Một số lý thuyết định lý hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên dưới điều kiện khả tích theo trọng số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
-----------

NGUYỄN THỊ NGỌC HÂN

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH
VÀ LUẬT YẾU SỐ LỚN ĐỐI VỚI TỔNG CÓ
TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN DƯỚI
ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH THEO TRỌNG SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
-----------

NGUYỄN THỊ NGỌC HÂN

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH
VÀ LUẬT YẾU SỐ LỚN ĐỐI VỚI TỔNG CÓ
TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN DƯỚI
ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH THEO TRỌNG SỐ
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê Toán học
Mã số: 60.46.01.06

LUÂN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS.TS. Nguyễn Văn Quảng

Nghệ An - 2015


1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Lời nói đầu

3

1 Kiến thức chuẩn bị

5

1.1. Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Không gian đo và độ đo xác suất . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Các tính chất của xác suất . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3

Tính độc lập của các biến cố . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1

Ánh xạ đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2

Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.3

Phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.4

Hàm phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.5

Kỳ vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3. Phần tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.3

Kỳ vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.4

Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.5

Martingale và hiệu martingale . . . . . . . . . . . . . 14

2 Một số định lý hội tụ theo trung bình và Luật yếu số lớn
đối với tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên dưới điều kiện


2
khả tích theo trọng số

15

2.1. Các dạng khả tích đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Một số định lý hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với
các biến ngẫu nhiên tương quan âm

. . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. Một số định lý hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với
các biến ngẫu nhiên ϕ - mixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4. Định lý hội tụ trung bình của Gut và luật yếu số lớn trong không
gian Banach

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Kết luận

42

Tài liệu tham khảo

43


3

LỜI NÓI ĐẦU

Luật số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên đóng vai trò trung tâm trong
các định lý giới hạn của Lý thuyết Xác suất. Điều kiện độc lập, cùng phân
phối của các biến ngẫu nhiên là nền tảng trong các kết quả cổ điển. Từ
đó, các thử nghiệm quan trọng được thực hiện nhằm giảm nhẹ những điều
kiện mạnh này. Ví dụ, điều kiện độc lập được giảm nhẹ bằng điều kiện độc
lập đôi một hay không tương quan dương đôi một, thậm chí là thay thế bởi
các điều kiện phụ thuộc như phụ thuộc mixing hay martingale. Để giảm
nhẹ điều kiện cùng phân phối, một vài điều kiện khác đã được xem xét,
như điều kiện biến ngẫu nhiên bị chặn hay điều kiện khả tích đều.
Landers và Rogge [9] đã chứng minh rằng điều kiện khả tích đều là đủ
để một dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một tuân theo luật yếu số lớn.
Chandra [8] đã thu được luật yếu số lớn dưới điều kiện yếu hơn khả tích
đều, đó là điều kiện khả tích đều theo nghĩa Cesàro.
Cabrera [4], bằng việc nghiên cứu sự hội tụ yếu cho tổng có trọng số
các biến ngẫu nhiên, đã đưa ra điều kiện khả tích đều liên quan tới trọng
số, điều kiện này yếu hơn điều kiện khả tích đều theo nghĩa Cesàro. Dưới
điều kiện này, một luật yếu số lớn cho tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên
độc lập đôi một được thiết lập.
Chandra và Goswami [6] đã đưa ra điều kiện Cesàro α - khả tích (α > 0),
và chỉ ra rằng với bất kỳ α > 0 nào thì Cesàro α - khả tích cũng yếu hơn

1
Cesàro khả tích đều. Đặc biệt, dưới điều kiện Cesàro α - khả tích với α > ,
2
Chandra và Goswami đã thu được luật yếu số lớn cho dãy các biến ngẫu
nhiên độc lập đôi một. Chandra và Goswami cũng chứng minh được rằng
Cesàro α - khả tích với α thích hợp cũng đủ để thu được luật yếu số lớn
cho dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc đặc biệt đã biết.
Trong luận văn, chúng tôi nghiên cứu về điều kiện h - khả tích cho một
mảng các biến ngẫu nhiên liên quan đến một mảng các trọng số là hằng
số. Mục đích của luận văn là nghiên cứu "một số định lý hội tụ theo
trung bình và luật yếu số lớn đối với tổng có trọng số các biến
ngẫu nhiên dưới điều kiện khả tích theo trọng số".


4
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn được
chia thành hai chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất
cơ bản của không gian xác suất, biến ngẫu nhiên và phần tử ngẫu nhiên,
các đặc trưng như là kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện, martingale,... Các kết
quả của chương này sẽ được sử dụng ở Chương 2.
Chương 2. Một số định lý hội tụ theo trung bình và luật yếu số
lớn đối với tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên duới điều kiện
khả tích theo trọng số
Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Trong chương 2 trình bày về
các dạng khả tích đều, một số định lý hội tụ theo trung bình và luật yếu
số lớn đối với các biến ngẫu nhiên tương quan âm, ϕ - mixing,...
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
trực tiếp của GS.TS Nguyễn Văn Quảng. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến thầy về sự quan tâm và nhiệt tình hướng dẫn mà thầy đã
dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đề tài.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong Bộ môn
Xác suất thống kê và Toán ứng dụng, Khoa Sư phạm Toán học, Phòng Sau
đại học, gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện, tận tình giúp đỡ, động viên
cho tác giả trong quá trình học tập tại trường.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi các thiếu
sót. Tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo, những ý kiến đóng góp
của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 10 năm 2015.
Tác giả


5

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất
cơ bản của không gian xác suất, biến ngẫu nhiên và phần tử ngẫu nhiên,
các đặc trưng như là kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện, martingale,... Các kết
quả của chương này sẽ được sử dụng ở chương sau.

1.1
1.1.1

Không gian xác suất
Không gian đo và độ đo xác suất

Giả sử Ω là một tập tùy ý khác rỗng. Ký hiệu P(Ω) là họ tất cả các tập

con của Ω
Định nghĩa 1.1.1. Họ các tập con F ⊂ P(Ω) được gọi là một σ - đại số
(hay σ - trường) nếu:
(i) Ω ∈ F (hay ∅ ∈ F);
(ii) Nếu A ∈ F thì Ω\A ∈ F;
(iii) Nếu {An , n = 1, 2, ...} ⊂ F thì

∞
n=1 An

∈ F.

Khi đó, cặp (Ω, F) được gọi là một không gian đo.
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử (Ω, F) là một không gian đo. Một ánh xạ
P : F → R được gọi là độ đo xác suất trên F nếu:
(i) P(A) ≥ 0 với ∀A ∈ F (tính không âm);
(ii) P(Ω) = 1 (tính chuẩn hóa);
(iii) Nếu An ∈ F (n = 1, 2, 3, ...), Ai ∩ Aj = Ai Aj = ∅ (i = j) thì
∞

P(∪∞
n=1 An )

=

P(An ) (tính cộng tính đếm được).
n=1


6

Tập Ω được gọi là không gian biến cố sơ cấp.
σ - đại số F được gọi là σ - đại số các biến cố.
Mỗi A ∈ F được gọi là một biến cố.
Biến cố Ω ∈ F gọi là biến cố chắc chắn.
Biến cố ∅ ∈ F gọi là biến cố không thể có.
Biến cố A = Ω\A được gọi là biến cố đối lập của biến cố A.
Nếu A ∩ B = AB = ∅ thì A, B được gọi là các biến cố xung khắc.
Không gian xác suất (Ω, F, P) gọi là không gian xác suất đầy đủ nếu
mọi tập con của biến cố có xác suất không đều là biến cố. Từ nay về sau,
khi nói đến không gian xác suất (Ω, F, P), ta luôn xem đó là không gian
xác suất đầy đủ.
Chú ý 1.1.3. Điều kiện (ii) trong định nghĩa trên đảm bảo rằng biến cố
chắc chắn có xác suất bằng 1. Tuy nhiên, có những biến cố có xác suất
bằng 1 nhưng chưa chắc chắn đã là biến cố chắc chắn. Những biến cố như
vậy gọi là biến cố hầu chắc chắn.

1.1.2

Các tính chất của xác suất

Giả sử A, B, C, ... là những biến cố. Khi đó, xác suất của chúng có các
tính chất sau:
1. P(∅) = 0.
2. Nếu AB = ∅ thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
3. P(A) = 1 − P(A).
4. Nếu A ⊂ B thì P(B\A) = P(B) − P(A) và do đó P(A) ≤ P(B).
5. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB).
6. P(

n

k=1 Ak )

=

n
k=1 P(Ak ) −

1≤k
n−1 P(A A ...A ).
1 2
n
1≤k
7. P(

∞
n=1 An )

≤

∞
n=1 P(An ).

8. (Tính liên tục của xác suất)
(i) Nếu (An , n ≥ 1) là dãy đơn điệu tăng, A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ An ⊂ ...,
thì tồn tại
∞

lim P(An ) = P(

n→∞

n=1

An ).


7
(ii) Nếu (An , n ≥ 1) là dãy đơn điệu giảm, A1 ⊃ A2 ⊃ ... ⊃ An ⊃ ...,
thì tồn tại
∞

lim P(An ) = P(

n→∞

1.1.3

An ).

n=1

Tính độc lập của các biến cố

Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất.
Định nghĩa 1.1.4. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu

P(AB) = P(A)P(B).
Tính chất 1.1.5.

1. Giả sử biến cố A có P(A) > 0 và biến cố B có P(B) > 0. Khi đó, A,
B độc lập khi và chỉ khi P(A/B) = P(A) hoặc P(B/A) = P(B) với
P(A/B) là xác suất của A với điều kiện B.
2. Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau
thỏa mãn
(i) A, B độc lập;
(ii) A, B, độc lập;
(iii) A, B độc lập.
Định nghĩa 1.1.6. Họ các biến cố (Ai )i∈I được gọi là độc lập đôi một nếu
hai biến cố bất kỳ của họ đều độc lập.
Họ các biến cố (Ai )i∈I được gọi là độc lập toàn cục (gọi tắt là độc lập)
nếu đối với mọi họ hữu hạn các biến cố Ai1 , Ai2 , ..., Ain của họ đó, ta đều
có
P(Ai1 Ai2 ...Ain ) = P(Ai1 )P(Ai2 )...P(Ain ).
Một họ độc lập thì độc lập đôi một. Tuy nhiên điều ngược lại nói chung
không đúng.

1.2
1.2.1

Biến ngẫu nhiên
Ánh xạ đo được

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (Ω1 , F1 ) và (Ω2 , F2 ) là hai không gian đo. Ánh xạ
X : Ω1 → Ω2 gọi là ánh xạ F1 /F2 đo được nếu với mọi B ∈ F2 thì
X −1 (B) ∈ F1 .


8
Tính chất 1.2.2. Giả sử (Ω1 , F1 ), (Ω2 , F2 ) và (Ω3 , F3 ) là các không gian

đo.
1. Giả sử ánh xạ X : Ω1 → Ω2 là ánh xạ F1 /F2 đo được. Khi đó
(i) Nếu F1 ⊂ G1 thì X là G1 /F2 đo được.
(ii) Nếu G2 ⊂ F2 thì X là F1 /G2 đo được.
2. Giả sử X : Ω1 → Ω2 là ánh xạ F1 /F2 đo được, Y : Ω2 → Ω3 là ánh xạ
F2 /F3 đo được. Khi đó Y ◦ X : Ω1 → Ω3 là ánh xạ F1 /F3 đo được.
3. Giả sử F2 = σ(C). Khi đó X : (Ω1 , F1 ) → (Ω2 , F2 ) là F1 /F2 đo được
khi và chỉ khi X −1 (C) ∈ F1 với mọi C ∈ C.
Hệ quả 1.2.3. Giả sử (Ω1 , τ1 ), (Ω2 , τ2 ) là các không gian tôpô, ánh xạ
X : Ω1 → Ω2 liên tục. Khi đó X là ánh xạ B(Ω1 )/B(Ω2 ) đo được.

1.2.2

Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.2.4. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, G là σ - đại số
con của σ - đại số F. Khi đó ánh xạ X : Ω → R được gọi là biến ngẫu nhiên
G - đo được nếu nó là ánh xạ G/B(R) đo được (tức là với mọi B ∈ B(R)
thì X −1 (B) ∈ G).
Nếu biến ngẫu nhiên X chỉ nhận hữu hạn giá trị, thì nó được gọi là biến
ngẫu nhiên đơn giản.
Trong trường hợp đặc biệt, khi X là biến ngẫu nhiên F - đo được, thì
X được gọi một cách đơn giản là biến ngẫu nhiên.
Hiển nhiên, biến ngẫu nhiên G - đo được là biến ngẫu nhiên. Mặt khác,
dễ thấy rằng nếu X là biến ngẫu nhiên thì họ
σ(X) = {X −1 (B) : B ∈ B(R)}
lập thành một σ - đại số con của σ - đại số F, σ - đại số này gọi là σ - đại
số sinh bởi X. Đó là σ - đại số bé nhất mà X đo được. Từ đó suy ra rằng
X là biến ngẫu nhiên G - đo được khi và chỉ khi σ(X) ⊂ G.
Định lý 1.2.5. X là biến ngẫu nhiên khi và chỉ khi một trong các điều

kiện sau đây thỏa mãn
(i) (X < a) := (ω : X(ω) < a) ∈ F với mọi a ∈ R.
(ii) (X ≤ a) := (ω : X(ω) ≤ a) ∈ F với mọi a ∈ R.


9
(iii) (X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ F với mọi a ∈ R.
(iv) (X ≥ a) := (ω : X(ω) ≥ a) ∈ F với mọi a ∈ R.
Định lý 1.2.6. Giả sử X1 , X2 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên cùng xác định
trên (Ω, F, P), f : Rn → R là hàm B(Rn )/B(R) đo được. Khi đó
Y = f (X1 , ..., Xn ) :Ω → R
ω → f (X1 (ω), ..., Xn (ω))
là biến ngẫu nhiên.
Hệ quả 1.2.7. Giả sử X, Y là các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên
(Ω, F, P), f : R → R là hàm liên tục, a ∈ R. Khi đó aX; X ± Y ; XY ; |X|;
X
f (X); X + = max(X, 0); X − = max(−X, 0); , (Y = 0) đều là các biến
Y
ngẫu nhiên.
Định lý 1.2.8. Giả sử (Xn , n ≥ 1) là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác
định trên (Ω, F, P). Khi đó, nếu inf n Xn , supn Xn hữu hạn thì inf n Xn ,
supn Xn , limXn , limXn , limn→∞ Xn (nếu tồn tại) đều là biến ngẫu nhiên.
Định lý 1.2.9. Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm thì tồn tại dãy biến
ngẫu nhiên đơn giản, không âm (Xn , n ≥ 1) sao cho Xn ↑ X (khi n → ∞).
Chú ý rằng các tính chất trên của biến ngẫu nhiên có thể mở rộng cho
biến ngẫu nhiên G - đo được bất kỳ.

1.2.3

Phân phối xác suất

Định nghĩa 1.2.10. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, X : Ω → R
là biến ngẫu nhiên. Khi đó hàm tập

PX : B(R) → R
B → PX (B) = P(X −1 (B))
được gọi là phân phối xác suất của X.
Tính chất 1.2.11.
1. PX là độ đo xác suất trên B(R).
2. Nếu Q là độ đo xác suất trên B(R) thì Q là phân phối xác suất của
một biến ngẫu nhiên nào đó
Chú ý 1.2.12. Tương ứng giữa biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất của
chúng không phải là tương ứng 1-1. Những biến ngẫu nhiên có cùng phân
phối xác suất được gọi là những biến ngẫu nhiên cùng phân phối.


10

1.2.4

Hàm phân phối

Định nghĩa 1.2.13. Giả sử (Ω, F, P) là một không gian xác suất,
X : Ω → R là biến ngẫu nhiên. Khi đó, hàm số
F (x) = FX (x) = P(X < x) = P(ω : X(ω) < x)
được gọi là hàm phân phối của X.
Nhận xét 1.2.14.

FX (x) = P X −1 (−∞, x) = PX [(−∞, x)] .

Tính chất 1.2.15.
1. 0 ≤ F (x) ≤ 1.
2. Nếu a < b thì F (b) − F (a) = P(a ≤ X < b); do đó F (x) là hàm không
giảm.
3. limx→+∞ F (x) = 1; limx→−∞ F (x) = 0.
4. limx↑a F (x) = F (a) và limx↓a F (x) = P(X ≤ a). Do đó F (x) liên tục
trái tại mọi điểm, F (x) liên tục tại a khi và chỉ khi P(X = a) = 0.

1.2.5

Kỳ vọng

Định nghĩa 1.2.16. Giả sử X : (Ω, F, P) → (R, B(R)) là biến ngẫu nhiên.
Khi đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được gọi là
kỳ vọng của X và ký hiệu là EX. Vậy

EX =

XdP.
Ω

Nếu tồn tại E|X|p < ∞ (p > 0), thì ta nói X khả tích bậc p. Đặc biệt,
nếu E|X| < ∞ thì X được gọi là biến ngẫu nhiên khả tích.
Tính chất 1.2.17. Kỳ vọng có các tính chất sau đây
1. Nếu X ≥ 0 thì EX ≥ 0.
2. Nếu X = C thì EX = C.
3. Nếu tồn tại EX thì với mọi C ∈ R, ta có E(CX) = C EX.
4. Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ± Y ) = EX ± EY .
5. Nếu X ≥ 0 và EX = 0 thì X = 0 h.c.c.

11

6. EX =





i x i pi
+∞
−∞ xp(x)dx

nếu X rời rạc nhận các giá trị x1 , x2 , ...
với P(X = xi ) = pi .
nếu X liên tục có hàm mật độ p(x).

Tổng quát: Nếu f : R → R

 i f (xi )pi
EY =
 +∞ f (x)p(x)dx
−∞

là hàm đo được và Y = f (X) thì
nếu X rời rạc nhận các giá trị x1 , x2 , ...
với P(X = xi ) = pi .
nếu X liên tục có hàm mật độ p(x).

7. (Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn). Nếu |Xn | ≤ Y với mọi n ≥ 1,

EY < ∞ và Xn → X thì X khả tích, E|Xn − X| → 0 và EXn → EX
(khi n → ∞).
8. (Bất đẳng thức cr ). Giả sử X, Y ∈ Lr , r > 0. Khi đó,

E|X + Y |r ≤ cr (E|X|r + E|Y |r ) ,
trong đó cr = max(1; 2r−1 ) chỉ phụ thuộc vào r.

1.3
1.3.1

Phần tử ngẫu nhiên
Định nghĩa

Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất đầy đủ, E là không gian Banach
thực khả ly, E∗ là không gian đối ngẫu của E.
Định nghĩa 1.3.1. Một ánh xạ X : Ω → E được gọi là phần tử ngẫu nhiên
G - đo được nếu X là ánh xạ G/B(E) đo được (nghĩa là với mọi B ∈ B(E)
thì X −1 (B) ∈ G).
Phần tử ngẫu nhiên F - đo được sẽ được gọi một cách đơn giản là phần
tử ngẫu nhiên. Hiển nhiên, nếu X là phần tử ngẫu nhiên G - đo được thì
X là phần tử ngẫu nhiên. Mặt khác, dễ dàng thấy rằng nếu X là phần tử
ngẫu nhiên thì họ
σ(X) = {X −1 (B) : B ∈ B(E)}
lập thành một σ - đại số con của σ - đại số F. σ - đại số này được gọi là
σ - đại số sinh bởi X. Hơn nữa, σ(X) là σ - đại số bé nhất mà X đo được.
Do đó X là phần tử ngẫu nhiên G - đo được khi và chỉ khi σ(X) ⊂ G.


12
Phần tử ngẫu nhiên X : Ω → E được gọi là phần tử ngẫu nhiên rời

rạc nếu |X(Ω)| không quá đếm được. Đặc biệt, nếu |X(Ω)| hữu hạn thì X
được gọi là phần tử ngẫu nhiên đơn giản (trong đó |X(Ω)| là lực lượng của
tập hợp X(Ω)).
Định nghĩa 1.3.2. Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là hội
tụ đến ánh xạ X : Ω → E (khi n → ∞), nếu Xn (ω) → X(ω) (theo chuẩn,
khi n → ∞) với mọi ω ∈ Ω.
Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là hội tụ hầu chắc chắn
(h.c.c) đến ánh xạ X : Ω → E (khi n → ∞), nếu tồn tại tập N ∈ F sao cho
P(N ) = 0 và Xn (ω) → X(ω) (theo chuẩn, khi n → ∞) với mọi ω ∈ Ω \ N .

1.3.2

Tính chất

1. Giả sử ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên G - đo được. Khi đó,
ánh xạ X : Ω → R là biến ngẫu nhiên G - đo được.
2. Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên khi và chỉ khi với mọi f ∈ E∗
thì f (X) là biến ngẫu nhiên.
3. Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên G - đo được, a, b ∈ R, ξ : Ω → R
là biến ngẫu nhiên G - đo được. Khi đó, aX + bY và ξX là các phần
tử ngẫu nhiên G - đo được.
4. Nếu {Xn , n ≥ 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên G - đo được và Xn → X
khi n → ∞ thì X là phần tử ngẫu nhiên G - đo được.

1.3.3

Kỳ vọng

Định nghĩa 1.3.3. Giả sử X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên. Phần tử
m ∈ E được gọi là kỳ vọng của X nếu với mọi f ∈ E∗ ta có

f (m) = E(f (X)).
Ký hiệu m = EX.
Tính chất 1.3.4. Giả sử X, Y là cá phần tử ngẫu nhiên, ξ là biến ngẫu
nhiên cùng xác định trên (Ω, F, P), a ∈ R, α ∈ E. Khi đó, nếu tồn tại EX,
EY , Eξ thì
1. Tồn tại E(X + Y ) và E(X + Y ) = EX + EY ,


13
2. Tồn tại E(aX) và E(aX) = aEX,
3. Tồn tại E(αξ) và E(αξ) = αEξ,
4. Nếu P(X = α) = 1 thì EX = α,
5. Nếu ξ và f (X) độc lập với mọi f ∈ E∗ thì tồn tại E(ξX) và

E(ξX) = Eξ EX,
6. Với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục T : E → E (E là không gian
Banach thực khả ly) thì tồn tại E(T (X)) và E(T (X)) = T (E(X)).

1.3.4

Kỳ vọng có điều kiện

Định nghĩa 1.3.5. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, E là không
gian Banach thực khả ly, B(E) là σ - đại số Borel. X : Ω → E là phần tử
ngẫu nhiên, G là σ - đại số con của σ - đại số F. Khi đó, phần tử ngẫu
nhiên Y : Ω → E gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với G nếu:
(i) Y là phần tử ngẫu nhiên G - đo được,
(ii) E(Y IA ) = E(X IA ), với mọi A ∈ G.
Ký hiệu Y = E(X|G).
Tính chất 1.3.6. Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên, ξ là biến ngẫu

nhiên, α ∈ E, a ∈ R, f ∈ E∗ . Khi đó
1. Nếu ξ là biến ngẫu nhiên G - đo được thỏa mãn E|ξ| < ∞ và
E ξX < ∞ thì
E(ξX|G) = ξ E(X|G).
2. Nếu X là phần tử ngẫu nhiên G - đo được thì E(X|G) = X.
3. E(X + Y |G) = E(X|G) + E(Y |G).
4. E(aX|G) = aE(X|G).
5. E(αξ|G) = αE(ξ|G).
6. Nếu G1 ⊂ G2 thì E(E(X|G1 )|G2 ) = E(X|G1 ) = E(E(X|G2 )|G1 ).
7. Nếu σ(X) độc lập với G thì E(X|G) = EX.
8. Nếu X khả tích thì tồn tại E(X|G) và E(X|G) ≤ E( X |G) (h.c.c.).


14

1.3.5

Martingale và hiệu martingale

Định nghĩa 1.3.7. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên,
{Fn , n ≥ 1} là dãy tăng các σ - đại số con của σ - đại số F. Khi đó,
dãy {Xn , Fn , n ≥ 1} gọi là
• martingale nếu:
(i) Xn là phần tử ngẫu nhiên Fn - đo được và Xn khả tích với mọi
n ≥ 1,
(ii) Với mọi m > n thì E(Xm |Fn ) = Xn .
• hiệu martingale nếu thỏa mãn (i) và
(ii ) Với mọi m > n thì E(Xm |Fn ) = 0.
Tính chất 1.3.8.
1. Nếu {Fn , n ≥ 1} là dãy tăng các σ - đại số con của σ - đại số F,

X là phần tử ngẫu nhiên khả tích, Xn = E(X|Fn ), thì {Xn , Fn , n ≥ 1}
là martingale.
2. N ếu {fn , Fn , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên thực lập thành hiệu
martingale và {xn , n ≥ 1} ⊂ E, thì {Xn = nk=1 xk fk , Fn , n ≥ 1} là
martingale.
3. Nếu {Xn , Fn , n ≥ 1} và {Yn , Fn , n ≥ 1} là martingale thì
{aXn ± bYn , Fn , n ≥ 1} (a, b ∈ R) cũng là martingale.
4. Nếu {Xn , Fn , n ≥ 1} là martingale thì {EXn , n ≥ 1} không đổi.
5. Nếu {Xn , Fn , n ≥ 1} là hiệu martingale thì EXm = 0 với mọi m > 1.
6. Nếu {Xn , Fn , n ≥ 1} là martingale khả tích bậc p ≥ 1 thì
{ Xn p , Fn , n ≥ 1} là martingle dưới.


15

CHƯƠNG 2
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH
VÀ LUẬT YẾU SỐ LỚN ĐỐI VỚI TỔNG CÓ
TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN DƯỚI
ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH THEO TRỌNG SỐ

Trong chương này ta luôn giả sử rằng {un , n ≥ 1} và {vn , n ≥ 1} là
hai dãy số nguyên thỏa mãn vn > un với mọi n ≥ 1 và vn − un → ∞ khi
n → ∞; C là hằng số dương và giá trị của nó có thể khác nhau trong các
lần xuất hiện.

2.1

Các dạng khả tích đều

Định nghĩa 2.1.1. Giả sử {Xnk , un ≤ k ≤ vn , n ≥ 1} là mảng các
biến ngẫu nhiên và {ank , un ≤ k ≤ vn , n ≥ 1} là mảng các hằng số mà
vn
k=un |ank | ≤ C với mọi n ∈ N, C > 0. Khi đó ta nói {Xnk } là mảng
{ank } - khả tích đều nếu
vn

|ank |E|Xnk |I[|Xnk | > a] = 0.

lim sup

a→∞ n≥1

(2.1)

k=un

Định lý 2.1.2. Cho {ank , un ≤ k ≤ vn , n ≥ 1} là mảng các hằng số thực
n
thỏa mãn vk=u
|ank | ≤ C với ∀n ∈ N, C > 0.
n
φ(t)
Đặt Φ = {φ : (0, ∞) → (0, ∞),
↑ ∞ khi t ↑ ∞}. Khi đó, mảng các
t
biến ngẫu nhiên {Xnk , un ≤ k ≤ vn , n ≥ 1}} là {ank } - khả tích đều khi và
chỉ khi tồn tại φ ∈ Φ sao cho
vn

|ank |Eφ(|Xnk |) < ∞.

sup
n≥1

k=un

(2.2)


16
Chứng minh. (i) Giả sử tồn tại hàm φ thỏa mãn điều kiện trên. Ta cần
chứng minh {Xnk } là mảng {ank } - khả tích đều, có nghĩa là cần chứng
minh
vn

|ank |E|Xnk |I[|Xnk | > a] = 0,

lim sup

a→∞ n≥1

k=un

hay là chứng minh với mọi ε > 0, tồn tại a > 0 sao cho
vn

|ank |E|Xnk |I[|Xnk | > a] < ε.

sup

n≥1

k=un

Thật vậy, đặt

vn

|ank |Eφ(|Xnk |).

M = sup
n≥1

k=un

Với mọi ε > 0, tồn tại a > 0 sao cho
φ(t) M + 1
≥
, ∀t > a.
t
ε
Suy ra,
t ≤ φ(t)

ε
.
M +1

Khi đó, với mọi n ≥ 1, ta có
vn

vn

|ank |E|Xnk |I[|Xnk | > a] =
k=un

|ank |
[|Xnk |>a]

k=un
vn

≤

|ank |

ε
=
M +1

=

ε
M +1
ε
M +1

φ(|Xnk |)
[|Xnk |>a]

k=un

≤

|Xnk |dP
ε
dP
M +1

vn

|ank |

φ(|Xnk |)dP
[|Xnk |>a]

k=un
vn

|ank |
k=un
vn

φ(|Xnk |)dP
Ω

|ank |Eφ(|Xnk |)
k=un

17
ε
≤
sup
M + 1 n≥1

vn

|ank |Eφ(|Xnk |)
k=un

ε
=
.M
M +1
M
=ε
< ε.
M +1
Suy ra

vn

|ank |E|Xnk |I[|Xnk | > a] < ε.

sup
n≥1

k=un

Do đó, {Xnk } là mảng {ank } - khả tích đều.
(ii) Giả sử {Xnk } là mảng {ank } - khả tích đều, ta cần chứng minh tồn tại
φ ∈ Φ sao cho
vn

|ank |Eφ(|Xnk |) < ∞.

sup
n≥1

k=un

Thật vậy, do {Xnk } là mảng {ank } - khả tích đều nên ta chọn được một
dãy các số nguyên dương {nj }, j ∈ N sao cho
vn
n≥1

|Xnk |dP ≤ 2−j

|ank |

sup

[|Xnk |≥nj ]

k=un

với mọi j ∈ N và nj → ∞ khi j → ∞.
Với n ∈ N, đặt gn = |{j ∈ N : nj < n}|.
Hiển nhiên, gn < ∞ và {gn , n ∈ N} là một dãy các hằng số không âm

mà gn ↑ ∞.
Xét hàm g : (0, ∞) → (0, ∞) xác định bởi g(x) = gn khi x ∈ (n − 1, n],
n ∈ N và đặt
t

φ(t) =

g(x)dx, với t > 0, φ(0) = 0.
0

Khi đó, φ là hàm lồi và

φ(t)
↑ ∞ (xem [4]).
t

Với t ∈ (n − 1, n] ta có
1

φ(t) =

2

g(x)dx +
0

n−1

g(x)dx + ... +
1

Xét x ∈ (0, 1] thì g(x) = g1 nên

t

g(x)dx +
n−2

1
0 g(x)dx

=

g(x)dx.
n−1

1
0 g1 dx

= (1 − 0).g1 = g1 .


18
Tương tự
2
1 g2 dx

= g2 ,
..
.

n−1
n−2 gn−1 dx = gn−1 .
Xét x ∈ (n − 1, t], do (n − 1, t] ⊂ (n − 1, n] nên g(x) = gn , suy ra
t

t

gn dx = [t − (n − 1)].gn = (t − n + 1)gn .

gx dx =
n−1

n−1

Do đó, ta có thể viết
n−1

gi + (t − n + 1)gn , (g0 = 0), mọi t ∈ (n − 1, n].

φ(t) =
i=0

Điều đó kéo theo
n

gi , mọi t ∈ (n − 1, n], n ∈ N.

φ(t) ≤
i=1

Khi đó, với mỗi k ∈ [un , vn ], n ≥ 1
∞

n

Eφ(|Xnk |) ≤ E

I(n − 1 < |Xnk | ≤ n)
n=1
∞

=E

gi
i=1

∞

I(n − 1 < |Xnk | ≤ n)

gi
i=1

n=i

∞

gi P[|Xnk | > i − 1]

=

i=1

với I(A) là hàm chỉ tiêu của A.
Do đó, với mọi n ≥ 1
vn

vn

|ank |Eφ(|Xnk |) ≤
k=un



∞

∞

|ank | 

≤

P[|Xnk | > i]
j=1 i=nj

k=un
vn



∞

|ank | 
k=un




E|Xnk |I[|Xnk | ≥ nj ]

j=1


19



∞

=

|ank |


j=1
∞



vn
[|Xnk |≥nj ]

k=un

|Xnk |dP

2−j < ∞.

≤
j=1

Định nghĩa 2.1.3. Cho α > 0. Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được
gọi là Cesàro α - khả tích nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
1
sup
n≥1 n

n

E|Xk | < ∞

(2.3)

E|Xk |I[|Xk | > k α ] = 0.

(2.4)

k=1

và
1

lim
n→∞ n

n

k=1

Định nghĩa 2.1.4. Cho {Xnk , un ≤ k ≤ vn , n ≥ 1} là mảng các biến
ngẫu nhiên và {ank , un ≤ k ≤ vn , n ≥ 1} là mảng các hằng số mà
vn
k=un |ank | ≤ C với mọi n ∈ N, C > 0. Giả sử {h(n), n ≥ 1} là một
dãy số dương tăng thỏa mãn h(n) → ∞ khi n → ∞. Khi đó, {Xnk } được
gọi là mảng h - khả tích liên quan mảng {ank } nếu thỏa mãn hai điều kiện
sau:
vn

|ank |E|Xnk | < ∞

(2.5)

|ank |E|Xnk |I[|Xnk | > h(n)] = 0.

(2.6)

sup
n≥1

k=un

và

vn

lim

n→∞

k=un

Định lý 2.1.5. Nếu {Xnk , un ≤ k ≤ vn , n ≥ 1} là mảng {ank } - khả tích
đều thì {Xnk , un ≤ k ≤ vn , n ≥ 1} là mảng h - khả tích liên quan mảng các
hằng số {ank } với mọi dãy {h(n), n ≥ 1} đơn điệu tăng đến vô cùng.
Chứng minh. (i) Nếu {Xnk } là mảng {ank } - khả tích đều thì
vn

|ank |E|Xnk |I[|Xnk | > a] = 0,

lim sup

a→∞ n≥1

k=un


20
do đó tồn tại a > 0 sao cho
vn

|ank |E|Xnk |I[|Xnk | > a] < 1.

sup

n≥1

k=un

Ta lại có
|Xnk |I[|Xnk | ≤ a] ≤ a.
Suy ra

E|Xnk |I[|Xnk | ≤ a] ≤ Ea = a.
Do đó
vn

|ank |E|Xnk |

sup
n≥1

k=un
vn

|ank |E(|Xnk |I[|Xnk | ≤ a] + |Xnk |I[|Xnk | > a])

= sup
n≥1

k=un



vn

|ank |E|Xnk |I[|Xnk | ≤ a] +

= sup 
n≥1

k=un
vn

≤ sup
n≥1

k=un
vn
n≥1

k=un
vn

|ank |E|Xnk |I[|Xnk | > a]
k=un

|ank |a + 1
k=un
vn

|ank | + 1

= sup a
n≥1

|ank |E|Xnk |I[|Xnk | > a]

|ank |E|Xnk |I[|Xnk | ≤ a] + sup

≤ sup
n≥1



vn

k=un

≤ sup aC + 1 = aC + 1 < ∞.
n≥1

Hay
vn

|ank |E|Xnk | < ∞.

sup
n≥1

(2.7)

k=un

(ii) Mảng {Xnk } là {ank } - khả tích đều nếu và chỉ nếu tồn tại φ ∈ Φ mà

vn

|ank |Eφ(|Xnk |) < ∞.

sup
n≥1

k=un


21
Khi đó, với mọi dãy tăng đến vô cùng {h(n), n ≥ 1}, do

φ(t)
là hàm
t

tăng nên nếu |Xnk | > h(n) thì
φ(|Xnk |) φ(h(n))
≥
.
|Xnk |
h(n)
Suy ra
|Xnk | ≤
Do đó

h(n).φ(|Xnk |)
.
φ(h(n))

|Xnk |I[|Xnk | > h(n)] ≤ |Xnk |
h(n).φ(|Xnk |)
≤
.
φ(h(n))

Suy ra
h(n).φ(|Xnk |)
φ(h(n))
h(n)
Eφ(|Xnk |).
=
φ(h(n))

E|Xnk |I[|Xnk | > h(n)] ≤ E

Từ đó, với mọi n ≥ 1,
vn

vn

|ank |E(|Xnk |I[|Xnk | > h(n)] ≤
k=un

|ank |
k=un

h(n)
=

φ(h(n))
Do supn≥1

vn
k=un

h(n)
Eφ(|Xnk |)
φ(h(n))
vn

|ank |Eφ(|Xnk |).
k=un

|ank |Eφ(|Xnk |) < ∞ và limn→∞

h(n)
= 0 nên
φ(h(n))

vn

|ank |E(|Xnk |I[|Xnk | > h(n)] = 0.

lim

n→∞

(2.8)

k=un

Từ (2.7) và (2.8) suy ra {Xnk } là mảng h - khả tích liên quan mảng
{ank }.
Vậy nếu {Xnk } là mảng {ank }-khả tích đều thì {Xnk } là mảng h-khả
tích liên quan mảng {ank } với mọi dãy số tăng {h(n), n ≥ 1}.
Ví dụ sau đây sẽ chỉ ra điều ngược lại của Định lý 2.1.5 là không đúng.


22
Ví dụ 2.1.6. Cho 0 < α ≤ 1, {Xk , k ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên với
Xk nhận các giá trị 0, k α và k với xác suất tương ứng lần lượt là 1 − k −α ,
k −α − k −2 và k −2 . Giả sử, {Xnk } là mảng các biến ngẫu nhiên thỏa mãn
Xk nếu 1 ≤ k ≤ n
,
0 nếu
k>n

Xnk =

{ank } là mảng các hằng số thỏa mãn
ank =

1
nếu 1 ≤ k ≤ n
n
0 nếu
k>n

và h(n) = nα .

Khi đó, {Xnk } là mảng h - khả tích liên quan mảng {ank }, nhưng không
là mảng {ank } - khả tích đều.
Chứng minh. Thật vậy, ta có

E|Xk | = 0.(1 − k −α ) + k α .(k −α − k −2 ) + k.k −2 = 1 +
Từ
1
n

n
i=1

1
1
α
(i
−
i
)
≤
i2
n

suy ra
1
sup
n≥1 n

n
i=1

1
(k − k α ).
2
k

1 log n
∼
→ 0 khi n → ∞
i
n

n

E|Xi | < ∞.
i=1

Do đó, với mọi n ≥ 1 ta có
vn

|ank |E|Xnk | = sup

sup
n≥1

n
n≥1

k=un

1
E|Xk |
n

k=1
n

1
n≥1 n

E|Xk | < ∞.

= sup
Ta cũng có

k=1

vn

0≤

|ank |E|Xnk |I[|Xnk | > h(n)]
k=un
n

=
k=1

1
E|Xk |I[|Xk > nα ]

n

(2.9)


23
n

1
=
n
≤
≤

=

E|Xk |I[|Xk > nα ]
k=1
n

1
n

E|Xk |I[|Xk | > k α ]
k=1
n

1
n

E|Xk |I[|Xk | = k]
k=1
n

1
n

k −2 → 0

khi n → ∞.

k=1

Suy ra
vn

|ank |E(|Xnk |I[|Xnk | > h(n)] = 0.

lim

n→∞

(2.10)

k=un

Từ (2.9) và (2.10) suy ra {Xnk } là mảng h-khả tích liên quan mảng
{ank }.
Tuy nhiên, {Xnk } không là mảng {ank } - khả tích đều. Thật vậy,
với mọi n ≥ 1, λ > 0, tồn tại k0 = k0 (λ) thỏa mãn k02 ≤ λ ≤ (k0 + 1)2 . Khi

đó, với mọi i > k0 ta có:

E|Xi |I[|Xi | > λ] = E|Xi | = 1 +

1
(i − iα ) ≥ 1.
2
i

Suy ra, với mọi k ≥ k0 thì
1
k

k

E|Xi |I[|Xi | > λ] ≥
i=1

k − k0
.
k

Từ đó suy ra
1
sup
k≥1 k

k

k − k0

= 1.
k
k≥1

E|Xi |I[|Xi | > λ] ≥ sup
i=1

Do đó
vn

sup
n≥1

k=un

1
|ank |E|Xnk |I[|Xnk | > λ] = sup
n≥1 n

n

E|Xk |I[|Xk | > λ] ≥ 1.
k=1

Vậy {Xnk } không là mảng {ank } - khả tích đều.