Một số tính chất tôpô của các tập fractal sinh bởi hệ hàm lặp hữu hạn trên không gian mêtric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HOÀNG VĂN QUÝ

MỘT SỐ TÍNH CHẤT TÔPÔ CỦA CÁC TẬP
FRACTAL SINH BỞI HỆ HÀM LẶP HỮU HẠN
TRÊN KHÔNG GIAN MÊTRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015


1


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HOÀNG VĂN QUÝ

MỘT SỐ TÍNH CHẤT TÔPÔ CỦA CÁC TẬP
FRACTAL SINH BỞI HỆ HÀM LẶP HỮU HẠN
TRÊN KHÔNG GIAN MÊTRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ THỊ HỒNG THANH

Nghệ An - 2015



Mục lục
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. Hệ hàm lặp mêtric và tập Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.Một số kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.Hệ hàm lặp mêtric và tập Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.Không gian dịch chuyển và phép chiếu chính tắc . . . . . . . . .

14

Chương 2. Một số tính chất tôpô của các tập Fractal . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.Tính liên thông và liên thông đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2.Tính liên thông đường địa phương và hoàn toàn không liên
thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2


Lời mở đầu

Hình học Fractal là một lĩnh vực mới mẻ và hấp dẫn. Nó được khởi
xướng vào giữa những năm 70 của thế kỷ XX mà người đi tiên phong
trong lĩnh vực này là B. Mandelbrot. Đối tượng nghiên cứu của nó là
các tập fractal. Năm 1981, J. E. Hutchinson ([9]) đã đưa ra một cách chỉ
ra tập fractal khá đơn giản. Ông chỉ ra rằng cứ có một họ hữu hạn các
ánh xạ co trên Rn thì luôn sinh ra một tập fractal. Ta gọi họ đó là hệ
hàm lặp (Iterated Function System - IFS) và tập bất biến qua ánh xạ

sinh bởi hệ hàm lặp này người ta gọi là tập fractal. Năm 1993, M. F.
Barnsley ([8]) phát triển và sử dụng một cách rộng rãi ý tưởng cổ điển
này của J. E. Hutchinson. Đã có rất nhiều nỗ lực để mở rộng ý tưởng
khởi đầu này lên không gian tổng quát hơn Rn chẳng hạn là không
gian mêtric nói chung hay không gian tôpô, hay mở rộng họ hữu hạn
ánh xạ thành họ vô hạn ánh xạ, cũng như mở rộng việc nghiên cứu
chiều và độ đo Hausdorff sang nghiên cứu các tính chất tôpô (tính liên
thông, liên thông đường, liên thông địa phương,. . . ) của tập fractal.
Năm 2010, [4], D. Dumitru đã khởi xướng nghiên cứu một số điều kiện
cần, điều kiện cần và đủ để tập bất biến qua hệ hữu hạn ánh xạ hoặc
hệ vô hạn ánh xạ trên không gian mêtric có tính chất liên thông, liên
thông địa phương, liên thông đường. . . Sau đó, một số nhà toán học
cũng tập trung nghiên cứu theo hướng này. Vì thế, để tập duyệt với
NCKH và nghiên cứu các tính chất tôpô của các tập bất biến qua họ


hữu hán các ánh xạ co trên không gian mêtric với tên đề tài là:
“Một số tính chất tôpô của các tập fractal sinh bởi hệ hàm lặp hữu
hạn trên không gian mêtric”.
Mục đích của luận văn là thông qua các tài liệu tìm hiểu và trình bày
một cách có hệ thống các kết quả và các chứng minh cần thiết về sự tồn
tại tập Fractal sinh bởi hệ hàm lặp hữu hạn trên không gian mêtric,
đồng thời tìm hiểu các tính chất tôpô của tập Fractal sinh bởi hệ hàm
lặp này và tìm các ví dụ minh họa cho các tính chất tôpô đó.
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung của
luận văn được viết trong hai chương.

• Chương 1: Hệ hàm lặp mêtric và tập fractal. Trong chương này
chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở cần dùng cho toàn luận
văn như, trình bày về hệ hàm lặp mêtric, không gian dịch chuyển

và phép chiếu chính tắc.

• Chương 2: Một số tính chất tôpô của các tập fractal. Trong chương
này chúng tôi trình bày một số tính chất tôpô của các tập fractal:
Tính liên thông, liên thông đường, liên thông đường địa phương
và hoàn toàn không liên thông...
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Vũ Thị Hồng
Thanh. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô người đã tận tình
hướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các Thầy, Cô
giáo trong tổ Giải tích khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại Học Vinh
đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình
học tập và thực hiện luận văn này.
4


Mặc dù em đã cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi những
thiếu sót. Em rất mong nhận được sự góp ý và chỉ bảo của quý Thầy,
Cô và bạn bè.
Vinh, ngày 20 tháng 9 năm 2015
Học viên
Hoàng Văn Quý

5


Chương 1
Hệ hàm lặp mêtric và tập Fractal

Trong chương này chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở cần dùng
trong toàn luận văn như: Khái niệm liên thông, liên thông đường, liên
thông đường địa phương, thành phần liên thông, tập hoàn toàn không
liên thông... Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày chi tiết các khái niệm
liên quan đến hệ hàm lặp mêtric, tâp fractal, không gian dịch chuyển
và phép chiếu chính tắc.

1.1.

Một số kiến thức cơ sở

Trong mục này chúng tôi trình bày các khái niệm về tập liên thông,
liên thông địa phương, liên thông đường, liên thông đường địa phương,
thành phần liên thông, họ liên thông cùng một số ví dụ minh họa.
1.1.1 Định nghĩa [6]. Cho ( X, d) là không gian mêtric. Khi đó
i) Họ { Gi : i ∈ I } các tập con của X được gọi là một phủ của tập A ⊂ X
nếu A ⊂
i∈ I

Gi . Nếu I là tập hữu hạn thì ta nói phủ hữu hạn. Nếu Gi là

tập mở thì ta nói phủ là phủ mở.
ii) Tập A ⊂ X được gọi là tập compact nếu từ một phủ mở của A luôn
tồn tại một phủ hữu hạn.
iii) Tập A ⊂ X được gọi là compact tương đối nếu bao đóng của A là tập
compact.
iv) Không gian mêtric ( X, d) được gọi là tách được (hay tách) nếu tồn
6

tại một tập con đếm được trù mật trong X, nghĩa là tồn tại A ⊂ X mà
A đếm được và A = X.
1.1.2 Định nghĩa ([4]). Không gian mêtric ( X, d) được gọi là liên thông
nếu X không thể biểu điễn được dưới dạng hợp của hai tập mở khác
rỗng rời nhau. Ngược lại, ( X, d) được gọi là không liên thông.
1.1.3 Ví dụ. Các tập lồi là các không gian liên thông.
1.1.4 Định nghĩa ([3]). Không gian mêtric ( X, d) đượng gọi là liên thông
địa phương nếu với mỗi x ∈ X, mỗi lân cận U của x thì luôn có một lân
cân liên thông V của x sao cho U ⊂ V.
1.1.5 Ví dụ. i) Mỗi khoảng và tia trên đường thẳng thực là liên thông
địa phương.
ii) Không gian con [−1, 0) ∪ (0, 1] của R không liên thông nhưng nó
liên thông địa phương.
1.1.6 Định nghĩa ([2]). Không gian mêtric ( X, d) được gọi là liên thông
đường nếu với mỗi x, y ∈ X luôn tồn tại hàm liên tục ϕ : [0, 1] → X sao
cho ϕ(0) = x, ϕ(1) = y.
1.1.7 Ví dụ. Rn với khoảng cách Euclide liên thông đường; Các hình
cầu, các tập mở trong Rn đều là các tập liên thông đường.
1.1.8 Nhận xét. i) Nếu X liên thông đường thì X liên thông.
ii)Tồn tại tập liên thông nhưng không liên thông đường.
Chứng minh: i) Giả sử X liên thông đường nhưng không liên thông.
Khi đó tồn tại ít nhất hai thành phần liên thông rời nhau là A, B. Lấy
x ∈ A và y ∈ B. Do X liên thông đường nên tồn tại ánh xạ liên
tục f : [0, 1] → X với f (0) = x, f (1) = y. Vì [0, 1] liên thông và
f liên tục nên f([0, 1]) liên thông trong X. Do đó f([0, 1]) ⊂ A hoặc
f([0, 1]) ⊂ B. Dẫn đến x, y ∈ A hoặc x, y ∈ B. Điều này mâu thuẫn với
x ∈ A, y ∈ B, A ∩ B = ∅. Vậy, X liên thông.

7

ii) Xét X = Y ∪ Z với Y = {(0, y) : y ∈ R} ⊂ R2 tức Y là trục tung
1
và Z = {( x, sin ) : 0 < x ≤ 1} ⊂ R2
x
là đồ thị hàm số y = sin 1x trên nửa khoảng (0, 1].
Ta sẽ chỉ ra X liên thông nhưng không liên thông đường.
Thật vậy, ánh xạ
f : (0,1] → R2
1
t → f (t) = (t, sin )
t
là ánh xạ liên tục và (0, 1] liên thông nên Z = f ((0, 1]) liên thông. Do
đó Z cũng liên thông.
Ta có (0, 0) ∈ Z và (0, 0) ∈ Y nên Y ∩ Z = ∅ và Y liên thông nên
Y ∩ Z liên thông vì giới hạn của các dãy điểm của Z đề nằm trong Y
nên Y ∩ Z = Y ∩ Z. Vậy, X = Y ∩ Z liên thông.
Bây giờ ta chứng minh X không liên thông đường. Giả sử ngược lại,
X liên thông đường. Khi đó, với x = (0, 0), y = (1, sin1) ∈ X luôn
tồn tại ánh xạ f : [0, 1] → X sao cho f (0) = x và f (1) = y. Lấy
t0 = inf{t : f (t) ∈ Z }, với t < t0 thì f (t) ∈ Y và Y là đóng nên theo
tính liên tục của f ta có f (t0 ) ∈ Y.
Từ định nghĩa của in f imum ta có: Với mỗi δ > 0, luôn tồn tại 0 < r < δ
sao cho ω (t0 + r ) = ( a, sin 1a ) ∈ Z với a nào đó. Khi đó, phép chiếu
f ([t0 , t0 + r ]) lên 0x chứa 0, a với X là tập liên thông nên nó chứa cả
đoạn [0, a]. Nói riêng f ([t0 , t0 + δ]) chứa f ([t0 , t0 + r ]) và chứa các điểm

(t, x ) và (t , 1). Điều này đúng với mọi δ do đó f không liên thông tại
t0 (mâu thuẫn).
Vậy, X không liên thông đường.

1.1.9 Định nghĩa ([4]). Cho X = ∅, A ⊂ X. Tập A được gọi là thành
phần liên thông của X nếu nó là tập liên thông lớn nhất trong X.
8


1.1.10 Nhận xét. i) Mọi tập con liên thông của X đều được chứa trong
một thành phần liên thông của X.
ii) Mỗi thành phần liên thông của X là đóng.
iii) Mỗi tập con liên thông của X mà vừa đóng, vừa mở thì sẽ là
thành phần liên thông của X.
1.1.11 Định nghĩa ([5]). Không gian mêtric ( X, d) được gọi là liên thông
đường địa phương nếu với mỗi điểm x ∈ X đều có một lân cận là tập
liên thông đường.
1.1.12 Ví dụ. i) Rn là liên thông đường địa phương.
ii) Tất cả các tập mở trong không gian định chuẩn là liên thông đường
địa phương.
1.1.13 Định nghĩa ([4]). Họ ( Ai )i∈ I các tập con khác rỗng của X được
gọi là liên thông (connected) nếu với mỗi i, j ∈ I tồn tại (ik )k=1,n ⊂ I sao
cho i1 = i, in = j và Aik ∩ Aik+1 = ∅ với k ∈ {1, 2,..., n − 1}.
1.1.14 Ví dụ. Trong R2 xét họ các tập ( Ai )i∈N , với Ai = [i, i + 1] ×

[i, i + 1]. Khi đó, họ ( Ai )i∈N liên thông.

1.2.

Hệ hàm lặp mêtric và tập Fractal

Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm: ánh xạ co, ánh
xạ Lipschits, hệ hàm lặp hữu hạn trên không gian metric, sự tồn tại và
cách xây dựng tập bất biến qua hệ hữu hạn ánh xạ co và các ví dụ.

1.2.1 Định nghĩa ([5]). Cho ( X, d) là không gian mêtric, A = ∅, A ⊂ X,
với mỗi x ∈ X ta đặt
1. d( x, A) = in f {d( x, y) : y ∈ A} và được gọi là khoảng cách từ phần
tử x đến tập A.
2. d( A) = sup{d( x, y) : x, y ∈ A} và được gọi là đường kính của tập
A.
9


3. Cho trước một số thực dương δ, kí hiệu Aδ = { x ∈ X : d( x, a) ≤
δ} được gọi là δ - bao của A.
Ta đặt d( A, B) = sup{d( x, B) : x ∈ A}= sup{ inf d( x, y)}
x ∈ A y∈ B

Ta kí hiệu:

K( X ) := { A ⊂ X : A = ∅, compact }.
B( X ) := { A ⊂ X : A đóng và bị chặn }.
P ( X ) = {A :A ⊂ X };

P ∗ ( X ) = P ( X )\{∅}.

Ta có: K( X ) ⊂ B( X ) ⊂ P ( X ).
1.2.2 Mệnh đề ([7]). Xét hàm h : K( X ) × K( X ) → R+ xác định bởi
h( A, B) = max{d( A, B), d( B, A)}.
Khi đó, h là một mêtric.
Chứng minh. Để chứng minh h là một mêtric ta cần chứng minh h thỏa
mãn những điều kiện sau:
1) Dễ thấy h( A, B) = max{d( A, B), d( B, A)} ≥ 0, với mọi A, B ∈ K( X ).
2) Ta có: h( A, B) = 0 khi và chỉ khi max{d( A, B), d( B, A)} = 0 khi và

chỉ khi d( A, B) = d( B, A) = 0 khi và chỉ khi A = B do A, B ∈ K( X ).
3) Hiển nhiên h( A, B) = h( B, A), với mọi A, B ∈ K( X ).
4) Bây giờ ta cần chứng minh h( A, B) ≤ h( A, C ) + h(C, B) với mọi
A, B, C ∈ K( X ).
Đầu tiên ta chỉ ra: d( A, B) ≤ d( A, C ) + d(C, B). Với mỗi a ∈ A ta có
d( a, B) = min{d( a, b) : b ∈ B} ≤ min{d( a, c) + d(c, b) : b ∈ B}, ∀c ∈ C

= d( a, c) + min{d(c, b) : b ∈ B}, ∀c ∈ C.
Vì vậy,
d( a, B) ≤ min{d( a, c) : c ∈ C } + min{d(c, b) : b ∈ B} = d( a, C ) + d(c, B)
do đó
d( A, B) ≤ d( A, C ) + d(C, B).
10


Tương tự
d( B, A) ≤ d( B, C ) + d(C, A).
Suy ra
h( A, B) = max{d( B, A), d( A, B)} ≤ max{d( A, C ) + d(C, B), d( B, C ) + d(C, A)}

≤ max{d( A, C ), d(C, A)} + max{d(C, B), d( B, C )} = h( B, C ) + h( A, C ).
Vậy h là một mêtric trên K( X ).
1.2.3 Nhận xét: i) Nếu thay K( X ) bởi P ( X ) thì h chỉ là nửa mêtric,
nghĩa là tồn tại A, B ∈ P ( X ), A, B = ∅ mà h( A, B) = 0 nhưng A = B.
ii) Nếu ( X, d) là không gian mêtric đầy đủ thì (K( X ), h) là không
gian mêtric đầy đủ.
iii) Nếu ( X, d) là không gian mêtric compact và tách thì (K( X ), h) là
không gian mêtric compact và tách.
1.2.4 Định nghĩa ([5]). Cho ( X, d) là không gian mêtric. Khi đó h được
xác định như trong Mệnh đề 1.2.2 được gọi là mêtric Hausdorff-Pompeiu.

1.2.5 Định nghĩa ([6]). Cho ( X, d) là không gian mêtric và ánh xạ f :
X → X. Đặt Lip( f ) =

sup
x,y∈ X,x =y

d( f ( x ), f (y))
d( x,y)

và được gọi là tỉ số Lipschitz

của ánh xạ f .
Nếu Lip( f ) < +∞ thì f được gọi là ánh xạ Lipschitz.
Nếu Lip( f ) < 1 thì f được gọi là ánh xạ co.
1.2.6 Mệnh đề ([7]). Cho ( X, d) và (Y, d ) là hai không gian mêtric và h X :

P ( X ) × P ( X ) → R+ được xác định như trong Mệnh đề 1.1.2. Khi đó, ta có
1. Nếu H, K là hai tập con khác rỗng của X thì h X ( H, K ) = h X ( H, K ).
2. Nếu ( Hi )i∈ I , (Ki )i∈ I là hai họ các tập con khác rỗng của X thì
hX (

Ki ) = h X (

Hi ,
i∈ I

i∈ I

Ki ) ≤ sup h X ( Hi , Ki ).

Hi ,
i∈ I

11

i∈ I

i∈ I


3. Nếu H, K là hai tập con khác rỗng của X và f : X → Y khi đó,
h X ( f (K ), f ( H )) ≤ Lip( f ).h X (K, H ).
4. Nếu ( Hn )n≥1 ⊂ P ( X ), H ∈ P ( X ) sao cho h X ( Hn , H ) → 0. Khi đó,
x ∈ H nếu và chỉ nếu tồn tại xn ∈ Hn , n ≥ 1 sao cho xn → x.
5. Nếu ( Hn )n≥1 ⊂ P ( X ) la dãy các tập con compact tương đối và H ∈

P ( X ) là tập sao cho h X ( Hn , H ) → 0 thì H cũng là tập compact trương
đối.
6. Nếu ( Hn )n≥1 ⊂ P ( X ) la dãy các tập con liên thông, compact và H ∈

P ( X ) là tập đóng sao cho h X ( Hn , H ) → 0 thì H cũng là tập liên thông,
compact.
1.2.7 Định nghĩa ([5]). Cho ( X, d) là không gian mêtric và f i : X → X
với i ∈ {1, 2, ..., n} là các ánh xạ co. Khi đó, ( f k )k=1,n được gọi là một
hệ hàm lặp (Iterated Function System - IFS) trên X và kí hiệu là S =

( X, ( f k )k=1,n ).
1.2.8 Định nghĩa ([3]). Cho hệ hàm lặp S = ( X, ( f k )k=1,n ). Khi đó, ánh
xạ
FS : K( X ) → K( X )

n

B → FS ( B) =

f k ( B)
k =1

được gọi là toán tử Fractal kết hợp với IFS S.
1.2.9 Mệnh đề ([4]). Cho S = ( X, ( f k )k=1,n ) là một hệ hàm lặp và FS
được xác định như trong Định nghĩa 1.2.8 thì FS là ánh xạ co. Hơn nữa,
Lip( FS ) ≤ max Lip( f k ).
k =1,n

Chứng minh. Ta có

12


h( FS ( A), FS ( B)) = h(

n
i

f i ( A ),

n
i

f i ( B))

≤ max h( f i ( A), f i ( B))
i =1,n

≤ max ri .h( A, B)
i =1,n

với A, B ∈ K( X ) bất kì và ri là tỉ số co của f i , i = 1, ..., n.
Do đó, ta có

d H ( FS ( A),FS ( B))
d H ( A,B)

≤ max ri nên Lip( FS ) ≤ max Lip( f i ) < 1 do
i =1,n

i =1,n

f i là ánh xạ co với i = 1, ..., n.
Vậy, FS là ánh xạ co và Lip( FS ) ≤ Max Lip( f i ).
i =1,n

1.2.10 Định lí ([4]). Cho ( X, d) là không gian mêtric đầy đủ, S = ( X, ( f k )k=1,n )
là IFS trên X với c = max Lip( f k ) < 1. Khi đó, tồn tại duy nhất A ∈ K( X )
k=1,n

sao cho FS ( A) = A. Hơn nữa, với bất kì H0 ∈ K( X ) thì dãy ( Hn )n≥1 được
xác định bởi Hn+1 = FS ( Hn ) hội tụ về A theo mêtric h trên K( X ) với tốc độ
hội tụ ước tính là

cn

h( H0 , H1 ).
1−c
Chứng minh. Vì (X,d) là không gian mêtric đầy đủ nên theo Nhận xét
h( Hn , A) ≤

1.2.3 thì (K( X ), h) là không gian mêtric đầy đủ và theo Mệnh đề 1.2.9
thì FS là ánh xạ co. Khi đó, theo nguyên lí ánh xạ co Banach, ta có: Tồn
tại duy nhất tập A ∈ K( X ) thỏa mãn FS ( A) = A. Ta có
h( Hn , Hn+1 ) = h( FS ( Hn−1 ), FS ( Hn ))

≤ Lip( FS ).h( Hn−1 , Hn ) = Lip( FS ).h( FS ( Hn−2 ), FS ( Hn−1 ))
≤ ( Lip( FS ))2 .h( Hn−2 , Hn−1 ) ≤ ... ≤ ( Lip( FS ))n .h( H0 , H1 )
hay
h( Hn , Hn+ p ) =

n+ p
h( Hn , FS ( H0 ))

cn
.h( H0 , H1 )
≤
1−c

cố định n cho p → ∞ ta có
h( Hn , A) ≤

cn
.h( H0 , H1 ).
1−c
13

1.2.11 Định nghĩa ([8]). Cho ( X, d) là không gian mêtric đầy đủ và
S = ( X, ( f k )k=1,n ) là IFS. Tập A trong Định lí 1.2.10 được gọi là tập bất
biến (tập hút, tập Fractal) của hệ hàm lặp S = ( X, ( f k )k=1,n ).
1.2.12 Định lí ([6]). Cho ( X, d) là không gian mêtric đầy đủ và S = ( X, ( f k )k=1,n )
là IFS với c = max Lip( f k ) < 1. Lấy A0 ∈ K( X ), Am = FSm ( A0 ) sao cho
k =1,n

A0 ⊂ FS ( A0 ). Khi đó Am ⊂ Am+1 và A =

1.3.

m ≥1

Am .

Không gian dịch chuyển và phép chiếu chính tắc

Trong phần này chúng tôi trình bày mọt số kí hiệu cần dùng trong
Chương 2 và các khái niệm liên quan đến không gian dịch chuyển và
phép chiếu chính tắc.
1.3.1 Các kí hiệu
Kí hiệu N∗n = {1, 2, . . . , n} với n ∈ N∗ cho trước.
Cho X = ∅, n ∈ N∗ và ánh xạ f : X → X. Kí hiệu f [n] = f ◦ f ◦ ... ◦ f
với n lần f .
Cho A, B = ∅, kí hiệu B A là tập các hàm từ A đến B, nghĩa là
B A = { ω : A → B }.
∗

∧ = ∧( B) = BN = {ω : N∗ → B}.
∗

∧n = ∧n ( B) = Bn = {ω :∗n → B}.
∧∗ =

∧ n ( B ).
n ≥1

Mỗi phần tử ω ∈ ∧, thì ω được viết dưới dạng vô hạn phần tử
ω = ω1 ω2 ... với ωm ∈ B.
Mỗi phần tử ω ∈ ∧n , thì ω được viết dưới dạng hữu hạn phần tử
ω = ω1 ω2 ...ωn với ωi ∈ B, i = 1, n.
14


Kí hiệu |ω | là độ dài của ω.
Cho α ∈ ∧n , β ∈ ∧m . Kí hiệu αβ là sự ghép của α và β. Cụ thể là
αβ = α1 α2 ...αn β 1 β 2 ...β m
và nếu β ∈ ∧ thì
αβ = α1 α2 ...αn β 1 β 2 ...
Cho ω ∈ ∧n hoặc ω ∈ ∧ và n ≥ m. Khi đó kí hiệu

[ω ]m = ω1 ω2 ...ωm .
Cho α ∈ ∧n và β = ∧m hoặc β ∈ ∧ kí hiệu α ≺ β và nói α bé hơn β
nếu α = β hoặc β = αγ với γ ∈ ∧∗ ∪ ∧.
−

Cho α ∈ ∧∗ kí hiệu α = αα...
∗

1.3.2 Mệnh đề ([4]). Nếu B = N∗n thì ∧ = ∧(N∗n ) = (N∗n )N = {ω :
N∗ → N∗n }. Xét dS : ∧ × ∧ → R được xác định bởi
∞

dS (α, β) =

∑ (1 − δαkk )/3k ; α, β ∈ ∧
β

k =1
y



1 nếu x = y

.

0 nếu x = y
Khi đó, dS là một mêtric trên ∧ .

trong đó δx =

Chứng minh. Để chứng minh dS là một mêtric trên ∧ ta cần chứng minh
dS thõa mãn các điều kiện sau.
i) Ta có dS (α, β) ≥ 0 với mọi α, β ∈ ∧ từ cách xác định dS .
β

β

ii) dS (α, β) = 0 khi và chỉ khi 1 − δαkk = 0 với mọi k, hay δαkk = 1 với
mọi k, tức là αk = β k , ∀k = 1, 2, ... Do đó α = β, với α, β ∈ ∧.
∞

∞

β

iii) Dễ thấy dS (α, β) = ∑ (1 − δαkk )/3k = ∑ (1 − δβk )/3k = dS ( β, α),
k
k =1

với mọi α, β ∈ ∧.

α

k =1

iv) Bây giờ, ta chứng minh dS (α, β) ≤ dS (α, γ) + dS (γ, β), với mọi
α, β, γ ∈ ∧. Thật vậy, vì
γ

β

γ

β

1 − δαkk + 1 − δγkk = 2 − δαkk − δγkk

15





0 nếu


= 1 nếu



 2 nếu

α k = γk = β k
α k = γk = β k

hoặc αk = γk = β k

α k = γk = β k

với mọi k = 1,2, . . .

0 nếu αk = β k
βk
với mọi k = 1, 2, . . .
và 1 − δαk =

1 nếu αk = β k

Nên ta xét các trường hợp sau.
β

Nếu α = β thì α = β = γ hoặc α = β = γ. Do đó, 1 − δαkk = 0
β

γ

β

γ

β

và 1 − δαkk + 1 − δγkk = 0 hoặc 1 − δαkk + 1 − δγkk = 1 nên 1 − δαkk ≤
β

γ

1 − δαkk + 1 − δγkk với mọi k = 1, 2, . . .
β

Nếu α = β thì α = β = γ hoặc α = β = γ do đó 1 − δαkk = 1 và
β

γ

β

γ

β

γ

1 − δαkk + 1 − δγkk = 1 hoặc 1 − δαkk + 1 − δγkk = 2 nên 1 − δαkk ≤ 1 − δαkk +
β

1 − δγkk với mọi k = 1, 2, . . .
β

β

γ

Do đó, ta luôn có 1 − δαkk ≤ 1 − δαkk + 1 − δγkk với mọi k = 1, 2, . . .Suy ra
∞

∑

β
(1 − δαkk )/3k

∞

≤

k =1

∑

γ
(1 − δαkk )/3k

k =1

∞

+

∑ (1 − δγkk )/3k .
β

k =1

Hay dS (α, β) ≤ dS (α, γ) + dS (γ, β).
Vậy dS là một mêtric trên ∧.
1.3.3 Nhận xét. (Λ, ds ) là không gian mêtric, compact.
1.3.4 Định nghĩa ([4]). Bộ (Λ, ds ) được gọi là không gian dịch chuyển
(shift space hoặc code space).
Mệnh đề sau cho ta thấy chi tiết cách xây dựng và sự tồn tại của tập bất
biến qua hệ hàm lặp hữu hạn trên không gian mêtric.
1.3.5 Mệnh đề ([4]). Cho ( X, d) là không gian mêtric đầy đủ. S = ( X, ( f k )k=1,n )
là IFS trên X và A là tập bất biến qua S. Khi đó, ta có
i) Với ω ∈ Λ ta có A[ω ]m+1 ⊂ A[ω ]m và d( A[ω ]m ) → 0 khi m → ∞. Chính
xác hơn d( A[ω ]m ) ≤ cm d( A).
16


ii) Giả sử { aω } =

m ≥1

A[ω ]m thì d(e[ω ]m , aω ) → 0 khi m → ∞ với e[ω ]m là

điểm cố định duy nhất của f [ω ]m .
iii) A = A(s) =
ω ∈Λm

Aω với m ∈

ω ∈Λ
N∗ và

{ aω } ; A α =

ω ∈Λ

{aαω } với mỗi α ∈ Λ∗ , A =

tổng quát hơn Aα =

m ∈ N∗ .

ω ∈Λm

Aαω với mỗi α ∈ Λ∗ và

iv) Tập {e[ω ]m : ω ∈ Λ, m ∈ N∗ } trù mật trong A.
v) Hàm Π : Λ → A xác định bởi Π(ω ) = aω liên tục và toàn ánh.

Chứng minh. i) Ta có A[ω ]1 = f ω1 ( A) ⊆ A do f ω1 là ánh xạ co.
Với m ∈ N, m ≥ 2 ta có:
A [ ω ] m +1 = f ω m +1 ( A ) = f ω m ◦ f ω m +1 ( A ) ⊆ f ω m ( A ) = A [ ω ] m
do f ωm+1 ( A) ⊂ A và f ωm+1 là ánh xạ co. Vậy, A[ω ]m+1 ⊂ A[ω ]m .
Mặt khác, do f i là các ánh xạ co nên d( f i ( A)) ≤ c.d( A) do đó
d( A[ω ]m ) ≤ c.d( A[ω ]m−1 ) ≤ ... ≤ cm .d( A).
Vì thế khi m → ∞ thì với c = max Lip( f i ) < 1 thì cm → 0 nên
cm .d( A)

i =1,m

→ 0 do đó d( A[ω ]m ) → 0 khi m → ∞.

ii) Vì f [ω ]m liên tục với mọi m nên ta có
f [ω ]m ( A [ω ]m ) ⊂ f [ω ]m ( A ) = A [ω ]m .
Do đó, với e[ω ]m = f [ω ]m (e[ω ]m ) ta có e[ω ]m ⊂ A[ω ]m vì thế
d(e[ω ]m , aω ) ≤ d( A[ω ]m ) = d( A[ω ]m ) ≤ cm .d( A).
Dẫn đến, khi m → ∞ và c < 1 ta có d(e[ω ]m , aω ) → 0.
iii) Rõ ràng rằng

ω ∈Λ

{ aω } ⊂ A.

Bây giờ ta sẽ chứng minh A =

ω ∈Λm

Aω vớ mỗi m ∈ N∗ .

Thật vậy, với m = 1, theo Định lí 1.2.10 ta có A =
17

ω ∈Λ

Aω .


Giả sử diều cần chứng minh đúng với m, nghĩa là A =
Ta sẽ chứng minh A =

ω ∈ Λ m +1

ω ∈Λm

Aω .

Aω .

Thật vậy, với a ∈ A, tồn tại dãy ( ai ) ⊂ Aωi với ωi ∈ Λm sao cho lim ai =
i→∞

a. Vì

m

m

Aj) ⊂

A ωi = f ωi ( A ) = f ωi (
j =1

f ωi ( A j )
j =1

với mỗi i, nên tồn tại ai , bi ∈ ( A ji )ωi sao cho d( ai , bi ) < 1i .
Khi đó, ta có lim bi = a và bi ∈ Λm+1 , do đó a ∈
i→∞

ω ∈ Λ m +1

Aω =

Aω .

ω ∈ Λ m +1

Bây giờ ta chứng minh bao hàm thức ngược lại là A ⊂
Thật vậy, với a ∈ A vì A =
sao cho d( am , a) <

1
m.

ω ∈Λm

ω ∈Λ

{ aω } .

Aω nên tồn tại ωm ∈ Λm và am ∈ Aωm

Với α ∈ Λ ta có Aωm α ∈ Aωm . Do đó

d( am , aωm α ) ≤ d( A[ω ]m ) = d( A[ω ]m ) ≤ cm .d( A) → 0
khi m → ∞.
Vây lim aωm α = a. Do đó a ∈
m→∞
m

Vì A =

i =1

ω ∈Λ

{ aω } hay A ⊂

{ a ω }.

ω ∈Λ

f i ( A) nên

{ aω }) =

Aα = f α ( A) = f α (
ω ∈Λ

{ aαω }

{ f α ( aω )} =
ω ∈Λ

ω ∈Λ

với mỗi α ∈ Λ∗ .
Lại có
Aα = f α ( A) = f α (

Aω ) =
ω ∈Λm

f α ( Aω ) =
ω ∈Λm

Aαω .
ω ∈Λm

iv) Được suy ra từ ii) và iii).
v) Lấy ω là phần tử cố định trong Λ và a = Π(ω ) = aω .
Với ε > 0, vì d( A[ω ]m ) → 0 khi m → ∞ nên tồn tại m ∈ N∗ để
A[ω ]m = Π({α ∈ Λ : [ω ]m = [α]m }) ⊆ BX ( a, ε)
18


Vì BΛ (ω, 31m ) ⊆ {α ∈ Λ: [ω ]m = [α]m } nên ta có
BΛ (ω, 31m ) ⊆ Λ[ω ]m = {α ∈ Λ : [ω ]m = [α]m }

⊆ Π−1 (Λ[ω ]m ) ⊆ Π−1 ( BX ( a, ε)).
Nghĩa là Π( BΛ (ω, 31m )) ⊂ BX ( a, ε). Do đó, Π liên tục.
Từ ii) và iii), ta có Π(Λ) = A nên Π là toàn ánh.
1.3.6 Định nghĩa ([4]). Cho ( X, d) là không gian mêtric đầy đủ. S =

( X, ( f k )k=1,n ) là IFS trên X và A là tập bất biến qua S. Khi đó, hàm
Π : Λ → A được xác định như trong Định lí 1.3.6 được gọi là phép
chiếu chính tắc từ không gian dịch chuyển Λ lên tập bất biến A.

19


Chương 2
Một số tính chất tôpô của các tập
Fractal
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả đạt được về
việc nghiên cứu một số điều kiện cần và điều kiện cần và đủ để tập
fratal sinh ra từ hệ hàm lặp hữu hạn trên không gian mêtric có một số
tính chất tôpô nào đó và các ví dụ minh họa.

2.1.

Tính liên thông và liên thông đường

2.1.1 Định lí ([4]). Cho ( X, d) là không gian mêtric đầy đủ, A là tập bất biến
của IFS S = ( X, ( f k )k=1,n ). Khi đó, các khẳng định sau là tương đương.
1. Ai = f i ( A) liên thông đường với mỗi i ∈ {1, 2, ..., n}.
2. Ai = f i ( A) liên thông với mỗi i ∈ {1, 2, ..., n}.
3. Aω = f i1 ◦ f i2 ◦ ... ◦ f im ( A) liên thông đường với m ∈ N∗ .
4. Aω = f i1 ◦ f i2 ◦ ... ◦ f im ( A) liên thông với m ∈ N∗ .

Chứng minh. Từ Nhận xét 1.1.8(i) ta có 1) ⇒ 2) và 3) ⇒ 4).
Rõ ràng ta có 3) ⇒ 1) và 4) ⇒ 2).

20


Do đó ta cần chứng minh
1) ⇒ 3)
2) ⇒ 1).
Trước hết, ta chứng minh 1) ⇒ 3). Ta chứng minh Ai liên thông đường
với mọi i = 1, n thì Aω liên thông đường với mọi m ∈ N ∗ , ω =
ω1 ω2 ...ωm và Aω = f ω1 ◦ f ω2 ◦ ... ◦ f ωm ( A).
Ta chứng minh quy nạp theo m.
+) Với m = 1 có 1) thì 3) đúng.
+) Với m ≥ 2, giả sử ω = i1 i2 ...im Khi đó,
Aω = f ω ( A) = f i1 i2 ...im−1 ( f im ( A)) = f i1 i2 ...im−1 ( Aim ).
Vì Aim liên thông đường theo 1) và f i1 i2 ...im−1 liên tục nên Aω liên thông
đường.

n

Ta chứng minh 2) ⇒ 1). Ta có A =

j =1
n

Ai = f i ( A ) = f i (

A j nên
n

Aj) =
j =1

n

fi ( Aj ) =
j =1

Ai j .
j =1

Vì A j liên thông và f i liên tục nên Ai j = f i ( A j ) liên thông.
Đặt
P ={ f : A × A × [0, 1] → A : f ( Ai × Ai × [0, 1]) ⊂ Ai ,
f ( p, q, 0) = p; f ( p, q, 1) = q với ( p, q) ∈ Ai × Ai và i ∈ {1, ..., n}}.
Trên P ta xác định một mêtric như sau: Với f , g ∈ P ta có
d P ( f , g) =

{d( f ( x, y, t), g( x, y, t))}

sup
( x,y,t)∈ A× A×[0,1]

Suy ra ( P, d P ) là không gian mêtric đầy đủ.
Lấy i ∈ {1, 2, ..., n} cố định, với mỗi ( p, q) ∈ Ai × Ai luôn tồn tại n p,q ∈
p,q

p,q

{1, 2, ..., n} và {ik }k=0,n p,q −1 ⊂ {1, 2, ..., n} và { xk }k=0,n p,q ⊂ Ai sao
21


p,q

p,q

p,q

p,q

cho p = x0 ; q = xn p,q và xk , xk+1 ∈ Aii p,q , ∀k ∈ {0, 1, ..., n p,q − 1}.
k

Bây giờ, với mỗi f ∈ P ta xác định một hàm T f ∈ P như sau:
p,q

p,q

T f ( p, q, t) = f i ( f (yk , zk , n p,q .t − k))
p,q

k∈

{0, 1, ..., n p,q

p,q

p,q

∈ f i−1 ( xk ) ∈ Ai p,q ; zk

với ∀t ∈ [ n kp,q ; kn+p,q1 ]; yk

k

p,q

∈ f i−1 ( xk+1 ) với mỗi

− 1}.

Ta kí hiệu T fo = f ; T fm = T f ◦ T f ◦ ... ◦ T f với m ∈ N ∗ . Khi đó,
d P ( T f , Tg ) ≤ c.d P ( f , g) và bằng quy nạp ta chứng minh được d P ( T fm , Tgm ) ≤
cm .d P ( f , g) → 0 khi n → ∞ với mọi f , g ∈ P.
Suy ra tồn tại f ∗ ∈ P để T fm → f ∗ khi m → ∞ (vì nó là dãy Cauchy
trong không gian mêtric đầy đủ).
Kí hiêu:
ωt ( f ) = lim

sup

ε→0 x,y∈(t−ε;t+ε)

d( f ( x, f (y)) là giao độ của f ∈ P tại t ∈

[0; 1];
f p,q (t) = f ( p, q, t) với ( p, q, t) ∈ Ai × Ai × [0, 1];
Ω( T f ) =

sup
( p,q,t)∈ Ai × Ai ×[0,1]

ωt ( T f p,q ).

Từ đó ta có
Ω( T f ) ≤ Lip( f i ).

sup

ωt ( f p,q ) ≤ c.Ω( f ).

( p,q,t)∈ Ai × Ai ×[0,1]

Bằng quy nạp ta có: Ω( T fm ) ≤ cm .Ω( f ) → 0 khi m → ∞.
Suy ra Ω( f ∗ ) = 0 và do đó f ∗ liên tục theo t.
Do đó f ∗ liên tục gữa p và q.
Vậy Ai liên thông đường.
2.1.2 Nhận xét. Cho ( X, d) là không gian mêtric đầy đủ, S = ( X, ( f i )i=1,n )
là IFS và A là tập bất biến của S. Với mỗi i ∈ {1, ..., n} nếu Ai liên thông
thì A =

n

i =1

f i ( A) =

n

i =1

Ai nên A có hữu hạn thành phần liên thông.

Sau đây là một số ví dụ
2.1.3 Bổ đề ([4]). Cho không gian mêtric đầy đủ ( X, d), S = ( X, ( f k )k=1,n )
22