chuyền đề cơ học tương đối tính

CƠ HỌC TƯƠNG ĐỐI TÍNH
MÃ: L13

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Thuyết tương đối đã được Anhxtanh (Albert Einstein 1879 – 1955) xây dựng
vào năm 1905. Thuyết tương đối, cũng được gọi là thuyết tương đối hẹp, bao gồm
thuyết không gian và thời gian, cơ học của các chuyển động nhanh dần đều với các
vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng, điện động lực học và quang học các môi trường
chuyển động.
Trong chương trình thi học sinh giỏi quốc gia Vật lý lớp 12 THPT những năm
gần đây đã khai thác khá nhiều những bài toán liên quan đến phần Vật lý hiện hiện đại
đặc biệt là phần cơ học tương đối tính. Đây là phần kiến thức rất trừu tượng, các lý
thuyết, các đối tượng nghiên cứu được trình bày ở phổ thông còn nặng về lý thuyết và
mang tính chất lý tưởng hóa. Vì vậy các em học sinh gặp nhiều khó khăn trong quá
trình vận dụng lý thuyết vào giải bài tập đặc biệt là những bài toán khó và phức tạp.
Đề tài “Cơ học tương đối tính” được viết ra với mong muốn tổng kết và hệ
thống hoá lại lý thuyết và một số bài tập vận dụng để giúp các em học sinh tháo gỡ
được phần nào những khó khăn trong quá trình nghiên cứu mảng kiến thức này.
2. Mục đích của đề tài
Để quý thầy giáo, cô giáo và các em học sinh dễ theo dõi, đề tài này sẽ hệ thống
các tiên đề của thuyết tương đối Anhxtanh, động học tương đối tính và động lực học
tương đối tính. Sau phần lý thuyết có tổng hợp một số bài tập áp dụng. Các bài tập này
đều có lời giải hoặc hướng dẫn giải cụ thể. Phần cuối là một số bài tập để rèn luyện
thêm kỹ năng. Có một số bài tập được trích dẫn từ một số đề thi Olimpic, thi Học sinh
giỏi quốc gia để các em học sinh có thêm tư liệu tham khảo chuẩn bị cho các kỳ thi
học sinh giỏi các cấp.

NỘI DUNG
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I. TIÊN ĐỀ CỦA THUYẾT TƯƠNG ĐỐI ANH-XTANH

1. Một số vấn đề Vật lí trước thuyết tương đối Anhxtanh
1.1. Cơ học Niu tơn
- Không gian là đồng nhất, đẳng hướng, không gian là tuyệt đối.
- Thời gian trôi đi như nhau trong mọi hệ quy chiếu, thời gian là tuyệt đối.
1.2. Nguyên lí tương đối Galilei
1.2.1. Hệ quy chiếu
- Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều
đối với nhau.
1.2.2. Nguyên lí tương đối Galilei
Nguyên lí tương đối của Galilei là nguyên lí quan trọng nhất: Mọi hiện tượng
cơ học diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính. Nguyên lí tương đối Galilei
cũng có thể phát biểu một cách khác: “Không thể dùng các thí nghiệm cơ học trong
1


nội bộ một hệ quán tính để xét xem nó đứng yên hay chuyển động thẳng đề so với hệ
quán tính khác”.
1.2.3. Phép biến đổi Galilei
⎧ x ′= x − vt
⎪ y′ = y
⎪
⎨
⎪ z′ = z
⎪⎩t ′ = t

z′

(1.1) là phép biến đổi xuôi. Trong đó: x, y, z là
các tọa độ chất điểm trong hệ tọa độ K; x′, y′, z′ :
là các tọa độ chất điểm trong hệ tọa độ K’. Hệ

tọa độ K được coi là đứng yên (Hình 1). Hệ tọa
độ K’ là hệ tọa độ chuyển động đều dọc theo trục
x của hệ tọa độ K. Hoặc
⎧ x = x′ + vt
⎪ y = y′
⎪
⎨
⎪ z = z′
⎪⎩t = t ′

z
K

(1.1)

y

r
v

K′

x

y′

x′

Hình 1

(1.2)

(1.2) là phép biến đổi ngược.
Hai cách viết trên chúng có dạng toán học như nhau, điều đó có nghĩa là hai hệ
tương đương nhau. Nếu coi hệ K là đứng yên thì K ′ chuyển động với vận tốc là +v
nếu coi K ′ là đứng yên thì K chuyển động với vận tốc -v. Do đó các phép biến đổi
ngược và xuôi chỉ khác nhau về dấu của vân tốc v.
1.3. Các khái niệm trong vật lí học cổ điển
- Lượng tương đối: lượng thay đổi từ hệ quy chiếu này sag hệ quy chiếu khác .
- Lương tuyệt đối (invar): lượng không thay đổi từ hệ quy chiếu này sang hệ
quy chiếu khác.
1.3.1. Thời gian
Khoảng cách về thời gian là bất biến: Δt = in var
1.3.2. Khoảng cách về không gian
Khoảng cách không gian là bất biến: Δl = in var
1.3.3. Vận tốc
r r r
u′ = u − v ⎫
r r r ⎬ , vận tốc là tương đối
u = u′ + v ⎭

1.3.4. Vân tốc tương đối
u12 = u′12 vận tốc tương đối là lượng tuyệt đối
1.3.5. Gia tốc

r
r
r
du′ du dv
vì K ′ chuyển động đều so với K với vận tốc v .

=
−
dt
dt dt
r
r
du′ r du r
= a′ =
= a , gia tốc là lượng tuyệt đối
dt
dt

1.3.6. Các định luật cơ học
2


r
r
Phương trình định luật II Niu tơn: F = ma
r
r
Trong đó: m là bất biến, a là bất biến, F phụ thuộc vào khoảng cách không
gian, vào thời gian. Do khoảng cách không gian, thời gian và vận tốc tương đối là các
r
đại lượng bất biến, F là lượng bất biến. Vì vậy các định luật cơ học là bất biến trong
phép biến đổi tọa độ.
1.4. Một số thí nghiệm của vật lí học cổ điển
- Cuối thế kỉ XIX khi thuyết sóng ánh sáng và thuyết sóng điện từ của Maxwell
đã thắng lợi, người ta cho rằng phải có một môi trường đặc biệt nào đó để truyền sóng
điện từ cũng giống như phải có không khí để truyền sóng âm. Môi trường đặc biệt đó

được gọi là ête vũ trụ.
- Ête vũ trụ là môi trường đàn hồi,
A
trong suốt, không trọng lượng, thấm vào
mọi vật và đứng yên trong không gian
tuyệt đối, có mặt ở mọi nơi trong vũ trụ.
O
- Các nhà khoa học tập trung vào S
các thí nghiệm quang học để phát hiện ra
chuyển động tuyệt đối hay phát hiện ra
B
ete vũ trụ trong đó có thí nghiệm của
Michelson (1881-1905).
G
- Dụng cụ thí nghiệm (Hình 2),
gồm: O là gương bán phần. Một phần
Hình 2
phản xạ truyền tới A, một phần phản xạ
truyền tới B. A, B là gương phản xạ truyền qua O tới G, G là giao kế: Vì quỹ đạo của
Trái Đất chuyển động trong vũ trụ là rất lớn nên nếu chỉ xét trên một quãng đường
nhỏ, trong thời gian ngắn thì có thể coi Trái Đất chuyển động thẳng đều và dùng nó
làm hệ quy chiếu quán tính. Thí nghiệm với tia 1: AOG (SOAOG) và tia 2: BOG
(SOBOG)
Bước 1: Gắn cố định bộ thí nghiệm lên mặt đất để OB trùng với phương
r
chuyển động của Trái Đất hay OB ≡ v . Nếu thừa nhận có ete vũ trụ thì có thể nói rằng
r
toàn bộ dụng cụ thí nghiệm chuyển động trong ete vũ trụ với vận tốc v . Mục đích của
thí nghiệm là phát hiện ra vận tốc “gió ete”. Theo định lý cộng vận tốc cổ điển chúng
ta xác định được khoảng thời gian ánh sáng đi trong đoạn OAO là t A và thời gian ánh

sáng đi trong đoạn OBO là t B . Hiệu thời gian của hai tia sáng truyền trên hai quãng
đường đó là:
Δt = t B − t A =

2lA
c

1
1−

2

v
c2

−

2lB
c

1
v2
1− 2
c

r

r

Bước 2: Quay bộ thì nghiệm một góc 900 như vậy OA ≡ v và OB ⊥ v . Theo
định lý cộng vận tốc chúng ta sẽ tính được:

3


Δt ′ = t ′B − t ′A =

2lA
c

2l
1
1
.
− B
2
2
v
c
v
1− 2
1− 2
c
c

Chúng ta thấy rằng hiệu thời gian trong hai bước thí nghiệm khác nhau, vậy
hình ảnh giao thoa phải khác nhau. Ở đây hiệu thời gian đã biến thiên một lượng
l + l v2
∂t = A B 2

c c
Trong lý thuyết giao thoa ánh sáng, khi hiệu thời gian biến thiện một lượng
bằng T, thì hình ảnh giao thoa sẽ dịch đi một vân. Ở đây hiệu thời gian biến thiên một
lượng ∂t thì hình ảnh giao thoa sẽ bị dịch đi x vân:
Δt ′ − Δt ∂t l A + lB v 2
(T, λ là chu kỳ và bước sóng của ánh sáng).
x=
= =
T
T
λ c2
Tuy nhiên trên giao thoa kế G không có sự dịch chuyển vân giao thoa. Tiếp tục
cải tiến dụng cụ thí nghiệm để đạt đọ chính xác cao hơn nhưng vẫn không phát hiện
được sự dịch chuyển vân giao thoa. Do đó, thí nghiệm của Michelson bị thất bại.
Cách giải thích kết quả của thí nghiệm Michelson có 3 cách giải thích: cách 1
Ete bị kéo theo hoàn toàn mâu thuẫn với lý thuyết ete đứng yên tuyệt đối, cách 2 dụng
cụ thí nghiệm bị co lại theo phương chuyển động, cách 3 vận tốc ánh sáng là không
đổi. Đã có ba cách giải thích đều không phù hợp. Anhxtanh đã đưa ra giả thuyết mới,
gọi là thuyết tương đối Anhxtanh.
2. Những tiên đề của thuyết tương đối Anhxtanh
2.1. Tiên đề 1
Mọi hiên tương vật lý diễn ra như nhau trong mọi hệ quán tính.
Hay không thể dùng bất kỳ thí nghiệm vật lý nào trong nội bộ một hệ quán tính
để xem xét nó đứng yên hay chuyển động thẳng đều so với hệ quy chiếu quán tính
khác. Hoặc không thể dùng bất kỳ thí nghiệm vật lý nào để phát hiện ra chuyển động
quán tính.
2.2. Tiên đề 2
Vận tốc ánh sáng trong chân không không thay đổi theo mọi phương và không
phụ thuộc vào vận tốc của nguồn.
2.3. Mối liên hệ giữa hai tiên đề tính tương đối của sự đồng thời

A

B

Đoàn tàu ở giữa treo ngọn đèn

*S

A’

Sân ga

B’

Hình 3

Sự thừa nhận 2 tiên đề của thuyết tương đối buộc ta phải thay đổi một số quan
điểm cũ. Nếu theo quan điểm cũ thì hai tiên đề này mâu thuẫn với nhau.
4


Khi con tàu trùng khít với sân ga thì ngọn đèn lóe sáng A ≡ A′ , B ≡ B ' . Xét xem
ánh sáng truyền tới A, B, A′, B′ điểm nào sáng trước điểm nào sáng sau. Có thể xét ở
hệ quy chiếu gắn với toa tàu hoặc sân ga.
- Theo tiên đề 2; Ánh sáng truyền theo mọi phương với vận tốc và không phụ
thuộc vào chuyển động của nguồn sáng cho nên hệ tàu có thể có thể coi rằng ánh sáng
truyền đồng thời tới A & B với vận tốc c và hệ ga cũng có thể coi rằng Ánh sáng
truyền đồng thời tới A′ & B′ với vận tốc c.
- Theo tiên đề 1: Sụ truyền ánh sáng trong hai hệ xảy ra trong những điều kiện
như nhau nên cũng diễn ra như nhau do đó trong hệ tàu, ánh sáng truyền đồng thời tới

A & B , trong hệ ga ánh sáng cũng truyền đồng thời tới A′ & B′ .
Như vậy: Đối với người quan sát ở hệ tàu sẽ thấy ánh sáng truyền tới B′ sau đó đồng
thời truyền tới A & B cuối cùng tới A′ . Đối với người ở ga thì thấy ánh sáng truyền đầu
tiên tới A sau đó truyền đòng thời tới A′ & B′ cuối cùng truyền tới B .
⇒ Hai tiên đề đã mâu thuẫn với nhau. Thuyết tương đối giải quyết mâu thuẫn
đó bằng cách quan niệm rằng sự đồng thời có tính tương đối.
II. ĐỘNG HỌC TƯƠNG ĐỐI TÍNH
1. Phép biến đổi Lorenxo
- Biến cố là một sự việc bất kỳ xảy ra tại một vị trí xác định và vào một thời
điểm xác định. Mỗi biến cố được xác định bởi 4 thành phần tọa độ: A( x, y, z, t ) .
- Quá trình là một chuỗi các biến cố xảy ra liên tiếp trong không gian và
theo thời gian. Giả sử có một biến cố: Trong hệ tọa độ K ′ có các thành phần tọa độ:
x′, y′, z′, t ′ . Trong hệ tọa độ K có các thành phần tọa độ: x, y, z , t .
1.1. Điều kiện của phép biến đổi
- Phù hợp với hai tiên đề của thuyết tương đối
- Vì hai hệ K & K ′ là tương đương nhau không có hệ nào ưu tiên hơn hệ nào
nên các công thức biến đổi xuôi và các công thức biến đổi ngược phải có cùng dạng
toán học. Nếu công thức chứa xuôi v thì công thức ngược lại phải chứa -v, các công
thức không chứa hàm siêu việt, không có đạo hàm cấp hai trở lên của tọa độ.
- Một biến cố có tọa độ hữu hạn ở hệ này thì cũng có tọa độ hữu hạn ở tọa độ
kia . Do đó các công thức biến đổi không chứa thành phần tọa độ ở mẫu số.
- Nếu cho vận tốc v = 0 thì hai hệ tọa độ K & K ′ phải trùng nhau khi đó ta
có: x = x′, y = y′, z = z′, t = t ′
1.2. Thành lập các công thức biến đổi
Vì không gian là đồng nhất và đẳng hướng, từ định nghĩa của hệ K & K ′ , ta có:
⎧ y′ = y
⎨
⎩ z′ = z

(1.1)

vì y & z biến đổi độc lập với x & t nên x & t cũng biến đổi độc lập với y & z . Không có
lý do gì buộc thuyết tương đối phải thừa nhận thời gian vũ trụ chung cho mọi hệ cổ
điển. Công thức biến đổi của x & t có dạng :

⎧ x′ = Ax + Bt
⎨
⎩t ′ = Dt + Ex

(1.2)

5


Theo định nghĩa hệ K & K ′ thì khi cho x = 0, t = 0 thì x′ = 0, t ′ = 0 . Trong hai
phương trình không có số hạng nào là hằng số ta phải xác định hệ số : A, B, C , D, E . Xét
gốc O′ của hệ K ′ , trong hệ K ′ : x′ = 0 , trong hệ K: x = vt và thay vào (1.3) ta có:
Vậy

0 = Ax + Bt = Avt + Bt ⇒ Bt = − Avt
x′ = Ax − Avt ⇔ x′ = A( x − vt )

Giả sử t ≡ t ′ = 0 có một sóng điện từ phát đi tại gốc tọa độ. Trong hệ K : sóng
điện từ truyền đi với vận tốc c, mặt sóng là mặt cầu tâm O phương trình của mặt
sóng: x 2 + y 2 + z 2 − c2t 2 = 0 . Trong hệ K ′ : Theo tiên đề 2 thì vân tốc vẫn là c, theo tiên
đề 1 thì mặt sóng vẫn là mặt cầu có phương trình: x′2 + y′2 + z′2 − c 2t ′2 = 0
Vậy x 2 + y 2 + z 2 − c2t 2 = x′2 + y′2 + z′2 − c 2t ′2 theo (1.1) và (1.2): y′ = y, z′ = z
⇒ A2 ( x − vt )2 − c 2 ( Dt + Ex) = x 2 − c 2t 2
⇔ ( A2 − c 2 E 2 ) x 2 + ( A2v 2 − c 2 D 2 )t 2 − 2 xt ( A2v + c 2 DE ) = x 2 − c 2t 2
⇒

⎧ A2 − c 2 E 2 = 1
⎪ 2 2 2 2
2
⎨ A v − c D = −c
⎪ A2 v + c 2 DE = 0
⎩

1
⎧
⎪A = D =
v2
⎪
± 1− 2
⎪
c
⎨
v
1
⎪E = − 2
c
⎪
v2
± 1− 2
⎪
c
⎩

Thay A, D, E vào (1.4) & (1.5)
x − vt

⎧ ′
⎪x =
v2
⎪
1− 2
⎪
c
⎪ y′ = y
⎪
⎨ z′ = z
⎪
v
⎪
t− 2 x
⎪t ′ =
c
⎪
v2
⎪
1− 2
c
⎩

(1.3)

Các công thức của phép biến đổi Lorenxo (phép biến đổi xuôi) ta chỉ lấy các giá
trị dương của các căn vì giá trị âm không thỏa mãn điều kiện nêu trên.
Phép biến đổi ngược:

6

x′ + vt ′
⎧
⎪x =
v2
⎪
1− 2
⎪
c
⎪ y = y′
⎪
⎨ z = z′
⎪
v
⎪
t ′ + 2 x′
⎪t =
c
⎪
v2
⎪
1− 2
c
⎩

z′

z
K

K′

(1.4)

A
B
x x′

y

y′
Hình 4

1.3. Ý nghĩa của phép biến đổi
- Công thức chỉ có ý nghĩa khi v < c , trong thuyết tương đối vận tốc của ánh
sáng trong chân không là không giới hạn của vận tốc vật chuyển động. Hay không có
vật thể vật thể vật chất nào chuyển động được với vận tốc bằng hoặc lớn hơn c.
- Trong công thức biến đổi không gian và thời gian gắn liền với nhau gắn liền
với vật thể vật chất chuyển động. Mỗi một vật thể vật chất chuyển động có thời gian,
không gian riêng của nó, không có không gian tuyệt đối tách rời vật chất và không có
thời gian phổ biến duy nhất chung cho cả vũ trụ.
- Nếu v << c thì thuyết tương đối của Anhxtanh không phủ nhận cơ học cổ điển
của Niutơn như vật lý cổ điển mà coi vật lý cổ điển là trường hợp riêng ứng với với
vận tốc chuyển động của vật chất rất nhỏ hơn vận tốc ánh sáng trong chân không.
2. Sự rút ngắn chiều dài trong hệ chuyển động
Xét thanh AB gắn cố định trong hệ K ′ có chiều dài sông song O′x′ . Chiều dài
thanh AB trong hệ K’ là: l0 = xB′ − x′A
trong đó l0 : là chiều dài riêng của thanh (Chiều dài trong hệ K’). Xác đinh chiều dài
của thanh trong hệ K thanh đang chuyển động với vận tốc v.

Tọa độ của hai điểm A và B ở trong hệ K ở cùng một thời điểm t A' = t B' là:
xB′ − vt B′
⎧
⎪ xB =
v2
⎪
1− 2
x −x
⎪
c
⇒ xB′ − x′A = A B
⎨
v2
⎪ x = x′A − vt ′A
1− 2
⎪ A
v2
c
1− 2
⎪
c
⎩
Chúng ta gọi xB − xA = l là chiều dài của thanh trong hệ K:

v2
l = l0 1 − 2
c

(2.1)

(2.2)

v2
Chiều dài của thanh trong hệ chuyển động bị co lại theo tỉ lệ 1 − 2 . Sự co lại
c
chỉ là hiệu ứng động học như chúng ta thay đổi đơn vị mà thôi.
3. Chậm lại của thời gian trong hệ chuyển động

7


Xét vật hình điểm được gắn cố định trong hệ K ′ , trên vật hình điểm xảy ra hai
biến cố vào hai thời điểm

t ′A , t B′ , ở đây A ' ( xA' , yA' , z A' ) ; B ' ( xA' , yA' , z A' ) .

Δt0 = tB′ − t ′A là khoảng thời gian xảy ra biến cố trong hệ K’. Khi đó trong hệ K chúng ta

có:
⎧
v2
′
t A + 2 x′A
⎪
c
⎪t A =
v2
⎪
1
−

⎪⎪
Δt0
t′ − t′
c2
(3.1)
⇒ tB − t A = B A =
⎨
2
2
2
v
v
v
⎪
t B′ + 2 xB′
1− 2
1− 2
⎪
c
c
c
t
=
⎪B
2
v
⎪
1− 2
⎪⎩
c

Đặt Δt = tB − t A là khoảng thời gian giữa hai biến cố trong hệ K. Δt > Δt0 thời

gian trôi đi trong hệ chuyển động chậm hơn trong hệ đứng yên. Cũng như sự co lại của
chiều dài, sự chậm lại của thời gian là một hiệu ứng động học. Khi coi hệ K là đứng
yên thì thời gian ở hệ K’ bị chậm lại và ngược lại khi coi hệ K’ là đứng yên thì thời
gian hệ K bị chậm lại.
4. Định lí cộng vận tốc
Xét một chất điểm chuyển động bất kì, đang đi qua một điểm A bất kì trong
không gian. Trong hệ K , tọa độ của điểm A( x, y, z ) và thời điểm khi chất điểm đi qua
r
A là t. Vận tốc của chất điểm tại A là u với các thành phần:
dx
dy
dz
; uy = ; uz =
dt
dt
dt
Trong hệ K ′ tọa đọ của điểm A( x′, y′, z′) và thời điểm khi chất điểm đi qua A là
r
t ′ . Vận tốc của chất điểm A là u ′ với các thành phần:
dx′
dy′
dz′
u′x =
; u′y =
; u′z =
dt
dt
dt

′
′
′
x + vt
dx + vdt ′
⎧
x
=
⇒
dx
=
⎪
v2
v2
⎪
1− 2
1− 2
⎪
c
c
⎪ y = y′ ⇒ dy = dy′
⎪
⎨ z = z ′ ⇒ dz = dz ′
⎪
v
⎪ t ′ + v x′
dt ′ + 2 dx′
2
⎪t =
c

c
⇒ dt =
2
⎪
v
v2
⎪
1− 2
1− 2
c
c
⎩
ux =

8


⎧
⎪
u′ + v
dx
dx′ + vdt ′
=
= x
⎪u x =
dt dt ′ + v dx′ 1 + vu ′x
⎪
c2
c2
⎪

⎪
v2
v2
⎪
dy′ 1 − 2 u ′y 1 − 2
dy
⎪
c =
c
=
⎨u y =
vu ′
dt dt ′ + v dx′
⎪
1 + 2x
2
c
c
⎪
⎪
2
v
v2
⎪
′
′
dz 1 − 2 u z 1 − 2
dz
⎪
c =

c
u
=
=
⎪ z dt
v
vu ′x
dt ′ + 2 dx′
1+ 2
⎪
c
c
⎩

(4.1)

- (4.1) là các công thức biểu diến định lý cộng vận tốc Anhxtanh thay thế cho
định lý cộng vận tốc cổ điển. Nếu v << c thì định lý cộng vận tốc Anhxtanh sẽ quay về
định lý cộng vận tốc cổ điển.
- Thuyết tương đối của Anhxtanh không phủ nhận vật lý học cổ điển mà coi vật
lý cổ điển là một bộ phận ứng với vận tốc chuyển động của các chất điểm chuyển động
rất nhỏ so với c. Nếu chuyển động theo một phương một trục Ox thì u x = u y = 0 .
u′ + v
vu '
1+ 2
c
Nếu u′ = c, v = c thì u = c mà u′ < c ⇒ u < c vận tốc ánh sáng trong chân không
u=

là giới hạn vận tốc của mọi vật chất.

III. ĐỘNG LỰC HỌC TƯƠNG ĐỐI TÍNH
1. Khối lượng, xung lượng tương đối tính và phương trình động lực học của chất
điểm
1.1. Khối lượng, xung lượng tương đối tính
m=

m0

(1.1)

v2
1− 2
c
ur
r
p = mu

(1.2)

1.2. phương trình động lực học của chất điểm
r
ur
d
mu
ur
dp
=
=F
dt
dt

( )

(1.3)

2. Năng lượng tương đối tính
Năng lượng và năng lượng nghỉ
E=

m0c 2
2

v
1− 2
c

= mc 2 ; E0 = m0c 2

(2.1)

Hệ quả:
(1) Liên hệ giữa năng lượng và xung lượng

9


E = c p 2 + m02c 2

(2.2)

(2) Động năng tương đối tính
⎛
⎞
⎜
⎟
1
⎟
2⎜
Wd = E − E0 = m0c ⎜
− 1⎟
2
⎜ 1− ⎛ v ⎞
⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎝c⎠
⎝
⎠

(2.3)

II. MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.
Trong hệ K có 1 hình vuông ABDE có tọa độ các đỉnh là A(1;4), B(3;4), D(3;2)
a) Khi đồng hồ trong hệ K chỉ thời điểm t =

2 3
thì tọa độ các đỉnh A, B, D trong hệ
c

K’ là bao nhiêu. Đồng hồ tại các đỉnh đó chỉ những thời điểm nào.
b) Khi đồng hồ trong hệ K’ chỉ thời điểm t ' =

2 3
thì tọa độ các đỉnh A, B, D trong hệ
c

K’ là bao nhiêu.
c) Tính kích thước của hình vuông trong hệ K’ và so sánh với kích thước của nó trong
hệ K.
Cho biết vận tốc của hệ K’ là v =

c 3
2

Hướng dẫn
a) Áp dụng phép biến đổi Lorent ta có:
x' =

1
v2
1− 2
c

( x − vt )

Với: +) v là vận tốc của hệ K’ so với hệ K
+) x là tọa độ trong hệ K
+) t là thời gian chuyển động của hệ K’ so với hệ K:

v ⎞
⎛
t = ⎜t − 2 ⎟
⎝ c x⎠

1
v2
1− 2
c

Theo giả thiết
⎧ '
⎛ 2 3 c 3⎞
1
.
⎪ xA =
⎜⎜1 −
⎟ = −4
c
2 ⎟⎠
c 2 .3 ⎝
⎪
1− 2
⎪
4c
⎪⎪ '
⇒ ⎨ y A = yA = 4
⎪
1
3 3

⎪t ' = ⎛ 2 3 − c 3 .1⎞
=
⎜
⎟
A
⎜
⎟
⎪
2 ⎠
c
c 2 .3
⎝ c
⎪
1− 2
4c
⎪⎩

10


⎧
⎪ xB' = xD' = 0
⎪⎪ '
'
⎨ yB = 4, y D = 2
⎪
⎪t ' = t ' = 3
⎪⎩ B D
c

Tương tự ta có:

b) Áp dụng phép biến đổi Lorent ta có:
x=

1
1−

2

v
c2

( x ' + vt ' )

Từ giả thiết và áp dụng công thức trên ta được:
⎧
2 3c 3
−4 +
⎪
c
2 =2
⎪⎪ x A =
3
⎨
1−
⎪
4
⎪
⎪⎩ y A = 4

Tương tự ta có:
⎧ xB = xD = 0
⎨
⎩ yB = 4, yD = 2

S AEDB = 4.2 = 8

c) Diện tích của hình vuông tronh hệ K là:
’

S A' E ' D' B' = 8.2 = 16

- Diện tích của hình vuông trong hệ K là:

Vậy diện tích trong hệ K’(kích thước ban đầu) lớn hơn diện tích của hình vuông khi nó
chuyển động trong hệ K.
Bài 2.
Hai thanh cùng có
chiều dài bằng lo và
z’
z
chuyển động trong hệ K
với vận tốc +v và –v dọc
v
theo chiều dài của chúng.
-v
Tính chiều dài của mỗi
O’
x

thanh đo trong hệ gắn với
’
O
thanh kia.
x
Hướng dẫn

y’

y

Hình 5

- Gọi:+) Hệ gắn với thanh chuyển động với vận tốc +v là K
+) Hệ gắn với thanh chuyển động với vận tốc –v là K’
+) u’ là vận tốc của thanh chuyển động với vận tốc +v đo trong hệ K’ (Hình 5)

11


- Có công thức cộng vận tốc:
u' =

u−v
2v
2vc 2
=
=
uv
v2 v2 + c2

1− 2 1+ 2
c
c

(1)

- Chiều dài của thanh chuyển động với vận tốc +v đo trong hệ K’ là:
l = lo 1 −

u '2
c2

Thay (1) vào công thức trên ta được:
l = lo 1 −

= lo

(c
(v

4v 2 c 4

(v

)
)

2

2 2

2

−v

2

+ c2

2

+ c2 ) c2
2

= lo 1 −

4v 2 c 2
v 4 − 2v 2 c 2 + c 4
=
l
o
v 4 + 2v 2 c 2 + c 4
v 4 + 2v 2 c 2 + c 4

v2
1− 2
c
= lo
v2
1+ 2

c

Vậy chiều của thanh chuyển động với vận tốc +v đo trong hệ K’ là:
v2
c2
l = lo
v2
1+ 2
c
1−

(2)

⇒ Chiều dài của thanh chuyển động với vận tốc -v đo trong hệ K cũng được xác định

như biểu thức (2).
Bài 3.
Trong hệ K’ chuyển động với vận tốc v ≈ c , người ta phóng ra 2 tia sáng tạo thành 1
góc θ = 1800 một tia theo chiều dương và một tia theo chiều âm của trục O’y’. Tính
góc θ ' của 2 chùm tia sáng trong hệ K?
Hướng dẫn
- Trong hệ K’ ta có:
⎧u x' = 0
⎪
⎪⎪
v2
u
1
−
y

=0
⎨ '
c2
⎪u y =
v
⎪
1 − 2 ux
⎪⎩
c

- Trong hệ K ta có:

12


⎧
u x' + c
u
(
+
)
=
=c
⎪ x
v '
⎪
1+ 2 u x
c
⎪
'

⎪
u −c
⎪u x (−) = x
= −c
v '
⎪
1− 2 u x
⎪
c
⎨
⎪
v2
⎪
u 'y 1 − 2
c
⎪u (+) =
⎪ y
v
1 + 2 u'y
⎪
c
⎪
'
⎪⎩u y (−) = u y = 0
⇒ Trong hệ K thì θ = 00

Bài 4.
Một đoàn tàu Anhxtanh A’B’ có chiều dài l0 = 8,64.108 km và vận tốc
v=2,4.105 km/s, chuyển động ngang qua một sân ga AB có chiều dài riêng cũng bằng
l0, ở đầu B’ và cuối A’ đoàn tàu có những đồng hồ chạy đồng bộ với nhau. Ở đầu A và

cuối B sân ga cũng có những đồng hồ chạy đồng bộ với nhau. Lúc đầu tàu đi ngang
qua sân ga, đồng hồ ở A và B’ cùng chỉ không giờ.
1. Khi đuôi tàu đi ngang qua đầu sân ga thì các đồng hồ ở A, B, A’, B’ chỉ mầy giờ.
2. Khi đầu tàu ngang qua cuối sân ga thì các đồng hồ đó chỉ mấy giờ.
Hướng dẫn
Nhận xét: nếu ta đứng ở điểm A trên sân ga ta sẽ thấy mọi đồng hồ đặt tại các
điểm của sân ga đều chỉ không giờ và thấy chỉ một đồng hồ đặt tại B’ của đoàn tàu
trùng với A chỉ không giờ mà thôi. Các số chỉ của các đồng hồ khác trên tàu ta thấy
khác nhau.
1. Theo quan điểm của người đứng ở sân ga. Đoàn tàu có chiều dài l0 1 − β 2 . Khi đuôi
tàu đi ngang qua đầu ga thì đoàn tàu đi được một đoạn đường l0 1 − β 2 . Như vậy thời
gian trôi đi là:
t=

l l0 1 − β 2
=
= 36 (phút)
v
v

y
y’

Như nhận xét ở trên, đối với
người đứng ở đầu sân ga, tất cả các đồng
hồ đặt trên sân ga đều chỉ như đồng hồ ở
A, tức là đều chỉ 36 phút, do đó ta có:
t A = tB = ... = 36 (phút)

A’

Tọa độ của đuôi tàu là xA’ = 0 và

A

của đầu tàu là xB ' = l0 1 − β . Gọi tA’ và
2

B’

B
’ 6
Hình

x’
B

x

tB’ là thời điểm tương ứng của đuôi tàu
và đầu tàu theo đồng hồ gắn với sân ga. Rõ ràng tA’ và tB’ cũng chỉ bằng tA và tB nghĩa

13


là 36 phút. Khi đó quan sát viên đứng ở sân ga sẽ biết được thời điểm t’A’ và t’B’ tương
ứng trong hệ qui chiếu gắn với con tàu nhờ phép biến đổi Loren.
t 'A' =

t 'B ' =

v
xA'
t A'
c2
=
= 60 phút
2
1− β
1− β 2

t A' −

v
v
x
t B ' − 2 l0 1 − β 2
2 B'
c
c
=
= 21, 6 phút.
2
1− β
1− β 2

tB ' −

Ở đây chúng ta đã áp dụng:
v2

β = 2 = 0,64; 1 − β 2 = 0,6
c
2

Theo quan điểm của người đứng ở đầu tàu (điểm B’) khi đuôi tàu đi ngang qua
đầu ga, đoàn tàu đã đi được một đoạn dài bằng l0. Như vậy thời gian trôi đi phải bằng:
t 'B ' =

l0
= 60 phút
v

y
y’

Cũng như quan sát viên đứng ở
sân ga, người đó phải thấy mọi đồng hồ
trên đoàn tàu cùng chỉ một giá trị, nghĩa
là: t ' A' = t 'B ' = ... = 60 (phút)
Đối với người này, sân ga
chuyển động với vận tốc v theo chiều
ngược lại và do đó chiều dài của nó

A’

x’B

A

B

B’

x’
x

Hình 7

cũng bằng l0 1 − β 2 . Hình vẽ 7 chỉ tọa

độ của của đàu ga x’A = -l0, và tọa độ của cuối ga x 'B = −l0 1 − β 2 .
Công thức biến đổi Loren bây giờ là:
tA =

v
v
x 'A
tB' + 2 x 'B
2
c
c
; tB ' =
2
1− β
1− β 2

t A' +

Thay số ta tìm được (Chú ý: t ' A = t 'B = t ' A' = t 'B ' = ... = 60 phút):
t A = 36 (phút); tB = 74, 4 (phút)

2. Khi đầu tàu ngang qua cuối sân ga, tức là hai điểm B và B’ trùng nhau (Hình 8,9).
Vị trí của các điểm A, A’, B, B’ theo quan điểm của người ở sân ga biểu diễn trên hình
3, còn của người trên đoàn tàu biểu diễn trên hình 4. Từ đó theo các tính như ý 1 ta
được các kết quả sau:
Theo quan điểm của người đứng ở sân ga:
t A = tB = 1 giờ; t A' = 74, 4 (phút); tB ' = 36 (phút).
Theo quan điểm của người đứng ở đoàn tàu:
t A = 21, 6 phút; tB = 1 giờ; t A ' = t B ' = 36 (phút).

14


y

y

y’
A’

A’

B’

xA’

A

y’

x’
x

B

x’A

A

B’
x’
B

Hình 9

Hình 8

Bài 5.
Một photon tia X (ký hiệu υ) có bước sóng λ0 = 0,125nm và một electron
chuyển động với vận tốc không đổi va chạm với nhau. Sau va chạm ta được electron
đứng yên và photon υ’ (Hình 10). Biết góc lệch bởi phương truyền của photon υ với
phương truyền của photon υ’ bằng θ = 600 . Tính bước sóng de Broglie của electron
trước va chạm. Cho biết khối lượng nghỉ của electron là me = 9,1.10-31 kg, hằng số
Planck h = 6,625.10-34Js và vận tốc của ánh sáng là c = 3.108 m/s.
Hướng dẫn
Gọi f0(λ0) và f(λ) lần lượt là
tần số (bước sóng) của các photon
υ và υ’.
Ký hiệu Ee và pe lần lượt là
năng lượng toàn phần và động

lượng của electron trước va chạm,
mec2 là năng lượng nghỉ của
Hình 10
electron. Theo định luật bảo toàn
năng lượng và động lượng ta có:
(1)
hf 0 + Ee = me c 2 + hf
pe sin ϕ −
pe cosϕ +

h

λ0
h

λ0

sin θ = 0
cosθ =

(2)

h

(3)

λ

Ta khử φ từ các phương trình trên và thay θ = 600 . Từ (2) và (3) ta có:
3h 2

pe2 sin 2 ϕ = 2
4λ0
⎛h
h ⎞
p cos ϕ = ⎜ −
⎟
⎝ λ 2λ0 ⎠
2
e

2

2

Suy ra:

15

x


⎛ 1
1
1 ⎞
pe2 = h2 ⎜ 2 + 2 −
⎟
⎝ λ0 λ λλ0 ⎠

(4)

Mặt khác, ta có:
pe2 =

Ee2 − me2c 4
c2

(5)

Từ (1) ta có:
mec2 = Ee + h ( f 0 − f )

Thay vào biểu thức (5) ta có:
Ee2 − ⎡⎣ Ee + h ( f 0 − f )⎤⎦
−2hEe ( f 0 − f ) − h 2 ( f 0 − f )
p =
=
c2
c2
2

2

2
e

= 2me hc ( f 0 − f ) + 2

h2
h2
2

2
f
−
f
−
f −f)
(
)
0
2
2 ( 0
c
c

2

⎛ 1 1⎞
⎛ 1 1⎞
= h ⎜ − ⎟ − 2me hc ⎜ − ⎟
⎝ λ0 λ ⎠
⎝ λ0 λ ⎠

(6)

2

So sánh (6) và (4) ta có:
2

⎛ 1

⎛ 1 1⎞
1
1 ⎞
1⎞
2⎛ 1
p =h ⎜ 2 + 2 −
⎟ = h ⎜ − ⎟ − 2me hc ⎜ − ⎟
⎝ λ0 λ λλ0 ⎠
⎝ λ0 λ ⎠
⎝ λ0 λ ⎠
2
e

2

Rút gọn ta được:
λ0 − λ =

h
2me c

Thay λ0 = 0,125nm ta tìm được λ0 = 0,1238nm .
Theo công thức tính bước sóng de Broglie, ta có:
pe =

h

λe

Dùng công thức (4) ta có:

2

⎛h⎞
⎛ 1
1
1 ⎞
p = ⎜ ⎟ = h2 ⎜ 2 + 2 −
⎟
⎝ λe ⎠
⎝ λ0 λ λλ0 ⎠
2
e

Suy ra:
⎛ 1
1
1 ⎞
= ⎜ 2+ 2−
⎟
λe
λλ0 ⎠
⎝ λ0 λ
1

(7)

⇒ λe = 0,124nm

Bài 6.
1. Thành lập công thức biến đổi Lorentz cho trường hợp vận tốc tương đối của

hai hệ có hướng tùy ý.
2. Áp dụng kết quả trên chứng minh hệ thức:

16


u=

(

!" " 2
!" " 2 ⎡u'.v ⎤
u' + v − ⎣ 2 ⎦
c
!"
"
1
1+ 2 u'.v
c

)

( )

r

r ur

trong đó u, u ' là vận tốc của một hạt trong các hệ K và K’ với vận tốc lần lượt, v là vận
r

tốc tương đối của hệ K và K’ và v có hướng tùy ý.
Hướng dẫn
1. Phân tích bán kính véc tơ thành hai thành phần, một theo phương chuyển động, một
vuông góc với phương chuyển động.
!
!v
- Thành phần véc tơ bán kính song song với phương chuyển động tương đối là r . ,
v
! !
! ⎛! v⎞ v
thành phần véc tơ bán kính vuông góc với phương đó là r − ⎜ r . ⎟ .
⎝ v⎠ v

- Đã biết công thức biến đổi của thành phần song song với phương chuyển động:
!
! "! v
! v r ' + vt
r. = v
;
v
v2
1− 2
c
1 ur r
t '+ 2 r '.v
c
t=
v2
1− 2

c

(1)

( )

(2)

Thành phần vuông góc với phương chuyển động không thay đổi, nghĩa là ta có:
! !
! !
! ⎛ ! v ⎞ v "! ⎛ "! v ⎞ v
r − ⎜ r . ⎟ = r ' − ⎜ r '. ⎟
⎝ v⎠ v
⎝ v⎠ v

(3)

Từ (1) và (3) suy ra công thức biến đổi Lorentz cho trường hợp vận tốc tương
đối của hai hệ K và K’ có hướng túy ý là
"! "! ! !
! ! 1 r '.v ' v − vt '
! "! ⎛ "! v ⎞ v
2
r = r ' − ⎜ r '. ⎟ + v
⎝ v⎠ v
v2
1− 2
c

( )

r ur

(4)

2. Gọi r , r ' là bán kính véc tơ của hạt trong các hệ tọa độ K và K’. Từ công thức (4) ta
có:
1 ! "! "! !
v v '.dr ' + vdt '
!
"! 1 ! ! "!
2
dr = dr ' − 2 v v.dr ' − v
v
v2
1− 2
c

(

)

(

)

17

dt =

dt '+

1 ! "!
v.dr '
c2
1− β 2

(

)

Từ đó ta có:
⎧⎪ ! "!
v 2 1 ! "! ! ⎛
v 2 ⎞ ⎫⎪
v
+
u'
1−
+
v
.u'
v
1−
1−
⎨
⎜
⎟⎬

c2 v 2
c2 ⎠ ⎪
! ⎪
⎝
⎩
⎭
u=
! "!
v.u'
1− 2
c
!
"!
! dr "! dr '
ở đây ta đặt u = ,u' =
là vận tốc của hạt trong hệ K và K’.
dt
dt

( )
( )

⎧⎪ ! "!
v 2 1 ! "! ! ⎛
v 2 ⎞ ⎫⎪
⎨v + u' 1− 2 + 2 v.u' v ⎜ 1− 1− 2 ⎟ ⎬
c
v
c ⎠⎪
! 2 ⎪

⎝
⎭
! "!
u =⎩
v.u'
1− 2
c

( )
( )

()

2

Rút gọn ta được:
!" " 2
!" " 2 ⎡u'.v ⎤
u' + v − ⎣ 2 ⎦
2
c
u =
2
!"
"
⎡
⎤
1
⎢1+ c 2 u'.v ⎥
⎣

⎦

(

)

( )

⇒u=

(

!" " 2
!" " 2 ⎡u'.v ⎤
u' + v − ⎣ 2 ⎦
c
!"
"
1
1+ 2 u'.v
c

)

( )

(5)

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1.

Vận tốc của một hạt đối với hệ qui chiếu K là u’ nằm trong mặt phẳng X’O’Y’
hợp với trục O’X’ một góc θ’. Hệ K’ chuyển động dọc theo trục OX của hệ K. Hãy
xác định phương của vận tốc u của hạt trong hệ K.
Bài 2.
Một giọt nước mưa rơi do trọng lượng của nó để lại vệt trên cửa kính một Oto
chạy với vận tốc V. Xác định góc lệch của vệt giọt mưa so với phương thẳng đứng
theo quan điểm cổ điển và quan điểm tương đối. Coi giọt mưa rơi đều với vận tốc u.
Bài 3.
Giả sử hệ quy chiếu K và K’ có các trục toạ độ tương ứng song song với nhau và
hệ K’ chuyển động dọc trục 0x của K với vận tốc v.
1. Nếu một chất điểm chuyển động trong mặt phẳng 0xy của hệ K theo phương
hợp với trục 0x góc θ với tốc độ là u, thì người quan sát trong hệ K’ sẽ quan sát thấy
vật chuyển động trong mặt phẳng 0’x’y’ theo phương hợp với trục 0’x’ góc θ’ với tốc
độ là u’. Cho các công thức của định lý cộng vận tốc trong thuyết tương đối:

18


u′y 1 − β2
u ′ 1 − β2
u′x + v
,
ux =
, uy =
, uz = z
v
v
v
1 + 2 u ′x
1 + 2 u ′x

1 + 2 u ′x
c
c
c
r
r
'
'
'
trong đó u = (u x , u y , u z ) và u ' = (u x , u y , u z ) là vận tốc của vật tương ứng trong hệ K và

K’; β = v/c; c là tốc độ ánh sáng trong chân không. Hãy tìm mối quan hệ giữa θ và θ’.
2. Áp dụng cho ánh sáng trong trường hợp v << c , chứng minh công thức quang
sai:

v
Δθ = θ '− θ = sin θ '
c

Bài 4.
Tốc độ ánh sáng trong chất lỏng đứng yên là c/n với c là tốc độ ánh sáng trong
chân không và n là chiết suất chất lỏng. Người ta thấy rằng tốc độ ánh sáng u (đối với
phòng thí nghiệm) trong một dòng chất lỏng chuyển động với vận tốc v (đối với phòng
thí nghiệm) có thể biểu diễn dưới dạng:
u=

c
+ kv
n

trong đó k được gọi là hệ số kéo theo.
1. Năm 1851 Fizeau làm thí nghiệm với dòng nước (n = 4/3) và đo được k= 0,44.
Từ công thức cộng vận tốc trong thuyết tương đối hãy xác định lại giá trị của k.
2. Nếu sử dụng nguồn ánh sáng đơn sắc có bước sóng λ và sự phụ thuộc của
chiết suất chất lỏng vào bước sóng của ánh sáng theo quy luật n(λ) = a +

b
(a và b là
λ2

các hệ số phụ thuộc vào loại chất lỏng) thì hệ số k bằng bao nhiêu?
Coi v = c và (1 + x) γ ≈ 1 + γx khi | x |= 1.
Bài 5.
1. Tổng quát hóa công thức biến đổi Lorentz cho trường hợp hai hệ chuyển động
tương đối so với nhau theo phương bất kì.
uur r

2. Suy ra công thức cộng vận tốc: u =

uur r
− [u '.v]2 / c 2
1 uur r
1 + 2 u '.v
c

(u ' + v)

2

( )

3. Tìm công thức biến đổi của 1 − u 2 / c2 , trong đó u là tốc độ của hạt trong hệ
qui chiếu đã cho.
Bài 6.
Một đoàn tàu Anhxtanh A’B’ có chiều dài l0 = 8,64.108 km và vận tốc v = 2,4.105
km/s, chuyển động ngang qua một sân ga AB có chiều dài riêng cũng bằng l0, ở đầu B’
và cuối A’ đoàn tàu có những đồng hồ chạy đồng bộ với nhau. Ở đầu A và cuối B sân
ga cũng có những đồng hồ chạy đồng bộ với nhau. Lúc đầu tàu đi ngang qua sân ga,
đồng hồ ở A và B’ cùng chỉ không giờ.
1. Có thể khẳng định được là khi đó mọi đồng hồ trong các hệ qui chiếu gắn với
sân ga và đoàn tàu đều chỉ không giờ được không?
2. Khi đuôi tàu đi ngang qua đầu sân ga thì các đồng hồ ở A, B, A’, B’ chỉ mấy
giờ.
19


3. Khi đầu tàu ngang qua cuối sân ga thì các đồng hồ đó chỉ mấy giờ.
Bài 7.
Xác định “thời gian sống” τ của hạt mêzon µ có năng lượng w = 109eV
(trong hệ qui chiếu phòng thí nghiệm); biết thời gian sống của hạt meezon nghỉ là
τ0 = 2,2.10-6s, khối lượng của hạt meezon là m = 206,7me (me là khối lượng của
electron).
Bài 8.
Tính khối lượng M của một hạt, biết rằng nó tự phân rã thành hai hạt m1 và m2.
Trong thực nghiệm, người ta xác định được khối lượng của m1, m2 và xung lượng p1
và p2 của các hạt tạo thành và góc θ giữa các phương của p1 và p2.
Bài 9. (HSG-2008)
Xét quá trình va chạm giữa phôtôn và êlectron tự do đứng yên.
1. Chứng minh rằng trong quá trình va chạm này, năng lượng và xung lượng của
phôtôn không được truyền hoàn toàn cho êlectron.

2. Sau va chạm êlectron sẽ nhận được một phần năng lượng của phôtôn và
chuyển động "giật lùi", còn phôtôn thì bị tán xạ (tán xạ Compton). Tính độ dịch
chuyển bước sóng trước và sau va chạm của phôtôn.
3. Giả sử phôtôn tới có năng lượng ε = 2E0, còn êlectron "giật lùi" có động năng
Wđ = E0 (ở đây E0 = 0,512 MeV là năng lượng nghỉ của êlectron). Tính góc "giật lùi"
của êlectron (góc giữa hướng phôtôn tới và hướng chuyển động của êlectron).
Bài 10. (HSG-QT-2011)
Phôtôn A của tia X có bước sóng λ0 = 0,116 nm và một êlectron chuyển động
tới va chạm với nhau. Sau va chạm ta được êlectron đứng yên và phôtôn B. Biết góc
lập bởi phương truyền của phôtôn A với phương truyền của phôtôn B là θ = 600. Tính
bước sóng de Broglie của êlectron trước va chạm. Cho khối lượng nghỉ của êlectron
m e = 9,1.10−31 kg, hằng số Planck h = 6, 626.10−34 J.s và tốc độ ánh sáng trong chân
không c = 3.108 m.s −1.
Bài 11. (HSG-2014)
Một ống phát tia X làm việc ở hiệu điện thế U phát ra photon có bước sóng ngắn
nhất là λ0 = 0,1250nm.
1. Tìm hiệu điện thế làm việc của ống. Bỏ qua động năng của electron khi nó bứt
khỏi catốt.
2. Photon có bước sóng λ0 tới tán xạ trên một electron tự do đang chuyển động với
vận tốc không đổi. Sau va chạm ta thu được một hệ gồm một electron đứng yên và một
photon tán xạ. Biết góc tán xạ θ = 60°. Tính:
a) Bước sóng của photon tán xạ.
b) Bước sóng de Broglie của electron trước va chạm.
Cho biết khối lượng nghỉ của electron là me = 9,1.10−31kg, hằng số Planck
h=6,626.10−34Js, vận tốc ánh sáng c ≈ 3.108m/s.

20


Bài 12. (OLYMPIC SV-2009)

Một hạt tương đối tính có khối lượng m1 bay đến va chạm với hạt có khối lượng
m2 đang đứng yên (hạt bia) trong phòng thí nghiệm.
1. Nếu hạt mới có khối lượng nghỉ M được tạo thành do va chạm dẫn đến sự hủy hạt
tới và bia thì động năng của hạt tới là bao nhiêu? Hãy xác định giá trị khả dĩ của M.
2. Tốc độ của hạt mới tạo thành là bao nhiêu nếu xét trong hệ qui chiếu phòng thí
nghiệm.
3. Giả sử hạt mới (trong mục 1) phân rã thành hai hạt đồng nhất. Quan sát trong
phòng thí nghiệm thì mỗi hạt có năng lượng E và góc θ đối với hướng bay của hạt tới.
Hỏi năng lượng nghỉ của mỗi hạt này là bao nhiêu.
Bài 13. (OLYMPIC SV-2011):
Xét sự va chạm của hạt pion π- với proton đứng yên trong hệ qui chiếu phòng
thí nghiệm, sinh ra hạt Κ0 và Λ0. Phản ứng được viết dưới dạng
π- + p → Κ 0 + Λ 0
1. Hãy tính động năng ngưỡng của hạt pion để phản ứng xảy ra.
2. Trong phòng thí nghiệm, các pion có động lượng 2,50.103 MeV/c. Người ta quan
sát thấy các hạt Λ0 có động lượng 0,60.103 MeV/c và hướng chuyển động của chúng
lập góc 450 so với hướng chuyển động của các hạt pion.
a) Hãy tính tốc độ của hệ qui chiếu khối tâm đối với hệ qui chiếu phòng thí
nghiệm.
b) Hãy tính động lượng của các hạt Κ0 trong hệ qui chiếu phòng thí nghiệm và
trong hệ qui chiếu khối tâm.
Cho biết: mπ- = 140 MeV/c2; : mp = 938 MeV/c2; mΚ0 = 498 MeV/c2;
mΛ0=1116MeV/c2.
Chú thích:
• π- là hạt π-meson (gọi là pion) mang điện tích âm, Κ0 là hạt Κ-meson (gọi là
kaon) không mang điện tích, Λ0 gọi là hạt lambda không mang điện tích.
• Theo thuyết tương đối hẹp, khi chuyển động trong hệ qui chiếu quán tính này
⎛E

⎞

sang hệ qui chiếu quán tính khác, các đại lượng ⎜ , p ⎟ biến đổi giống như các
⎝c ⎠
r
đại lượng ( ct, r ) .
Bài 14. (OLYMPIC SV-2014)
Muon là hạt µ có cùng điện tích với spin như electron nhưng có khối lượng nghỉ
mµ = 207 me, trong đó me là khối lượng nghỉ của electron.
1. Giả thiết hạt µ có khối lượng mµ va chạm không đàn hồi với hạt proton đứng yên
và tạo thành một hệ liên kêt giống như nguyên tử hydro. Nếu bỏ qua năng lượng liên
kết của nguyên tử này thì tốc độ của nguyên tử sau va chạm là bao nhiêu?
2. Nếu nguyên tử tạo bởi muon và proton ở câu hỏi 1 chuyển từ trạng thái kích
thích thứ nhất về trạng thái cơ bản thì phát ra photon có năng lượng bằng bao nhiêu?
3. Muon là hạt không bền, nó phân rã thành electron e, neutrino ν và phản neutrino ν
µ →e+ν+ν

21


Giả thiết rằng neutrino và phản neutrino có khối lượng nghỉ bằng 0. Hãy tính
động năng lớn nhất của electron được tạo thành khi µ đứng yến phân rã.
Cho biết proton có khối lượng nghỉ mp = 1836 me.
Bài 15. (OLYMPIC SV-2012):
Hạt omega Ω- mang điện tích âm được sinh ra trong phản ứng
K- + p → K0 + K+ + ΩỞ đây, K-, K+ và K0 là các meson mang điện tích âm, dương và trung hòa (gọi là
kaon); p là proton.
1. Dựa trên biến đổi Lorentz đối với vận tốc, hãy dẫn ra các công thức biến đổi
đối với xung lượng và năng lượng.
⎛ E'
V⎞

E
V⎞
⎛
p x = γ 0 ⎜ p'x + E ' 2 ⎟ , p y,z = p'y,z , = γ 0 ⎜ + p'x ⎟ , γ 0 =
c ⎠
c
c⎠
⎝
⎝ c
r

ur

1
1−

V2
c2

Ở đây p, E; p' , E ' là các đại lượng xét trong hệ qui chiếu S và S’, hệ S’ chuyển động với
vận tốc V theo chiều dương của trục x trong hệ S.
2. Hãy xác định xung lượng tối thiểu của hạt K- trong hệ qui chiếu phòng thí
nghiệm để phản ứng nói trên xảy ra, nếu hạt proton đứng yên trong phòng thí nghiệm.
3. Giả thiết rằng hạt Ω- được sinh ra trong phản ứng này khi hạt K- có xung lượng
tối thiểu. Hãy tính xác suất hạt Ω- đi được 3 cm trong phòng thí nghiệm trước khi phân
rã, biết rằng thời gian sống của nó (trong hệ qui chiếu riêng) là τ=1,3.10-10s. Cho biết
khối lượng nghỉ của K-, K+, K0, Ω- và p lần lượt là 494, 494, 498, 1675 và 938
MeV/c2. Bỏ qua mọi tương tác của hạt Ω-.
Bài 16. (HSG-QT-2008)
y

Cho một hạt điện tích q > 0 chuyển động tương đối tính
ur

trong một điện trường đều E = {E , 0} thuộc mặt phẳng Oxy
(Hình 11). Lúc t = 0, hạt đi qua gốc toạ độ với động lượng
r
p = {0, p0 } . Biết khối lượng nghỉ của hạt là m0.
1. Thiết lập phương trình chuyển động và vẽ phác dạng
quỹ đạo của hạt.
2. Xác định véctơ vận tốc của hạt ở thời điểm t =

p0
.
qE

r
p

ur
E

O

x
Hình 11

Bài 17. (OLYMPIC SV-2013)
Một tên lửa khối lượng ban đầu M0, phụt nhiên liệu với vận tốc không đổi –u
(u>0) so với tên lửa. Theo Cơ học phi tương đối tính, mối liên hệ giưa khối lượng M
của tên lửa và vận tốc v của nó trong hệ qui chiếu quan tính ban đầu khi nó đứng yên

(hệ qui chiếu PTN) được cho bởi biểu thức:
⎛v⎞

−⎜ ⎟
M
= e ⎝ u⎠.
M0

1. Hãy dẫn ra công thức trên.

22


2. Giả thiết rằng vận tốc phụt ra của nhiên liệu bị giới hạn bởi điều kiện 0 ≤ u ≤ c ,
trong đó c là tốc độ ánh sáng trong chân không. Hãy dẫn ra biểu thức cho M/M0 trong
trường hợp tương đối. Trong điều kiện nào kết quả này qui về kết quả của Cơ học phi
tương đối tính.
Ghi chú: Vì tốc độ của tên lửa nhỏ so với tốc độ ánh sáng c nên có thể áp dụng
cơ học phi tương đối tính đối với chuyển động của tên lửa. Khối lượng của tên lửa
được coi là rất lớn so với khối lượng nhiên liệu phụt ra.
Bài 18.
Hệ qui chiếu K’(O’x’y’z’) chuyển động với vận tốc V không đổi dọc theo trục
O’x’ (O’x’ trùng với Ox, O’y’ và O’z’ lần lượt song song với Oy và OZ). Tìm gia tốc
a’ tương ứng của một hạt trong hệ K’ tại thời điểm trong hệ K hạt này chuyển động
với vận tốc u và gia tốc a dọc theo một đường thẳng
1. Song song với V,
2. Vuông góc với V,
3. Nằm trong mặt phẳng xOy có phương lập với V một góc α.

PHẦN KẾT LUẬN

Cơ học tương đối tính là phần kiến thức khó và rất trừu tượng. Các phép biến đổi
toán học thường dài dòng và cồng kềnh đòi hỏi học sinh phải được vận dụng nhiều
mới thành thạo. Các ví dụ trên đây chỉ là những ví dụ điển hình minh hoạ một phần
nào cho chuyên đề này.
Chúng tôi hy vọng rằng đã cung cấp được một phần tài liệu dùng để bồi dưỡng học
sinh giỏi Vật lí mảng “Cơ học tương đối tính” giúp học sinh phát huy được tính sáng
tạo, tích cực, tự lực.
Rất mong được sự góp ý, trao đổi của các thầy giáo, cô giáo và các em học sinh để
chuyên đề thực sự bổ ích trong công tác giảng dạy đối với học sinh chuyên cũng như
công tác bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

23