Định lý Fermat

Ðịnh lý nhỏ của Fermat [Phân biệt với Ðịnh lý Fermat lớn]
Khẳng ðịnh rằng nếu p là số Nguyên tố, thì với số Nguyên a bất kỳ
=> a
p
– a Chia hết cho p
Vd => 13^7 - 13 = 62748517 - 13 = 62748504 = 8964072 x 7
Ðịnh lý cuối của Fermat (hay còn gọi là Ðịnh lý lớn Fermat) là một trong những Ðịnh lý nổi tiếng nhất trong Lịch sử toán
học
Ðịnh lý này Phát biểu nhu sau
Không Tồn tại các Nghiệm Nguyên X, Y, Z khác 0 thỏa Phuong trình x
n
+ y
n
= z
n
trong ðó n là
một Số Nguyên lón hon 2
Vd => Vói A, B là số Nguyên A = 13 B = 7 & n = 6
=> C^6 = A^6 + B^6 = 12^6 + 7^6 = 2985984 + 117649C^6
C^6 = 3103633 => C = Cãn Bậc 6 của 3103633
=> C không là Số Nguyên
CÁC ÐL LIÊN QUAN VÓI ÐL FERMAT LÓN
Phuong trình
Với n, k bằng hoặc lón hon 2 không có Nghiệm Nguyên khác không
Giả thuyết Tổng quát này vẫn chua ðuợc Chứng minh, Kiểm chứng.
Ví dụ: 5^3 + 13^3 + 7^3 = 125 + 2197 + 343 = 2665 = Z^3
=> Z là Cãn bậc 3 của 2665 => Z không là Số Nguyên
Ðịnh Lý Pythagore
Ðịnh Lý Pythagore Liên quan ðến Lịch sủ Phát sinh Ðl Fermat
" Trong Tam Giác Vuông thì Tổng Bình phuong Chiều dài 2 Cạnh của Góc vuông bằng Bình phuong Chiều dài Cạnh Huyền
Ví dụ => Cạnh kề K[1] = 4 Cạnh kề K[2] = 3

=> Bình phuong Cạnh huyền
H^2 = K[1]^2 + K[2]^2 = 14 + 9 = 25
=> Cạnh huyền H = 5 => 5^2 = 4^2 + 3^2
Các Nghiệm Nguyên [X, Y, Z] của Pt X^2 + Y^2 = Z^2
ðuọc gọi là Bộ ba Số Pythagore và ðuọc tính bằng Công thúc
Z = [m^2 + n^2] : 2 Y = [m^2 - n^2] : 2 X = m x n
Ví dụ => m = 5 & n = 3
=> Z = [m^2 + n^2] : 2 = [25 + 9] : 2 = 17
=> Y = [m^2 - n^2] : 2 = [25 - 9] : 2 = 8
=> X = m x n = 5 x 3 = 15
=> X^2 + Y^2 = Z^2 => 15^2 + 8^2 = 17^2
Ðẳng thức Pell-Fermat x
2
- n y
2
= 1
Bất cứ Số Nguyên tố nào có Dạng 4n + 1 ðều là Tổng của hai số Bình phuõng (Ðuợc Chứng minh bởi Euler)
Vd => Vói n = 4 => A = [4 x 5] + 1 = 21 = 16 + 9 = 4^2 + 3^2
Bất cứ Số nào cũng tự Phân tích ra thành 3 theo Hình Tam giác, 4 theo Hình Vuông, 5 theo Hình Ngũ giác . . . [???]
Ðịnh lý Taniyama-Shimura
Ðịnh lý này dẫn ðến Phuong pháp Chúng minh ÐL Fermat lón
Ðịnh lý Taniyama-Shimura Xây dựng một mối Liên hệ quan trọng giữa các ðuờng cong elip, [một Khái niệm trong Hình học ðại
số] và các dạng Modular, là các Hàm holomorphic tuần hoàn ðuợc miêu tả trong Lý thuyết số
*
Ðịnh lý này bắt nguồn từ Giả thuyết Taniyama-Shimura, còn phần Chứng minh ðuợc Andrew Wiles, Christophe Breuil, Brian
Conrad, Fred Diamond và Richard Taylor hoàn chỉnh.
Việc Andrew Wiles hoàn tất Chứng minh ðịnh lý Taniyama-Shimura trực tiếp dẫn ðến Chứng minh ðịnh lý lớn Fermat nổi tiếng
của Pierre de Fermat
Nếu p là một số Nguyên tố và E là một ðuờng cong elip trên Tập Q, [tập số hữu tỉ]. Ta có thể rút gọn Phuõng trình xác
ðịnh E modulo pvới mọi Giá trị của p. Nhung nếu với Giá trị của p [hữu hạn], ta có thể tìm ðuợc một ðuờng cong elip trên

Truờng hữu hạn F
p
với n
p
phần tử.
Khi ðó dãy a
p
= n
p
− p
là một Bất biến quan trọng của ðuờng cong elip E.
Mọi dạng Modular ðều Phát triển thành một Dãy số bằng Biến ðổi Fourier. Một ðuờng cong elip có Dãy số thích hợp với một
Dạng Modular thì ðuợc gọi là Modular.
Ðịnh lý Taniyama-Shimura phát biểu nhu sau
Mọi ðuờng cong elip trên Tập Q ðều là Modular
Xem thêm The bridge between Fermat and Taniyama
If p is an odd prime and a, b, and c are positive integers such thata
p
+b
p
= c
p
, then a corresponding equation y² = x(x - a
p
)
(x + b
p
) defines a hypothetical elliptic curve, called the Frey curve, which must exist if there is a counterexample to Fermat's
Last Theorem.
Following on work by Yves Hellegouarch who first considered this curve, Frey pointed out that if such a curve existed it had

peculiar properties, and suggested in particular that it might not be modular.
CÔNasG THÚC & ÐL DÙNG TRONG CMÐL FERMAT LÓN
Ðịnh Lý Co bản của Số
Mọi Số Nguyên bất kỳ ðều có thể Phân tích một cách Duy nhất thành Tích các Thùa số Nguyên tố
A = P[1]^n[1].P[2]^n[2].P[3]^n[3]. . . P[k]^n[k]
Ví dụ => 15288 = 2 x 2 x 2 x 3 x 7 x 7 x 13 = [2^3] x 3 x [7^2] x 13
Nhị thúc Newton
vói Bậc Lũy thùa n là Số Lẻ, A và B là Số Nguyên
K[1] K[2] K[3] . . . . là Hệ số [Nguyên] trong Khai triển
1. [A + B]^n
= A^n + K[1]A^[n-1]B + K[2]A^[n-2]B^2 + . . . + B^n
Vd => 7^5 = [5 + 2]^5
= 5^5 + K[1].5^4.2 + K[2].5^3.2^2 + . . + 2^5
2. [A - B]^n
= A^n - K[1]A^[n-1] + K[2]A^[n-2]B^2 - . + . -B^n
Ví dụ: 7^5 = [19 - 2]^5
= 19^5 - K[1].19^4.2 + K[2].19^3.2^2 - . . . - 2^5
Các Số hạng ỏ vị trí chẳn [2, 4, 6, . . .] mang dấu Trù [ - ]
Tam Giác Số Pascal
1. Các Số trong TGS là Hệ Số [Nguyên] của Khai triển NT Newton
2. Tất cả các Số trong Tam Giác Số ðều là Số Nguyên
3. Các Số trên cùng một Hàng [Ví dụ: Hàng thú n tù trên xuống] thì Biễu diễn Hệ Số trên cùng một Nhị thúc [Bậc n]
4. Nhị thúc Bậc n có số các Hệ số là [n + 1]
5. Hai Số ỏ 2 ðầu và cuối của Tất cả các Hàng số ðều bằng 1.
Hai Số ỏ cách ðều 2 ðầu mút thì bằng nhau
Vi dụ n = 6 => 1. 6. 15. 20. 15. 6. 1
n = 8 => 1. 8. 28. 56. 70. 56. 28. 8. 1.
6. Vói Bậc Lũy thùa n = P [Số Nguyên tố]
=> Các Số trên Hàng Lũy thùa ðó [n = P] ðều chia hết cho P
Ví dụ n = 7 => Các Hệ số của Nhị thúc Newton Bậc Lũy thùa 7

1. 7[1 x 7]. 21[3 x 7]. 35[5 x 7]. 35[5 x 7]. 21[3 x 7]. 7[1 x 7]. 1
7. Tổng của Tất cả các Số của cùng một Hàng S = 2^[n]
Ví dụ => n = 9
S = 1 + 9 + 36 + 84 + 126 + 126 + 84 + 36 + 9 + 1 = 512 = 2^9
S = 2^n = 2^9 = 512
Hệ số & Số hạng trong Nhị thúc Newton
Vói Bậc Lũy thùa n = P [Nguyên tố Lẽ] thì Tất cả các Hệ Số & Số hạng trong Nhị thúc ðều Chia hết cho P [Trù 2 Số hạng ðầu
và cuối]
Ví dụ => Các Hệ số trong Khai triển NT Newton Bậc lũy thùa 7
Hệ số => 1. 7. 21. 35. 35. 21. 7. 1
=> Các Số hạng chia hết cho 7
7A^6B|21A^5B^2|35A^4B^3|35A^3B^4|21A^2B^5|7AB^6
Ngoại Trù => |A^7 = 1| & |B^7 = 1|