PHƯƠNG TRINH, ĐƯỜNG lối CHUNG để GIẢI một PHƯƠNG TRÌNH

ĐAI HOC THAI NGUYÊN
ĐAI HOC KHOA HOC

PHẠM HÙNG CƯỜNG

PHƯƠNG TRINH, ĐƯỜNG LỐI CHUNG
ĐỂ GIẢI MỘT PHƯƠNG TRÌNH

LUÂN VĂN THAC SI PHƯƠNG PHAP TOAN SƠ CÂP

Thái Nguyên - Năm 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐAI HOC THAI NGUYÊN
ĐAI HOC KHOA HOC

PHẠM HÙNG CƯỜNG

PHƯƠNG TRINH, ĐƯỜNG LỐI CHUNG
ĐỂ GIẢI MỘT PHƯƠNG TRÌNH
CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP
MÃ SỚ: 60.46.40

LN VĂN THAC SI CHUN NGÀNH PP TOÁN SƠ
CẤP NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. Tiến sĩ: Nguyễn Minh Hà
Trường THPT Chuyên – ĐHSP Hà Nội

Thái Nguyên - Năm 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




MỤC LỤC

Trang

Lời nói đầu……………………………………………………………...

2

Chƣơng 1: ĐỊNH NGHĨA PHƢƠNG TRÌNH…………………………

3

1.1. Định nghĩa bằng khái niệm biểu thức chứa ẩn…………………….

3

1.1.1. Đẳng thức..............................................................................

3

1.1.2. Phƣơng trình..........................................................................

3

1.2. Định nghĩa bằng khái niệm hàm số...................................................

4

1.2.1. Mệnh đề, mệnh đề chứa biến.................................................

4

1.2.2. Hàm số ..................................................................................

4

1.2.3. Phƣơng trình một ẩn...............................................................

5

1.3. Nhận xét ...........................................................................................

5

Chƣơng 2: ĐƢỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI MỘT PHƢƠNG TRÌNH.

7

2.1. Bài tốn tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện………………………...

7

2.2. Bài tốn giải phƣơng trình………………………………………

8

2.2.1. Đƣờng lối chung để giải một phƣơng trình – Các ví dụ .

9

2.2.2. Phƣơng trình hệ quả, phƣơng trình tƣơng đƣơng…………..

13

2.2.3. Phƣơng trình tham số……………………………………….

17

2.3. Đặt điều kiện trong bài tốn giải phƣơng trình……………………

20

2.3.1. Tập xác định của phƣơng trình– Điều kiện của phƣơng trình

20

2.3.2. Hệ lụy của khái niệm tập xác định của phƣơng trình – điều
kiện xác định của phƣơng trình………………………………………..

20

2.3.3. Đặt điều kiện với phƣơng pháp biến đổi hệ quả và thử lại…

29

2.3.4. Đặt điều kiện với phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng……..

35

2.4. Đặt điều kiện trong bài toán rút gọn biểu thức, bài toán chứng
minh hằng đẳng thức………………………………………………….

39

Kết luận…………………………………………………………………

43

Danh mục tài liệu tham khảo…………………………………………..

44

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1




LƠI NOI ĐÂU
“Phƣơng trình” là một vần đề quan trọng trong chƣơng trình tốn phổ
thơng, xung quanh khái niệm “ Phƣơng trình” có rất nhiều vấn đề đáng quan tâm.

Đƣơng nhiên, vấn đề đƣợc quan tâm nhất vân là các kỹ thuật giải phương trình .
Tuy nhiên, vì quá quan tâm tới kĩ thật giải phƣơng trình nên chúng ta (SGK và
những ngƣời giáo viên tốn) thƣờng khơng chú ý tới các vấn đề khác: định nghĩa
phương trình, đường lối chung để giải một phương trình. Với các em học sinh,
tình trạng trên dẫn đến một hệ quả tất yếu: chỉ thấy cây mà không thấy rừng. Rất
nhiều học sinh không trả lời đƣợc các câu hỏi đại loại nhƣ: “1=2 là đẳng thức
hay là phƣơng trình?”; “Mục đích của việc đặt điều kiện trong khi giải phƣơng
trình?” ….
Chính vì lẽ đó, em chọn cho mình đề tài luận văn:
“ Phƣơng trình, đƣờng lối chung để giải một phƣơng trình”
Luận văn nhằm phân tích 2 cách định nghĩa phƣơng trình trong
chƣơng trình Tốn phổ thơng để từ đó đƣa ra nhận xét nên sử dụng cách định
nghĩa nào thuận lợi cho việc giải phƣơng trình ở phổ thơng. Hình thành các
phƣơng pháp tổng quát giải phƣơng trình quen thuộc từ bài tốn tìm đối tƣợng
thoả mãn điều kiện. Phân tích vai trị của bƣớc đặt điều kiện khi giải phƣơng
trình và đặt điều kiện nhƣ thế nào cho đơn giản và thuận lợi.
Em xin chân thành cảm ơn TS Nguyên

Minh Ha đa tân tinh hƣơng dân

, chỉ bảo em trong quá trình viết luận văn. Đồng thời em cũng xin đƣợc cảm
ơn nhà trƣờng và các thầy giáo, cô giáo đã tao điêu kiên thuân lơi đê em hoàn
thành luận văn này.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2

Chƣơng 1
ĐỊNH NGHĨA PHƢƠNG TRÌNH
Trong chƣơng trình tốn phổ thơng khái niệm phƣơng trình đƣợc định
nghĩa hai lần bằng hai cách khác nhau.
1.1. Định ng hĩa bằ ng khái niệ m biể u t hứ c c hứ a ẩ n
1.1.1. Đẳng thức
Hai biểu thức nối với nhau bởi một dấu bằng đƣợc gọi là đẳng thức.
Mỗi một biểu thức nói trong định nghĩa trên đƣợc gọi là một vế của đẳng
thức.
Dƣới đây là một vài ví dụ.
2 = 2 (đẳng thức đúng).
1 = 2 (đẳng thức sai).
5x + 1 = 5 (đẳng thức, có thể đúng hoặc sai tuỳ theo giá trị của biến x).
2

3

4

3x +xy = 5zy +z (đẳng thức có thể đúng hoặc sai tuỳ theo giá trị của
biến x, y, z).
Chú ý:
Việc biết một đẳng thức đúng hay sai nói chung là khơng đơn giản, bởi vì
sẽ có những biểu thức rất phức tạp nên để xét sự bằng nhau của chúng hồn tồn
khơng dễ dàng.
Nhƣ vậy câu hỏi “1 = 2 là phƣơng trình hay đẳng thức?” đã đƣợc trả lời.
Câu trả lời là: “1 = 2” là đẳng thức (đẳng thức sai) và cũng là phƣơng trình
(phƣơng trình vơ nghiệm).
1.1.2. Phƣơng trình

Hai biểu thức có chứa các đại lƣợng chƣa biết (gọi là ẩn) nối với nhau bởi
một dấu bằng đƣợc gọi là phƣơng trình.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3




Mỗi biểu thức nói trong định nghĩa trên đƣợc gọi là một vế của phƣơng
trình.
Những giá trị của ẩn làm cho phƣơng trình trở thành đẳng thức đúng đƣợc
gọi là nghiệm của phƣơng trình.
Dƣới đây là một vài ví dụ.
2 = 2 (phƣơng trình nhận mọi giá trị của ẩn làm nghiệm).
1 = 2 (phƣơng trình vơ nghiệm).
5x + 1 = 5 (phƣơng trình (ẩn x) có duy nhất nghiệm x =
2

3

4
).
5

4

3x +xy = 5zy +z (phƣơng trình ba ẩn x, y, z phƣơng trình này có nhiều
nghiệm, (x, y, z)=(0, 0, 0) là một nghiệm của nó).
Trừ một số loại phƣơng trình đã đƣợc giới thiệu trong chƣơng trình tốn

phổ thơng, nhìn chung việc tìm các nghiệm của một phƣơng trình là khơng đơn
giản.
1.2. Định ng hĩa bằ ng khái niệ m hàm s ố
1.2.1. Mệnh đề, mệnh đề chứa biến
Một câu khẳng định đúng hoặc sai đƣợc gọi là một mệnh đề.
Câu khẳng định đúng đƣợc gọi là một mệnh đề đúng.
Câu khẳng định là sai đƣợc gọi là một mệnh đề sai.
Mệnh đề chứa một hay nhiều biến nhận giá trị trong một tập X nào đó và
tính đúng sai của chúng tùy thuộc vào giá trị cụ thể của các biến đó đƣợc gọi là
mệnh đề chứa biến.
1.2.2. Hàm số
Cho tập số thực khác rỗng D. Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt
tƣơng ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số, kí hiệu là f(x). Số f(x) đƣợc


gọi là giá trị của f tại x. Tập D đƣợc gọi là tập xác định (hay miền xác định), x
đƣợc gọi là biến số hay đối số của f.
1.2.3. Phƣơng trình một ẩn
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có tập xác định lần lƣợt là Df và Dg.
Đặt D là giao của Df và Dg.
Mệnh đề chứa biến “ f(x) = g(x)” đƣợc gọi là phƣơng trình một ẩn, x gọi là
ẩn số, D đƣợc gọi là tập xác định của phƣơng trình. Số x0 thuộc D đƣợc gọi là
nghiệm của phƣơng trình f(x) = g(x) nếu “f(x0) = g(x0)” là mệnh đề đúng.
1.3. Nhậ n xé t
Với các em học sinh phổ thông, định nghĩa nào trong hai định nghĩa trên là
hợp lí? Ta hãy cùng phân tích để tìm câu trả lời.
Trong lịch sử tốn học, khái niệm “Phƣơng trình” có trƣớc khái niệm
“Hàm số”. Nói cách khác, khơng có khái niệm hàm số, lồi ngƣời đã biết định
nghĩa phƣơng trình (một cách chặt chẽ) bằng khái niệm đẳng thức chứa ẩn.
Tất cả các loại phƣơng trình đƣợc đề cập đến trong chƣơng trình Tốn phổ

đều có thể định nghĩa bằng khái niệm đẳng thức chứa ẩn.
Định nghĩa bằng khái niệm hàm số mở rộng thêm lớp các phƣơng trình.
Ví dụ, phƣơng trình f(x) = g(x), trong đó f(x) = 

2x − 1 khi x ≥ 1

x + 3x − 2 khi x <
1
2

2

và g(x) = x –

x + 3, chỉ có thể định nghĩa bằng khái niệm hàm số chứ không thể định nghĩ
bằng khái niệm đẳng thức chứa ẩn. Tuy nhiên, trong SGK đại số 10, 11, 12
khơng có một ví nào đại loại nhƣ ví dụ trên, do đó, đa số học sinh không thể thấy
đƣợc ý nghĩa của sự mở rộng nói trên.
Định nghĩa phƣơng trình bằng khái niệm hàm số rất dễ dẫn đến khái niệm
tập xác định của phƣơng trình và trên thực tế, trong SGK đại số 10 đã có khái
niệm này.


Khi đƣa ra một khái niệm toán học mới, tác giả của khái niệm trƣớc hết
phải trả lời đƣợc câu hỏi “Để làm gì?”. Hình nhƣ tác giả của khái niệm tập xác
định chƣa nghĩ tới việc trả lời câu hỏi trên.
Sự xuất hiện của khái niệm tập xác của phƣơng trình – điều kiện của
phƣơng trình sẽ kéo theo một quan niệm sai lầm: trước khi giải phương trình cần
phải tìm tập xác định của phương trình – điều kiện của phương trình.
Vì định nghĩa bằng khái niệm hàm số nên SGK đại số 10 rơi vào tình trạng

tiền hậu bất nhất: định nghĩa phƣơng trình một ẩn bằng khái niệm hàm số, định
nghĩa phƣơng trình nhiều ẩn bằng khái niệm biểu thức chứa ẩn. Rất phản sƣ
phạm!
Tất cả các lập luận trên giúp ta đi đến khẳng định: nhiều bài tốn giải
phƣơng trình ta khơng nhất thiết phải tìm tập xác định, điều kiện ngay khi bắt tay
vào giải, ta có thể thực hiện bƣớc tìm điều kiện nhƣ một bƣớc trong lời giải.
Khẳng định trên sẽ đƣợc minh hoạ cụ thể bởi các ví dụ trong mục 2.3.2.


Chƣơng 2
ĐƢỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI MỘT PHƢƠNG TRÌNH
2.1. Bài tốn tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện
Bài tốn tìm đối tượng thoả mãn điều kiện là bài toán quen thuộc với tất cả
chúng ta. Về hình thức, nó đƣợc phát biểu nhƣ sau.
Tìm tất cả các đối tƣợng A(a ).
Kí hiệu A(a ) biểu thị đối tƣợng A có tính chất a .
Cùng với kí hiệu A(a ), ta cịn dùng kí hiệu A(a ) để biểu thị đối tƣợng A
khơng có tính chất a .
Các kí hiệu A(a ) và A(a ) có hiệu lực trong tồn bộ luận văn này.
Trong bài tốn tìm đối tƣợng thoả mãn điều kiện, thuật ngữ “tìm” cần phải
hiểu là “tìm hết” chứ khơng phải là “tìm đƣợc”. Nói một cách chính xác, tìm tập
hợp {A A(a )}.
Bài tốn tìm đối tượng thoả mãn điều kiện chỉ có ba phƣơng pháp giải,
đƣợc mơ hình hố nhƣ sau.
Phƣơng pháp 1: biến đổi hệ quả và thử lại*.
Bƣớc 1: biến đổi hệ quả*. A(a ) ị A ẻ T.
Bc 2: th li*. A ẻ T Þ A(a ).
Phƣơng pháp 2: biến đổi tương đương*. A(a ) Û A Ỵ T.
Chú ý:
Về phƣơng diện logic, phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng cũng chính là

phƣơng pháp biến đổi hệ quả và thử lại. Tuy nhiên, trong lời giải mỗi bài tốn
tìm kiếm đối tượng thoả mãn điều kiện cụ thể, sử dụng phƣơng pháp nào trong
hai phƣơng pháp trên là vấn đề khơng đơn giản địi hỏi ngƣời giải tốn phải có kĩ
năng.


Phƣơng pháp 3: đoán nhận và khẳng định*.
Bƣớc 1: đoán nhận*. Bằng một cách nào đó chỉ ra rằng T Ð {A(a )}.
Bƣớc 2: khẳng định*. A Ï T Þ A(a ). A ẻ T ị A(a ).
Chỳ ý:
Nu s dụng phƣơng pháp đốn nhận và khẳng định thì ta phải có cơng
đoạn đốn nhận tập hợp T trƣớc khi tiến hành thao tác khẳng định: chứng minh
A Ỵ T Þ A(a ).

Nhƣ vậy, phƣơng pháp đoán nhận và khẳng định không tự nhiên bằng
phƣơng pháp biến đổi hệ quả và thử lại.
Vì lí do trên, phương pháp đốn nhận và khẳng định ít đƣợc sử dụng hơn
phƣơng pháp biến đổi hệ quả và thử lại.
Cần phải nói thêm rằng, để giải bài tốn tìm đối tƣợng thoả mãn điều
kiện, về phƣơng diện lôgic, song hành với các phƣơng pháp 1, 3 cịn có hai
phƣơng pháp giải khác, đƣợc mơ hình hố nhƣ sau.
Phƣơng pháp 1’, bao gồm hai bƣớc.
Bƣớc 1. A Ï T Þ A(a ).
Bƣớc 2. A(a ) Þ A Ï T.
Phƣơng pháp 3’, bao gồm hai bƣớc.
Bƣớc 1. A(a ) ị A ẻ T.
Bc 2. A(a ) Þ A Ï T.
Tuy nhiên, trong thực tế giải toán, để giải các bài tốn tìm đối tƣợ ng thoả
mãn điều kiện, ngƣời ta chỉ sử dụng các phƣơng pháp 1, 2, 3, các phƣơng pháp
1’, 3’ không bao giờ đƣợc sử dụng.

2.2. Bài tốn giải phƣơng trình
2.2.1. Đƣờng lối chung để giải một phƣơng trình – Các ví dụ


Giải phƣơng trình tức là tìm hết các nghiệm của phƣơng trình.
Nhƣ vậy bài tốn giải phƣơng trình là một trong các bài tốn tìm đối tượng
thoả mãn điều kiện. Do đó, về phƣơng diện logic nó chỉ có thể đƣợc giải bởi một
trong ba phƣơng pháp sau: biến đổi hệ quả và thử lại; biển đổi tương đương;
đoán nhận và khẳng định.
Các ví dụ dƣới đây là sự cụ thể hố ba phƣơng pháp trên.
Ví dụ 2.2.1.1. Biến đổi hệ quả và thử lại.
Giải phƣơng trình sau.
2x + x − 3 =
16

Lời giải.

(1).

Bƣớc 1: biến đổi hệ quả.
Giả sử x0 là nghiệm của (1). Ta thấy:
x0 - 3 = 16 - 2x
0

là đẳng thức đúng

Þ x0 - 3 = (16 2x )2
0

2

Þ x0 - 3 = 256 - 2x0 + 4x0
Þ 4x02 - 65x0 + 256 = 0
éx0 = 7
ê
Þ ê
37
x0 =
êë
4

Bƣớc 2, thử lại.
Với x0 = 7 thay vào phƣơng trình (1): 2.7 + 7 − 3 =
phƣơng trình.

16

nên 7 là nghiệm của


Với x 0 =

37
37
37
37
thay vào vế trái phƣơng trình (1): 2. +
− 3 ≠ 16 nên
4
4

4
4

không là nghiệm của phƣơng trình.
Kết luận.
Phƣơng trình (1) có nghiệm là 7.
Ví dụ 2.2.1.2 Biến đổi tương đương.
Giải phƣơng trình sau.
x - 1 = - x(x - 3)

(1).

Lời giải.
Cách 1.
Ta thấy: x0 là nghiệm của (1)
Û x 0 - 1 = - x 0 (x 0 - 3)

là đẳng thức đúng

éíï x 0 - 1 = - x (x - 3)
0
0
ờỡ
ờ

1
0
ờùợùx -0
ờ
là tuyển hai hệ đẳng thức và bất đẳng thức đúng

ờùớ - (x0 - 1) = - x 0 (x 0 - 3)
êì
ê ïỵ x 0 - 1 < 0
ë
éíï x 2 - 2x - 1 = 0
0
êïì 0
ê
êï ỵ x 0 1
ờ
là tuyển hai hệ đẳng thức và bất ®¼ng thøc ®óng
êíï x 2 + 4x + 1 = 0
0
êïì 0
ê
êëïỵ x 0 < 1
éíï éx = 1 + 2
êï ê 0
êï ê
êì ê x 0 = 1- 2
êï ở
ờ
x 0 1
ờ ùờùợ
là tuyển hai hệ đẳng thức và bất đẳng thức đúng
ờùớ ộ x = - 2 + 3
êï ê 0
êïì ê
ê êëx 0 = - 2 -3
êï

êï x 0 < 1
ë


éx = 1 + 2
ê0
ê
Û êx 0 = - 2 + 3 là tuyển ba đẳng thức đúng.
ờ
x = - 2- 3
ëê 0

Kết luận.
Phƣơng trình có nghiệm là 1+ 2.; - 2 + 3; - 2 - 3.
Cách 2.
Trƣờng hợp 1. x 0 − 1 ≥ 0.
Ta thấy:
x0 là nghiệm của phƣơng trình
Û x 0 - 1 = - x 0 (x 0 - 3)

là đẳng thức đúng

Û x20 - 2x - 1 = 0 là đẳng thức đúng
0
éx = 1 + 2
Û êê 0
là tuyển hai đẳng thức đúng
êëx 0 = 1- 2

Kết hợp với điều kiện x 0 − 1 ≥ ta thấy:

0,

x0 là nghiệm của phƣơng trình
Û x = 1+ 2
0

là đẳng thức đúng.

Trƣờng hợp 2. x 0 − 1 < 0.
Ta thấy:
x0 là nghiệm của phƣơng trình
Û - (x 0 - 1) = - x 0 (x 0 - 3)

là đẳng thức đúng

Û x20 + 4x0 + 1 = 0 là đẳng thức đúng
éx = - 2 + 3
Û êê 0
là tuyển hai đẳng thức đúng
êëx 0 = - 2 - 3

Kết hợp với điều kiện x 0 − 1 < 0,


ta thấy:


x0 là nghiệm của phƣơng trình

Kết luận.

éx = - 2 + 3
Û êê 0
là tuyển hai đẳng thức đúng
êëx 0 = - 2 3
-

Kết hợp cả hai trƣờng hơp, ta thấy phƣơng trình có ba nghiệm là 1 + 2 ,
−2 + 3, − 2 − 3.

Nhận xét.
Để phân biệt cách 1 và cách 2, ngƣời ta nói cách 1 là biến đổi tương
đương, cách 2 là biến đổi tương đương trong điều kiện.
Ví dụ 2.2.1.3. đốn nhận và khẳng định.
Giải phƣơng trình sau trong (0, +∞).
x

x

= 10

x− x

(1).

Lời giải.
Bƣớc 1, đoán nhận
Dễ nhận thấy x = 1 là nghiệm của (1).
Bƣớc 2, khẳng định
x

x
2
2
Khi x > 1, ta có x > 1 =1 và x > x, do đó x – x < 0, suy ra 10x− x

2

10

điều đó có nghĩa là 10
x

x−

2

<

=1,

0

x


Vậy (1) khơng có nghiệm khi x > 1.
x

x

2

2

Khi 0 < x < 1, ta có x < 1 =1 và x < x, do đó x – x > 0, suy ra
2

10

x− x

0

2

x

> 10 = , điều đó có nghĩa là 10x− x > x .
1

2


Vậy (1) khơng có nghiệm khi 0 < x < 1. Kết
luận. x = 1 là nghiệm của phƣơng trình (1) Ví
dụ 2.2.1.4. đốn nhận và khẳng định.


(

5

)

x- 1+ 1 = 4 2- x

(1).

Lời giải.
Vì các số dƣới căn bậc chẵn phải nhận giá trị không âm nên 1 < x < 2.
5

Vì 1 < x < 2 nên 4 2 - x < 1 < ( x - 1 + 1) .
Kết luận.
Phƣơng trình (1) vơ nghiệm.
Chú ý.
Vì phƣơng trình vơ nghiệm nên trong lời giải trên khơng có bƣớc đốn
nhận mà chỉ có bƣớc khẳng định.
2.2.2. Phƣơng trình hệ quả, phƣơng trình tƣơng đƣơng
Lời giải của ví dụ 2.2.1.1 là lời giải chuẩn bằng phƣơng pháp biến đổi hệ
quả và thử lại, lời giải của ví dụ 2.2.1.2 là lời giải chuẩn bằng phƣơng pháp biến
đổi tƣơng đƣơng. Tuy nhiên, cả hai lời giải trên đều qúa rƣờm rà. Để khắc phục
tình trạng trên, sử dụng các khái niệm của lí thuyết tập hợp, ngƣời ta đƣa ra hai
khái niệm: phƣơng trình hệ quả, phƣơng trình tƣơng đƣơng.
Nếu tập nghiệm của phƣơng trình f(x) = g(x) nằm trong tập nghiệm của
phƣơng trình F(x) = G(x) thì phƣơng trình F(x) = G(x) đƣợc gọi là phƣơng trình
hệ quả của phƣơng trình f(x) = g(x).
Để biểu thị F(x) = G(x) là hệ quả của f(x) = g(x), ta viết:
f(x) = g(x) ⇒ F(x) = G(x).

Nếu tập nghiệm của phƣơng trình f(x) = g(x) bằng tập nghiệm của
phƣơng trình f(x) = g(x) thì ta nói phƣơng trình f(x) = g(x) và phƣơng trình
F(x) = G(x) là hai phƣơng trình tƣơng đƣơng.
Để biểu thị f(x) = g(x) và f(x) = g(x) tƣơng đƣơng, ta viết:
f(x) = g(x) ⇔ F(x) = G(x).


Đƣơng nhiên f(x) = g(x) ⇔ F(x) = G(x) khi và chỉ khi f(x) = g(x) ⇒ F(x)
= G(x) và F(x) = G(x) ⇒ f(x) = g(x).
Hãy chú ý tới sự hồn hảo của kí hiệu, dấu ⇔ bao gồm hai dấu: ⇒ và ⇐ .
Nhờ các khái niệm phƣơng trình hệ quả và phƣơng trình tƣơng đƣơng, lời
giải của các ví dụ 2.2.1.1 và 2.2.1.2 đƣợc thể hiện đơn giản hơn.
Ví dụ 2.2.2.1. (giải lại bằng khái niệm phƣơng trình hệ quả).
Giải phƣơng trình sau.
2x + x − 3 =
16

Lời giải.

(1)

Bƣớc 1, biến đổi hệ quả
x - 3 = 16 - 2x
Þ x - 3 = (16 - 2x)2

Þ x - 3 = 256- 2x + 4x2
Þ 4x2 - 65x + 256 = 0
éx = 7
ê
Þ ê 37

x=
êë
4

Bƣớc 2, thử lại.
Khi x = 7, vế trái của (1) = 2.7 + 7 − 3 =
16

nghiệm của phƣơng trình (1).
Khi x =

37
4

vế trái của (1) = 2.

37
37
+
− 3 ≠ 16 = vế phải của (1). Do đó
4
4

37
khơng là nghiệm của phƣơng trình.
4

Kết luận.
Phƣơng trình có nghiệm là 7.

= vế phải của (1). Do đó 7 là


Lời giải.
Ví dụ 2.2.2.2. (Giải lại bằng khái niệm phƣơng trình tƣơng đƣơng).
Giải phƣơng trình sau.
x - 1 = - x(x - 3).

(1)

Lời giải.
Cách 1.
x - 1 = - x(x - 3)

éíï x - 1 = - x(x - 3)
êì
êïï x - 1 ³ 0
ïỵ
Û êê
íê - (x - 1) = - x(x - 3)
êì
êëïỵ x - 1 < 0
éíï x 2 - 2x - 1 = 0
ê
ê ïì x ³ 1
êïỵ
Û ê 2
êïí x + 4x + 1 = 0
êì
ê ïỵ x < 1

ë
éíï é
2
êï ê x = 1 +
êï ê
êìëêx = 1- 2
êï
êï x ³ 1
Û êê
êíï éêx = - 2 + 3
êï
êì ê x = - 2 -3
ê êë
êï
ë x<1
éx = 1 + 2
ê
ê
Û êx = - 2 + 3
ê
x= - 2- 3
ëê

Kết luận.
Phƣơng trình có nghiệm là 1+ 2.; - 2 + 3; - 2 - 3.


Cách 2.
Trƣờng hợp 1. x −1 ≥ 0.
Ta thấy:

x - 1 = - x(x - 3)
Û x - 1 = - x(x - 3)
Û x2 - 2x - 1 = 0
éx = 1 + 2
Û êê
êëx = 1- 2

Kết hợp với điều kiện x −1 ≥ 0, ta thấy x = 1 + 2 là nghiệm của (1).
Trƣờng hợp 2. x −1 < 0.
x - 1 = - x(x - 3)
Û - (x - 1) = - x(x - 3)
Û x2 + 4x + 1 = 0
éx = - 2 + 3
Û êê
êëx = - 2 - 3

Kết hợp với điều kiện x −1 < 0, ta thấy x = - 2 + 3, x = - 2
nghiệm của (1).

3 là các

-

Kết luận.
Kết hợp cả hai trƣờng hơp, ta thấy phƣơng trình có ba nghiệm là 1 + 2 ,
−2 + 3, − 2 − 3.

Nhận xét.
Cách 1 vẫn đƣợc gọi là biến đổi tương đương, cách 2 vẫn đƣợc gọi là

biến đổi tương đương trong điều kiện.


2.2.3. Phƣơng trình tham số
Phƣơng trình tham số là phƣơng trình có chứa những số đã biết nhƣng chƣa
cụ thể (tham số).
2

Ví dụ (m + 1)x – 3 = 0 là một phƣơng trình ẩn x chứa tham số m; trình y –
2y + t = 0 có thể đƣợc coi là một phƣơng trình ẩn y chứa tham số t.
Giải và biện luận phƣơng trình chứa tham số nghĩa là giải một họ các
phƣơng trình (mỗi giá trị cụ thể của tham số cho ta một phƣơng trình trong họ).
Ví dụ 2.2.3.1:
Giải và biện luận phƣơng trình tham m:

x−m = x−2

(1)

Lời giải:
x −
m

= x − 2

x − 2 ≥ 0
⇔ 
= ( x − 2) 2
x −
m

x ≥ 2
⇔  2
x − 5x + m + 4 = 0
x ≥ 2

5 2
9
⇔
(x −
) =
− m
2
4


x ≥ 2
9
5

− m
x −
=

2
4
5
9

x −
= −

− m
2
4







m ≤

9
4



 x ≥ 2

5
 x
=

+

2

 m ≤ 9



4
⇔ 
 x ≥ 2


5

x =

−
2


9
m ≤
4


9
4

9

− m

− m

4

 5

9
+

− m ≥ 2
4
 2

9
5
 x =
+
− m
2
4


9
m ≤
4

⇔  
9
 5
− m ≥ 2
−

4
 2

5

9
x =
− m
−

2
4

9

 m ≤ 4
 
 1
9
+

− m ≥ 0
4
 2

9
5
 x =
+
− m
2
4


9

m ≤
4

⇔  
9
 1
− m
≥

2
4


5
9
x =
− m
−

2
4

 m ≤ 9



 

4


9
 m ≤
4



5
9
+
− m
x =
2
4


9
⇔ 
m ≤
4

9
 1
 4 ≥ 4 − m


9
5
− m

x
=
−


2
4


9
 m ≤
4



9
5
 x = 2 + 4

⇔ 
9
 m ≤
4


 m ≥ 2

5

9

−
x =
4
2
 

9
 m ≤
4



5 + 9
 x =
4

2
⇔ 

9
 2 ≤ m ≤
4



5
9
x =
−
2

4
 

Kết luận:
Khi m >

9
thì phƣơng trình (1) vơ nghiệm.
4

Khi 2 ≤ m ≤

9
thì phƣơng trình (1) có hai nghiệm là:
4