Bài dịch tín hiệu hệ thống trường ĐHBK TPHCM chương 1

CHƯƠNG 1

GIỚI THIỆU VỀ TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG
1.1
1.2
1.3
1.4

Nội dung
Phân loại tín hiệu
Các mơ hình và phép tính tín hiệu
Phân loại hệ thống
Mơ hình hệ thống: Mơ tả quan hệ ngõ vào – ngõ ra hệ thống

Tài liệu tham khảo:
B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998
Chương trình bày một số đặc tính cơ bản của tín hiệu, đồng thời giới thiệu các ý
niệm cơ bản chính và giải thích định tính phương thức hoạt động của hệ thống, tạo cơ sở
cho phần cịn lại của tài liệu.
Tín hiệu
Tín hiệu là tập các thơng tin hay dữ liệu, Thí dụ tín hiệu trong điện thoại hay
truyền hình, doanh số bán của một công ty, hay chỉ số giá chứng khốn hàng ngày (thí dụ
chỉ số Dow Jones). Các thí dụ trên cho thấy tín hiệu là hàm theo biến thời gian độc lập,
tuy không phải lúc nào cũng đúng. Thí dụ điện tích được phân bố trong một vật thì tín
hiệu là điện tích lại phụ thuộc nhiều vào yếu tố không gian, không phải là thời gian. Tài
liệu này quan tâm chủ yếu đến các tín hiệu phụ thuộc theo thời gian. Tuy nhiên, phương
thức này còn áp dụng được cho các dạng biến độc lập khác.
Hệ thống
Hệ thống xử lý các tín hiệu, nhằm thay đổi hay lấy thêm thơng tin từ tín hiệu. Thí
dụ, người lính phịng khơng cần thơng tín từ mục tiêu di động của đối phương mà radar
của mình đang theo bám. Thơng qua xử lý đúng tín hiệu radar (ngõ vào), anh ta có thể

ước lượng được vị trí sắp tới của mục tiêu. Như thế, hệ thống là một thực thể (entity)
nhằm xử lý tập các tín hiệu (ngõ vào) để tạo một tập tín hiệu khác (ngõ ra). Hệ thống có
thể được tạo lập từ các thiết bị vật lý, như các hệ thống điện, hệ thống cơ, hay thủy lực
(phần cứng), hay có thể là một thuật tốn để tính tốn ngõ ra khi có tín hiệu ngõ vào
(phần mềm).
1.1 Kích thước của tín hiệu (đo lường tín hiệu)
Kích thước của một thực thể là con số nhằm chỉ thị độ lớn hay cường độ của thực
thể này. Nói chung, biên độ tín hiệu thay đổi theo thời gian. Như thế, làm cách nào để đo
lường một tín hiệu tồn tại trong một khoảng thời gian với biên độ có thay đổi dùng chỉ
một con số nhằm chỉ thị kích thước hay cường độ của tín hiệu? Đo lường này khơng chỉ
xem xét về tín hiệu biên độ, mà cịn xem xét đến thời gian tồn tại. Thí dụ nếu ta có ý
định chỉ dùng một số V để đo kích thước của con người, ta khơng chỉ xem xét vòng ngực
mà còn phải xem thêm về chiều cao. Nếu ta dùng giả thiết là hình dạng con người là một
hình khối trịn có bán kính r (thay đổi theo chiều cao h) thì đo lường hợp lý kích thước
của người có chiều cao H là thể tích V, cho theo công thức:


H

V = p ị r 2 (h)dh
0

Năng lượng tín hiệu
Từ đó, tiếp tục xem xét vùng điện tích của tín hiệu f(t) như phép đo kích thước, do
phần này khơng chỉ dùng biên độ, mà còn quan tâm đến thời gian tồn tại của tín hiệu. Tuy
nhiên, phương pháp này có thể cho kết quả đo lường sai khi f(t) là tín hiệu lớn, tạo các
vùng diện tích có giá trị dương và giá trị âm, có khả năng triệt tiêu nhau, làm cho phép đo
có giá trị nhỏ hơn giá trị thực. Vấn đề này được hiệu chỉnh bằng cách định nghĩa kích
thước của tín hiệu là vùng điện tích của f2(t), là vùng điện tích ln có giá trị dương. Gọi
đo lường này là năng lượng tín hiệu Ef, được định nghĩa (cho tín hiệu thực) là:

+¥

E f = ị f 2 (t )dt
-¥

(1.1)

Khi f(t) là tín hiệu phức, ta có cơng thức tổng qt:

Ef = ị

+¥

-¥

2

f (t ) dt

(1.2)

Tuy cịn có thể đo lường tín hiệu bằng nhiều cách khác, thí dụ như vùng điện tích
của f (t ) , nhưng phép đo năng lượng với khả năng biểu diễn dạng tốn học, cịn có ý
nghĩa chỉ thị năng lượng của tín hiệu (sẻ được minh họa ở phần sau).
Cơng suất tín hiệu
Năng lượng tín hiệu cần hữu hạn để đo lường được kích thước tín hiệu, Điều kiện
cần để năng lượng hữu hạn là biên độ tớn hiu đ 0 khi t đ Ơ (xem hỡnh 1.1a), nếu
khơng tích phân trong phương trình (1.1) sẽ khơng hội tụ.
Trong một số trường hợp, thí dụ khi biên ca f(t) khụng đ 0 khi t đ Ơ ,
(hình 1.1b), thì năng lượng tín hiệu là vơ hạn. Trường hợp này, cần đo kích thước tín hiệu

theo trị trung bình theo thời gian của năng lượng, nếu tồn tại. Đo lường này gọi là cơng
suất của tín hiệu.
Định nghĩa cơng suất Pf của tín hiệu f(t) là:
1 T /2 2
(1.3)
Pf = lim ũ
f (t )dt
T đƠ T -T / 2


Khi f(t) là tín hiệu phức, ta có cơng thức tổng quát:
1 T /2 2
Pf = lim ò
f (t )dt
(1.4)
T ®¥ T -T / 2
Ta thấy là cơng suất tín hiệu Pf là trung bình theo thời gian của bình phương biên
độ tín hiệu, tức là trị bình phương trung bình của f(t). Hơn nữa, căn bình phương của Pf
là trị rms (root mean square) của f(t).
Trung bình của tín hiệu trong khỗng thời gian dài vơ hạn tồn tại nếu tín hiệu là
tuần hồn hay statistical regularity. Khi khơng thỏa điều kiện này thì có thể khơng tồn tại
trị trung bình. Thí dụ, tín hiệu hàm dốc f(t) = t tng vụ hn khi t đ Ơ , nh thế không
tồn tại công suất cũng như năng lượng của tín hiệu này.
Nhận xét
Năng lượng tín hiệu được định nghĩa từ phương trình (1.1) và (1.2) khơng chỉ thị
năng lượng thực của tín hiệu do năng lượng tín hiệu khơng chỉ phụ thuộc vào tín hiệu mà
cịn phụ thuộc vào tải của tín hiệu. Năng lượng này có thể được biểu diễn như năng lượng
tiêu tán (dissipated) của một tải chuẩn hóa với giá trị 1 ohm khi áp điện áp f(t) vào hai
đầu trở (hay khi cho dòng f(t) qua trở 1 ohm này). Trường hợp này đo lường “năng
lượng” chỉ thị khả năng của năng lượng chứ không là năng lượng thực. Như thế, các ý

niệm về bảo tồn năng lượng khơng dùng được cho ý niệm “năng lượng tín hiệu” này. Lý
luận tương tự cho trường hợp “cơng suất tín hiệu” theo định nghĩa (1.3) và (1.4). Các đo
lường này khơng chỉ thị thích hợp cho kích thước tín hiệu, là ý niệm hữu ích trong nhiều
ứng dụng. Thí dụ, ta xấp xỉ tín hiệu f(t) bằng tín hiệu g(t), sai số xấp xỉ là e(t) = f(t) –g(t).
Năng lượng (hay công suất) của e(t) là chỉ thị thích hợp tính đúng của phép xấp xỉ, nhằm
cung cấp cho ta một đo lường định lượng nhằm xác định tính khớp của phép xấp xỉ. trong
hệ thống thơng tin, khi truyền qua kênh truyền, tín hiệu tin tức bị sai lệch do tín hiệu
khơng mong muốn (nhiễu). Chất lượng tín hiệu thu được được đánh giá thơng qua kích
thước tương đối của tín hiệu mong muốn và tín hiệu không mong muốn (nhiễu). Trường
hợp này, tỉ số giữa cơng suất tín hiệu mang tin tức và cơng suất nhiễu (tỉ số tín hiệu trên
nhiễu) là chỉ thị tốt để đánh giá chất lượng tín hiệu thu được.
Đơn vị đo năng lượng và cơng suất:
Phương trình (1.1) và (1.2) chưa có thứ ngun đúng, do ta khơng dùng ý niệm
năng lượng theo nghĩa qui ước, mà chỉ dùng chỉ thị kích thước tín hiệu. Tương tự cho
trường hợp cơng suất ở (1.3) và (1.4). Trường hợp này, đơn vị của năng lượng và công
suất được định nghĩa theo bản chất của tín hiệu f(t). Nếu f(t) là tín hiệu điện áp, thì năng
lượng Ef có thứ ngun là V2s (vơn bình phương-giây) và cơng suất Pf có thứ ngun là
V2 (vơn bình phương). Khi f(t) là tín hiệu dịng điện, thì năng lượng Ef có thứ ngun là
A2s (vơn bình phương-giây) và cơng suất Pf có thứ ngun là A2 (ampe bình phương).
■ Thí dụ 1.1:
Xác định đo lường thích hợp cho các tín hiệu trong hình 1.2
Trong hình 1.2a, biên độ tín hiệu ® 0 khi t ® ¥ , vậy đo lường thích hợp cho
tín hiệu là năng lượng Ef, cho bởi:
¥

0

¥

-¥

-1

0

E f = ị f 2 (t )dt = ò (2) 2 dt + ò 4e -t dt =4 + 4 = 8


Trong hình 1.2b, biên độ tín hiệu khơng ® 0 khi t đ Ơ . ng thi, tớn hiu l
tun hồn nên tồn tại cơng suất. Dùng cơng thức (1.3) xác định cơng suất. Đơn giản hóa
phép tính do quan sát thấy tín hiệu tuần hồn lập lại mỗi chu kỳ 2 giây (trong trường hợp
này). Vậy:
1 1
1 1
1
Pf = ò f 2 (t )dt = ò t 2 (t )dt =
2 -1
2 -1
3
Nhắc lại: cơng suất tín hiệu chính là bình phương của trị rms. Do đó, trị rms của tín hiệu
là 1 / 3 .■
■ Thí dụ 1.2:
Xác định công suất và trị rms của:
(a) f (t ) = C cos(w0t + q ) , (b) f (t ) = C1 cos(w1t + q1 ) + C2 cos(w 2t + q 2 ) (w1 ¹ w 2 ) ,
(c) f (t ) = De jw0t .
(a) Tín hiệu tuần hoàn, chu kỳ T0 = 2p / w0 . Đo lường thích hợp là cơng suất. Tín
hiệu tuần hồn, nên cơng suất là trung bình của năng lượng trong một chu kỳ
T0 = 2p / w0 . Tuy nhiên, để minh họa, ta giải theo cách lấy trung bình trong
khoảng thời gian vơ hạn, phương trình (1.3).
1 T /2 2

C2 T /2
2
Pf = lim ò C cos (w0t + q )dt = lim
[1 + cos(2w0t + 2q )]dt
T đƠ T -T / 2
T đƠ 2T ũ-T / 2
C2 T /2
C2 T /2
= lim
dt + lim
cos(2w0t + 2q )dt
T đƠ 2T ũ-T / 2
T đƠ 2T ũ-T / 2
Tha s đầu tiên của vế phải là C 2 / 2 . Hơn nữa, thừa số thứ hai triệt tiêu do tích phân
trong thừa số này là phần diện tích của tín hiệu sin trong khỗng thời gian rất lớn T v
T đ Ơ . Phn din tớch ny bng vi phần diện tích của một bán kỳ do phần diện tích
dương và âm của tín hiệu sin triệt tiêu nhau. Thừa số thứ hai là phần diện tích này nhân
C2
với C 2 / 2T vi T đ Ơ .
Rừ rng, thừa số này là zêrô, và: Pf =
(1.5a)
2


(b) Trong chương 4, ta chứng minh được là tổng hai sin có thể là tuần hồn hay
khơng tuần hồn, điều này tùy thuộc vào tỉ số w1 / w2 là hữu tỉ hay khơng, Do đó,
chưa xác định được chu kỳ của tín hiệu này. Như thế, xác định cơng suất dùng
phép lấy trung bình của năng lượng trong T giõy, vi T đ Ơ . Vy:
1 T /2
Pf = lim ò [C1 cos(w1t + q1 ) + C 2 cos(w 2t + q 2 )]2 dt

T đƠ T -T / 2
1 T /2
1 T /2
= lim ò [C12 cos 2 (w1t + q1 ) + lim ò [C22 cos 2 (w2t + q 2 ) +
T đƠ T -T / 2
T đƠ T -T / 2
2C C T / 2
= lim 1 2 ò cos(w1t + q1 ) cos(w2t + q 2 )dt
-T / 2
T đƠ
T
Tớch phõn th nhất và thứ hai của vế phải là các công suất của hai tín hiệu sin, có giá trị
là C12 / 2 và C22 / 2 như tính tốn ở phần (a). Tương tự trong phần (a), ta thấy thừa số thứ
ba triệt tiêu, sau cùng:
C2 C2
(1.5b)
Pf = 1 + 2
2
2
Và giá trị rms là (C12 + C 22 ) / 2 .
Có thể mở rộng kết quả này để tính tổng nhiều tín hiệu sin có tần số khác nhau.
Như thế, nếu
¥

f (t ) = å Cn cos(wn t + q n )
n =1

Với các tần số wn không giống nhau, thì
1 ¥ 2
å Cn

2 n=1
(c) Khi tín hiệu là phức, dùng phương trình (1.4) để tính cơng suất:
2
1 T /2
Pf = lim ũ
De jw0t dt
T đƠ T -T / 2
Pf =

2

(1.5c)

Do e jw0t = 1 nên De jw0t = D , và
Pf = D

2

2

(1.5d)

Trị rms là D . ■
Nhận xét:
Phần (b) đã chứng minh được là công suất của tổng hai tín hiệu sin thì bằng tổng
cơng suất các tín hiệu sin. Nhận thấy là cơng suất của f1 (t ) + f 2 (t ) là Pf1 + Pf 2 . Điều
không may là kết quả này không phải luôn luôn đúng, mà chỉ đúng trong một số trường
hợp (trực giao) sẽ được trình bày trong phần 3.1-3.

D Bài tập E 1.1
Chứng tõ năng lượng của các tín hiệu trong hình 1.3a, b, c và d lần lượt là 4, 1,
4/3, và 4/3. Nhận thấy khi nhân đơi tín hiệu thì năng lượng tăng gấp 4, và khi dời tín hiệu
theo thời gian khơng ảnh hưởng đến năng lượng. Chứng minh là cơng suất của tín hiệu
trong hình 1.3e là 0,4323. Tìm trị rms của tín hiệu trong hình 1.3e? Đ
D Bài tập E 1.2
Làm lại thí dụ 1.2a để tìm cơng suất tín hiệu sin C cos(w0t + q ) bằng cách lấy
trung bình năng lượng tín hiệu trong một chu kỳ T0 = 2p / w0 (thay vì lấy trung bình

trong khỗng thời gian vơ hạn). Chứng tõ là cơng suất của tín hiệu hằng f (t ) = C0 là C02
và trị rms là C0 . Ñ
D Bài tập E 1.3
Chứng tõ khi w1 = w2 , thì cơng suất của f (t ) = C1 cos(w1t + q1 ) + C2 cos(w2t + q 2 )

là [C1 + C2 + 2C1C2 cos(q1 - q 2 )] / 2 , không bằng giá trị (C12 + C22 ) / 2 . Ñ
1.2 Phân loại tín hiệu
Có nhiều lớp tín hiệu, trong tài liệu này ta chỉ quan tâm đến các lớp tín hiệu sau:
1. Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc theo thời gian
2. Tín hiệu analog và tín hiệu số
3. Tín hiệu tuần hồn và tín hiệu khơng tuần hồn
4. Tín hiệu năng lượng và tín hiệu cơng suất
5. Tín hiệu xác định và tín hiệu ngẫu nhiên


1.2-1 Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc theo thời gian
Tín hiệu xác định với mọi giá trị của thời t (hình 1.4a) được gọi là tín hiệu liên tục
theo thời gian, và tín hiệu chỉ xác định với các giá trị thời gian rời rạc (hình 1.4b) là tín
hiệu rời rạc theo thời gian. Ngõ ra của máy điện thoại và máy ghi hình là tín hiệu liên tục
theo thời gian (ngày nay, điều này là chưa đúng?!!), trong khi giá trị GNP theo quí, giá trị
bán hàng của cơng ty, và chỉ số chứng khốn từng ngày là các tín hiệu rời rạc.

1.2-2 Tín hiệu analog và tín hiệu số
Ý niệm về tín hiệu liên tục theo thời gian thường bị hiểu lầm là tín hiệu analog.
Hai ý niệm này khác nhau, tương tự như ý niệm giữa tín hiệu rời rạc và tín hiệu số. Tín
hiệu có biên độ với biên độ có thể có giá trị bất kỳ trong tầm liên tục thi được gọi là tín
hiệu analog. Điều đó có nghĩa là biên độ tín hiệu analog có thể có vơ hạn giá trị. Tín hiệu
số, thì biên độ chỉ có thể có số hữu hạn các giá trị. Tín hiệu dùng trong máy tính số là tín
hiệu số do chỉ có hai giá trị biên độ (tín hiệu nhị phân). Tín hiệu số có thể có M giá trị là
tín hiệu bậc M, trong đó nhị phân (M=2) là một trường hợp đặc biêt. Cụm từ liên tục
theo thời gian và rời rạc theo thời gian cho thấy bản chất của tín hiệu theo trục thời gian
(trục ngang). Cụm từ analog và số, thì lại cho thấy bản chất của tín hiệu theo trục biên độ
(trục dọc). Hình 1.5 vẽ tín hiệu analog rời rạc theo thời gian. Tín hiệu analog có thể


chuyển thành tín hiệu số (qua bộ chuyển đổi ADC) qua q trình lượng tử hóa (làm trịn
giá tri) như giải thích ở phần 5.1-3.

1.2-3 Tín hiệu tuần hồn và tín hiệu khơng tuần hồn
Tín hiệu f(t) là tuần hồn khi có một số hằng số dương T0
f (t ) = f (t + T0 ) với mọi giá trị t
(1.6)
Trị bé nhất của T0 thỏa điều kiện tuần hoàn (1.6) là chu kỳ của f(t). Các tín hiệu
trong hình 1.2b và 1.3e là tín hiệu tuần hồn có chu kỳ lần lượt là 2 và 1, Tín hiệu khơng
tuần hồn là tín hiệu khơng có chu kỳ. Các tín hiệu trong hình 1.2a, 1.3a. 1.3b, 1.3c và
1.3d đều là tín hiệu khơng tuần hồn.
Từ định nghĩa, tín hiệu tuần hồn f(t) khơng thay đổi khi dời một chu kỳ theo thời
gian. Do đó, tín hiệu tuần hồn phải bắt đầu từ t = -¥ , nếu khơng, giả sử khi bắt đầu từ
t = 0 , thì tín hiệu dời theo thời gian một chu kỳ f (t + T0 ) sẽ bắt đầu từ t = -T0 và
f (t + T0 ) sẽ khơng giống tín hiệu f (t ) . Như thế một tín hiệu tuần hồn phải bắt đầu tại
t = -¥ và liên tục khơng dừng, như vẽ ở hình 1.6

Một đặc tính quan trọng của tín hiệu tuần hồn f(t) là f(t) có thể được tạo ra từ
cách mở rộng tuần hoàn (periodic extension) một đoạn bất kỳ của f(t) với thời khoảng T0
(chu kỳ). Từ đó, ta có thể tạo f(t) từ bất kỳ đoạn nào của f(t) với thời khoảng một chu kỳ
bằng cách đặt đoạn này và tái tạo tín hiệu. Hình 1.7 vẽ tín hiệu tuần hồn f(t) với chu kỳ
T0 = 6. Phần tơ đen trong hình 1.7a cho thấy một đoạn của tín hiệu f(t) bắt đầu tại t = -1
và có thời khoảng một chu kỳ (6 giây). Đoạn này, khi lặp lại khơng dừng theo các hướng,
tạo ra tín hiệu tuần hồn f(t). Độc giả có thể kiểm nghiệm lại là có thể tạo với bất kỳ đoạn
nào của f(t) , thời điểm nào với thời khoảng là một chu kỳ.
Tín hiệu bắt đầu từ t = -¥ và tiếp tục khơng dừng được gọi là tín hiệu khơng
dừng (everlasting signals). Như thế, tín hiệu khơng dừng tồn tại suốt trong khỗng
- ¥ < t < ¥ . Các tín hiệu trong hình 1.1b và 1.2b là thí dụ về tín hiệu khơng dừng. Rõ
ràng là từ định nghĩa thì tín hiệu tuần hồn là tín hiệu khơng dừng.
Tín hiệu khơng bắt đầu trước khi t = 0, được gọi là tín hiệu nhân quả. Tức là, f(t)
là tín hiệu nhân quả nếu:
(1.7)
f (t ) = 0 khi t < 0
Các tín hiệu trong hình 1.3a, b, c cùng các hình 1.9a và 1.9b là các tín hiệu nhân
quả. Tín hiệu khởi đầu trước t = 0 được gọi là tín hiệu khơng nhân quả; tuy nhiên tín hiệu
khơng nhân quả trong hình 1.1 và 1.2 là tín hiệu dừng. Một tín hiệu có giá trị zêrơ với
mọi t ³ 0 được gọi là tín hiệu phản nhân quả (anticausal signal).
Nhận xét:
Rõ ràng là trong thực tế, ta không tạo ra được tín hiệu khơng dừng thực. Như thế
tại sao ta lại bận tâm đến chúng như thế? Các chương kế cho thấy một số tín hiệu (bao
gồm cả các tín hiệu không dừng sin) tuy không tạo ra được trong thực tế nhưng lại rất
hữu ích khi nghiên cứu về tín hiệu và hệ thống.
1.2-4 Tín hiệu năng lượng và tín hiệu cơng suất.
Tín hiệu có năng lượng hữu hạn gọi là tín hiệu năng lượng, và tín hiệu có cơng
suất hữu hạn và khác khơng thì được gọi là tín hiệu cơng suất. Các tín hiệu trong hình

1.2a và 1.2b lần lượt là các tín hiệu năng lượng và tín hiêu cơng suất. Nhận thấy cơng
suất chính là trung bình theo thời gian của năng lượng. Khi lấy trung bình trong khoảng


thời gian vơ hạn, tín hiệu có năng lượng hữu hạn sẽ có cơng suất bằng khơng, và tín hiệu
có cơng suất hữu hạn sẽ có năng lượng là vơ hạn. Từ đó, một tín hiệu thì khơng thể vừa là
tín hiệu cơng suất vừa là tín hiệu năng lượng. Nếu đã là tín hiệu cơng suất thì khơng thể
là tín hiệu năng lượng và ngược lại. Trường hợp tín hiệu hàm dốc là một thí dụ.
Nhận xét:
Mọi tín hiệu thực tế đều có năng lượng hữu hạn nên là tín hiệu năng lượng. Một
tín hiệu cơng suất thì cần phải có độ rộng vơ cùng; cơng suất của chúng, tức là năng
lượng trung bình trong thời khoảng lớn vơ hạn, sẽ không tiến về giới hạn (khác không).
Rõ ràng là khơng thể tạo ra được tín hiệu cơng suất thực trong thực tế do tín hiệu này có
độ rộng vô hạn và năng lượng vô hạn.
2
Đồng thời, do các tín hiệu tuần hồn có vùng diện tích của f (t ) trong một chu kỳ
là hữu hạn, nên là tín hiệu cơng suất; tuy nhiên, khơng phải mọi tín hiệu cơng suất đều là
tín hiệu tuần hồn.
D Bài tập E 1.4
Chứng minh là hàm mủ không dừng e - at khơng thể là tín hiệu năng lượng hay tín
hiệu công suất với mọi giá trị thực của a. Tuy nhiên, khi a là số phức, thì tín hiệu này lại
là tín hiệu cơng suất có cơng suất Pf = 1 , bất chấp giá trị của a. Đ

1.2-5 Tín hiệu xác định và tín hiệu ngẫu nhiên.
Một tín hiệu là tín hiệu xác định khi biết được hồn tồn mơ tả vật lý của tín
hiệu, dạng mơ tả tốn học hay dạng đồ thị. Một tín hiệu mà giá trị khơng thể dự báo được
một cách chính xác nhưng chỉ biết được các thừa số về mô tả thống kê, như trị trung bình,
trung bình bình phương, thì được gọi là tín hiệu ngẫu nhiên. Giáo trình này chưa nghiên
cứu về các tín hiệu dạng này.
1.3 Một số phép tính lên tín hiệu

Phần này trình bày ba phép tính hữu ích cho tín hiệu: phép dời, phép tỉ lệ, và phép
đảo. Do biến độc lập của tín hiệu là biến thời gian, nên các phép tính ở đây là: phép dời
theo thời gian, phép tỉ lệ theo thời gian, và phép đảo theo thời gian (phép gấp). Tuy
nhiên, phương pháp này còn dùng được cho biến độc lập dạng khác (thí dụ biến tần số
hay biến cự ly).
1.3-1 Phép dời theo thời gian.
Xét tín hiệu f(t) trong (Hình 1.8a) và tín hiệu dời T giây theo thời gian (Hình 1.8b)
được gọi là f (t ) . Thay đổi của f(t) tại thời điểm t cũng là thay đổi của f (t ) tại thời điểm
t+T. Vậy:
(1.8)
f (t + T ) = f (t )
Và
(1.9)
f (t ) = f (t - T )
Do đó, khi dời tín hiệu một khoảng T, ta thay t bằng t – T. Vậy f(t – T) biểu diễn tín hiệu
f(t) được dời một khoảng T giây. Nếu T > 0, ta có phép dời phải (phép trễ: delay). Nếu T
< 0, ta có phép dời trái (phép sớm: advanced). Do đó, f(t – 2) là phép làm trễ f(t) 2 giây
(dời phải 2 giây) và f(t + 2) là phép làm sớm f(t) 2 giây (dời trái 2 giây).


■ Thí dụ 1.3:
Hàm mủ f (t ) = e -2t vẽ ở hình 1.9a đã được là trễ 1 giây. Vẽ tìm mơ tả tốn học
của hàm này. Làm lại bài tập khi f(t) được làm sớm 1 giây.
Hàm f(t) có mơ tả tốn học như sau:
ìe -2t t ³ 0
f (t ) = í
(1.10)
ỵ 0 t<0
Gọi f d (t ) là hàm f(t) được làm trễ (dời phải) một giây như hình 1.9b. Hàm này là
f( t - 1); mơ tả tốn học có được từ f(t) bằng cách thay t bằng t – 1 vào (1.10). Vậy:

ìe-2 ( t -1) t - 1 ³ 0 hay t ³ 1
f d (t ) = í
(1.11)
t - 1 < 0 hay t < 1
ỵ 0
Gọi f a (t ) là hàm f(t) được làm sớm (dời trái) một giây như hình 1.9c. Hàm này là
f(t+1); mơ tả tốn học có được từ f(t) bằng cách thay t bằng t+1 vào (1.10). Vậy:
ìe -2( t +1) t + 1 ³ 0 hay t ³ -1
f a (t ) = í
(1.12) ■
t + 1 < 0 hay t < -1
ỵ 0
D Bài tập E 1.5
Viết mơ tả tốn học của tín hiệu f 3 (t ) của hình 1.3c. Tín hiệu này được làm trễ đi
2 giây. Vẽ tín hiệu trễ. Chứng minh tín hiệu trễ f d (t ) có thể mơ tả tốn học thành
f d (t ) = 2(t - 2) với 2 £ t £ 3 , và bằng 0 trong các trường hợp khác. Làm lại khi tín hiệu
được làm sớm 1 giây. Chứng minh tín hiệu sớm f a (t ) có thể mơ tả toán học thành
f a (t ) = 2(t + 2) với - 1 £ t £ 0 , và bằng 0 trong các trường hợp khác. Ñ


1.3-2 Phép tỉ lệ theo thời gian.
Tỉ lệ là phép nén hay giãn tín hiệu theo thời gian. Xét tín hiệu f(t) trong hình
1.10a. Tín hiệu f (t ) trong hình 1.10b là f(t) nén theo thời gian với tỉ lệ 2. Như thế, thay
đổi của f(t) tại thời điểm t cũng xuất hiện trong f (t ) tại thời điểm t/2, nên
f ( 2t ) = f (t )
(1.13)
Và
(1.14)
f (t ) = f (2t )
Do f (t ) = 0 tại thời điểm t = T1 và T2 , ta cần có f (t ) = 0 tại t = T1 / 2 và

T2 / 2 như hình 1.10b. Nếu tín hiệu f(t) được ghi vào băng từ và phát lại với tốc độ hai lần
tốc độ lúc ghi, ta sẽ có f(2t). Thơng thường, nếu f(t) được nén theo thời gian theo tỉ lệ a
( a > 1 ), tín hiệu f (t ) được cho bởi:
(1.15)
f (t ) = f (at )
Tương tự, khi tín hiệu f(t) được giãn ra theo thời gian với tỉ lệ a (a>1) thì
(1.16)
f (t ) = f ( at )
Hình 1.10c vẽ f ( 2t ) , với f(t) giãn theo thời gian với tỉ lệ 2. Trong phép tỉ lệ theo
thời gian, tại gốc t = 0, f(t)= f(at)= f(0).
Tóm lại, khi tỉ lệ tín hiệu theo thời gian với tỉ lệ a, ta thay t bằng at. Nếu a >1,
phép tỉ lệ này là phép nén theo thời gian, nếu a<1, thì phép tỉ lệ này là phép giãn theo
thời gian.


■ Thí dụ 1.4:
Hình 1.11a vẽ tín hiệu f(t). Vẽ và viết mơ tả tốn học tín hiệu sau khi nén theo
thời gian với tỉ lệ 3. Làm lại khi tín hiệu được làm giãn theo tỉ lệ 2.
Tín hiệu f(t) có thể được mơ tả theo
- 1,5 £ t < 0
ì 2
ï -t / 2
f (t ) = í2e
0£t <3
(1.17)
ï 0
otherwise
ỵ
Hình 1.11b vẽ f c (t ) , là tín hiệu f(t) được nén theo thời gian với tỉ lệ 3, nên mơ tả
tốn học là f(3t), có được bằng cách thay t bằng 3t trong vế phải của phương trình 1.17

- 1,5 £ 3t < 0 hay - 0,5 £ t < 0
ì 2
ï - 3t / 2
f c (t ) = f (3t ) = í2e
0 £ 3t < 3
hay
0 £ t <1
(1.18a)
ï 0
otherwise
ỵ
Nhận thấy là tại thời điểm t = -1,5 và 3 của f(t) tương ứng với t = -0,5 và 1 của tín
hiệu nén f(3t).
Hình 1.11c vẽ f e (t ) , là tín hiệu f(t) được giãn theo thời gian với tỉ lệ 2; nên có mơ
tả tốn học là f (t / 2) , thay t bằng t/2 trong f(t). Vậy

ì 2
ï
f e (t ) = f (t / 2) = í2e -t / 4
ï 0
ỵ

- 1,5 £ t / 2 < 0 hay - 3 £ t < 0
0£t/2< 3
hay 0 £ t < 6
otherwise

(1.18b)

Nhận thấy là tại thời điểm t = -1,5 và 3 của f(t) tương ứng với t = - 3 và 6 của tín
hiệu giãn f(t/2). ■

D Bài tập E 1.6
Chứng tõ khi nén tín hiệu sin với tỉ lệ n (n > 1) ta có tín hiệu sin với cùng biên độ
và pha, nhưng có tần số tăng n lần. Tương tự, khi giãn tín hiệu sin với tỉ lệ n (n > 1) ta có
tín hiệu sin với cùng biên độ và pha, nhưng có tần số giảm n lần. Minh họa bằng cách vẽ
tín hiệu sin 2t và các tín hiệu có từ tín hiệu này lần lượt được nén với tỉ lệ 3 và giãn với tỉ
lệ 2. Đ

1.3-3 Phép đảo theo thời gian.
Xét tín hiệu f (t ) vẽ ở hình 1.12a. Xem f (t ) là một khung đồng cứng, có khớp nối
theo trục dọc. Để thực hiện đảo f (t ) theo thời gian, ta xoay khung 1800 theo trục dọc.
Phép đảo theo thời gian hay còn gọi là phép gấp [phản chiếu của f (t ) theo trục dọc], tạo
tín hiệu f (t ) (hình 1.12b). Nhận xét thấy các thay đổi trong hình 1.12a tại thời điểm t
cũng là thay đổi ở hình 1.12b tại thời điểm - t. Vậy:

f (-t ) = f (t )


Vậy, khi thực hiện phép đảo theo thời gian, ta thay t bằng - t . Như thế, phép đảo
tín hiệu f (t ) cho tin hiệu f (-t ) . Do đó, tín hiệu phản ảnh của f (t ) theo trục dọc và
f (-t ) . Nhắc lại là tín hiệu phản ảnh của f (t ) theo trục tung là - f (t ) .

■ Thí dụ 1.5:
Xét tín hiệu f (t ) vẽ ở hình 1.13a, vẽ f (-t ) là tín hiệu đảo của f (t ) .
Giá trị của f (t ) tại các thời điểm – 1 và – 5 được ánh xạ thành các thành điểm 1 và 5 của
f (-t ) . Do f (t ) = e t / 2 , nên f (-t ) = e -t / 2 . Tín hiệu f (-t ) được mơ tả ở hình 1.13b. Có
thể mơ tả f (t ) và f (-t ) theo:
ìe t / 2

f (t ) = í
ỵ 0

-1 ³ t - 5
otherwise


Tín hiệu đảo theo thời gian f (-t ) có được bằng cách thay t bằng – t trong f (t ) là
ìe - t / 2
f (t ) = í
ỵ 0

- 1 ³ -t > -5 hay 1 £ t < 5
otherwise

■

1.3-4 Tổ hợp các phép tính.
Một số phép tính phức tạp cần thực hiện đồng thời nhiều phép tính vừa nêu.
Trong đó, f (at - b) địi hỏi thực hiện cả ba phép tính, và được thực hiện theo hai cách:
1. Dời f (t ) một đoạn b để có f (t - b) , thực hiện phép tỉ lệ a với tín hiệu
f (t - b) (tức là thay t bằng at) để có f (at - b) .
2. Thực hiện tỉ lệ a theo thời gian f (t ) , để có f (at ) . Dời tiếp f (at ) theo ba
(tức là thay t bằng (t - b / a ) để có f [a(t - b / a)] tức là f (at - b) .
Thí dụ, tín hiệu f (2t - 6) có thể được thực hiện theo hai cách: (a) trước hết, làm trễ
f (t ) đi 6 để có f (t - 6) , rồi thực hiện phép nén theo tỉ lệ 2 (thay t bằng 2t) để có
f (2t - 6) ; (b) đầu tiên, nén f (t ) theo tỉ lệ 2 để có f (2t ) , rồi làm trễ đi 3 (thay t bằng t –
3) để có f (2t - 6) .
1.4 Một số tín hiệu hữu ích
Các hàm bước, hàm xung, và hàm mủ rất hữu dụng trong lĩnh vực tín hiệu và hệ

thống. Chúng khơng chỉ biểu diễn tín hiệu, mà cịn giúp đơn giản hóa q trình khảo sát
tín hiệu và hệ thống.
1. Hàm bước đơn vị u(t)
Ta đã biết là tín hiệu nhân quả (causal) là tín hiệu bắt đầu từ t = 0 . Các tín hiệu
này có thể được mơ tả một cách thích hợp theo hàm bước đơn vị u (t ) như vẽ ở hình
1.14a và được định nghĩa là:
ì1 t ³ 0
u (t ) = í
(1.20)
ỵ0 t < 0
Nếu muốn tín hiệu bắt đầu từ t = 0 (có giá trị là 0 khi t = 0 ) thì chỉ cần nhân tín
hiệu này với u (t ) . Thí dụ, tín hiệu e - at là tín hiệu khơng dừng bắt đầu từ t = -¥ . Dạng
nhân quả của tín hiệu này, vẽ ở hình 1.14b, là dạng e - at u (t ) .
Tín hiệu bước đơn vị cịn rất hữu ích khi đặc trưng hàm với nhiều dạng mơ tả tốn
học khác nhau trong các thời khoảng khác nhau. Thí dụ các hàm được vẽ ở hình 1.11.
Các hàm này có nhiều mơ tả toán học tại các thời khoảng khác nhau, như vẽ ở hình 1.17,
1.18a, và 1.18b. Các mơ tả này thường dài dịng và khơng thích hợp cho phép xử lý tốn
học. Khi dùng hàm bước đơn vị, ta có thể mô tả các hàm này thành một biểu thức xác
định với mọi t.


Thí dụ, xét xung vng vẽ ở hình 1.15a, do tín hiệu xung vng f (t ) có thể viết
thành tổng của hai hàm bước đơn vị dời theo thời gian như hình 1.15b. Hàm bước đơn vị
u (t ) , làm trễ T giây là t (t - T ) . Theo hình 1.15b, thì:
f (t ) = u (t - 2) - u (t - 4)

■ Thí dụ 1.6:
Mơ tả tín hiệu hình 1.16a
Tín hiệu hình 1.16 có thể được chia thành hai thành phần f1 (t ) và f 2 (t ) , lần lượt
vẽ ở hình 1.16b và 1.16c. Hình 1.16b cho thấy f1 (t ) là hàm dốc t nhân với tín hiệu cổng

u (t ) - u (t - 2) . Vậy:
f1 (t ) = t[u (t ) - u (t - 2)]
Hình 1.16c cho thấy f 2 (t ) là tích của hàm có độ dốc - 2, có giá trị là - 2t + c . Hàm dốc
qua gốc 0 khi t = 0 , nên c = 6 , là - 2(t - 3) , với xung cổng là u (t - 2) - u (t - 3) . Vậy:
f 2 (t ) = -2(t - 3)[u (t - 2) - u (t - 3)]
Và
f (t ) = f1 (t ) + f 2 (t )
= t[u (t ) - u (t - 2)] - 2(t - 3)[u (t - 2) - u (t - 3)]
■
= tu (t ) - 3(t - 2)u (t - 2) + 2(t - 3)u (t - 3)


■ Thí dụ 1.7:
Biểu diễn tín hiệu trong hình 1.11a dùng một biểu thức xác định với mọi t.
Trong khoảng từ -1,5 đến 0, tín hiệu là hằng số 2, và từ 0 đến 3, có giá trị là 2e - t / 2 .
Vậy:
f (t ) = 2[u (t + 1,5) - u (t )] + 2e -t / 2 [u (t ) - u (t - 3)]
= 2u (t + 1,5) - 2(1 - e -t / 2 )u (t ) - 2e - t / 2u (t - 3)
So sánh biểu thức này với trường hợp phương trình 1.17
■
D Bài tập E 1.7
Chứng tõ là các tín hiệu mơ tả trong hình 1.17a và 1.17b có thể biểu diễn lần lượt
theo u (-t ) và e - at u (-t ) . Ñ
D Bài tập E 1.8
Chứng tõ là các tín hiệu mơ tả trong hình 1.18 có thể mơ tả thành:
f (t ) = (t - 1)u (t - 1) - (t - 2)u (t - 2) - u (t - 4) . Ñ


2. Hàm xung đơn vị d (t )
Xung đơn vị là một trong những hàm rất quan trọng để nghiên cứu về tín hiệu và hệ

thống, được P.A.M Dirac định ngha theo:
d (t ) = 0
tạ0

ũ

Ơ

-Ơ

d (t )dt = 1

(1.21)

Cú thể xem xung đơn vị là một xung vuông rất cao, có độ rộng rất hẹp và diện tích là
đơn vị, vẽ ở hình 1.19b. Độ rộng xung rất hẹp và là e ® 0 với độ cao là 1 / e . Do đó, có
thể xem xung đơn vị như xung vng có độ rộng cực kỳ bé, cao độ cực kỳ lớn và tổng
diện tích xung ln là đơn vị. Vậy d (t ) = 0 tại mọi t ¹ 0 và vơ cùng lớn tại t = 0 , được
vẽ ở hình 1.19a.
Các dạng xung khác, như xung dạng mủ, xung tam giác hay dạng hàm Gauss cũng có
thể được dùng xấp xỉ hàm xung. Đặc tính quan trọng của xung đơn vị khơng nằm ở hình
dạng xung, mà do độ rộng xung tiến về không trong khi diện tích được giữ khơng đổi.
Thí dụ, trường hợp xung hàm mủ ae -at u (t ) vẽ ở hình 1.20a càng trở nên cao và hẹp dần
khi a tng. Ti gii hn a đ Ơ , cao ca xung đ Ơ , v rng đ 0 . Trong khi đó,
phần diện tích của xung đơn vị luôn là đơn vị, bất chấp giá trị của a do:

ị

¥

ae -at dt = 1

-¥

(1.22)

Tương tự cho các xung trong hình 1.20b và 1.20c.
Từ phương trình (1.21), cho thấy hàm kd (t ) = 0 với mọi t ¹ 0 , và có điện tích là
k. Vậy kd (t ) là hàm xung có diện tích là k (khác với xung đơn vị, có diện tích là 1).


Phép nhân hàm với xung đơn vị
Xét trường hợp nhân hàm f (t ) (liên tục tại t = 0) với hàm d (t ) . Do xung chỉ tồn
tại tại t = 0, và giá trị của f (t ) tại t = 0 là f (0) , ta có:
(1.23a)
f (t )d (t ) = f (0)d (t )
Tương tự, nếu nhân f (t ) với xung d (t - T ) , (xung tại vị trí t = T), thì
(1.23b)
f (t )d (t - T ) = f (T )d (t - T )
Cho thấy là f (t ) là liên tục tại t = T .
Đặc tính lấy mẫu của hàm xung đơn vị
Tử phương trình (1.23a):

ị

¥

-¥

¥

f (t )d (t )dt = f (0) ò d (t )dt = f (0)
-¥

(1.24a)

Cho thấy là f (t ) liên tục tại t = 0. Điều này có nghĩa là vùng diện tích của tích một
hàm với xung đơn vị d (t ) thì bằng với giá trị hàm này tại thời điểm tồn tại của xung đơn
vị. Đặc tính này rất quan trọng và hữu dụng, và được gọi là đặc tính lấy mẫu hay đặc
tính sàng lọc (sifting) của xung đơn vị.
Từ phương trình (1.23b):

ị

¥

-¥

f (t )d (t - T )dt = f (T )

(1.24b)

Phương trình (1,24b) là một dạng khác của đặc tính lấy mẫu hay đặc tính sàng lọc.
Trong trường hợp phương trình (1.24b) thì xung d (t - T ) tồn tại ở t = T . Như vậy, diện
tích do f (t )d (t - T ) là f (T ) , giá trị của f (t ) tại thời điểm mà xung tồn tại (tại t = T ) với
giả sử là hàm là liên tục tại thời điểm tồn tại của xung.