Về siêu mặt hyperbolic p ADIC trong không gian xạ ảnh p3 (cp)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THẢO

VỀ SIÊU MẶT HYPERBOLIC P-ADIC
TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH P 3(Cp)

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THẢO

VỀ SIÊU MẶT HYPERBOLIC P-ADIC
TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH P 3(Cp)

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. MAI VĂN TƯ

Nghệ An - 2015

1

MỤC LỤC

Mục lục ................................................................................................... 1
Mở đầu .................................................................................................... 2
1. KIẾN THỨC CƠ SỞ ...................................................................... 4
1.1. Trường các số phức p-adic ................................................................. 4
1.2. Hàm nguyên p-adic ............................................................................ 7
1.3. Đường cong chỉnh hình p-adic ........................................................... 10
1.4. Các định lí cơ bản của lý thuyết Nevalinna p-adic ............................ 11
2. SIÊU MẶT HYPERBOLIC P-ADIC TRONG KHÔNG GIAN
XẠ ẢNH P 3 (Cp ) ................................................................................... 14
2.1. Độ cao của hàm chỉnh hình p–adic ................................................... 14
2.2. Tính suy biến của đường cong hàm chỉnh hình ................................ 17
2.3. Siêu mặt hyperbolic trong không gian xạ ảnh P 3 (Cp ) ...................... 25
KẾT LUẬN .......................................................................................... 36
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................ 37


2

MỞ ĐẦU

Trong những thập niên qua, lý thuyết phân phối giá trị do R.Nevanlinna
xây dựng có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu của toán học.
Đã có rất nhiều kết quả đặc sắc gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học
trên thế giới. Năm 1979, M.Green và Ph.Griffiths phỏng đoán rằng mọi đường
cong chỉnh hình bậc đủ lớn trong một đa tạp xạ ảnh là suy biến. Đến nay
phỏng đoán này dường như vẫn còn chưa được chứng minh nhưng một số bước

tiến đã được thực hiện. Sử dụng các kết quả về sự suy biến của đường cong
chỉnh hình A.M.Nadel đã xây dựng được một số ví dụ về siêu mặt hyperbolic
trong P 3 .
Đối với trường hợp p-adic, sự suy biến của đường cong chỉnh hình trong
đa tạp Fermat bậc đủ lớn được xây dựng bởi Hà Huy Khoái và Mai Văn Tư.
Nội dung chính của luận văn dựa vào tài liệu tham khảo chính là bài báo [4]
của Hà Huy Khoái và một số tài liệu khác để trình bày về siêu mặt hyperbolic
p-adic trong không gian xạ ảnh P 3 (Cp ).
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn
được chia thành hai chương:
Chương 1. Kiến thức cơ sở.
Chương 2. Siêu mặt hyperbolic p-adic trong không gian xạ ảnh P 3 (Cp ).
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận
tình chu đáo của Tiến sỹ Mai Văn Tư. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và
biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học, người đã dành nhiều thời
gian và công sức để giúp đỡ cho tôi hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành
Đại số và lý thuyết số, khoa sư phạm Toán học, phòng đào tạo Sau Đại Học,
trường đại học Vinh, những người đã tận tình giảng dạy và tổ chức thành


3

công cho khóa học.
Mặc dù đã cố gắng song luận văn vẫn còn nhiều thiếu sót, tác giả mong
nhận được sự đóng góp của các thầy cô và các bạn học viên.
Vinh, tháng 10 năm 2015.
Tác giả

4

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Trường các số phức p-adic
1.1.1 Sự phân loại giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ
1.1.1.1 Định nghĩa. Giả sử K là một trường, giá trị tuyệt đối v trên K là
ánh xạ từ K vào R (ký hiệu v(x) = |x|v ,∀x ∈ K ), thỏa mãn đồng thời 3 điều
kiện sau đây:
a. |x|v ≥ 0, với mọi x ∈ K và |x|v = 0 khi và chỉ khi x = 0.
b. |xy|v = |x|v |y|v với mọi x, y ∈ K .
c. |x + y|v ≤ |x|v + |y|v với mọi x, y ∈ K .
Một hàm giá trị tuyệt đối trên trường K được gọi là hàm giá trị tuyệt đối
phi Acsimet nếu thỏa mãn điều kiện:

|x + y|v ≤ max{|x|v , |y|v } với mọi x, y ∈ K.
1.1.1.2 Ví dụ. 1. Cho p là số nguyên tố, ∀x ∈ Q, x = 0, ta có:
∝k
1 ∝2
x = ±p∝
1 p2 ...pk với pi là các số nguyên tố, ∝i là các số nguyên, i =

1, 2, . . . .k .
Kí hiệu ordpi (x) =∝i , i = 1, 2, . . . , k , ordp (x) = 0 nếu p = pi .
Với mỗi x ∈ Q, kí hiệu |x|p = pordp (x) nếu x = 0 và |0|p = 0. Khi đó |.|p
thỏa mãn định nghĩa giá trị tuyệt đối phi Acsimet và được gọi là giá trị tuyệt
đối p-adic.

0 nếu x = 0
1 nếu x = 0
được gọi là giá trị tuyệt đối tầm thường.
2. ∀x ∈ K , đặt |x| =

là giá trị tuyệt đối phi Acsimet,

1.1.1.3 Định lí Ostrowski. Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thường trên Q
đều tương đương với giá trị tuyệt đối p–adic |.|p , trong đó p là số nguyên tố
bất kỳ, hoặc p = ∞.


5

Định lí Ostrowski cho chúng ta 2 hướng mở rộng trường Q thành một
trường đóng đại số. Thứ nhất theo cách mở rộng thông thường Q mở rộng
thành C. Thứ hai là cách mở rộng giá trị tuyệt đối p-adic như sau:
1.1.2 Trường các số hữu tỉ p-adic
Gọi X là tập hợp các dãy cơ bản các số hữu tỉ theo giá trị tuyệt đối p-adic

|.|p . Trên X ta xác định quan hệ tương đương như sau:
a = aj ∈ X ; b = b j ∈ X
a ∼ b ↔ lim |aj − bj | = 0
j→∞

Kí hiệu Qp = X/ ∼= {¯
a = {a¯j }}, trong đó

a
¯ = {{¯bj } ∈ X : lim |aj − bj | = 0}

j→∞

Ta có định lý sau:
Định lý. Qp cùng với hai phép toán được xây dựng như trên lập thành một
trường gọi là trường số hữu tỉ p-adic và Qp là trường mở rộng của trường các
số hữu tỷ Q.
1.1.3 Mở rộng đóng đại số đầy đủ Cp của trường các số Qp
¯ p là bao đóng đại số của Qp .
Kí hiệu Q

¯ p , thì α là nghiệm của đa thức bất khả quy f (x) ∈ Qp [x]:
Nếu α ∈ Q
f (x) = xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an
¯ p được xác định bởi hệ thức:
Khi đó, giá trị tuyệt đối của α trên Q
|α|p = |an |p
Rõ ràng đây là một hàm mở rộng của hàm giá trị tuyệt đối trên Qp .
¯ p là trường không đầy đủ.
1.1.3.1 Định lý. Q
Như vậy, bao đóng đại số của trường các số p-adic không phải là không
gian đầy đủ. Để có được không gian đầy đủ, ta cần làm đầy theo cách thông
thường như sau.

¯ p , dãy {xn }
Giả sử X là tập hợp các dãy cơ bản gồm các phần tử của Q
được gọi là dãy không nếu lim |xn |p = 0.
n→∞


6

Hai dãy cơ bản {xn }, {yn } được gọi là tương đương nếu và chỉ nếu {xn −yn }
là dãy không.
Đặt Cp = X/ ∼, rõ ràng Cp cùng với hai phép toán +, . các dãy thông
thường (cộng, nhân thành phần) lập thành một trường.
1.1.3.2 Định lý. Cp là trường đóng đại số.

¯ p.
Mỗi phần tử của Cp là giới hạn của một dãy cơ bản các phần tử của Q
Nếu α = lim xn , thì giá trị tuyệt đối trên Cp được định nghĩa như sau:
n→∞

|α|p = lim |xn |p
n→∞

Ngoài ra hàm ordp (x) trên Qp được mở rộng thành hàm số cho bởi công
thức v(z) = −log|z|, z ∈ Cp .
1.1.3.3 Định lý. i. Cp là trường đóng đại số đầy đủ.
ii. Cp là Qp - không gian véc tơ vô hạn chiều.
iii. Cp không compac địa phương.
iv. Cp tách được.
v. Trường các lớp thặng dư của Cp là bao đóng đại số của trường có p phần
tử.
vi. Nhóm các giá trị của Cp là compac.
1.1.3.4 Một số kí hiệu. Với mỗi r ∈ R, ta đặt:

Dr (a) = {z ∈ Cp : |z − a|p < R}
¯ r (a) = {z ∈ Cp : |z − a|p ≤ R}
D
Dr = Dr (0) = {z ∈ Cp : |z|p < R}

¯r = D
¯ r (0) = {z ∈ Cp : |z|p ≤ R}
D
−logp |z|p nếu z = 0
v(z) =
∞ nếu z = 0
1.2 Hàm nguyên p-adic
1.2.1 Chuỗi lũy thừa p-adic
Chuỗi lũy thừa p-adic là một chuỗi hàm có dạng:
∞
n=0

an z n = a0 + a1 z + ... + an z n + ...

(1)


7

trong đó ai ∈ Cp (i = 0, 1, . . . ).
1.2.2 Định nghĩa. Một chuỗi lũy thừa p-adic hội tụ trên Cp được gọi là một
hàm chỉnh hình hay hàm nguyên p-adic trên Cp .
∞

Kí hiệu: f (z) =

an z n (an ∈ Cp )

n=0

Giả sử f (z), g(z) là các hàm chỉnh hình không có điểm chung trong đĩa

Dr . Khi đó ϕ(z) = f (z)/g(z) được gọi là hàm phân hình trong đĩa Dr .
1.2.3 Bán kính hội tụ. Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (1) được xác
định bởi hệ thức
1

r = ( lim |an |pn )−1
n→∞

Đặt Dr = Dr (0) = {z ∈ Cp : |z|p < r}
1.2.4 Định lí. i. Chuỗi (1) hội tụ khi và chỉ khi lim |an zn |p = 0.
n→∞

ii. Chuỗi (1) hội tụ trong Dr và phân kỳ trong {z ∈ Cp : |z|p > r}
iii. Nếu chuỗi (1) hội tụ trong miền Dr thì nó hội tụ tuyệt đối, hội tụ đều
trong Dr .
iv. Nếu chuỗi (1) hội tụ về S(z) trong miền Dr thì S(z) là hàm liên tục
1

trên Dr , trong đó r = ( lim |an |pn )−1 là bán kính hội tụ của chuỗi (1).
n→∞

1.2.5 Định nghĩa. Độ cao của chuỗi lũy thừa (1) được xác định bởi hệ thức:

h(

, t) = min {v(an ) + nt}
0≤n<∞

Chú ý rằng độ cao của chuỗi lũy thừa có thể hữu hạn khi nó hội tụ và có
thể −∞ khi nó phân kì.
1.2.6 Mô tả hình học. Với mỗi n chúng ta vẽ đồ thị Γn của hàm v(an z n ) =

v(an ) + nt. Đồ thị này là một đường thẳng có độ dốc n. Do định nghĩa,
h(

, t) là biên của giao tất cả các nửa mặt phẳng nằm phía dưới các đường

Γn , h(

, t) có thể −∞, ∅ hoặc là một đường gấp khúc.

Người ta gọi h(

, t) là đường đa giác hay đa giác Newton của chuỗi lũy

thừa. Điểm t = v(z) là đỉnh của đa giác được gọi là điểm tới hạn của chuỗi
lũy thừa.
Định lý sau đây nêu lên mối liên hệ giữa tính hội tụ và độ cao của chuỗi


8

lũy thừa.
1.2.7 Bổ đề. i. Chuỗi lũy thừa (1) hội tụ tại t=v(z) khi và chỉ khi

lim {v(an ) + nt} = ∞

n→∞

ii. Nếu chuỗi lũy thừa hội tụ tại z0 thì nó hội tụ tại mọi điểm thuộc miền

{z ∈ Cp : v(z) > v(z0 )}
Chứng minh. Ta có chuỗi lũy thừa (1) hội tụ khi và chỉ khi

lim |an z n |p

n→∞

=

0

⇔ lim p−{v(an )+nt} = 0
n→∞
⇔ lim {v(an ) + nt} = ∞.
n→∞

Theo mệnh đề 1, chuỗi (1) hội tụ tại z0 nên lim {v(an ) + nt} = ∞
n→∞

Khi đó

lim {[v(an ) + nv(z)] − [v(an ) + nv(z0 )]} = lim n[v(z) − v(z0 )] = ∞

n→∞

n→∞

với mọi v(z) > v(z0 ), bởi vậy

lim {v(an ) + nv(z)} = ∞

n→∞

Chứng tỏ chuỗi hội tụ tại mọi điểm thuộc miền {z ∈ Cp : v(z) > v(z0 )}.

1.2.8 Định lý. Chuỗi lũy thừa (1) hội tụ trong đĩa Dr khi và chỉ khi đường
thẳng t0 = −logp r là đường tiệm cận của đường đa giác h(

, t).

1.3 Đường cong chỉnh hình p-adic
1.3.1 Định nghĩa. Một đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh
phức n chiều P n (Cp ) được định nghĩa là ánh xạ

f = (f1 , . . . , f(n+1) ) : Cp →
P n (Cp )
z → (f1 (z), . . . , f(n+1) (z))
Trong đó fi , 1 ≤ i ≤ n + 1 là các hàm nguyên không có điểm chung trên Cp
(nghĩa là không tồn tại a ∈ Cp để fi (a) = 0, ∀i = 1, ..., n + 1).


9

Đặc biệt, nếu fi , 1 ≤ i ≤ n + 1 là các hàm đa thức thì f được gọi là đường
cong đa thức.
Đường cong f = (f1 , . . . , fn+1 ) : Cp → P n (Cp ) được gọi là không suy biến
nếu ảnh của nó không được chứa trong một không gian con tuyến tính của

P n (Cp ) với số chiều nhỏ hơn n.
Ta biết rằng đường cong f không suy biến khi và chỉ khi Wronskian W (f )
không đồng nhất bằng không.
1.3.2 Định nghĩa. Độ cao của đường cong chỉnh hình được xác định bởi hệ
thức

h(f, t) = min h(fi , t),
1≤i≤n+1

trong đó, h(fi , t) là độ cao hàm chỉnh hình tại v(z) = t.
Đặt h+ (f, t) = −h(f, t), từ định nghĩa trên ta có:

h+ (f, t) = max h+ (fi , t).
1≤n≤n+1

1.3.3 Nhận xét. i. Độ cao của đường cong chỉnh hình f được xác định sai
khác một đại lượng giới nội.
Thực vậy, nếu f = (f1 , . . . , fn+1 ) = g = (g1 , . . . , gn+1 ), khi đó chúng ta
nhận được gi (z) = fi (z).λ(z), i = 1, . . . , n + 1.
Do đó các fi và gi không có điểm chung nên λ(z) không có không điểm.
Từ tính chất của đa giác Newton suy ra λ(z) = λ là một hằng số. Bởi vậy

h(g, t) = h(f, t) + 0(1).
ii. Độ cao của đường cong chỉnh hình p-adic là tương tự độ cao Cartan đối
với các ánh xạ chỉnh hình phức, được xác định bởi hệ thức
1
T (t, r) 2π

=

2π

log max fi
i

0

1
2π

θ,r dθ

− log max |fi (θ)|
i

2π

log max fi (reiθ ) dθ + 0(1)
0

i

trong đó 0(1) = −log max |fi (0)| là đại lượng giới nội.
1≤i≤n+1

1.4 Các định lí cơ bản của lý thuyết Nevalinna p-adic


10

Giả sử f là hàm chỉnh hình trên A[r1 , r2 ] không đồng nhất bằng không.
Hàm đếm N (f, 0, r) được cho bởi công thức:

log

N (f, 0, r) =
0=z∈A[r1 ,r2 ]s.t.f (z)=0

r
|z|

Trong tổng trên, mỗi không điểm của f (z) được tính một số lần bằng bội
của nó. Khi r1 = 0, để thuận lợi ta thêm số hạng K(f, 0)logr vào định nghĩa
của N (f, 0, r).
Từ định lý duy nhất suy ra rằng tổng trong công thức xác định N là một
tổng hữu hạn nếu r ∈ [r1 , r2 ].
Chú ý rằng N phụ thuộc vào bán kính nhỏ r1 của vành khăn.
1
|r và m(f, ∞, r) = log + |f |r .
Hàm xấp xỉ: m(f, a, r) = log + | f −a

Hàm đặc trưng: T (f, a, r) = m(f, a, r) + N (f, a, r).
1.4.1 Công thức Poisson - Jensen. Giả sử f là chỉnh hình khác hằng trên

an z n là khai triển chuỗi Laurent của

A[r1 , r2 ], với r2 ≤ ∞. Giả sử f (z) =
n∈Z

f . Khi đó, với mọi r ∈ [r1 , r2 ], ta có:
N (f, 0, r) + k(f, r1 )logr + log|ak(f,r1 ) | = log|f |r nếu r1 > 0.
Hoặc N (f, 0, r) + log|aK(f,0) | = log|f |r nếu r1 = 0.
1.4.2 Định lý (định lý cơ bản thứ nhất). Nếu f là hàm phân hình khác
hằng trên F thì T (f, a, r) − T (f, ∞, r) bị chặn khi r → ∞.
1.4.3 Định lý cơ bản thứ hai
1.4.3.1 Định lí (Định lý cơ bản thứ hai không rẽ nhánh). Giả sử

a1 , . . . , aq là q điểm phân biệt trong P 1 (F ). Khi đó,
q

(q − 1)T (f, ∞, r) −

N (f, aj , r) ≤ 0(1) khi r → ∞.
j=1

Ta định nghĩa NRam (f, r) = N (f , 0, r) + 2N (f, ∞, r) − N (f , ∞, r).
Như vậy NRam (f, r) đếm chính xác các điểm rẽ nhánh của f với bội. Mặt


11

khác từ công thức Poisson – Jensen, ta cũng có thể viết:

NRam (f, r) = 2(f, ∞, r) + log|f |r + 0(1).
1.4.3.2 Định lý (Định lý cơ bản thứ hai có rẽ nhánh). Giả sử f là
hàm phân hình trên F và giả sử f ≡ 0. Giả sử a1 , . . . , aq là q điểm phân biệt
trong P 1 (F ). Khi đó,
q

N (1) (f, aj , r) ≤

(q − 2)T (f, ∞, r) −
j=1
q

(q − 2)T (f, ∞, r) −

N (f, aj , r)NRam (f, r) ≤ −logr + 0(1).
j=1

1.4.4. Định lý Nevanlinna – Cartan p-adic. Giả sử (z1 , z2 , . . . , zn+1 ) là
hệ tọa độ thuần nhất của không gian xạ ảnh P n (Cp ).
Phương trình tổng quát của siêu phẳng Hj có dạng:

Hj :

aij zi = 0.

Các siêu phẳng Hj được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ véc tơ

(a1j , a2j , . . . , a(n+1)j ), j = 1, . . . , s ≤ n + 1
là độc lập tuyến tính.
Nếu Fj (z) = 0 là phương trình xác định siêu phẳng Hj (j = 1, 2, . . . , q).
Đặt:

h(f ◦ Hj , t) = h(Fj ◦ f, t)
Nk (f ◦ Hj , t) = Nk (Fj ◦ f, t)
Định lý (Nevanlinna – Cartan p – adic) Giả sử H1 , H2 , . . . , Hq là các
siêu phẳng của P n (Cp ), ở vị trí tổng quát.

Nếu đường cong chỉnh hình f = (f1 , . . . , fn+1 ) : Cp −→ P n (Cp ) là không
suy biến.
Khi đó:
q
+

(q − n + 1)h (f, t) ≤

Nn (f ◦ Hj , t) + n(n + 1)/2 + 0(1)(1)
j=1

Trong đó 0(1) là đại lượng bị chặn khi t → −∞.


12

Chương 2

SIÊU MẶT HYPERBOLIC P-ADIC TRONG
KHÔNG GIAN XẠ ẢNH P 3(Cp)

2.1 Độ cao của hàm chỉnh hình p–adic
Giả sử f (z) là hàm chỉnh hình trong đĩa đơn vị D, tương ứng với chuỗi lũy
thừa hội tụ

∞

an z n .

f (z) =

n=0

Vì lim {v(an + nv(z)} = ∞ với mọi t = v(z) > 0 chứng tỏ t > 0, tồn tại
n→∞

n để v(an ) + nt đạt giá trị bé nhất.
−
Ta kí hiệu n+
f,t , nf,t tương ứng là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất sao cho v(an )+nt

đạt giá trị bé nhất. Đặt
+
−
−
−
+
h+
f,t = nf,t .t, hf,t = nf,t .t, hf,t = hf,t − hf,t .
−
2.1.1 Định nghĩa. Chúng ta gọi h+
f,t , hf,t , hf,t tương ứng là độ cao phải, độ

cao trái và độ cao địa phương của hàm chỉnh hình p-adic tại t = v(z) =

−logp |z|p .
2.1.2 Định nghĩa. Độ cao toàn phần (hay độ cao) của hàm chỉnh hình f (z)
được xác định bởi hệ thức:

h(f, t) = min {v(an ) + nt}
0≤n≤∞

∞

Ví dụ: Xét hàm f (z) = log(1 + z) =

n=1

Khi đó theo 1.2.6 ta có:

Γk
Γp
Γk
Γp2

=
=
=
=

n

(−1)n zn

Γ1 = t
kt, 1 < k < p
pt − 1
kt, p < k < p2
p2 t − 2. . .

13

tk =

1
pk −pk−1

là các điểm tới hạn của f (z) và
−
1
p−1 , hf,tk

h+
f,tk =

=

p
p−1

hf,tk = 1, hf,t = 0, ∀t = tk
h(log(1 + z), tk ) = −k +

p
p−1 .

2.1.3 Mệnh đề. Giả sử f (z) là hàm chỉnh hình khác hằng số. Khi đó

h(f , t) − h(f, t) ≥ −t + 0(1)
với 0(1) là đại lượng giới nội khi t → ∞.

Chứng minh. Ta có

∞

an z n

f (z) =
n=1

nên

∞

nan z n−1 .

f (z) =
n=1

Khi đó

h(f , t) = min{v(an ) + nt − t + 0(1)} ≥ h(f, t) − t + 0(1).
Do vậy mệnh đề được chứng minh.
2.1.4 Mệnh đề. Nếu f (z) là hàm chỉnh hình khác hằng số thì

lim h(f, t) = −∞

t→∞

2.1.5. Mệnh đề. Giả sử f (z), g(z) là các hàm chỉnh hình trong Cp . Chúng
ta có:

i. h(f + g, t) ≥ min{h(f, t), h(g, t)}
ii. h(f.g, t) = h(f, t) + h(g, t)
∞

Chứng minh. i. Giả sử f (z) =

n

∞

an z , g(z) =
n=1

n=1

hình trong Cp , khi đó
∞

(an + bn )z n .

f (z) + g(z) =
n=1

bn z n là các hàm chỉnh


14

Từ định nghĩa độ cao chúng ta nhận được:

h(f + g, t) = min min{v(an + bn ) + nt}
0≤n≤∞

≥ min{v(an ) + nt, v(bn ) + nt}
= min{h(f, t), h(g, t)}
ii. Trước hết chúng ta nhận xét rằng vì đường đa giác h(f, t) là một đường
cong liên tục, nên nếu có một tính chất nào đó của hàm liên tục đúng tại
điểm t không là điểm giới hạn thì nó cũng đúng đối với các điểm tới hạn của
hàm chỉnh hình f (z).
Do đó chúng ta chỉ cần chứng minh ii. đối với trường hợp t không là điểm
tới hạn. Chúng ta có:

|f.g|p = p−h(f.g,t)

(1)

|f |p .|g|p = p−{h(f,t)+h(g,t)} .

(2)

Từ các hệ thức (1) (2) ta có:

h(f.g, t) = h(f, t) + h(g, t).
Mệnh đề được chứng minh.
Giả sử f = (f1 , . . . , fn+1 ) : Cp −→ P n (Cp ) là đường cong chỉnh hình,
trong đó fi là các hàm chỉnh hình không có điểm chung.
2.1.6 Bổ đề. Giả sử g = (g1 , . . . , gn+1 ) : Cp −→ P n (Cp ) là đường cong chỉnh
hình, trong đó gi là các hàm chỉnh hình không có điểm chung.
Khi đó:

h(f, t) = min h(gi , t) + c
1≤i≤n+1

với c là hằng số.
Chứng minh. Từ giả thiết, tồn tại hàm phân hình λ(z) sao cho với mọi i =

1. . . , n + 1, ta có:
gi (z) = λ(z).fi (z)


15

Trong đó gi (z) là các hàm chỉnh hình, fi là các hàm chỉnh hình không có
điểm chung, λ là một hàm chỉnh hình.
Theo Mệnh đề 2.1.4, h(λ, t) < 0 với t đủ bé hoặc λ(z) là hằng số. Bổ đề
được chứng minh.
2.2 Tính suy biến của đường cong hàm chỉnh hình
Một đa tạp X của P n (Cp ) được gọi là siêu mặt Fermat bậc d nếu nó được
xác định bởi phương trình:
d
X : z1d + z2d + ... + zn+1
=0

2.2.1 Định lý. Giả sử f = (f1 , f2 , . . . , fn+1 ) : Cp −→ P n (Cp ) là ánh xạ
chỉnh hình vào siêu mặt Fermat X, bậc d nghĩa là
d
f1d + f2d + ... + fn+1
= 0.

Giả sử thêm rằng không một fi nào đông nhất bằng không. Chúng ta định

nghĩa quan hệ tương đương i ≈ j nếu fi /fj là hằng số. Nếu d ≥ n2 − 1, thì
trong mỗi lớp tương đương S chúng ta có:

fid = 0.
i∈S

2.2.2 Định lý (Bổ đề Borel p-adic). Giả sử f = (f1 , f2 , . . . , fn+1 ) : Cp −→

X là đường cong chỉnh hình khác hằng số sao cho fi ≡ 0, ∀i = 1, 2, . . . , n + 1.
Giả sử rằng d ≥ s(s − 2) thì tồn tại một phân hoạch của các chỉ số

{1, 2, . . . , s} = ∪Iv sao cho:
(i) #Iv ≥ 2, ∀v.
(ii) Tỷ số của Mjd ◦ f (z) và Mkd ◦ f (z) là hằng số với j, k ∈ Iv .

Mjd ◦ f (z) = 0, ∀v.

(iii)
j∈Iv

Bổ đề Borel p-adic là cơ sở cho việc xây dựng các siêu mặt hyperbolic trong

P n (Cp ) sẽ được trình bày ở mục 2.3.
2.2.3 Nhận xét. Có thể xem Định lý 2.2.1 là trường hợp riêng của Định lý


16

2.2.2 khi s = n + 1 và Mj = zj , j = 1, 2, . . . , n + 1.
2.2.4 Hệ quả (n = 2, s = 3, Mj = zj ). Giả sử f, g, h là các hàm chỉnh hình

p-adic trong Cp thỏa mãn phương trình

f d + g d = hd .
Nếu d ≥ 3 thì các hàm f,g,h chỉ khác nhau một nhân tử hằng.
α

α

j,n+1
Giả sử Mj = z1 j,1 . . . zn+1
, 1 ≤ j ≤ s là các đơn thức bậc d với lũy thừa

nguyên không âm.
Giả sử X là một siêu mặt bậc d của không gian xạ ảnh P n (Cp ), được xác
định bởi phương trình X : c1 M1 + ... + cs Ms = 0 trong đó cj ∈ C∗p là các số
khác không.
Chúng ta gọi X là một biến dạng của siêu mặt Fermat bậc d nếu s ≥ n + 1
và Mj = zjd , j = 1, . . . , n + 1.
2.2.5 Định lý. Giả sử X là một biến dạng của siêu mặt Fermat bậc d và

d ≥ s(s − 2), khi đó mỗi đường cong chỉnh hình f : Cp −→ X đều suy biến.
Chứng minh. Giả sử f = (f1 , f2 , . . . , fn+1 ) : Cp −→ X là ánh xạ chỉnh hình.
Chúng ta chứng tỏ rằng hệ
d
{f1d (z), f2d (z), . . . , fn+1
(z), Mn+2 ◦ f (z), Mn+3 ◦ f (z), . . . , Ms−1 ◦ f (z)}

phụ thuộc tuyến tính.
Giả sử ngược lại, chúng ta xét ánh xạ chỉnh hình

g : Cp −→ P s−2 (Cp )
xác định bởi
d
g(z) = {f1d (z), f2d (z), . . . , fn+1
(z), Mn+2 ◦ f (z), Mn+3 ◦ f (z), . . . , Ms−1 ◦ f (z)}

Chúng ta chọn s siêu phẳng ở vị trí tổng quát:

Hj = {zj = 0}, j = 1, 2, . . . , s − 1,
Hs = {c1 z1 + c2 z2 + ... + cs−1 zs−1 = 0}


17

Rõ ràng các siêu phẳng Hj và đường cong g chỉnh hình thỏa mãn giả thiết
của định lý Nevanlinna – Cartan. Chúng ta có:
s
+

(s−(s−2)−1)h (g, t) ≤

Ns−2 (g ◦Hj , t)+
j−1

(s − 1)(s − 2)
t+0(1).
2

Từ định nghĩa độ cao, ta có:
h(g, t) = min h(g ◦ Hj , t)

1≤j≤s−1

= min h(Mj ◦ f, t)
1≤j≤s−1

= min{ min h(fjd , t), min h(Mj ◦ f, t)}
1≤j≤n+1

1≤j≤n+1

= min{dh(f, t), min h(Mj ◦ f, t)}.

(5)

1≤j≤n+1

Do
α

α

α

j,n+1
h(Mj ◦ f, t) = h(f1 j,1 f2 j,2 . . . fn+1
, t), j ≥ n + 2

n+1

=

αj,m h(fm , t)
j=1
n+1

≥

αj,m h(f, t)
j=1

= dh(f, t).

(6)

Từ (5) và (6), chúng ta có

dh(f, t) = dh(g, t)
Do vậy

h+ (g, t) = dh+ (f, t).

(7)

Mặt khác từ định nghĩa và tính chất của hàm đếm chúng ta thu được:

(4)


18

Ns−2 (g ◦ Hj , t) ≤ (s − 2)N1 (g ◦ Hj , t)
≤ (s − 2)N (g ◦ Hj , t)
= (s − 2)h+ (g ◦ Hj , t) + 0(1)
= (s − 2)h+ (g ◦ Mj , t) + 0(1)
≤ (s − 2)h+ (f, t).

(8)

Lập luận tương tự như trong Định lý 2.2.2, chúng ta thấy rằng bất đẳng
thức (8) vẫn đúng với j = s. Từ các bất đẳng thức (4), (7), và (8) chúng ta
thu được:

dh+ (f, t) ≤ s(s − 2)h+ (f, t) +

(s − 1)(s − 2)
t + 0(1)
2

(9)

Rõ ràng khi d ≥ s(s − 2) thì bất đẳng thức (9) không thể xảy ra khi

t → ∞. Vậy
d
{f1d (z), f2d (z), . . . , fn+1
(z), Mn+2 ◦ f (z), Mn+3 ◦ f (z), . . . , Ms−1 ◦ f (z)}

phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là f là đường cong suy biến.
Định lý được chứng minh.
2.2.6 Định lí. Giả sử X là một biến dạng của siêu mặt Fermat bậc d trong

P n (Cp ) và f là một đường cong chỉnh hình trong X. Khi đó, nếu
d≥

(n + 1)(s − 1)(s − 2)
2

thì ảnh của f nằm trong một tập con đại số thực sự của X.
Nếu fi ≡ 0 thì f suy biến và ta có thể giả định rằng không một fi nào
đồng nhất bằng 0.
2.2.7 Bổ đề. Giả sử f là một đường cong chỉnh hình và M là một đơn
thức như trên. Khi đó, với mỗi k ≥ 0, ta có:

(M ◦ f )(k)
Qk
= k
k
M ◦f
f1 . . . fn+1


19

Trong đó Qk là một hàm phân hình và
n+1

h(Qk , t) ≥ k

h(fi , t) − kt
i=1

với t đủ bé.
Chứng minh. Bổ đề được chứng minh bằng quy nạp theo k .
Rõ ràng bổ đề đúng khi k = 0.
Giả sử bổ đề đúng với k . Để đơn giản ta đặt ϕ = f1 .f2 . . . fn+1
Khi đó ta có:

n+1

h(ϕ, t) =

h(fi , t)

(1)

i=1

Theo giả thiết quy nạp:

(M ◦ f )(k) =
Ta có:

Qk .M ◦ f
ϕk

(M ◦ f )(k)
Qk+1
=
(M ◦ f )
ϕk

với Qk+1 = ϕQ,k + ϕQk +
Chú ý rằng hàm

(M ◦f )
M ◦f

(M ◦f )
(M ◦f )

− kQk .ϕ, .

chỉ có duy nhất các không điểm trên f1 , f2 , . . . fn+1 .

Vì vậy

ϕ

(M ◦ f )
(M ◦ f )

là hàm chỉnh hình, do đó Qk+1 là hàm phân hình.
Mặt khác, theo Mệnh đề 2.1.4 và 2.1.5:
h(Qk+1 , t) ≥ min{h(ϕ, t) + h(Q,k , t), h(ϕ, t) + h(Qk , t)

+h((M ◦ f ), , t) − h(M ◦ f, t), v(k) + h(Qk , t) + h(ϕ, , t)}
Theo Bổ đề 2.2.2, ta có:
h(Qk+1 , t) ≥ min{h(ϕ, t) + h(Qk , t) − t, h(ϕ, t) + h(Qk , t) − t, v(k)

+h(Qk , t) + h(ϕ, t) − t} = h(Qk , t) + h(ϕ, t) − t

(2)


20

Từ (1)(2) và giả thiết quy nạp với k , kết thúc chứng minh với k + 1, theo
nguyên lí quy nạp, bổ đề được chứng minh.
Chú ý rằng, các kết quả trong bổ đề này không phụ thuộc bậc d.
2.2.8 Mệnh đề. Giả sử X là một biến dạng của siêu mặt Fermat bậc d
trong trong P n (Cp ) và f là một đường cong chỉnh hình trong X. Giả sử

d≥

(n + 1)(s − 1)(s − 2)
2

Nếu {Mj ◦ f, j = 1, . . . , s − 1} là độc lập tuyến tính, thì f là ánh xạ hằng.
Chứng minh. Để đơn giản, ta đặt:

gj (z) = cj Mj ◦ f (z)/cs Ms ◦ f, j = 1, . . . , s = 1
Khi đó, các hàm phân hình {g1 , . . . , gs−1 } thỏa mãn hệ thức

{g1 , . . . , gs−1 } ≡ −1.
Chúng ta thấy rằng {g1 , . . . , gs−1 } là phụ thuộc tuyến tính.
Bây giờ ta xác định Wronskian logarit như sau:
1
1 ... 1
g1
g1

g2
g2

...

gs−1
gs−1

...

gs−1
gs−1

Ls (g) =
(s−2)

g1
g1

(s−2)

(s−2)

g2
g2

Và Wronskian logarit Ls = Li (g1 , . . . .., gs−1 ):
1 1

0

g2
g2

0

g2
g2

Ls (g) = L1 {g1 , . . . , gs−1 }

...

1

...

gs−1
gs−1

...

gs−1
gs−1

(s−2)

(s−2)

Hoàn toàn tương tự, chúng ta xác định Li với i = 2, . . . , s − 1, trong đó
cột {1, 0, . . . , 0} là cột thứ i.


21

Nếu {g1 , . . . , gs−1 } là độc lập tuyến tính, thì các ánh xạ xạ ảnh

(M1 ◦ f, ..., Ms ◦ f ) và L = (L1 , L2 , . . . , Ls )
là trùng nhau.
Sử dụng Bổ đề 2.2.7 cho các định thức, chẳng hạn với định thức L1 , số
hạng đầu tiên có dạng:

R
Q1 . . . Qs−2
=
(s−2)(s−1)
ϕ. . . ϕs−2
ϕ 2
Trong đó ϕ

(s−2)(s−1)
2

là một mẫu số chung của các số hạng trong các biểu

thức khai triển của các định thức Li(g). Vì vậy, chúng ta có các ánh xạ xạ
ảnh bằng nhau:

(M1 ◦ f, . . . .., Ms ◦ f ) = (L1 , . . . , Ls ) = (R, ..., Rs )

Chú ý rằng theo cách xây dựng, Rj là các hàm chỉnh hình và thỏa mãn
điều kiện sau (với t đủ bé):
s−2

h(Rj , t) =

h(Qk , t)
k=1
s−2

≥ (h(ϕ, t) − t)

k
k=1

=

(s−1)(s−2)
h(ϕ, t)
2

≥

(n+1)(s−1)(s−2)
h(f, t)
2

−

(s−1)(s−2)

t
2

−

(s−1)(s−2)
t
2

Từ M1 ◦ f, . . . , Ms ◦ f không có không điểm chung, theo Mệnh đề 2.1.6 ta
có:

min h(M1 ◦ f, t) ≥ min h(Rj , t) + 0(1)

1≤j≤s

≥

j

(n+1)(s−1)(s−2)
h(f, t)
2

−

(s−1)(s−2)
t
2

+ 0(1)

Vì X là một biến dạng của siêu mặt Fermat bậc d nên:

min h(Mj ◦ f.t) = d min h(fj , t) ≥ dh(f, t).

1≤j≤n+1

1≤j≤n+1

(3)


22

Với các đơn thức khác ta có:
∞

h(Mj ◦ f, t) =

ajk h(fj , t) = dh(f, t)
k=1

Vì vậy:

dh(f, t) ≥
Nếu d =
Nếu d ≥

(n + 1)(s − 1)(s − 2)

(s − 1)(s − 2)
h(f, t) −
t + 0(1)
2
2

(n+1)(s−1)(s−2)
thì
2
(n+1)(s−1)(s−2)
, từ
2

(4)

bất đẳng thức trên không đúng khi t → −∞.
bất đẳng thức (4), ta có:

h(f, t) ≥ −N t + 0(1)
với N là một số nguyên dương.
Theo Mệnh đề 2.1.5, f là một ánh xạ hằng. Mệnh đề 2.2.8 được chứng
minh.
Chứng minh Định lí 2.2.6.
Dễ thấy, theo Mệnh đề 2.2.8, ảnh của f được chứa trong một tập con đại
số thực sự của X xác định bởi phương trình:
d
a1 z1d + a2 z2d + ... + an+1 zn+1
+ an+1 Mn+2 + ... + as−1 Ms−1 = 0

với aj = 0.

2.3 Siêu mặt hyperbolic trong không gian xạ ảnh P 3 (Cp )
2.3.1 Định nghĩa. Một đa tạp đại số xạ ảnh Y của không gian xạ ảnh

P n (Cp ) là hyperbolic Brody p-adic nếu mỗi đường cong chỉnh hình
f : Cp −→ Y ⊂ P n (Cp )
đều là ánh xạ hằng.
2.3.2 Định lý. Giả sử X là một siêu mặt trong P 3 (Cp ), bậc d, được xác định
bởi phương trình:

X : z1d + z2d + z3d + z4d + cz1α1 z2α2 z3α3 z4α4 = 0

(5)


23

4

Trong đó c = 0,

αi = d, và có nhiều nhất một số mũ αi = 0.
i=1

Nếu d ≥ 24 thì X là siêu mặt hyperbolic.
2.3.3 Mệnh đề. Giả sử X là một siêu mặt Fermat bậc d trong P n (Cp ) và

f = (f1 , . . . , fn+1 ) là một đường cong chỉnh hình trong X sao cho
fj ≡ 0, ∀j = 1, . . . , n + 1.
Nếu d ≥ n2 − 1, thì hoặc f là một ánh xạ hằng, hoặc tồn tại một sự phân
hoạch tập hợp các chỉ số {1, . . . , n + 1} = ∪Iξ , sao cho:

Iξ ≥ 2, ∀ξ
∀i, j ∈ Iξ , tỷ số fi /fj là một hằng số (nếu n = 2 chỉ tồn tại một lớp).
Chứng minh Định lý 2.3.2
Giả sử X là một siêu mặt hyperbolic thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.3.2
và f là một đường cong chỉnh hình trong X.
Giả sử rằng đối với một số i, fi ≡ 0, chẳng hạn, f4 ≡ 0.
Nếu α4 = 0, ánh xạ (f1 , f2 , f3 ) từ Cp vào P 2 (Cp ) có ảnh được chứa
trong một đường cong, giống của nó ít nhất bằng 1. Theo định lý Berkovich

(f1 , f2 , f3 ) cũng là ánh xạ hằng. Từ đó và (5) ta suy ra rằng f là một ánh xạ
hằng.
Giả sử fj ≡ 0. Từ chứng minh Định lý 2.2.6 ta suy ra rằng {f1d , . . . , f4d } là
phụ thuộc tuyến tính.

a1 f1d + ... + a4 f4d ≡ 0, ∃ai = 0.
Chúng ta xét các khả năng có thể xảy ra:
i) Mọi ai = 0, i = 1, . . . , 4; theo Mệnh đề 2.3.3, f là ánh xạ hằng, hoặc ta
có thể giả thiết f1 = c1 f2 , f3 = c2 f4 , thay hệ thức này vào (5) và suy ra f là
ánh xạ hằng.
ii) Chỉ có một aj = 0, chẳng hạn, a4 = 0, thì (f1 , f2 , f3 ) là ánh xạ hằng và
từ phương trình (5) suy ra f là ánh xạ hằng.