
diam(U và A của hạn hữumột phủ là ...} ,
2
U,
1
U {
: đó trong
}
s

1i
{ inf
s
. (A)N
: vì hơngiản đơn (A)
B
D đònh xác nhiên Tuy
. (A)

H
D của nghóa đònh với tự tương (A)
B
D của nghóa đònh ràng rõVậy
}
s
. (A)N : s { sup } 0
s
. (A)N : s { inf (A)
b
D
: đó Do
(A)
b
D s khi
(A)
b
D s khi0
s
. (A)N
: rằng rachỉ trên nghóa Đònh
1
log
(A)N log
0
lim(A)
b
D
∀≤
∞

=
=
∞====
<∞
>
→
→
=





δ
δΣδ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ

{ }
B y : y)d(x, min B)d(x, ∈=
{ }
A x : B)d(x, max B)d(x, ∈=

THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN
ĐỒ
ÁN T
Ố
T NGHI
Ệ
P SVTH: Nguy
ễ
n Ng
ọ
c Hùng C
ườ
ng

Đề
tài : Hình h
ọ
c Fractal Trang 18
Kho
ả
ng cách Hausdorff gi
ữ
a hai
đ
i
ể
m A và B
∈
H(H)
đượ

c xác
đị
nh
b
ở
i:
V
ớ
i các
đị
nh ngh
ĩ
a trên ta có
đị
nh lý:

Định lý về sự tồn tại của các IFS Fractal:

Ta có (H(X), h) là m
ộ
t không gian metric
đầ
y
đủ
. H
ơ
n n
ữ
a n
ế

u
A
n
∈
H(X) v
ớ
i n = 1,2,… l
ậ
p thành m
ộ
t dãy Cauchy thì t
ậ
p h
ợ
p A xác
đị
nh b
ở
i:
A = lim A
n

0
→∞

c
ũ
ng thu
ộ
c H(X). A có th

ể

đượ
c
đặ
c t
ả
nh
ư
sau:
A = [ x
∈
X :
∃
m
ộ
t dãy Cauchy [ x
n

∈
A
n
] h
ộ
i t
ụ
v
ề
x]

□
Ánh xạ co trên không gian Hausdorff:
Bổ đề 1:
Gi
ả
s
ử
w: X
→
→→
→
X là m
ộ
t ánh x
ạ
co liên t
ụ
c trên không gian metric (X,
d). Khi
đ
ó w liên t
ụ
c.
Ch
ứ
ng minh:
Cho s > 0. G
ọ
i s là h
ệ

s
ố
co c
ủ
a w. Khi
đ
ó:
d(w(x), w(y))
≤
s.d(x,y) <
ε

Khi và ch
ỉ
khi:
D(x,y) <
δ
=
ε
/ s
T
ừ

đ
ó suy ra
đ
i
ề
u ph
ả

i ch
ứ
ng minh.

Bổ đề 2:
Gi
ả
s
ử
w: X
→
→→
→
X là m
ộ
t ánh x
ạ
liên t
ụ
c trên không gian metric(X,d).
Khi
đ
ó w ánh x
ạ
không gian H(X) lên chính nó.

Ch
ứ
ng minh:
Gi

ả
s
ử
S là m
ộ
t t
ậ
p con compact khác r
ỗ
ng c
ủ
a X. Khi
đ
ó ta có:
w(S) = [w(x) : x
∈
S] là m
ộ
t t
ậ
p khác r
ỗ
ng. Ta ch
ứ
ng minh w(S)
compact. Xét [ y
n
= w(x
n
) ] là m

ộ
t dãy vô h
ạ
n
đ
i
ể
m c
ủ
a w(S).
Khi
đ
ó [x
n
] c
ũ
ng là m
ộ
t dãy vô h
ạ
n
đ
i
ể
m trong S. Vì S compact
nên t
ồ
n t
ạ
i m

ộ
t dãy con [x
n
] h
ộ
i t
ụ
v
ề
m
ộ
t
đ
i
ể
m x’
∈
S, nh
ư
ng do
tính liên t
ụ
c c
ủ
a w suy ra
đượ
c [ y
Nn
= f (x
Nn

) ] là m
ộ
t dãy con
c
ủ
a [ y
n
] h
ộ
i t
ụ
v
ề
y’
∈
w(S). V
ậ
y w(S) compact.
B
ổ

đề

đượ
c ch
ứ
ng minh.
B
ổ

đề
3 sau
đ
ây ch
ỉ
ra cách t
ạ
o m
ộ
t ánh x
ạ
co trên không gian metric
(H(X), h) d
ự
a trên m
ộ
t ánh x
ạ
co trên (X,d).

Bổ đề 3:

Gi
ả
s
ử
w: X
→
→→
→

X là m
ộ
t ánh x
ạ
có không gian metric (X,d) v
ớ
i h
ệ
s
ố
co
s. Khi
đ
ó ánh x
ạ
w: H(X)
→
H(X)
đượ
c xác
đị
nh b
ở
i:
{ }
Ad(B,B),d(A, max B)h(A, =
THÖ VIEÄN ÑIEÄN TÖÛ TRÖÏC TUYEÁN
ĐỒ
ÁN T
Ố

T NGHI
Ệ
P SVTH: Nguy
ễ
n Ng
ọ
c Hùng C
ườ
ng

Đề
tài : Hình h
ọ
c Fractal Trang 19
W(B) = [w(x): x
∈
B], v
ớ
i B thu
ộ
c H(X) c
ũ
ng là m
ộ
t ánh x
ạ
co trên
(H(X), h(d)) v
ớ
i h

ệ
s
ố
co s.
Ch
ứ
ng minh:
T
ừ
b
ổ

đề
1 suy ra w: X
→
X liên t
ụ
c. Do
đ
ó theo b
ổ

đề
2, ánh x
ạ
H(X)
lên chính nó. Bây gi
ờ
xét B, C thu
ộ

c H(X).
Ta có:

d( w(B), w(C)) = max [ min [ d(w(x), w(y)): y
∈
C ] : x
∈
B ]

≤
max [ min [ s.d(x,y) : y
∈
C ]: x
∈
B ]
= s.d(B, C)
M
ộ
t cách t
ươ
ng t
ự
:
d( w(C), w(B))
≤
s.d(C, B)

Do
đ
ó:

H(w(B), w(C)) = max [d(w(B), w(C), w(C), w(B)) ]

≤
s.max [ d(B, C), d(C, B) ]
= s.h(B, C)
T
ừ

đ
ó suy ra
đ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
B
ổ

đề
4 sau
đ
ây cung c
ấ
p m
ộ
t cách th
ứ

c c
ơ
b
ả
n
để
n
ố
i k
ế
t các ánh x
ạ
co
trên (H(X), h) thành các ánh x
ạ
co m
ớ
i trên (H(X), h):

Bổ đề 4:
Ký hi
ệ
u [w
n
] là các ánh x
ạ
co trên (H(X), h) v
ớ
i các h
ệ

s
ố
co t
ươ
ng
ứ
ng
s
n
, n = 1, 2,…,N. Xác
đị
nh W : H(X)
→
H(X) b
ở
i:
N
W(B) =
∪
w
n
(B)
n=1
v
ớ
i B
∈
H(X). Khi
đ
ó W là ánh x

ạ
co v
ớ
i h
ệ
s
ố
co s = max s
n
.
1
≤
n
≤
N
Ch
ứ
ng minh:
K
ế
t qu
ả
trên
đượ
c ch
ứ
ng minh b
ằ
ng qui n
ạ

p.
V
ớ
i N = 2: Xét B, C
∈
H(X).
Ta có:






V
ậ
y W là ánh x
ạ
co v
ớ
i N = 2.
Gi
ả
s
ử
kh
ẳ
ng
đị
nh
đ

úng v
ớ
i N = k. Ta ch
ứ
ng minh kh
ẳ
ng
đị
nh
đ
úng
v
ớ
i N = k + 1. Th
ậ
t v
ậ
y, ta có:



C)s.h(B,
C)}.h(B,
2
s , C).h(B,
1
s { max
(C))}
2
w , (B)

2
h(w, (C))
1
w , (B)
1
h(w{ max
(C))
2
w (C)
1
w , (B)
2
w (B)
1
h(w W(C)), h(W(B)
≤
≤
≤
∪∪=
THÖ VIEÄN ÑIEÄN TÖÛ TRÖÏC TUYEÁN
ĐỒ
ÁN T
Ố
T NGHI
Ệ
P SVTH: Nguy
ễ
n Ng
ọ
c Hùng C

ườ
ng

Đề
tài : Hình h
ọ
c Fractal Trang 20












V
ậ
y W là ánh x
ạ
co v
ớ
i N = k +1.
Do
đ
ó theo ngun lý qui n
ạ

p b
ổ

đề
4
đượ
c ch
ứ
ng minh xong.

□
CÁC HỆ HÀM LẶP IFS (ITERATED FUNCTION SYSTEM ):

Định nghĩa 1:
M
ộ
t h
ệ
hàm l
ặ
p g
ồ
m m
ộ
t khơng gian metric
đầ
y
đủ
(X, d) và m
ộ

t b
ộ

h
ữ
u h
ạ
n các ánh x
ạ
co w
n
v
ớ
i h
ệ
s
ố
co t
ươ
ng
ứ
ng s
n
, n = 1, 2,…, N. Ta ký hi
ệ
u
IFS thay cho c
ụ
m t
ừ

hàm l
ặ
p. M
ộ
t IFS
đượ
c ký hi
ệ
u b
ở
i [X; w
n
, n = 1, 2,…, N]
và h
ệ
s
ố
co s = max s
n

1
≤
n
≤
N
Đị
nh lý sau tóm t
ắ
t các k
ế

t qu
ả
chính c
ủ
a m
ộ
t IFS:
Định lý IFS:















Định nghĩa 2:
Đ
i
ể
m b
ấ
t

độ
ng A
∈
H(X) mơ t
ả
trong
đị
nh lý IFS
đượ
c g
ọ
i là h
ấ
p t
ử
c
ủ
a
IFS
đ
ó.



n
s
1kn 1
max)
1k
s,

T
max(ss co số hệvới H(X) trên
co xạ ánh là Wcó cũng ta , 2 N với nạp quithuyết giả do nhưng
(B)
1k
wT(B) W(B)
:viết thể có Vậy .
n
s
kn 1
max
T
s co số hệvới H(X) trên
co xạ ánhmột là T có ta nạp quithuyết giả do thì
n
w
k
1n
TĐặt
(B)
1k
w(B)
n
w
k
1n
(B)
n
w
1k

1n
W(B)
+≤≤
=
+
=
=
+
∪=
≤≤
=
=
∪=
+
∪
=
∪=
+
=
∪=









. H(X) B bất kỳvới (B)

n
W
n
lim A bởitrước cho được và
(A)
n
w
N
1n
W(A)A
: với H(X) A động điểm bấtmột nhất duy có này xạ Ánh
H(X) CB, , C)B, s.h( W(C)), h(W(B)
: là tức , s co số hệvới h(d)), (H(X)
đủ đầy metric gian khôngtrên co xạ ánhmột là H(X) B đó trong
(B)
n
w
N
1n
W(B)
: bởiđònh xác H(X) H(X)
: Wđổi biến phépđó Khi . s co số hệvới N}, ... 1,2,n,
n
w{X; IFSmột Xét
∈
∞→
=
=
∪==
∈

∈∀≤
∈
=
∪=
→
=
THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN
ĐỒ
ÁN T
Ố
T NGHI
Ệ
P SVTH: Nguy
ễ
n Ng
ọ
c Hùng C
ườ
ng

Đề
tài : Hình h
ọ
c Fractal Trang 21
CHƯƠNG II: MỘT SỐ KỸ THUẬT CÀI ĐẶT HÌNH HỌC PHÂN
HÌNH.

II.1 HỌ ĐƯỜNG VONKOCK:

Trong ph

ầ
n này chúng ta s
ẽ
cùng nhau th
ả
o lu
ậ
n các fractal
đượ
c phát
sinh b
ằ
ng cách s
ử
d
ụ
ng
đệ
qui initiator / generator v
ớ
i k
ế
t qu
ả
là các hình t
ự

đồ
ng d
ạ

ng hồn tồn. Các hình này có s
ố
chi
ề
u t
ự

đồ
ng d
ạ
ng, s
ố
chi
ề
u fractal
và s
ố
chi
ề
u Hausdorff-Besicovitch b
ằ
ng nhau.
S
ố
chi
ề
u
đượ
c tính theo cơng th
ứ

c sau:




Trong
đ
ó:
N: Là s
ố

đ
o
ạ
n th
ẳ
ng.
R: Là s
ố
chi
ề
u dài c
ủ
a m
ỗ
i
đ
o
ạ
n.

Chúng ta b
ắ
t
đầ
u b
ằ
ng m
ộ
t initiator, nó có th
ể
là m
ộ
t
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng hay
m
ộ
t
đ
a giác. M
ỗ
i c
ạ
nh c
ủ
a initiator

đượ
c thay th
ế
b
ở
i m
ộ
t generator, mà là t
ậ
p
liên thơng c
ủ
a các
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng t
ạ
o nên b
ằ
ng cách
đ
i t
ừ

đ
i
ể

m b
ắ
t
đầ
u
đế
n
đ
i
ể
m
cu
ố
i c
ủ
a
đườ
ng thay th
ế
(Thơng th
ườ
ng các
đ
i
ể
m c
ủ
a generator là m
ộ
t l

ướ
i
vng hay m
ộ
t l
ướ
i t
ạ
o b
ở
i các tam giác
đề
u). Sau
đ
ó m
ỗ
i
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng c
ủ
a hình
m
ớ
i
đượ
c thay th

ế
b
ở
i phiên b
ả
n nh
ỏ
h
ơ
n c
ủ
a generator. Q trình này ti
ế
p t
ụ
c
khơng xác
đị
nh
đượ
c. Sau
đ
ây là m
ộ
t s
ố

đườ
ng Von Kock quan tr
ọ

ng:

□
ĐƯỜNG HOA TUYẾT VON KOCK-NOWFLAKE:

Đườ
ng hoa tuy
ế
t
đượ
c xây d
ự
ng b
ở
i nhà tốn h
ọ
c Helge Von Kock vào
n
ă
m 1904.
Ở

đ
ây chúng ta b
ắ
t
đầ
u v
ớ
i initiator là m

ộ
t
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng. Còn
generator
đượ
c phát sinh nh
ư
sau:




Generator c
ủ
a
đườ
ng von kock

Chúng ta chia
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng thành ba ph

ầ
n b
ằ
ng nhau. Sau
đ
ó thay th
ế
m
ộ
t
ph
ầ
n ba
đ
o
ạ
n gi
ữ
a b
ằ
ng tam giác
đề
u và b
ỏ

đ
i c
ạ
nh
đ

áy c
ủ
a nó. Sau
đ
ó chúng
ta l
ặ
p l
ạ
i q trình này cho m
ỗ
i
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng m
ớ
i. Ngh
ĩ
a là chia
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng m
ớ
i

thành ba ph
ầ
n b
ằ
ng nhau và l
ặ
p lai các b
ướ
c nh
ư
trên.
Ta th
ấ
y q trình xây d
ự
ng là t
ự

đồ
ng d
ạ
ng, ngh
ĩ
a là m
ỗ
i ph
ầ
n trong 4
ph
ầ

n
ở
b
ướ
c th
ứ
k là phiên b
ả
n nh
ỏ
h
ơ
n 3 l
ầ
n c
ủ
a tồn b
ộ

đườ
ng cong
ở
b
ướ
c
th
ứ
(k–1).








=
R
N
D
1
log
)log(
THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN
ĐỒ
ÁN T
Ố
T NGHI
Ệ
P SVTH: Nguy
ễ
n Ng
ọ
c Hùng C
ườ
ng

Đề
tài : Hình h
ọ
c Fractal

Trang 22
Nh
ư
v
ậ
y m
ỗ
i
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng c
ủ
a generator có chi
ề
u dài R = 1/3 (gi
ả
s
ử

chi
ề
u dài
đ
o
ạ
n th
ẳ

ng ban
đầ
u là 1) và s
ố

đ
o
ạ
n th
ẳ
ng c
ủ
a generator N = 4. Do
v
ậ
y s
ố
chi
ề
u fractal c
ủ
a
đườ
ng hoa tuy
ế
t là:

Để
vi
ế
t m
ộ
t
đ
o
ạ
n mã cho vi
ệ
c phát sinh ra
đườ
ng hoa tuy
ế
t, chúng ta
c
ầ
n ph
ả
i trình bày v
ề

đồ
ho
ạ
con rùa (turtle graphic). Lo
ạ
i
đồ

ho
ạ
này g
ồ
m m
ộ
t
s
ố
hàm thao tác chính sau:

♦
Hàm Point (X1, Y1, X2, Y2):

Hàm này tính góc gi
ữ
a con rùa và tr
ụ
c x (t
ứ
c là tính góc gi
ữ
a
đ
o
ạ
n
th
ẳ
ng có hai

đầ
u mút có to
ạ

độ
(X1, Y1) và (X2, Y2) ) theo
độ

đ
o góc thông
th
ườ
ng. Sau
đ
ây là
đ
o
ạ
n mã mô t
ả
cách cài
đặ
t hàm:
/* EDIT CODE */
#include”stdafx.h”
#include”math.h”
#define PI 3.141593
double Point(double X1, double Y1, double X2, double Y2)

double Theta,Temp=180/PI;

if((X2-X1)= = 0)
if(Y2 > Y1)
Theta= 90;
else
Theta = 270;
else
Theta= atan((Y2 -Y1) / (X2 -X1)) * Temp;
if (X1 > X2)
Theta += 180;
return Theta;

♦
♦♦
♦
Hàm Turn (Angle, Turtle-Theta):



Hàm này

c
ộ
ng thêm vào Turtle-Theta m
ộ
t góc Angle (t
ứ
c là quay con
rùa
đ
i m

ộ
t góc theo chi
ề
u ng
ượ
c chi
ề
u kim
đồ
ng h
ồ
n
ế
u Angle > 0, còn n
ế
u
Angle < 0 thì quay cùng chi
ề
u kim
đồ
ng h
ồ
).
Đ
o
ạ
n mã sau
đ
ây minh ho
ạ

cách
cài
đặ
t:

void Turn(double Angle, double &Turtle_Theta)

Turtle_Theta+=Angle;


♦
Hàm Step (Turtle-X, Turtle-Y, Turtle-R, Turtle-Theta):

2618,1
3log
4log
1
log
)log(
≈==






R
N
D
{

}
{
}
THÖ VIEÄN ÑIEÄN TÖÛ TRÖÏC TUYEÁN
ĐỒ
ÁN T
Ố
T NGHI
Ệ
P SVTH: Nguy
ễ
n Ng
ọ
c Hùng C
ườ
ng

Đề
tài : Hình h
ọ
c Fractal
Trang 23
Hàm này di chuy
ể
n con rùa
đ
i m
ộ
t b
ướ

c. Chi
ề
u dài c
ủ
a m
ỗ
i b
ướ
c
là Turtle-R.
Ở

đ
ây hàm s
ử
d
ụ
ng v
ị
trí con rùa hi
ệ
n t
ạ
i có to
ạ

độ
(Turtle-X,
Turtle-Y) và góc
đị

nh h
ướ
ng là Turle-Theta
để
xác
đị
nh v
ị
trí to
ạ

độ
m
ớ
i sau
khi di chuy
ể
n m
ộ
t b
ướ
c.
Đ
o
ạ
n mã sau
đ
ây minh ho
ạ
cho cách cài

đặ
t:

void Step(double &Turtle_X, double &Turtle_Y,
double Turtle_R, double Turtle_Theta)

Double Temp=PI/180;
Turtle_X+=Turtle_R*cos(Turtle_Theta* Temp);
Turtle_Y+=Turtle_R*sin(Turtle_Theta* Temp);

Gi
ả
s
ử
initiator g
ồ
m N
đ
i
ể
m, m
ỗ
i
đ
i
ể
m có to
ạ

độ

là (x[i], y[i] ) và
đườ
ng
hoa tuy
ế
t có m
ứ
c là Level (m
ứ
c b
ắ
t
đầ
u là 1), thì vi
ệ
c t
ạ
o ra
đườ
ng hoa tuy
ế
t
nh
ư
sau (các
đườ
ng sau này
đượ
c t
ạ

o ra c
ũ
ng gi
ố
ng nh
ư
v
ậ
y):
For(i= 0 ; i< N ;++i)
-Generator(x[i],y[i],x[i+1],y[i+1],Level);
V
ớ
i hàm –Generator t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i
đ
o
ạ
n mã nh
ư
sau:
//
Phát sinh họ đường Vonkock:
void Generator(CDC *pDC,double X1, double Y1, double X2,
double Y2, int Level,int NumLines,double

LineLen,double Angles[])

double *XPoints,*YPoints;
int I;
double Turtle_Theta,Turtle_X, Turtle_Y, Turtle_R;

XPoints = new double[NumLines +1];
YPoints = new double[NumLines +1];
--Level;
Turtle_R=sqrt((X2-X1)* (X2-X1)+ (Y2-Y1)* (Y2-Y1))*LineLen;
XPoints[0]=X1;
YPoints[0]=Y1;
XPoints[NumLines]=X2;
YPoints[NumLines]=Y2;
Turtle_Theta=Point(X1,Y1,X2,Y2);
Turtle_X=X1;
Turtle_Y=Y1;
Turn(Angles[0],Turtle_Theta);
for (I=1; I<NumLines; ++I)

Step(Turtle_X, Turtle_Y, Turtle_R, Turtle_Theta);
XPoints[ I ]=Turtle_X;
YPoints[ I ]=Turtle_Y;
Turn(Angles[ I ],Turtle_Theta);
{
}
{
{
}
THÖ VIEÄN ÑIEÄN TÖÛ TRÖÏC TUYEÁN

ĐỒ
ÁN T
Ố
T NGHI
Ệ
P SVTH: Nguy
ễ
n Ng
ọ
c Hùng C
ườ
ng

Đề
tài : Hình h
ọ
c Fractal
Trang 24
if (Level)
for (I=0; I<NumLines; I++)
X1=XPoints[ I ];
Y1=YPoints[ I ];
X2=XPoints[ I +1];
Y2=YPoints[ I +1];
Generator(pDC,X1,Y1,X2,Y2,Level,
NumLines,LineLen,Angles);

else
for (I= 0; I<NumLines; I++ )
pDC->MoveTo((int)XPoints[ I ], (int) YPoints [ I ]);

pDC->LineTo((int)XPoints[ I+1 ], (int) YPoints [ I+1 ]);
delete[]XPoints;
delete[]YPoints;

Hàm này c
ũ
ng có th
ể
áp d
ụ
ng cho vi
ệ
c phát sinh ra các
đườ
ng khác
cùng h
ọ
. Ch
ẳ
ng h
ạ
n sau
đ
ây là m
ộ
t minh ho
ạ
cho hình v
ẽ
trình bày

ở
m
ứ
c 3
c
ủ
a
đườ
ng Von Kock-Snowflake.

Hình
:
Đườ
ng Von Kock-Snowflake m
ứ
c 3.

Lưu đồ của đoạn mã ở trên như sau:




{
}
THÖ VIEÄN ÑIEÄN TÖÛ TRÖÏC TUYEÁN
ĐỒ
ÁN T
Ố
T NGHI
Ệ
P SVTH: Nguy
ễ
n Ng
ọ
c Hùng C
ườ
ng

Đề

tài : Hình h
ọ
c Fractal
Trang 25

















Level >0

Đ



S

M
ỗ
i lúc chúng ta thay th
ế

đ
o
ạ
n th
ẳ
ng b
ở
i generator, chúng ta dùng 2
m
ả
ng XPoints, YPoints
để
t
ạ
o m
ả
ng các v
ị
trí to
ạ

độ

và sau
đ
ó v
ẽ

đ
o
ạ
n th
ẳ
ng
t
ừ
c
ặ
p t
ọ
a
độ
th
ứ
nh
ấ
t
đế
n th
ứ
hai, t
ừ
th

ứ
hai
đế
n th
ứ
ba, v.v… cho
đế
n khi
chúng ta c
ầ
n v
ẽ
h
ế
t s
ố

đ
o
ạ
n c
ầ
n v
ẽ
NumLines (trong tr
ườ
ng h
ợ
p
đườ

ng hoa
tuy
ế
t thì NumLines = 4).
Để
phát sinh ra các c
ặ
p t
ọ
a
độ
chúng ta s
ử
d
ụ
ng các
l
ệ
nh
đồ
h
ọ
a con rùa nh
ư

đ
ã mô t
ả

ở

trên.

Đầ
u tiên, hàm –Generator gi
ả
m Level
đ
i m
ộ
t
đơ
n v
ị
. Sau
đ
ó chúng xác
đị
nh các to
ạ

độ
c
ủ
a các
đ
i
ể
m c
ầ
n v

ẽ
c
ủ
a generator b
ằ
ng cách tr
ướ
c tiên tính
chi
ề
u dài c
ủ
a m
ỗ
i
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng c
ủ
a generator c
ầ
n thay th
ế
(Line-Len chính là
1/R), sau
đ
ó l

ư
u tr
ữ
hai
đầ
u mút c
ủ
a
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng c
ầ
n thay th
ế
, r
ồ
i tính góc con
rùa, sau
đ
ó di chuy
ể
n con rùa t
ớ
i to
ạ

độ

đầ
u c
ủ
a
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng này, và cu
ố
i cùng
quay
đ
i m
ộ
t góc thích h
ợ
p (có lúc góc quay là 0
0
).

Sau
đ
ó chúng ta l
ặ
p l
ạ
i quá trình sau

để
xác
đị
nh các to
ạ

độ
c
ủ
a các
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng c
ủ
a generator: di chuy
ể
n con rùa
đ
i m
ộ
t b
ướ
c, l
ư
u tr
ữ
v

ị
trí m
ớ
i c
ủ
a
con rùa và quay
đ
i m
ộ
t góc thích h
ợ
p.
Ở

đ
ây góc quay
đượ
c l
ư
u tr
ữ
trong m
ả
ng
Angle.
Đố
i v
ớ
i

đườ
ng hoa tuy
ế
t giá tr
ị
c
ủ
a m
ả
ng Angle là : {0, 60, -120, 0}.

B
ắ
t
đầ
u
Kh
ở
i
độ
ng initiator,
Level, Generator
Thay Th
ế
m
ỗ
i
đ
o
ạ

n
th
ẳ
ng b
ằ
ng Generator
K
ế
t Thúc
THÖ VIEÄN ÑIEÄN TÖÛ TRÖÏC TUYEÁN