Định lý Fermat nhỏ

Định lý Fermat nhỏ
I. Định lý Fermat nhỏ
Bài toán 1: Cho p là một số nguyên tố và a là số nguyên không chia hết cho p.
Chứng minh tạo thành hệ thặng dư thu gọn mod p. 1
Bài toán 2: Cho p là một số nguyên tố và a là số nguyên không chia hết cho p.
Chứng minh
(Định lý Fermat nhỏ)
II. Mở rộng: Định lý Euler
Hàm Euler của một số tự nhiên n: Số các số tự nhiên nhỏ hơn n và nguyên tố cùng
nhau với n.
Kí hiệu .
VD.
Tính chất:
+ Với (m,n)=1 ta có
+
+
+ Nếu thì
Định lý Euler: Cho a,n là các số tự nhiên và (a,n)=1. Ta có

1 Tập hợp được gọi là một hệ thặng dư thu gọn mô-đun n nếu với mọi số nguyên i, (i,n)=1 và , tồn tại duy nhất chỉ
số j sao cho với


III. Bài tập
1, Cho p là một số nguyên tố dạng 4k+3.
a, CMR số nguyên x thỏa mãn
b, CMR
2, Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên dương:
a,

b,

3, Tìm số nguyên tố p sao cho
4, CMR nếu n nguyên dương lẻ thì
5, Cho p là số nguyên tố lẻ. CMR với
6, Tìm tất cả số nguyên tố p sao cho
7, Cho p là số nguyên tố lớn hơn 7. CMR:
8. CMR: với mọi số nguyên tố p lẻ
9, Cho a,b là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. CMR tồn tại các số
nguyên dương m,n thỏa mãn
10, Cho a không chia hết cho 5 và 7. CMR:
11, Cho . CMR:
a,
b,
12, CMR với mọi số nguyên tố p, tồn tại vô hạn số nguyên dương n thỏa mãn
13*, Chứng minh không tồn tại số nguyên dương n thỏa mãn
14**, Tìm tất cả n nguyên dương thỏa mãn