Một số tính chất và ví dụ của đại số quỹ đạo leavitt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐÌNH NAM

MỘT SỐ TÍNH CHẤT VÀ VÍ DỤ
CỦA ĐẠI SỐ QUỸ ĐẠO LEAVITT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐÌNH NAM

MỘT SỐ TÍNH CHẤT VÀ VÍ DỤ
CỦA ĐẠI SỐ QUỸ ĐẠO LEAVITT

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. LÊ VĂN AN

Nghệ An - 2015

3

MỤC LỤC

Mục lục

3

Mở đầu

4

1 Một số khái niệm cơ bản

6

1.1. Đại số trên một trường, đại số quỹ đạo . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Vành chính quy, Π−chính quy, Π−chính quy mạnh
1.3. Đại số phân bậc

. . . . . . 13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Đại số Leavitt và đại số quỹ đạo Leavitt . . . . . . . . . . . . 14
2 Một số tính chất và ví dụ của đại số quỹ đạo Leavitt

18

2.1. Mô tả đại số quỹ đạo Leavitt cho một số kiểu đồ thị . . . . . . 18
2.2. Một số tính chất của đại số quỹ đạo Leavitt

. . . . . . . . . . 27

Kết luận

32

Tài liệu tham khảo

33


4

MỞ ĐẦU

Đại số Leavitt được nhà toán học W. G. Leavitt đưa ra năm 1962 trong
bài báo “The module type of a ring” trên tạp chí Tran. Amer. Math. Soc.
Sau đó, ông cùng một số chuyên gia trong lĩnh vực đại số Lie, C ∗ -Đại số
quan tâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả sâu sắc.
Đại số Leavitt có cấu trúc khá lạ so với các cấu trúc đại số kết hợp
đã biết trước đó, ví dụ Rn thường không đẳng cấu với Rm khi R là vành,
trong khi đó đại số Leavitt thì điều này lại xảy ra.
Năm 2004, Gene Abrams và học trò của ông là Gonzalo Aranda Pino
đã vận dụng tư tưởng của đại số Leavitt để đặc trưng cho các đồ thị có

hướng. Hai nhà toán học này đã xây dựng một đại số từ các đồ thị có
hướng và đặt tên cho đại số này là Đại số quỹ đạo Leavitt. Sau khi tìm
hiểu về vấn đề này họ đã đưa ra một ví dụ khẳng định được đại số Leavitt
là một trường hợp riêng của đại số quỹ đạo Leaviit, vì thế đại số quỹ đạo
Leavitt trở thành vấn đề thời sự được các nhà toán học quan tâm nghiên
cứu như G. Abram, G. Aranda Pino, Phạm Ngọc Ánh,... và đạt được nhiều
kết quả thú vị.
Việc tính toán các đại số quỹ đạo Leavitt trên các đồ thị có hướng sẽ
cho chúng ta biết được mối liên hệ của nó với một số đại số đã biết như
đại số Ma trận, đại số đa thức Laurent,... ngoài ra khi nghiên cứu các đồ
thị có hướng ta cũng sẽ đưa ra được tính chất của đại số quỹ đạo Leavitt
trên đồ thị đó.
Chính vì các lý do đó tôi chọn đề tài “Một số tính chất và ví dụ của đại
số quỹ đạo Leavitt” để nghiên cứu.
Nội dung của luận văn nghiên cứu về tính chất và mô tả một số ví dụ


5

của đại số quỹ đạo Leavitt. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham
khảo, nội dung của luận văn được chia thành hai chương. Chương 1: Kiến
thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ
sở của Đại số quỹ đạo Leavitt nhằm làm cơ sở cho việc trình bày nội dung
chính của luận văn ở Chương 2. Một số tính chất và ví dụ của đại số quỹ
đạo Leavitt. Trong chương này chúng tôi mô tả đại số quỹ đạo Leavitt cho
một số kiểu đồ thị và trình bày một số tính chất cơ bản của đại số quỹ
đạo Leavitt, gồm những nội dung sau:
2.1. Mô tả đại số quỹ đạo Leavitt cho một số kiểu đồ thị.
2.2. Một số tính chất của đại số quỹ đạo Leavitt.
Trong toàn bộ luận văn, luôn ký hiệu K là một trường và E là một đồ

thị có hướng.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
của TS. Lê Văn An. Tác giả xin được bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy,
người đã tận tình hướng dẫn, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tác
giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong Bộ
môn Đại số, các thầy cô giáo Khoa Toán đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao
học 21 chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số. Tác giả xin cảm ơn Ban chủ
nhiệm Khoa Sư phạm Toán học, Phòng Đào tạo Sau đại học, Ban Giám
hiệu - Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt
quá trình học tập tại trường. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn thầy cô
giáo tổ Toán, Ban chủ nhiệm Khoa sư phạm Tự nhiên, Ban Giám hiệu Trường Đại học Hà Tĩnh đã động viên, tạo điều kiện tốt nhất để cho tác
giả hoàn thành khóa học.
Nghệ An, tháng 09 năm 2015
Tác giả


6

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức về Đại số kết
hợp như: Đại số trên một trường, đại số quỹ đạo, đại số Leavitt, đại số
Cohn và đại số quỹ đạo Leavitt nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình
bày nội dung chính của Luận văn ở Chương 2. Các kết quả viết trong
chương này được tham khảo trong [1] và [3]. Trong toàn bộ luận văn K
luôn được giả thiết là một trường; E là một đồ thị có hướng, e(i, j) là ma
trận có phần tử hàng thứ i và cột thứ j bằng 1 và các phần tử còn lại đều

bằng 0.

1.1

Đại số trên một trường, đại số quỹ đạo

1.1.1 Định nghĩa. Một đại số trên trường K là một tập hợp không rỗng
A cùng với 3 phép toán, gồm
(a) Phép cộng:

+ : A × A → A,
(x, y) → x + y,
(b) Phép nhân:

× : A × A → A,
(x, y) → xy,
(c) Phép nhân với vô hướng (trong K ):

× : K × A → A,
(α, y) → αy;


7

Các phép toán này thỏa mãn những điều kiện sau đây:
(A1) A cùng với phép toán cộng và nhân cùng lập thành một vành.
(A2) A cùng với phép cộng và phép nhân vô hướng lập thành một không
gian vectơ trên K .
(A3) Hai cấu trúc vành và không gian vectơ ở trên A ràng buộc nhau bởi
điều kiện α(xy) = (αx)y = x(αy) với mọi α ∈ K, x, y ∈ A.

1.1.2 Ví dụ. (a) Mỗi trường mở rộng của K là một đại số trên K .
(b) Vành đa thức K[x] là một đại số trên trường K .
(c) Tập hợp Mn (K) các ma trận vuông cấp n với các phần tử trong K lập
nên một đại số trên K đối với các phép toán thông thường trên ma trận.
1.1.3 Định nghĩa. Một đồ thị có hướng là một bộ gồm 4 - thành phần

E = (E 0, E 1, r, s) trong đó E 0 là tập hợp các đỉnh, E 1 là tập hợp các cạnh
và các ánh xạ: r, s : E 1 → E 0 là các ánh xạ từ tập các cạnh đến tập các
đỉnh. Nếu e ∈ E 1 là một cạnh thì s(e), r(e) lần lượt được gọi là điểm đầu
và điểm cuối của e, khi đó ta cũng nói e đi từ s(e) đến r(e) và ký hiệu

e : s(e) → r(e).
Nếu s−1 (v) là hữu hạn với ∀v ∈ E 0 thì ta gọi đồ thị E là row - finite.
Đỉnh v với |s−1 (v)| vô hạn thì gọi là infinite emitter.
Đỉnh v với s−1 (v) = ∅ được gọi là sink.
Đỉnh v với r−1 (v) = ∅ được gọi là source.
Đỉnh v hoặc là sink hoặc là infinite emitter thì ta gọi v là đỉnh singular.
Các biểu thức Sink(E), Source(E), Reg(E), Inf (E) lần lượt kí hiệu
cho các tập đỉnh sink, source, regular, infinite emitter của E .
Một quỹ đạo có hướng µ = e1 e2 ...en của đồ thị E (gọi tắt là quỹ đạo) là
một dãy liên tiếp các cạnh ei ∈ E 1 , sao cho r(ei ) = s(ei+1 ), ∀i = 1, 2, .., n.
Ta gọi s(µ) = s(e1 ) là điểm gốc của µ, r(µ) = r(en ) là điểm ngọn của

µ và n = l(µ) là độ dài của µ.
Cạnh e được gọi là cạnh exit của quỹ đạo µ = e1 e2 ...en nếu tồn tại i
sao cho s(e) = s(ei) và e = ei .


8

Quỹ đạo µ = e1 e2 ...en với ei ∈ E 1 , n ≥ 1 được gọi là cycle nếu

s(µ) = r(µ) và s(ei) = s(ej ), ∀i = j .
Đồ thị E được gọi là acyclic nếu trên E không có một quỹ đạo nào là
cycle.
Quỹ đạo µ = e1 e2 ...en với ei ∈ E 1 , n ≥ 1 được gọi là close path based
tại v nếu s(µ) = r(µ) = v .
Quỹ đạo µ = e1 e2 ...en với ei ∈ E 1 , n ≥ 1 được gọi là close simple path
based tại v nếu nó là close path based tại v và s(ej ) = v với mọi j > 1.
Tập tất cả các quỹ đạo close path based tại v được ký hiệu là CP (v).
Tập tất cả các quỹ đạo close simple path based tại v được ký hiệu là

CSP (v).
1.1.4 Ví dụ.

c
e∗

I

H

A
a
e

J

f

e

E

b

B

g

G
c
d

D

C
a)

b)
W
u1
q

O
l

k

P

N

p

R S

t

m

n
Q

v1

T

b1

Z
r
U
V s
w1
A1

d1
a1
C1

c)

d)

Ta có đồ thị ở hình a) đỉnh A là source, đỉnh E là sink, s(a) = A, r(a) = B ,

µ = ab, λ = edcb là hai quỹ đạo với s(µ) = A, r(µ) = E, s(λ) = A,


9

r(λ) = E và cạnh e là exit của quỹ đạo µ = ab, cạnh a là exit của quỹ
đạo λ = edcb.
Đồ thị ở hình b) ta có đỉnh G là infinite emitter.
Đồ thị ở hình c) quỹ đạo µ = klmn là một cycle, cạnh p là một exit
của quỹ đạo µ = klmn.
Đồ thị ở hình d) quỹ đạo qrsd1 tu1 v1 w1 a1 b1 là một close path based
tại S , quỹ đạo qrsd1 t là một close simple path based tại S , các quỹ đạo

qrst, u1v1w1 a1 b1 là các cycle, cạnh d1 là exit của quỹ đạo qrst.
Đồ thị ở hình a), hình c), hình d) là một row - finite.
1.1.5 Định nghĩa. Đồ thị đối ngẫu của đồ thị E là một đồ thị E ∗ =

{(E ∗)0 , (E ∗)1, rE ∗ , sE ∗ } xác định như sau:
i) (E ∗ )0 = E 0 .
ii) (E ∗ )1 = {e∗ |e ∈ E 1 và một song ánh tương ứng từ e → e∗ .
ii) r(e∗ ) = s(e), s(e∗) = r(e); ∀e ∈ E 1 .
Đồ thị mở rộng của E là hợp của E và E ∗ , ký hiệu là E .
1.1.6 Nhận xét. Đồ thị mở rộng E của E có (E)0 = E 0 , (E)1 = E 1 ∪(E ∗)1

và sE , rE được kết hợp giữa E, E ∗ .
1.1.7 Định nghĩa. Cho đồ thị E , ta xác định quan hệ "≤" đối với các
đỉnh của E 0 như sau: v ≤ w khi và chỉ khi v = w hoặc có quỹ đạo µ sao
cho s(µ) = v và r(µ) = w.
Cho H là tập con của E 0 . Khi đó:
Tập H được gọi là di truyền nếu w ∈ H và w ≤ v thì v ∈ H .
Tập H được gọi là kín nếu s−1 (v) = ∅ và {r(e)|s(e) = v, ∀e ∈ E 1 } ⊆ H
thì v ∈ H .
1.1.8 Ví dụ.
Cho đồ thị A sau:


10

v2

v4

e2
v

e1

e3
v1

e4
v3

e5

v5

Hình 1.1: Đồ thị A

Ở đồ thị trên ta có các quan hệ sau: v ≤ v1 , v1 ≤ v2 , v1 ≤ v3 , v3 ≤ v4 ,

v3 ≤ v5 , v ≤ v3 , v ≤ v4 , v ≤ v5 , v1 ≤ v4, v1 ≤ v5, vì s(e1 ) = v, r(e1) = v1;
s(e2) = v1 , r(e2) = v2 ; s(e3) = v1, r(e3) = v3; s(e4) = v3, r(e4) = v4;
s(e5) = v3 , r(e5) = v5 ; s(e1e3 ) = v, r(e1e3 ) = v3 ; s(e1e3 e4) = v,
r(e1e3 e4 ) = v4; s(e1e3 e5 ) = v, r(e1e3 e5 ) = v5; s(e3e4 ) = v1, r(e3e4 ) = v4;
s(e3e5 ) = v1 , r(e3e5 ) = v5 .
Ta xét các trường hợp sau:
Với H = {v}, ta có v ≤ v1 và v ∈ H mà v1 ∈
/ H , suy ra H không có
tính di truyền trong đồ thị A. Mặt khác ta lại có H kín trong A.
Với H = {v1 , v3 , v4, v5 }, do v1 ≤ v2 và v1 ∈ H mà v2 ∈
/ H , suy ra H
không có tính di truyền trong đồ thị A. Ta cũng có H không kín trong A,
vì {v1 = r(e1 ) | e1 ∈ s−1 (v)} ∈ H mà v ∈
/ H.
Với H = {v1 , v2 , v3}, do v3 ≤ v4 và v3 ∈ H mà v4 ∈
/ H , suy ra H không
có tính di truyền trong đồ thị A. Ta cũng có H không kín trong A, vì tập

{v1 = r(e1 ) | e1 ∈ s−1(v)} ∈ H mà v ∈
/ H.
Với H = {v3 , v4 , v5 }, do chỉ có các quan hệ v3 ≤ v4 , v3 ≤ v5 là có đỉnh
nhỏ hơn thuộc H mà v4 ∈ H, v5 ∈ H , suy ra H có tính di truyền trong đồ
thị A. Ta cũng có H không kín trong A, vì tập

{v3 = r(e3 ) | e3 ∈ s−1(v1)} ∈ H mà v1 ∈
/ H.
Tương tự ta tìm được các tập di truyền của đồ thị A là: H = ∅,

H = {v2}, H = {v4}, H = {v5}, H = {v2, v4}, H = {v2, v5},
H = {v4, v5}, H = {v3, v4, v5}, H = {v2, v3, v4, v5}, H = {v1, v2, v3, v4, v5},
H = A.


11

Các tập kính của đồ thị A là: H = ∅, H = {v}, H = {v, v1},

H = {v, v1, v2}, H = {v, v1, v3}, H = {v, v1, v2, v3}, H = {v, v1, v3, v4},
H = {v, v1, v3, v5}, H = {v, v1, v2, v3, v4}, H = {v, v1, v2, v3, v5}, H = A.
Cho đồ thị B sau:
v2
e2
v1

e1
e3
v3

v5
e4
v4
e5
v6

e6

Hình 1.2: Đồ thị B

Ở đồ thị trên ta có các quan hệ sau: v1 ≤ v2 , v1 ≤ v3 , v1 ≤ v4 ,

v4 ≤ v5 , v4 ≤ v6, v1 ≤ v5, v1 ≤ v6 , vì s(e2) = v1 , r(e2) = v2;
s(e3) = v1 , r(e3) = v3 ; s(e1) = v1, r(e1) = v4; s(e4) = v4, r(e4) = v5;
s(e5) = v4 , r(e5) = v6 ; s(e1e4 ) = v1, r(e1e4 ) = v5; s(e1e5 ) = v1,
r(e1e5 ) = v6.
Ta xét các trường hợp sau:
Với H = {v1 }, ta có v1 ≤ v2 và v1 ∈ H mà v2 ∈
/ H , suy ra H không có
tính di truyền trong đồ thị B . Mặt khác ta lại có H kín trong B .
Với H = {v1 , v2 , v3}, do v1 ≤ v4 và v1 ∈ H mà v4 ∈
/ H , suy ra H không
có tính di truyền trong đồ thị B . Ta cũng có H kín trong B , vì trong H
chỉ có {v2 = r(e2 ), v3 = r(e3 | e2 ∈ s−1 (v1 ), e3 ∈ s−1 (v1)} ∈ H và v1 ∈ H .
Với H = {v2 , v4 , v5 }, do trong H chỉ có quan hệ v4 ≤ v5 mà v5 ∈ H ,
suy ra H có tính di truyền trong đồ thị B . Ta cũng có H không kín trong

B , vì {v2 = r(e2 ) | e2 ∈ s−1(v1)} ∈ H mà v1 ∈
/ H.
Với H = {v4 , v5 , v6 }, do chỉ có các quan hệ v4 ≤ v5 , v4 ≤ v6 là có đỉnh
nhỏ hơn thuộc H mà v5 ∈ H, v6 ∈ H , suy ra H có tính di truyền trong đồ


12

thị E. Ta cũng có H không kín trong E, vì {v4 = r(e1 ) | e1 ∈ s−1 (v1 )} ∈ H

mà v1 ∈
/ H.
Tương tự ta tìm được các tập di truyền của đồ thị B là: H = ∅,

H = {v2}, H = {v3}, H = {v5}, H = {v6}, H = {v4, v5, v6},
H = {v2, v3}, H = {v2, v5}, H = {v2, v6}, H = {v3, v5}, H = {v3, v6},
H = {v5, v6}, H = {v2, v4, v5, v6}, H = {v3, v4, v5, v6}, H = {v2, v3, v4, v5,
v6}, H = B .
Các tập kính của đồ thị B là: H = ∅, H = {v1 }, H = {v1 , v2},

H = {v1, v3}, H = {v1, v4}, H = {v1, v2, v3}, H = {v1, v2, v4},
H = {v1, v3, v4}, H = {v1, v4, v5}, H = {v1, v4, v6}, H = {v1, v2, v3, v4},
H = {v1, v2, v4, v5}, H = {v1 , v2, v4, v6}, H = {v1, v2, v3, v4}, H = {v1, v3,
v4, v5}, H = {v1, v3, v4, v6}, H = {v1, v4, v5, v6}, H = {v1, v2, v4, v5, v6},
H = {v1, v3, v4, v5, v6}, H = B .
1.1.9 Định nghĩa. Cho E là một đồ thị, K là một trường. Đại số quỹ
đạo của E trên K (kí hiệu là KE ) là K - đại số có cơ sở của không gian
vectơ với tập tất cả các quỹ đạo trong E với phép nhân xác định như sau:
Nếu p = e1 e2 ...en, q = f1 f2 ...f m là các quỹ đạo trong E thì tích của chúng
trong KE là pq = e1 e2 ...en.f1 f2 ...f m nếu r(en ) = s(f1 ) và pq = 0 trong
các trường hợp khác.
Chúng ta nhận xét rằng KE sinh bởi E 0 ∪ E 1 thỏa mãn các quan hệ
sau:

v 2 = v, v ∈ E 0 ,
vw = 0 với mọi v, w ∈ E 0 và v = w,
e = s(e).e = e.r(e) với mọi e ∈ E 1 .
1.1.10 Định lí. Cho K là một trường, E là một đồ thị có hường và KE
là đại số quỹ đạo của E trên K . Khi đó:
(i) KE là đại số có đơn vị khi và chỉ khi E 0 hữu hạn đỉnh và phần tử

đơn vị là tổng các đỉnh.
(ii) KE là vành khả nghịch địa phương, nghĩa là KE ⊃ Q sao cho


13

x ∈ KE, ∃q ∈ Q để qx = xq = x, ở đây Q là tập tất cả các tổng hữu hạn
các điểm khác nhau của E .
Chứng minh. Xem tài liệu tham khảo [9].

1.2

Vành chính quy, Π−chính quy, Π−chính quy
mạnh

1.2.1 Định nghĩa. Cho R là một vành. Khi đó:
(i) R được gọi là vành chính quy nếu mọi x ∈ R tồn tại y ∈ R sao cho

x = xyx.
(ii) R được gọi là Π−chính quy nếu x ∈ R tồn tại y ∈ R, tồn tại

n ∈ N, sao cho xn = xn yxn.
(iii) R được gọi là Π−chính quy trái(phải) nếu x ∈ R tồn tại

y ∈ R, tồn tại n ∈ N, sao cho xn = yxn (xn = xn y).
(iv) R được gọi là Π−chính quy mạnh nếu R vừa là Π−chính quy trái,
vừa là Π−chính quy phải.

1.3

Đại số phân bậc

1.3.1 Định nghĩa. (i) Một vành R được gọi là phân bậc nếu

R = R0 ⊕ R1 ⊕ R2 ⊕ . . .
là một tổng trực tiếp các nhóm aben với Ri Rj ⊆ Ri+j .
(ii) Một môđun M trên vành phân bậc R được gọi là môđun phân bậc
nếu

M = M0 ⊕ M1 ⊕ M2 ⊕ . . .
xét như nhóm cộng và Ri Mj ⊆ Mi+j với mọi i, j.
∞

∞

i=0

i=0

(iii) Nếu M = ⊕ Mi là môđun phân bậc trên vành phân bậc R = ⊕ Ri
thì mỗi phần tử x của Ri (hoặc Mi ) được gọi là phần tử thuần nhất bậc

i, kí hiệu deg(x) = i. Ta quy ước bậc của phần tử 0 là một số nguyên


14

tùy ý. Như vậy, nếu a ∈ R và x ∈ M là các phần tử thuần nhất thì

deg(ax) = deg(a) + deg(x) hoặc ax = 0.

(iv) Một đại số X trên vành R giao hoán có đơn vị 1R được gọi là đại
số phân bậc nếu thỏa mãn:
- X là một môđun phân bậc.
- Tích uv của hai phần tử thuần nhất bất kỳ u và v là phần tử thuần nhất
của X và thỏa mãn deg(uv) = deg(u) + deg(v).
Từ định nghĩa ta suy ra R0 là một vành con của vành R và mỗi thành
phần phân bậc Mi (hoặc Ri ) là một R0 −môđun. Nếu x ∈ M và

x = xi + xi+1 + . . . + xj ,
với xk ∈ Mk , i ≤ k ≤ j; i, j ∈ Z thì xk (có thể xk = 0) được gọi là thành
phần thuần nhất hoặc thành phần phân bậc bậc k của x. Mỗi phần tử chỉ
có một biểu diễn duy nhất thành tổng của các thành phần phân bậc.

1.4

Đại số Leavitt và đại số quỹ đạo Leavitt

Khi học lý thuyết vành, sinh viên thường được tiếp xúc với các lớp
vành có cơ sở bất biến (tính IBN) đối với các môđun tự do trên nó, tức với
′
m, m′ là hai số nguyên dương thỏa mãn R Rm ∼
=R Rm thì m = m′ . Chính
vì điều này làm cho sinh viên nghĩ rằng tất cả các vành đều có cơ sở bất
biến (IBN), nhưng thực tế lại có nhiều loại lớp vành không có tính cơ sở
bất biến. Ví dụ phổ biến cho trường hợp này là B = EndK (V ) vành các
tự đồng cấu của không gian vectơ V vô hạn chiều trên trường K , thì B
′
không IBN tức B m ∼
= B m với mọi số nguyên dương m, m′ . Vậy ta có định
nghĩa sau:

1.4.1 Định nghĩa. Giả sử vành R không IBN (IBN là tính bất biến của
′
cơ sở). Cho m ∈ N là số bé nhất thỏa mãn R Rm ∼
=R Rm với m′ > m. Với
số m ở trên, gọi n là số nhỏ nhất trong các số m’ thì ta nói R là môđun
kiểu (m,n).


15

Ví dụ: R = EndK (V ) có môđun kiểu (1,2).
1.4.2 Nhận xét. Ta có nếu Rm ∼
= Rn thì tồn tại đẳng cấu f : Rm → Rn
và cũng tồn tại đẳng cấu g : Rn → Rm .
Do đó với đẳng cấu f : Rm → Rn ta có ma trận biểu diễn

A = {( aij )m×n | a ∈ R}
và với đẳng cấu g : Rn → Rm ta có ma trận biểu diễn

B = {( bij )n×m | a ∈ R}.
Ta cũng có các ánh xạ hợp

gf : Rm → Rm = idRm
và

f g : Rn → Rn = idRn .
Khi đó ma trận biểu diễn của ánh xạ hợp gf là Im = (1R ) và của ánh xạ
hợp f g là In = (1R ) với Im , In lần lượt là ma trận đơn vị cấp m, n.
Nếu ta đặt
m

AB = {( cij )m×m | cij ∈ R} thì cij =

aik bkj =

1 nếu i = j
0 nếu i = j

.

bil alj =

1 nếu i = j
0 nếu i = j

.

k=1

Tương tự ta đặt
n

BA = {( dij )n×n | dij ∈ R} thì dij =
l=1

Trong trường hợp kiểu (1, n) thì m = 1 và ta có:

A = (aij )1×n = (x1, x2, ..., xn)1×n với xi ∈ R, i = 1, 2, ...n,
và

B = (bij )n×1




y1
y 
=  ...2 
với yi ∈ R, i = 1, 2, ...n.
yn n×1


16

Suy ra



y1
y 
AB = (cij )1×1 = (x1 , x2, ..., xn)1×n .  ...2 
= (1R )
yn n×1


x1
x 
và BA = (dij )1×1 =  ...2 
. (y1 , y2, ..., yn)1×n
xn n×1



1R 0 . . . 0
 0 1R . . . 0 



=
.
 ... ... ... ... ... ... 


0 0 . . . 1R n×n
Vậy nếu R1 ∼
= Rn nếu và chỉ nếu tồn tại 2n phần tử x1, x2, ..., xn, y1 , y2,

..., yn sao cho:

n

xiyi = 1R , yixj = σij 1R
i=1

nên ta có định nghĩa sau.
1.4.3 Định nghĩa. Cho K là một trường, n > 1, n ∈ Z. Khi đó đại số
Leavitt trên trường K kiểu (1,n), kí hiệu LK (1, n) là K - đại số

K < X1 , X2, ..., Xn, Y1, Y2, ..., Yn > thỏa mãn điều kiện:
n

Xi Yi = 1, YiXj = σij 1
i=0

.
1.4.4 Định lí. Cho n là số nguyên dương không nhỏ hơn 2 và mọi trường
K, khi đó LK (1, n) là đại số đơn.
Chứng minh. Xem tài liệu tham khảo [10].
1.4.5 Định nghĩa. Cho E là một đồ thị, K là một trường. Đại số Cohn
của E trên K kí hiệu là CK (E) là K - đại số sinh bởi các tập E 0 , E 1 , (E 1)∗
thỏa mãn các điều kiện sau:
i) s(e).e = e.r(e) = e; r(e).e∗ = e∗ .s(e) = e∗ với e ∈ E 1 .


17

1 nếu u = v
.
0 nếu u = v
1 nếu e = f
iii) (CK1) e∗ f = σe,f r(e) với e, f ∈ E 1 , trong đó σe,f =
0 nếu e = f
ii) uv = σu,v v với u, v ∈ E 0 , trong đó σu,v =

.

1.4.6 Định nghĩa. Cho E là một đồ thị, K là một trường. Đại số quỹ
đạo Leavitt của E trên K kí hiệu là LK (E) là K - đại số sinh bởi các tập

E 0, E 1, (E 1)∗ thỏa mãn các điều kiện sau:
i) (DKi) s(e).e = e.r(e) = e; r(e).e∗ = e∗ .s(e) = e∗ với e ∈ E 1 .

1 nếu u = v
ii) (DKii) uv = σu,v v với u, v ∈ E 0 , trong đó σu,v =
0 nếu u = v
∗
1
iii) (CK1) e f = σe,f r(e) với e, f ∈ E .
iv) (CK2) v =

.

ee∗ trong đó v ∈ E 0 và v không phải là đỉnh sink.
{e∈E 1 |s(e)=v}

1.4.7 Nhận xét. Đại số quỹ đạo Leavitt định nghĩa ở trên là một đại số
quỹ đạo của đồ thị mở rộng E với các mối quan hệ (CK1) và (CK2).
1.4.8 Ví dụ. Cho đồ thị sau:

c
e

∗

A
a
e
E

B

b

C

w
v

D

Theo điều kiện (DKi) ta có: Aa = s(a)a = ar(a) = aB , xét cho cạnh e ta
được: e∗ A = e∗ s(e) = e∗ = r(e)e∗ = Ee∗ .
Theo điều kiện (DKii) ta có: AA = A, AB = 0.
Ta có theo điều kiện (CK1) thì e∗ e = r(e) = E, e∗ a = 0.
Điều kiện (CK2) cho ta biết: A = ee∗ + aa∗ .


18

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ TÍNH CHẤT VÀ VÍ DỤ CỦA ĐẠI SỐ
QUỸ ĐẠO LEAVITT

Trong chương này chúng tôi mô tả đại số quỹ đạo Leavitt cho một số
kiểu đồ thị, đồng thời đưa ra một số tính chất của nó. Một số kết quả được
tham khảo trong [3], [4], [7].

2.1

Mô tả đại số quỹ đạo Leavitt cho một số kiểu
đồ thị

Ta xét đồ thị Rn là bông hoa n cánh gồm một 1 đỉnh và n cạnh.
e2

e1
Rn

v

en
en−1

Hình 2.1: Bông hoa n cánh (Rn )

Đặc biệt ta có: với n = 1 thì ta có cycle R1 .
e
R1

v

Hình 2.2: Cycle (R1 )


19

Ta có LK (R1 ) là K đại số sinh bởi các phần tử v, e, e∗ thỏa mãn các điều
kiện sau:
i) (DKi) v.e = e.v = e; v.e∗ = e∗ .v = e∗ .
ii) (DKii) v.v = v .
iii) (CK1) e∗ e = v .

iv) (CK2) v = ee∗ .
Ta thấy nó có các tính chất giống đại số đa thức Laurent K[x, x−1] và
tìm hiểu ta có định lý sau.
2.1.1 Định lí. Cho K là một trường, K[x, x−1] là đại số đa thức Laurent.
Khi đó: LK (R1 ) ∼
= K[x, x−1].
Chứng minh. Xét ánh xạ: f : LK (R1 ) → K[x, x−1], xác định bởi v →

1, e → x, e∗ → x−1 và f (x.x) = f (x).f (x), f (x−1.x−1) = f (x−1).(x−1).
Khi đó do tập S = {e, e∗ } thỏa mãn các điều kiện của đại số đa thức
Laurent là e.e∗ = v = 1, e∗ .e = v = 1 sinh ra LK (R1 ) như một K - đại số.
Vậy LK (R1 ) là đại số Laurent nên f đẳng cấu.
Ta có LK (Rn ) là K đại số sinh bởi các phần tử {v, ei, e∗i , i = 1, n} thỏa
mãn các điều kiện sau:
i) (DKi) v.ei = ei .v = ei ; v.e∗i = e∗i .v = e∗i .
ii) (DKii) v.v = v .
iii) (CK1) e∗i ei = v và e∗i ej = 0, ∀i = j .
iv) (CK2) v =

n

i=1

ei e∗i .

Ta thấy nó có các tính chất giống đại số Leavitt LK (1, n) và tìm hiểu
ta có định lý sau.
2.1.2 Định lí. Cho số nguyên dương n không nhỏ hơn 2 và K là một
trường. Khi đó: LK (Rn ) ∼
= LK (1, n).

Chứng minh. Xét ánh xạ: f : LK (Rn ) → LK (1, n), xác định bởi:

v → 1, ei → xi, e∗i → yi , ∀i = 1, n. Khi đó tập 2n phần tử S = {e1 , e2, ..., en
, e∗1, e∗2, ..., e∗n} ⊆ LK (Rn) thỏa mãn các điều kiện của đại số Leavitt ei e∗j =


20

δi,j .r(ej ) = δi,j .v = δi,j .1LK (Rn ) với 1 ≤ i, j ≤ n và

n
j=1

e∗j .ej = v = 1LK (Rn )

sinh ra LK (Rn ) như một K - đại số. Vậy LK (Rn) là một đại số Leavitt
nên f đẳng cấu.

Ta xét đồ thị An là đường định hướng biểu thị n đỉnh và n − 1 cạnh
theo một đường định hướng.

An

v1 e1 v2 e2 v3

vn−1 en−1 vn

Hình 2.3: Đường định hướng (An )

Ta có LK (An) là K đại số sinh bởi các phần tử {vk , ei, e∗i | ∀i = 1, n − 1, k =

1, n} thỏa mãn các điều kiện sau:
i) (DKi) vi .ei = ei .vi+1 = ei , i = 1, n − 1; vi+1.e∗i = e∗i .vi = e∗i , i =

1, n − 1.
ii) (DKii) vi .vi = vi, i = 1, n và vi.vj = 0, ∀i = j; i, j = 1, n.
iii) (CK1) e∗i ei = vi+1 , i = 1, n − 1 và e∗i ej = 0, ∀i = j; i, j = 1, n.
iv) (CK2) vi = ei e∗i , i = 1, n − 1.
Ta thấy nó có các tính chất giống đại số ma trận Mn (K) và tìm hiểu
ta có định lý sau.
2.1.3 Định lí. Cho số nguyên dương n không nhỏ hơn 1 và K là một
trường. Khi đó: LK (An ) ∼
= Mn (K).
Chứng minh. Để dễ hình dung ta chứng minh cụ thể cho n = 2 và n = 3.
Với n = 2 thì LK (A2 ) ∼
= M2 (K). Theo [[8], Định lý 1] ta có cơ sở của

LK (A2) là {v1, v2, e1, e∗1 }. Xét ánh xạ: f : LK (A2) → M2(K), xác định bởi
v1 → e(1, 1), v2 → e(2, 2), e1 → e(1, 2), e∗1 → e(2, 1) với i = 1, 2. Khi đó
ánh xạ f biến cơ sở của LK (A2 ) là {v1 , v2 , e1 , e∗1 }, thành cơ sở của M2 (K)
là {e(1, 1), e(2, 2), e(1, 2), e(2, 1)}, nên f đẳng cấu hay LK (A2 ) ∼
= M2 (K).


21

Tương tự với n = 3 thì LK (A3 ) ∼
= M3 (K). Xét ánh xạ: f : LK (A3) →

M3 (K), xác định bởi v1 → e(1, 1), v2 → e(2, 2), v3 → e(3, 3), e1 →

e(1, 2), e2 → e(2, 3), e∗1 → e(2, 1), e∗2 → e(3, 2) với i = 1, 2, 3. Khi đó ánh
xạ f biến cơ sở của LK (A3 ) là {v1 , v2 , v3, e1 , e2 , e∗1 , e∗2 , e1 e2 , e∗2 e∗1 } thành cơ
sở của M3 (K) là {e(1, 1), e(2, 2), e(3, 3), e(1, 2), e(2, 3), e(2, 1), e(3, 2), e(1,
3), e(3, 1)}, nên f đẳng cấu hay LK (A3) ∼
= M3 (K).
Tổng quát: Xét ánh xạ: f : LK (An) → Mn (K), xác định bởi vi →

e(i, i); i = 1, n và ei → e(i, i + 1), e∗i → e(i + 1, i); i = 1, n − 1. Khi
đó ta có: f (vi) = e(i, i); ∀i = 1, n, f (ei) = e(i, i + 1), f (ei...ei+k ) =

e(i, i+k +1), ..., f (eiei+1 ...en−1) = e(i, n), f (e∗i ) = e(i+1, i), f (e∗i ...e∗i−l) =
e(i + 1, i − l), ..., f (e∗i e∗i−1...e∗1) = e(i + 1, 1); ∀i = 1, n − 1; 1 ≤ i + k ≤
n − 1; 1 ≤ l ≤ n − 1. Vậy f là K -đồng cấu môđun.
Ta chứng minh tính chất đồng cấu với phép nhân trên các phần tử sinh
(DKi)

(DKii)

(DKi)

như sau: f (viej ) = f (vivj ej ) = f (δi,j vj ej ) = δi,j f (ej ) = δi,j e(j, j+

1) và f (vi)f (ej ) = e(i, i)e(j, j + 1) = δi,j e(j, j + 1); i = 1, n, j = 1, n − 1
nên f (viej ) = f (vi)f (ej ); i = 1, n, j = 1, n − 1. Tương tự ta có f (eivj ) =

f (ei)f (vj ); i = 1, n − 1, j = 1, n.
(DKi)

(DKii)

(DKi)

Ta có f (e∗i vj ) = f (e∗i vivj ) = f (δi,j e∗i vi) = δi,j f (e∗i ) = δi,j e(i +

1, i) và f (e∗i )f (vj ) = e(i + 1, i)e(j, j) = δi,j e(i + 1, i); i = 1, n − 1, j = 1, n
nên f (e∗i vj ) = f (e∗i )f (vj ); i = 1, n − 1, j = 1, n. Tương tự ta có f (vie∗j ) =

f (vi)f (e∗j ); i = 1, n, j = 1, n − 1.
(DKii)

Ta có f (vivj ) = f (δi,j vi ) = δi,j f (vi) = δi,j e(i, i) và f (vi)f (vj ) =

e(i, i)e(j, j) = δi,j e(i, i); i, j = 1, n nên f (vivj ) = f (vi)f (vj ); i, j = 1, n.
(DKi)

(DKii)

(DKi)

Ta có f (eiej ) = f (eivi+1 vj ej ) = f (δi+1,j ei vj ej ) = δi+1,j f (eiei+1 )

= δi+1,j e(i, i + 2) và f (ei)f (ej ) = e(i, i + 1)e(j, j + 1) = δi+1,j e(i, i +
2); i, j = 1, n − 1 nên f (eiej ) = f (ei)f (ej ); i, j = 1, n − 1.
(DKi)

(DKii)

(DKi)

Ta có f (e∗i e∗j ) = f (e∗i vi vj+1 e∗j ) = f (δi,j+1e∗i vie∗j ) = δi,j+1 f (e∗i e∗i−1 )

= δi,j+1e(i + 1, i − 1) và f (e∗i )f (e∗j ) = e(i + 1, i)e(j + 1, j) = δi,j+1e(i +
1, i − 1); i, j = 1, n − 1 nên f (e∗i e∗j ) = f (e∗i )f (e∗j ); i, j = 1, n − 1. Tương
tự ta có f (eie∗j ) = f (ei)f (e∗j ) và f (e∗i ej ) = f (e∗i )f (ej ); i, j = 1, n − 1.


22

Do các phần tử của LK (An) đều được biểu diễn tuyến tính thông qua
tập các phần tử sinh {vk , ei , e∗i | ∀i = 1, n − 1, k = 1, n} nên f là đồng
cấu với phép nhân. Vậy f đẳng cấu.
Ta xét đồ thị sau Bn gồm n đỉnh và n cạnh như sau:

v1
Bn

vn−1

en−1

v2

v3

e1 e2
v e3

Hình 2.4: Đồ thị (Bn )

Ta có LK (Bn) là K đại số sinh bởi các phần tử {v, vi, ei, e∗i | ∀i = 1, n − 1}

thỏa mãn các điều kiện sau:
i) vi.ei = ei .v = ei , i = 1, n − 1; v.e∗i = e∗i .vi = e∗i , i = 1, n − 1.
ii) vi.vi = vi, vi.v = v.vi = 0, i = 1, n − 1 và vi.vj = 0, ∀i = j; i, j =

1, n − 1.
iii) (CK1) e∗i ei = v, i = 1, n − 1 và e∗i ej = 0, ∀i = j; i, j = 1, n − 1.
iv) (CK2) vi = ei e∗i , i = 1, n − 1.
Ta thấy nó có các tính chất giống đại số ma trận Mn (K) và tìm hiểu
ta có định lý sau.
2.1.4 Định lí. Cho số nguyên dương n không nhỏ hơn 1 và K là một
trường. Khi đó: LK (Bn ) ∼
= Mn (K).
Chứng minh. Ta chứng minh cụ thể cho n = 2 và n = 3.
Với n = 2 thì LK (B2 ) ∼
= M2 (K). Xét ánh xạ: f : LK (B2) → M2(K),
xác định bởi v → e(1, 1), v1 → e(2, 2), e1 → e(2, 1), e∗1 → e(1, 2). Khi đó


23

ánh xạ f biến cơ sở của LK (B2 ) là {v, v1, e1 , e∗1 }, thành cơ sở của M2 (K)
là {e(1, 1), e(2, 2), e(2, 1), e(1, 2)}, nên f đẳng cấu hay LK (B2 ) ∼
= M2 (K).
Với n = 3 thì LK (B3 ) ∼
= M3 (K). Xét ánh xạ: f : LK (B3 ) → M3 (K)
xác định bởi v → e(1, 1), v1 → e(2, 2), v2 → e(3, 3), e1 → e(2, 1), e2 →

e(3, 1), e∗1 → e(1, 2), e∗2 → e(1, 3). Khi đó ánh xạ f biến cơ sở của LK (B3)
là {v, v1, v2 , e1 , e2 , e∗1 , e∗2 , e1 e∗2 , e2 e∗1 } thành cơ sở của M3 (K) là {e(1, 1), e(2,

2), e(3, 3), e(2, 1), e(3, 1), e(1, 2), e(1, 3), e(2, 3), e(3, 2)}, nên f đẳng cấu
hay LK (B3 ) ∼
= M3 (K).
Tổng quát: Xét ánh xạ: f : LK (Bn) → Mn (K), xác định bởi v →

e(1, 1), vi → e(i + 1, i + 1), ei → e(i + 1, 1), e∗i → e(1, i + 1); i = 1, n − 1.
Khi đó ta có: f (v) = e(1, 1), f (vi) = e(i + 1, i + 1); ∀i = 1, n − 1, f (ei) =

e(i + 1, 1), f (eie∗j ) = e(i + 1, j + 1); ∀i, j = 1, n − 1; i = j nên f biến cơ
sở của LK (Bn ) thành cơ sở của Mn (K). Vậy f là K -đồng cấu môđun.
Ta chứng minh tính chất đồng cấu với phép nhân trên các phần tử sinh
(DKi)

(DKii)

(DKi)

như sau: f (viej ) = f (vivj ej ) = f (δi,j vj ej ) = δi,j f (ej ) = δi,j e(j +

1, 1) và f (vi)f (ej ) = e(i + 1, i + 1)e(j + 1, 1) = δi,j e(j + 1, 1); i, j =
1, n − 1 nên f (viej ) = f (vi)f (ej ); i, j = 1, n − 1. Tương tự ta có f (eivj ) =
f (ei)f (vj ) = 0; i, j = 1, n − 1, f (eiv) = f (ei)f (v); i = 1, n − 1 và f (vei) =
f (v)f (ei); i = 1, n − 1.
(DKi)

(DKii)

(DKi)

Ta có f (e∗i vj ) = f (e∗i vi vj ) = f (δi,j e∗i vi ) = δi,j f (e∗i ) = δi,j e(1, i+

1) và f (e∗i )f (vj ) = e(1, i + 1)e(j + 1, j + 1) = δi,j e(1, i + 1); i, j = 1, n − 1
nên f (e∗i vj ) = f (e∗i )f (vj ); i, j = 1, n − 1. Tương tự ta có f (vie∗j ) =

f (vi)f (e∗j ); i, j = 1, n − 1, f (e∗i v) = f (e∗i )f (v); i = 1, n − 1 và f (ve∗i ) =
f (v)f (e∗i ); i = 1, n − 1.
(DKii)

Ta có f (vivj ) = f (δi,j vi) = δi,j f (vi) = δi,j e(i+1, i+1) và f (vi)f (vj ) =

e(i + 1, i + 1)e(j + 1, j + 1) = δi,j e(i + 1, i = 1); i, j = 1, n − 1 nên
f (vivj ) = f (vi)f (vj ); i, j = 1, n − 1, f (viv) = f (vi)f (v); i = 1, n − 1 và
f (vvi) = f (v)f (vi); i = 1, n − 1.
(DKi)

(DKii)

Ta có f (eiej ) = f (eivvj ej ) = f (0) = 0 và f (ei)f (ej ) = e(i +

1, 1)e(j+1, 1) = 0; i, j = 1, n − 1 nên f (eiej ) = f (ei)f (ej ); i, j = 1, n − 1.


24

(DKii)

(DKi)

Ta có f (e∗i e∗j ) = f (e∗i vi ve∗j ) = f (0) = 0 và f (e∗i )f (e∗j ) = e(1, i +

1)e(1, j + 1) = 0; i, j = 1, n − 1 nên f (e∗i e∗j ) = f (e∗i )f (e∗j ); i, j = 1, n − 1.
Ta có f (eie∗j ) = e(i + 1, j + 1) và f (ei)f (e∗j ) = e(i + 1, 1)e(1, j + 1) =

e(i + 1, j + 1); i, j = 1, n − 1 nên f (eie∗j ) = f (ei)f (e∗j ); i, j = 1, n − 1.
Tương tự ta có f (e∗i ej ) = f (e∗i )f (ej ); i, j = 1, n − 1.
Do các phần tử của LK (Bn ) đều được biểu diễn tuyến tính thông qua
tập các phần tử sinh {v; vi | ∀i = 1, 2, ..., n − 1; ei, e∗i | ∀i = 1, 2, ..., n} nên

f là đồng cấu với phép nhân. Vậy f đẳng cấu.

Ta xét đồ thị Dn gồm 2 đỉnh và n − 1 cạnh như sau:
e1
e2
v

Dn

w
en−1

Hình 2.5: Đồ thị (Dn )

Ta có LK (Dn ) là K đại số sinh bởi các phần tử {v, w, ei, e∗i | ∀i = 1, n − 1}
thỏa mãn các điều kiện sau:
i) (DKi) v.ei = ei .w = ei , i = 1, n − 1; w.e∗i = e∗i .v = e∗i , i = 1, n − 1.
ii) (DKii) v.v = v, v.w = 0.
iii) (CK1) e∗i ei = w, i = 1, n − 1 và e∗i ej = 0, ∀i = j = 1, n − 1.
iv) (CK2) v =

n−1

i=1

ei e∗i .

2.1.5 Định lí. Cho số nguyên dương n không nhỏ hơn 1 và K là một
trường. Khi đó: LK (Dn ) ∼
= Mn (K).
Chứng minh. Ta chứng minh cụ thể cho n = 2 và n = 3. Với n = 2 thì
LK (D2) ∼
= M2 (K). Xét ánh xạ: f : LK (D2) → M2 (K), xác định bởi

v → e(1, 1), w → e(2, 2), e1 → e(1, 2), e∗1 → e(2, 1) với i = 1, 2. Khi đó


25

ánh xạ f biến cơ sở của LK (D2 ) là {v, w, e1, e∗1 }, thành cơ sở của M2 (K)
là {e(1, 1), e(2, 2), e(1, 2), e(2, 1)}, nên f đẳng cấu hay LK (A2 ) ∼
= M2 (K).
Với n = 3 thì LK (D3 ) ∼
= M3 (K). Xét ánh xạ: f : LK (D3) → M3(K),
xác định bởi w → e(1, 1), e1 → e(2, 1), e2 → e(3, 1), e∗1 → e(1, 2), e∗2 →

e(1, 3). Khi đó ánh xạ f biến cơ sở của LK (D3) là {w, e1, e2, e∗1 , e∗2, e1e∗1 , e2 e∗2,
e1 e∗2 , e2e∗1 } thành cơ sở của M3 (K) là {e(1, 1), e(2, 1), e(3, 1), e(1, 2), e(1, 3),
e(2, 2), e(3, 3), e(2, 3), e(3, 2)}, nên f đẳng cấu hay LK (D3) ∼
= M3 (K).
Tổng quát: Xét ánh xạ: f : LK (Dn ) → Mn (K), xác định bởi w →

e(1, 1), ei → e(i + 1, 1), e∗i → e(1, i + 1); ∀i = 1, n − 1. Khi đó ta có:

f (w) = e(1, 1), f (ei) = e(i + 1, 1), f (e∗i ) = e(1, i + 1), f (eie∗j ) = e(i +
1, j + 1); ∀i = 1, n − 1. Vậy f biến cơ sở của LK (Dn) thành cơ sở của
Mn (K). Vậy f là K -đồng cấu môđun.
Ta chứng minh tính chất đồng cấu với phép nhân trên các phần tử sinh
(DKi)

như sau: f (vei) = f (ei) = e(i + 1, i) và f (v)f (ei) =

n

e(k, k)e(i +
k=2

1, 1) = e(i + 1, 1); i = 1, n − 1 nên f (vei) = f (v)f (ei); i = 1, n − 1.
Tương tự ta có f (eiv) = f (ei)f (v) = 0, f (wei) = f (w)f (ei) và f (eiw) =

f (ei)f (w); i = 1, n − 1.
(DKi)

(DKii)

Ta có f (e∗i v) = f (e∗i wv) = f (0) = 0 và f (e∗i )f (v) = e(1, i +
n

1)
k=2

= 0; i = 1, n − 1 nên f (e∗i v) = f (e∗i )f (v); i = 1, n − 1. Tương tự ta

có f (ve∗i ) = f (v)f (e∗i ), f (we∗i ) = f (w)f (e∗i ) và f (e∗i w) = f (e∗i )f (w); i =

1, n − 1.

n

(DKii)

Ta có f (vw) = f (0) = 0 và f (v)f (w) =

e(1, 1) = 0 nên f (vw) =

k=2

f (v)f (w). Tương tự ta có f (wv) = f (w)f (v).
(DKi)

(DKii)

Ta có f (eiej ) = f (eiwvej ) = f (0) = 0 và f (ei)f (ej ) = e(i +

1, 1)e(j+1, 1) = 0; i, j = 1, n − 1 nên f (eiej ) = f (ei)f (ej ); i, j = 1, n − 1.
(DKi)

(DKii)

Ta có f (e∗i e∗j ) = f (e∗i vwe∗j ) = f (0) = 0 và f (e∗i )f (e∗j ) = e(1, i +

1)e(1, j + 1) = 0; i, j = 1, n − 1 nên f (e∗i e∗j ) = f (e∗i )f (e∗j ); i, j = 1, n − 1.
Ta có f (eie∗j ) = e(i + 1, j + 1) và f (ei)f (e∗j ) = e(i + 1, 1)e(1, j + 1) =

e(i + 1, j + 1); i, j = 1, n − 1 nên f (eie∗j ) = f (ei)f (e∗j ); i, j = 1, n − 1.
Tương tự ta có f (e∗i ej ) = f (e∗i )f (ej ); i, j = 1, n − 1.