Rèn luyện học sinh lớp 12 kĩ năng giải bài toán thể tích khối đa diện

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NAM TRƯỚNG THPT
LẾ QUY ĐÔN

ĐỀ TÀI:

RÈN LUYỆN HỌC SINH LỚP 12 KĨ NĂNG
GIẢI BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỚI ĐA DIỆN

Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Lam
rri

Á rri r

Tô Toán
Trường THPT Lê Quý Đôn

Năm học: 2011 -2012


1

L TÊN ĐÈ TÀI:
RÈN LUYÊN HỌC SINH LỚP 12 KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN THỂ TÍCH
KHỐI ĐA DIỆN
II. ĐẶT VẤN ĐÈ:
Bài toán tính thể tích khối đa diện và thể tích khối ừòn xoay chiếm phần lớn
thời lượng kiến thức ừong chương ừình Hình học lớp 12. Tuy nhiên, đối với
học sinh lớp 12, khi gặp dạng toán này đa số các em gặp nhiều lúng túng khi
giải quyết. Nguyên nhân sâu xa làm cho các em ngại dạng toán này là do các
em bị hỏng một số kiến thức về hình học phẳng ở các lớp dưới cũng như kiến
thức về Hình học không gian ở lớp 11. Đặc biệt, ừong các đề thi - Đại học Cao đẳng - THCN các em sẽ gặp một lớp các bài toán thể tích mà chỉ có một số

ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lủng củng, chưa được gọn
gàng sáng sủa, thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có ừong khi trình
bày. Trong sách giáo khoa Hình học lớp 12, phần bài tập thể tích khối đa diện
cũng như các bài tập trong phần ôn chương ít có các bài tập ở dạng cơ bản hầu
hết là các bài tập khó đối với đa số học sinh. Do đó, khi dạy phần này nếu giáo
viên không củng cố các kiến thức về hình học phẳng ở các lớp dưới và hình học
không gian ở lớp 11 cũng như cung cấp cho học sinh các bài tập ở dạng cơ bản
thì học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn ừong việc giải bài toán dạng này. Hơn
nữa, việc phân loại các bài tập tính thể tích theo từng dạng là một việc làm rất
quan trọng, nhờ đó các em có thể khắc sâu hơn kiến thức cũ được vận dụng ở
mỗi dạng bài tập, tránh được các sai lầm trong quá trình giải.
Giới hạn nghiên cứu của đề tài:
- Thể tích khối đa diện: Các dạng toán cơ bản và nâng cao nằm trong
chương trình Hình học 12.
- Một số bài toán tính thể tích trong các đề thi Tốt nghiệp và Đại học - Cao
đẳng.
III. Cơ SỞ LÍ LUẬN:
Nhiệm vụ ừọng tâm trong trường THPT và hoạt động dạy của thầy và hoạt
động học của trò. Đối với người thầy, việc giúp học sinh củng cố những kiến
thức phổ thông nói chung, đặc biệt là kiến thức thuộc bộ môn Toán học là việc
làm rất cần thiết.
Muốn học tốt môn Toán, các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở
môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt vào
từng bài toán cụ thể. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học
sinh phải có tư duy logic và suy nghĩ linh hoạt. Vì vậy, ttrong quá trình dạy học
giáo viên cần định hướng cho học sinh cách học và nghiên cứu môn Toán một
cách có hệ thống, biết cách vận dụng lí thuyết vào bài tập, biết phân dạng bài
tập và giải một bài tập với nhiều cách khác nhau.
IV. Cơ SỞ THựC TIỄN:

GV: Nguyễn Thị Thanh Lam - Trường THPT Lê Quý Đôn


2

Đối với học sinh lớp 12, đa số các em rất ngại khi gặp các bài toán Hình
học không gian nói chung cũng như bài toán tính thể tích nói riêng. Trong khi
đó, các bài tập tính thể tích khối đa diện trong sách Hình học lớp 12 phần lớn là
các bài tập khó. Hơn nữa, nhiều học sinh học yếu hình học không gian ở lớp 11
và kiến thức hình học phẳng chưa vững chắc thì hầu như không thể làm được
dạng toán này. Vì vậy, việc hệ thống lại các kiến thức cơ bản cũng như phân
dạng một lớp các bài tập tính thể tích từ dễ đến khó là một việc làm thiết thực
nhằm giúp các em có được kĩ năng giải được các bài toán tính thể tích.
V. NỘI DUNG:
THẺ TÍCH KHỐI CHÓP - KHỐI LĂNG TRỤ Bài
toán về khối chóp thường gặp hai dạng sau:
Hỉnh chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng

Hình chóp đều

đáy

B

Đa giác đáy:
- Tam giác vuông
- Tam giác cân
- Tam giác đều
- Hình vuông, hình
chữ nhật.

- Hình chóp tam giác đều.
- Hình chóp tứ giác đều.

GV: Nguyễn Thị Thanh Lam - Trường THPT Lê Quý Đôn


3

A
I

Lăng ừụ đứng ABC.A1B1C1 AiA 1
(ABC)

Lăng trụ xiên ABC.A1B1C1 AiG

1 (ABC)

HỆ THÓNG KIÉN THỨC cơ BẢN A.
A

Các tính chất hình học phẳng:
a. Tam giác :
Diện
tích
của
tam
giác:
A

S^^ịBC.AH

- Các tam giác đặc
biệt: o Tam giác
vuông:

o
+ Định lý pitago: BC2 =AB2 + AC2
. rr,J_ X 1_______________: / X__________X_____ L

cosH
o Tam giác cân:

.

íílilĩelí
,1________ Đoi

tiĩỉiB = --- = -

b

Re c

+ Diện tích tam giác vuông:
SầẢBC=ị.AB.AC

+ Đường cao AH cũng là đường trung tuyến
GV: Ngứyễn Thị Thàhh Lam - Tẻ Toán - Trường THPT Lê Quỷ Đôn

C1


4

+ Tính đường cao và diện tích
A T í ______ n r r X Tv, J1

/! i i = n i i . t n . r L n

SầABC = l-.BC.AH

GV: Nguyễn Thị Thanh Lam - Tổ Toán - Trường THPT Lê Quý Đôn


o Tam giác đều

+ Đường cao của tam giác đều
/7

h=AM = AB,—
2

s
(đường cao h = cạnh X —)
+ Diện tích: S&ASC = (ABý

£

+ Diện tích hình vuông:

Sabcd=(AB)2 + Đường chéo hình vuông
AC = BD = AB.JĨ {đường chéo hình vuông
cạnh X bằng X ~ J Ĩ )
+ OA = OB = oc = OD

B

+ Diện tích hình vuông:
SABCD = AB.AD
(Diện tích bằng dài nhân rộng)
+Hai đường chéo hình chữ nhật bằng
nhau và OA - OB = oc = OD

B. Thể tích khối chóp:

Các khối chóp đặc biệt: Khối tứ diện đều:

+ Thể tích khối chóp

Trong đó: B là diện tích đa giác đáy
h là đường cao của hình chóp
+ Tất cả các cạnh đều bằng nhau + Tất
cả các mặt đều là các tam giác đều


+ o là trọng tâm của tam giác đáy và
AO 1 (BCD). s

- Khối chóp tư giác đều
+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau

+ Đa giác đáy là hình vuông tâm o
+ SO 1 (ABCD)
C.Góc:
Cách xác định góc:
- Góc giữa đường thẳng d. và mặt phẳng (P):
o Tìm hình chiểu d' của d lên mặt phang (P).
o Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa dvà d\
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, SA vuông góc với
(ABCD) và góc giữa sc với (ABCD) bằng 45°. Hãy xác định góc đó.
Giải:
Ta có: AC là hình chiếu của sc trên mp(ABCD)
> { S C Â A 3 C D ) i S C ^ Ã C ) <15°

- GÓC giữa hai mặtphẳng (P) và (0):
o Xác định giao tuyển d của (P) và (Q)
o Tìm trong (P) đường thắng a 1 (d), trong mặt phang (Q) đường
thẳng b 1 (d).
o Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thắng a và b.
Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông và góc
giữa mặt bên với mặt đáy bằng 60°. Hãy xác định góc đó.
GV: Nguyễn Thị Thanh Lam - Tổ Toán - Trường THPT Lê Quý Đôn


7

s
Giải

Gọi M là trung điểm BC Ta có:

(SBC) n (ABCD) = BC,
(ABCD) 3 OM 1 BC
3 SM 1 BC

B (SBC)

Dạng
1.
KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY, KHỐI CHÓP ĐÈU
Bài toán 1.1:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a>/2, AC
= ãj3, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = aS. Tính thể
tích khối chóp S.ABC.
Giải
■ Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ
hình:
- Vẽ tam giác đáy,vẽ đường cao SA 1 (ABC) là đường thẳng đứng.
- Sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông.
■ Lời giải:
■-((55C),(_45C£0) ISĨToM') SĨỈO 60 0

Ta có: AB = ajĩ,
AC = âj3
SB = ayỈ3.
* A ABC vuông tại B nên:
BC = JAC2-AB2 =a
1
1 r ầ.yì2
=> Saabc = -BA.BC = ị.a^ỉĩ.a = ^

s

c

A
,

* A SAB vuông tại A có SA = yjsB2-AB2 = a
* Thể tích khối chóp S.ABC

B

Bài toán 1.2:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC = aV2,
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = a\l3. Tính thể tích khối
chóp s. ABC
Giải
■ Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ
hình:

GV: Nguyễn Thị Thanh Lam - Tổ Toán - Trường THPT Lê Quý Đôn


- Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA 1 (ABC) và vẽ thẳng đứng.
- Tam giác ABC vuông cân tại B nên BA = BC và sử dụng định lý
pitago ừong tam giác vuông.
■ Lời giải:
Ta

Bài toán 1.4:

có : AC = SL^IĨ,


SB = a1ỉĩ.

* A ABC vuông, cân tại B nên

Uc1

BA = BC = J—-— = a

V2
=* S^c = \BA.BC = ị.a.a = ị

* A SAB vuông tại A có SA = \jsB2-AB2 = a
* Thể tích khối chóp S.ABC:
*SJÌBC ~ 2 ABC— 3 2 a~ 6

Bài toán 1.3:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy và SB = a-ỊĨ. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Giải
■ Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
- Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA 1 (ABC) và vẽ thẳng đứng.
- Tam giác ABC đều có ba góc bằng 60° và sử dụng định lý pitago
trong tam giác vuông SAB.
■ Lời giải:

1A ABC đều cạnh 2a nên:

AB = AC = BC = 2a
=> SAABC =

—BA.BC.S,m6ồữ = ~.2a.2a.— = a2.yjĩ

* A SAB vuông tại A có SA = yỊsB1 -AB1 = a
* Thể tích khối chóp S.ABC
1
1 2

a3.yỊ3

, — —.S^ịgg.SẢ — —.ct .\3.ct —-----------


Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, BC = 2a.yỈ3, ĨĨAC
120°, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =2a. Tính thể
tích khối chóp S.ABC.
Giải
■ Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
- Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA 1 (ABC) và vẽ thẳng đứng
- Tam giác ABC cân tại A và Â = 120°
■ Lời giải:
s

* A ABC cân tại A, §AC=
120°, BC = 2a>/3 AB = AC =
BC = 2a
Xét A AMB vuông tại M có
BM = aV3, Â =60°

A

=> SAABC=-AM£C = -.a.2ayỊĨ = al.j3
* SA = a
* Thể tích khối chóp S.ABC
VSMC = \-SABC-SA = ị.a\S.a =

Bài toán 1.5:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a V 2, cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy và sc = asfị.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Giải
■ Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ
hình:
- Vẽ đáy là hình vuông (vẽ hình bình hành), đường cao SA 1
(ABCD) và vẽ thẳng đứng.
- ABCD là hình vuông, sử dụng định lý pitago trong tam giác
vuông.
■ Lời giải:


Ta CÓ : ABCD là hình vuông cạnh a^2 sc = ayj5 .
* Diện tích ABCD
=2ál


12

s

* Ta có : AC = AB. a/2 = a\ỉĩ.yỉĩ = 2a A
SAC vuông tại A
=> SA = yjsC2 -AC2 =a
B * Thể tích khối chóp S.ABCD:
S.A3CD ~ 2 ■^ABCD-SĂ- — —.2c?.a

1„„ . 1 - 2 2 0

3
—

S.ABCD

D

c

Bài toán 1.6:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = AC = av2 .Tính thể tích khối
chóp S.ABCD.
Giải
■ Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ
hình:
- Vẽ đáy là hình vuông (vẽ như hình bình hành), đường cao SA 1
(ABCD) và vẽ thẳng đứng.
- Biết AC suy ra cạnh của hình vuông {Đường chéo hình vuông
bằng cạnh nhân với ).

■ Lời giải:

s

Ta có : SA = AC = a-v/2 *
ABCD là hình vuông
AC = AB.-V2 => AB =
Diện tích ABCD : SABCD = a1

V
2

B * SA = ã^IĨ

D

c

* Thể tích khối chóp S.ABCD
__
1_
^ 1 , ị—
S-ABCD =

= —.<3 .a.yJ2 —

a3 .yf2
-

Bài toán 1.7:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a V3, cạnh bên
bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Giải:
GV: Nguyễn Thị Thanh Lam - Tổ Toán - Trường THPT Lê Quý Đôn


13

■ Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ
hình:
- Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều tâm
o + Gọi M là ừung điểm BC + o là trọng tâm
cửa tam giác ABC

GV: Nguyễn Thị Thanh Lam - Tổ Toán - Trường THPT Lê Quý Đôn


+ AM là đường cao ừong A ABC .
- Đường cao của hình chóp là so (SO 1 (ABC)).
■ Lời giải:
*
S.ABC là hình chóp tam giác
đều Gọi M là trung điểm BC A ABC đều cạnh ayỈ3, tâm o
SO 1 (ABC)
SA = SB = sc = 2a.
*
ằ

A ABC đều cạnh as3
AM = aS.ệ=^-

SỞ

GIÁO DỤC &
ĐÀO
TẠO QUẢNG
NAM TRƯỚNG THPT LẾ QUY ĐÔN.....1
RÈN LUYỆN HỌC SINH LỚP 12 KĨ NĂNG
GIẢI BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỚI ĐA DIỆN 1
Uc1...............................................9
theo a. (ĐS : ^2)..........................26
—soẼQỊca---..................................30
A SAO vuông tại A có SO = a/SA2 -AO2 = a.^ịĩ
*
1

3a2V3

---------------

2

■

a3.fi

y8MC=ị^ABC-SA = ị

Thể tích
S.ABC

khối

chóp

—.a = ———

4

Nhận xét: Học sinh thường làm sai bài toán frên, cụ thể:
- Học sinh vẽ sai hình chóp tam giác đều vì:
+ Không xác định được vị frí điểm o
+ Không nắm được tính chẩt của hình chóp đều là so 1 (ABC).

+ Không tính được AM và không tính được AO.
- Tỉnh toán sai kểt quả thể tích.
Bài toán 1.8:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng
ayỊĨ .Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Giải:
■ Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ
hình:
- Hình chóp tứ giác đều có:
+ Đa giác đáy là hình vuông ABCD tâm o
+ SO 1 (ABCD)


+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau


- Đường cao của hình chóp là so (SO 1 (ABCD)).
* S.ABCD là hình chóp tứ giác đều
ABCD là hình vuông cạnh 2a, tâm

o SO 1 (ABCD)
SA = SB = sc = SD = a£

■ Lời giải:
s

* Diện tích hình vuông ABCD
AC = 2a. V2
_ AC 2chỈ2 => AO=
—— =
= 2

2

2

=* SABCD=(2a) =4a2
2
2
D

* A SAO vuông tại o có SO = Vsa2-AO2 = a

* Thể tích khối chóp S.ABCD
■

VS.ABCD=\^ABC^ = \^^ = ^ịNhận xét: Học sinh thường làm sai bài toán trên:
- Học sinh vẽ sai hình chóp tứ giác đều:
+ Không xác định được tính chất đa giác đáy là hình vuông.

+ Không vẽ SO 1 (ABCD) mà lại vẽ SA 1 (ABCD).
+ Không tính được AC và không tính được AO.
- Tính toán sai kết quả thể tích.

Bài toán 1.9:
Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a
Hướng dẫn :
- Tứ diện đều ABCD có các tính chẩt:
+ Tat cả các cạnh đều bằng nhau.
+ Tất cả các mặt là các tam giác đều.
- Gọi o là trọng tâm của tam giác đáy, đường
cao của hình chóp là AO (AO 1 (BCD'))
■ Lời giải'.

* ABCDlà tứ diện đều cạnh a
Gọi M là trung điểm CD Ta có:
AB=AC=AD = AC=CD=BD = a A


BCD đều canh a, tâm o => AO 1
(BCD)
^ AO là đường cao hình chóp ABCD.
* A BCD đều cạnh a


BM

_

~

ayỊỈ

~

2~

2
, 2
BO=—,BM = .
3
3
a2.V3
J

aS

gyj3

2

ABCD

* A AOB vuông tại o có
D
a^Ỉ6

A0 = slAB2 -B02 = l(a) 2
* Thể tích khối chóp S.ABC

q3.>/2
12
Bài toán 1.10:
Cho lăng trụ đứng ABC.A B C’ CÓ đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB =
a, AC = a>/3, cạnh A B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ.
Giải:
*
Tam giác ABC vuông tại B
_I c
^ 3'
V

CD-

1 <32V3 (3a/6
3' 4 ' 3

-

BC =

Vác2 - AB2 = ayỊĨ

S.

„=i-AB.BC = ẺÂ

*

Tam giác A7AB vuông tại A => A!A = 'JA'B1 AB2 =ayỉĩ

*v =s

ABC.A'B'Ờ

ABC

2

A'A= (!-^-

Dạng 2.
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP - KHỐI LÃNG TRỤ LIÊN QUAN ĐÉN GÓC Bài
toán 2.1:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, ACB =
60°, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một
góc bằng 45°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
- Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA 1 (ABC) và vẽ thắng đứng
- Xác định góc giữa SB và (ABC) là góc giữa SB với hình chiểu của
nó lên (ABC).


■ Lời giải: s
* Ta cóò: AB
= a= a ,
: Ats
AB là hình chiếu của SB lên mp(ABC).
{ S B A A B C ' ) ) { S % A S ) Ĩ B A - 15°
* A ABC vuông tại B có AB = a, Bcs = 60°
BC =

tan 60 V3

= -BA.BC =
2
2
3
6
* A SAB vuông tại A có AB= a,3 -ĩ 5Ũ => SA = AB.tan 45° = a
„
* Thê tích khối chóp S.ABC: Ví
1
Bài toán 2.2:

úr= s/3

SAABC

-,a = -

18 „

_ ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh
Cho hình chóp S.ABCD có đáy
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và sc tạo với mặt đáy một góc
1 a.yjĩ a.JĨ
bằng 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Giải
- Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA 1 (ABC) và vẽ thẳng đứng.
- Xác định góc giữa

và (ABCD) là góc giữa
với hình chiểu
AC của sc lên (ABCD).
■ Lời giải:
* Ta có: ABCD là hình vuông cạnh a,
AC = hc sc

sc

sc

(ABCD)

[ S C , Ỉ I B C D Ỵ ) [5C~4Cj 5 C A 60°

* Diện tích hình vuông
^ABCD — a
g A SAC vuông tại A có AC= aj2 , & = 60°
SA = AC. tan 60° = ỡa/ó
* Thê tích khối chóp S.ABCD
VS.ABCD = ị-SABCD-SA = \.a\a4ẽ = iẠ

Bài toán 2.3:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = ciyỊĨ, BC = a, cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng
60°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
■ Sai lầm của học sinh:

Giải

20

s

- Gọi M là trung điểm BC
- Ta có AM 1 BC
SM 1 BC

=> (^SẩC), {ABC)) = Ẹầt,AM) = ^MA = 60'

c
A

(Hình vẽ sai)

B

■ Lời giải đúng’.
* Ta có : AB = ứs/3,
(SBC) n (ABC) = BC
AB 1 BC ( vì A ABC vuông tại B)
SB 1 BC (vì AB = hc SB)
A

A ABC vuông tại B có AB = ajs ,BC =a
-BA.BC = -.aS.a =

^AABC2 22

2

* A SAB vuông tại A có AB= a, ố = 60°

=> SA = AB. tan 60° = 3a

* Thể tích khối chóp S.ABC: VS^BC = ~.Sabc.SA =

— .3a = a

■ Nhận xét:
- Học sinh không lý luận để chỉ ra góc nào bằng 60°, do đỏ mất điểm.
- Học sinh xác định góc giữa hai mặt phang bị sai vì đa sổ học sinh
không nắm rõ cách xác định góc và cứ nghĩ đó là góc SMA với M là
trung điểm BC.
o Nếu đáy là tam giác vuông tại B Ợĩoặc C) hoặc hình vuông và SA
vuông góc với đáy thì góc giữa mặt bên và mặt đáy sẽ là góc được
xác định tại một trong hai vị frí đầu mút của cạnh giao tuyển.
o Nếu đáy là một tam giác cân (đều) và SA vuông góc với đáy hoặc
là hình chóp đều thì góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc ở tại vị
frí trung điểm cửa cạnh giao tuyển.
Bài toán 2.4:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh
BC = ayj2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳnp đáy; mặt bên (SBC) tạo
với mặt đáy (ABC) một góc bằng 45° . Tính thê tích khối chóp S.ABC.

GV: Nguyễn Thị Thanh Lam - Tổ Toán - Trường
THPT Lê Quý Đôn

Giải
Sai lầm của học sinh: :■ (ÍSBC), (ABC)) SSA
-15° Lời giải đúng:
* Ta có : AB = ayỊĨ ,
(SBC) n (ABC) = BC Gọi M là
trung điểm BC AM 1 BC (vì A
ABC cân tại A) SM 1 BC (vì AM
= hc SM
(ABC)

. ■ ịỊ S B C l Ĩ A S C) ' ) ( S Ĩ Í^ A X ' ) Ĩ Ĩ ỈA 45°

A ABC vuông cân tại A có 3C = ayj2
AB = BC = a và AM =

2

Saabc = ịAB.AC = ị a a = Ỷ

* A SAM vuông tại A có AM=

a^ỉĩ

ct

SA = AB.hm45°=^-

=
45°

a

* Thể tích khối chóp S.ABC: VS.BC = -.S^.SA =

V
s^sc
ABC
3 2 2
12
Bài toán 2.5:
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông
tại B, AB = a, BC = ayỊĨ, mặt bên (A’BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc
30°. Tính thể tích khối lăng trụ.
3

' A/

d

Giải
*

Ta có A7A 1 (ABC)
(A'BC)n(ABC) = BC ABlBC Mà
AB = hc(ABC)A'B nên A7B 1 BC
C(.4'SỐ7C45í:J)

30°

Tam

SABC=-AB.BC =

2 2

* Tam giác A7AB vuông tại A => AỈA = AB. tan 30° =

Ĩ~BA

giác ABC vuông tại B


*y

ABC.AỈtíờ

Bài toán 2.6:
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a- Jĩ , hình chiếu
vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A A
hợp với mặt đáy (ABC) một góc 30°. Tính thể tích khối lăng trụ.
c
/

Giải:
* Gọi M là trung điểm BC
G là trọng tâm của tam giác ABC
Ta có A’G 1 (ABC)

GA là hình chiếu của A’ A lên mp(ABC)
A

:■ iÄÄAABC')) Ấ^AG 30°

=> AỈG =
Dạng 3.

AG.\Z.n30° = ^^ .Vậy V TỶ SỐ THẺ
TÍCH
- Việc tỉnh thể tích của một khổi chóp thường học sinh giải bị nhiều sai
sót, tuy nhiên trong các đề thi lại yêu cầu học sinh tính thể tích của một khối
chóp “nhỏ ” của khối chóp đã cho. Khi đó học sinh có thể thực hiện các cách
sau:
+ Cách 1;
o Xác định đa giác đáy.
o Xác định đường cao (phải chứng minh đường cao vuông góc
với mặt phẳng đáy), o Tính thể tích khối chóp theo công thức.


+ Cách 2:
o Xác định đa giác đáy.
o Tình các tỉ số độ dài của đường cao (nếu cùng đa giác đáy)
hoặc diện tích đáy (nếu cùng đường cao) của khối chóp
“nhỏ” và khối chóp đã cho và kết luận thể tích khối cần tìm
bằng k lần thể tích khối đã cho.
+ Cách 3: Dùng tỉ số thể tích:
Hai khối
góc

chóp S.MNK và S.ABC có chung đỉnh

s

đỉnh s

ở

Cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đều

A

có

c

đề

“nhỏ” liên quan đến

s và

B

cập đến tính thể tích của một khối chóp

dữ kiện của khối chóp lớn.

Bài toán 3.1:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = ayj3 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm
của AB và AC. Tính thể tích khối chóp S.AMN.

Giải
■ Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ
hình:
- Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ ” dựa
frên dữ kiện liên quan đến khối chóp đã cho.
■ Lời giải:
Cách 1: (dùng công thức thể tích V = -.s.h)
* Khối chóp S.AMN có
- Đáy là tam giác AMN
- Đường cao là SA


1
.
0 1
-\/3
SAẨMW=-^/u4^.sm60 =—.a.a.—— = —:—
2
2
2

4

* SA = a-ji

*

Thê tích khối chóp S.ABC.
1
„,1

1 a2.yỈ3 ỊT a3
S^ĨMN = “ -SAMN-SA - ệ'. .a.yị3 = - JSỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NAM TRƯỚNG THPT LẾ
QUY ĐÔN.........................................1
RÈN LUYỆN HỌC SINH LỚP 12 KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN THỂ
TÍCH KHỚI ĐA DIỆN...................................1
Uc1...............................................9
theo a. (ĐS : ^2)..........................26
—soẼQỊca---..................................30
_ _

^ y S~AMN y A.SMN

Ta có: V

SABC

'v 1 vnr’

= 1-.Sabc.SA
V

Vâv
V = g^c = —
<*■] S~AMN
.
y

y

a3

.

■ Mtạn
- Học sinh thường lúng túng khi gặp thể tích của khối chóp “nhỏ” hơn
khối chóp đã cho và khi đó xác định đa giác đáy và đường cao
thường bị sai.
- Trong một số bài toán thì việc dùng “tỉ số thể tích” có nhiều thuận lợi
hơn.
Bài toán 3.2:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =
3 . Gọi M, N lần lượt là trung
điểm cua SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM.
Giải
■ Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ
hình:
- Hướng dẫn học sinh tỉnh thể thể tích một khối chóp “nhỏ ” dựa
frên dữ kiện liên quan đến khối chóp đã cho.
■
tích)

Lời giải:{Dùng công thức tì số thể
Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh s và góc ở đỉnh s
Do đó theo công thức tỉ số thể tích, ta có:
1A AMN có Â = 60°, AM=AN = a