bài tập ôn tập cuối kỳ môn giải tích 1 có hướng dẫn giải phần 1

BÀI TẬP
1. Đổi biến tích phân bất định

a)



3

cos xdx
cos 2 x  1

Giải


t = sinx, dt = cosxdx
2

I = − ∫ 𝑡 −3 𝑑𝑡 = ...

b)

c)

e)






x 2 dx
x 6 1
e ar sin x  x  1
1 x

2

dx

e 3 x dx
1 ex

d)

 x (5x  1)

19

dx

x2
dx
x 1 1

f)



b)

x sin x
 cos3 x dx

d)

arcsin x
 1  x dx

f)

2
x
sin
x
.
e
dx


2. Tích phân từng phần tích phân bất định

a)

ln xdx
 3x

c)

 arccos

e)

 cos(ln x )dx

x
dx
x 1

1


3. Tích phân hàm hữu tỷ

a)

3x 2  2x  1
 (x  1) 2 (x  2) dx

c)

dx
 x ( x 6  1) 2

e)

x 4 1
 x 6  1 dx

b)

xdx
 (x  1)(x 2  x  1) 2

d)

x 7 dx
 (x 4  1)(x 2  2)

f)

x5  x2
 x 9  x 3  2 dx

b)

dx
 cos4 x

d)

sin xdx
 1  sin x

f)

dx
 sh 2 xch 2 x

4. Tích phân hàm lượng giác

sin 3 x
dx
cos x

a)



c)

 sin x sin 2x sin 3xdx

e)

dx
 (sin x  4)(sin x  1)

5. Tích phân hàm vô tỷ

a)

c)

e)



3

x

x

x  1 dx
x  1 ( x  1) 3

ln xdx
6  4 ln x  ln 2 x
dx
x 2  8x  4

dx
x  4 x 1

b)



d)

2
x
x
 4x  5dx


f)

 (x

dx

2

 9) 16  x 2
2


6. Tính tích phân bất định sau đây

a)

arcsin x 1  x 2
 x 2 1  x 2 dx

b)

x 4 arctan x
 1  x 2 dx

c)

ln(1  x  x 2 )
 (1  x) 2 dx

d)

2
2
x
x


1
ln
x
 1dx


f)

x
x
 (1  ln x )dx

)

1 n
1
lim 
 n
4n 2 - k 2
k 1

e)



x
1 x2

x

ln

1 x2

dx

7. Tích phân xác định
a) Giới hạn của tổng tích phân

nk
lim  2
2

k 1 n  k
n

)

)

lim


1 n ( 2n )!
n
n!

)

lim



1/ n

1
k 
  (1  2 ) 
n  k 1
n 
2

n

b) Ước lượng và so sánh tích phân
2

)


0

2

)

dx
5  2 sin x

dx
và


1 x 2 1 x

1

)



(1  x )(1  x 3 )dx

0

1

1

2

dx



1

)

 e cos xdx ,  e
x

0

2

x 2

cos 2 xdx

0

c) Đạo hàm hàm cận trên
x3

x

)

 sin(t

1/ x

2

)dt

)

dt
x 2 ln t
3

x

)

1
lim  cos(t 2 )dt
x 0 x
0

lim

)

x

1

2
arctan
tdt


x 2 1 0

x 

d) Giới hạn của tích phân

ne  t
lim 
dt

2
n

t
0

x

)

 sin(t

1

2

)dt

)

1/ x

1

e nt
lim 

dt

1

t
0
1

)

lim

)



1
n



1  t n dt

1

8. Chứng minh các đẳng thức
1/ x

1

a)

dt
 x > 0,
x 1  t 2

cot anx

tan x

b)

c)

d)

tdt
 2
1/ e 1  t

Hàm f lẻ thì



1/ e

dt
=1
2
t (1  t )

a

a

a

-a

-a

0

 f ( x )dx = 0, hàm f chẵn thì  f ( x )dx = 2  f (x )dx

 ln(cosx )dx =
0



f)

+

dt
1 1  t 2

Hàm f là T – tuần hoàn thì  a  ℝ :

/4

e)

=

a T

T

a

0

 f (x )dx =  f (x )dx

/4


ln(cos(
4  x ))dx


suy ra

/2



0

 xf (sin x)dx =   f (sin x )dx
0

/4

0

suy ra

 ln(1  tan x )dx
0

x sin x
0 1  cos2 x dx
4


9. Đổi biến tích phân xác định
2



a)



dx

2/2

b)

x x 2 1

5

1

dx
1 x  2x  1

c)

ln 5



e)

0

dx
0 3  2 cos x

d)

dx
1 (1  x 2 ) 2

e x e x 1

dx
x
e 3

ln(1  x )
0 1  x 2 dx
1

f)

Giải


x = tan(t), dx = (1 + x2)dt
𝜋
4

𝜋

𝜋
4

I = ∫0 ln(1 + tan(𝑡 )) 𝑑𝑡 = ∫0 ln (
𝜋

𝜋

√2 cos( 4 −𝑡)
𝑐𝑜𝑠𝑡

) 𝑑𝑡

𝜋

𝜋

= ∫04 ln √2 𝑑𝑡 + ∫04 ln cos ( − 𝑡) 𝑑𝑡 - ∫04 ln cos t 𝑑𝑡 =
4

𝜋
8

𝑙𝑛2

10. Tích phân từng phân tích phân xác định
1

arcsin x
0 1  x dx

a)

Giải


u = arcsinx,

dv =

𝑑𝑥

√1+𝑥



𝑑𝑥

du = √1−𝑥 2, v = 2√1 + 𝑥

TPTP

I



2√1+𝑥

2√1 + 𝑥 arcsinx – ∫ √1−𝑥 2 𝑑𝑥

5


2 3

e

 ln

b)

2

xdx

c)

0


0

x2  4
dx
2
x

Giải


u = √𝑥 2 + 4 , dv =
1

I = − √𝑥 2 + 4|
𝑥

2√3
0

𝑑𝑥
𝑥2

𝑥𝑑𝑥

 du = √𝑥 2 , v = −
+4

1
𝑥

2√3 1 𝑥𝑑𝑥
𝑥 √𝑥 2 +4

+ ∫0

/4

2
x
 cos 2xdx

d)

0

/2

1

2
(
1


x
) arctan xdx


e)

0

f)

x
e
 cos xdx
0

11. Cho n  ℕ*, tính các tích phân sau đây
1

2 n
(
1

x
) dx


a)

0

Giải


(1 – x2) = ∑𝑛𝑘=0 𝐶𝑛𝑘 (−1)𝑘 𝑥 2𝑘
1

I = ∑𝑛𝑘=0 𝐶𝑛𝑘 (−1)𝑘 ∫0 𝑥 2𝑘 𝑑𝑥

/4

b)

2n
tan
xdx

0

Giải


tan2nx = tan2(n-1)x(1 + tan2x – 1)
6


𝜋

In = ∫04 tan2(𝑛−1) 𝑥 𝑑𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝐼(𝑛−1)
=

=

1
2𝑛−1
1
2𝑛−1

1

−

1
2𝑛−3

xn



c)

− 𝐼(𝑛−1)

1 x

0

2

+ 𝐼(𝑛−2) = ...

dx

Giải




x = sint

t = arcsinx

dx = costdt, √1 − 𝑥 2 = cost, t(0) = 0, t(1) =

𝜋
2

𝜋



In = − ∫02 sinn 𝑥𝑑𝑐𝑜𝑠𝑥 = ...
𝜋

= ∫02 sinn−1 𝑥𝑑𝑥

1

n x
x
 e dx

d)

0

Giải


1

In = − ∫0 𝑥 𝑛 𝑑𝑒 −𝑥
1

= −𝑒 −1 + 𝑛 ∫0 𝑥 𝑛−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
1

= − + 𝑛𝐼𝑛−1
𝑒

...


f(x) = xne-x
I(x) = (anxn + ... + a0)e-x + C



I’(x) = (nanxn-1 + ... + a1)e-x - (anxn + ... + a0)e-x = xne-x
- an = 1
7

nan – an-1 = 0
(n-1)an-1 – an-2 = 0
...
1.a1 – a0 = 0





 cos

e)

n

x cos nxdx

f)

 cos nx cos mxdx
0

0

12. Khảo sát tích phân suy rộng loại 1




2x  1
1 x 2 (x  1) dx

a)



c)

Tính

x
1

b)

dx
 x 2  2x  2

dx
1 x 2

Giải
b

dx
1 x 1  x 2



I=

= arctanh

1

√2

1

– arctanh√1+𝑏2

1
lim ( arctanh√12 – arctanh√1+𝑏

b  

2

)



arctan xdx
1 x 2

d)

Giải



f(x) =

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑥2

x2 f(x) = arctanx

x
 𝜋2
 
8




𝜋

K = < ,  = 2 > 1 : TPHT theo ...
2





e)



xe  x dx

f)

0

ln x
2 x 2 dx

Giải


𝑙𝑛𝑥
𝑥𝑘

x
 0
 

(k > 0)

f(x) =
3

𝑙𝑛𝑥
𝑥2

𝑥 2f(x) =

𝑙𝑛𝑥

1

𝑥2



x
 0
 
3

K = 0 < ,  = > 1 : TPHT theo ...
2



g)



ln(1  x )
1 x dx

h)

2 x
e
 cos xdx
0

1

x dx
1 2  x x
sin

i)

Giải


1

sin⁡( )
𝑥

f(x) =
5
2

~

1

 𝑥
1
𝑥
3
2+𝑥 2

sin( )

3

1

𝑥 f(x) = 𝑥 sin ( )


𝑥

𝑥2
3

2+𝑥 2

x
 1
 

5

K = 1 < ,  = > 1 : TPHT theo ...
2

9


13. Khảo sát tích phân suy rộng loại 2

x 1

1

a)



x5

3

1

1

c)


2/3

g)

x



b)

dx

0 x 2  4x  3
0

d)

f)

9x 2  1

1
x

e
1 x 3 dx
/2

dx

1/ 3

1

dx

dx
x (1  x )

0

e)

2


0

ln sin x
dx
x

1
x dx
x

cos
3

0

Giải


f(x) =

1
𝑥
1
𝑥3

cos( )

1

,x0

1

1

𝑥 2f(x) = 𝑥 6 cos ( )
𝑥

x
 0
 0

1



K = 0 < ,  = < 1 : TPHT theo TC Riemann (loại 2).



t=

2

1
𝑥

 x=

dx = −
1

𝑑𝑡
𝑡2
1

1
𝑡

, t(+0) = +, t(1) = 1
𝑑𝑡

+∞ 𝑐𝑜𝑠𝑡

I = ∫+∞ 𝑡 3 𝑐𝑜𝑠𝑡 (− 2 ) = ∫1
𝑡

5

𝑑𝑡

𝑡3

ln(1  3 x 2 )
0 e x  1 dx
l

h)

10


Giải


ex – 1

~ x,

0

2

ln (1 + 𝑥 3 )

1

𝑥 f(x) =


0

2

𝑥 3 ln(1+𝑥 3 )

1
3

~ x2/3

𝑒 𝑥 −1

x
 1
 0

1

K = 1 < ,  = < 1 : TPHT theo TC Riemann (loại 2).
3

1

i)

dx
0 e x  cos x

Giải


ex – cosx = x + ...

xf(x) =


𝑥
𝑒 𝑥 −𝑐𝑜𝑠𝑥

~x

0

x
 1
 0

K = 1 > ,  = 1  1 : TPPK theo TC Riemann (loại 2)

14. Tính độ dài của đường cong
a)

y2 =

8
27

(x – 1)3 bị chắn bởi y2 = 2x

Giải


8
27

(x – 1)3 = 2x 

x=4

s = 2s(C)
3

2

C : x = 1 + 𝑦 3 , 0  y  √8
2



...

b)

8y2 = x2(1 – x2) với –1  x  1

c)

x = a(3cost – cos3t), y = a(3sint – sin3t) với 0  t 


2

11

𝑎

d)

x = a(t2 + 1), y = (t3 – 3t) với –1  t  1

e)

r = 1– cos nằm trong đường tròn r = 1

f)

r = acos3( ) với 0    

g)

x2 = 4y, 9z2 = 16xy nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 4

i)

x = t – sint, y = 1 – cost, z = 4cos( ) nằm giữa hai giao điểm với mặt phẳng Oxz

3

𝜑
2

𝑡

2

15. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong
1

a)

y = x2, y = x2, y = 2x

c)

x = 2t – t2, y = 2t2 – t3

d)

x = 2cost – cos2t, y = 2sint – sin2t

e)

r2 = a2sin2

g)

(x2 + y2)2 = a2(x2 – y2)

2

b)

y2 = 2x, y2 = 4(x – 1)3

f)
h)

r = √3sin, r = 1 – cos

x4 + y4 = x2 + y2

16. Tính thể tích vật thể tạo bởi
a) các mặt cong x = a, 2x = z2, y = 0, 2y = x2 và z = 0
b) các mặt cong 2z = x2 + 2y2 và x2 + 2y2 + z2 = 6
c) hình phẳng 2y = x2 và 2x + 2y – 3 = 0 quay quang Ox
d) hình phẳng y = x, y = x + sin2x, 0  x   quay quang Oy
e) hình phẳng x = acost, y = asin2t, y = 0 quay quang Ox
f) hình phẳng x = acos3t và y = asin3t quay quang Ox
g) hình phẳng r = asin2 quay quang trục cực
h) hình phẳng r2 = a2cos2 quay quang trục cực

17. Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường cong
a)

4x2 + y2 = 4 quay quanh Ox
12


b)

9y2 = 4x3 (0  x  1) quay quanh Oy

c)

x = 3cost – cos3t, y = 3sint – sin3t quay quanh Ox

d)

x = a(t – sint), y = a(1 – cost) quay quanh trục đối xứng

e)

r = a(1 + sin) quay quanh trục cực

d)

r = a2sin2 quay quanh trục cực

13


Bài giải
1. Tích phân bất định
1)

𝑑𝑥

∫ 1+𝑠𝑖𝑛𝑥

Giải
𝑥



t = tan( ), sinx = , dx =

2)

∫

2

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑥2

𝑑𝑥

Giải


u = arctanx, dv =

3)

∫𝑥

𝑑𝑥
𝑥2

 ...

𝑑𝑥
√4+𝑥

Giải


t = √𝑥 + 4  x = t2 – 4, dx = , ...

4)

∫ (𝑥−1)(𝑥+2) 𝑑𝑥

3𝑥 2 +2𝑥−1

Giải


5)

3𝑥 2 +2𝑥−1
(𝑥−1)(𝑥+2)

=3+

𝐴
𝑥−1

+

𝐵

, ...

𝑥+2

𝑥

∫ (𝑥−1)(𝑥 2+1) 𝑑𝑥

Giải

6)

𝑥−1

∫ √1−4𝑥−𝑥 2 𝑑𝑥

Giải
14




1 – 4x – x2 = 5 – (x + 2)2, ...

2. Tích phân xác định
1)

3

∫0 𝑒 √𝑥+1 𝑑𝑥

Giải



t = √𝑥 + 1  x = t2 – 1, dx = ,..

2)

∫0 ln⁡(1 + √𝑥)𝑑𝑥

1

Giải


t = √ 𝑥  x = t2
dx = 2tdt, t(0) = 0, t(1) = 1
1

I = ∫0 ln⁡(1 + 𝑡)2𝑡𝑑𝑡




u = ln(1 + t), dv = 2tdt
1 𝑡2

I = 𝑡 2 ln⁡(1 + 𝑡)|10 − ∫0

1+𝑡

du =

𝑑𝑡
1+𝑡

, v = t2

𝑑𝑡

= ...

3)

𝜋2

𝜋

∫0 sin( 4 + √𝑥)𝑑𝑥

Giải


t = √𝑥  x = t2, dx = ,..

4)

∫0 x 2 2𝑥 𝑑𝑥

1

Giải



2x = exln2, ...
15


𝜋

5)

∫02 cos n 𝑥. cos𝑛𝑥𝑑𝑥

Giải
𝜋



∫02 cos n−1 𝑥. cos⁡(𝑛 + 1)𝑥𝑑𝑥



u = cosnx, dv = cos(nx)dx, ...

6)

∫1 (1 + 𝑥 − 𝑥)𝑒

2

1

𝑥+

1
𝑥

𝑑𝑥

2

Giải


2

1

∫1 (1 + 𝑥 (1 − 𝑥 2 ))𝑒

I=

𝑥+

1
𝑥

𝑑𝑥

2

2

1

2

1

= ∫1 𝑒 𝑥+𝑥 𝑑𝑥 + ∫1 𝑥𝑑𝑒 𝑥+𝑥
2

2

𝜋

7)

∫04 𝑒 2𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥

Giải


8)

𝑒

∫1 (𝑥𝑙𝑛𝑥 )2𝑑𝑥

Giải


9)

1

∫0 𝑥(2 − 𝑥 )12 𝑑𝑥

Giải
16




3. Tích phân suy rộng loại 1
1)

+∞

∫1

𝑑𝑥

(p, q > 0)

𝑥 𝑝 +𝑥 𝑞

Giải


0

f(x) =

1
𝑥 𝑝 +𝑥 𝑞

=

1

1

𝑥 𝑝 1+𝑥 𝑞−𝑝

x
 0 < K < 
 

xpf(x)
 ...

2)

+∞

∫2

𝑑𝑥
𝑥 𝑝 ln𝑞 𝑥

(p, q > 0)

Giải


p>1:
xp f(x) =

1
ln𝑞 𝑥

x
 0 = K
 

K < ,  = p > 1 : TP hội tụ


p < 1 : p = 1 – 2r
x(1-r)f(x) =

𝑥𝑟
ln𝑞 𝑥

x
 + = K
 

K > 0,  = 1 – r < 1 : TP phân kỳ


p=1
+) q > 1
+∞

∫2

𝑑𝑥
𝑥 ln𝑞 𝑥

=

1

1

|+∞ =

1−𝑞 ln𝑞−1 𝑥 2

−1

1

1−𝑞 ln𝑞−1 2

+) q  1 : phân kỳ

17

3)

+∞ 𝑥 𝑝 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥

∫1

2+𝑥 𝑞

𝑑𝑥 (p, q > 0)

Giải
𝑥 𝑝 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥



f(x) =



q–p>1



q–p1

4)

∫1

𝑥 √1+𝑥 5 +𝑥 10

f(x)

~

~

2+𝑥 𝑞

+∞

𝜋

1

2 𝑥 𝑞−𝑝

𝑑𝑥

Giải


1

6
 𝑥

= g(x)

Tp g(x) ht ..., SR Tp f(x) ...

5)

+∞ 𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥

∫1

(1+𝑥 2)2

Giải


x2f(x) =

𝑥 3 𝑙𝑛𝑥
(1+𝑥 2 )2

x
 0 = K
 

K < ,  = 2 > 1 : TP ht

6)

+∞

∫0

𝑑𝑥

(1+𝑥 2)2

Giải


1

f(x) = (1+𝑥 2 )2 liên tục x  0
+∞

∫0

𝑑𝑥
(1+𝑥 2)2

1

= ∫0

𝑑𝑥
(1+𝑥 2 )2

+∞

+ ∫1

𝑑𝑥
(1+𝑥 2 )2

TP VT .....



x4f(x) .....

18


7)

+∞ ln⁡(1+𝑥 3 )

∫1

𝑑𝑥

𝑥2

Giải
3



x3/2f(x)

=

x2 ln⁡(1+𝑥 3 )
𝑥2

x

 0 = K
 

...
8)

𝑥2

+∞

∫1

𝑥 4 −𝑥 2 +1

𝑑𝑥

Giải


x2f(x) = ...

9)

∫1

5

+∞ √𝑥 3 +2
𝑥 3√𝑥 +1

𝑑𝑥

Giải


x11/15f(x) = ...

+∞ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥

10) ∫1

2+𝑥 3

𝑑𝑥

Giải


x3f(x) = ...

4. Tích phân suy rộng loại 2
1)

1

∫0

𝑑𝑥
(2−𝑥)√1−𝑥

Giải


f(x) =

1
(2−𝑥)√1−𝑥

liên tục [0, 1)

1

Chọn g(x) =

1

(1−𝑥)2
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)

=

1
2−𝑥

x
 1 = K
1 0
19

K < , Tp g(x) hội tụ, suy ra TP f(x) hội tụ

5

1 √𝑥 4

∫0

2)

𝑒 𝑥 −1

𝑑𝑥

Giải
5



f(x) =

√𝑥 4

𝑒 𝑥 −1

Chọn g(x) =

liên tục (0, 1]

1
1

𝑥5
𝑓(𝑥)

=

𝑔(𝑥)

x
 1 = K
1 0

K < , TP g(x) hội tụ, suy ra TP f(x) hội tụ

3

3)

2
1 ln(1+ √𝑥 )
𝑑𝑥
∫0
𝑥

Giải
3



f(x) =

ln(1+ √𝑥 2 )
𝑥

Chọn g(x) =

liên tục (0, 1]

1
1

𝑥3

...

4)

1

∫0

𝑑𝑥
ln⁡(𝑥+1)

Giải


f(x) =

1
ln(𝑥+1)

Chọn g(x) =

liên tục (0, 1]

1
𝑥

...
5)

1

∫0 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥

Giải
20


5. Ứng dụng hình học

21