XỬ LÝ ẢNH WAVELET 2D

Lời nói đầu
Trong các hệ thống thông tin liên lạc và mạng viễn thông, khối xử lý tín
hiệu số đóng một vai trò rất quan trọng. Việc xử lý tín hiệu đã đợc các nhà khoa
học nghiên cứu và đa ra nhiều phơng pháp khác nhau. Đã từ lâu chúng ta quen
thuộc với việc xử lý tín hiệu theo phép biến đổi Fourier, đây là phơng pháp kinh
điển với rất nhiều ứng dụng. Tuy vậy, trớc những đòi hỏi càng cao của khoa học
và cuộc sống, phép biến đổi Fourier đã bộc lộ những hạn chế trong việc phân tích
những tín hiệu không dừng tức là yêu cầu về thời gian. Trong bối cảnh đó, phép
phân tích Wavelet ra đời nh một đáp ứng hữu hiệu.
Biến đổi Wavelet dựa trên cơ sở khoa học lọc số có nhiều đặc điểm và tính
chất vợt trội so với biến đổi Fourier kinh điển. Kỹ thuật Wavelet cung cấp khả
năng phân tích cục bộ chính xác và rõ ràng hơn. Đặc biệt nhờ sử dụng công cụ
phân tích đa phân giải, biến đổi Wavelet cũng hoàn thiện hơn biến đổi Fourier
trong vấn đề phân tích và tổng hợp tín hiệu.
Việc nghiên cứu về Wavelet đã đợc các nhà khoa học thực hiện từ rất lâu
nhng vẫn cha khai thác hết khả năng của nó trong các ứng dụng khác nhau.
Nghiên cứu về Wavelet rất có tiềm năng trong các lĩnh vực khử nhiễu và nén tín
hiệu (âm thanh, hình ảnh, video), xử lý tiếng nói, xử lý tín hiệu rada, phân tích
trong y học, ...
Trong phạm vi một báo cáo chuyên đề không thể chuyển tải hết nội dung
của một khái niệm, một phơng pháp còn khá mới mẻ và phức tạp nh Wavelet.
Trong phạm vi chuyên đề này chúng em chỉ trình bày một cách sơ lợc về wavelet.
Chúng em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo Tiến sỹ Ngô Văn Sỹ đã hớng
dẫn và cung cấp kiến thức để chúng em có thể hoàn thành chuyên đề này.

Nhóm sinh viên 98ĐT1
Đào Anh Kiệt
Hà Nh Vân
Tôn Thất Lê Huy
Bùi Xuân Tiến
Nguyễn Bảo Chánh

Phạm Ngọc Quang
Phần 1.

Tổng quan

1. Giới thiệu Wavelet.
1.1. Định nghĩa và lịch sử phát triển.
Wavelet (sóng con) là một dạng sóng tồn tại trong khoảng thời gian giới hạn và
có giá trị trung bình bằng không.

Hình 1.1. Các dạng wavelet khác nhau


Thuật ngữ wavelet đợc Alfred Haar đề cập đầu tiên vào năm 1909 trong bản
luận cơng khoa học của mình. Tiếp theo wavelet đợc nghiên cứu về mặt lý thuyết theo
đúng ý nghĩa hiện tại của nó tại Trung tâm vật lý lý thuyết Marrseille bởi Jean Morlet
và các cộng sự. Đến năm 1980, cấu trúc tổng quát hơn của wavelet để hình thành cơ sở
cho hàm bình phơng khả tích đợc nghiên cứu cùng với các thuật toán hiệu quả để tính
toán khai triển nó. Nối tiếp việc nghiên cứu vấn đề lý thú này, các nhà khoa học khác
nhau đã tìm ra nhiều wavelet để xây dựng cơ sở trực chuẩn cho hàm khả tích bình phơng. Điển hình nh Matlat và Meyer với phân tích đa phân giải hay cấu trúc wavelet của
Daubechies liên quan đến phơng pháp dàn lọc đợc sử dụng trong xử lý tín hiệu số ...
1.2. Tính u việt của wavelet.
a. Phép biến đổi Fourier.
Việc biến đổi tín hiệu từ miền thời gian sang một miền khác nhằm xử lý tín hiệu
đợc thuận lợi đã đợc thực hiện từ rất lâu và một trong những phơng pháp kinh điển là
phép phân tích Fourier. Biến đổi Fourier phân tích tín hiệu thành những đờng sin liên tục
ở các tần số khác nhau. Xét theo quan điểm toán học thì phép biến đổi này chuyển việc
biểu diễn tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số.

Biên độ

Biên độ

Đối với nhiều tín hiệu, phép phân tích Fourier thực sự hữu ích vì nội dung tần số

Thời gian

Biến đổi
Fourier

Tần số

Hình 1.2. Phép biến đổi Fourier
của tín hiệu rất quan trọng. Tuy nhiên, biến đổi Fourier có một điểm hạn chế lớn là khi
chuyển sang miền tần số thì thông tin về thời gian bị mất đi. Nhìn vào biến đổi Fourier
của một tín hiệu ta không thể biết đợc thời điểm xảy ra một sự kiện riêng biệt nào đó.
Đối với các tín hiệu dừng (ít thay đổi theo thời gian) thì hạn chế này không thực sự quan
trọng. Tuy nhiên khi quan tâm đến những tín hiệu dịch chuyển và nhất thời thì phép biến
đổi Fourier không nhận ra đợc các đặc tính quan trọng (độ trôi, diễn biến, những thay
đổi đột ngột, điểm bắt đầu và kết thúc) của tín hiệu.

Cửa sổ

Biến đổi
Fourier
thời
gian
ngắn
Thời gian

Tần số

Biên độ

b. Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT).
Để khắc phục khiếm khuyết này, Dennis Gabor (1946) đã sử dụng phép biến đổi
Fourier để chỉ phân tích một vùng nhỏ của tín hiệu tại một thời điểm và gọi là kỹ thuật
lấy cửa sổ tín hiệu. Việc chỉnh sửa này của Gabor, đợc biết đến với cái tên là biến đổi
Fourier thời gian ngắn, để ánh xạ một tín hiệu thành một hàm hai chiều thời gian - tần
số.

Thời gian

Hình 1.3. Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT)
2


Ưu điểm của STFT là đã phần nào biểu diễn đợc tín hiệu trong miền kết hợp thời
gian - tần số. Nó cung cấp các thông tin khi nào và ở tần số nào có các sự kiện của tín
hiệu xảy ra. Tuy nhiên, chúng ta chỉ quan sát đợc các thông tin này với một sự chính xác
hạn chế do cửa sổ thời gian đợc chúng ta chọn cố định từ đầu và có kích thớc cố định
cho tất cả các tần số. Trong khi đó nhiều tín hiệu yêu cầu cách giải quyết mềm dẻo hơn,
tức là phải sử dụng các cửa sổ với kích thớc thay đổi để xác định đợc chính xác hơn các
thông tin về thời gian và tần số.

W
Thời gian

Tỷ lệ

Biên độ

Biên độ

c. Biến đổi Wavelet.
Biến đổi Wavelet u việt hơn so với STFT ở chỗ nó cung cấp một kỹ thuật lấy cửa
sổ với kích thớc có thể thay đổi đợc. Phân tích Wavelet cho phép sử dụng khoảng thời
gian dài trên đoạn tín hiệu mà chúng ta mong muốn có thông tin tần số thấp chính xác
hơn và sử dụng khoảng thời gian ngắn hơn ở nơi muốn có thông tin tần số cao. Hay đơn
giản hơn, phân tích Wavelet cung cấp khả năng định vị tần số và thời gian tốt hơn so với
phép phân tích Fourier.
Tuy nhiên cần đặc biệt lu ý là biến đổi Wavelet không ánh xạ tín hiệu sang miền

Biến đổi
Wavelet

Tần số
Thời
gian

Hình 1.4. Phép biến đổi Wavelet
thời gian - tần số mà thay vào đó là miền thời gian - tỷ lệ (time - scale).
d. Khả năng của phép biến đổi Wavelet.
Một tính năng u việt nữa của phép biến đổi Wavelet là khả năng thực hiện phân
tích cục bộ (local analysis) tức là khả năng phân tích khoanh vùng đối với các tín hiệu
lớn. Điều này đặc biệt hữu ích khi cần phân tích những biến động không đủ lớn để nhận
ra, đó là những điểm chuyển tiếp của tín hiệu giữa các vùng tần số khác nhau hay là sự
xâm nhập đột ngột của nhiễu vào tín hiệu (chúng chỉ tồn tại trong khoảng thời gian rất
bé).
điểm đứt gãy đột ngột của sóng

hình sin
Chính nhờ khả năng phân tích cục bộ mà phép biến đổi Wavelet có thể bộc lộ đ ợc những khía cạnh mà các phép biến đổi khác bỏ qua khi phân tích tín hiệu, đó chính là
diễn biến (trend) của tín hiệu, điểm đứt gãy, những điểm dừng trong đạo hàm bậc cao,
những điểm khác nhau trong phép tự đồng dạng (self similarity). Hơn nữa, cũng chính
bởi khả năng nhìn dữ liệu theo các cách khác nhau (phân tích dữ liệu theo những điểm
đặc biệt) mà phép biến đổi Wavelet còn có thể đợc dùng để nén hay khử nhiễu cho tín
hiệu mà không làm mất đi những phẩm chất cơ bản của tín hiệu.

Phần 2.

Cơ sở toán học

3


1. Các khái niệm.
- C, R, Z, N lần lợt là tập hợp số phức, số thực, số nguyên và số tự nhiên.
- Cn, Rn tơng ứng với tập hợp bộ dữ liệu n phần tử (x 1, x2, ... , xn) số phức hay số
thực.
- Chỉ số * là ký hiệu của liên hiệp phức: (a + jb)* = (a - jb) với j2 = -1; a, b R.
- Chỉ số T là ký hiệu chuyển vị của ma trận hay vector.
- Chỉ số * với vector hay ma trận đợc hiểu là chuyển vị kín (nghĩa là chuyển vị và
lấy liên hợp phức).
2. Không gian vector.
Một không gian vector trên tập hợp số phức hay số thực là một tập hợp vector E,
với phép cộng và phép nhân vô hớng. Với x, y E; , C (hay R) thì những tính chất
sau đợc thỏa mãn:
a. Hoán vị: x + y = y + x
b. Kết hợp: (x + y) + z = x + (y + z); ()x = (x)
c. Phân phối: (x + y) = x + y; ( + )x = x + x

d. Cộng 0 (0 E): x + 0 = 0 + x với x E
e. Tồn tại phần tử đảo -x sao cho x + (-x) = 0 với x E
f. Nhân 1: 1.x = x.1 với x E
g. Trờng hợp x, y là một tập hợp phần tử hay là một chuỗi: x = (x1, x2, ... , xn);
y = (y1, y2, ... , yn) thì có thêm các tính chất sau:
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, ... , xn + yn)
x = (x1, x2, ... , xn)
Tập con M của E là không gian con của E nếu:
1. x, y M thì (x + y) M
2. x M và C hay R thì x
h. Cho S E, bắc cầu (span) của S, ký hiệu là span(S) là không gian con của E
bao gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vector thuộc S, ví dụ với số chiều hữu hạn
n

Span(S) = i x i | i C hoặc R, x i S
i =1

Vector x1, x2, ... , xn là độc lập tuyến tính nếu

n

x
i =1

i

i

= 0 , điều kiện là i = 0 với

i. Ngợc lại là phụ thuộc tuyến tính.
3. Tích vô hớng
Tích vô hớng trong không gian E trên C hay R đợc định nghĩa là hàm trị số phức
<_, _> định nghĩa trên E*E với những tính chất sau:
a. <x + y, z> = <x, z> + <y, z>
b. <x, y> = <x, y>
c. <x, y>* = <y, x>
d. <x, y> 0 và <x, y> = 0 nếu và chỉ nếu x 0.
Tích vô hớng chuẩn:
+

< f , g >= f * (t ).g(t )dt
và

< x, y >=


+

x

*

[ n].y[ n]

n =

Module của vector đợc định nghĩa dựa trên tích vô hớng:

4

x = < x, x >
Khoảng cách giữa hai vector x và y là: x y
Trong không gian vector cần chú ý:
Bất đẳng thức Cauchy - Swharz:
< x, y > x . y ; dấu = xảy ra khi x = y
Bất đẳng thức tam giác:
x + y x + y ; dấu = xảy ra khi x = y
Luật hình bình hành:
2
2
x + y + x y = 2( x + y

)

* Định nghĩa tính trực giao của hai vector x và y dựa trên tích vô hớng:
x và y trực giao nếu và chỉ nếu: <x, y> = 0
Hai vector trực giao đợc ký hiệu là: x y, chúng thỏa mãn định lý Pitago:
2
2
x+y = x + y
Một vector đợc xem là trực giao với tập hợp các vector S = {y i} nếu <x, yi> = 0
với x. Ký hiệu là x S. Tổng quát, hai không gian con S 1, S2 đợc gọi là trực giao nếu
mọi vector thuộc S1 đều trực giao với mọi vector thuộc S2 và đợc ký hiệu là S1 S2.
Một tập hợp vector {x1, x2, ... , xn} gọi là trực giao nếu xi xj với i j. Nếu
vector có đơn vị chuẩn thì ta có hệ thống trực chuẩn và nó thỏa mãn:
<xi, xj> = [i-j]
Vector trong hệ thống trực chuẩn là độc lập tuyến tính nên ixi = 0. Một hệ
thống trực chuẩn trong không gian E là cơ sở trực chuẩn nếu nó biểu diễn (span) đợc E.

* Không gian tích vô hớng đầy đủ
Một không gian vector cùng với phép toán tích vô hớng đợc gọi là không gian
tích vô hớng. Xét chuỗi vector {xn} trong không gian E đợc gọi là hội tụ tại x nếu
x n x 0 khi n . Chuỗi vector {xn} đợc xem là chuỗi Cauchy nếu x n x m
khi m, n . Nếu mỗi chuỗi Cauchy trong E hội tụ tại một vector trong E thì E đợc
gọi là đầy đủ. Một không gian tích vô hớng đầy đủ đợc gọi là không gian Hilbert.
4. Cơ sở trực chuẩn.
Để một tập hợp vector {xi} = S thuộc E là cơ sở trực chuẩn cần xét xem tập hợp
các vector có trực chuẩn và đầy đủ không.
Nói thêmvề khái niệm đầy đủ:
Có thể coi là đầy đủ nếu mỗi vector y trong E đều có thể viết dới dạng tổ hợp
tuyến tính của các vector x thuộc S
y = kxk
k

với i là hệ số Fourier tơng ứng với {xi}, đợc tính bởi k = <xk, y>.
Không gian có số chiều hữu hạn (Cn hay Rn) có tập hợp trực chuẩn kích thớc n là
đủ để có cơ sở trực chuẩn. Khi khảo sát không gian có số chiều vô hạn (không đủ để có
tập hợp trực chuẩn).
Khi có một hệ thống trực chuẩn {x1, x2, ... , } thuộc E thì những phát biểu
sau là tơng đơng:
a. Tập hợp {x1, x2, ... , } là cơ sở trực chuẩn của E.
b. Nếu <xi,y> = 0 với i = 1, 2, ... thì y = 0.
c. Với mỗi y thuộc E thì có đẳng thức Parseval:

5


y
d. Mỗi y1, y2 thuộc E:

<y1, y2> =

Phần 3.

2

= < xi , y >

< x ,y
i

1

2

>* . < x i , y 2 >

Phép biến đổi Wavelets

Phép biến đổi Wavelets là một bớc cải tiến tiếp theo của phép đổi Fourier thời
gian ngắn. Nh chúng ta đã phân tích ở mục trớc phép biến đổi Fourier thời gian ngắn
không thể hiện tính linh hoạt khi định vị các thành phần trong một tín hiệu vì kích thớc
cửa sổ phân tích không thay đổi đợc, do đó tín hiệu chỉ đợc phân tích ở một độ phân giải
thời gian và độ phân giải tần số cố định. Điều này đợc khắc phục trong phép biến đổi
Wavelets, cửa sổ sử dụng để phân tích tín hiệu có thể đợc phóng to hay thu nhỏ (zoom
in or zoom out ) bởi một thao tác đơn giản là thay đổi hệ số tỷ lệ (scale factor ), đồng
thời cửa sổ đó có thể dịch chuyển đợc thông qua một hệ số dịch chuyển ( shifl factor )
trong hàm cơ sở wavelets
Phép biến đổi wavelets cho phép ta phân tích những khoảng thời gian dài để cho sự

CWT

Hình 3.1: Biểu diễn tín hiệu bằng CWT
chính xác đối với thông tin tần số thấp và phân tích trong khoảng thời gian ngắn khi ta
muốn thể hiện thông tin ở tần số cao.
Chúng ta có thể nhận thấy sự khác nhau giữa phép biến đổi wavelets so với phép
biến đổi Fourier thời gian ngắn là phép biến đổi wavelets không thể hiện tín hiệu trong
miền thời gian tần số mà thể hiện tín hiêu trong miền thời gian - tỷ lệ (time - scale),
trong đó biến scale tỷ lệ nghịch với tần số của tín hiệu.
`Khác với phép biến đổi Fourier dựa trên một hàm cơ sở là hàm sin nên có khoảng
thời gian tồn tại vô hạn (- ,+ ) phép biến dổi wavelets dựa trên một hàm cơ sở có
khoảng thời gian tồn tại giới hạn và có giá trị trung bình bằng không. Một ví dụ về hàm
cơ sở của phân tích wavelets đợc thể hiện trong hình 3.2:
Phép biến đổi wavelets phân tích một tín hiệu thành những phiên bản có tơng quan

Hình 3.2: Hàm cơ sở trong phép biến đổi wavelets
tỷ lệ và dịch từ một hàm wavelets ban đầu còn gọi là hàm wavelets mẹ (motherwavelets). Biến đổi wavelets đợc định nghĩa là tổng trên toàn trục thời gian của tín hiệu
nhân với phiên bản đợc dịch và tỷ lệ từ một hàm cơ sở wavelets :

6


C(a, ) =



s(t ) * (a, t )dt

(3.1)

Kết quả của phép biến dổi wavelets là tập hợp các hệ số wavelets C. Đó là một hàm
hai biến theo hệ số tỷ lệ a (scale) và độ dịch (translation).
Nếu nhân các hệ số với phiên bản scale và dịch hợp lý của mother wavelets, chúng ta
sẽ khôi phục tín hiệu gốc ban đầu.
Trong phép biến đổi wavelets có sự tơng ứng giữa hệ số co giản và tần số nh sau:
Hệ số co giản nhỏ wavelets nén phân tích thành phần tần số cao của tín
hiệu phân tích chi tiết của tín hiệu.
Hệ số co giản lớn wavelets trải rộng phân tích thành phần tần số thấp của
tín hiệu phân tích các đặc điểm thô của tín hiệu.
Biến đổi wavelets liên tục của s(t)
CWT(a, ) =

1

s(t ) (
a

t
)dt
a

(3.2)

với (t) là hàm wavelets mẹ và ((t-)/a)/a1/2 là hàm wavelets con


Đặt at = t phơng trình 3.2 trở thành:
CWT(a, ) =

1

s(at' )(t' a )dt'
a

(3.3)
Miền tần số

Miền thời gian
STFT
t



0
4/T

T
aT



t

Wavelet

4/aT
0
(at)

0/a
4/aT

(at)
t
Hình 3.3 So sánh giữa STFT và Wavelet

7

0
4/T




Tuy nhiên có một sự khác nhau cơ bản giữa STFT và phép biến đổi wavelet.
Trong STFT tại tần số 0 , độ rông cửa sổ sẽ thay đổi theo sự tăng giảm của số chu kỳ
tín hiệu. Còn trong biến đổi wavelets độ rộng của cửa sổ thay đổi tùy theo sự nén hay
giản của tín hiệu, và tần số phụ sẽ thay đổi từ 0 0/a ứng với độ rộng cửa sổ thay
đổi từ T aT.
Trong STFT và wavelets thì độ phân giảI tần số tỷ lệ với độ rộng của cửa sổ.
Trong hàm wavelet mẹ (t ) có thể là hàm thực hay hàm phức, do đó phổ của
phép biến đổi wavelet là thực hay phức. Việc sử dụng wavelet có thể có trong một số
ứng dụng do phổ pha của nó có chứa thông tin có ích.
Các ví dụ về (t ) và phép biến đổi của chúng:

(i)

Hàm Gausian điều biến (Morlet)

(t ) = e

i 0 t

.e

t 2

2

(t ) = 2 e ( 0 )
(ii)

(t ) = 2 . 2 .e

Hàm Harr

1,

(t ) = 1
0


( ) = je

(iii)

/2

(3.4)

Đạo hàm bậc hai của hàm Gausian

(t ) = (1 t 2 )e

(iii)

2

,
,
,
j

t 2

2

2

2

0 t 1/ 2
1/ 2 t 1
t [ 0,1]

2

(3.5)

(3.6)

sin 2 ( / 4)
/4

Shannon
(t ) =

sin( / 2)
3t
cos

/2
2

1
( ) =
0

,
,

< < 2
( ,2 )

8

(3.7)


Re{(t)}

()
t



0
(t)

0

()
t



-30 -20 -10 0 10 20 30

()

(t)

3

3

t

0

2

2

Hình 3.4 Các hàm wavelet và phép biến đổi wavelet
-1/

(t)
1

(t/2-1)

-1/
0

-1

1

t

1

2

3

4

t

-1/
Hình 3.5 Haar wavelet và hàm wavelet con

Từ hình 3.4 và 3.5 ta có thể suy ra các tính chất của phép biến đổi wavelet
1. Tại 0 = 0 ( ) = 0 (t)dt = 0, nói cách khác thì thành phần một
chiều bằng không
2. Các tín hiệu trên là các tín hiệu lọc thông dải
3. Các tín hiệu giảm nhanh về không khi t tiến đến vô tận
Tính chất một là hệ quả của điều kiện cần của phép biến đổi wavelet, điều kiện
này đảm bảo wavelet có phép biến đổi ngợc.
Có bốn cách nhận xét về biểu thức 3.2
1. Đây là tích vô hớng, hay tơng quan chéo giữa s(t) và (t / a ) / a ứng với độ
dịch pha / a .
2. Đây là tín hiệu ra của bộ lọc thông dải có đáp ứng xung (t / a) / a và tín
hiệu vào là s(t) tại thời điểm / a


9


3. Do biĨu thøc 3.3 gièng víi biĨu thøc 3.2 nªn ta cã thĨ xem ®©y lµ tÝch v« híng hai t¬ng quan chÐo gi÷a tÝn hiƯu ®· ®ỵc nÐn gi¶n s(at) vµ aΨ (t ) , øng
víi ®é dÞch pha τ /a
4. Tõ biĨu thøc 3.3 ta thÊy CWT còng lµ tÝn hiƯu cđa bé läc th«ng d¶i cã ®¸p

øng xung a Ψ (−t ) , øng víi tÝn hiƯu vµo lµ s(at) t¹i thêi ®iĨm τ /a.
Re{ψ(t)}
ψ(ω)
 Tõ nh÷ng nhËn xÐt kh¸c nhau trªn dÉn ®Õn cã nh÷ng c¸ch sư dơng kh¸c nhauvỊ
phÐp biÕn ®ỉi wavelet tïy thc vµo gi¶i tht vµ øng dơng. §iĨm chÝnh ë ®©y lµ t¬ng
quan chÐo gi÷a tÝn hiƯu s(t) vµ hµm
t wavelet mĐ còng chÝnh lµ ngâ ra cđa bé läc th«ng
ω ®ỉi WT
d¶i cã ®¸p øng xung Ψ (−t / a) a vµ tÝn hiƯu lµ s(t). Nãi c¸ch kh¸c phÐp biÕn
0
thùc hiƯn viƯc nÐn gi·n tÝn hiƯu s(t) sau ®ã cho tÝn hiƯu ®i quaωbé
0 läc th«ng d·i
ψ(t)
ψ(ω)

Cã bèn phÐp biÕn ®ỉi wavelet kh¸c nhau
1. BiÕn ®ỉi wavelet
t liªn tơc (CWT)
1
ω
 t −τ 
CWT(a, τ ) =
∫ s(t ).Ψ dt (3.8) -30 -20 -10 0 10 20 30
a

 a 

Trong ®ã biÕn t, ®é tû lƯ a, ®é dÞch τ tÊt c¶ ®Ịu liªn tơc
ψ(ω)
BiÕn ®ỉi wavelet rêi r¹c (DPWT)

ψ(t)

2.

−m

DPWT(m,n) = a 2 s(t )Ψ ( a −m t − nτ ) dt
(3.9)
0 ∫
0
0
− 3
3
t
Trong ®ã c¸c
th«ng
sè a, τ ®ỵc rêi r¹c hãa, a = a 0m , vµ τ = nτ 0 a 0m víi a0 , τ lµ c¸c
0

−

2

2

−m
0

kho¶ng lÊy mÉu, m ,n lµ c¸c sè nguyªn. C¶ s(t) vµ Ψ (a t ) vÉn cßn liªn tơc. §Ĩ viƯc
H×nh 3.4 C¸c hµm wavelet vµ phÐp biÕn ®ỉi wavelet

tÝnh to¸n ®¹t ®ỵc hiƯu qu¶ ta thêng chän a0 = 2, τ 0 = 1 kÕt qu¶ ta ®ỵc ®é gi·n nhÞ ph©n
-1/
ψ(t/2-1)
m .
− m vµ ®é dÞchψ(t)
2 n
2
3.

1 BiÕn ®ỉi wavelet thêi gian rêi r¹c
-1/
−m / 2
−m
a t
s (k ) Ψ ( a 0 k − nτ 0 )
1
2 3 4
t
(3.10)
0DTWT(m,n) = 0 ∑
1
k
§©y lµ hµm rêi r¹c theo thêi gian cđa biĨu thøc 3.9, víi t =kT vµ kho¶ng thêi gian
-1/ Fourier rêi r¹c. Lu ý víi a0 = 2, DTWT
lÊy mÉu -1
T = 1. BiĨu thøc 3.10 t¬ng tù nh chi
m
-m
chØ tån t¹i ë tõng mÉu 2 , víi 2 k lµ mét sè nguyªn.
4.

BiÕn ®ỉi wavelet rêi r¹c
H×nh 3.5 Haar wavelet vµ hµm wavelet
con s (k )Ψ ( 2 − m k − n )
DWT(m,n) = 2-m/2

∑

(3.11)

k

Trong ®ã hµm Ψ (k ) cã thĨ lµ hµm rêi r¹c. Khi Ψ (k ) lµ hµm rêi r¹c cđa Ψ (t ) , th×
DWT gi«ng

Phần 4.

Kỹ thuật biến đổi wavelet

4.1. Biến đổi wavelet liên tục
Về mặt toán học quá trình phân tích Fourier được biễu diễn bởi hàm :

10


∞

F (ω ) =

∫ s (t ) e

− jωt

dt

(4.1)

−∞

Đây là tổng trên toàn trục thời gian của tín hiệu s (t ) nhân với một hàm mũ phức.
Kết quả của phép biến đổi này là các hệ số Fourier F (ω ) , khi chúng ta nhân các hệ
số này với các tín hiệu sin tần số thích hợp ω thì chúng ta sẽ khôi phục lại tín hiệu
gốc ban đầu. Hình sau minh họa kết quả của phép biến đổi Fourier :

Tín hiệu

Các thành phần sin với tần số khác nhau

Tương tự như vậy, phép biến đổi wavelet liên tục (CWT) được đònh nghóa là
tổng trên toàn trục thời gian của tín hiệu nhân với phiên bản dòch và tỷ lệ của hàm
wavelet ψ :
C ( a, τ ) =

∞

∫ s(t )ψ (a,τ , t )dt

(4.2)

−∞

Kết quả của phép biến đổi CWT là tập hợp các hệ số wavelet C, là hàm hai biến
theo hệ số tỷ lệ (a) và độ dòch (τ ) .

Tín hiệu

Các wavelet thành phần với hệ số tỷ lệ
và độ dòch khác nhau

Các bước để thực hiện một biến đổi wavelet liên tục
Thực hiện một phép biến đổi CWT gồm có năm bước, thực chất của quá
trình này là tạo ra các hệ số wavelet C , đó là các hàm hai biến theo hệ số co giản a
và độ tỷ lệ τ
1. Chọn một hàm wavelet cơ sở và so sánh nó với một đoạn tín hiệu tại gốc thời
gian
2. Chúng ta tính được giá trò C chính là độ tương quan giữa wavelet cơ sở và
đoạn tín hiệu so sánh. Hệ số C càng lớn nghóa là sự đồng dạng giữa chúng
càng cao, và kết qủa này phụ thuộc hình dạng wavelet được chọn.

11


3. Dòch wavelet về phía phải và lặp lại các bước 1 và 2 cho đến hết tín hiệu cần
phân tích.

4. Thực hiện giãn wavelet và lặp lại các bước từ 1 đến 3

5. Làm lại các bước từ 1 đến 4 với tất cả các tỉ lệ
Khi hoàn tất chúng ta có các hệ số với độ tỷ lệ khác nhau tại các đoạn trên toàn
tín hiệu
Biến đổi wavelet liên tục của một tín hiệu s(t) tương ứng Ψ (t ) là :

1
 t −τ 
CWT(a, τ ) =
(4.3)
∫ s(t ).Ψ dt
 a 

a

với : a được gọi là tỷ lệ
τ là sự dòch chuyển tònh tiến của hàm wavelet dọc theo trục thời gian
(khoảng dòch tính từ gốc).
Ψ (t ) là hàm wavelet mẹ
1
t −τ
Ψ(
). là hàm wavelet cơ sở hay wavelet con.
a
a

Trong các ứng dụng của một phép biến đổi bất kỳ, điều quan trọng là phép biến
đổi đó phải có biến đổi ngược. Việc xây dựng lại một tín hiệu hoàn hảo là yêu cầu
cơ bản trong mã hóa hình ảnh, mặc dù sau khi nén, thì hình ảnh được giải mã sẽ chỉ
gần giống hình ảnh ban đầu. Các hệ thống nhận dạng mẫu thường sử dụng các phép

12


biến đổi để lấy ra những phần chính của mẫu. Các phép biến đổi này cần phải có
biến đổi ngược để đảm bảo tính đơn nhất, nghóa là ứng với một phép biến đổi ta có

một mẫu duy nhất. Nếu phép biến đổi không có bến đổi ngược, thì với cùng một
phép biến đổi ta có nhiều mẫu khác nhau.
Điều kiện để một biến đổi CWT có biến đổi ngược thì nó phải thỏa mãn Đònh lý
phân giải đồng nhất :
Đònh lý: Một phép biến đổi tín hiệu một chiều s(t) thành tín hiệu wavelet hai
chiều theo a và τ là một phép biến đổi thuận nghòch nếu phép biến đổi đó là phép
biến đổi đó đồng cự (bảo toàn năng lượng) với thừa số không đổi C Ψ được cho bởi
phương trình :
2
∞
Ψ (ω )
CΨ = ∫
dω < ∞
(4.4)
ω
0
Khi đó ta có biến đổi ngược của CWT là :
1

s(t) = C
ψ
víi a ∉ R+\[0]

+∞ ∞

∫ ∫

−∞ a >0

CWT (a, τ )

 t −τ  1
Ψ
 2 da.dt
a  a a

1

(4.5)

, C Ψ lµ h»ng sè phơ thc vµo Ψ (t )

4.2. Phép biến đổi wavelet thông số rời rạc (DPWT)
- Trong CWT các hệ số (a, τ ) đều là các biến liên tục, việc tính các hệ wavelet
tại tất cả các giá trò của a và τ là một việc làm rất khó khăn và không cần thiết, mà
ta chỉ cần lấy một số hữu hạn các giá trò của a và τ . Với (a, τ ) rời rạc ta vẫn có thể
biễu diễn CWT của s(t) nghóa là ta có thể khôi phục s(t) từ CWT ( a, τ ) với (a, τ ) là
các biến rời rạc, phép biến đổi này được gọi là biến đổi wavelet thông số rời rạc
(DPWT).
- Các thông số rời rạc (a, τ ) được xác đònh bởi công thức sau :
a = a0m , τ = n τ a0m ; m,n: nguyên
khi đó ta có phương trình của phép biến wavelet thông số rời rạc :
DPWT(m,n) =

m ,n

(t ) dt

(4.6)

Ψm,n (t ) = a 0− m / 2 .Ψ (a 0− m / 2 t − nτ 0 ) , Ψ∞ (t ) = Ψ (t )

với
a0 , τ

∫ s(t )Ψ

0

là các hằng số xác đònh khoảng thời gian lấy mẫu

Lưu ý s(t) và Ψ (t ) vẫn là các hàm liên tục theo thời gian
- Phương trình của biến đổi ngược DPWT :
DPWT (m, n)Ψm ,n (t )
s(t) = c∑∑
m n

13

(4.7)


c : là hằng số phụ thuộc vào hàm Ψ (t )
- Daubechies đã ứng dụng đònh lý khung để thiết lập lại điều kiện khôi phục tín
hiệu đối với DPWT.
DPWT (m, n) = s(t ), Ψm,n (t ) = ∫ s (t ).Ψm,n (t )dt
(4.8)
§iỊu kiƯn ®Ĩ kh«i phơc tÝn hiƯu
s(t)= ∑∑ DPWT (m, n)Ψm,n (t )

(4.9)

Thay c¸c hµm theo thêi gian bëi c¸c vector, dƠ dµng nhËn ra r»ng ®Ĩ biĨu thøc
trªn kh«ng ®ỉi th× Ψm,n (t ) ph¶i lµ phÇn tư cđa khung → Ψm,n (t ) lµ phÇn tư cđa khung
®èi ngÉu. NÕu Ψm,n (t ) t¹o thµnh mét khung th× chóng ph¶i tu©n theo bÊt ®¼ng thøc sau:
A s (t )

≤ ∑∑ s (t ), Ψm ,n (t )

2

2

≤ B s (t )

2

(4.10)

víi 0 < A ≤ B < ∞ . C¸c h»ng sè A,B lµ c¸c biªn khung vµ chØ phơ thc Ψm,n (t ) .
Ta cã

s (t )

2

= ∫ s (t ) dt < ∞
2

(4.11)

do s (t ) ∉ L2 ( R )
C¸c biªn ë biĨu thøc (3.20) ®¶m b¶o tÝn hiƯu kh«i phơc ỉn ®Þnh vỊ mỈt sè häc.
Sau ®©y lµ b¶ng tãm t¾t c¸c kÕt qu¶ cđa viƯc øng dơng ®Þnh lý khung ®èi
víi phÐp biÕn ®ỉi DPWT, ®Ỉc biƯt lµ ®èi víi DPWT ngỵc:
1) Sù lùa chän ( a 0 , τ 0 ) trong viƯc lÊy mÉu c¸c biÕn lªn tơc a = a 0m, τ = nτ o .a 0m qut
®Þnh kh¶ n¨ng biÕn ®ỉi ngỵc cđa DPWT. NÕu líi lµ mÉu qu¸ th«, th× sÏ kh«ng
cho phÐp kh«i phơc hoµn h¶o tÝn hiƯu.
2) Tån t¹i gi¸ trÞ ngìng ( a 0 , τ 0 ) ®èi víi hµm Ψ (t ) cho tríc, gi¸ trÞ nµy bÐ h¬n gi¸ trÞ
øng víi hµm Ψm,n (t ) lu«n t¹o ra khung.
3) Cã thĨ lùa chän ( a 0 , τ 0 ) ®Ĩ A ≈ B, khi ®ã
s(t) =
NÕu A = B th×
s(t) =

2
∑∑ s(t ), Ψm,n (t ) Ψm,n (t )
A+ B m n

(4.12)

1
∑∑ s(t ), Ψm,n (t ) > Ψm,n (t )
A m n

(4.13)

NÕu A = B = 1 th× Ψm,n (t ) lµ c¸c hµm trùc chn c¬ b¶n
Trong c¸c s¬ ®å lÊy mÉu thùc tÕ ngêi ta thêng chän a0 = 2, τ 0 = 1 khi ®ã:
-m/2

(4.14)
Ψm ,n (t ) = 2 . Ψ (2 − m t − n)
H×nh sau tr×nh bµy s¬ ®å líi lÊy mÉu nhÞ nguyªn víi hƯ sè tû lƯ b¸t ph©n vµ ®é dÞch
nhÞ nguyªn. Do biÕn ®ỉi Fourier cđa Ψ ( at ) / a , lµ Ψ (ω / a ) / a a , nªn tÇn sè trung t©m
vµ ®é réng b¨ng tÇn sÏ tØ lƯ víi 1/a øng víi hƯ sè tû lƯ lµ a. V× vËy Q cđa tÊt c¶ c¸c hµm
wavelet con sÏ kh«ng ®ỉi
= logt©m
a / ®é réng b¨ng tÇn = const
Q = tÇn sèmtrung
2

3
2
1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Líi lÊy mÉu nhÞ nguyªn
14


H»ng sè Q ®Ỉc trng cho kh¶ n¨ng ph©n tÝch cđa c¸c hµm wavelet. Khi a thay ®ỉi
nh÷ng qu·ng t¸m th× tÇn sè trung t©m vµ ®é réng b¨ng tÇn còng thay ®ỉi nh÷ng qu·ng
t¸m.
Khi hµm Ψm,n (t ) trùc chn th×
Ψm ,n (t ), Ψkl (t ) = δ m −k .δ n −l

-

(4.15)

VÝ dơ vỊ hµm trùc chn víi c¸c th«ng sè rêi r¹c sau:
1. Haar wavelet
1

Ψ (t ) = − 1
0

1

Ψm,n (t ) = − 1
0


,
,
,

,
,
,

2. Shannon Wavelet
Hµm wavelet mĐ
Hµm wavelet con
Ψm,n (t ) = 2 − m / 2.

cã phỉ

Ψ (t ) =

0 ≤ t < 0.5
0.5 ≤ t ≤ 1
tcßn l¹i

(4.16)

2 m n ≤ t < 2 m n + 2 m−1

(4.17)

2 m n + 2 m −1 ≤ t < 2 m n + 2 m
cßn
t l¹i
sin ( πt / 2 )
 3πt 
. cos

πt / 2
 2 

( (
(

) )

(4.18)

sin π 2 m t − n / 2
 3π − m


. cos
2 t−n 
−m
π 2 t −n /2
 2


2 m / 2 e − jωn.2
Ψm,n (ω ) = 
0

)

m

,
,

(

)

(4.19)

2 − m π < ω < 2 − m 2π

ω ∉ ( 2 − m π ,2 −m 2π )

(4.20)

Tõ ph¬ng tr×nh trªn ta thÊy râ rµng Ψm,n (ω ) vµ Ψk ,l (ω ) kh«ng chång lªn nhau
víi k ≠ m .
Hai hµm wavelet trªn cã kh¸c nhau vỊ ®Ỉc tÝnh ®Þnh vÞ. Hµm Haar wavelet cã ®Þnh
vÞ thêi gian tèt nhng ®Þnh vÞ tÇn sè kÐm. Phỉ cđa nã kh«ng cã ®iĨm kh«ng víi ω → ∞ .
Ngỵc l¹i hµm Shannon wavelet cã ®Þnh vÞ thêi gian kÐm, cßn ®Þnh vÞ tÇn sè tèt v× nã cã
phỉ cđa bé läc th«ng d¶i lý tëng.

Phần 5.

Dàn lọc trong phân tích và khôi phục tín hiệu

Chuỗi Fuorier rời rạc là một công cụ kinh điển để phân tích tín hiệu nhưng nó
lại có một số nhược điểm (đã phân tích ở phần trước). Cơ sở rời rạc với nhiều thuận
lợi trong việc xử lý tín hiệu sẽ thõa mãn được hai yêu cầu xung đột, đó là nhận được
sự phân giải tốt theo tần số nhưng vẫn đònh vò tốt theo thời gian. Vì cả hai nguyên
nhân thực tiễn và tính toán nên tập hợp hàm cơ sở phải có cấu trúc. Thông thường,

15


tập hợp hàm cơ sở vô hạn có được từ một số hữu hạn nguyên mẫu và các phiên bản
dòch theo thời gian của chúng. Chính điều này đã đưa đến dàn lọc rời rạc để thực
hiện khai triển có cấu trúc nói trên. Dàn lọc này là điểm trọng tâm để phát triển xử
lý tín hiệu số và đặc biệt là để thiết kế các hàm cơ sở (hay các bộ lọc).
Quá trình lọc bằng Wavelet là thực hiện biến đổi DWT tín hiệu vào S bởi hàm
Wavelet cơ sở và cho ra một tập các hệ số. Khi thực hiện DWT tín hiệu S với các
hàm Wavelet cơ sở có thang tỉ lệ khác nhau thì ta gọi đó là dàn lọc.
Dàn lọc có khả năng tái tạo hoàn hảo, nghóa là phân tích tín hiệu thành những
thành phần băng con và tín hiệu có thể khôi phục hoàn hảo như tín hiệu ngõ vào sau
khi tổng hợp.

Các hàm cơ sở dài biểu diễn cho các chi tiết lớn, nền phẳng (tần số thấp). Các
hàm cơ sở ngắn biểu diễn những vùng có chi tiết nhỏ (tần số cao).
LỌC MỘT TẦNG: Các thành phần
xấp xỉ và chi tiết.
Hầu hết các tín hiệu, nội dung tần số
thấp là thành phần quan trọng nhất. Nó là
thành phần giống tín hiệu nên có thể nhận
ra tín hiệu. Nội dung tần số cao chỉ là sắc
thái của tín hiệu. Ví dụ ta xét tiếng nói của
con người, nếu ta loại bỏ các thành phần
tần số cao thì vẫn có thể nhận biết được giọng nói và nội dung của lời nói. Tuy
nhiên nếu ta loại bỏ thành phần tần số cao thì chỉ nghe tiếng lắp bắp, tiếng rít.
Chính vì vậy ta thường nói thành phần xấp xỉ và thành phần chi tiết.
Thành phần xấp xỉ : gồm các thành phần tần số thấp nền phẳng, thu được
khi thực hiện DWT với hàm cơ sở có thang tỉ lệ cao.
Thành phần chi tiết : gồm các thành phần tần số cao, thu được khi thực hiện
DWT với hàm cơ sở có thang tỉ lệ nhỏ.
Quá trình lọc một tầng được biểu diễn ở hình vẽ bên :
Tuy nhiên, đối với tín hiệu số thực, nếu ta thực hiện quá trình này thì đầu ra
của thành phần xấp xỉ và chi tiết có số mẫu đều bằng số mẫu của tín hiệu ban đầu.
Như vậy, dung lượng số liệu sẽ tăng gấp đôi (độ dư lớn). Ví dụ ta có tín hiệu S gồm

16


1000 mẫu thi sau khi phân tích ta được 1000 mẫu của thành phần xấp xỉ và 1000
mẫu của thành phần chi tiết. Vậy sau quá trình phân tích, ta có tổng cộng là 2000
mẫu.
Để khắc phục vấn đề này, người ta đề ra vấn đề giảm mẫu. Trong khi thực hiện

giảm mẫu phải kí hiệu các thành phần tín hiệu để có thể tính toán trong các quá
trình sau. Quá trình lọc một tầng được biểu diễn lại như hình sau:
Giảm mẫu: Với một chuỗi x[n], nếu giảm mẫu N lần thì kết quả giảm mẫu
y[n] cho bởi công thức : y[n]=x[Nn] (cứ N mẫu lấy một mẫu).
Trong miền Fuorier, ta có :
Y ( e jω ) =

1 N −1
∑ X(e j(ω−2kπ) / N )
N k =0

DÀN LỌC TRONG PHÂN TÍCH ĐA MỨC.
Quá trình phân tích có thể lặp đi lặp lại liên tục
với các thành phần xấp xỉ. Do đó một tín hiệu được
cắt thành các thành phần có độ phân giải thấp hơn,
được gọi là cây phân tích Wavelet. Xét hình bên:
Số mức phân tích:
Về mặt lý thuyết quá trình phân tích có thể lặp
đi lặp lại liên tục mãi. Nhưng trong thực tế, quá
trình phân tích có thể tiếp diễn cho đến khi các chi Cây phân tích Wavelet
tiết riêng biệt gồm các mẫu hay các pixel đơn. Như
vậy, ta chọn số mức phân tích tùy thuộc vào tính chất của tín hiệu hay phù hợp với
các tiêu chuẩn như entyropy…

17


DÀN LỌC TRONG KHÔI PHỤC TÍN HIỆU.
Ở phần trước, ta đã xét cách dùng biến đổi Wavelet rời rạc để phân tích một tín
hiệu ra các thành phần xấp xỉ và chi tiết. Bây giờ, ta xét cách tổng hợp các thành

phần đó để khôi phục lại tín hiệu ban đầu. Quá trình đó gọi là khôi phục hay tổng
hợp tín hiệu. Quá trình vận dụng toán học để tổng hợp tín hiệu gọi là biến đổi
Wavelet rời rạc ngược IDWT. Sơ đồ thực hiện tổng hợp Wavelet như sau :
cD1
cD2
cA1
cA2
Sơ đồ quá trình tổng hợp tín hiệu
S= cA1 + cD1
= cA2 + cD2 + cD1
Trong đó cA2 và cD2 là thành phần xấp xỉ và chi tiết sau khi phân giải cA 1
(phân giải mức 2).
Các thành phần cA2,cD2 và cD1 trước khi qua các bộ lọc khôi phục cần phải
tăng mẫu để co phổ lại (do quá trình giảm mẫu đã kéo dãn phổ).
ĐIỀU KIỆN ĐỂ KHÔI PHỤC TÍN HIỆU CỦA DÀN LỌC.
Trong quá trình giảm mẫu, phổ bò kéo dãn và có nhiều phiên bản gập được thêm
vào. Chúng được gọi là gập vì nó là bản sao của phổ chính nhưng bò dòch tần số. Như
vậy, để khôi phục tín hiệu hoàn hảo ta cần phải loại bỏ các thành phần phổ gập.
Xét dàn lọc hai kênh sau :
y1
H1
G1
2
2
x
x^
H0

2

y0

2

G0

Cấu trúc dàn lọc hai kênh
Trong đó :
H0. G0 là bộ lọc thông thấp, H1. G1 là bộ lọc thông cao.
Các bộ giảm mẫu hai lần :
x[n]

2

Y(z)=1/2[X(z1/2)+X(z-1/2)]

18


Các bộ tăng mẫu hai lần :
x[n]
Y(z)=X(z2)
2
Tăng mẫu theo sau giảm mẫu :
x[n]

Y[z]=1/2[X(z)+X(-z)]

2

2

Do đó, theo cấu trúc dàn lọc :
^

X(z) =

1
[ H 0 (z)G 0 (z) + H1 (z)G 1 (z)].X(z) + 1 [ H 0 (−z)G 0 (z) + H1 (−z)G 1 (z)].X(−z)
2
2
^

Trong biểu thức này, X(z) là tổng của hai thành phần : Phần thứ hai chứa X(z) gọi là phần gập. Để loại bỏ phần gập, ta phải đặt điều kiện :
H0(-z)G0(z)+H1(-z)G1(z)=0
^

Và nếu X (z ) chỉ khác X(z) với một độ trễ 1:
^

X(z) = cz −1 X(z)

Tương đương :
H 0 (z)G 0 (z) + H1 (z)G 1 (z) = 2cz −1

Thì dàn lọc được gọi là có khả năng tái tạo hoàn hảo.

Ph©n tÝch ®a ph©n gi¶i

PhÇn 6.

H×nh 6.1 biĨu diƠn s¬ ®å khèi ph©n tÝch ®a ph©n gi¶i , bao gåm bé läc th«ng thÊp
(g(l)) , bé läc th«ng cao (h(l)) vµ c¸c bé chia hai . Trong s¬ ®å nµy s(n) ®ỵc ph©n tÝch
thµnh c¸c b¨ng con dn1 , dn2 , ...., dnL vµ cn 1 , cn2 , ....cnL , vµ cã thĨ coi ®©y lµ thµnh phÇn
mét chiỊu khi L→∞ . C¸c ( ↓ 2) vµ ( 2) tỵng trng cho c¸c bé gi¶m mÉu vµ t¨ngmÉu .
s(n)
↓2
0 0.5

0.5 1

↓2
dn1

Cn1

↓2

Cn2

↓2

0 0.25

0.25 0.5

↓2
dn2

↓2

dnL

H×nh 6.1. S¬ ®å khèi ph©n tÝch ®a ph©n gi¶i
19

CnL


Độ phân giải của tín hiêu là một thuật ngữ có liên quan đến nội dung tần số của
tín hiệu .Đối với tín hiệu thông thấp , nội dung tần số của nó ít hơn thì độ phân giảI bé
hơn .Trong MRA nội dung tần số của chuỗi C nm giảm khi m tăng cho đến khi đạt đến
thành phần một chiều ứng với độ phân giải thấp nhất . Chuỗi dnm là phần tần số cao .
Việc giảm mẫu xuống một nửa cũng giống nh việc nén chuỗi còn một nửa . Tuy
nhiên do có bộ lọc thông thấp đặt trớc bộ giảm mẫu nên dải thông của tín hiệu cũng
giảm một nửa và làm giảm độ phân giải.
Hình 6.2 biểu diễn sơ đồ khôi phục tín hiệu từ các băng con. Để đơn giản ta giả
cnL

2

+



+



+

+

+

2
0 0.5

dn

+

2

2
L

s(n)

0.5 1

0.25 0.5
2



dn1

dn2

Hình 6.2. Sơ đồ khôi phục tín hiệu từ các băng

con
sử không có các bộ mã hoá .Tín hiệu s(n) ban đầu có thể đợc khôi phục từ các băng con
Cnm , dnm .

6.2. DPWT và phân tích đa phân giải (MRA):
Xét sơ đồ hình 6.3 :
s(t)

s(t)(t-)dt

s(n)
f()

_

2 g (l )

2

Cn1

h(l)


dn1
Tầng
tronggiải
MRA
Đây là tầng đầu trong Hình
sơ đồ6.3.

phân
tíchđầu
đa phân
hình 6.1. Phép tính tích vô hớng đặt s(n) trong không gian con thích hợp đợc biểu diễn bởi (t-n) để các thành phần
dnm đúng là DPWT của s(t) .
Ta có :
s(n)=f(=nT)=s(t)(t-)dt
dn1 = 2 h(l)s(n-l)
Theo định nghĩa , DPWT(m,n) của s(t) , với hàm wavelet tơng ứng (t) là:
DPWT(m,n) = s(t)(t)dt

Điều kiện để dnm =DPWT(m,n) là:

20


mn(t) = 2

m2
2

_

h (l ) ( 2

t
m 1

p + 1 + l 2n)

_

_

Với : (t ) = 2 g (i)(2t p + i + 1)
i

Hai phơng trình là các phơng trình scale xác định (t)và (t) thông qua phân tích các
hệ số lọc .Để khôi phục hoàn hảo một tín hiệu thì các hệ số tổng hợp phải thoả mãn các
điều kiện sau :
g(l)=g(p-l-1)
h(l)=h(p-l-1)
Thay vào hai phơng trình trên :
(t)=2g(l)(2t-l)
mn(t)=2h(l)( (

t

2

m 1

l 2n )

Hàm (t) là hàm nén giãn kết hợp với lọc thông thấp g(l) hayg(l) , phục vụ cho
việc nén giãn thời gian của chuỗi s(n) .
Lúc này :
_

c nm 2 g (i )c 2mn + p l 1

_

d nm = 2 h(l )c 2mn + p =l =1

ở phần đầu ta xem s(n) nh là các mẫu của tích vô hớng giữa s(t) và (t) . Tuy
nhiên trong thực tế s(n) thờng đợc lấy mẫu trực tiếp từ s(t) , với s(t) là phần tín hiệu sau
khi lọc thông thấp . Khi đó phơng trình (6.1) không còn thõa và d nm DPWT(m,n) của
s(t). Thay vào đó dnm = DPWT(m,n) của s(t) .
Với :
_

s (t ) = s (n) (t n)
n

_

s(t )(t m)dt = s(n) (t n)(t m)dt
_

s (m) = s (t )(t m) dt

phơng trình trên chỉ ra rằng s(n) là các mẫu của tích vô hớng của s(t) và hàm (t-n) .
6.3. Nguyên lý đa phân giải:
+ Phân tích đa phân giải là phân tích tín hiệu s(t) thành các thành phần tỉ lệ khác
nhau (tần số ) .ứng với mỗi phần tỉ lệ là một không gian con V m .Các không gian con
này là những hàm thời gian thoã điều kiện sau :
{0}........V2 V1 V0 V-1 V-2 ............L2R)(R)
Các không gian con bắt đầu bằng không gian rỗng và mở rộng đến không gian
của hàm khả tích bình phơng .Nếu s(t) ở trong không gian VI thì s(2t) ở trong không
gian Vi-1và ngợc lại.

+ Sự tồn tại các hàm trực chuẩn tỉ lệ :
Tồn tại một hàm trực chuẩn tỉ lệ (t)V0 sao cho tập hợp :
{mn(t)=2-m/4(2-mt-n:n nguyên }là hàm trực chuẩn cơ bản .
Ví dụ:

21


Giả sử Vmlà không gian con của các hàm không đổi trong từng thời đoạn :
1
0

(t) =

0 t 1
t [ 0,1]

mn(t)

00(t)
t

1

2mn
2m(n+1)
Hình 6.4. Các hàm trực chuẩn cơ bản

t

Từ hình vẽ ta thấy mn(t) tạo ra hàm trực chuẩn cơ bản trong không gian Vm .
mn (t ) mk dt = nk

Bất kỳ s(t) nào thuộc Vm đều có thể đợc biểu diễn nh là phần hợp tuyến tính của mn(t)
+ Các hàm cơ bản đợc xác định bởi các phơng trình sai phân tỉ lệ .
Do mn(t) kéo dài không gian con V0 và 1n kéo dài không gian con V-1và V-1
chứa V0 , 00(t)=(t) là phần hợp tuyến tính của --1n(t)= 2 (2t n) hay
p 1

(t ) = 2 g (l )(2t l )
l =0

Phơng trình trên là phơng trình sai phân tỉ lệ với g(l) là các hệ số kết hợp .
V-1()
V0 ()

W0()


0

0.5B

B

Hình 6.5. Phổ của không gian con
6.4. Tổng kết:

22

Từ các dữ liệu thu thập đợc ta có sơ đồ chi tiết phân tích MRA :
s(t)

_

C 1
n


2

2 g (l )

_

_


2

2 g (l )

_

2 h(l )

2 h(l )

2

dn1


2

2 g (l )

_

_

cnL

2 h(l )


2


2

dn2

dnL

Hình 6.6. Phân tích MRA
+ Việc phân tích đợc tiếp tục cho đến khi đạt đến c nl , đây là thành phần một
chiều của s(t). Hình 6.6 biểu diễn sơ đồ khối phân tích MRA sử dụng thuật toán matlab.
+ Một trong những ứng dụng của MRA là nén âm thanh hay hình ảnh. Bằng
cách phân giải s(t) thành các thành phần có độ phân giải khác nhau. Bộ mã hoá có thể

thêm bit vào để biễu diễn các chuỗi thấp hơn, có chiều dài ngắn hơn nhờ giảm mẫu
thành công và giảm bit đối với các chuỗi cao hơn để nén thành công. Đầu thu sẽ khôi
phục tín hiệu từ các chuỗi đợc mã hoá.
Ngợc lại với trên ta có sơ đồ khôi phục tín hiệu:
2

_

+

2 g (l )



_

2

2 g (l )

+
_

+



2
+

_

2 h(l )

2 h(l )

2

2

dnL

dnL-1

Hình 6.7. Các tầng khôi phục tín hiệu

_

2 g (l )
+



+

_

2 h(l )
2

dn1

+ Việc lựa chọn các hệ số g(l) và h(l) xác định (t) và (t). Tuy nhiên các hàm
này không có vai trò nào trong MRA , ta vẫn có thể thực hiện MRA mà không cần đến
(t) và (t).
+ Hàm mn(t) tạo ra hàm trực chuẩn cơ bản thu gọn nếu g(l) ,h(l) thoã mãn các điều
kiện ổn định.

23