Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 thành phố sầm sơn năm học 2015 2016(có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT SẦM SƠN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2015-2016
Ngày thi : 20-01-2016
Thời gian làm bài 150 phút

Bài 1: (4,5 điểm):
a)Rút gọn biểu thức: P=

x − 4( x − 1) + x + 4( x − 1)

(1 −

x − 4( x − 1)
2

1
)
x −1

b) cho x; y là hai số thực thỏa mãn điều kiện:
(x+ x 2 + 2015 )(y+ y 2 + 2015 ) =2015 hãy tính x+y
Bài 2:( 5 điểm) giải phương trình:
2 x 2 + 16 x + 18 + x 2 − 1 = 2 x + 4

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: (x2+1)( x2+y2)=4x2y
Bài 3: (3 điểm)
a) cho x,y là các số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện:
2

 xy + 1 
x +y + 
÷ = 2 với x+y ≠ 0 chững minh
 x+ y 
2

2

xy + 1 là số hữu tỉ

b) cho bảng n2 ô vuông. Người ta viết vào các ô vuông đó các số từ 1 đến n sao
cho mỗi hàng và mỗi cột đều chứa tất cả các số đó.Chứng minh rằng nếu n lẻ
và bảng đối xứng đối với đường chéo thì trên đường chéo ấy có tất cả các số
từ 1 đến n.
Bài 4 : 6 điểm.
Cho (O;R) đường kính AB. Kẻ bán kính OC vuông góc với AB. Lấy điểm I tủy ý trên
đường kính AB Sao cho IATrên đoạn MI lấy E khác M và I . Tia AE cắt (O) tại K. kẻ MH ⊥ CO tại H.
a)
Chứng minh: AM2=AE.AK ; và AE.AK +BI.BK =4R2
b)
Xác định vị trí của I Trên Đường kính AB sao cho : Chu vi tam giác MIO lớn
nhất
c)
Tìm Điểm M trên nửa đường tròn chứa C sao cho 2MA2=15 MH2
Bài5 (1,5 điểm) .
Cho x, y , z là 3 số thực dương thỏa mãn điều kiện: xyz =1 chứng minh rằng:
x2
y2
z2

3
+
+
≥
1+ y 1+ z 1+ x 2


HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1. a) cần lưu ý chia 2 khoảng 1b) nhân 2 vế với biểu thức liên hợp khác 0 của mỗi thừa số vế trái.
Bài 2: Điều kiện x ≤ −1; x ≥ 1 bình phương 2 vế lưu ý x=1; x=-1 là nghiệm từ đó tìm
được các nghiệm còn lại.
Câu b : lưu ý y>o. áp dụng BDDT Cauchy co mỗi thừa số của vế trái . chú ý điều
kiện dấu bằng xảy ra và cần lấy x
Bài 3:
2


xy + 1 
= 0 suy ra xy+1=(x+y)2suy ra
a)Chuyển vế biến đổi thành : ( x + y ) −

x+ y

xy + 1 = x + y ∈ Q

Câu 3b) chú ý rằng mỗi dòng ; mỗi cột đều chứa tất cả các số từ 1 đến n nên trên mỗi
hàng hoặc mỗi cột các số từ 1 ; đến n chỉ được viết 1 lần. cho nên mỗi số từ 1 đến n
được viết vào bảng n lầnlà một số lẻ (1)
Trên đường chéo là trục đối xứng của bảng gồm n ô được viết bởi n số. chia bảng

thành 2 phần . 2ô đối xứng nhau qua đường chéo được ghi số giống nhau . coi đường
chéo là bờ . thì sốlần lặp lại của mỗi số từ 1 đến n trên mỗi nửa hình vuông là
như nhau nên mỗi số được hgi trong bảng không nằm trên đường chéo là số
chẵn.
Giả sử số tự nhiên a (0vào bàng là số chẵn mâu thuẫn với (1).
Vậy trên đường chéo coa tất cả các số từ 1 đến n.
Bài 4:
b) đặt OI=x Ta có PABC= x+ R 2 − x 2 +R Áp dụng BDDT Bu-Nhi-A Cốp-Xki cho 2 số
R 2
hạng đầu ta được PABC ≤ (1 + 2)R dấu bằng xảy ra kho OI = 2

c) 2MA2=15MH2 ;nên 4R2-4Rx =15x2 từ đó tìm được x suy ra vị trí M
Bài 5 vì x; y; z >0 và xyz =1 nên tồn tại 3 số dương a; b; c sao cho x=a/b; y=b/c;
z=c/a
Đưa theo BĐT Cau chy ta có x+y+z ≥ 3 xyz = 3
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz cho về trái ta có :
VT ≥

( x + y + z )2 ( x + y + z )2 x + y + z 3
≥
=
≥
x + y + z + 3 2( x + y + z )
2
2

Dấu Bằng xảy ra khi x=y=z=1