Tín hiệu hệ thống phép biến đổi fourier

Bài 4:
Phép biến đổi Fourier


Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục


Định nghĩa: Biến đổi Fourier của tín hiệu liên
tục theo thời gian (Continous Time Fourier
Transform- CTFT) xa(t) được xác định bởi:



Thường được gọi là phổ của tín hiệu liên tục
theo thời gian




Công thức Euler:



Với θ là số thực




Biến đổi Fourier ngược của Xa(jΩ) được xác
định bởi:







Ω là số thực biểu diễn biến tần số góc liên tục
theo thời gian (tính bằng radian)
Đại lượng |Xa(jΩ)| được gọi là phổ cường độ
của tín hiệu xa(t)
Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục theo thời
gian tồn tại nếu tín hiệu xa(t) thỏa mãn điều
kiện Dirichlet


Điều kiện Dirichlet
a)

b)

Tín hiệu xa(t) có giá trị giới hạn và có số
thành phần giới hạn
Tín hiệu xa(t) thỏa mãn:


Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc


Định nghĩa: Biến đổi Fourier của tín hiệu rời

rạc (Dicrete Time Fourier Transform- DTFT)
X(ejω) được xác định bởi:



Thông thường, X(ejω) là hàm phức của biến số
thực ω và có thể được viết là:


Một số kiến thức toán học


Tổng các số hạng của cấp số nhân:


Ví dụ


DTFT của tín hiệu xung đơn vị δ(n) được xác
định bởi:


Ví dụ


Cho dãy:


Ví dụ


DTFT của dãy trên:



Khi


Các tính chất của DTFT


DTFT X(ejω) của x(n) là hàm liên tục của biến
ω, tuần hoàn với chu kỳ 2π







Vì ejω tuần hoàn với chu kỳ 2π nên khi thể
hiện X(ejω) ta chỉ cần thể hiện với 0≤ω≤ 2π
hoặc –π ≤ω≤ π
X(ejω) là phổ của tín hiệu x(n)
|X(ejω)| là phổ biên độ của tín hiệu x(n)


Tần số trong DTFT


Tần số chuẩn hóa: f, 00.51 (Độc lập với
giá trị tần số lấy mẫu fs)



Tần số góc chuẩn hóa: ω, 0 π2 π (Độc
lập với giá trị của fs)



Tần số rời rạc: f, 0fs/2fs



Tần số góc rời rạc: ω, 0 πfs2πfs


Điều kiện tồn tại DTFT


Nếu:



Thì:


Bài tập
Tìm biến đổi Fourier của các tín hiệu sau:


a.
b.
c.
d.

x(n)
x(n)
x(n)
x(n)

= δ(n-1)
= δ(n-1) + δ(n+1)
=(1/2)nu(n)
=2nu(n)




a.



b.




c.



Biến đổi Fourier ngược của tín hiệu rời rạc:


Một số tính chất cơ bản của DTFT
Tính chất

Tuyến tính
Dịch theo thời
gian
Tổng chập

Dãy
DTFT
x(n)
X(ejω)
x(-n)
X(e-jω)
ag(n)+βh(n) aG(ejω)+ βH(ejω)
g(n-n0)
e-jωn0G(ejω)
g(n)*h(n)

G(ejω).H(ejω)



Bài tập



Tìm biến đổi Fourier của các tín hiệu sau:


Bài tập


Biến đổi Fourier cho các tín hiệu sau:


Bài tập




Tín hiệu x(n) có biến đổi Fourier X(ejω)= 1/(1ae-jω)
Tìm biến đổi Fourier cho các tín hiệu sau:


Bài tập