Về iđêan cạnh của siêu đồ thị và một số ứng dụng trong tổ hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐÀO VĂN THOẠI

VỀ IĐÊAN CẠNH CỦA SIÊU ĐỒ THỊ
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TỔ HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐÀO VĂN THOẠI

VỀ IĐÊAN CẠNH CỦA SIÊU ĐỒ THỊ
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TỔ HỢP

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. THIỀU ĐÌNH PHONG

Nghệ An - 2015

MỤC LỤC

Mục lục

3

Mở đầu

4

1 IĐÊAN ĐƠN THỨC VÀ SIÊU ĐỒ THỊ

6

1.1. Iđêan đơn thức

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2

Đối ngẫu Alexander của iđêan đơn thức . . . . . . . . . . .

9

1.2. Phân tích nguyên sơ và iđêan nguyên tố liên kết

. . . . . . . . . . 10

1.2.1

Iđêan đơn thức bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2

Phân tích nguyên sơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Siêu đồ thị

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 SỐ MÀU VÀ CHU TRÌNH LẺ TRONG ĐỒ THỊ

18

2.1. Số màu đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Chu trình lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ ĐỒ THỊ HOÀN HẢO

29

3.1. Đồ thị hoàn hảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2. Iđêan nguyên tố liên kết và đồ thị hoàn hảo

. . . . . . . . . . . . 38

Kết luận

45

Tài liệu tham khảo

46

3


MỞ ĐẦU

Cho V = {x1 , . . . , xn } là tập các đỉnh và E là tập các cạnh của siêu đồ thị G,
viết G = (V, E). Đặt S = K[V ] = K[x1 , . . . , xn ], trong đó K là một trường. Ta có
thể đồng nhất đơn thức không chính phương xi1 . . . xis với tập {xi1 , . . . , xis } của
các đỉnh. Mỗi cạnh của G tương ứng với một đơn thức m ∈ S theo cách này, vì
vậy ta có thể biểu thị các cạnh của siêu đồ thị bởi các đơn thức m. Các nhà toán
học đã nghiên cứu các tính chất của đồ thị G thông qua các tính chất của iđêan
sinh bởi các cạnh với phần tử sinh là các đơn thức được đồng nhất với các cạnh
của siêu đồ thị nói trên và được gọi là iđêan cạnh của siêu đồ thị G = (V, E), ký
hiệu I(G) = (m | m ∈ E) ⊂ S.
Với mỗi siêu đồ thị G, số màu và chu trình của G đặc trưng những tính chất
tổ hợp của đồ thị. Các nhà toán học đã chỉ ra các mối liên hệ chặt chẽ giữa các
khái niệm tổ hợp này với các tính chất của iđêan liên kết của đồ thị như iđêan
cạnh, iđêan phủ cũng như mối liên hệ của đồ thị đầy đủ với chúng.

Trên cơ sở đó, chúng tôi chọn đề tài "Về iđêan cạnh của siêu đồ thị và
một số ứng dụng trong tổ hợp" để tìm hiểu một cách có hệ thống về các
tính chất đại số của iđêan cạnh của siêu đồ thị và các ứng dụng của chúng trong
việc đặc trưng các tính chất tổ hợp của một siêu đồ thị.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận
văn được chia thành 3 chương.
Chương 1. Iđêan đơn thức và siêu đồ thị. Trong chương này, chúng tôi
trình bày các khái niệm cơ bản về iđêan của vành đa thức nhiều biến (tập trung
là iđêan đơn thức). Chúng tôi còn trình bày một số tính chất quan trọng về
iđêan đơn thức cũng như đối ngẫu Alexander của iđêan đơn thức, sự phân tích
iđêan đơn thức thành các iđêan đơn thức bất khả quy và iđêan nguyên tố liên
kết của iđêan đơn thức. Mục 1.3 đề cập đến các khái niệm cơ bản về siêu đồ thị,
iđêan cạnh và iđêan phủ của siêu đồ thị cũng như mối liên hệ giữa chúng.
Chương 2. Số màu và chu trình lẻ trong đồ thị. Nội dung của chương
4


này là trình bày các khái niệm về số màu, chu trình lẻ của đồ thị G, các định
lý, các thuật toán đại số để tính toán số lượng màu sắc χ(G) dựa trên bất biến
đại số và tính chất của iđêan cạnh I(G), iđêan phủ J(G) cũng như xác định các
chu trình lẽ cảm sinh dựa vào iđêan nguyên tố liên kết của J(G)2 .
Chương 3. Iđêan nguyên tố liên kết và đồ thị hoàn hảo. Chương này
chúng tôi trình bày các khái niệm liên quan đến đồ thị hoàn hảo và làm rõ một
đồ thị có đặc điểm như thế nào thì được gọi là đồ thị hoàn hảo thông qua định
lý đồ thị hoàn hảo mạnh. Trong chương này, chúng tôi cũng trình bày về mở
rộng thứ s của siêu đồ thị, cách xác định iđêan nguyên tố kiên kết của lũy thừa
của iđêan phủ. Từ đó, trình bày cách xác định đồ thị hoàn hảo dựa vào một đồ
thị cảm sinh từ các đỉnh là các biến của iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa
của iđêan phủ.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo TS. Thiều

Đình Phong đã hướng dẫn tận tình giúp tôi hoàn thành luận văn. Sự chỉ bảo
ân cần của thầy trong suốt quá trình viết luận văn đã giúp tôi có ý thức trách
nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại
học Vinh về những bài giảng, những ý kiến đóng góp sâu sắc cụ thể, cùng toàn
thể đồng nghiệp bạn bè người thân đã góp ý, giúp đỡ, động viên trong suốt quá
trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã hết sức cố gắng, song do năng lực và thời gian còn hạn chế nên
chắc chắn luận văn không thể tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong được
sự góp ý, chỉ bảo của các Thầy cô, bạn bè đồng nghiệp và các độc giả quan tâm.
Xin chân thành cảm ơn!

5


CHƯƠNG 1
IĐÊAN ĐƠN THỨC VÀ SIÊU ĐỒ THỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về iđêan của
vành đa thức n biến. Chúng tôi còn trình bày một số tính chất quan trọng về
iđêan đơn thức cũng như đối ngẫu Alexander của iđêan đơn thức, sự phân tích
iđêan đơn thức thành các iđêan đơn thức bất khả quy và iđêan nguyên tố liên
kết của iđêan đơn thức. Chúng tôi cũng đề cập đến các khái niệm cơ bản về siêu
đồ thị, iđêan cạnh và iđêan phủ của siêu đồ thị cũng như mối liên hệ giữa chúng.

1.1

Iđêan đơn thức

1.1.1

Khái niệm cơ bản

Cho K là một trường và x1 , ..., xn , (n ≥ 1) là các biến. Ta gọi đơn thức là biểu
thức có dạng xa11 ...xann , trong đó (a1 , ..., an ) ∈ Nn và được gọi là một bộ số mũ của
đơn thức.
Phép nhân trên tập hợp các đơn thức được định nghĩa như sau
(xa11 ...xann )(xb11 ...xbnn ) = (xa11 +b1 ...xann +bn ).

Từ là biểu thức có dạng αx1a1 ...xann , trong đó α ∈ K gọi là hệ số của từ.
Để cho tiện ta ký hiệu x = (x1 , ..., xn ), a = (a1 , ..., an ) và xa = xa11 ...xann . Đơn
thức xa = xa11 ...xann gọi là đơn thức không chính phương nếu tất cả các thành
phần ai của a chỉ nhận giá trị là 0 hoặc 1. Đa thức n biến x1 , . . . , xn trên trường
K là một tổng hình thức các từ
α a xa ,

f (x) =
a∈Nn

trong đó chỉ có một số hữu hạn αa = 0. Từ αa xa với αa = 0 được gọi là từ của
đa thức f (x).
6


Phép cộng đa thức được định nghĩa như sau:
α a xa

βa xa

+

a∈Nn

(αa + βa )xa .

=

a∈Nn

a∈Nn

Phép nhân đa thức được định nghĩa như sau:
αa xa

β a xa

.

a∈Nn

a∈Nn

γa xa

=

,

a∈Nn

trong đó
γa =

α b βc .
b,

c∈Nn ;b+c=a

Tập tất cả các đa thức với hai phép toán trên lập thành một vành giao hoán
với phần tử đơn vị là đa thức 1. Vành này được ký hiệu K [x1 , x2 , ..., xn ].
Định nghĩa 1.1.1. Vành S = K [x1 , x2 , ..., xn ] được xây dựng như trên được gọi
là vành đa thức n biến trên trường K .
Định nghĩa 1.1.2. Cho I là một vành con của vành R. Khi đó I được gọi là
iđêan của vành R nếu ar ∈ I với ∀r ∈ R, ∀a ∈ I . Một iđêan I

R được gọi là

một iđêan thực sự của vành R.
Định nghĩa 1.1.3. Cho I = R là một iđêan của vành R. Khi đó
(i) I được gọi là iđêan nguyên tố nếu ∀x, y ∈ R mà xy ∈ I và x ∈
/ I thì y ∈ I .
(ii) I được gọi là iđêan nguyên sơ nếu ∀x, y ∈ R mà xy ∈ I và x ∈
/ I thì tồn tại
số tự nhiên m sao cho y m ∈ I .
Ví dụ 1.1.4. Cho I = mZ là một iđêan của vành các số nguyên Z. Khi đó
1. I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi m = 0 hoặc m là số nguyên tố.
2. I là iđêan nguyên sơ khi và chỉ khi m = 0 hoặc m = pk , trong đó p là số
nguyên tố và k ∈ N∗ .
Dựa vào định nghĩa cũng như qua ví dụ này ta có thể thấy ngay rằng. Một iđêan
I của vành R nếu là iđêan nguyên tố thì cũng là iđêan nguyên sơ.

Ví dụ 1.1.5. Cho iđêan I = (x1 , x2 ) ⊂ K[x1 , x2 , x3 ]. Khi đó I là một iđêan
nguyên tố. Thật vậy, để chứng minh I là iđêan nguyên tố ta sẽ chứng minh
7


∀f, g ∈ K[x1 , x2 , x3 ] mà f, g ∈
/ I thì f g ∈
/ I . Do ∀f, g ∈ K[x1 , x2 , x3 ] mà f, g ∈
/ I

nên ta có thể phân tích như sau:
f = f1 (x1 , x2 , x3 ) + f0 (x3 )
g = g1 (x1 , x2 , x3 ) + g0 (x3 )

trong đó f1 (x1 , x2 , x3 ), g1 (x1 , x2 , x3 ) ∈ I và f0 (x3 ) = 0, g0 (x3 ) = 0 . Từ đó suy ra
fg ∈
/ I . Vậy I là một iđêan nguyên tố của vành .

Trong trường hợp vành đa thức 1 biến K[x] trên trường K . Iđêan I = (f ), với
f = f (x) là đa thức theo biến x có degf ≥ 1 bất khả quy trên trường K và iđêan

0 là các iđêan nguyên tố.
Cho S = K[x1 , . . . , xn ] là vành đa thức n biến trên trường K . Tập Mon(S ) các
đơn thức của S là một cơ sở của S trên trường K . Nói cách khác mỗi đa thức
f ∈ S được biểu thị duy nhất như là một tổ hợp tuyến tính của các đơn thức
au u, với au ∈ K. Khi đó ta gọi tập

trên trường K có dạng f =
u∈Mon(S)

supp(f ) = {u ∈ Mon(S) : au = 0}
là giá của f .
Định nghĩa 1.1.6. Iđêan I ⊂ S được gọi là iđêan đơn thức nếu nó được sinh
bởi các đơn thức. Nếu các đơn thức sinh ra iđêan đơn thức I là đơn thức không
chính phương thì I được gọi là iđêan đơn thức không chính phương.
Ví dụ 1.1.7. Iđêan I = (x1 x2 , x2 x3 , x4 ) ⊂ S là iđêan đơn thức không chính
phương của vành S .
Các iđêan đơn thức có thể được đặc trưng bởi một số tính chất sau.
Bổ đề 1.1.8. Cho I ⊂ S là một iđêan. Các điều kiện sau đây là tương đương:
(a) I là một iđêan đơn thức;
(b) Với mọi f ∈ S ta có: f ∈ I ⇔ supp(f ) ⊂ I .
Mệnh đề 1.1.9. Cho {u1 , . . . , um } là một hệ các đơn thức sinh của iđêan đơn
thức I . Khi đó đơn thức v ∈ I nếu và chỉ nếu tồn tại một đơn thức w và 1 ≤ i ≤ m
sao cho v = wui .
Mệnh đề 1.1.10. Mỗi iđêan đơn thức có một hệ sinh đơn thức tối tiểu duy
nhất. Chính xác hơn, ký hiệu G là tập các đơn thức là tối tiểu với quan hệ chia
hết. Khi đó, G là tập các đơn thức sinh tối tiểu duy nhất.
Ta biểu thị tập các đơn thức sinh tối thiểu của I bởi gens(I).
8


1.1.2

Đối ngẫu Alexander của iđêan đơn thức

Định nghĩa 1.1.11. Với một iđêan đơn thức không chính phương I ⊂ S , đối
ngẫu Alexander của I là iđêan xác định bởi
I∨ =

pm ,
m∈gens(I)

trong đó pm = (xi | xi ∈ m) là iđêan nguyên tố được tạo ra bởi các biến của m.
Ví dụ 1.1.12. Cho I = (x1 x2 , x1 x3 ) ⊂ K[x1 , x2 , x3 ]. Khi đó đối ngẫu Alexander
của I là
I ∨ = (x1 , x2 ) ∩ (x1 , x3 ) = (x1 , x2 x3 ).

Ngoài đối ngẫu Alexander ở trên, chúng ta còn có đối ngẫu Alexander suy
rộng cho một iđêan đơn thức bất kỳ. Chúng tôi trình bày khái niệm này ở đây
dựa theo tài liệu tham khảo [8] của Miller và Sturmfels.
Cho a và b là các vectơ trong Nn mà bi ≤ ai với mỗi i. Như trong [8, Definition
5.20], ta định nghĩa vectơ a \ b là vectơ có tọa độ thứ i được cho bởi

ai \ b i =

ai + 1 − bi nếu bi ≥ 1

nếu bi = 0.

0

Định nghĩa 1.1.13. Cho a ∈ Nn , và cho I là một iđêan đơn thức sao cho tất
cả các phần tử sinh tối thiểu của I chia hết xa . Đối ngẫu Alexander của I tương
ứng với a là iđêan
I [a ] =

a \b1

(x11

a \bn

, . . . , xnn

).

xb ∈gens(I)

Ví dụ 1.1.14. Cho iđêan đơn thức I = (x21 , x22 , x1 x2 ) ⊂ S và 2 = (2, 2, . . . , 2) ∈ Nn .
Khi đó các đơn thức sinh tối thiểu của I là gens(I) = {x21 , x22 , x1 x2 } đều chia hết
x2 = x21 x22 . . . x2n . Theo định nghĩa đối ngẫu Alexander tương ứng với a của I ta

có
I [2] = (x21 , x22 ) ∩ (x1 ) ∩ (x2 ) = (x21 , x22 ) ∩ (x1 x2 ) = (x21 x2 , x1 x22 ).

Nhận xét 1.1.15. Đối với các iđêan đơn thức không chính phương, ta thu được
đối ngẫu Alexander thông thường bằng cách lấy a = 1 trong Định nghĩa 1.1.13,
tức là a là vectơ với tất cả các thành phần bằng 1.
Thật vậy, với một iđêan đơn thức không chính phương I ⊂ S và a = 1, tức là
các thành phần đều bằng 1 thì tất cả các đơn thức sinh tối thiểu xb của I đều
9


chia hết x, tức là tập các đơn thức sinh tối thiểu đều là tập các đơn thức không
chính phương. Điều này dẫn đến các bi của b nhận giá trị 0 hoặc 1. Theo cách
xác định ai \ bi ta thu được nếu bi = 0 thì ai \ bi = 0 (đơn thức sinh không chứa
biến xi ) còn nếu bi = 1 thì ai \ bi = 1. Do đó các iđêan sinh bởi các lũy thừa các
biến trong Định nghĩa 1.1.13 là các iđêan nguyên tố ở Định nghĩa 1.1.11. Vậy
I [1 ] = I ∨ .

Theo Định nghĩa 1.1.11, ta thấy rằng đối ngẫu Alexander đồng nhất các phần
tử sinh tối tiểu của iđêan không chính phương với các iđêan nguyên tố liên kết
với đối ngẫu của nó. Tương tự, đối ngẫu Alexander suy rộng đồng nhất các phần
tử sinh tối tiểu của iđêan đơn thức không chính phương với các thành phần bất
khả quy của đối ngẫu của nó.

1.2
1.2.1

Phân tích nguyên sơ và iđêan nguyên tố liên kết
Iđêan đơn thức bất khả quy

Định nghĩa 1.2.1. Một iđêan đơn thức gọi là bất khả quy nếu nó có dạng
I = xe11 , . . . , xenn với ei ∈ Z>0 ∪ {∞} (quy ước x∞
i = 0).

Định nghĩa 1.2.2. Cho I là một iđêan đơn thức. Một phân tích bất khả quy
của I là một phân tích thu gọn có dạng
I=

Qj ,

với Qj là các iđêan bất khả quy. Chúng ta gọi Qj là các thành phần bất khả quy
của I . Bằng Hệ quả 1.2.5 dưới đây ta sẽ thấy rằng không có sự lựa chọn cho sự
phân tích. Vì vậy, các thành phần bất khả quy là một bất biến của iđêan.
Đối ngẫu Alexander có một tính chất đặc biệt được suy ra trực tiếp từ [9,
Corollary 2.6 ] của Sturmfels and Sullivant và được phát biểu bằng mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.2.3. Cho I là một iđêan đơn thức, và a là một vectơ với thành phần
đủ lớn mà tất cả các phần tử sinh tối thiểu của I chia hết xa . Khi đó (I [a] )[a] = I .

Ví dụ 1.2.4. Cho I = (x21 , x22 , x1 x2 ) ⊂ S . Với 2 = (2, 2, . . . , 2) ∈ Nn , khi đó các đơn
thức sinh tối thiểu của I là gens(I) = {x21 , x22 , x1 x2 } đều chia hết x2 = x21 x22 . . . x2n .
Theo định nhĩa Alexander tương ứng với a của I ta có:
I [2] = (x21 , x22 ) ∩ (x1 ) ∩ (x2 ) = (x21 , x22 ) ∩ (x1 x2 ) = (x21 x2 , x1 x22 ).
10


Lúc này gens(I[2] ) = {x21 x2 , x1 x22 }. Ta có:
(I [2] )[2] = (x1 , x22 ) ∩ (x21 , x2 ) = (x21 , x1 x2 , x21 x22 , x22 ) = (x21 , x1 x2 , x22 ) = I.

Hệ quả 1.2.5. Mỗi iđêan đơn thức đều có một sự phân tích bất khả quy duy
nhất.
Chứng minh. Cho iđêan đơn thức I ⊂ S và a là một vectơ với thành phần đủ
lớn mà tất cả các phần tử sinh tối thiểu của I chia hết xa . Khi đó (I [a] )[a] = I .
Theo đối ngẫu Alexander của I tương ứng với a, ta có I [a] là giao của các iđêan
đơn thức bất khả quy sinh bởi lũy thừa các biến của các đơn thức sinh tối thiểu
của I . Nên I [a] có duy nhất một phân tích bất khả quy. Đặt J = I [a] , khi đó
I = J [a] cũng có một phân tích bất khả quy duy nhất.

Ví dụ 1.2.6. Cho I = x21 x2 , x21 x23 , x22 , x2 x23 . Khi đó
I = x21 , x21 x23 , x22 , x2 x23 ∩ x2 , x21 x23 , x22 , x2 x23 = x21 , x22 , x2 x23 ∩ x2 , x21 x23
= x21 , x22 , x2 ∩ x21 , x22 , x23 ∩ x2 , x21 ∩ x2 , x23
= x21 , x22 , x23 ∩ x21 , x2 ∩ x2 , x23 .

Nếu I là một iđêan đơn thức không chính phương, phương pháp trên cho
ta tất cả các iđêan đơn thức bất khả quy xuất hiện trong giao của I có dạng
(xi1 , ..., xik ). Các iđêan đơn thức sinh bởi các biến này là các iđêan đơn thức

nguyên tố. Do đó, ta có tính chất sau.
Hệ quả 1.2.7. Một iđêan đơn thức không chính phương là giao của các iđêan

đơn thức nguyên tố.
Ví dụ 1.2.8. Cho I = (x1 x2 , x2 x3 , x1 x3 ), là một iđêan đơn thức không chính
phương. Bằng phương pháp nêu trên ta phân tích được:
I = (x1 x2 , x2 x3 , x1 ) ∩ (x1 x2 , x2 x3 , x3 )
= (x1 , x1 x2 , x2 ) ∩ (x1 , x1 x2 , x3 ) ∩ (x3 , x1 x2 , x2 ) ∩ (x3 , x1 x2 , x3 )
= (x1 , x2 ) ∩ (x1 , x3 ) ∩ (x1 , x2 , x3 ) ∩ (x3 , x2 , x1 ) ∩ (x3 , x2 ) ∩ (x3 , x1 )
= (x1 , x2 ) ∩ (x1 , x3 ) ∩ (x2 , x3 ) ∩ (x1 , x2 , x3 ).

Tức I là giao của các iđêan nguyên tố.

11


1.2.2

Phân tích nguyên sơ

Cho R là vành Noetherian và M là một R- môđun hữu hạn sinh. Một iđêan
nguyên tố P ⊂ R gọi là một iđêan nguyên tố liên kết của M , nếu tồn tại một
phần tử x ∈ M, x = 0 sao cho P = Ann(x). Ở đây Ann(x) là tập các linh hóa
tử của x, được xác định bởi Ann(x) = {a ∈ R : ax = 0}. Tập các iđêan nguyên tố
liên kết của M ký hiệu là Ass(M ).
Một iđêan nguyên tố P ⊂ R được gọi là một iđêan nguyên tố tối giản của M ,
nếu MP = 0 và với mỗi iđêan nguyên tố Q chứa thực sự trong P ta có MQ = 0.
Quan sát rằng P là một iđêan nguyên tố tối giản của R/I nếu và chỉ nếu I ⊂ P ,
và không có iđêan nguyên tố I ⊂ Q mà chứa thực sự trong P . Chúng ta biết
rằng Ass(M ) là một tập hữu hạn bao gồm tất cả các iđêan nguyên tố tối giản
của M .
Nhắc lại rằng một iđêan I trong một vành Noetherrian R là P - nguyên sơ,
nếu Ass(R/I) = {P }. Để tiện trong việc trình bày, người ta thường viết Ass(I)

thay vì Ass(R/I).
Mệnh đề 1.2.9. Iđêan bất khả quy xai11 , . . . , xaikk là p-nguyên sơ, trong đó p =
(xi1 , . . . , xik ).

Chứng minh. Cho Q = xai11 , . . . , xaikk và P = (xi1 , . . . , xik ). Từ P là iđêan nguyên
tố tối giản của Q, suy ra rằng P ∈ Ass(Q).
Chú ý rằng P m ⊂ Q, vì m =

k
i=1 ai .

Cho nên P là iđêan nguyên tố tối giản

duy nhất chứa Q. Do đó nếu P là một iđêan nguyên tố liên kết của Q thì P ⊂ P .
Chúng ta có P = Q : (g), với đa thức g nào đó. Giả sử P = P . Khi đó P chứa
một đa thức f với tính chất là không có đơn thức u ∈ Supp(f ) nào chia hết cho
các biến số xij . Bởi vậy f là chính quy trên S/Q. Từ f g ∈ Q, chúng ta kết luận
rằng g ∈ Q và như thế Q : (g) = S , một sự mâu thuẫn.
Một biểu diễn của một iđêan I như là giao I =

r
i=1 Qi ,

trong đó mỗi Qi là

một iđêan nguyên sơ, thì được gọi là một phân tích nguyên sơ của I . Lưu ý rằng
I được gọi là iđêan nguyên sơ nếu nó có tập con X các biến; sao cho các đơn

thức sinh tối thiểu của I chỉ chứa các biến trong X , đồng thời I phải chứa lũy
thừa nào đó của mỗi biến trong X .

Cho {Pi } = Ass(Qi ). Một phân tích nguyên sơ được gọi là một phân tích
nguyên sơ thu gọn nếu không một Qi nào có thể bị bỏ đi trong giao này và
12


nếu Pi = Pj với mọi i = j . Nếu I =

r
i=1 Qi

là một phân tích nguyên sơ thu

gọn của I , khi đó Qi được gọi là thành phần Pi -nguyên sơ của I , và ta có
Ass(I) = {P1 , . . . , Pr }. Các thành phần nguyên sơ tương ứng với một iđêan nguyên
tố tối giản của I là xác định duy nhất. Thật vậy, nếu P ∈ Ass(I) là một iđêan
nguyên tố tối giản của I , thì thành phần P -nguyên sơ của I là hạt nhân của
đồng cấu vành tự nhiên R → (R/I)P .
Mệnh đề 1.2.9 ngụ ý rằng sự phân tích của một iđêan thành các iđêan bất
khả quy là một phân tích nguyên sơ. Nhưng dĩ nhiên nó có thể không phải là
phân tích nguyên sơ thu gọn. Tuy nhiên, từ giao của các P -iđêan nguyên sơ lại
là P -nguyên sơ, chúng ta có thể xây dựng một sự phân tích nguyên sơ thu gọn
của iđêan đơn thức I từ giao I =

r
i=1 Qi ,

bằng cách lấy thành phần P -nguyên

sơ của I là giao của tất cả các Qi với Ass(Qi ) = {P }. Ví dụ tiếp sau đây minh
họa cho điều đó.

Ví dụ 1.2.10. Iđêan I = x31 , x32 , x21 x32 , x1 x2 x23 , x22 x23 có biểu diễn thu gọn như là
giao của các iđêan bất khả quy
I = x31 , x32 , x23 ∩ x21 , x2 ∩ x1 , x22 .

Chúng ta có
Ass x21 , x2 = Ass x1 , x22 = {(x1 , x2 )} .
Lấy giao x21 , x2 và x1 , x22 chúng ta thu được (x1 , x2 )-iđêan nguyên sơ x21 , x1 x2 , x22
và ta có phân tích nguyên sơ thu gọn
I = x31 , x32 , x23 ∩ x21 , x1 x2 , x22 .

Từ sự phân tích nguyên sơ chuẩn, chúng ta có các hệ quả hiển nhiên sau
Hệ quả 1.2.11. Các iđêan nguyên tố liên kết của một iđêan đơn thức là các
iđêan nguyên tố đơn thức.
Hệ quả 1.2.12. Cho I ⊂ S là một iđêan đơn thức, và cho P ∈ Ass (I). Khi đó
tồn tại đơn thức v sao cho P = I : v .
Chứng minh. Từ P ∈ Ass (I), nên tồn tại f ∈ S sao cho P = I : f . Như vậy
với mỗi xi ∈ P chúng ta có xi f ∈ I . Từ I là một iđêan đơn thức, có nghĩa là
xi u ∈ I, ∀u ∈ Supp(f ). Từ đó suy ra rằng
P =I:f ⊂

u∈supp(f )

13

I : u.


Mặt khác, nếu g ∈
f = P . Vì vậy, P =

u∈supp(f ) I

: u, khi đó ug ∈ I, ∀u ∈ supp(f ) và do đó gf ∈ I :

u∈supp(f ) I

: u. Từ P là tối giản, suy ra rằng P = I : u với

một vài u ∈ Supp(f ).
Một trong những nội dung của luận văn này là trình bày sự khác nhau giữa
lũy thừa thông thường và lũy thừa hình thức của một iđêan đơn thức. Trước hết
chúng ta hiểu khái niệm lũy thừa hình thức của iđêan như sau: Với một iđêan
đơn thức không chính phương I , lũy thừa hình thức I (s) thứ s của I được xác
định bởi
I (s) =

ps .
p∈Ass(S/I)

Định nghĩa này có nghĩa bởi vì iđêan đơn thức không chính phương là giao của
các iđêan nguyên tố. Đối với các iđêan nói chung (thậm chí là các iđêan đơn
thức nói chung), định nghĩa là phức tạp. Về tổng quát, chúng ta có I ⊆ I (s) ,
nhưng bản chất chính xác của mối quan hệ giữa lũy thừa hình thức và lũy thừa
thông thường của một iđêan là lĩnh vực nghiên cứu rất thời sự.
Ví dụ 1.2.13. Cho iđêan I = (xy, xz) ⊂ S = K[x, y, z]. Để tính lũy thừa hình
thức I (5) trước hết ta tìm tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của S/I dựa vào
định lý phân tích nguyên sơ Lasker - Noerther của vành. Để ý rằng I = (xy, xz) là
iđêan không chính phương nên có sự phân tích thành giao của các iđêan nguyên
tố (Hệ quả 1.2.7):
I = (xy, xz) = (x) ∩ (y, z).

Do đó, I = (x)∩(y, z) là một phân tích nguyên sơ. Đặt p1 = (x); p2 = (y, z). Khi đó
(x) là - p1 nguyên sơ và (y, z) là - p2 nguyên sơ. Từ đó suy ra Ass(S/I) = {p1 , p2 }.

Vậy ta xác định lũy thừa hình thức thứ 5 của I là:
I (5) = p1 5 ∩ p2 5 = (x5 ) ∩ (y 5 , y 4 z, y 3 z 2 , y 2 z 3 , yz 4 , z 5 ).

1.3

Siêu đồ thị

Định nghĩa 1.3.1. Một siêu đồ thị (hypergraph) là một cặp G = (V, E), trong
đó V là một tập, được gọi là tập các đỉnh của G, và E là một tập hợp con của
2V , được gọi là tập các cạnh của G. Một siêu đồ thị được gọi là đơn nếu không

có cạnh nào chứa cạnh khác; các cạnh của một siêu đồ thị đơn có thể chỉ chứa
14


một đỉnh (ví dụ, cạnh bội). Tất cả các siêu đồ thị trong luận văn này đều được
giả thiết là đơn.
Một đồ thị là một siêu đồ thị trong đó mỗi cạnh có lực lượng đúng bằng hai
(có hai đỉnh). Các kiến thức của siêu đồ thị thường được đặc biệt hóa lên đồ thị
để kiểm tra các lớp đặc biệt, chẳng hạn như các chu trình và đồ thị đầy đủ.
Nếu W là một tập hợp con của V , thì một siêu đồ thị con cảm sinh của G
trên W là cặp (W, EW ), trong đó EW = E ∩ 2W là tập hợp các cạnh của G chỉ
chứa các đỉnh trong W.
Ví dụ 1.3.2. Cho đồ thị G = (V, E) gồm tập các đỉnh V = {a, b, c, d, e} và
tập các cạnh E = {ab, bc, cd, de, ae, ac, ce}. Đây là một đồ thị đơn. Xét tập các
đỉnh W = {a, c, d, e} ⊂ V và tập các cạnh của G chỉ chứa các đỉnh trong W là

EW = {ac, cd, de, ae, ce}. Khi đó, GW = (W, EW ) là đồ thị con cảm sinh của G

trên W .

Hình 1. Đồ thị G
Cho V = {x1 , . . . , xn } là tập các đỉnh. Đặt S = K[V ] = K[x1 , . . . , xn ], trong đó
K là một trường. Để thu gọn các ký hiệu, ta sử dụng ký hiệu sau bằng cách

đồng nhất các đơn thức không chính phương xi1 . . . xis với tập {xi1 , . . . , xis } của
các đỉnh. Nếu đơn thức m tương ứng với một cạnh của G theo cách này, ta cũng
sẽ ký hiệu cạnh đó bởi m.
Định nghĩa 1.3.3. Iđêan cạnh của một siêu đồ thị G = (V, E), ký hiệu bởi I(G),
là iđêan sinh bởi các đơn thức tương ứng với các cạnh của siêu đồ thị. Tức là
I(G) = (m | m ∈ E) ⊂ S.

Mặt khác, cho một iđêan đơn thức không chính phươngI ⊂ S , ta cho G(I) =
(V, gens(I)) là siêu đồ thị liên kết với I , trong đó gens(I) là tập các đơn thức sinh

tối thiểu của I .
15


Đơn thức mT =

xi ∈T

xi là một đơn thức tiêu chuẩn của I(G) nếu và chỉ nếu

T là một tập con độc lập của các đỉnh của G (tập các đỉnh không được nối với

nhau bởi bất kỳ cạnh nào).
Nếu k đơn thức tiêu chuẩn mTi , i = 1, . . . , k của I(G) thì

k
i=1 mTi

là đơn thức

tiêu chuẩn của I(G){k} .
Một phủ đỉnh của siêu đồ thị G là một tập con w các đỉnh của đồ thị sao cho
mỗi cạnh của đồ thị đều nối đến một đỉnh nào đó của w, tức là, w ∩ e = ∅ với
mọi cạnh e của G.
Chú ý là nếu w là một phủ đỉnh của G thì thêm một biến vào w ta có một
phủ đỉnh khác của G. Đặc biệt, nói một cách tối giản thì các phủ đỉnh sẽ hình
thành một iđêan của S bởi định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.3.4. Iđêan phủ của một siêu đồ thị G là iđêan xác định bởi
J(G) = (w | w phủ đỉnh của G).

Ví dụ 1.3.5. Iđêan cạnh của đồ thị G ở Ví dụ 1.3.2 là
I(G) = (ab, bc, cd, de, ae, ac, ce).

Tất cả các phủ đỉnh tối tiểu (số đỉnh trong phủ đỉnh là nhỏ nhất) của đồ thị G
là ace, acd, bce, bdc, abde nên iđêan phủ của đồ thị G là
J(G) = (ace, acd, bce, bdc, abde).

Trong thực tế, iđêan phủ thường được tính toán bằng cách sử dụng các tính
chất của đối ngẫu. Chẳng hạn, việc tính iđêan phủ của đồ thị G ở Ví dụ 1.3.5,
ta tính I ∨ với I = I(G). Khi đó, ta cũng thu được kết quả
J(G) = I ∨ = (ace, acd, bce, bdc, abde).

Đây cũng là nội dung của Mệnh đề 1.3.6 sẽ trình bày dưới đây.
Để ý rằng, nếu I = I(G) là một iđêan đơn thức không chính phương thì đối
ngẫu Alexander I ∨ của nó cũng là iđêan đơn thức không chính phương. Chúng
ta ký hiệu G∗ là siêu đồ thị ứng với I ∨ , và gọi G∗ là siêu đồ thị đối ngẫu của
G. Khi đó I ∨ = I(G∗ ). Iđêan cạnh và iđêan phủ của một siêu đồ thị liên hệ với

nhau bởi kết quả sau.
Mệnh đề 1.3.6. Iđêan cạnh và iđêan phủ của một siêu đồ thị là đối ngẫu với
nhau, tức là J(G) = I(G)∨ = I(G∗ ) (và I(G) = J(G)∨ ). Hơn nữa, tập sinh tối
16


thiểu của J(G) tương ứng với tập phủ đỉnh tối thiểu của G (các phủ mà không
có tập con thực sự nào là một phủ).
Chứng minh. Giả sử w là một phủ đỉnh. Khi đó
w ∩ e = ∅,

∀e ∈ E(G).

Do vậy w ∈ pe với mọi e ∈ E(G). Suy ra
pe = I(G)∨ .

w∈
e∈E(G)

Ngược lại, giả sử w ∈ I(G)∨ . Khi đó
pe = I(G)∨ .

w∈
e∈E(G)

Điều này có nghĩa, lấy bất kỳ cạnh e ta có w ∈ pe , tức là w ∩ e = ∅. Vậy, w là
một phủ.
Định nghĩa 1.3.7. Cho N là tập hợp các số nguyên không âm. Nếu G là một đồ
thị đơn trên n đỉnh, khi đó một vector khác không a = (a1 , . . . , an ) ∈ Nn là một
phủ đỉnh bậc k (hoặc một k -phủ ) nếu ai +aj ≥ k cho tất cả các cạnh xi xj ∈ E(G),
k−phủ là tổng quát của phủ.

Một k -phủ a là khả quy nếu tồn tại một i-phủ b ∈ Nn và một j -phủ c ∈ Nn
sao cho a = b + c và k = i + j . Nếu không tồn tại, chúng ta nói a là tối giản.
Ví dụ 1.3.8. Cho đồ thị đơn G gồm các cạnh {x1 x2 , x1 x3 , x2 x3 , x2 x4 , x3 x4 }. Khi
đó, a = (a1 , a2 , a3 , a4 ) là 2-phủ của G nếu
a1 + a2 ≥ 2; a1 + a3 ≥ 2; a2 + a3 ≥ 2; a2 + a4 ≥ 2; a3 + a4 ≥ 2.

Chẳng hạn, a = (1, 1, 1, 1) hoặc b = (1, 3, 3, 2) là các 2-phủ của G. Nhưng a là
2-phủ tối giản, b là 2-phủ khả quy (do b = (1, 3, 3, 2) = (0, 2, 2, 1) + (1, 1, 1, 1) phân
tích thành tổng của hai 1-phủ).

Hình 2. 2-phủ và 1-phủ
17


CHƯƠNG 2
SỐ MÀU VÀ CHU TRÌNH LẺ TRONG ĐỒ THỊ

Trong chương này, chúng ta xem xét việc làm thế nào để liên kết các tính
chất tổ hợp của lý thuyết đồ thị đơn của một siêu đồ thị G với các tính chất
của (lũy thừa của) iđêan cạnh và iđêan phủ của G. Chú ý rằng các kết quả liên
quan đến số màu trong chương này là giống nhau cho đồ thị và siêu đồ thị, vì
vậy ta có thể bỏ qua trường hợp siêu đồ thị và chỉ xem xét G là một đồ thị.

2.1

Số màu đồ thị

Định nghĩa 2.1.1. Cho G là một đồ thị và k là một số nguyên dương. Một k-tô
màu của G là một phép gán màu c1 , . . . , ck đến các đỉnh của G theo một cách
mà mỗi cạnh chứa 2 đỉnh có màu sắc khác nhau. Chúng ta nói rằng G là k-tô
màu được nếu một k-tô màu của G tồn tại, và số tô màu χ(G) của G là số k nhỏ
nhất mà G là k-tô màu được.
Nhận xét 2.1.2. Với các cạnh bội (loop) chỉ chứa một đỉnh, chúng không thể
chứa hai đỉnh có màu sắc khác nhau. Do đó trong định nghĩa trên ta chỉ xem
xét các cạnh với số đỉnh ít nhất là 2. Hơn nữa, do sự có mặt hay vắng mặt của
các cạnh bội không ảnh hưởng vào số màu của đồ thị, chúng ta giả sử trong suốt
phần này là tất cả các cạnh của đồ thị có số đỉnh ít nhất là hai.
Ví dụ 2.1.3. Cho G là đồ thị thu được bằng cách dán một hình ngũ giác với
một hình vuông dọc theo một cạnh, thể hiện trong Hình 3. Các iđêan cạnh của
G là I(G) = (ab, bc, cd, de, ae, ef, f g, dg). Rõ ràng G không thể là 2-tô màu được.

Và số tô màu của G là χ(G) = 3. Chẳng hạn, chúng ta có thể tô màu các đỉnh
a, c, g màu đỏ (Đ), đỉnh b, d, f màu vàng (V) và đỉnh e màu xanh (X).

18


Hình 3. Đồ thị G
Chú ý rằng đồ thị không là k-tô màu được khi và chỉ khi mọi phép gán k màu
cho các đỉnh của nó đều tồn tại ít nhất một cạnh đơn màu (có 2 đỉnh cùng màu).
Vì vậy, chúng ta cần phải kiểm tra đồng thời mọi phép gán màu lên đồ thị. Để
thực hiện công việc đó, ta giả sử Y1 , . . . , Yk là bản sao riêng biệt của các đỉnh:

Yi = {yi,1 , . . . , yi,n }. Ta xem Yi như là màu sắc thứ i, và các đỉnh của Yi được tô

màu với màu sắc này. Bây giờ ta đặt I(Yi ) là iđêan cạnh I = I(G), nhưng là với
các biến trong Yi thay vì trong V . Khi đó, một phép gán màu của G sẽ tương
ứng với một cách chọn sao cho mỗi đỉnh xj có màu của đỉnh yi,j , hay tương
đương với một đơn thức có dạng yi1 ,1 .yi2 ,2 . . . yin ,n . Đơn thức này là một cách tô
màu nếu và chỉ nếu nó không thuộc iđêan đơn thức I = I(Y1 ) + . . . + I(Yk ).Ví
dụ, nếu G có cạnh x2 x5 thì x2 và x5 không cùng màu, suy ra yi2 ,2 = yi5 ,5 hay
i2 = i5 . Suy ra đơn thức u không chia hết cho yi,2 yi,5 ∈ I(Yi ) với ∀i = 1, . . . , k .

Hay u ∈ I(Y1 ) + . . . + I(Yk ) = I˜. Đặc biệt, ta có G là một k-tô màu được khi và
chỉ khi tổng của tất cả các đơn thức như thế không nằm trong I .
Ký hiệu đơn thức m = x1 . . . xn , Tk = K[Y1 , . . . , Yk ], và đặt φk : S → Tk là đồng
cấu biến mỗi xi thành y1,i + . . . + yk,i . Khi đó φk (m) là tổng của tất cả các tô
màu. Với kí hiệu như trên, ta có một tính chất quan trọng về liên quan giữa số
màu và iđêan đơn thức như sau.
Bổ đề 2.1.4. G là một k-tô màu được khi và chỉ khi φk (m) ∈
/ I.
Định nghĩa 2.1.5. Cho I ⊂ S là một iđêan bất kỳ, và tiếp tục sử dụng tất cả
các ký hiệu trên. Đặt T = K[V, Y1 , . . . , Yk ] và coi S và Tk như các vành con của
T . Khi đó, ta định nghĩa lũy thừa cát tuyến thứ k của I là
I {k} = S ∩ I + ({xi − φk (xi )}) .

Từ Bổ đề 2.1.4 ta có định lí sau.
19


Định lí 2.1.6. G là một k-tô màu được nếu và chỉ nếu m ∈
/ I(G){k} . Đặc biệt,
χ(G) = min{k | m ∈

/ I(G){k} }.

Cho tập con các đỉnh T ⊆ V , ký hiệu mT =

xi ∈T

xi . Định lý 2.1.6 có thể

được suy ra trực tiếp từ mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.1.7. Số tô màu χ(G) của đồ thị G là số nguyên dương k nhỏ nhất
mà lũy thừa cát tuyến thứ k của I là I(G){k} = (0).
Chứng minh. Đơn thức mT =

xi ∈T

xi là một đơn thức tiêu chuẩn của I(G) nếu

và chỉ nếu T là một tập con độc lập của các đỉnh của G. Một k -tô màu là một
phân vùng T1 , . . . , Tk của các đỉnh của G mà mỗi Ti là một tập con độc lập của
các đỉnh của G. Một k -tô màu tồn tại nếu và chỉ nếu x1 x2 . . . xn =

k
i=1 mTi

là

một đơn thức tiêu chuẩn của I(G){k} nếu và chỉ nếu I(G){k} = (0).
Chứng minh của Mệnh đề 2.1.7 cho chúng ta một cách mô tả các phần tử
sinh tối tiểu của iđêan cát tuyến I(G){k} [9, Theorem 3.2].
Định lí 2.1.8. Iđêan cát tuyến I(G){k} thứ k của I(G) được sinh bởi các đơn

thức không chính phương mT mà GT không là k -tô màu được.
I(G){k} = (mT | χ(GT ) > k).

Ví dụ 2.1.9. Cho G và I như trong Ví dụ 2.1.3. Khi đó, I {1} = I và I {2} = (abcde)
cả hai đều chứa các đơn thức abcdef g . Tuy nhiên, I {3} = 0. Do đó G là 3-tô màu
được.
Ví dụ 2.1.10. Cho G và I(G) = (ab, bc, cd, de, ae, ac, ce) như trong Ví dụ 1.3.2.
Ta có:
I(G){1} = I(G) = (ab, bc, cd, de, ae, ac, ce)
I(G){2} = (abc, ace, cde).

Cả I(G){1} và I(G){2} đều chứa đơn thức abcde. Nhưng I(G){3} = (0) nên theo
Mệnh đề 2.1.7 ta có G là 3-tô màu được.
Chúng ta có thể đặc trưng số màu bằng cách dựa vào các lũy thừa của iđêan
phủ. Từ đó, cho một k-tô màu của G, tập các đỉnh mà không cùng màu với một
màu của các đỉnh chọn trước là một phủ đỉnh của G. Đặc biệt, một k-tô màu sẽ
20


cảm sinh ra k phủ đỉnh khác nhau, với mỗi phủ đỉnh tương ứng với việc bỏ đi
tất cả các đỉnh cùng tô một màu. Ngoài ra nếu chúng ta biểu thị các phủ đỉnh
đó là w1 , . . . , wk , chúng ta có w1 . . . wk = mk−1 . Đặc biệt, chúng ta có các kết quả
sau đây của Francisco, Hà và Van Tuyl.
Định lí 2.1.11. G là k-tô màu được khi và chỉ khi mk−1 ∈ J(G)k . Đặc biệt,
χ(G) = min {k | mk−1 ∈ J(G)k }.

Chứng minh. Giả sử J = J(G). Cho một k-tô màu. Giả sử wi là tập các đỉnh
được gán cùng một màu ngoại trừ i. Sau đó, mk−1 = w1 . . . wk ∈ J k . Ngược lại,
nếu mk−1 ∈ J k , ta có thể viết mk−1 = w1 . . . wk với mỗi wi là đơn thức không
chính phương trong J . Phép gán màu i đến phần bù của những wi mang lại một

k-tô màu. Khi đó
m
wi

=

mk
= m.
mk−1

Do đó tập đỉnh tương ứng với đơn thức

m
wi

là phân vùng Ti của G.

Ví dụ 2.1.12. Trong Ví dụ 2.1.3, cho m = abcdef g . Iđêan phủ của G là
J(G) = (abdf, acdf, bdef, aceg, bceg, bdeg).

Bởi vì J không chứa m0 = 1, G là không thể là 1-tô màu được. Tất cả 21 phần
tử sinh của J 2 có thể chứa các bình phương của một biến, do đó G cũng không
phải là 2-tô màu được. Như vậy J 2 không chứa m, vì vậy J không là 2-tô màu
được. Tuy nhiên, J 3 chứa m2 , do đó G là 3-tô màu được.
Chú ý 2.1.13. Người ta có thể dựa vào chứng minh Định lý 2.1.11 để xác định
b-lần số tô màu (b-fold chromatic number ) của một đồ thị. Kí hiệu χb (G), là số

lượng màu sắc tối thiểu cần thiết khi mỗi đỉnh được gán bộ b màu sắc, và hai
đỉnh liền kề phải có bộ màu rời nhau.
Định lí 2.1.14. Cho G là một đồ thị đơn hữu hạn với iđêan phủ J . Khi đó

χb (G) = min {k | mk−b ∈ J k }.

Chứng minh. Chúng ta sẽ chỉ ra χb (G) ≤ k nếu và chỉ nếu mk−b ∈ J k .
Giả sử, mk−b ∈ J k . Như vậy, tồn tại k phủ đỉnh W1 , . . . , Wk sao cho mk−b =
mW1 ...mWk .M . Với mỗi i = 1, . . . , k , đặt Ci = V \ Wi . Với mỗi j = 1, . . . , n, xj
xuất hiện nhiều nhất k − b lần của các Wi hoặc tương đương với xj xuất hiện ít
21


nhất b lần của các Ci . Ta nói rằng xj xuất hiện trong Ci1 , . . . , Cib , Cib+1 , . . . , Cia .
Chúng ta có thể liên kết xj đến bộ màu {i1 , . . . , ib }. Chúng ta cần các tô màu
này là một b-lần tô màu của G. Thật vậy, mỗi đỉnh vừa nhận b màu dẫn đến
nó thỏa mãn những đỉnh kề nhau nhận các tập màu phân biệt. Giả sử, cạnh
xj xk ∈ E(G), xi được tô màu {i1 , . . . , ib } và xk được tô màu {l1 , . . . , lb }. Nếu có

một p ∈ {i1 , . . . , ib } ∩ {l1 , . . . , lb } thì xj ∈ Cp và xk ∈ Cp . Nhưng Cp = V \ Wp là
tập độc lập. Điều này hoàn toàn đúng do Wp là một phủ đỉnh. Dẫn đến không
tồn tại cạnh xj xk (trái với giả thiết đặt ra). Vì thế, hai đỉnh xj , xk có bộ màu
rời nhau. Như vậy, χb (G) ≤ k .
Ngược lại, giả sử χb (G) = a ≤ k và G đã nhận một b-lần tô màu sử dụng a
màu, chọn {1, . . . , a}. Với mỗi i = 1, . . . , a, đặt
Wi = {xj ∈ V | xj không nhận màu i}.

Từ đây, tập các đỉnh trong một b-lần tô màu nhận màu i có dạng là một tập
độc lập và dạng của Wi là một phủ đỉnh. Do đó mWi ∈ J với mỗi i = 1, . . . , a.
Như vậy mW1 ...mWa ∈ J a . Từ đó, mỗi xj nhận đúng b màu phân biệt và mỗi
xj không thuộc b trong các Wi hoặc tương đương xj thuộc đúng a − b trong các
Wi . Nhưng điều này ngụ ý rằng mW1 ...mWa = ma−b ∈ J a . Mà m ∈ J , ta suy ra

mk−a ∈ J k−a . Do đó

ma−b mk−a = mk−b ∈ J a J k−a = J k .

Ví dụ 2.1.15. Cho G = C5 là một chu trình 5. Một 2-lần tô màu của G cho bởi

Hình 4. Chu trình C5 với χ2 (C5 ) = 5
Chúng ta thấy rằng cần ít nhất 5 màu được kí hiệu {1, 2, 3, 4, 5}. Ta có χ2 (G) = 5.
Như vậy, theo Định lý 2.1.14, ta có (x1 x2 x3 x4 x5 )3 ∈ J(G)5 .

22


2.2

Chu trình lẻ

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về chu trình lẻ
của đồ thị và liên hệ với các tính chất đại số của iđêan cạnh và các tính chất tổ
hợp khác.
Định nghĩa 2.2.1. Chu trình lẻ trong đồ thị là một chu trình có độ dài lẻ,
nghĩa là số cạnh mà chu trình đi qua (tính cả bội) là một số lẻ.
Khi nghiên cứu các tính chất đại số về số màu của đồ thị, một vấn đề cơ bản
đặt ra như sau:
Vấn đề 2.2.2. Tìm thuật toán đại số để tính toán số lượng màu sắc χ(G) dựa
trên bất biến đại số và tính chất của iđêan cạnh I(G).
Chúng ta sẽ giới hạn xét trường hợp khi G là một đồ thị (tức là, không phải
là một siêu đồ thị), và xem xét vấn đề xác định chu trình lẻ và lỗ lẻ trong G.
Để thuận tiện việc trình bày, tương tự các phần trước, chúng ta đặt I = I(G) và
J = J(G).

Đầu tiên, ta định nghĩa một đồ thị song tuyến tính là một đồ thị 2-tô màu

được hoặc tương đương một đồ thị không có chu trình lẻ. Từ đó ta có hai hệ
quả của Định lý 2.1.11 như sau:
Hệ quả 2.2.3. G là một đồ thị song tuyến tính khi và chỉ khi m ∈ J 2 .
Chứng minh. Về trực quan, đồ thị G là đồ thị song tuyến nếu tập các đỉnh của
nó có thể chia thành hai tập rời nhau sao cho mỗi đỉnh của tập này chỉ được nối
với các đỉnh của tập kia, nghĩa là không có cạnh nào nối hai đỉnh trong cùng
một tập. Cũng vì thế nên đồ thị song tuyến tính còn có định nghĩa là đồ thị
2-tô màu được hoặc đồ thị không có chu trình lẻ. Áp dụng Định lý 2.1.11 với
k = 2, J = J(G), ta có: G là một đồ thị song tuyến tính khi và chỉ khi m ∈ J 2 .

Hệ quả 2.2.4. Nếu G là một đồ thị, thì G chứa một chu trình lẻ khi và chỉ khi
m ∈ J 2.
Chứng minh. Dựa vào Hệ quả 2.2.3 và định nghĩa đồ thị song tuyến tính dễ
dàng suy ra: Đồ thị G chứa một chu trình lẻ khi và chỉ khi G không là đồ thị
song tuyến tính khi và chỉ khi m ∈ J 2 .
23


Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là chúng ta có thể xác định các chu trình lẻ hay
không. Trong thực tế, chúng ta có thể xác định các chu trình lẻ cảm sinh từ các
iđêan nguyên tố liên kết của J 2 .
Định nghĩa 2.2.5. Cho C = (xi1 , . . . , xis , xi1 ) là một chu trình trong G. Chúng
ta nói rằng C là một chu trình cảm sinh nếu đồ thị con cảm sinh của G trên
W = {xi1 , . . . , xis } không có các cạnh trừ những cạnh nối các đỉnh liên tiếp của
C . Một cách tương đương, C là chu trình cảm sinh nếu nó không có dây trương

cung.
Ví dụ 2.2.6. Xét đồ thị ở Ví dụ 2.1.3. G có chu trình cảm sinh (abcdea) và
(def gd). Nhưng (abcdgf ea) không phải là một chu trình cảm sinh, vì nó có dây

cung de.
Định lí 2.2.7. Cho G là một đồ thị với iđêan cạnh I . Khi đó, một đơn thức
không chính phương m là một phần tử sinh của I {2} nếu và chỉ nếu Gm là một
chu trình lẻ cảm sinh.
Phác thảo chứng minh. Nếu Gm là một chu trình lẻ cảm sinh, khi đó Gm và G
không là 2-tô màu. Mặt khác, nếu m ∈ I {2} , khi đó Gm không là 2-tô màu được
và do đó có một chu trình lẻ cảm sinh.
Bây giờ giả sử G là một chu trình trên (2l − 1) đỉnh. Không mất tính tổng
quát I = (x1 x2 , x2 x3 , . . . , x2l−1 x1 ). Khi đó, các phần tử sinh của J bao gồm (2l −1)
phủ đỉnh wi = xi xi+2 xi+4 . . . xi+2l−2 thu được bằng cách bắt đầu từ bất cứ đỉnh
nào trong chu trình và lấy mỗi đỉnh thứ hai cho đến khi chúng quấn xung quanh
để một đỉnh kề. (Ở đây chúng ta đã lấy chỉ số dưới là mod(2l-1)). Tất cả các
phần tử sinh khác có bậc cao hơn. Đặc biệt, các phần tử sinh của J đều có bậc
ít nhất là l. Vì vậy các phần tử sinh của J 2 có bậc ít nhất 2l. Như vậy J 2 không
chứa m, vì deg(m) = 2l − 1. Tuy nhiên, chúng ta có mxi = wi wi+1 ∈ J 2 với mọi
xi . Do đó m nằm trong tập đế của S/J 2 , và đặc biệt tập đế này là khác rỗng, vì

vậy p = (x1 , . . . , x2l−1 ) là iđêan liên kết của J 2 . Trong thực tế, ta cần tính toán
với mức độ khó vừa phải để chỉ ra một sự phân tích nguyên tố:
Mệnh đề 2.2.8. Cho G là chu trình lẻ trên x1 , . . . , x2 −1 . Khi đó:
2 −1
2

(xi , xi+1 )2 ∩ (x21 , . . . , x22

J =
i=1

24

−1 ).


Nhận xét 2.2.9. Mệnh đề 2.2.8 đã chỉ ra sự khác nhau giữa J 2 và J (2) khi
G là một chu trình lẻ. Tích của các biến m xuất hiện trong p2 cho tất cả các

p ∈ Ass(S/J), nhưng là biến mất từ J 2 . (Theo tổ hợp, điều này tương ứng với m
là một phủ đôi (phủ bậc 2) của G mà không thể được phân thành hai phủ đơn).
Như vậy m ∈ J (2) \ J 2 .
Định lí 2.2.10. Cho G là đồ thị đơn. Khi đó
i) Nếu G là đồ thị song tuyến tính thì G không có các 2-phủ bất khả quy.
ii) Nếu G không là đồ thị song tuyến tính và a là một 2-phủ mà không thể viết
thành tổng của hai 1-phủ. Khi đó (một số các đỉnh lấy hoán vị)
a = (0, . . . , 0, b1 , . . . , b|B| , 1, . . . , 1),
|A|

|B|

với một tập độc lập (có thể rỗng) A bất kỳ và một tập B ⊇ N (A), với N (A) =
{xj ∈ V \ A | ∃xi ∈ A, xi xj ∈ E(G)} sao cho:

(1) bj ≥ 2 ∀j = 1, . . . , |B|,
(2) B không là một phủ đỉnh của G và V = (A ∪ B) và
(3) Đồ thị cảm sinh trên C = V \ (A ∪ B) không là song tuyến tính.
Hơn nữa, nếu a là bất khả quy thì
a = (0, . . . , 0, 2, . . . , 2, 1, . . . , 1),
|A|

|B|

B = N (A) và đồ thị cảm sinh trên C = V \ (A ∪ B) không chứa các đỉnh cô

lập.
Chứng minh. (i) được suy ra từ phần (b) của [5, Theorem 5.1].
(ii) Đặt A là tập các đỉnh xi mà ai = 0. Khi đó a là một 2-phủ, cho bất kỳ
xi ∈ N (A), chúng ta phải có ai ≥ 2. Chúng ta cũng có thể chỉ ra trong B tất cả

các đỉnh xj ∈
/ N (A) mà aj ≥ 2. Rõ ràng B = N (A) thì (1) thỏa mãn.
Nếu B là một phủ đỉnh, khi đó a = (0, . . . , 0, c1 , . . . , c|B| , d1 , . . . , d|C| ), trong đó
ci ≥ 1 và dj ≥ 0 với mọi i, j là một 1-phủ của G. Do đó, a có thể được viết thành

tổng của hai 1-phủ (mâu thuẫn). Vì vậy, B không phải là phủ đỉnh của G. Điều
này cũng hàm ý rằng C khác rỗng, và (2) thỏa mãn.
Từ phần (b) của [5, Theorem 5.1] ta có nếu đồ thị con cảm sinh trên C là đồ
thị song tuyến tính, khi đó ta thừa nhận (1, . . . , 1) là một 2-phủ mà có thể được
25