Ứng dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”

ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG
GIÁ TR LN NHT V NH NHT
CA HM S
Vấn đề 1:

Phơng pháp khảo sát trực tiếp

Vấn đề 2:

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Vấn đề 3:

Phơng pháp khảo sát gián tiếp

Hc Toỏn theo nhúm (t 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội
Email:
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1


gi á trị lớn nhất và nhỏ nhất của
hàm số

A. Tóm tắt lí thuyết
Cho hàm số :
y = f(x)
xác định trên tập D.
Số M đợc gọi là giá trị lín nhÊt cđa hµm sè nÕu :
f(x) ≤ M ∀x D.
f(x0) = M với ít nhất một giá trị x0 ∈ D.
Ta kÝ hiÖu M = Max y .
x∈D


Sè m đợc gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm sè nÕu :
f(x) ≥ m ∀x ∈ D.
f(x0) = m với ít nhất một giá trị x0 D.
Ta kí hiƯu m = Min y .
x∈D

Cịng cÇn chó ý Max y , Min y của hàm số có thể không tồn tại.
xD
xD

B. phơng pháp giải toán
Vấn đề 1: phơng pháp khảo sát trực tiếp
Ta thực hiện theo các bớc :
Bớc 1:

Miền xác định.

Bớc 2:

Đạo hàm y', rồi giải phơng trình y = 0.

Bớc 3:

Lập bảng biến thiên.

Bớc 4:

Kết luận về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số dựa trên bảng
biến thiên.

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
y = 4x3 3x4.
Giải
Miền xác định D = R.
Đạo hàm :
y' = 12x2 12x3,
2


y' = 0 ⇔ 12x2 − 12x3 = 0 ⇔ 12x2(1 − x) = 0 ⇔ x = 1 hc x = 0.
Bảng biến thiên : với lu ý rằng dÊu cđa y' chØ phơ thc vµo dÊu cđa 1 x
x
0
1

+
y'
+

0
+
0

CĐ
y
1

Dựa vào bảng biến thiên, ta có Maxy = 1, đạt đợc khi x = 1.
Ví dụ 2:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
y = x2 +
với x > 0.
x

Giải
Xét hàm số trên tập D = (0, + ).
Đạo hàm :
y' = 2x

2
x2

,

y' = 0 2x

2

x2

Bảng biến thiên :
x
0
y'
+

y

= 0 x = 1.
1
0
3
CT



+

+
+

Dựa vào bảng biến thiên, ta có :

Min y = 3, đạt đợc khi x = 1.
xD
Chú ý : Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên chúng ta hoàn toàn có thể sử
dụng bất đẳng thức Côsi, cơ thĨ :
y = x2 +

1
1 C «si 3 2 1 1
2
= x2 +
+
3 x . .
=3
x
x
x ≥
x x

1
⇒ Min y = 3, đạt đợc khi x2 =
x = 1.
xD
x

Ví dụ 3:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :
y=

x 2

+

4 x

.

Giải
Điều kiện :

3


x− 2 ≥ 0
⇔ 2 ≤ x ≤ 4.

4− x 0
Vậy D = [2,4].
Đạo hàm :
y' =

1
2 x 2

y' = 0

1


1

2 x 2

Bảng biến thiên :
x

2

y'
y

,

2 4 x

=

1
2 4 x

x = 3.

3
0
CĐ
2

+

2

4


+

2

Dựa vào bảng biến thiên, ta có :


Max y = 2, đạt đợc khi x = 3.
xD



Min y =
xD

2

, đạt đợc khi x = 2 hoặc x = 4.

Chú ý : Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên, chúng ta hoàn
toàn có thể sử dụng các phép biến đổi đại số và bất đẳng thức, cụ thể :
y=

x 2

+

4 x

Bunhiac ô pxki

Max y = 2, đạt đợc khi
xD
y=

x 2

+

4 −x

x −2

(1 +1)(x −2 +4 −x )

=

4 −x

=2

⇔ x = 3.

⇔ y2 = x − 2 + 4 − x + 2

( x −2 )( 4 −x )

≥

2

⇔y≥

2

⇒ Min y =
xD
= 4.
Ví dụ 4:

, đạt đợc khi

( x 2 )( 4 x )

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :
y=

Giải
Điều kiện :

4

2

cos x

+

sin x

.

= 0 x = 2 hc x


 cos x ≥ 0
⇔ 2kπ ≤ x ≤

 sin x 0


+ 2k, kZ.
2

Do hàm số tuần hoàn với chu kì 2 nên ta chỉ cần xét trong D = [0,


].
2

Đạo hàm :
y' =

sin x
2 cos x
sin x

y' = 0

+

2 cos x

Bảng biến thiên :
x
0
y'

cos x
2 sin x
cos x

=

,

2 sin x

+

y

1
Dựa vào bảng biến thiên, ta cã :

π/4
0
C§

⇔x =

−

π
.
4

π/2

+∞

1

π
+ 2kπ , k∈Z.
2
π
π
 Maxy = f(
) = 4 8 , đạt đợc khi x =
+ 2k , kZ.
4
4
Ví dụ 5:
Cho phơng trình :
x2 + (2a 6)x + a 13 = 0
với a1. Tìm a để nghiệm lớn của phơng trình đạt giá trị lớn nhất.
Giải
Ta cã :
∆ = a2 − 7a + 22 > 0, a
tức là, phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt :

x1 = 3 − a − a 2 −7a + 22 vµ x2 = 3 − a + a 2 7a + 22 .
Khi đó, bài toán dẫn đến :
" Tìm tất cả các giá trị của a[1, + ), ®Ó biÓu thøc 3 − a + a 2 −7a + 22
nhận giá trị lớn nhất ".
Xét hàm số :



Miny = 1, đạt đợc khi x = 2k hoặc x =

y = 3 − a + a 2 −7a + 22 .
trên tập D = [1, + ).
Đạo hàm :
y' = − 1 +

2a − 7
2 a 2 − 7a + 22

=

2a − 7 − 2 a 2 − 7a + 22
2 a 2 − 7a + 22

ta cã :

5


2

a 2 −7a + 22

=

(2a −7)2 +39

> |2a − 7| ≥ 2a − 7

Do ®ã y' < 0, víi ∀a 1 hàm số nghịch biến trong khoảng [1, + ).
Bảng biến thiên :
a
1

+
y'

y
6

Dựa vào bảng biến thiên, ta có :
Max y = 6, đạt đợc khi a = 1.
xD

Vậy, nghiệm lớn của phơng trình có giá trị lớn nhất bằng 6 đạt đợc khi a = 1.
Ví dụ 6:
Thể tích của một hình lăng trụ tứ giác đều bằng V. Cạnh đáy của
hình lăng trụ đó phải bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần của hình lăng trụ
đó là nhỏ nhất ?
Giải
Gọi x là cạnh đáy và h là đờng cao của lăng trụ.

Ta có :
V = x2.h h =

V
x2

.

Diện tích toàn phần của lăng trụ lµ :
4V
.
x

Stp = 2x2 + 4xh = 2x2 +

VËy diƯn tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất
2x2 +

4V
nhỏ nhất.
x

Ta xét hàm số :
y = 2x2 +



4V
.
x

Miền xác định D = (0, + ).
Đạo hàm :
y' = 4x

4V
x2

y' = 0 4x


Bảng biến thiên :
x
0
y'

6

,
4V

=0x =

x2
3

−

V
0

3

V.

+∞
+


+

y

+

6 3 V2
CT

Dựa vào bảng biến thiên, ta có :
Miny = 6 3 V 2 , đạt đợc khi x = 3 V .
VËy MinStp = 6 3 V 2 đạt đợc khi x = 3 V .
Ví dụ 7:

Xác định a để giá trị nhỏ nhất của hàm số :
y = 4x2 4ax + a2 2a

trên đoạn [ 2, 0] bằng 2.
Giải
Xét hàm số trên tập D = [ 2, 0].
Đạo hàm :

y' = 8x − 4a,
y' = 0 ⇔ 8x − 4a = 0 ⇔ x =

a
.
2

XÐt ba trêng hỵp :
Trêng hỵp 1 : Nếu

a
< 2 a < 4.
2

Bảng biến thiên :
x
a/2
y'
y

2

(1)
+

0
+

Dựa vào bảng biến thiên, ta có :

Min y = y( − 2) = a2 + 6a + 16 ⇒ a2 + 6a + 16 = 2 v« nghiệm.
xD
Trờng hợp 2 : Nếu 2
Bảng biến thiên :
x
−∞ −2
y'

a
≤ 0 ⇔ − 4≤ a ≤ 0.
2

−

a/2
0

0
+

(2)

+∞

CT
y
Dùa vµo bảng biến thiên, ta có :
Min y = y( a ) = − 2a ⇒ − 2a = 2 ⇔ a = 1 thoả mÃn (2).
xD
2

a
Trờng hợp 3 : NÕu
> 0 ⇔ a > 0.
2

(3)

7


Bảng biến thiên :
x
2
y'

0

a/2



+

y
Dựa vào bảng biến thiên, ta cã :

Min y = y(0) = a2 − 2a ⇒ a2 − 2a = 2
x∈D
⇔

 =1 − 3
a

 =1 + 3
a


⇒a=1+

VËy, víi a = − 1 hc a = 1 +

3 thoả mÃn (3).

3 thoả mÃn điều kiện đầu bài.

Vấn đề 2: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên
một đoạn
Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :
y = f(x)
trên [a, b], với f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trong khoảng (a, b),
ta thực hiện theo các bớc :
Bớc 1:
Tính đạo hàm y
Bớc 2:

Bớc 3:

Tìm các điểm tới hạn thuộc (a, b) của hàm số (thông thờng là
giải phơng trình y' = 0 để tìm các nghiệm x (a, b)). Giả sử các
nghiệm là x1, x2, ...

Tính các giá trị f(a), f(b), f(x1) , f(x2), ...

Bớc 4:

Từ đó :
Min y = Min{f(a), f(b), f(x ) , f(x ), ...}.
1
2



x∈ a , b ]
[



x∈ a , b ]
[

Max y = Max{f(a), f(b), f(x ) , f(x ), ...}.
1
2

VÝ dô 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm sè :
π π
y = f(x) = sin2x − x trªn [
,
].
2 2
Giải

Xét hàm số trên D = [
,
].
2 2
Đạo hàm :
y' = 2cos2x 1,
1

y' = 0 ⇔ 2cos2x − 1 = 0 ⇔ cos2x =
⇔x=±
.
2
6
Ta cã :

8


f( −

π
π
π
π
π
3
)=
, f( −
)= −

+
, f(
)=
2
2
6
6
6
2

π
π
3
−
vµ f(
)= −
6
2
2
π
.
2

VËy :


Max y = Max{ ,
xD
2

3 3
+
,

,
}=
đạt đợc khi
6
2
2
6 2
2

π
x=−
.
2



Min y = Min{ π , −
x∈D
2

x=

π
3 π 3
+

,

,
}=
đạt đợc khi
6 2
6
2
2
2


.
2

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số :
sin x
y = f(x) =
2 + cos x
víi x ∈ [0, ].
Giải
Xét hàm số trên D = [0, ].
Đạo hàm :
y' =

cos x(2 + cos x ) + sin 2 x
(2 + cos x )

y' = 0 ⇔

=

2

1 + 2 cos x
(2 + cos x )2

1 + 2 cos x
(2 + cos x )2

= 0 ⇔ cosx = −

,

2π
1
⇔x=
.
2
3

Ta cã :
f(0) = 0, f(

2π
)=
3

1
3

, f(π) = 0.

VËy :


Max y = Max{0, 1 } = 1 , đạt đợc khi x = 2π .
x∈D



Min y = Min{0,
x∈D

VÝ dô 3:

3
1
3

3

3

} = 0, đạt đợc khi x = 0 hoặc x = .

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số :
y = x + 2 x 2 .

Giải

Điều kiÖn :
2 − x2 ≥ 0 ⇔ −
Suy ra D = [ 2 ,
Đạo hàm :

2
2

x
].

2

9


x

y' = 1 −

2 − x2

y' = 0 ⇔

2 −x 2

2 − x2 − x

=

2 − x2

,

 x ≥ 0
=x⇔ 
⇔ x = 1.
2 2
 2 − x = x

Ta cã :
f( − 2 ) = − 2 , f(1) = 2 vµ f( 2 ) = 2 .
VËy :
 Max y = Max{ − 2 , 2, 2 } = 2 đạt đợc khi x = 1.
xD



Min y = Min{
xD

Ví dụ 4:

2

, 2,

}=

2

2

đạt đợc khi x =

2

.

Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình :
12x2 − 6mx + m2 − 4 +

12
m2

= 0.

(1)
3
T×m m sao cho x1 + x3 đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
2
Giải
Phơng trình (1) có nghiệm khi:
' 0 9m2 − 12(m2 − 4 +

12
m2

) ≥ 0 ⇔ 4 ≤ m2 ≤ 12 ⇔ 2 ≤ |m| ≤ 2

.
Khi ®ã, theo định lí Viét, phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 tho¶ m·n:

3

m

x1 + x2 =


2

 x1.x2 = 1 (m2 − 4 + 12 )

12
m2


Khi ®ã :

3
x1 + x3 = (x1 + x2)3 − 3x1x2(x1 + x2) =
2

XÐt hµm sè y =

3
m
−
trªn tËp D = [ − 2 3 , 2][2, 2 3 ].

2
2m

Đạo hàm :
3
1
y' =
+
> 0 ∀m ∈ D.
2
2m 2
Do ®ã :

10

3
m
−
.
2
2m




Max y = y(2 3 ) = 3 3 ⇔ Max( x3 + x3 ) = 3 3 , đạt ®ỵc m =
1
2
x∈D
4

4

2 3.


Min y =y(−2 3 )=− 3 3 ⇔ Min( x3 + x3 ) =− 3 3 , đạt đợc m=
1
2
xD
4

4

2 3 .
Chú ý. Trong bài toán trên ta chỉ xét hàm số trên [ 2 3 , 2][2, 2 3 ].
Nếu quên điều kiện 0 thì bài toán hoàn toàn sai.
Ví dụ 5:

Giả sư (x, y) lµ nghiƯm cđa hƯ :

 x + y = 2a − 1
 2 2 2
 x + y = a + 2a 3

(I)

Xác định a để xy nhỏ nhất.
Giải
Trớc hết ta đi xác định a ®Ĩ hƯ cã nghiƯm

Tõ hƯ (I) suy ra :
x2 + (2a − 1 − x)2 = a2 + 2a − 3
⇔ 2x2 − 2(2a − 1)x + 3a2 − 6a + 4 = 0.
Hệ phơng trình (I) có nghiệm

(1)

phơng tr×nh (1) cã nghiƯm
⇔ ∆' ≥ 0 ⇔ − 2a2 + 8a 7 0 2


2
a2+
2

2
.
2

(*)

Xác định xy.
Ta cã
xy =

1
1
[(x + y)2 − (x2 + y2)] =
(3a2 − 6a + 4).
2

2

VËy xy nhá nhÊt
⇔ 3a2 − 6a + 4 nhỏ nhất trong đoạn [2
Xét hàm số Y = 3X2 − 6X + 4 trªn D = [2

2
,2+
2
2
,2+
2

2
].
2
2
].
2

Đạo hàm :
Y' = 6X 6 > 0, XD hàm số đồng biến trên D.
Ta có :
11


Min Y = Y(2 −
x∈D
VËy, Min(xy) =

11 −6 2
2
)=
.
2
2

11 −6 2
đạt đợc khi a = 2
2

2
.
2

Vấn đề 3: phơng pháp khảo sát gián tiếp
Việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bằng phơng pháp khảo sát
gián tiếp đợc thực hiện thông qua việc sử dụng đối số mới t để đa hàm số ban
đầu về dạng y = F(t) đơn giản hơn.
Vậy, để sử dụng phơng ph¸p chóng ta thùc hiƯn theo c¸c bíc sau :
Bíc 1:
Biến đổi hàm số ban đầu về dạng mới để xác định ẩn phụ
y = F((x)).
Bớc 2:

Đặt t = (x), ta có :

Bớc 3:

Điều kiện của ẩn t là Dt.

y = F(t).
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = F(t) trên Dt.

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất cđa biĨu thøc
A=

2 cos 2 x + | cos x | +1
.
| cos x | +1

Giải
Đặt |cosx| = t điều kiƯn 0 ≤ t ≤ 1.
Khi ®ã :
A=

2t 2 + t + 1
= f(t).
t +1

Miền xác định D = [0, 1].
Đạo hàm :
f' =

2t 2 + 4t
( t + 1) 2

> 0, tD hàm số đồng biến trên D.

Ta có ngay :

Min f = f(0) = 1, đạt đợc khi :
t∈D
t = 0 ⇔ |cosx| = 0 ⇔ x =



π
+ kπ, k ∈ Z.
2

Max f = f(1) = 2, đạt đợc khi :
tD
t = 1 |cosx| = 1 ⇔ sinx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z.

12


Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cđa hµm sè :
1 + sin 6 x + cos 6 x

y=

1 + sin 4 x + cos 4 x

.

Gi¶i
BiÕn đổi hàm số về dạng :

3
sin 2 2 x
4
y=
.
1
2
2 sin 2 x
2
2

Đặt X = sin22x điều kiện 0 X ≤ 1.
Khi ®ã :

3
X
3X − 8
4
y = F(X) =
=
.
1
2X 8
2 X
2
Miền xác định D = [0, 1].
Đạo hàm :
2−

y' =

−8
(2 X − 8) 2

< 0, ∀X∈D ⇒ hµm số nghịch biến trên D.

Ta có ngay :


Min y = F(1) = 5 đạt đợc khi :
XD
6
X = 1 sin22x = 1 ⇔ cos2x = 0 ⇔ x =



kπ
π
+
.
4
2

Max y = F(0) = 1 đạt đợc khi :
XD
X = 0 ⇔ sin22x = 0 ⇔ sin2x = 0 ⇔ x =

k
.
2

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số :
y = sin
Giải
Đặt t = sin
−1≤

2x
1 + x2
2x
1+x

2

2x
1+x

2

+ cos

4x
1 + x2

+ 1.

, ta cã :
≤ 1 vµ [ − 1, 1]⊂[ −

π π

,
]
2 2

13


do ®ã :
sin( − 1) ≤ sin

2x
1 + x2

≤ sin1 sin1 t sin1.

Khi đó, hàm số đợc chuyển về dạng :
y = 2t2 + t + 2 = f(t).
Miền xác định D = [ sin1, sin1].
Đạo hàm :
f' = 4t + 1,
f' = 0 ⇔ − 4t + 1 = 0 t =


Bảng biến thiên :
t
sin1
f'

1
D.

4

1/4

+

0

sin1


+

17/8

f

Dựa vào bảng biến thiên, ta có :
1. Min f = min{f( − sin1), f(sin1)} = − 2sin21 − sin1 + 2, đạt đợc khi :
tD
t = sin1
2.

Max f = f( 1
t∈
D

4
1
t=

4

2x

= − 1 ⇔ x = − 1.

1 + x2
17
)=
, đạt đợc khi
8
2x
1
sin
2 = 4 .
1+x

Ví dụ 4: Cho hµm sè :
y = cos22x + 2(sinx + cosx)2 3sin2x + m.
Tính theo m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Từ đó tìm m
sao cho y2 36 x.
Giải
Ta có :
y = cos22x + 2(sinx + cosx)2 − 3sin2x + m
= (cos2x − sin2x)2 + 2(sinx + cosx)2 − 3(1 + sin2x) + m + 3
= (sinx + cosx)2[(cosx − sinx)2 − 1] + m + 3
= (1 + sin2x)( − sin2x) + m + 3
Đặt t = sin2x điều kiện |t| 1.
Khi đó, hàm số đợc chuyển về dạng :
y = − t2 − t + m + 3 = f(t)

Miền xác định D = [ 1, 1].
Đạo hàm :
y' = 2t 1,

14


y' = 0 ⇔ − 2t − 1 = 0 ⇔ t = −

1
.
2

Ta cã :

Min f = min{f( − 1), f(− 1 ), f(1)} = min{m + 3, m + 13 , m +
tD
4
2
1}
= m + 1.
đạt đợc khi :



π
+ kπ , k∈Z.
4
13
1

 Max f = max{f( − 1), f(
), f(1)} = max{m + 3, m +
,m+
t
D
4
2
1}
13
=m+
.
4
đạt đợc khi :

t = 1⇔ sin2x = 1 ⇔ x =

π

x = − 12 + kπ
1
1
t=−
⇔ sin2x = −
⇔ 
, k∈Z.
2
2
x = 7 π + kπ

12



Ta cã :
y2 ≤ 36 ∀x ⇔ − 6 ≤ y ≤ 6

 Min f ≥ − 6  m + 1 ≥ − 6
 t∈ D

⇔ 
⇔
13 ⇔ − 7 ≤ m ≤
 Max f ≤ 6  m + 4 ≤ 6
t∈ D
VËy, víi − 7 m

11
.
4

11
thoả mÃn điều kiện đầu bài.
4

Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
y = |1 + 2cosx| + |1 + 2sinx|.
Giải
Vì y > 0 với mọi x nên ta đi xét hµm sè :
Y = y2 = 6 + 4(sinx + cosx) + 2|1 + 2(sinx + cosx) + 4sinx.cosx|
Đặt X = sinx + cosx ®iỊu kiƯn |X|≤ 2 ⇒ 2sinx.cosx = X2 − 1.
VËy :

Y = 6 + 4X + 2|1 + 2X + 2(X2 − 1)|
15


=

 2
− 1− 3 − 1+ 3
]∪ [
, 2]
 4X + 8X + 4 khi X ∈ [− 2 ,

2
2
.

− 1− 3 − 1+ 3

− 4X2 + 8 khi X [
,
]

2
2




Miền xác định D = [

Đạo hàm :

Y' =



2

2

].


− 1− 3 − 1+ 3
]∪ [
, 2]
 8X + 8 khi X ∈ [− 2 ,

2
2

− 1− 3 − 1+ 3

8X khi X [
,
]

2

2


Bảng biến thiên : đặt x1 =
X

,





1 3
1 + 3
; x2 =
2
2

1

x1

0

x2

2

+

2



Y'
Y

+

0

+

0
CĐ

CT



+
CT

Dựa vào bảng biến thiên, ta có :


Min Y = min{Y( 1 − 3 ),Y( −1 + 3 )}= ( 3 −1)2 ⇒ Miny =
X∈D
3



2

− 1.

2

Max Y =max{Y(− 2 ),Y(0),Y( 2 )}=4( 2 +1)2 ⇒ Maxy = 2( 2
X∈D
+1).

VÝ dô 6: Cho x, y tho¶ m·n x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y = 1. HÃy tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P=

x
y
+
y +1
x +1

trên khoảng 0 < x < + .
Giải
Ta có :

16


P=

x( x +1) + y(y +1)
x
y
( x + y )2 − 2 xy +1
+
=
=
=
y +1
( x +1)(y +1)
xy + x + y +1
x +1

2 2 xy
.
2 +xy

Đặt t = xy, ta có t 0 và vì
1= x+y2

xy

Vậy điều kiện lµ 0 ≤ t ≤
XÐt hµm sè f(t) =


⇔ xy

1

1
hay t
.
4
4

1
.
4

2 2t
1
trên D = [0,
].
2 +t
4

Đạo hàm :
f'=

6

< 0 tD hàm số luôn nghịch biến trên D.

(2 + t ) 2

Ta cã :
•

Min f = f( 1 ) = 2 MinP = 2 đạt đợc khi :

t∈D
4

3

1
t=
⇒
4

•

3

x+ y = 1

 1 ⇔x=y=
 xy = 4

1
.
2

Max f = f(0) = 1 MaxP = 1 đạt đợc khi :
t∈
D
t=0⇔

 x + y = 1 x =0 vµ y =1
⇔ x =1 vµ y =0 .


xy = 0


Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
F=

a4
b

4

+

b4
a

4

(

a2
b

2

+

b2
a

2

)+

a
b
+
với a, b 0.
b
a

Giải
Đặt x =

a
b
+
, điều kiện |x| 2.
b
a

Khi đó :
a2
b2

+

b2
a2

= x2 2 và

a4
b4

+

b4
a4

= ( x2 − 2)2 − 2.
17


VËy :
F = ( x2 − 2)2 − 2 − (x2 − 2) + x = x4 − 5x2 + x + 4.
XÐt hµm sè F = x4 − 5x2 + x + 4.
Miền xác định D = ( , 2][2, + ).
Đạo hàm :
F' = 4x3 − 10x + 1,
F'' = 12x2 − 10 > 0 |x| 2 F ' luôn đồng biến.
Vậy :
Víi x ≥ 2 ta cã F '(x) ≥ F'(2) = 13 > 0 F luôn đồng biến.

-

- Với x ≤ − 2 ta cã F'(x) ≤ F'( − 2) = 11 < 0 F luôn nghịch biến.
Bảng biến thiên :
x

2

2
+


F'

11

13

+

+

2
2
Dựa vào bảng biến thiên, ta có :
F

+

MinF = 2, đạt đợc khi
x= 2

a
b
+
= 2 a = b 0.

b
a

Bài tập đề nghị
Bài tËp 1: Cho hµm sè :
y = x3 − 3x.
a. Khảo sát sự biến thiên của hàm số.
b. Sử dụng đồ thị hàm số tìm giá trị lớn nhất và nhá nhÊt cđa hµm sè :
y = − sin3x − 3sin3x.
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm sè
a.

y=

b.

y=

x −1 +
3

1 −x +

2 −x .
3

1+x .

Bµi tËp 3: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số
a.

y = sinx + 3sin2x.

b.

y=

c.

y = cos3x + 2sin2

1 + 2 cos x +

1 + 2 sin x .

x
.
2

Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm sè :
18


a. y = sin20x + cos20x.
1
(cos4x − cos8x).
2

b. y = 2(1 + sin2x.cos4x)

Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa hµm sè :
a. y =

1
1
π
+
víi x ∈ (0,
).
2
sin x
cos x

b. y = 2sin2x + 4sinx.cosx +
c. y = 4x +

5

.

9 2
+ sinx trên khoảng (0, + ).
x

Bài tập 6: Cho hµm sè :
a cos 3x − sin 3x + 1
y=
.
cos 3x + 2
a. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số .

b. Xác định a để giá trị lớn nhất của hàm số nhỏ hơn hoặc bằng 1.
Bài tập 7: Với a 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y=

a + cos x

+

a +sin x

.

Bài tập 8: Tính chiều cao của hình nón nội tiếp trong hình cầu bán kính R để
hình nón nµy cã thĨ tÝch lín nhÊt.
Bµi tËp 9: Cho hµm số :
y = x2 2ax + 2a.
Xác định a để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ 1, 0] bằng 3.
Bài tập 10: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số :
6
a. y = 4x4 12x3 + 10x2 trên đoạn [0,
].
5
b. y = |x3 + 3x2 72x + 90| trên đoạn [ − 5, 5].
π π
c. y = 5cosx − cos5x trªn đoạn [
,
].
4 4
Bài tập 11: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số :
a. y =

b. y =

x 1

+

9 x

trên đoạn [3, 6].

cos x

trên đoạn [
,
].
2 2
2 + sin x

Bài tập 12: Cho hµm sè :
y = x4 − 2mx2 + 4, víi m > 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0, m].
Bài tập 13: Cho hàm số :
y = x4 − 6bx2 + b2.
19


Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ − 2, 1].
Bµi tËp 14: Gäi x1, x2 lµ các nghiệm của phơng trình :
2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0.
Tìm giá trị lín nhÊt cđa A = |x1x2 − 2(x1 + x2)|.

Bµi tập 15: Cho phơng trình :
x2 (2sin 1)x + 6sin2α − sinα − 1 = 0.
a. Víi gi¸ trị nào của thì phơng trình có nghiệm.
b. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ
3
nhất của biểu thức x 1 + x 3 khi thay đổi.
2
Bài tập 16: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
y = lg2x +

1
2

lg x + 2

.

Bài tập 17: Tìm giá trị lớn nhÊt vµ nhá nhÊt cđa hµm sè :
y = sinx cos2x +

1
.
2

Bài tập 18: Tìm giá trị lớn nhất vµ nhá nhÊt cđa hµm sè :
y=

3 cos4 x + 4 sin 2 x
3 sin 4 x + 4 cos2 x

.

Bài tập 19: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhÊt cđa hµm sè :
y = |1 − 2cosx| + |1 2sinx|.
Bài tập 20: Giả sử x và y thay đổi thoả mÃn x > 0, y > 0 và x + y = 1. HÃy tìm
giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :
P=

x
1 x

+

y
1 y

.

Bạn đọc muốn có tài liệu về lời giải các bài tập xin liên hệ
tới

Nhóm Cự Môn

20