Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến THPT NGHÈN hà TĨNH

Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất luôn là bài toán
có mặt ở hầu hết trong các kỳ thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học.
Không những thế nó còn là bài toán hay và khó nhất trong các đề thi.
Trong chương trình giảng dạy và học tập bất đẳng thức và tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất luôn là chủ đề hấp dẫn đối với người dạy lẫn
người học. Việc giảng dạy để làm sao học sinh học tốt chủ đề này luôn là
một vấn đề khó. Chủ đề này thường dành cho học sinh giỏi nên các bài
toán đưa ra thường hay và khó.
Để chứng minh Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
có nhiều phương pháp, và không có phương pháp nào là vạn năng để giải
được mọi bài toán mà chỉ có những phương pháp giải được một nhóm các
bài toán mà thôi.Một trong những phương pháp khá hiệu quả là dung đạo
hàm cho hàm nhiều biến, tư tưởng cơ bản là khảo sát lần lượt từng biến,
bằng cách xem các biến còn lại là tham số cố định. Không có một thuật
giải chi tiết nào cho phương pháp này mà chỉ thong qua ví dụ để học sinh
rèn luyện để tự mình tìm ra cách giải quyết như thế nào trong từng bài toán
cụ thể và từ đó tìm thấy sơ đồ giải riêng cho mình.
Vì những lí do trên tôi viết chuyên đề này nhằm giúp học sinh có cái
nhìn rộng hơn về phương pháp sử dụng đạo hàm trong các bài toán chứng
minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN.

Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm


Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

NỘI DUNG
1 . Phương pháp đưa về một biến trong các bài toán hai biến.

Biến đổi giả thiết và biểu thức cần tìm GTLN, GTNN để tìm mối quan hệ giữa
chúng rồi tìm cách đặt ẩn phụ hợp lý, đưa biểu thức đã cho về hàm một biến để khảo
sát.
Thí dụ 1. ( CĐ Khối A, B – 2008 ). Cho x, y là số thực thỏa mãn x 2 + y 2 = 2 .
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
P = 2( x 3 + y 3 ) − 3xy

Hoạt động khám phá:
- Từ giả thiết x 2 + y 2 = 2 . Có thể đưa bài toán về một ẩn không?
- Ta nghĩ tới hằng đẳng thức x 2 + y 2 = ( x + y )2 − 2 xy; x3 + y 3 = ( x + y )( x 2 − xy + y 2 ) .
- Khai triển biểu thức P cố gắng làm xuất hiện x 2 + y 2 để sử dụng giả thiết.
- Biến đổi biểu thức P và thế vào x 2 + y 2 = 2 ta có :
P = 2( x + y )( x 2 − xy + y 2 ) − 3 xy
= 2( x + y )(2 − xy ) − 3 xy

-

Từ giả thiết ( x + y )2 − 2 xy = 2 ⇒ xy =

( x + y )2 − 2
.
2

Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc có thể đưa P về hàm một biến số nếu ta đặt :
t = x+ y.
( x + y)2
Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức: x + y ≥
.
2
2

Lời giải
Ta có :
P = 2( x + y )( x 2 − xy + y 2 ) − 3 xy
= 2( x + y )(2 − xy ) − 3 xy
( x + y)2 − 2
, vì thế sau khi đặt t = x + y thì:
2
t2 − 2
t2 − 2
3
P (t ) = 2t (2 −
)−3
= −t 3 − t 2 + 6t + 3
2
2
2
2
( x + y)
⇒ ( x + y ) 2 ≤ 4 ⇒ −2 ≤ t ≤ 2 .
Ta có x 2 + y 2 ≥
2
3
P (t ) = −t 3 − t 2 + 6t + 3 với −2 ≤ t ≤ 2 .
Xét hàm số
2
2
Ta có P '(t ) = −3t − 3t + 6 .

Ta có : xy =

Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm

2


Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến
t = 1
P '(t ) = 0 ⇔ 
 t = −2

Ta có bảng biến thiên như sau
t

-2

P’(t)

1
+

2

0

-

13
2

P(t)
-7

1

Vậy
min P(t ) = P(−2) = −7 khi x = y = −1
[ −2;2]


1+ 3
1− 3
x=
;y=

13
2
2
max P (t ) = P (1) = ⇔ 
[ −2;2]
2

1− 3
1+ 3
;y=
x =

2
2

Thí dụ 2. ( ĐH Khối D – 2009 )Cho x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y = 1 .Tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
S = (4 x 2 + 3 y )(4 y 2 + 3x ) + 25 xy

Hoạt động khám phá :
- Từ giả thiết x + y = 1 có thể đưa bài toán về một ẩn không ?
- Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất hiện x + y để sử dụng giả thiết.
- Chú ý các hằng đẳng thức :
x 2 + y 2 = ( x + y ) 2 − 2 xy
x 3 + y 3 = ( x + y )( x 2 − xy + y 2 )
Sau khi khai triển và thế vào x + y = 1 , ta có : S = 16 x 2 y 2 − 2 xy + 12

- Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc có thể đưa S về hàm một biến số nếu ta
đặt : t = xy
- Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức : 0 ≤ xy ≤
Lời giải.
Ta có : S = (4 x 2 + 3 y )(4 y 2 + 3x) + 25 xy = 16 x 2 y 2 + 12( x 3 + y 3 ) + 34 xy
= 16 x 2 y 2 + 12( x + y )( x 2 − xy + y 2 ) + 34 xy
= 16 x 2 y 2 + 12[( x + y ) 2 − 3 xy ] + 34 xy, do x + y = 1
= 16 x 2 y 2 − 2 xy + 12

Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm

( x + y )2
.
4


Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến
( x + y )2 1

1
t
=
xy
x
≥
0;
y
≥
0
= ⇒0≤t ≤
Đặt
. Do
nên 0 ≤ xy ≤
4
4
4
1
Xét hàm số f (t ) = 16t 2 − 2t + 12 với 0 ≤ t ≤ .
4
f
'(
t
)
=
32
t
−
2
Ta có

.
1
f '(t ) = 0 ⇔ t = .
16

Bảng biến thiên
t
f’(t)

1
16

0
-

0

1
4

+
25
2

12
f(t)
191
16

Vậy :

1
191
2+ 3
2− 3
2− 3
2+ 3
min f (t ) = f ( ) =
;y=
;y=
khi x =
hoặc x =
 1
16
16
0;


4
4
4
4
 4
1
25
1
max f (t ) = f ( ) =
x= y= .
khi
 1
4

2
2
0; 
 4

Thí dụ 3 ( ĐH Khối B – 2009). Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của
biểu thức :
A = 3( x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) − 2( x 2 + y 2 ) + 1 .
với x, y là các số thỏa mãn điều kiện : ( x + y )3 + 4 xy ≥ 2 .
Hoạt động khám phá :
- Vì giả thiết là biểu thức khá phức tạp nên ta khai thác nó trước cho gọn để sử dụng
dễ dàng hơn. Chú ý hằng đẳng thức :
x 2 + y 2 = ( x + y ) 2 − 2 xy
x 3 + y 3 = ( x + y )( x 2 − xy + y 2 )
Và ( x + y ) 2 ≥ 4 xy . Khi đó điều kiện bài toán trở thành : x + y ≥ 1

Ta biến đổi được A như sau :

Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm


Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến
A = 3( x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) − 2( x 2 + y 2 ) + 1
3
3
= ( x 2 + y 2 ) 2 + ( x 4 + y 4 ) − 2( x 2 + y 2 ) + 1
2
2
3
3( x 2 + y 2 ) 2

≥ ( x 2 + y 2 )2 +
− 2( x 2 + y 2 ) + 1
2
4
( x2 + y 2 )2
4
4
x
+
y
≥
( do
)
2
9
Hay A ≥ ( x 2 + y 2 )2 − 2( x 2 + y 2 ) + 1 .
4

- Vì vậy ta có thể nghĩ đến việc đưa A về hàm một biến bằng cách đặt t = x 2 + y 2 .
- Tìm điều kiện của biến t ta sử dụng bất đẳng thức x 2 + y 2 ≥

( x + y)2
.
2

Lời giải.
Ta luôn có kết quả : ( x + y ) 2 ≥ 4 xy , từ đó ta có :
( x + y )3 + 4 xy ≥ 2 ⇒ ( x + y )3 + ( x + y ) 2 ≥ ( x + y )3 + 4 xy ≥ 2
⇒ ( x + y )3 + ( x + y ) 2 ≥ 2
⇒ [ ( x + y ) − 1]  ( x + y ) 2 + ( x + y ) + 2  ≥ 0

⇒ ( x + y) − 1 ≥ 0
2

1 7

Do ( x + y ) + ( x + y ) + 2  = ( x + y ) +  + ≥ 0, ∀x, y
2 4

2

Bài toán được đưa về tìm max, min của :
A = 3( x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) − 2( x 2 + y 2 ) + 1
Với x, y thỏa mãn x + y ≥ 1 .

Ta biến đổi biểu thức A như sau :
A = 3( x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) − 2( x 2 + y 2 ) + 1
3
3
= ( x 2 + y 2 ) 2 + ( x 4 + y 4 ) − 2( x 2 + y 2 ) + 1
2
2
3
3( x 2 + y 2 ) 2
≥ ( x 2 + y 2 )2 +
− 2( x 2 + y 2 ) + 1
2
4
( x 2 + y 2 )2
( do x 4 + y 4 ≥
)

2
9
4

Hay A ≥ ( x 2 + y 2 )2 − 2( x 2 + y 2 ) + 1 .
1
( x + y )2
( do x + y ≥ 1 ) nên x 2 + y 2 ≥ .
2
2
9
1
Đặt t = x 2 + y 2 . Ta có hàm số f (t ) = t 2 − 2t + 1 với t ≥ .
4
2
9
f '(t ) = t − 2
2
4
f '(t ) = 0 ⇔ t =
9

Vì x 2 + y 2 ≥

Ta có bảng biến thiên như sau :
Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm


Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến
t

4
9

1
2

+∞

f '(t )

+

+∞

f (t )
9
16
1
9
1
f
(
t
)
=
f
(
)
=

t=
Vậy min
đạt
được
khi
1
2 16
t≥
2
2

9
1
9
. Mặt khác, ta dễ thấy x = y = thì A = .
16
2
16
9
1
Kết luận : min A = khi x = y = và không có giá trị lớn nhất.
16
2

Suy ra A ≥

Thí dụ 4. (ĐH Khối A- 2006). Cho hai số thực x, y ≠ 0 thay đổi thỏa mãn điều
( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
kiện
A=

1 1
+
x3 y 3

Hướng dẫn:
1 1 x3 + y 3 ( x + y )( x 2 − xy + y 2 )
x+ y 2
1 1
+ 3= 3 3 =
=(
) = ( + )2 .
3
3 3
x
y
x y
x y
xy
x y
2
2
Đặt x = ty . Từ gải thiết ta có: ( x + y ) xy = x + y − xy ⇒ (t + 1)ty 3 = (t 2 − t + 1) y 2
A=

t2 − t +1
t2 − t +1
; x = ty =
Do đó y = 2
.

t +t
t +1
2

2

 1 1   t 2 + 2t + 1 
Từ đó A =  + ÷ =  2
÷.
 x y   t − t +1 
t 2 + 2t + 1
−3t 2 + 3
f
(
t
)
=
⇒
f
'(
t
)
=
2
Xét hàm số
t2 − t +1
( t 2 − t + 1) .
1
2

Lập bảng biến thiên ta tìm GTLN của A là: 16 đạt được khi x = y = .

Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm


Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

Thí dụ 5. (ĐH Khối B- 2011). Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn
2(a 2 + b 2 ) + ab = (a + b)(ab + 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 a 3 b3   a 2 b 2 
P = 4  3 + 3 ÷− 9  2 + 2 ÷
a 
b a  b

Hướng dẫn:
- Biến đổi giả thiết:
2(a 2 + b 2 ) + ab = (a + b)(ab + 2)
⇔ 2(a 2 + b 2 ) + ab = a 2b + ab 2 + 2(a + b)
a b
⇔ 2  + ÷+ 1 = ( a + b ) + 2 ( a + b )
b a
a b
1 1
⇔ 2  + ÷+ 1 = ( a + b ) + 2  + ÷
b a
a b

- Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:
1 1
1 1

a b

(a + b) + 2  + ÷ ≥ 2 2(a + b)  + ÷ = 2 2  + + 2 ÷
a b
a b
b a







Suy ra: 2  + ÷+ 1 ≥ 2 2  + ÷+ 2 ⇒  + ÷≥ .
b a
b a
b a 2
a

b

a

b

a

b

5

a
b

b
5
, t ≥ . Ta được : P = 4(t 3 − 3t ) − 9(t 2 − 2) = 4t 3 − 9t 2 − 12t + 18 .
a
2
3
Xét hàm số: f (t ) = 4t − 9t 2 − 12t + 18
5
f '(t ) = 6(2t 2 − 3t − 2) ≥ 0, ∀t ≥
2
5
23
 
f (t ) = f  ÷ = − .
Suy ra min
5

4
2
 ;+∞ ÷

Đặt t = +

2



Vậy min P = −

23
a b 5
1 1
đạt đươc khi và chỉ khi + = và a + b = 2  + ÷
4
b a 2
a b
(a; b) = (2;1) hoặc (a; b) = (1; 2)

Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm


Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

Thí dụ 6. (Thi HKI 2010-2011- Khối 12- Sở GD- ĐT Bắc Giang). Cho x, y là hai
số thay đổi thỏa mãn điều kiện 2( x 2 + y 2 ) = xy + 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức:
T=

x4 + y4
2 xy + 1

Hướng dẫn:


- Đặt t=xy từ giả thiết suy ra 4 xy ≤ xy + 1 ⇔ − ≤ xy ≤ . Vậy t ∈  − ;  .
5

3
 5 3
2
2
Chú ý: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x và y ta được x + y ≥ 2 xy
1

-

1

−7t 2 + 2t + 1
Biến đổi và biểu diễn theo biến t ta được: T =
.
8t + 4
 1 1
−7t 2 + 2t + 1
Xét hàm số f (t ) =
, t ∈ − ;  .
 5 3
8t + 4

- Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên ta tìm được
max f (t ) = f (0) =

 1 1
− 5 ; 3 



1
4 và

 1
1 2
min f (t ) = f  − ÷ = f  ÷ =
 1 1
 5
 3  15
− 5 ; 3 




Từ đó kết luận về giá trị lớn nhất và giá trị nho nhất của T

Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm

1 1


Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

2. Phương pháp khảo sát lần lượt từng biến trong bài toán ba biến.
 Đối với bất đẳng thức nhiều biến, ta có thể khảo sát lần lượt từng biến một
bằng cách chọn một biến làm tham số biến thiên và cố định các biến còn lại,
bài toán lúc này trở thành bất đẳng thức một biến. Luôn có tâm thế nhìn biểu
thức nhiều biến mà ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất dưới dạng là
một hàm số để ta sử dụng được công cụ hiệu quả trong bài toán là đạo hàm.
 Sơ đồ tổng quát.

Giả sử tìm cực trị của biểu thức ba biến x, y, z là P( x, y, z ) với điều kiện T nào đó.
 Bước 1. Xem P( x, y, z ) là hàm theo biến x , còn y, z là hằng số. Khảo sát
hàm này tìm cực trị với điều kiện T. Ta được:
P ( x, y, z ) ≥ g ( y , z ) hoặc P ( x, y, z ) ≤ g ( y , z )
 Bước 2. Xem g ( y, z ) là hàm biến y , còn z là hằng số. Khảo sát hàm này
với điều kiện T. Ta được : g ( y, z ) ≥ h( z ) hoặc g ( y, z ) ≤ h( z ) .
 Bước 3. Cuối cùng khảo sát hàm số một biến h( z ) với điều kiện T ta tìm
được min, max của hàm này.
Ta đi đến kết luận : P( x, y, z ) ≥ g ( y, z ) ≥ h( z ) ≥ m
hoặc P( x, y, z ) ≤ g ( y, z ) ≤ h( z ) ≤ M .

Thí dụ 7. (ĐH Khối A-2011). Cho ba số thực x, y, z ∈ [ 1; 4] và x ≥ y, x ≥ z . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức.
P=

x
y
z
+
+
2x + 3y y + z z + x

Hoạt động khám phá:
- Khảo sát từng biến như thế nào ?
- Xem P là một hàm theo biến z, còn x, y là hằng số. Khảo sát hàm số với điều
kiện đã cho suy ra giá trị nhỏ nhất của P, tức là : P( x, y, z ) ≥ P( x, y ) .
- Khảo sát hàm P( x, y ) , ở đây có thể đưa P( x, y ) về hàm số một biến không ?
- Bằng cách đặt ẩn phụ t =

x

để đưa P( x, y ) về hàm một biến. Tìm GTLN của
y

hàm số một biến này.
- Vậy P( x, y, z ) ≥ P ( x, y ) = P (t ) ≥

34
.
33

Lời giải.
x

y

z

Ta có : P = 2 x + 3 y + y + z + z + x .
Xem đây là hàm theo biến z ; còn x, y là hằng số

Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm


Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến
−y
z
( x − y )( z 2 − xy )
P '( z ) =
+
=

( y + z ) 2 ( z + x) 2 ( y + z ) 2 ( z + x ) 2
Theo giả thiết x ≥ y ⇒ x − y ≥ 0 nếu P ≥ 0 ⇔ z ≥ xy (do x, y, z ∈ [ 1; 4] )

Z

xy

P '( z )
P( z )

-

0

+

min
Từ bảng biến thiên:
P ≥ P( xy ) =

2 y
x
+
2x + 3y
x+ y

x
2
y
=

+
x
2 + 3 1+ x
y
y

Đặt t =

x
, do x ≥ y, x ≥ z và x, y, z ∈ [ 1; 4] nên 1 ≤ t ≤ 2 .
y

t2
2
+
. Ta có
2
2t + 3 1 + t
−2  4t 3 (t − 1) + 3(2t 2 − t + 3) 
f '(t ) =
< 0, ∀t ∈ [ 1; 2] .
(2t 2 + 3)2 (1 + t ) 2

Xét hàm f (t ) =

Suy ra f (t ) giảm trên [ 1; 2] , do đó P ≥ P( xy ) = f (t ) ≥ f (2) =

34
33

 z = xy

⇒ x = 4, y = 1, z = 2 .
Đẳng thức xảy ra : 
x
=2
t =
y

34
Vậy min P =
khi
33


Thí dụ 8 . Cho ba số thực x, y, z ∈  ;3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1
3 
a
b
c
P=
+
+
a+b b+c c+a

Hoạt động khám phá:
- Khảo sát lần lượt từng biến như thế nào?

Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm

Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

- Xem P là một hàm theo biến a, còn b, c là hằng số. Khảo sát hàm số với điều
kiện đã cho suy ra giá trị lớn nhất của P, tức là : P(a, b, c) ≤ g (b, c) .
- Khảo sát hàm g (b, c) là một hàm theo biến c, còn b là hằng số. Khảo sát hàm số
với điều kiện đã cho, suy ra GTLN của g (b, c) , tức là g (b, c) ≤ h(b) .
8
5

- Tiếp theo khảo sát hàm h(b) suy ra h(b) ≤ .
8
5

- Vậy P(a, b, c) ≤ g (b, c) ≤ h(c) ≤ .
Lời giải:
a
b
c
+
+
a+b b+c c+a
Xem đây là hàm số theo biến a , còn b, c là hằng số.
P (a) =

Đặt

b
c

(b − c)(a 2 − bc)
−
=
.
( a + b) 2 ( a + c) 2 ( a + b) 2 ( a + c) 2
1 
Trường hợp 1: a ≥ b ≥ c và a, b, c ∈  ;3 .
3 
P '(a ) =

1 
Suy ra b − c ≥ 0; a 2 − bc ≥ 0 nên P '(a) ≥ 0 . Do đó P(a) tăng trên  ;3 .
3 
3
b
c
+
+
= g (c) (xem đây là hàm theo biến c)
3+b b + c c +3
−b
3
(b − 3)(3b − c 2 )
1 
g '(c ) =
+
=
≤ 0 . Do đó g (c ) giảm trên  ;3 .
2
2

2
2
(b + c) (c + 3)
(b + c) (c + 3)
3 
1
3
3b
1
+
+ = h(b) .( xem h(b) là hàm số theo biến b)
Suy ra: g (c) ≤ g ( ) =
3 3 + b 3b + 1 10
3
3
(1 − b)(1 + b)
Ta có: h '(b) = (3b + 2) 2 − (b + 3)2 = (3b + 1) 2 (b + 3) 2 .
⇒ P (a ) ≤ P (3) =

Ta có bảng biến thiên.
b

1
3

1

h '(b)

+

0

3
-

h(b)

8
5

Suy ra h(b) ≤ h(1) = .
1
3

1 8
1
khi a = 3; b = 1; c =
3 5
3
1


Trường hợp 2 : c ≥ b ≥ a và a, b, c ∈  ;3 .
3 
8
Từ kết quả của trường hợp 1, ta có: P(a, b, c) ≤ .
5

Vậy P(a, b, c) ≤ P(3, b, c) ≤ P(3, b, ) ≤ P(3,1, ) =

Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm


Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến
( a − b)(b − c)(a − c)

8
Mặt khác : P(a, b, c) − P(c, b, a) = (a + b)(b + c)(a + c) ≤ 0 ⇒ P(a, b, c) ≤ .
5


1 1
8
  1 
Vậy MaxS = , đạt được khi (a, b, c) =  3;1; ÷,  ;3;1÷,  3; ;1÷ .
3 3
5
  3 


Thí dụ 9. Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn điều kiện abc + a + c = b . Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức :

P=

2
2
3
− 2

+ 2
a +1 b +1 c +1
2

Hoạt động khám phá:
- Từ giả thiết abc + a + c = b có thể đưa bài toán về ít ẩn hơn không ?

a+c
1
có thể đưa P về 2 biến ( a < ).
1 − ac
c
2
2
2(a + c)
3
1
−2+ 2
(0 < a < ) .
Khi đó P = 2 + 2
2
a + 1 (a + 1)(c + 1)
c +1
c

- Biến đổi giả thiết a + c = b(1 − ac) > 0 ⇒ b =
-

- Xem P là hàm theo biến a còn c là hằng số.
2c

3
1
+ 2
= g (c ) .
suy ra f (a) ≤
2
c +1
c
1+ c
10
Tiếp tục khảo sát hàm g(c) với 0 < c < +∞ suy ra g (c) ≤ .
3

- Khảo sát hàm biến a là f (a) với 0 < a <
-

Lời giải :

a+c
1
và a < .
1 − ac
c
2
2
2(a + c )
3
1
−2+ 2
, (0 < a < )

Thay vào biểu thức P ta được : P = 2 + 2
2
a + 1 (a + 1)(c + 1)
c +1
c
2
1
( x + c)
1
− 1 với 0 < x < và coi c là tham số c>0
Xét hàm số : f ( x) = 2 + 2
2
x + 1 ( x + 1)(c + 1)
c
−2c( x 2 + 2cx − 1)
 1
= 0 ⇔ x0 = −c + c 2 + 1 ∈  0; ÷
Ta có : f '( x) =
2 2
2
(1 + x ) (1 + c )
 c

Theo giả thiết ta có a + c = b(1 − ac) > 0 ⇒ b =

Ta có bảng biến thiên
x

1
c

x0

0

f '( x )
f ( x)

+

0

-

f ( x0 )

Từ bảng biến thiên ta có : f ( x) ≤ f ( x0 ) =

c

.

1 + c2
3
2c
3
S = 2 f (a) + 2
≤
+ 2
= g (c )

2
c +1
c +1
1+ c

Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm


Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

Ta có : g '(c) =

2(1 − 8c 2 )
(1 + c ) (3c + 1 + c )
2 2

2

= 0 ⇔ c = c0 =

1
∈ ( 0; +∞ )
8

Bảng biến thiên :
c
g '(c )

+∞

c0

0
+

0

-

g (c0 )

g (c )

Từ bảng biến thiên suy ra : g (c) ≤ g (c0 )
10
.
3
10
1
2
Vậy với c = , a = , b = 2 thì MaxS = .
3
2
8
⇒ S ≤ g (c) ≤ g (c0 ) =

Thí dụ 10. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 . Tìm giá
P=

trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 2 3
+ + .
a b c

Hoạt động khám phá:
- Hãy suy nghĩ để chuyển bài toán về ẩn mới?
- Có thể biểu diễn để biểu thức P và giả thiết đơn giản hơn hay không?
1
a

1
b

- Nếu đặt : x = , y = , z =

1
bài toàn như thế nào?
c

- Có thể chuyển bài toán sao cho ít ẩn hơn được không?
2x + 8 y

7

- Từ giả thiết : 2 x + 8 y + 21z ≤ 12 xyz ⇒ z ≥ 12 xy − 21 và x > 4 y
2x + 8 y

- Khi đó: S ≥ x + 2 y + 4 xy − 7 = f ( x) .
- Khảo sát hàm số f ( x) xem y như tham số cố định. Ta được

S ≥ f ( x ) ≥ f ( x0 ) = 2 y +

32 y 2 + 14
9
+
= g ( y)
4y
2y

- Tiếp tục khảo sát hàm một biến g(y)
- Ta đi đến kết luận : S ≥ f ( x) ≥ g ( y ) ≥
Lời giải :

Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm

15
.
2


Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến
1
a

1
b

1
c

Đặt x = , y = , z = ⇒ x, y, z > 0; 2 x + 8 y + 21z ≤ 12 xyz và S = x + 2 y + 3z
2x + 8 y

7

Từ 2 x + 8 y + 21z ≤ 12 xyz ⇒ z ≥ 12 xy − 21 và x > 4 y .
2x + 8 y

Từ biểu thức S suy ra được: S ≥ x + 2 y + 4 xy − 7 = f ( x)
⇒ f '( x) = 1 −
⇔ x = x0 =

14 − 32 y 2
=0
(4 xy − 7) 2

32 y 2 + 14  7

7
+
∈  ; +∞ ÷
4y
4y
 4y


Bảng biến thiên:

x

7
4y

+∞

x0

f’(x)

-

0

+

f ( x)
f ( x0 )

Khi đó từ bảng biến thiên , ta có:
32 y 2 + 14
9
S ≥ f ( x ) ≥ f ( x0 ) = 2 y +
+
= g ( y)
4y
2y
g '( y ) =

(8 y 2 − 9) 32 y 2 + 14 − 28
4 y 2 32 y 2 + 14

=0

Đặt t = 32 y 2 + 14 thì phương trình g '( y ) = 0 ⇔ (8 y 2 − 9) 32 y 2 + 14 − 28 = 0
⇔ t 3 − 50t − 122 = 0 ⇔ t = 8 ⇔ y =
y

0

g’(y)

5
. Ta có bảng biến thiên:
4
5
4

-

0

g ( y)
15
2
5
4

Từ bảng biến thiên suy ra : g ( y ) ≥ g ( )

Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm

+∞

+