Chuyên đề tô màu TRÊN ĐƯỜNG TRÒN

Tễ MU TRấN

ếNG TRềN

Nguyn
M: Quang
TO13 Tõn
Trèng THPT Chuyờn Lo Cai
Túm tt nẻi dung
Trong bi bỏo v nh l Fermat nh trờn tĐp chớ Kvant thỏng 1/2000, cú bi
toỏn m sậ cỏch tụ mu cỏc ứnh ca mẻt a giỏc u cú p ứnh băng a mu.
Bit răng p l sậ nguyờn tậ v hai cỏch tụ mu ềc xem l nh nhau nu chỳng
l Ênh ca nhau qua mẻt phộp quay quanh tõm ca a giỏc. Cõu hi tá nhiờn
t ra nu p khụng phÊi l sậ nguyờn tậ thỡ kt quÊ bi toỏn s thay i nh th
no?
Hẽn na cỏc bi toỏn v tụ mu cỏc ứnh ca mẻt a giỏc u, hay chớnh l
cỏc im chia u mẻt èng trũn cng xuòt hiên trong cỏc kỡ thi VMO 1995,
2010, 2014 v Vietnam TST 2014. Vỡ vy bi vit ny phõn tớch phẽng phỏp giÊi,
cỏch t duy v ng thèi cng tỡm lèi giÊi tng quỏt cho mẻt sậ bi toỏn.
giÊi cỏc bi toỏn ny, trểc ht ta khụng tụ mu trờn èng trũn m tụ
mu trờn èng thỉng ri tớnh xem nhng cỏch tụ mu no trờn èng thỉng
b ng nhòt trờn èng trũn.
Hai cỏch tụ mu trờn èng thỉng ềc coi l tẽng ẽng nu chỳng cựng
l mẻt cỏch tụ mu trờn èng trũn, v quan hê ny ỳng l mẻt quan hê tẽng
ẽng. Vỡ vy tng ca cỏch m õy l chia mẻt tp hềp thnh cỏc lểp
tẽng ẽng ri i m sậ lểp tẽng ẽng.

1

Tụ mu trờn èng trũn v nghch Êo Mobius
ă

Bi tp 1. Cho n l mẻt sậ nguyờn dẽng, hi cú bao nhiờu cỏch sp xp n ngèi
ngi quanh mẻt chic bn trũn. Bit răng hai cỏch sp xp ềc coi l mẻt nu chỳng
l Ênh ca nhau qua mẻt phộp quay quanh tõm ca mt bn?
Lèi giÊi. GiÊ s n ngèi ngi quanh bn l a1 , a2 , . . . , an . Nu nhng ngèi ny ngi
trờn mẻt chic gh bng thỡ mẩi cỏch sp xp ngèi vo gh l n! (sậ hoỏn v ca cỏc
phản t).
GiÊ s b1 b2 . . . bn l mẻt hoỏn v ca n phản t a1 , a2 , . . . , an . T hoỏn v ny ta
thác hiên phộp hoỏn v vũng quanh v thu ềc thờm n 1 na, th hiên qua bÊng
dểi õy
b1 b2 b3 . . . bn 2 bn 1 bn
b2 b3 b4 . . . bn 1 bn
b1
b3 b4 b5 . . . bn
b1
b2
...
bn 1 bn b1 . . . bn 4 bn 3 bn 2
bn b1 b2 . . . bn 3 bn 2 bn 1
1


NGUYụN QUANG TN

Tụ mu trờn èng trũn

V nu bĐn cậ tớnh thác hiên thờm phộp hoỏn v vũng quanh thỡ cng khụng thờm
ềc hoỏn v mểi. Nhng tòt cÊ n hoỏn v trờn chứ ềc tớnh l mẻt khi xp quanh
n!
bn trũn. Vỡ vy sậ sp xp quanh bn trũn l

= (n 1)!.
n
Vểi cỏch suy lun trờn ta giÊi ềc mẻt bi toỏn thỳ v hẽn.
Bi tp 2. Cho p l mẻt sậ nguyờn tậ v a l mẻt sậ nguyờn dẽng lển hẽn 1. Cú bao
nhiờu cỏch tụ mu cỏc ứnh ca mẻt p - giỏc u băng a mu. Bit răng, hai cỏch tụ
mu ềc xem l nh nhau nu chỳng l Ênh ca nhau qua mẻt phộp quay quanh
tõm ca a giỏc.
Lèi giÊi. Ta t tờn a mu l m1 , m2 , . . . , m a .
Nu ta khụng tụ mu cỏc p ứnh ca a giỏc m trểc ht ta xột cỏch tụ mu p
im thuẻc mẻt èng thỉng thỡ sậ cỏch tụ mu s l a p .
Trong ú cú a cỏch tụ mu c biêt, tòt cÊ cỏc im ềc tụ cựng mẻt mu.
Xột mẻt cỏch tụ mu cỏc im (khụng phÊi l mẻt trong a trèng hềp c biêt
trờn), tớnh t trỏi qua phÊi l
mi1 mi2 mi3 . . . mi p 2 mi p 1 mi p
Trong ú 1 i j a, 81 j p.
Thác hiên phộp hoỏn v vũng quang ta thu ềc thờm p
bÊng dểi õy
mi1
mi2
mi3
...
mi p 1
mi p

mi2 mi3 . . . mi p 2 mi p 1
mi3 mi4 . . . mi p 1 mi p
mi4 mi5 . . . mi p
mi1
mi p mi1 . . . mi p
mi1 mi2 . . . mi p

4
3

mi p
mi p

3
2

1 hoỏn v th hiên qua

mi p
mi1
mi2
mi p
mi p

2
1

Trong quỏ trỡnh thác hiên phộp hoỏn v vũng trũn trờn nu sau k lản thác hiên m
ta thu lĐi hoỏn v ban ảu thỡ thỡ k | p nhng p nguyờn tậ nờn k = 1, iu ny l vụ
l vỡ cỏc im trờn khụng ềc tụ cựng bi mẻt mu.
Khi tụ mu p ứnh ca a giỏc thỡ p cỏch tụ mu trờn chứ ềc tớnh l mẻt. Vy
p
ỏp sậ bi toỏn l a p a + a.

Chỳ bÊng trờn ca ta cú ỳng p dũng bi vỡ p nguyờn tậ. Bõy giè ta s giÊi mẻt
bi toỏn tẽng tá nhng khú hẽn.

Bi tp 3. Cho p, q l hai sậ nguyờn tậ phõn biêt. Cú bao nhiờu cỏch tụ mu ứnh
ca mẻt a giỏc u cú pq ứnh, băng ỳng a mu. Bit răng, hai cỏch tụ mu ềc
xem l nh nhau nu chỳng l Ênh ca nhau qua mẻt phộp quay quanh tõm èng
trũn ngoĐi tip a giỏc.
Lèi giÊi. Chỳng ta vđn bt ảu lèi giÊi nh, tc l xột cỏch tụ mu pq im trờn mẻt
èng thỉng.
2


NGUYụN QUANG TN

Tụ mu trờn èng trũn

Ta ỏnh th tá cỏc im ny t 1 tểi pq. Ta chia cỏc cỏch tụ mu pq im trờn
èng thỉng thnh 3 loĐi.
LoĐi 1. Cỏc im ềc tụ cựng mẻt mu. Cú a cỏch.
LoĐi 2. (Tụ mu lp lĐi theo chu kỡ p) nghổa l nu i j mod p thỡ im th i v
im th j ềc tụ cựng mẻt mu. tụ mu kiu ny ta chứ cản tụ mu mẻt chu k
vểi ẻ di p l ềc. Vỡ vy sậ cỏch tụ mu loĐi ny l a p a.
Cỏch tụ mu ny khi thác hiên phộp vũng quanh tểi lản th p thỡ s lp lĐi. Vỡ
ap a
vy khi trin khai nờn èng trũn thỡ s chứ cũn
cỏch.
p
LoĐi 3. (Tụ mu lp lĐi theo chu kỡ q). Tẽng tá nh trờn s cú aq a cỏch.
aq a
Khi trin khai nờn èng trũn cũn
cỏch.
a
LoĐi 4. L cỏc trèng hềp cũn lĐi, cú a pq ( a p a) ( aq a) a = a pq a p

q
a + a cỏch.
Mẩi cỏch tụ mu loĐi ny khi thác hiên phộp hoỏn v vũng quanh thỡ s chứ lp
a pq a p aq + a
lĐi sau pq lản. Vỡ vy khi trin khai nờn èng trũn s cũn
cỏch.
pq
a pq a p aq + a aq a a p a
ỏp sậ bi toỏn l
+
+
+ a.
pq
a
p
Trèng hềp p = q ta cú bi toỏn sau:
Bi tp 4. Cho p l mẻt sậ nguyờn tậ. Cú bao nhiờu cỏch tụ mu ứnh ca mẻt a
giỏc u cú p2 ứnh, băng ỳng a mu. Bit răng, hai cỏch tụ mu ềc xem l nh
nhau nu chỳng l Ênh ca nhau qua mẻt phộp quay quanh tõm èng trũn ngoĐi
tip a giỏc.
Lèi giÊi. Vểi lp lun tẽng tá v ẽn giÊn hẽn trèng hềp trờn ta cú ỏp sậ bi toỏn
2
ap
ap ap a
l:
+
+ a.
p2
p
T kt quÊ trờn ta cú mẻt lèi giÊi mểi cho bi VMO 2010.

Bi tp 5 (VMO 2010). Cho bÊng 3 3 v n l mẻt sậ nguyờn dẽng cho trểc. Tỡm
sậ cỏc cỏch tụ mu khụng nh nhau khi tụ mẩi ụ bi mẻt trong n mu. (Hai cỏch tụ
mu gi l nh nhau nu mẻt cỏch nhn ềc t cỏch kia bi mẻt phộp quay quanh
tõm hỡnh vuụng.)
A1

A2

B1

D2

O

B2

D1

C2

C1

A
B

D
C

Lèi giÊi. Trểc ht ta thòy cú n cỏch tụ mu ụ trung tõm O.
Ta coi hai ụ A1 , A2 l mẻt ứnh A ca hỡnh vuụng.

3


NGUYụN QUANG TN

Tụ mu trờn èng trũn

Ta coi hai ụ B1 , B2 l mẻt ứnh B ca hỡnh vuụng.
Ta coi hai ụ C1 , C2 l mẻt ứnh C ca hỡnh vuụng.
Ta coi hai ụ D1 , D2 l mẻt ứnh D ca hỡnh vuụng.
Sậ cỏch tụ mu hai ụ A1 , A2 l a = n2 . Nh vy bi toỏn ny tr thnh bi toỏn
tụ mu 4 ứnh A, B, C, D ca mẻt hỡnh vuụng (năm trờn mẻt èng trũn) trong ú
mẩi ứnh ềc tụ bi mẻt trong a = n2 mu.
p dng bi toỏn trờn vểi a = n2 v p = 2, ta ềc sậ tụ mu 4 ứnh A, B, C, D
8
4
2
(n2 )4 (n2 )2 (n2 )2 n2
2 = n + n + 2n .
l
+
+
n
22
2
4
n9 + n5 + 2n3
Nhõn vểi n cỏch tụ mu hỡnh vuụng nh O ta cú ỏp sậ bi toỏn l
.
4

Vểi lèi giÊi trờn ta thòy cú th m rẻng bi toỏn trờn t hỡnh vuụng 3 3 n hỡnh
vuụng k k.
Bi tp 6 (M rẻng bi VMO 2010). Cho bÊng k k v n l mẻt sậ nguyờn dẽng
cho trểc. Tỡm sậ cỏc cỏch tụ mu khụng nh nhau khi tụ mẩi ụ bi mẻt trong n
mu. (Hai cỏch tụ mu gi l nh nhau nu mẻt cỏch nhn ềc t cỏch kia bi mẻt
phộp quay quanh tõm hỡnh vuụng.)
Lèi giÊi. Vđn vểi cỏch giÊi nh trờn.
Trèng hềp 1. k l sậ lƠ, t a = n
n

a4

a2
4

+

k2 1
4

a2

a
2

. V kt quÊ bi toỏn l
!

+a =

a4 + a2 + 2a
.n
4

k2

Trèng hềp 2. k l sậ chặn, t a = n 4 . Kt quÊ bi toỏn l
a4

a2
4

+

a2

a
2

+=

a4 + a2 + 2a
.
4

T cỏc bi toỏn trờn chỳng ta xuòt bi toỏn tụ mu tng quỏt.
Bi tp 7 (Bi toỏn tụ mu tng quỏt). Cho n l mẻt sậ nguyờn dẽng. Cú bao nhiờu
cỏch tụ mu ứnh ca mẻt a giỏc u cú n ứnh, băng ỳng a mu. Bit răng, hai
cỏch tụ mu ềc xem l nh nhau nu chỳng l Ênh ca nhau qua mẻt phộp quay
quanh tõm èng trũn ngoĐi tip a giỏc.

Trểc giÊi bi toỏn ny chỳng ta cản mẻt chỳt kin thc v sậ hc.
Hm Mobius.
Vểi mẩi sậ nguyờn dẽng n giỏ tr ca hm à (n) thuẻc tp { 1, 0, 1}
ă
v ph thuẻc vo phõn tớch nguyờn tậ ca n nh sau:
à (1) = 1;
à (n) = 0 nu n cú ểc p2 trong ú p nguyờn tậ;
à (n) = ( 1)k nu n = p1 . . . pk trong ú p1 , . . . , pk l cỏc sậ nguyờn tậ phõn
biêt;
4


NGUYụN QUANG TN

Tụ mu trờn èng trũn

Vớ d: à (28) = 0, à (30) = 1.
Cụng thc nghch Êo Mobius.
Nu f v g l 2 hm sậ hc tha món
ă
g(n) =

X

f (d)

vểi mi sậ nguyờn n

1

d|n

thỡ

f (n) =

X

vểi mi sậ nguyờn n

à (d) g(n/d)

1

d|n

trong ú à l hm Mobius
v cỏc tng trờn ềc lòy theo tòt cÊ cỏc ểc nguyờn
ă
dẽng d ca n.
Phi hm Euler '(n) l sậ cỏc sậ nguyờn dẽng khụng vềt quỏ n v nguyờn tậ
vểi n.
P
Tớnh chòt ca Gauss: '(d) = n.
d|n

Cỏc chng minh cho cỏc kt quÊ trờn v sậ hc cú th xem tĐi ti liêu [1].
p dng tớnh chòt Gauss v cụng thc nghc Êo Mobius
ta cú:
ă

'(n) =

X
d|n

Suy ra

X à (d)

d

d|n

=

à (d)

n
d

'(n)
n

(1)

Lèi giÊi. Ta t tờn a mu l m1 , m2 , . . . , m a .
Nu ta khụng tụ mu cỏc n ứnh ca a giỏc m trểc ht ta xột cỏch tụ mu n
im thuẻc mẻt èng thỉng thỡ sậ cỏch tụ mu s l an .
Xột mẻt cỏch tụ mu cỏc im, tớnh t trỏi qua phÊi l
mi1 mi2 mi3 . . . mi p 2 mi p 1 min

Trong ú 1 i j a, 81 j n. Khi thác hiên mẻt lản phộp hoỏn v vũng quanh ta
thu ềc cỏch tụ mu sau:
mi2 mi3 mi4 . . . mi p 1 min mi1
Ta gi mẻt cỏch tụ mu l tuản hon chu k d, nu d l sậ nguyờn dẽng nh nhòt
sao cho khi thác hiên d lản phộp hoỏn v vũng quanh thỡ thu ềc chớnh nú, rừ rng
d | n.
P
Gi sậ cỏch tụ mu tuản hon chu k d l g(d) thỡ ta cú: an =
g(d). Khi ú sậ
cỏch tụ mu cản tớnh l f (n) =

P g(d)

d|n

d

d|n

.

Theo cụng thc nghch Êo Mobius
ta cú: g(n) =
ă

5

P

d|n

n

à (d) a d .


NGUYụN QUANG TN

Tụ mu trờn èng trũn

Suy ra
f (n) =

=
=

P g(d)

d|n

=

d

P P à (k)

d
k

k

d

k a
d|n k|d
P ad n ọ d
d' d n
d|n

=
=

d
P 1P
à (k) a k

d|n

d

k|d

P ad P à ( h)

d
h
d|n
h| nd

ọ
1 P d

n
a
'
n
d
d|n

Bõy giè ta ỏp dng cụng thc ny kim tra lĐi mẻt sậ kt quÊ ó Đt ềc
trờn.
f ( p) =

pọ
1 P d
a' d
p
d| p

f ( p2 ) =

=

1
p2



1 P d
a'
p2
d| p2

ap( p



1
p

=
p2
d

( a( p

2

a pq

ap a
p

+ a.

ó

1) + a p ( p

1) + a p

2

pq ọ
1 P d
1
a
'
pq
d = pq ( a ( p
d| pq
p
q
a p aq + a
+ a p a + a q a + a.
pq

f ( pq) =

=

1) + a p ) =



=

ap

2

p2

1)(q

ap

+

ap a
p

+ a.

1) + a p (q

1) + aq ( p

1) + a pq )

Tụ mu v truy hi

Bõy giè ta thờm vo yờu cảu cỏc ứnh k nhau phÊi tụ khỏc mu. Trểc ht ta bt
ảu vểi mẻt bi toỏn quen thuẻc, ềc giÊi băng phẽng phỏp truy hi.
Bi tp 8. Cho mẻt a giỏc cú u n ứnh l A1 A2 . . . An v a mu cho sặn. Hi cú
bao nhiờu cỏch tụ mẩi ứnh ca a giỏc bi mẻt trong a mu sao cho khụng cú 2 ứnh
no k nhau ềc tụ cựng mu?
Lèi giÊi. GiÊ s sậ cỏch tụ mu l f n (ph thuẻc vo n). XÊy ra 2 trèng hềp.
Trèng hềp 1. A1 v An 1 ềc tụ cựng mu. Khi ú cỏch tụ mu n 1 ứnh t
A1 n An 1 l f n 2 v ứnh An cũn lĐi cú a 1 cỏch tụ mu. Vy trèng hềp ny cú
a fn 2.
Trèng hềp 2. A1 v An 1 ềc tụ khỏc mu. Khi ú sậ cỏch tụ mu t A1 n

An 1 chớnh l f n 1 . ứnh An cũn lĐi cú a 2 cỏch tụ mu.
Ta cú quan hê truy hi f n = ( a 2) f n 1 + ( a 1) f n 2 .
Kt hềp vểi f 2 = a( a 1), f 3 = a( a 1)( a 2), dáa vo phẽng trỡnh c trng
ta cú: f n = ( a 1)n + ( a 1)( 1)n .
Bõy giè ta kt hềp vểi sá ng nhòt qua phộp quay quanh tõm èng trũn v thay
n = p nguyờn tậ ta ềc bi toỏn sau.
Bi tp 9. Cho p l mẻt sậ nguyờn tậ lƠ, a > 3 l mẻt sậ nguyờn v mẻt a giỏc cú
u p ứnh. Hi cú bao nhiờu cỏch tụ mẩi ứnh ca a giỏc bi mẻt trong a mu sao
cho khụng cú 2 ứnh no k nhau ềc tụ cựng mu? Bit răng hai cỏch tụ ềc coi
l mẻt nu chỳng l Ênh ca nhau qua phộp quay quanh tõm èng trũn.
6


NGUYụN QUANG TN

Tụ mu trờn èng trũn

Lèi giÊi. Nu ta t tờn cỏc ứnh ca a giỏc l A1 A2 . . . A p thỡ sậ cỏch tụ mu l
f p = ( a 1 ) p ( a 1 ).
Vểi mẩi mẻt cỏch tụ ta thác hiên phộp hoỏn v vũng quanh thỡ thu ềc tòt cÊ p
cỏch tụ v cỏc cỏch tụ ny ềc tớnh l mẻt theo bi.
( a 1) p a + 1
f
Vy ỏp sậ bi toỏn l = pp =
.
p
Thay p bi pq l tớch ca 2 sậ nguyờn tậ phõn biêt ta ềc bi toỏn mểi:
Bi tp 10. Cho p, q l mẻt sậ nguyờn tậ phõn biêt, a > 3 l mẻt sậ nguyờn v mẻt
a giỏc cú u pq ứnh. Hi cú bao nhiờu cỏch tụ mẩi ứnh ca a giỏc bi mẻt trong
a mu sao cho khụng cú 2 ứnh no k nhau ềc tụ cựng mu? Bit răng hai cỏch tụ

ềc coi l mẻt nu chỳng l Ênh ca nhau qua phộp quay quanh tõm èng trũn.
Lèi giÊi. Ta t tờn cỏc im A1 , A2 , . . . , A pq . Sậ cỏch ny theo yờu cảu ca bi toỏn
... l f pq . Ta chia cỏc cỏch tụ ny thnh 3 loĐi.
LoĐi 1. Tuản hon chu kỡ p tc l nu i j mod p thỡ im Ai , A j ềc tụ cựng
mẻt mu. tụ mu theo cỏch tụ ny, ta chứ cản tụ mu mẻt chu kỡ, khi ú sậ cỏch
tụ mu l f p . Mẩi cỏch tụ theo cỏch ny khi thác hiên phộp hoỏn v vũng quanh thỡ
sau p lản hoỏn v s tr lĐi nh ban ảu. Khi thác hiên ng nhòt qua phộp quay
f
tõm èng trũn thỡ trèng hềp ny cú pp .
LoĐi 2. Tuản hon theo chu kỡ q, trèng hềp ny cú

fq
q

cỏch tụ mu.

LoĐi 3. Cỏc cỏch tụ cũn lĐi, tc l cú f pq f p f q cỏch tụ. Trong ú nu mẩi cỏch
tụ ny chứ tr lĐi nh ban ảu sau khi thác hiên pq lản phộp hoỏn v vũng quanh. Vỡ
vy khi thác hiên ng nhòt qua phộp quay tõm èng trũn thỡ trèng hềp ny cú
f pq f p f q
.
pq
Vy ỏp sậ bi toỏn l
f pq f p f q
f
f
+ pp + qq = (a
pq

1) pq ( a 1) p ( a 1)q + a 1

pq

+

( a 1) p a+1
p

+

( a 1)q a+1
q

Tẽng tá nh phản trờn ta cng i tng quỏt bi toỏn ny:
Bi tp 11. Cho n l mẻt sậ nguyờn dẽng, a > 3 l mẻt sậ nguyờn v mẻt a giỏc
cú u n ứnh. Hi cú bao nhiờu cỏch tụ mẩi ứnh ca a giỏc bi mẻt trong a mu
sao cho khụng cú 2 ứnh no k nhau ềc tụ cựng mu? Bit răng hai cỏch tụ ềc
coi l mẻt nu chỳng l Ênh ca nhau qua phộp quay quanh tõm èng trũn ngoĐi
tip a giỏc.
Lèi giÊi. Xột n im trờn èng thỉng, sậ cỏch tụ mẩi im bi mẻt trong a mu
sao cho khụng cú 2 im no k nhau ềc tụ cựng mu. Sậ cỏch tụ nh ta ó bit
f ( n ) = ( a 1 ) n + ( 1 ) n ( a 1 ).
Mẻt cỏch tụ mu gi l tuản hon chu kỡ d nu d l sậ nguyờn dẽng nh nhòt
sao cho khi ta thác hiên phộp hoỏn v vũng quanh d thỡ thi thu ềc chớnh nú. Rừ
rng d | n.
P
Gi sậ cỏch tụ mu tuản hon chu kỡ d l g(d) ta cú cụng thc f (n) =
g ( d ).
d|n

7

NGUYụN QUANG TN

Tụ mu trờn èng trũn

Khi ú sậ cỏch tụ mu cản tớnh l h(n) =

P g(d)
d

d|n

.

Theo cụng thc nghch Êo Mobius
ta cú: g(n) =
ă
Suy ra
h(n) =

=

ọ
P 1P
à (k) f d

d|n

d

k

k|d

P f (d) P à (k)

d|n

d

k| nd

k

=

P P à (k)

=

d|n k|d

P f (d)
d

d|n

'

k

ọ
n
d

f
d
n

P

d|n

à (d) f

ọ
d
k

=

ọ
n
d

.

k
d

1 P
n
d|n

f (d)'

ọ
n
d

Ta hóy th kt quÊ trờn vểi mẻt bi toỏn c th:
Bi tp 12. Cho mẻt a giỏc u cú 12 ứnh. Hi cú bao nhiờu cỏch tụ mẩi ứnh ca
a giỏc bi mẻt trong 4 mu xanh, , tớm, vng, sao cho khụng cú 2 ứnh no k
nhau ềc tụ cựng mu? Bit răng hai cỏch tụ ềc coi l mẻt nu chỳng l Ênh ca
nhau qua phộp quay quanh tõm èng trũn ngoĐi tip a giỏc.
Lèi giÊi. Kt quÊ bi toỏn l h(12) =

3

1 P
(3d
12
d|12

+ ( 1)d 3)'



12
d

ọ

= 44368.

Tụ mu v nguyờn lớ bao hm - loĐi tr

Bi tp 13 (VMO 1995). Cho sậ nguyờn n
2 v cho mẻt a giỏc u 2n ứnh.
Ngèi ta tụ tòt cÊ cỏc ứnh ca a giỏc u ú bi n mu sao cho cỏc iu kiên sau
ềc ng thèi thoÊ món
1) Mẩi ứnh ềc tụ bi mẻt mu;
2) Mẩi mu ềc dựng tụ cho ỳng hai ứnh khụng k nhau.
Hai cỏch tụ mu, thoÊ món cỏc iu kiên trờn, ềc gi l tẽng ẽng nu cỏch
tụ mu ny cú th nhn ềc t cỏch tụ mu kia nhè mẻt phộp quay quanh tõm
ca a giỏc u ó cho. Hi cú tòt cÊ bao nhiờu cỏch tụ mu ụi mẻt khụng tẽng
ẽng?
Lèi giÊi. Ta t tờn cỏc ứnh ca a giỏc l A1 , . . . , A2n .
(2n)!
2 .C 2
2
Tng sậ cỏch tụ mu C2n
2(n 1) . . . C2 = 2n .

t tờn cỏc mu dựng tụ l {c1 , . . . , cn }.
Gi Tk l tp hềp cỏc cỏch tụ mu m cú 2 ứnh k nhau ca a giỏc ềc tụ cựng
mu ck .
Sậ cỏch tụ mu phự hềp l: Fn =
tr: Fn =

(2n)!
2n

+

n
P

k=1

( 1)k

P

(2n)!
2n

1i1
n
S

i =1

Tk . Theo nguyờn l bao hm - loĐi

Ti1 \ . . . \ Tik .

Bõy giè vểi mẻt bẻ 1 i1 < i2 < ã ã ã < ik n ta i tớnh Ti1 \ . . . \ Tik .
Thác ra õy chớnh l sậ cỏch tụ mu m mẩi mu trong {ci1 , . . . , cik } u ềc

dựng tụ cho 2 ứnh k nhau.
TH1: A1 , A2n khụng ềc cựng mẻt mu trong cỏc mu ci1 , . . . , cik . Nh vy ta
cú k khậi 2 ứnh, v 2n 2k khậi mẻt ứnh, nh vy cản tớnh sậ hoỏn v ca 2n k
(2n k)!
2
2
2
khậi v băng: C2n
k C2n k 2 . . . Ck+2 .k! = 2n k .
8


NGUYụN QUANG TN

Tụ mu trờn èng trũn

TH2: A1 , A2n ềc tụ cựng bi trong cỏc mu {ci1 , . . . , cik }, cỏch chn mu cho 2
ứnh ny l k. Nh vy ta cú k 1 khậi 2 ứnh v 2n 2k khậi mẻt ứnh, vy cỏch tụ
2
2
2
trong trèng hềp ny l: k.C2n
1)! = (2n 2nk k1)!k .
k 1 C2n k 3 . . . Ck+1 . ( k
(2n k 1)!2n
.
2n k
1)k Cnk (2n 2kn k1)!2n .

Vy Ti1 \ . . . \ Tik =

Suy ra Fn =

n
P

k=0

(

Nu mẻt cỏch tụ mu l tuản hon chu kỡ d thỡ mẩi mu s lp lĐi 2n
d . Nhng mẩi
mu õy lp 2 lản.
Nờn chứ tn tĐi cỏc cỏch tụ mu tuản hon chu kỡ n v 2n. Sậ cỏc cỏch tụ mu tuản
hon chu kỡ n l n!.
n
P
Vy ỏp ỏn bi toỏn l Fn2nn! + n!
( 1)k Cnk (2n2nk k 1)! + (n 2 1)! .
n =
k=0

Bi toỏn trờn cú l xuòt phỏt t bi toỏn sau:
Bi tp 14 ( Francáois ẫdouard Anatole Lucas). Cho mẻt cỏi bn trũn v m cp về
chng, cú bao nhiờu cỏch xp h ngi nam n xem k sao cho khụng cp về
chng no ngi k nhau?

4

Tụ mu v bi toỏn chia kào Euler

Bi tp 15 (Chia kào ca Euler 1). Cho k, n l cỏc sậ nguyờn dẽng v k n. Cú
bao nhiờu cỏch chia n chic kào cho k em bộ, sao cho mẩi em ềc ớt nhòt 1 cỏi?
Lèi giÊi. Lèi giÊi 1. Xp n chic kào thnh 1 hng dc, ta thòy cú n 1 khe năm gia
2 chic kào liờn tip. phõn chia n chic kào cho k ngèi, ta phÊi t ra k 1 vĐch
phõn cỏch. Sậ cỏch thác hiên viêc ny l Cnk 11 .
Lèi giÊi 2. Bi toỏn tẽng ẽng vểi viêc tỡm sậ nghiêm nguyờn dẽng ca
phẽng trỡnh
x1 + x2 + ã ã ã + xk = n.
(2)
t

y1 = x1
y2 = x1 + x2
ããã
yk 1 = x1 + ã ã ã + xk

1

Ta thòy sậ nghiêm ca (2) băng sậ dóy
1 y1 < y2 < ã ã ã < yk
Sậ dóy nh th l Cnk

1

< n.

1
1.

Bi tp 16 (Chia kào ca Euler 2). Cho k, n l cỏc sậ nguyờn dẽng v k n. Cú

bao nhiờu cỏch chia n chic kào cho k em bộ?
9


NGUYụN QUANG TN

Tụ mu trờn èng trũn

Lèi giÊi. Lèi giÊi 1.
Êm bÊo mẩi em bộ cú ớt nhòt mẻt chic kào giậng bi toỏn trểc. Ta cho mẩi
em mẻt chic kào, khi ú bi toỏn tr thnh: Cú bao nhiờu cỏch chia n + k cỏi kào
cho k em bộ, sao cho mẩi em cú ớt nhòt mẻt chic. Theo bi toỏn trểc thỡ ỏp ỏn l
Cnk +1k 1 .
Lèi giÊi 2.
Xột mẻt dóy gm n bi trng v k 1 bi en. Xp n + k 1 ny thnh mẻt hng
dc. Mẩi cỏch sp xp cỏc viờn bi l mẻt cỏch chia kào, trong ú sậ bi trng tớnh t
ảu hng tểi viờn bi en th nhòt l sậ kào ca em ảu tiờn, sậ viờn bi trng năm
gia viờn bi en th i v i + 1 l sậ kào ca em th i + 1. T ú ta cng Đt ềc kt
quÊ nh trờn.
Bi tp 17. Cho mẻt a giỏc u cú n ứnh v an chic kào, ngèi ta chia ton bẻ
sậ kào tĐi cỏc ứnh ca a giỏc sao cho mẩi ứnh cú ớt nhòt mẻt cỏi. Hai cỏch chia
kào ềc coi l mẻt nu cỏch ny cú th nhn ềc t cỏch kia qua mẻt phộp quay
quanh tõm ca a giỏc.
n
Lèi giÊi. Sậ cỏch chia kào dáa theo kt quÊ bi toỏn chia kào Euler l f (n) = Can
Nu mẻt cỏch chia kào l tuản hon chu kỡ d thỡ rừ rng d | n.
Gi sậ cỏch chia kào theo chu kỡ d l g(d).
P
Ta cú f (n) =
g ( d ).

1
1.

d|n

Băng cỏch lp lun tẽng tá nh trờn ta cú ỏp ỏn ca bi toỏn l
ọ
ọ
P g(d)
P d 1
1 P
h(n) =
f (d)' nd = n1
Cad 1' nd
d = n
d|n

d|n

d|n

Ta ỏp dng cụng thc trờn vểi mẻt bi toỏn c th:
Bi tp 18. Cho mẻt a giỏc u cú 15 ứnh v 30 chic kào, ngèi ta chia ton bẻ
sậ kào tĐi cỏc ứnh ca a giỏc sao cho mẩi ứnh cú ớt nhòt mẻt cỏi. Hai cỏch chia
kào ềc coi l mẻt nu cỏch ny cú th nhn ềc t cỏch kia qua mẻt phộp quay
quanh tõm ca a giỏc.
Lèi giÊi.

ỏp sậ bi toỏn l h(15) =

ọ
d 1
1 P
15
C2d
1' d
15
d|15

= 5170604.

Tòt nhiờn chỳng ta cú th a ra cỏc lp lun ẽn giÊn v khụng cản dựng cụng
thc trờn.
Bi tp 19 (VMO 2014). Cho a giỏc u cú 103 cĐnh. Tụ mu 79 ứnh ca a
giỏc v tụ mu xanh cỏc ứnh cũn lĐi. Gi A l sậ cp ứnh k nhau v B l sậ cp
ứnh xanh k nhau.
a) Tỡm tòt cÊ cỏc giỏ tr cú th nhn ềc ca cp ( A, B).
b) Xỏc nh sậ cỏch tụ mu cỏc ứnh ca a giỏc B = 14. Bit răng, hai cỏch
tụ mu ềc xem l nh nhau nu chỳng cú th nhn ềc t nhau qua mẻt phộp
quay quanh tõm ca a giỏc.

10


NGUYụN QUANG TN

Tụ mu trờn èng trũn

Lèi giÊi. a) Nu cỏc ứnh mu xanh ềc chi lm k khậi thỡ cỏc ứnh cng ềc

chia lm k khậi. Khi ú ( A, B) = (79 k, 24 k) vểi 1 k 24.
b) B = 14 thỡ k = 10. Sậ cỏch phõn chia cỏc 79 ứnh xanh thnh 10 khậi l
9
9 . Nờn sậ cỏch tụ mu cỏc ứnh l
C78 v sậ cỏch chia 24 ứnh thnh 10 khậi l C23
9
9
C78 .C23 . Khi trin khai trờn èng trũn ta cú 10 cỏch chn im bt ảu cho mẻt
khậi kộp- gm mẻt khậi v mẻt khậi xanh k nhau. Vỡ 103 l sậ nguyờn tậ nờn
khi ta quay nờn cỏch tụ chứ lp lĐi sau 10 lản quay. Vỡ vy ỏp bi toỏn l

9 .C 9
C78
23
10 .

Bi toỏn ny cú th tng quỏt nh sau:
Bi tp 20. Cho cỏc sậ nguyờn dẽng a, b, k tha món a + b nguyờn tậ v k min( a, b).
Mẻt a giỏc cú u a + b ứnh. Cú bao nhiờu cỏch tụ mu cỏc ứnh a giỏc sao cho
cú a ứnh mu xanh, b ứnh mu v cỏc ứnh mu ềc chia lm k khậi. Bit
răng, hai cỏch tụ mu ềc xem l nh nhau nu chỳng cú th nhn ềc t nhau
qua mẻt phộp quay quanh tõm ca a giỏc.
Lèi giÊi.

5

ỏp sậ

Cak

1 k 1
1 .Cb 1

k

.

ậi xng qua tõm

Bi tp 21. Cho 2n im chia u mẻt èng trũn sao cho trong 2 im ậi xng
qua tõm thỡ cú ỳng 1 ứnh ềc tụ mu. Tớnh sậ cỏc cp ứnh k nhau ềc tụ mu
cú th cú.
Lèi giÊi. Ta luụn kƠ ềc mẻt èng kớnh ca èng trũn, chia èng trũn lm 2
na sao cho mẻt na cú im bt ảu v im kt thỳc cựng ềc tụ mu goi l na
A, v mẻt na cú cú im ảu v im cuậi khụng ềc tụ mu gi l na B.
Trờn na A: GiÊ s cú k im ềc tụ mu v ềc chia lm t khậi, thỡ cỏc im
khụng ềc tụ mu s ềc chia lm t 1 khậi. Sậ cp im k cựng ềc tụ mu
trờn A l k t.
Trờn na B: S cú n k im ềc tụ mu v chia thnh t 1 khậi. Sậ cp im
k cựng ềc tụ mu l n k t + 1.
Vy sậ cp ứnh k nhau cựng ềc tụ mu cú th nhn cỏc giỏ tr k t + n k
1
t + 1 = n + 1 2t vểi 1 t b n+
2 c.
Chỉng hĐn vểi n = 10 thỡ cỏc kt quÊ cú th cú l: 11 2t vểi 1 t 5 tc l
{1, 3, 5, 7, 9}.
Nhng vểi n = 3 thỡ cỏc kt quÊ cú th cú l: 4 2t vểi t = 1, 2 tc l {0, 4}.
Bi tp 22 (Vietnam TST 2014). Trong mt phỉng ta ẻ Oxy, xột cỏc im nguyờn
cú ta ẻ thuẻc
T = {( x; y) : | x| , | y| 20, ( x; y) 6= (0; 0)} .

Tụ mu cỏc im thuẻc T sao cho vểi mi im cú ta ẻ ( x, y) 2 T thỡ cú ỳng mẻt
trong hai im ( x; y) v ( x; y) ềc tụ mu. Vểi mẩi cỏch tụ nh th, gi N l
sậ cỏc bẻ ( x1 ; y1 ), ( x2 ; y2 ) m cÊ hai im ny cựng ềc tụ mu v x1 2x2 , y1
2y2 ( mod 41). Tỡm tòt cÊ cỏc giỏ tr cú th cú ca N.
11


NGUYôN QUANG TÂN

Tô màu trên ˜Ìng tròn

LÌi gi£i. Ta thßy 210 ⌘ 1 mod 41. Suy ra cßp cıa 2 theo modulo 41 là 20.
T™p các giá tr‡ { 20, . . . , 1, 1, . . . , 20} là mÎt hª th∞ng d˜ thu gÂn modulo 41.
Ta có th∫ phân ho§ch t™p T thành 84 t™p T1 , . . . , T84 . MÈi t™p Ti có 20 ph¶n t˚
{( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), . . . , ( x20 , y20 )}, trong ó ( xi+1 , yi+1 ) ˜Òc chÂn sao cho xi+1 ⌘ 2xi
mod 41 và yi+1 ⌘ 2yi mod 41.
Vì 210 ⌘ 1 mod 41 nên ( xi+10 , yi+10 ) = ( xi , yi ).
Nh˜ v™y bài toán ∏m sË c∞p i∫m ˜Òc tô màu trên t™p T, chuy∫n thành bài
toán ∏m sË c∞p i∫m ˜Òc tô màu trên t¯ng t™p Ti .
Mà sË c∞p i∫m ˜Òc tô màu trên mÈi t™p Ti có th∫ nh™n các giá tr‡ {1, 3, 5, 7, 9}
theo bài toán tr˜Óc.
V™y k∏t qu£ bài toán là các sË chÆn t¯ 84 ∏n 84 ⇥ 9 = 756.

Tài liªu
[1] Titu Andreescu, Dorin Andrica, Number Theory: Structures, Examples, and Problems, Springer, 2009.
[2] V. Senderov, A. Spivak,

‡nh l˛ Fermat nh‰, Kvant 01-2000.

[3] Titu Andreescu, Zuming Feng, A Path to Combinatorics for Undergraduates: Counting Strategies, Birkh¨auser, 2004.

12