Tốc độ hội tụ đầy đủ với tổng có trọng số của mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
------

------

TRẦN THẾ NGA

TỐC ĐỘ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ VỚI TỔNG CÓ TRỌNG SỐ
CỦA MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN
GIÁ TRỊ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Nghệ An - 2015


1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
-----------

TRẦN THẾ NGA

TỐC ĐỘ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ VỚI TỔNG CÓ TRỌNG SỐ
CỦA MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN
GIÁ TRỊ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê Toán học
Mã số: 60.46.01.06

LUÂN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS.TS. Nguyễn Văn Quảng

Nghệ An - 2015


1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Mở đầu

3

1 Kiến thức cơ sở

5

1.1. Biến cố và xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Xác xuất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.3

Tính độc lập của các biến cố . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Ánh xạ đo được và biến ngẫu nhiên

. . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1

Ánh xạ đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2

Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3

Kỳ vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.4

Các dạng hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3. Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach . . . . . 14
1.3.1

Định nghĩa và ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.2

Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3.3

Các phần tử ngẫu nhiên độc lập. . . . . . . . . . . . .

16

1.3.4

Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên. . . . . . . . . . . .

17

1.3.5

Một số định lý giới hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3.6

Không gian Rademacher dạng p. . . . . . . . . . . . .

19

2 Sự hội tụ đầy đủ đối với tổng có trọng số của mảng các phần
tử ngẫu nhiên

20


2

2.1. Sự hội tụ đầy đủ của dãy phần tử ngẫu nhiên

. . . . . . . . . . 20

2.2. Sự hội tụ đầy đủ đối với tổng có trọng số của mảng các phần tử
ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Tốc độ hội tụ của quá trình trung bình trượt.
Kết luận chung và kiến nghị

. . . . . . . . . . 35
41


3

MỞ ĐẦU

Lý thuyết xác suất là một bộ phận của toán học nghiên cứu các hiện
tượng ngẫu nhiên nhằm tìm ra những quy luật trong những hiện tượng
tưởng chừng như không có quy luật. Lý thuyết xác suất ra đời vào nửa cuối
thế kỉ 17 ở Pháp. Ngày nay, lý thuyết xác suất đã phát triển mạnh mẽ, có cơ
sở lý thuyết chặt chẽ và có nhiều ứng dụng trong đời sống của con người, từ
âm nhạc đến vật lý, từ văn học tới thống kê xã hội, từ cơ học đến thị trường
chứng khoán, từ dự báo thời tiết đến kinh tế, từ nông học đến y học...
Mảng các phần tử ngẫu nhiên là một hướng nghiên cứu của Lý thuyết
xác suất được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và đã có nhiều ứng
dụng trong thống kê, kinh tế,... Chính vì vậy việc nghiên cứu mảng các biến
ngẫu nhiên không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn to
lớn.
Khái niệm hội tụ đầy đủ của biến ngẫu nhiên được Hsu và Robbins đưa

ra năm 1947 trong [7]. Trong [7] Hsu và Robbins đã chứng minh được rằng
trung bình cộng số học của dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối
hội tụ đầy đủ đến kỳ vọng chung của chúng nếu các biến ngẫu nhiên đó có
phương sai hữu hạn. Kết quả này đã được tổng quát hóa và mở rộng theo
nhiều hướng khác nhau. Một trong những hướng đó là xét sự hội tụ đầy đủ
của mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập theo hàng. Đi theo hướng đó có
các kết quả của Hsu và cộng sự [4], [7],[12], Gut [11], Kuczmaszewska and
Szynal [13], Sung[14],. . . Trên cơ sở đọc và tìm hiểu các tài liệu, chúng tôi
nghiên cứu đề tài là: “Tốc độ hội tụ đầy đủ đối với tổng có trọng
số của mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không
gian Banach”.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương.


4

Chương 1. Kiến thức cơ sở
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của lý thuyết
xác suất, cần thiết cho việc nghiên cứu chương sau.
Chương 2. Sự hội tụ đầy đủ đối với tổng có trọng số của mảng
các phần tử ngẫu nhiên
Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày sự hội tụ đầy đủ của dãy
phần tử ngẫu nhiên. Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu về sự hội tụ đầy đủ đối
với tổng có trọng số của mảng các phần tử ngẫu nhiên. Cuối cùng, chúng
tôi nghiên cứu về tốc độ hội tụ của quá trình trung bình trượt.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
trực tiếp của GS. TS. Nguyễn Văn Quảng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc nhất tới Thầy, Người đã tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ,
tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả có thể hoàn thành luận văn. Tác giả
gửi lời cảm ơn các thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy khóa học CH 21

XSTK. Đồng thời, tác giả cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng Sau đại
học, tập thể lớp CH 21 XSTK và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi trong
suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Mặc dù đã rất cố gắng song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót.
Tác giả mong nhận được những lời chỉ bảo, những ý kiến đóng góp của quý
Thầy Cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 10 năm 2015.
Tác giả


5

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1
1.1.1

Biến cố và xác suất
Không gian xác suất

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử Ω là một tập tùy ý khác rỗng, F là một σ -đại
số con của Ω. Khi đó, cặp (Ω, F) được gọi là một không gian đo.
Giả sử (Ω, F) là một không gian đo. Một ánh xạ P : F → R được gọi
là độ đo xác suất trên F nếu
(i) P(A) ≥ 0 với ∀A ∈ F (tính không âm);
(ii) P(Ω) = 1(tính chuẩn hóa);
(iii) Nếu An ∈ F(n = 1, 2, 3, ...), Ai ∩ Aj = Ai Aj = ∅(i = j) thì
∞
P( ∞

n=1 An ) =
n=1 P(An ) (tính cộng tính đếm được).
Các điều kiện (i)-(iii) được gọi là hệ tiên đề Kolmogorov về xác suất. Bộ
ba (Ω, F, P) được gọi là không gian xác suất.
Tập Ω được gọi là không gian biến cố sơ cấp (không gian BCSC).
σ -đại số F được gọi là σ -đại số các biến cố.
Mỗi A ∈ F được gọi là một biến cố.
Biến cố Ω ∈ F gọi là biến cố chắc chắn.
Biến cố ∅ ∈ F gọi là biến cố không thể có.
Biến cố A = Ω\A được gọi là biến cố đối lập của biến cố A.
Nếu A ∩ B = AB = ∅ thì A,B được gọi là các biến cố xung khắc.


6

Không gian xác suất (Ω, F, P) gọi là không gian xác suất đầy đủ nếu
mọi tập con của biến cố có xác suất không đều là biến cố. Để đơn giản, từ
nay về sau, khi nói đến không gian xác suất (Ω, F, P), ta luôn xem đó là
không gian xác suất đầy đủ.
Chú ý. Điều kiện (ii) trong định nghĩa trên đảm bảo rằng biến cố chắc
chắn có xác suất bằng 1. Tuy nhiên, có những biến cố có xác suất bằng 1
nhưng chưa chắc đã là biến cố chắc chắn. Những biến cố như vậy gọi là biến
cố hầu chắc chắn.
Tính chất 1.1.2. Giả sử A,B,C ... là những biến cố. Khi đó, xác suất của
chúng có các tính chất sau:
(1.) P(∅) = 0.
(2.) Nếu AB = ∅ thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
(3.) P(A) = 1 − P(A).
(4.) Nếu A ⊂ B thì P(B \ A) = P(B) − P(A) và do đó P(A) ≤ P(B).
(5.) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB).

n
(6.) P( ∞
k=1 Ak ) =
k=1 P(Ak )−
− ... + (−1)n−1 P(A1 A2 ...An ).

(7.) P(

∞
n=1 An )

≤

1≤k
1≤k
∞
n=1 P(An ).

(8.) (Tính liên tục của xác suất )
(i.) Nếu (An , n ≥ 1) là dãy đơn điệu tăng, A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ An ⊂ ..., thì
tồn tại
∞

lim P(An ) = P(

n→∞

An ).

n=1

(ii.) Nếu (An , n ≥ 1) là dãy đơn điệu giảm, A1 ⊃ A1 ⊃ ... ⊃ An ⊃ ..., thì
tồn tại
∞

lim P(An ) = P(

n→∞

n=1

An ).


7

1.1.2

Xác xuất có điều kiện

Định nghĩa 1.1.3. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất.
A, B ∈ F, P(A) > 0.
Khi đó số
P(AB)
P(B/A) =
P(A)
được gọi là xác suất có điều kiện của biến cố B đối với biến cố A.
Tính chất 1.1.4. Một số tính chất của xác suất có điều kiện

(1.) P(B/A) ≥ 0.
(2.) Nếu B ⊃ A thì P(B/A) = 1, đặc biệt P(Ω/A) = 1.
(3.) Nếu (Bn ) là dãy các biến cố đôi một xung khắc thì
∞

P(
n=1

∞

Bn /A) =

P(Bn /A).
n=1

Từ các tính chất 1-3 suy ra rằng nếu A là một biến cố, P(A) > 0 thì
ánh xạ PA : F → R xác định bởi công thức
PA (B) = P(B/A) (∀B ∈ F)
cũng là độ đo xác suất trên F . Do đó PA có đầy đủ các tính chất của
độ đo xác suất.
(4.) (Quy tắc nhân). Giả sử A1 , A2 , ...An (n ≥ 2), là n biến cố bất kì sao
cho P(A1 A2 ...An−1 ) > 0. Khi đó
P(A1 A2 ...An ) = P(A1 )P(A2 /A1 )...P(An /A1 ...An−1 ).

1.1.3

Tính độc lập của các biến cố

Giả sử (Ω, F, P)là không gian xác suất.

8

Định nghĩa 1.1.5. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu
P(AB) = P(A)P(B).
Tính chất 1.1.6. Giả sử A và B là hai biến cố
(1.) Nếu P(A) > 0, P(B) > 0. Khi đó A, B độc lập khi và chỉ khi
P(A/B) = P(A) hoặc P(B/A) = P(B).
(2.) Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau
thỏa mãn
(i.) A, B độc lập;
(ii.) A, B độc lập;
(iii.) A, B độc lập.
Dưới đây sẽ trình bày khái niệm độc lập của một họ biến cố.
Định nghĩa 1.1.7. Họ các biến cố (Ai )i∈I được gọi là độc lập đôi một
nếu hai biến cố bất kì của họ đều độc lập.
Họ các biến cố (Ai )i∈I được gọi là độc lập toàn cục ( gọi vắn tắt là độc
lập), nếu đối với mọi họ con hữu hạn các biến cố Ai1 , Ai2 , ...Ain của họ đó,
ta đều có
P(Ai1 Ai2 ...Ain ) = P(Ai1 )P(Ai2 )...P(Ain ).
Một họ độc lập thì độc lập đôi một. Tuy nhiên điều ngược lại nói chung
không đúng.
Đối với dãy các biến cố, ta có tính chất quan trọng sau đây, gọi là Bổ đề
Borel-Cantelli.
Định lý 1.1.8. (Bổ đề Borel-Cantelli). Giả sử (An , n ≥ 1) là dãy các
biến cố. Khi đó
(i.) Nếu

∞
n=1 P(An )

< ∞ thì P(lim sup An ) = 0.


9

(ii.) Nếu ∞
n=1 P(An ) = ∞ và (An , n ≥ 1) độc lập thì P(limsupAn ) = 1.
Trong đó
∞

∞

Ak .

lim sup An =
n=1 k=n

Hệ quả 1.1.9. (Luật 0-1 Borel-Cantelli). Nếu (An , n ≥ 1) là dãy biến cố
độc lập, thì P(lim sup An ) chỉ có thể nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1 tùy
theo chuỗi ∞
n=1 P(An ) hội tụ hay phân kỳ.

1.2
1.2.1

Ánh xạ đo được và biến ngẫu nhiên
Ánh xạ đo được

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (Ω1 ; F1 ) và (Ω2 ; F2 ) là hai không gian đo. Ánh

xạ X : Ω1 → Ω2 gọi là ánh xạ F1 /F2 đo được nếu với mọi B ∈ F2 thì
X −1 (B) ∈ F1 .
Tính chất 1.2.2.
1. Giả sử F1 , G1 là hai σ -đại số các tập con của Ω1 ; F2 , G2 là hai σ -đại số
các tập con của Ω2 . X : Ω1 → Ω2 là ánh xạ F1 /F2 đo được. Khi đó,
nếu F1 ⊂ G1 , G2 ⊂ F2 thì X là ánh xạ G1 /G2 đo được.
2. Giả sử (Ω1 , F1 ), (Ω2 , F2 ) là các không gian đo, X : Ω1 → Ω2 là ánh
xạ F1 /F2 đo được, Y : Ω2 → Ω3 là ánh xạ F2 /F3 đo được. Khi đó,
Z = Y ◦ X : Ω1 → Ω3 là ánh xạ F1 /F3 đo được.
3. Giả sử (Ω1 , F1 ), (Ω2 , F2 ) là các không gian đo, F2 = σ(C). Khi đó ánh
xạ X : Ω1 → Ω2 là ánh xạ F1 /F2 đo được khi và chỉ khi X −1 (C) ∈ F1
với mọi C ∈ C .

1.2.2

Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.2.3. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, G là σ -đại số
con của σ -đại số F . Khi đó ánh xạ X : Ω → R được gọi là biến ngẫu nhiên


10
G - đo được nếu nó là ánh xạ G/B(R) đo được (tức là với mọi B ∈ B(R) thì
X −1 (B) ∈ G).
Trong trường hợp đặc biệt, khi X là biến ngẫu nhiên F -đo được, thì X
được gọi một cách đơn giản là biến ngẫu nhiên.
Nếu biến ngẫu nhiên X chỉ nhận hữu hạn giá trị , thì nó được gọi là biến
ngẫu nhiên đơn giản.
Hiển nhiên, biến ngẫu nhiên G -đo được là biến ngẫu nhiên. Mặt khác, dễ
thấy rằng nếu X là biến ngẫu nhiên thì họ

σ(X) = (X −1 (B) : B ∈ B(R))

lập thành một σ -đại số con của σ -đại số F . σ -đại số này gọi là σ -đại số sinh
bởi X. Đó là σ -đại số bé nhất mà X đo được. Từ đó suy ra rằng X là biến
ngẫu nhiên G -đo được khi và chỉ khi σ(X) ⊂ G.
Định lý 1.2.4. X là biến ngẫu nhiên khi và chỉ khi một trong các điều
kiện sau đây thỏa mãn
(i.) (X < a) := (ω : X(ω) < a) ∈ F với mọi a ∈ R.
(ii.) (X ≤ a) := (ω : X(ω) ≤ a) ∈ F với mọi a ∈ R.
(iii.) (X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ F với mọi a ∈ R.
(iv.) (X ≥ a) := (ω : X(ω) ≥ a) ∈ F với mọi a ∈ R.

Định lý 1.2.5. Giả sử X1 , X2 , ...Xn là các biến ngẫu nhiên cùng xác
định trên (Ω, F, P) , f : Rn → R là hàm B(Rn )/B(R) đo được.
Khi đó
Y = f (X1 , X2 , ...Xn ) : Ω → R
ω → f (X1 (ω), X2 (ω), ...Xn (ω))

là biến ngẫu nhiên.


11

Định lý 1.2.6. Giả sử (Xn , n ≥ 1) là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác
định trên (Ω, F, P).
Khi đó, nếu inf Xn , sup Xn hữu hạn, thì inf Xn , sup Xn , limXn , limXn ,
n

n

n

n

lim Xn (nếu tồn tại), đều là biến ngẫu nhiên.

n→∞

Định lý 1.2.7. Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm thì tồn tại dãy
biến ngẫu nhiên đơn giản, không âm (Xn , n ≥ 1) sao cho Xn ↑ X (khi
n → ∞).

1.2.3

Kỳ vọng

Định nghĩa 1.2.8. Giả sử X : (Ω, F, P) → (R, B(R)) là biến ngẫu nhiên.
Khi đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được gọi là kỳ
vọng của X và ký hiệu EX .
Vậy
EX =

XdP.
Ω

Nếu tồn tại E|X|p < ∞(p > 0), thì ta nói X khả tích bậc p. Đặc biệt, nếu
E|X| < ∞, thì X được gọi là biến ngẫu nhiên khả tích.
Tính chất 1.2.9.
1. Nếu X ≥ 0 thì EX ≥ 0.
2. Nếu X = C thì EX = 0.

3. Nếu tồn tại EX thì với mọi C ∈ R, ta có E(CX) = C EX .
4. Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ± Y ) = EX ± EY .
5.
EX =





i xi pi nếu X rời
+∞
−∞ xp(x)dx nếu

rạc;
X liên tục có hàm mật độ p(x).


12

Tổng quát: Nếu f : R → R là hàm đo được và Y = f (X) thì


i f (xi )pi nếu X rời rạc;
EY =
 +∞ f (x)p(x)dx nếu X liên tục có hàm mật độ p(x).
−∞
6. (Định lý B.Levi về hội tụ đơn điệu). Nếu Xn ↑ X (tương ứng Xn ↓ X )
và tồn tại n để EXn− < ∞ (tương ứng EXn+ < ∞), thì EXn ↑ EX (tương
ứng EXn ↓ EX ).
7. (Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn). Nếu |Xn | < Y với mọi n ≥ 1,

Y < ∞ và Xn → X thì X khả tích, E|Xn − X| → 0 và EXn → EX
(khi n → ∞).
8. (Bất đẳng thức Markov). Giả sử X là biến ngẫu nhiên không âm. Khi
đó, với mọi ε > 0 ta có
P(X ≥ ε) ≤

1.2.4

EX
.
ε

Các dạng hội tụ

Định nghĩa 1.2.10. Giả sử {X, Xn , n ≥ 1} là họ biến ngẫu nhiên cùng
xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P). Ta nói
(i). Dãy {Xn , n ≥ 1} hội tụ hầu chắc chắn đến X khi n → ∞ nếu tồn tại
tập N ∈ F sao cho P(N ) = 0 và Xn (ω) → X(ω) khi n → ∞ với mọi
h.c.c
ω ∈ Ω\N . Kí hiệu Xn → X h.c.c. hoặc Xn → X khi n → ∞.
(ii). Dãy {Xn , n ≥ 1} hội tụ đầy đủ đến X khi n → ∞ nếu với mọi ε > 0
thì
∞
P(|Xn − X| > ε) < ∞.
n=1
c

Ký hiệu Xn → X khi n → ∞.

13

(iii). Dãy {Xn , n ≥ 1} hội tụ theo xác suất đến X khi n → ∞ nếu với mọi
ε > 0 thì
lim P(|Xn − X| > ε) = 0.

n→∞
P

Ký hiệu Xn → X khi n → ∞.
h.c.c

Định lý 1.2.11. Xn → X khi và chỉ khi với mọi ε > 0
lim P( sup |Xm − X| > ε) = 0.

n→∞

m≥n

c

h.c.c

Hệ quả 1.2.12. Nếu Xn → X thì Xn → X .
Chứng minh.
∞
c

Xn → X ⇒ ∀ε > 0 thì

P{|Xn − X| > ε} < ∞.
n=1

Suy ra

∞

P{|Xm − X| > ε} = rn−1 → 0(n → ∞).
m=n

Mặt khác

∞

( sup |Xn − X| > ε) =
m≥n

(|Xn − X| > ε).
m=n

Suy ra
∞

P( sup |Xn − X| > ε) = P(
m≥n

(|Xn − X| > ε)

m=n
∞

≤

P{|Xn − 0| > ε}
m=n

= rn−1 → 0, (n → ∞).

Do đó
lim P( sup |Xn − X| > ε) = 0.

n→∞
h.c.c

m≥n

Vậy Xn → X (khi n → ∞).


14

Định lý 1.2.13. Nếu {Xn , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập và
h.c.c
c
Xn → C thì Xn → C .
Chứng minh. Với mọi ε > 0, đặt An = (|Xn − C| > ε).
Khi đó
∞

∞

Ak = {ω : ω ∈ An , với vô số n}.

lim sup An =
n=1 k=n

Suy ra lim sup An ⊂ (Xn
C).
h.c.c
Vì ∀ε > 0, Xn → C , nên P(Xn → C) = 1.
Khi đó P(Xn
C) = 0 ⇒ P(limsupAn ) = 0.
Do {An , n ≥ 1} là dãy biến cố độc lập nên
∞

P(|Xn − C| > ε) < ∞ (∀ε > 0).
n=1
c

Vậy Xn → C(khi n → ∞).

1.3

Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên
không gian Banach

Chúng ta giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất đầy đủ, E là không
gian Banach thực khả ly, G là σ -đại số con của σ -đại số F , B(E) là σ -đại số
các tập Borel của E.

1.3.1

Định nghĩa và ví dụ.

Định nghĩa 1.3.1. Ta nói ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên G đo được nếu nó là ánh xạ G/B(E) đo được (tức là với mọi B ∈ B(E) thì
X −1 (B) ∈ G).
Phần tử ngẫu nhiên F - đo được gọi một cách đơn giản là phần tử ngẫu
nhiên. Hiển nhiên, nếu X là phần tử ngẫu nhiên G - đo được thì X là phần


15

tử ngẫu nhiên. Mặt khác, dễ dàng thấy rằng nếu X là phần tử ngẫu nhiên
thì họ
σ(X) = {X −1 (B) ∈ B(E)}

lập thành một σ -đại số con của σ -đại số F . σ -đại số này được gọi là σ -đại
số sinh bởi X. Đây là σ(X)- là σ -đại số bé nhất mà X đo được. Do đó, X là
phần tử ngẫu nhiên G - đo được khi và chỉ khi σ(X) ⊂ G .
Ví dụ 1.3.2. Xét ánh xạ X : Ω → E xác định bởi
X(ω) = 0, ∀ω ∈ Ω.

Khi đó X là phần tử ngẫu nhiên G -đo được với G = {∅, Ω}.
Thật vậy, với mọi B ∈ B(E) thì

∅ nếu 0 ∈
/ B,
−1
X (B) =
Ω nếu 0 ∈ B;

nên X −1 (B) ∈ G .
Định nghĩa 1.3.3. Phần tử ngẫu nhiên X : Ω → E được gọi là phần tử
ngẫu nhiên rời rạc nếu |X| không quá đếm được. Đặc biệt, nếu |X| hữu
hạn thì X được gọi là phần tử ngẫu nhiên đơn giản (trong đó |X| là lực
lượng của tập hợp {X(ω) : ω ∈ Ω}).
Định nghĩa 1.3.4. Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là hội
tụ đến ánh xạ X : Ω → E (khi n → ∞), nếu Xn (ω) → X(ω) (theo chuẩn,
khi n → ∞) với mọi ω ∈ Ω.
Kí hiệu Xn → X (khi n → ∞ ).

1.3.2

Tính chất.

Định lý 1.3.5. Giả sử E1 , E2 là các không gian Banach thực khả ly,
T : E1 → E2 là ánh xạ B(E1 )/B(E2 ) đo được và X : Ω → E1 là phần tử
ngẫu nhiên G -đo được. Khi đó ánh xạ T ◦ X : Ω → E2 là phần tử ngẫu
nhiên G -đo được.


16

Hệ quả 1.3.6. Giả sử ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên G -đo
được. Khi đó, ánh xạ X : Ω → R là biến ngẫu nhiên G -đo được.
Định lý 1.3.7. Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên G -đo được khi
và chỉ khi với mọi f ∈ E∗ thì f (X) là biến ngẫu nhiên G -đo được.
Hệ quả 1.3.8. Giả sử X,Y là các phần tử ngẫu nhiên G -đo được, a, b ∈
R, ξ : Ω → R là biến ngẫu nhiên G -đo được. Khi đó aX + bY và ξX là các
phần tử ngãu nhiên G -đo được.
Hệ quả 1.3.9. Nếu {Xn , n ≥ 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên G -đo được và

Xn → X khi n → ∞ thì X là phần tử ngẫu nhiên G -đo được.
Định lý 1.3.10. Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên G -đo được
khi và chỉ khi X là giới hạn đều của một dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc
G -đo được. Nghĩa là tồn tại dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc G -đo được
{Xn , n ≥ 1}, sao cho
lim sup Xn (ω) − X(ω) = 0.

n→∞ ω∈Ω

Định lý 1.3.11. Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên G -đo được
khi và chỉ khi X là giới hạn (theo chuẩn) của một dãy các phần tử ngẫu
nhiên đơn giản G -đo được {Xn , n ≥ 1}, sao cho Xn (ω) ≤ 2 X(ω)
với mọi n ≥ 1 và mọi ω ∈ Ω. Nghĩa là tồn tại dãy phần tử ngẫu nhiên
đơn giản G - đo được {Xn , n ≥ 1} thỏa mãn lim Xn (ω) − X(ω) = 0 và
n→∞

Xn (ω)

1.3.3

2 X(ω) với mọi n ≥ 1 và mọi ω ∈ Ω.

Các phần tử ngẫu nhiên độc lập.

Định nghĩa 1.3.12. Giả sử {Xt , t ∈ ∆} là họ các phần tử ngẫu nhiên cùng
xác định trên (Ω, F, P), nhận giá trị trên (E, B(E)). Khi đó, họ {Xt , t ∈ ∆}
được gọi là độc lập đôi một (độc lập) nếu họ σ -đại số {σ(Xt ), t ∈ ∆} độc
lập đôi một (độc lập).
Định lý 1.3.13. Giả sử E1 , E2 là các không gian Banach thực khả ly,
{Xt , t ∈ ∆} là họ phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong E1 . Khi

17

đó, nếu với mỗi t ∈ ∆, Tt : E1 → E2 là ánh xạ B(E1 )/B(E2 ) đo được thì
họ {Tt (Xt ), t ∈ ∆} là họ phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong
E2 .
Định lý 1.3.14. Giả sử X1 , X2 , ..., Xn là các phần tử ngẫu nhiên cùng
xác định trên (Ω, F, P), nhận giá trị trên (E, B(E)). Khi đó, điều kiện
cần và đủ để X1 , X2 , ..., Xn độc lập là với mọi f1 , f2 , ..., fn ∈ E∗ , các biến
ngẫu nhiên f (X1 ), f (X2 ), ..., f (Xn ) độc lập.

1.3.4

Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên.

Định nghĩa 1.3.15. Giả sử X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên. Phần tử
m ∈ E được gọi là kỳ vọng của X nếu với mọi f ∈ E∗ ta có
f (m) = E(f (X)).

Ký hiệu m = EX .
Định lý 1.3.16. Giả sử X,Y là các phần tử ngẫu nhiên, ξ là biến ngẫu
nhiên cùng xác định trên (Ω, F, P), a ∈ R, α ∈ E. Khi đó, nếu tồn tại
EX, EY, Eξ thì
1. Tồn tại E(X + Y ) và E(X + Y ) = EX + EY ;
2. Tồn tại E(αX) và E(αX) = α EX ;
3. Tồn tại E(aξ) và E(aξ) = a Eξ ;
4. Nếu P(X = a) = 1 thì EX = a;
5. Nếu ξ và f (X) độc lập với mọi f ∈ E∗ thì tồn tại E(ξX) và
E(ξX) = Eξ EX;

6. Với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục T : E → E (E là không gian
Banach thực khả ly ) thì tồn tại E(T (X)) và E(T (X)) = T (E(X)).
Định lý 1.3.17. Nếu E X < ∞ thì tồn tại EX và EX ≤ E X .
Định nghĩa 1.3.18. Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên và p > 0. Nếu
E X p < ∞, thì ta nói X khả tích bậc p. Nếu X khả tích bậc 1, thì để đơn
giản, ta nói X khả tích.


18

1.3.5

Một số định lý giới hạn.

Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất đầy đủ, E là không gian Banach
thực khả ly, B(E) là σ -đại số các tập Borel trên E.
Định nghĩa 1.3.19. Giả sử {X, Xn , n ≥ 1} là họ phần tử ngẫu nhiên cùng
xác định trên Ω và nhận giá trị trong E. Ta nói
• Dãy {Xn , n
1} hội tụ hầu chắc chắn đến X khi n → ∞ nếu tồn tại
tập N ∈ F sao cho P(N ) = 0 và Xn (ω) → X(ω) (theo chuẩn) khi n → ∞
với mọi ω ∈ Ω\N .
h. c. c.
Ký hiệu Xn → X h. c. c., hoặc Xn −−−→ X khi n → ∞.
• Dãy {Xn , n 1} hội tụ đầy đủ đến X khi n → ∞ nếu với mọi ε > 0 thì
∞

P( Xn − X > ε) < ∞.
n=1
c

Ký hiệu Xn →
− X khi n → ∞.
• Dãy {Xn , n
1} hội tụ theo xác suất đến X khi n → ∞ nếu với mọi
ε > 0 thì
lim P( Xn − X > ε) = 0.
n→∞

P

Ký hiệu Xn −→ X khi n → ∞.
• Dãy {Xn , n
1} hội tụ theo trung bình cấp p > 0 đến X khi n → ∞
nếu X, Xn (n 1) khả tích bậc p và lim E Xn − X p = 0.
n→∞

Lp

Ký hiệu Xn −→ X khi n → ∞.
Tính chất 1.3.20.
1. Xn → X h. c. c. (n → ∞) khi và chỉ khi với mọi ε > 0,
lim P sup Xm − X > ε = 0.

n→∞
c

m n

h. c. c.

2. Nếu Xn →
− X thì Xn −−−→ X khi n → ∞.
h. c. c.
3. Nếu {Xn , n 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập và Xn −−−→ C ∈ E
c
thì Xn →
− C khi n → ∞.


19
Lp

h. c. c.

P

4. Nếu Xn −−−→ X hoặc Xn −→ X thì Xn −
→ X khi n → ∞.
5. Nếu dãy {Xn , n 1} hội tụ theo xác suất thì tồn tại dãy con {Xnk , k
1} ⊂ {Xn , n 1} sao cho {Xnk , k 1} hội tụ hầu chắc chắn.

1.3.6

Không gian Rademacher dạng p.

Định nghĩa 1.3.21. Giả sử {rn , n 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên
độc lập, cùng phân phối thỏa mãn P(r1 = 1) = P(r1 = −1) = 1/2. Không
gian Banach E được gọi là không gian Rademacher dạng p (1 p 2)
nếu tồn tại một hằng số C = Cp sao cho, với mọi n

1 và mọi vi ∈ E
(1 i n),
n

ri vi

E
i=1

n

p 1/p

C

vi
i=1

p

1/p

.


20

CHƯƠNG 2
SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ ĐỐI VỚI TỔNG CÓ TRỌNG
SỐ CỦA MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN

2.1

Sự hội tụ đầy đủ của dãy phần tử ngẫu
nhiên

Định nghĩa 2.1.1. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất đầy đủ, E là
không gian Banach thực khả ly, G là đại số con của F và B(E) là đại số các
tập Borel của E.
Giả sử {X,Xn ,n ≥ 1} là họ phần tử ngẫu nhiên cùng xác định trên Ω và
nhận giá trị trong E.
Ta nói dãy {Xn ,n ≥ 1} hội tụ đầy đủ đến phần tử ngẫu nhiên X nếu mọi
ε > 0 thì
∞

P{ Xn − X > ε} < ∞.
n=1
c

Kí hiệu Xn → X (khi n → ∞).
Ví dụ 2.1.2. Giả sử a ∈ E, a = 0 ; β =
Khi đó β =

2a
a

=

2 a
a

2a
a

∈ E.

= 2 > 1.

Giả sử {Xn ,n ≥ 1 }là dãy phần tử ngẫu nhiên xác định bởi
P(Xn = 0) = 1 −
P(Xn = β) =

1
n

β

1
n
.

β

,


21

Khi đó ∀ε > 0 ta có
∞

∞

P{ Xn − 0 > ε} =
n=1

P{ Xn > ε}
n=1
∞

≤

P( Xn = β )
n=1
∞

=

n
n=1

1
β

< ∞.

c

Suy ra Xn → 0 (khi n → ∞).

2.2

Sự hội tụ đầy đủ đối với tổng có trọng
số của mảng các phần tử ngẫu nhiên

Định nghĩa 2.2.1. Giả sử trên đoạn [a, b] xác định một hàm số f (x) hữu
hạn. Ta chia đoạn [a, b] ra từng phần bởi các điểm :
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b

và lập tổng số
n−1

V=

|f (xk+1 ) − f (xk )|.
k=0

Cận trên đúng của tập hợp tất cả các tổng V được gọi là biến phân toàn
phần (gọi tắt là biến phân) của hàm số f(x) trên đoạn [a, b] và được ký hiệu
là Vf (x) (a, b).
Nếu Vf (x) (a, b) < +∞ thì người ta nói rằng f(x) là một hàm số với biến
phân hữu hạn hoặc biến phân bị chặn.
Tính chất 2.2.2. Giả sử f (x) là hàm thực có biến phân bị chặn trên [a, b],


22

với ∞ < a < b < ∞. Khi đó
(i.) Nếu f (x) không giảm, thì Vf (x) (a, b) = f (b) − f (a);

(2.1)

(ii.) Nếu f (x) = f1 (x) + f2 (x), thì Vf (x) (a, b) ≤ Vf1 (x) (a, b) + Vf2 (x) (a, b);
(2.2)
(iii.) Với mỗi hằng số c, Vf (x)+c (a, b) = Vf (x) (a, b);

(2.3)

(iv.) V−f (x) (a, b) = Vf (x) (a, b);

(2.4)

b

b

f (x)dg(x) ≤

(v.)

|f (x)|dVg(x) (a, x);

(2.5)

a

a

(vi.) Với a < c < b, Vf (x) (a, b) = Vf (x) (a, c) + Vf (x) (c, b).

(2.6)

Định nghĩa 2.2.3. Giả sử {Vnk , k ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu
nhiên độc lập theo hàng nhận giá trị trên không gian Banach E.
Mảng phần tử ngẫu nhiên {Vnk , k ≥ 1, n ≥ 1} được gọi là bị chặn ngẫu
nhiên bởi biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng số D < ∞ thỏa mãn
P{ Vnk > x} ≤ DP{|DX| > x} với mọi x > 0, và ∀n ≥ 1, ∀k ≥ 1.
Định lý 2.2.4. ([6]) Giả sử {Vnk , k 1, n 1} là mảng phần tử ngẫu
nhiên độc lập theo hàng trên không gian Banach thực khả ly và cho
{cn , n 1} là dãy hằng số dương.
Giả sử rằng
∞

∞

P{ Vnk

cn
n=1
∞

> ε} < ∞

∀ε > 0,

(2.7)

k=1
∞

E Vnk q )J < ∞

cn (
n=1

0 < q ≤ 2; J ≥ 2,

(2.8)

k=1
∞
P

Sn ≡

Vnk −→ 0;
k=1

và nếu
∞

P{ Vnk

lim inf cn = 0, thì

n→∞

k=1

> δ} = o(1) với

δ > 0.

(2.9)


23

Khi đó
∞

cn P{ Sn

> ε} < ∞

∀ε > 0.

n=1

Định lý 2.2.5. ([15]) Giả sử {Vnk , k
1, n
1} là mảng phần tử
ngẫu nhiên độc lập theo hàng, kì vọng 0, nhận giá trị trên không gian
Rademacher dạng p (1 < p < 2). Giả sử rằng {Vnk , k 1, n 1} bị chặn
ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X . Giả sử {ank , k 1, n 1} là mảng
hằng số thỏa mãn
∞

|ank |p < ∞ và sup |ank | = o(1).

sup
n≥1

k≥1

k=1

Nếu
lim tp P{|X| > t} = 0,

t→∞

thì

∞
P

ank Vnk −→ 0.
k=1

Định lý 2.2.6. Giả sử
độc lập theo hàng nhận
sử rằng {Vnk , k 1, n
Cho {ank , k 1, n 1}

{Vnk , k 1, n 1} là mảng phần tử ngẫu nhiên
giá trị trên không gian Banach thực khả ly. Giả
1} bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X.
là mảng hằng số thỏa mãn

sup |ank | = O(n−γ ) với γ > 0,

(2.10)

k≥1

và
∞

|ank | = O(nα ) với α ∈ [0, γ).

(2.11)

k=1

Nếu
E|X|1+((1+α+β)/γ) < ∞

với β ∈ (−1, γ − α − 1]

(2.12)