Một số kết quả đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

------

------

BÙI VĂN ĐỨC

MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH NGHIỆM
PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH NGƯỢC
THỜI GIAN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

------

------

BÙI VĂN ĐỨC

MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH NGHIỆM
PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH NGƯỢC
THỜI GIAN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN ĐỨC

Nghệ An - 2015


1

MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.2 Nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Chương 2. Một số kết quả đánh giá ổn định nghiệm phương
trình parabolic tuyến tính ngược thời gian trong không gian
Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1 Tổng quan các kết quả đánh giá ổn định nghiệm phương trình
parabolic tuyến tính ngược thời gian trong không gian Banach . . . . . . 20
2.2 Đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic tuyến tính ngược
thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Banach . . . . 24
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

2

LỜI NÓI ĐẦU

Phương trình parabolic ngược thời gian thường xuyên xuất hiện trong
lý thuyết truyền nhiệt, khi ta cần xác định nhiệt độ tại một thời điểm nào
đó trong quá khứ qua nhiệt độ đo đạc được tại thời điểm hiện tại. Bài
toán này đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard. Một bài toán được gọi
là đặt chỉnh nếu nó thỏa mãn ba điều kiện a) nó có nghiệm, b) nghiệm
duy nhất, c) nghiệm phụ thuộc liên tục (theo một tôpô nào đó) theo dữ
kiện của bài toán. Nếu như ít nhất một trong ba điều kiện này không thỏa
mãn, thì ta nói rằng Bài toán đặt không chỉnh. Lĩnh vực bài toán đặt
không chỉnh đã thu hút sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trong và
ngoài nước bởi nó là mô hình của nhiều bài toán trong thực tiễn.
Một trong những hướng nghiên cứu về phương trình parabolic ngược
thời gian là việc tìm các đánh giá ổn định. Các đánh giá này cho ta biết
bài toán "xấu" đến mức nào, để từ đó có thể đưa ra các phương pháp số
hữu hiệu. Ngoài ra, các đánh giá ổn định cũng rất quan trọng trong việc
chứng minh sự hội tụ và các đánh giá sai số của các phương pháp chỉnh
khi giải bài toán đặt không chỉnh. Cho đến nay, các đánh giá ổn định cho
phương trình parabolic ngược thời gian nhận được chủ yếu trong không
gian Hilbert, rất ít kết quả nhận được trong không gian Banach.
Để tập dượt nghiên cứu cũng như để làm phong phú thêm các tài liệu
về việc đánh giá ổn định cho phương trình parabolic tuyến tính ngược
thời gian trong không gian Banach, trên cơ sở các bài báo [4], [6] và [7],
chúng tôi lựa chọn đề tài cho Luận văn của mình là : "Một số kết quả
đánh giá ổn định nghiệm phương trình parabolic tuyến tính

3

ngược thời gian trong không gian Banach".
Mục đích chính của luận văn nhằm tìm hiểu các kết qủa đánh giá ổn
định nghiệm của phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian trong
không gian Banach, từ đó đề xuất và chứng minh một số kết quả mới. Với
mục đích đó luận văn này được chia thành 2 chương:
Chương 1: Trình bày khái niệm bài toán đặt không chỉnh cùng một
số ví dụ minh họa. Sau đó chúng tôi trình bày về nửa nhóm giải tích, ví
dụ minh họa cùng các tính chất cơ bản để làm cơ sở cho việc trình bày
chương 2.
Chương 2: Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày tổng quan
các kết qủa đánh giá ổn định nghiệm của phương trình parabolic tuyến
tính ngược thời gian trong không gian Banach. Sau đó chúng tôi đề xuất
và chứng minh các kết quả đánh giá ổn định nghiệm của phương trình
parabolic tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian trong
không gian Banach.
Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng
dẫn của thầy giáo, TS. Nguyễn Văn Đức. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc của mình đến Thầy. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn
Ban chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Sư Phạm Toán
học và cảm ơn các thầy, cô giáo trong bộ môn Giải tích, khoa Sư Phạm
Toán học đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian
học tập và hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, tác giả cám ơn gia đình,
đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học 21 Giải tích
đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và
nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những
hạn chế, thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của các thầy, cô giáo và các bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn.

4

Nghệ An,tháng 8 năm 2015
Tác giả


5

CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Chương này trình bày một số kiến thức làm cơ sở cho việc trình bày
Chương 2. Các kiến thức trong chương này được chúng tôi tham khảo
trong các tài liệu [1] và [8].

1.1

Bài toán đặt không chỉnh

1.1.1 Định nghĩa. Cho X là một tập khác rỗng. Xét ánh xạ d : X ×X →
R thỏa mãn các tính chất sau đây:
i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X , và d(x, y) = 0 ⇔ x = y ;
ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X ;
iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X .
Khi đó, d được gọi là một mêtric trên X và cặp (X, d) được gọi là một
không gian mêtric.
1.1.2 Định nghĩa. Cho phương trình A(x) = f với f ∈ Y và A là ánh
xạ đơn ánh đi từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y . Phần tử

x0 ∈ X được gọi là nghiệm của phương trình A(x) = f nếu A(x0 ) = f .

Đặt
R(A) = {y ∈ Y : tồn tại x ∈ X thỏa mãn A(x) = y}.

Khi đó tồn tại ánh xạ R : R(A) −→ X xác định bởi công thức R(f ) =
x ∈ X, ∀f ∈ R(A). Khi đó việc tìm nghiệm x ∈ X của phương trình
A(x) = f dựa vào dữ kiện ban đầu f ∈ Y thường được xem xét dưới dạng

phương trình x = R(f ).


6

1.1.3 Định nghĩa. Cho (X, dX ), (Y, dY ) là hai không gian mêtric. Bài
toán tìm nghiệm x = R(f ) của phương trình A(x) = f được gọi là ổn định
trên cặp không gian (X, Y ) (hay được gọi là liên tục theo dữ kiện của bài
toán) nếu ∀f1 , f2 ∈ R(A), ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 sao cho dY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) thì
dX (R(f1 ), R(f2 )) ≤ ε.

1.1.4 Định nghĩa. Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y
được gọi là bài toán đặt chỉnh trên cặp không gian metric (X, Y ) nếu
i) Với mỗi f ∈ Y thì tồn tại nghiệm x ∈ X ;
ii) nghiệm x đó là duy nhất;
iii) Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X, Y ).
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn bài toán tìm
nghiệm được gọi là bài toán đặt không chỉnh. Đôi khi người ta gọi là bài
toán đặt không chính quy hoặc bài toán thiết lập không đúng đắn.
1.1.5 Ví dụ. 1) Xét phương trình tích phân Fredholm loại I
b

K(t, s)ϕ(s)ds = f0 (t), t ∈ [c, d],
a

ở đây nghiệm là một hàm ϕ(s), vế phải f0 (t) là một hàm số cho trước và
hạch K(t, s) của tích phân cùng với

∂K
∂t

được giả thiết là các hàm liên tục.

Ta giả thiết nghiệm ϕ(s) thuộc lớp các hàm liên tục trên [a, b] với metric
( còn được gọi là độ lệch ) giữa hai hàm ϕ1 , ϕ2 là
dC[a,b] (ϕ1 , ϕ2 ) = max |ϕ1 (s) − ϕ2 (s)|.
s∈[a,b]

Mặt khác sự thay đổi vế phải được đo bằng độ lệch trong không gian
L2 [c, d], tức là khoảng cách giữa hai hàm f1 (t), f2 (t) trong L2 [c, d] được

biểu thị bởi


7

dL2 [c,d] (f1 , f2 ) =





d

c

 12

2
|f1 (t) − f2 (t)| dt
.


Giả sử phương trình có nghiệm là ϕ0 (s). Khi đó với vế phải
b

f1 (t) = f0 (t) + N

K(t, s) sin(ωs)ds,
a

Phương trình có nghiệm
ϕ1 (s) = ϕ0 (s) + N sin(ωs).

Với N bất kỳ và ω đủ lớn thì khoảng cách giữa hai hàm f0 , f1 trong L2 [c, d]

dL2 [c,d] (f0 , f1 ) = |N |





b

d

[
a

c

 12

2
K(t, s) sin(ωs)ds] dt
.


có thể làm nhỏ tùy ý. Thật vậy, đặt
Kmax =

max

|K(t, s)|,

s∈[a,b],t∈[c,d]

ta tính được
 21

1

b 2
dL2 [c,d] (f0 , f1 ) ≤ |N |
[Kmax cos(ωs)|a ] dt
ω





d

c

≤

|N |Kmax c0
,
ω

ở đây c0 là một hằng số dương. Ta chọn N và ω lớn tùy ý nhưng
nhỏ. Khi đó,
dC[a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) = max |ϕ0 (s) − ϕ1 (s)| = |N |
s∈[a,b]

N
ω

lại

8

có thể lớn bất kỳ.
Khoảng cách giữa hai nghiệm ϕ0 , ϕ1 trong L2 [c, d] cũng có thể lớn bất kỳ.
Thật vậy,
dL2 [c,d] (ϕ0 , ϕ1 ) =





b

|ϕ0 (s) − ϕ1 (s)|2 ds



a

= |N |





= |N |

 12


b

sin2 (ωs)ds

 21



a

b−a
1
−
sin(ω(b − a)) cos(ω(b + a)).
2
2ω

Dễ dàng nhận thấy hai số N và ω có thể chọn sao cho dL2 [c,d] (f0 , f1 ) rất
nhỏ nhưng vẫn cho kết quả dL2 [c,d] (ϕ0 , ϕ1 ) rất lớn. Đây là bài toán không
ổn định.
2) Xét chuỗi Fourier
∞

f1 (t) =

an cos(nt),
n=0

với hệ số (a0 , a1 , ......, an , ....) ∈ l2 được cho xấp xỉ bởi cn = an + nε , n ≥ 1
và c0 = a0 . Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng

∞

f2 (t) =

cn cos(nt),
n=0

cũng có hệ số (c0 , c1 , ......, cn , ....) ∈ l2 . Và khoảng cách giữa chúng là
1
2

∞
2

(cn − an )

ε1 =

∞

=ε
n=1

n=0

1
n2

1
2

=ε

π2
6

Do đó khoảng cách giữa hai bộ hệ số này có thể làm nhỏ bất kỳ vì ε có
thể lấy nhỏ tùy ý. Trong khi đó,
∞

f2 (t) − f1 (t) = ε
n=1

1
cos(nt)
n


9

có thể làm cho lớn bao nhiêu cũng được. Ví dụ tại t = 0 chuỗi phân kỳ.
Điều đó nói lên rằng nếu khoảng cách giữa hai hàm f1 và f2 được xét
trong không gian các hàm với độ đo đều thì bài toán tính tổng của chuỗi
Fourier là không ổn định khi hệ số của chuỗi có sự thay đổi nhỏ. Tuy nhiên
nếu xét trong không gian L2 [0, π], thì
 π
1  π

2 
=

|
[f2 (t) − f1 (t)]2 dt



0

0

∞

=
n=0

= ε1

∞
n=0

1
2
(cn − an ) cos(nt)|2 dt


π
(cn − an )2
2

1
2

π
.
2

Như vậy,bài toán lại ổn định, tức là khi dữ liệu ban đầu an cho xấp xỉ cn
với sai số khá nhỏ, thì các chuỗi Fourier tương ứng cũng sai khác nhau
không nhiều trong L2 [0, π].
3) Xét bài toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều
∂ 2u ∂ 2u
+
= 0,
∂x2 ∂y 2
u(x, 0) = f (x),

∂u
∂y

= ϕ(x), −∞ < x < ∞,
y=0

ở đây f (x) và ϕ(x) là các hàm cho trước. Nếu lấy f (x) = f1 (x) ≡ 0 và
ϕ(x) = ϕ1 (x) =

1
a

sin(ax), thì nghiệm của bài toán trên là
u1 (x, y) =

1
sin(ax)sh(ay),
a2

a>0

. Nếu lấy f (x) = f2 (x) = ϕ(x) = ϕ2 (x) ≡ 0, thì nghiệm của bài toán là
u2 (x, y) ≡ 0. Với khoảng cách giữa các hàm cho trước và nghiệm được xét

trong độ đo đều, ta có
dC (f1 , f2 ) = sup |f1 (x) − f2 (x)| = 0
x


10

1
dC (ϕ1 , ϕ2 ) = sup |ϕ1 (x) − ϕ2 (x)| = .
a
x

Với a khá lớn thì khoảng cách giữa hai hàm ϕ1 và ϕ2 lại khá nhỏ. Trong
khi đó, khoảng cách giữa các nghiệm
dC (u1 , u2 ) = sup |u1 (x, y)−u2 (x, y)| = sup |
x,y

x,y

1
1

sin(ax)sh(ay)| = 2 sh(ay),
2
a
a

Với y > 0 cố định lại lớn bất kỳ. Chính vì vậy, đây cũng là bài toán không
ổn định.

1.2

Nửa nhóm giải tích

1.2.1 Định nghĩa. Cho X là một không gian Banach. Họ một tham số
các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào X , T (t), 0

t < ∞ được gọi là

một nửa nhóm các toán tử tuyến tính bị chặn trên X nếu
i) T (0) = I, (I là toán tử đồng nhất trên X),
ii) T (t + s) = T (t)T (s) với mọi t, s

0.

1.2.2 Định nghĩa. Nửa nhóm của các toán tử tuyến tính liên tục T (t)
được gọi là liên tục đều nếu lim T (t) − I = 0.
t↓0

1.2.3 Định nghĩa. Toán tử tuyến tính A được xác định bởi
D(A) = {x ∈ X : lim
t↓0

và

T (t)x − x
tồn tại}
t

T (t)x − x d+ T (t)x
Ax = lim
=
t
dt
t↓0

t=0

với mọi x ∈ D(A)

được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm T (t), D(A) được gọi là miền xác
định của A.
1.2.4 Định nghĩa. Nửa nhóm các toán tử tuyến tính liên tục trên X ,
T (t), 0

t < ∞, được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh nếu lim T (t)x = x

với mọi x ∈ X .

t↓0

11

1.2.5 Định nghĩa. Nửa nhóm liên tục mạnh các toán tử tuyến tính liên
tục trên X được gọi là một nửa nhóm lớp C0 hay đơn giản là nửa nhóm
C0 .

1.2.6 Định lý. Toán tử tuyến tính A là toán tử sinh của một nửa
nhóm liên tục đều các toán tử tuyến tính bị chặn khi và chỉ khi A là
toán tử tuyến tính bị chặn.
Chứng minh. Giả sử A là toán tử tuyến tính bị chặn trên X . Đặt
∞

T (t) = e

tA

=
n=0

(tA)n
.
n!

Vế phải của (1.1) hội tụ theo chuẩn với mỗi t

(1.1)

0 nên xác định một toán

tử tuyến tính bị chặn T (t). Rõ ràng rằng T (0) = I và bằng các tính toán

đơn giản của chuỗi lũy thừa ta suy ra rằng T (t + s) = T (t)T (s). Đánh giá
chuỗi lũy ta có
t A et

T (t) − I

và

T (t) − I
−A
t

A

A max T (s) − I .
0 s t

Các đánh giá trên kéo theo T (t) là một nửa nhóm liên tục đều của các
toán tử tuyến tính bị chặn trên X và A là toán tử sinh của nó.
Bây giờ ta chứng minh khẳng định ngược lại. Giả sử T (t) là một nửa
nhóm liên tục đều của các toán tử tuyến tính bị chặn trên X . Cố định
ρ > 0, đủ nhỏ sao cho I − ρ−1
ρ
ρ−1 0 T (s)ds

khả nghịch và do đó

ρ
0 T (s)ds
ρ

0 T (s)ds

< 1. Điều này kéo theo

khả nghịch. Mặt khác, ta

có
−1

h

ρ

(T (h) − I)

ρ

−1

T (s + h)ds −

T (s)ds = h
0

ρ

T (s)ds

0

0
h

ρ+h

−1

T (s)ds −

=h

ρ

T (s)ds .
0


12

Do đó
−1

h

ρ+h

−1

(T (h) − I) =

h

−1

T (s)ds − h

h

0

−1

ρ

T (s)ds

T (s)ds

0

0

(1.2)
Từ (1.2) ta thấy h−1 (T (h) − I) hội tụ theo chuẩn (và do đó hội tụ mạnh)
−1
ρ
T
(s)ds
0
−1

ρ
là
0 T (s)ds

tới toán tử tuyến tính bị chặn (T (ρ) − I)

khi h ↓ 0. Do đó

toán tử tuyến tính bị chặn (T (ρ) − I)

toán tử sinh của

T (t).

1.2.7 Định lý. Cho T (t) là một nửa nhóm C0 và A là toán tử sinh
của nó. Khi đó, ta có
1 t+h
T (s)xds = T (t)x;
h
t
h→0
t
∈ X , 0 T (s)xds ∈ D(A) và

a) Với x ∈ X , lim
b) Với mỗi x

t

A

= T (t)x − x;

T (s)xds
0

c) Với x ∈ D(A), T (t)x ∈ D(A) và
d
T (t)x = AT (t)x = T (t)Ax;
dt

d) Với x ∈ D(A),
t

T (t)x − T (s)x =

t

T (τ )Axdτ =
s

AT (τ )xdτ.
s

Chứng minh. Phần a) được suy trực tiếp từ tính liên tục của ánh xạ
t → T (t)x. Để chứng minh b), lấy x ∈ X và h > 0. Khi đó,
T (h) − I
h

t

0

1
T (s)xds =
h
1
=
h

t

(T (s + h)x − T (s)x)ds

(1.3)

0
t+h
0

1
T (s)xds −
h

h

T (s)xds.
0

(1.4)

.


13

Chú ý rằng khi cho h ↓ 0 vế phải của đẳng thức trên tiến tới T (t)x − x.
Do đó phần b) được chứng minh. Để chứng minh phần c) lấy x ∈ D(A)
và h > 0, ta có
T (h) − I
T (t)x = T (t)
h

T (h) − I
h

x → T (t)Ax khi h ↓ 0.

(1.5)

Do đó, T (t)x ∈ D(A) và AT (t)x = T (t)Ax. Đẳng thức (1.5) kéo theo
d+
T (t)x = AT (t)x = T (t)Ax,
dt

nghĩa là, đạo hàm phải của T (t)x là T (t)Ax. Để chứng minh đẳng thức
trong phần c), ta phải chứng tỏ rằng với t > 0, đạo hàm trái của T (t)x
tồn tại và bằng T (t)Ax. Ta nhận thấy rằng
lim
h↓0

T (t)x − T (t − h)x
− T (t)Ax
h

T (h)x − x
− Ax
h
h↓0
+ lim(T (t − h)Ax − T (t)Ax).

= lim T (t − h)
h↓0

Vì x ∈ D(A) và T (t − h) bị chặn đều trên 0

h

t nên số hạng thứ

nhất ở vế phải của đẳng thức trên bằng 0. Số hạng thứ hai ở vế phải của
đẳng thức trên cũng bằng 0 do tính liên tục mạnh của T (t). Do đó khẳng
định c) đã được chứng minh. Khẳng định ở phần d) đạt được bằng cách
lấy tích phân hai vế đẳng thức nêu ở phần c) từ s tới t.
1.2.8 Hệ quả. Nếu A là toán tử sinh của một nửa nhóm C0 thì miền
xác định D(A) của toán tử A, trù mật trong X và A là toán tử tuyến
tính có đồ thị đóng.
1 t
T (s)xds. Theo phần b) của
t 0
Định lý 1.2.7, xt ∈ D(A) với mọi t > 0 và theo phần a) của Định lý này

Chứng minh. Với mỗi x ∈ X đặt xt =

ta có t ↓ 0. Do đó, D(A) ≡ X với D(A) là bao đóng của D(A). Tính
tuyến tính của A là hiển nhiên. Để chứng minh tính đóng của nó ta lấy
xn ∈ D(A), xn → x và Axn → y khi n → ∞.parTừ phần d) của Định


14

lý 1.2.7 ta có
t

T (t)xn − xn =

(1.6)

T (s)Axn ds.
0

Biểu thức dưới dấu tích phân ở vế phải của (1.6) hội tụ đều tới T (s)y trên
các khoảng bị chặn. Do đó, cho n → ∞ trong (1.6) ta được
t

T (t)x − x =

(1.7)

T (s)yds.
0

Chia cả hai vế (1.7) cho t > 0 và cho t ↓ 0, sau đó sử dụng phần a) của
Định lý 1.2.7 ta thấy rằng x ∈ D(A) và Ax = y .
1.2.9 Định lý. Cho T (t) là một nửa nhóm C0 . Khi đó, tồn tại các
hằng số ω

0 và M
T (t)

1 sao cho
M eωt với mọi 0

t < ∞.

Nếu ω = 0 thì T (t) được gọi là nửa nhóm C0 bị chặn đều. Nếu ω = 0
và M = 1 thì T (t) được gọi là nửa nhóm co C0 .
1.2.10 Định lý. (Hille-Yosida). Một toán tử tuyến tính (không bị chặn)
A là toán tử sinh của một nửa nhóm co C0 T (t), t

0 nếu và chỉ nếu

(i) A là đóng và D(A) = X .
(ii) Tập các giá trị chính qui ρ(A) của A chứa R+ và với mỗi λ > 0,
ta có
1
,
λ
với I là toán tử đồng nhất trên X .

R(λ : A)

ở đây R(λ : A) = (λI − A)−1

Cho X là không gian Banach và X ∗ là không gian đối ngẫu của nó. Ta
kí hiệu giá trị của x∗ ∈ X ∗ tại x là x∗ , x hoặc x, x∗ . Nếu A là toán tử
tuyến tính trên X thì miền giá trị số (numerical range) của A là tập
S(A) = { x∗ , Ax : x ∈ D(A), x = 1, x∗ ∈ X ∗ , x∗ = 1, x∗ , x = 1}.


15

1.2.11 Định lý. Cho A là một toán tử tuyến tính đóng với miền xác
định D(A) trù mật trong X . Gọi S(A) là miền giá trị số số của A và
là phần bù của S(A) trong C. Khi đó, nếu λ ∈

thì λI − A là đơn

ánh, miền giá trị của λI − A là tập đóng. Hơn nữa, nếu
thỏa mãn ρ(A) ∩

thành phần của

trong phần bù S0 của

0

0

0

là một

= ∅ thì phổ của A được chứa

và
1

R(λ : A)

d(λ : S(A),)

trong đó d(λ : S(A)) là khoảng cách từ λ tới S(A).
1.2.12 Định nghĩa. Trong mặt phẳng phức cho hình quạt
∆ = {z ∈ C : ϕ1 < argz < ϕ2 , ϕ1 < 0 < ϕ2 },

và T (z), z ∈ ∆, là toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào X . Họ T (z), z ∈ ∆,
được gọi là một nửa nhóm giải tích trong ∆ nếu
i) z → T (z) là giải tích trong
ii) T (0) = I và

lim

z∈ , z→0

.

T (z)x = x với mọi x ∈ X .

iii) T (z1 + z2 ) = T (z1 )T (z2 ) với mọi z1 , z2 ∈

.

Nửa nhóm T (t) được gọi là giải tích nếu nó là giải tích trong một hình
quạt

nào đó chứa nửa trục thực không âm.

1.2.13 Định lý. Hạn chế của một nửa nhóm giải tích trên trục thực
là một nửa nhóm C0 .
1.2.14 Định lý. Cho T (t) là một nửa nhóm C0 bị chặn đều. Cho A
là toán tử sinh của T (t) và giả sử 0 ∈ ρ(A). Khi đó, các khẳng định
sau là tương đương
a) T (t) có thể mở rộng thành nửa nhóm giải tích trong hình quạt
∆δ = {z : |argz| < δ} và T (t) bị chặn đều trong mỗi hình quạt con
¯ , δ < δ, của ∆δ ;
đóng ∆
δ


16

b) Tồn tại một hằng số C sao cho với mỗi σ > 0, τ = 0 ta có
C
;
|τ |

R(σ + iτ : A)

c) Tồn tại 0 < δ <

π
và M > 0 sao cho
2

ρ(A) ⊃

= {λ : | arg λ| <

π
+ δ} ∪ {0}
2

và
R(λ : A)

M
với mọi λ ∈
|λ|

, λ = 0.

Cho Ω là một miền bị chặn với biên trơn ∂Ω ⊂ Rn và A(x, D) là
toán tử vi phân bậc hai đối xứng được xác định bởi
n

A(x, D)u = −
k,l=1

∂
∂xk

ak,l (x)

∂u
∂xl

.

Chúng ta giả thiết rằng các hệ số ak,l (x) = al,k (x) nhận giá trị thực và
¯ . Ngoài ra, ta giả thiết thêm rằng A(x, D) là elliptic
khả vi liên tục trên Ω
mạnh, nghĩa là tồn tại một hằng số C0 > 0 sao cho
n

n

ak,l (x)ξk ξl
k,l=1

ξk2 = C0 |ξ|2 với mọi số thực ξk , 1

C0

k

n.

k=1

(1.8)

1.2.15 Định nghĩa. Với 1 < p < ∞, đặt
D(Ap ) = W 2,p (Ω) ∩ W01,p (Ω) và Ap u = A(x, D)u với u ∈ D(Ap ).

Khi đó, toán tử Ap được gọi là toán tử liên kết với toán tử A(x, D).
1.2.16 Định lý. Miền xác định D(Ap ) của Ap trù mật trong Lp (Ω) và
Ap là toán tử đóng trong Lp (Ω).

1.2.17 Bổ đề. Toán tử Aq , q = p/(p − 1) liên kết với toán tử A(x, D)
trên Lq (Ω) là toán tử liên hợp của Ap .


17

1.2.18 Định lý. Nếu p ∈ [2, +∞) thì −Ap là toán tử sinh của một
nửa nhóm giải tích co trên Lp (Ω).
p < ∞ nên 1 < q = p/(p − 1) < ∞. Ký hiệu

Chứng minh. Vì 2

tích phân trên Ω của tích hai hàm thuộc Lp (Ω) và Lq (Ω) bởi
u ∈ D(Ap ) thì hàm u∗ = |u|p−2 u¯ ∈ Lq (Ω) và u, u∗ = u

, . Nếu

p
0,p .

Sử dụng

công thức tích phân từng phần ta được

n
∗

Ap u, u

=−
Ω k,l=1

∂
∂xk

n

ak,l

=
Ω k,l=1

ak,l

u¯|u|p−2 dx

∂u ∂
u¯|u|p−2 dx
∂xl ∂xk

n
p−2

ak,l |u|

=

∂u
∂xl

Ω k,l=1

∂u ∂|u|p−2
∂u ∂ u¯
+ u¯
∂xl ∂xk
∂xl ∂xk

dx.

Mặt khác, ta có
1
∂ u¯
∂
∂u
|u|p−2 = (p − 2)|u|p−4 u¯
+u
∂xk
2
∂xk
∂xk

.

(1.9)

Ký hiệu |u|(p−4)/2 u¯(∂u/∂xk ) = αk + iβk , ta có
n
∗

Ap u, u

ak,l ((p − 1)αk αl + βk βl + i(p − 2)αk βl )dx. (1.10)

=
Ω k,l=1

Giả sử |ak,l (x)|

¯ và 1
M với mọi x ∈ Ω

k, l

n

n

|α|2 =
k=1

n. Ta đặt

Ω

αk2 dx, |β|2 =
k=1

Ω

βk2 dx.

Khi đó, từ (1.8) và (1.10,) ta có
Ap u, u∗

C0 ((p − 1)|α|2 + |β|2 )

0

(1.11)

và
|
|

Ap u, u∗ |
Ap u, u∗ |

ρ 2
1
|α| + |β|2
2
2ρ
C0 ((p − 1)|α|2 + |β|2 )

|p − 2|M

(1.12)


18

với mọi ρ > 0 ( , lần lượt là ký hiệu phần thực và phần ảo của số
√
phức). Chọn ρ = p − 1 thay vào (2.17) ta được
|
|

Ap u, u∗ |
Ap u, u∗ |

M |p − 2|
√
.
2C0 p − 1

(1.13)

Từ (1.11) suy ra với mọi λ > 0 và u ∈ D(Ap ), ta có
λ u

0,p

(λI + Ap )u

0,p .

(1.14)

Do đó, λI + Ap là đơn ánh và miền giá trị của nó là tập đóng với mỗi
λ > 0.

Vì (1.14) đúng với mọi 2

p < ∞ nên λI + Ap , λ > 0 là toàn

ánh. Thật vậy, nếu v ∈ Lq (Ω) thỏa mãn

(λI + Ap )u, v = 0 với mọi

u ∈ D(Ap ) thì theo Bổ đề 1.2.17, ta có v ∈ D(Aq ), q = p/(p − 1) và
u, (λI + Aq )v = 0 với mọi u ∈ D(Ap ). Vì D(Ap ) trù mật trong Lp (Ω)

nên ta suy ra (λI + Aq )v = 0. Sử dụng (1.14) với p được thay thế bởi q
ta suy ra v = 0. Điều này chứng tỏ λI + Ap là toàn ánh. Do đó λI + Ap
là song ánh. Vì vậy, từ (1.14) ta có
(λI + Ap )−1

0,p

1
với mọi λ > 0.
λ

(1.15)

Định lý 1.2.10 khẳng định rằng −Ap là toán tử sinh của một nửa nhóm
co trên Lp (Ω) với 2

p < ∞. Cuối cùng, để chứng minh nửa nhóm sinh

bởi −Ap là giải tích chúng ta để ý rằng từ (1.11) và (2.18), miền giá trị số
S(−Ap ) của −Ap được chứa trong tập Sv1 = {λ : |argλ| > π − v1 }, trong
√
π
π
đó v1 = arctan(M |p − 2|/2C0 p − 1), 0 < v1 < . Chọn v1 < v < và
2
2
kí hiệu
Sv = {λ : |argλ| < π − v}.

Khi đó, tồn tại một hằng số Cv > 0 sao cho
d(λ : S(−Ap ))

Cv |λ| với mọi λ ∈ Sv .

(1.16)


19

Vì λ > 0 nằm trong tập các giá trị chính qui ρ(−Ap ) của −Ap nên từ
Định lý 1.2.11 suy ra ρ(−Ap ) ⊃ Sv và

(λI + Ap )−1

0,p

1
với mọi λ ∈ Sv .
Cv |λ|

Sử dụng Định lý 1.2.14 (c) ta khẳng định được −Ap là toán tử sinh của
một nửa nhóm giải tích trên Lp (Ω) với mọi p thỏa mãn 2

p < ∞.

1.2.19 Định lý. (Định lý ánh xạ phổ) Giả sử A là toán tử sinh của
nửa nhóm giải tích T (t), t

0. Khi đó, ta có

etσ(A) = σ(T (t)) \ {0}, t

0.


20

CHƯƠNG 2
MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÁNH GIÁ ỔN ĐỊNH NGHIỆM
PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH NGƯỢC
THỜI GIAN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày một số kết quả đánh
giá ổn định cho phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian trong
không gian Banach dựa vào các tài liệu tham khảo [4], [6] và [7]...Sau đó
chúng tôi đề xuất và chứng minh một số kết quả mới về đánh giá ổn định
cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian
trong không gian Banach.

2.1

Tổng quan các kết quả đánh giá ổn định nghiệm
phương trình parabolic tuyến tính ngược thời
gian trong không gian Banach

Mặc dù phương trình parabolic ngược thời gian xuất hiện từ những năm
đầu thập niên 50 của thế kỉ trước và các kết quả ổn định cho phương trình
parabolic ngược thời gian trong không gian Hilbert ra đời gần như ngay
sau đó. Theo chúng tôi, đến năm 1975, kết qủa đầu tiên về đánh giá ổn
định cho phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian trong không
gian Banach mới được đề xuất bởi Keith Miller. Cụ thể, kết quả của Keith
Miller như sau
2.1.1 Định lý. ([7]) Cho −A là toán tử sinh của một nửa nhóm giải
tích góc ψ (0 < ψ

π/2) trên một không gian Banach X . Nếu u(t)


21

là một nghiệm của phương trình ut + Au = 0, 0 < t < T thoả mãn
u(T )

ε,

u(0)

E

thì
Cek(t−T w(t)) εw(t) E 1−w(t) , ∀t ∈ [0, T ],

u(t)

với C, k là các hằng số xác định và w(τ ) là hàm điều hoà trên
S = {τ = t + is : |argτ | < ψ, |arg(τ − T )| > ψ}

bị chặn và liên tục trên S¯, bằng 0 và 1 tương ứng trên biên trái và
biên phải của S .
Keith Miller cũng chỉ ra rằng, trong trường hợp A là toán tử tự liên
hợp, X là không gian Hilbert thì w(t) = t/T và ta có đánh giá
u(t)

2εt/T E 1−t/T , ∀t ∈ [0, T ].

Đây là đánh giá ổn định có bậc tối ưu trong không gian Hilbert (xem [9],
[10]). Năm 1999, A. S Carasso ([4]) đã đề xuất kết quả khác về đánh giá
ổn định nghiệm của phương trình parabolic ngược thời gian trong không
gian Banach. Giả sử X là không gian Banach và A là toán tử tuyến tính
với miền D(A) trù mật trong X . Giả sử rằng −A sinh ra nửa nhóm e−tA
trên một tập mở

φ

= {Re t > 0, |Arg t| < φ}, 0 < φ ≤ π2 . Hơn nữa, với

0 < σ < φ, e−tA liên tục mạnh tại t = 0 trong hình quạt

φ−σ ,

là toán

tử đồng nhất khi t = 0 và thỏa mãn bất đẳng thức e−tA ≤ Bσ < ∞ với
t∈

φ−σ .

Với a ≥ 0 và 0 < ξ ≤ 1, đặt

S(a, ξ) = {τ = t + is; t ≥ a; |s| ≤ (t − a) tan(ξπ/2)}.

Với T > 0 thì S(T, ξ) ⊂ S(0, ξ). Đặt G(T, ξ) = S(0, ξ) − S(T, ξ) và
wξ (t, s) là hàm liên tục bị chặn trên G(T, ξ) và điều hòa trên phần trong

của G(T, ξ), bằng 0 trên biên trái và bằng 1 trên biên phải của G(T, ξ).


22

Giả sử

·

là chuẩn trong không gian Banach X . Với 0 < α ≤ 1 và

e−τ A ≤ Bα < ∞, τ ∈ S(0, α). Xác định chuẩn
x

α

·

α

như sau

= sup{ e−τ A : τ ∈ S(0, α)}.

2.1.2 Định lý. ([4]) Giả sử u(t) là nghiệm của phương trình
ut + Au = 0, 0 < t < T,

thì
u(t)

α

1−ν(t)
α

≤ u(0)

u(T )

ν(t)
α ,0

≤ t ≤ T,

(2.1)

, 0 ≤ t ≤ T,

(2.2)

và
u(t) ≤ Bα u(0)

1−ν(t)

u(T )

ν(t)

trong đó ν(t) := wα (t, 0).
2.1.3 Định lý. ([4]) Với u(t) và α như trong Định lí 2.1.2, nếu 0 <
σ < α < 1, đặt
λ = inf{cos σθ (1 − tan σθ/ tan απ/2) /(cos θ)σ : 0 ≤ θ ≤ π/2},
ρσ (t) = (λt/T )1/σ , 0 ≤ t ≤ T,

thì
u(t)

α

≤ u(0)

1−ρσ (t)
α

u(T )

ρσ (t)
,0
α

≤ t ≤ T,

(2.3)

, 0 ≤ t ≤ T.

(2.4)

và
u(t) ≤ Bα u(0)

1−ρσ (t)

u(T )

ρσ (t)

Từ Định lý 2.1.2 và Định lý 2.1.3, Carasso đã đưa ra đánh giá ổn định
cho phương trình dạng ut + Au = g(t), 0 < t ≤ T như sau,


23

2.1.4 Định lý. ([4]) Với σ , λ và ρσ (t) như trong Định lý 2.1.3. Giả
sử ε, M là các số dương thỏa mãn ε < M và f ∈ X . Nếu ui (t), i = 1, 2
là hai nghiệm của phương trình
ut + Au = g(t), 0 < t ≤ T,

với ui (T ) − f ≤ /Bα và ui (0) ≤ M/Bα thì
w(t) ≤ 2M 1−ρσ (t)

ρσ (t)

, 0≤t≤T

với w(t) = u1 (t) − u2 (t).
Cho p ∈ (1, ∞), ϕ ∈ Lp (R) và ε, E là các hằng số thỏa mãn 0 < ε <
E < ∞. Vào năm 1994, Đinh Nho Hào ([5]) đã xem xét phương trình

truyền nhiệt ngược thời gian trong không gian Banach Lp (R)
ut = uxx , x ∈ R, t ∈ (0, T ),
u(·, T ) − ϕ(·) Lp (R) ε,

(2.5)

với ràng buộc
u(·, 0)

Lp (R)

(2.6)

E.

Đinh Nho Hào đã đưa ra đánh giá ổn định kiểu H¨older với mọi p ∈
(1, ∞]: Nếu u1 và u2 là hai nghiệm của bài toán (2.5)–(2.6) thì tồn tại

hằng số c∗ sao cho
u1 (·, t) − u2 (·, t)

Lp (R)

√
≤ 4 3((c∗ E)1−t/T εt/T
+ (c∗ E)1−t/(4T ) εt/(4T ) ),

∀t ∈ [0, T ].

Đến năm 2009, Đinh Nho Hào và Nguyễn Văn Đức ([6]) đã đưa ra
một số cải tiến cho kết quả vừa đề cập ở trên. Cụ thể hai tác giả này đã
chứng minh được rằng nếu u1 (x, t), u2 (x, t) là hai nghiệm của bài toán
(2.5)–(2.6) với p ∈ (1, ∞) thì tồn tại các hằng số cp , cp sao cho
u1 (·, t) − u2 (·, t)

Lp (R)

2

cp
+ cp εt/T E 1−t/T .
π