Nhóm lie các phép biến đổi và ứng dụng vào việc giải phương trình vi phân

Bộ Giáo Dục và Đào tạo

Trường Đại Học Vinh
Nguyễn Thị Hương

Nhóm Lie các phép biến đổi và ứng dụng
vào việc giải phương trình vi phân

Luận văn thạc sĩ toán học

Nghệ An - 2015


Bộ Giáo Dục và Đào tạo

Trường Đại Học Vinh
Nguyễn Thị Hương

Nhóm Lie các phép biến đổi và ứng dụng
vào việc giải phương trình vi phân
Luận văn thạc sĩ toán học

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62 46 01 04

Người hướng dẫn khoa học
TS. Nguyễn Quốc Thơ

Nghệ An - 2015

Mục lục
Mở đầu

2

1

Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số . . . . . . . . . . . . . . .

21

2

ứ
2.1
2.2

2.3

Nhóm Lie

ng dụng tính đối xứng vào việc giải phương trình vi phân

ứ
ứ

Hệ tọa độ chính tắc

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26
26

ng dụng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số vào giải phương

trình vi phân cấp I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

ng dụng đại số Lie để giải phương trình vi phân bậc cao . . . . . .

33

Kết luận

41

Tài liệu tham khảo

42




Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài

Trong toán học, nhóm Lie được đặt tên theo nhà toán học người Na Uy đó là
Sophus Lie, là một nhóm và cũng là một đa tạp trơn, với tính chất là các toán tử
nhóm tương thích với cấu trúc trơn. Nhóm Lie đại diện cho lý thuyết phát triển của
các đối xứng liên tục của các cấu trúc toán học. Điều này đã làm cho nhóm Lie là
công cụ cho một số ngành của Toán học hiện đại, Vật lý lý thuyết,...
Bởi vì các nhóm Lie là các đa tạp, chúng có thể nghiên cứu sử dụng giải tích vi
phân, tương phản với trường hợp các nhóm tôpô tổng quát hơn. Một trong những ý
tưởng chính trong lý thuyết của nhóm Lie, đề ra bởi Sophus Lie là thay thế cấu trúc
toàn cục, nhóm với phiên bản mang tính địa phương của nó hay còn gọi là phiên bản
đã được làm tuyến tính hóa, mà Lie gọi là nhóm cực nhỏ mà bây giờ được biết đến
như là đại số Lie.
Nhóm Lie đã cung cấp một phương tiện tự nhiên để phân tích các đối xứng liên
tục của các phương trình vi phân, trong một cách thức như các nhóm hoán vị được sử
dụng trong lý thuyết Galois để phân tích các đối xứng rời rạc của các phương trình
đại số.

Với những gì đã nêu ở trên, trong luận văn này tác giả xin trình bày lại một số
nghiên cứu cơ bản về nhóm Lie một tham số, nhóm Lie hai tham số và ứng dụng của
nó vào việc giải phương trình vi phân cấp 1 và phương trình vi phân cấp cao. Xuất
phát từ nhu cầu tìm hiểu và giải quyết một số vấn đề nêu trên chúng tôi chọn đề tài
Nhóm Lie các phép biến đổi và ứng dụng vào việc giải phương trình vi phân để
làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình.


Bản luận văn của chúng tôi dựa vào các kết quả đã biết về đại số, nhóm Lie,
nhóm Lie các phép biến đổi và các khái niệm liên quan để đọc hiểu và trình bày
lại một cách có hệ thống các kết quả về nhóm Lie các phép biến đổi và ứng dụng
các kết quả thu được trên nhóm Lie các phép biến đổi để giải phương trình vi phân
cấp 1, phương trình vi phân cấp cao.
2. Nội dung nghiên cứu của luận văn

Luận văn tập trung trình bày lại một cách có hệ thống các kết quả về nhóm Lie
một tham số, nhóm Lie hai tham số và các ứng dụng của chúng trong việc giải phương
trình vi phân.
3. Tổng quan và cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo và Danh mục các công trình
liên quan đến luận văn, nội dung luận văn được trình bày trong hai chương.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị . Nội dung trong chương này, trước hết chúng tôi
trình bày các khái niệm cơ bản, tổng quát về nhóm các phép biến đổi, nhóm Lie các
phép biến đổi một tham số, hai tham số; đại số Lie, tính giải được, biến đổi vi phân,

ứ

toán tử sinh vi phân, Định lý cơ bản Lie thứ nhất, thứ hai,...
Chương 2:

ng dụng tính đối xứng vào việc giải phương trình vi phân. Nội

dung chính của chương này là chúng tôi trình bày ứng dụng tính đối xứng của nhóm
Lie các phép biến đổi một tham số để giải phương trình vi phân cấp 1 và ứng dụng
đại số Lie để giải phương trình vi phân cấp cao.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của Thầy
giáo TS. Nguyễn Quốc Thơ. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu
sắc của mình tới Thầy, người đã tận tình hướng dẫn, dạy bảo, giúp đỡ tận tình, chu
đáo và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và thực
hiện luận văn.
Tác giả xin được cảm ơn các Thầy (Cô) giáo trong Chuyên ngành Đại số và Lý
thuyết số; các Thầy (Cô) giáo trong Khoa Sư phạm Toán học, Phòng đào tạo Sau đại
học, Ban Giám hiệu và các Phòng ban chức năng của Trường Đại học Vinh đã tạo
điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một học viên cao học.

!


Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do năng lực còn nhiều hạn chế, nên luận văn
không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những sự góp ý của
các nhà khoa học và đồng nghiệp để luận văn có thể được hoàn thiện tốt hơn.
Nghệ An, ngày 19 tháng 9 năm 2015
Tác giả

"


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Nội dung chính của chương này, trước hết chúng tôi trình bày lại một cách có
hệ thống các khái niệm cơ bản, tổng quát về tác động nhóm Lie, nhóm Lie các phép
biến đổi một tham số, nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số. Các kiến thức thức
làm cơ sở cho việc nghiên cứu Chương 2.

1.1

Nhóm Lie

1.1.1. Định nghĩa. Giả sử

(U, ) của điểm x X
Bộ

X

là một không gian tôpô. Một bản đồ tọa độ địa phương

là một tập mở

U

chứa

x và một đồng phôi : Rn U.

n số (x1 , x2 , ã ã ã , xn ) Rn tương ứng với X

điểm

được gọi là tọa độ địa phương của

x trong bản đồ (U, ). Nếu tại mỗi điểm x X

bất kỳ đều có một bản đồ tọa

độ địa phương tương thích nhau theo nghĩa: ánh xạ

1 : 1 ((U ) (V )) 1 ((U ) (V ))
là các ánh xạ trơn lớp
lớp

C k.

Số

n

C k , với k = 1, 2 ã ã ã , . Khi đó ta nói X

được gọi là chiều của đa tạp và được ký hiệu là

n = 0,

mỗi đa tạp trơn lớp

trơn lớp

C

X

dim(X) = n.

được gọi là một đa tạp tôpô, khi

n=

Khi

đa tạp

X

được gọi là đa tạp giải tích.

1.1.2. Định nghĩa. Giả sử
gian

C0

là một đa tạp trơn

là một phủ mở

X

là một không gian tôpô. Một tập bản đồ của không

{(U , )}I

sao cho:

#


1.

U

là tập mở và

: Rn U

là đồng phôi,

2. Các bản đồ tương thích nhau theo nghĩa

( )1 : ( )1 ( (U ) (U )) ( )1 ( (U ) (U ))
là các ánh xạ trơn.
Hai tập bản đồ tương thích là tương đương với nhau nếu hợp của chúng là một
tập bản đồ tương thích. Một lớp tương đương các bản đồ tương thích gọi là một cấu
trúc trơn. Một không gian tôpô cùng với một cấu trúc trơn được gọi là một đa tạp
trơn.
Số

n được gọi là chiều của đa tạp và được ký hiệu là dim(X) = n.

1.1.3. Định nghĩa. Đa tạp trơn

tại một song ánh

X

là một hợp các tập cong

: Rn U

U sao cho với mỗi tồn

thỏa mãn điều kiện tương thích:

( )1 : ( )1 ( (U ) (U )) ( )1 ( (U ) (U ))
là các ánh xạ trơn Số

n được gọi là chiều của đa tạp và được ký hiệu là dim(X) = n.

1.1.4. Định nghĩa. Cho tập hợp
hợp

G được gọi là một nhóm
1. Tính đóng: Nếu

G

và phép toán hai ngôi

: G ì G G.

Tập

nếu thỏa mãn các điều kiện

a, b G thì (a, b) G.

2. Tính kết hợp: Với mọi phần tử

a, b, c G thì

(a, (b, c)) = ((a, b), c).
3. Phần tử đơn vị: Tồn tại duy nhất phần tử đơn vị

e G để sao cho

(a, e) = (e, a) = a, a G.
4. Nghịch đảo: Với
cho

a G,

tồn tại duy nhất phần tử nghich đảo

(a, a1 ) = (a1 , a) = e.

1.1.5. Định nghĩa. Tập hợp

G được gọi là nhóm Lie, nếu:

1.

G là một nhóm.

2.

G là một đa tạp khả vi.

$

a1 G

sao


3. Các ánh xạ tích

G ì G G; (x, y) xy
và ánh xạ lấy phần tử nghịch đảo

G G; x x1
là các ánh xạ trơn.
1.1.6. Một số ví dụ về nhóm Lie
Ví dụ 1. Tập hợp

G=R

các số thực với phép cộng các số thực là một nhóm Lie,

Ga .

gọi là nhóm cộng tính và được ký hiệu là

Tập hợp G = R

các số thực khác không với phép nhân các số thực là một nhóm

Lie, gọi là nhóm nhân và được ký hiệu là

Gm .

Tập hợp G = R+ các số thực dương với phép nhân các số thực dương là một nhóm
+
Lie, gọi là nhóm nhân và được ký hiệu là G . Tồn tại ánh xạ đẳng cấu Ga
= G+ .
m

Ví dụ 2. Cho

m

K = R (hoặc K = C) là trường số thực (hoặc trường số phức). Khi đó

nhóm tuyến tính tổng quát

GLn (K) = {A M atn (K)|det(A) = 0} là một nhóm Lie.
Một nhóm con đặc biệt của

GLn (K) là nhóm tuyến tính đặc biệt

SLn (K) = {A GLn (K)|det(A) = 1} là một nhóm Lie.
Ví dụ 3.

K là một trường. Xét nhóm biến đổi Affine

G = ax + b = Af f (K) = { : K K|(x) = ax + b}
a, b K; a = 0.{[
Khi đó Af f (K) là một nhóm Lie, đẳng cấu với nhóm nhân ma
]
}
a b
a, b K, a = 0 .
trận tam giác dạng
0 1
với

Ví dụ 4. Giả sử

H = {a + bi + cj + dk|a2 + b2 + c2 + d2 = 0}
là các quaternions khả nghịch. Khi đó
Lie và

H

H
= R4 \ {0}.

%

cùng với phép nhân lập thành một nhóm

Ví dụ 5. Các mặt cầu

S 0 = {1, 1},
S 1 = {ei2 | [0, 1)},
S 3 = H1 = {q = a + bi + cj + dk H||q| = a2 + b2 + c2 + d2 = 1}
= SO(3)
là các nhóm Lie.
1.1.7. Định nghĩa. Với mọi

X

XG

và

cho

G tập, ta xác định XG

là tập các điểm bất động của

là tập các

G quỹ đạo trong

G, có nghĩa là tập các phần tử x X

sao

g.x = x, với mọi g G.

X

Ta thấy nếu

có cấu trúc đại số, ví dụ như

trường hợp này ánh xạ

X

là không gian véctơ thì trong

: G X
x g.x

là ánh xạ tuyến tính với mỗi

X

1.1.8. Định nghĩa. Cho
xạ, ánh xạ
ta có

f

g G.

và

X

là các

được gọi là đẳng biến hay

G tập trái và f : X X



là một ánh

Gđồng cấu nếu với mọi g G và x X,

g.f (x) = f (g.x).

1.1.9. Định nghĩa. Cho

G

e G được ký hiệu là G0

là nhóm Lie, khi đó thành phần liên thông của đơn vị

được định nghĩa như sau:

G0 = {g G|g(t) sao cho g(0) = e, g(1) = g}
Từ định nghĩa, ta có:
1.

G0

vừa đóng, vừa mở trong

2.

G0

là nhóm con của nhóm Lie

1.2

G.

Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số

1.2.1. Định nghĩa. Cho

eS

G.

và ánh xạ

D R2 , S R, (S, ) là một nhóm với phần tử đơn vị là

X : D ì S D. Tập hợp {X(., )} là một nhóm các phép biến

đổi một tham số nếu thỏa mãn các điều kiện:

&


1. Với mọi phần tử
2. Với
3.

S

thì ánh xạ

X : D ì S D là một song ánh,

= e, x D : X(x, e) = x,

X(X(x, ), ) = X(x, (, )), , S.

Trên đây ta xét nhóm các phép biến đổi có cấu trúc đại số. Nếu ta thêm cấu trúc
giải tích vào nhóm này một cách hợp lý thì nó trở thành nhóm Lie các phép biến đổi
một tham số. Bây giờ ta xét đến nhóm Lie các phép biến đổi một tham số.
1.2.2. Định nghĩa. Cho
một khoảng trên

R

: S ì S S

và

D R2

(S, )

là một miền mở và

là một nhóm với phần tử đơn vị là

là hàm giải tích và ánh xạ

phép biến đổi, ký hiệu là

x = (x1 , x2 ) D.
e S.

Tập

S

là

Phép toán

X : D ì S D cho ta tập hợp các

{X(., )}S . Tập các phép biến đổi trên được gọi là nhóm

Lie các phép biến đổi một tham số nếu thỏa mãn các điều kiện:
1. Với mọi

S, ánh xạ X(., ) : D ì S D là một song ánh và khả vi vô

hạn.
2. Với

x cố định ở trong D, ánh xạ X(x, .) : S D là hàm giải tích theo .

3.

X(., e) = IdD .

4.

X(X(x, ), ) = X(x, (, )), , S.

1.2.3. Ví dụ (Nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng). Cho nhóm các phép biến
đổi

x = x + ,
y = y, R
với phép toán

(, ) = + .

Như vậy, nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng được cho bởi

D = R2 , (S, )

là

nhóm cộng và ánh xạ

X : R2 ì R R2
((x, y), ) (x , y ) = (x + , y).
Ta chứng minh nhóm

{X(., )}R các phép biến đổi này là nhóm Lie các phép biến

đổi một tham số. Thật vậy

'


Trước hết ta cần chỉ ra rằng với mọi S,
ánh. Thật vậy, với mọi số thực
Dễ thấy

ánh xạ

X : R2 R2




cố định, lấy (x, y) = (x , y ).

(x + , y) = (x + , y ), nên ánh xạ X : R2 R2

Giả sử với

(x, y) R2

là một song

ta tìm được

là một đơn ánh.

(x1 , y1 ) thỏa mãn điều kiện

x = x1 + ,
y = y1
Suy ra

(x1 , y1 ) = (x , y) R2 . Tức là Im(X) = R2 .

Vậy ánh xạ

X : R2 R2

là một song ánh.

Vì X((x, y), ) = (x + , y) khả vi vô hạn theo (x, y), do
X
X
= (1, 0),

= (0, 1)
x
y
2X
2X
2X
2X
=
(0,
0),
=
(0,
0),
=
= (0, 0).
x2
y 2
xy
yx
Với (x, y) cố định trong R2 , ta có biểu diễn
x + = x + 0 + ( 0 )
y = y.
Vì

X((x, y), .) có khai triển Taylor tại 0

và hội tụ tại

0

nên nó giải tích theo

0 .

Ta có


= 1,
= 1,


2
2
2
2
=
=
0,
=
= 0.
2
2


Suy ra

+ = 0 + 0 + ( 0 ) + ( 0 ). Vì hàm (, ) = +

triển dưới dạng khai triển Taylor và hội tụ tại điểm

(0 , 0 )

là hàm khai

nên giải tích theo

X((x, y), 0) = (x + 0, y) = (x, y).

Mặt khác

Với ,

bất kỳ thuộc

S, ta có

X(X((x, y), ), ) = X((x + , y), ) = (x + + , y)
= (x + ( + ), y) = X((x, y), (, )).



, .


Vậy

X((x, y); ) là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số.

1.2.4. Ví dụ (Nhóm Scalings). Xét nhóm

x = x,
y = 2 y, 0 < < +
và phép toán giữa các tham số

(, ) = . Vì phần tử đơn vị là e = 1 nên nhóm

các phép biến đổi này được tham số hóa lại với số hạng

= 1 = 1 + .

Khi đó

x = (1 + )x,
y = (1 + )2 y, 1 < < +
D = R2 , S = (1, +) với phép toán

Nhóm Scaling được cho bởi

: S ì S S
(, ) + +
và ánh xạ

X : R2 ì S R2
((x, y), ) (x , y ) = ((1 + )x, (1 + )2 y).
Ta chỉ ra rằng nhóm các phép biến đổi

X((x, y), .) trên là nhóm Lie các phép biến

đổi một tham số. Thật vậy

Trước hết ta thấy, với mọi

Thật vậy

S,

ánh xạ

X(., ) : R2 R2


là một song ánh.



(1, +), ta lấy (x, y) = (x , y ). Khi đó ta dễ thấy




((1 + )x, (1 + )2 y) = ((1 + )x , (1 + )2 y ),
nên ánh xạ
Giả sử với

X : R2 R2

là một đơn ánh.

(x, y) bất kỳ trong R2 ta luôn tìm được (x1 , y1 ) R2 thỏa mãn điều kiện
(1 + )x1 = x
(1 + )2 y1 = y




(
Suy ra
Vậy

(x1 , y1 ) =

)

1
1
,
R2 . Tức là Im(X) = R2 .
1 + (1 + )2

X : R2 R2

là một song ánh.

Ta thấy X((x, y), ) khả vi vô hạn theo (x, y), vì ta có
X
X
= (1 + , 0),
= (0, (1 + )2 ),

x
y
2X
2X
2X
2X
=
= (0, 0).
=
=
x2
y 2
xy
yx
Mặt khác với

(x, y) cố định trong R2 , ta có biểu diễn

(1 + )x = (1 + 0 )x + ( 0 )x,
(1 + )2 y = (1 + 0 )2 y + 2( 0 )y + 2( 0 )0 y + ( 0 )2 y.
Vì

X((x, y), ) khai triển được dưới dạng khai triển Taylor tại = 0 , nên nó giải

tích theo

0 .

Mặt khác ta có biểu diễn
(, ) = + +

= 0 + 0 + 0 0 + + + 0 0 0 0
= 0 + 0 + 0 0 + ( 0 ) + ( 0 )
+ ( 0 )( 0 ) + 0 0 0 0 0 0
= 0 + 0 + 0 0 + ( 0 ) + ( 0 )
+ ( 0 )( 0 ) + 0 ( 0 ) 0 ( 0 ).
Ta thấy
do đó

(, ) khai triển được dưới dạng khai triển Taylor và hội tụ tại điểm (0 , 0 ),

(, ) là hàm giải tích theo , . Mặt khác
X((x, y), 0) = ((1 + e)x, (1 + e)2 y) = (x, y).




Do đó với

,

bất kỳ ta có

X(X((x, y), ), ) = (((1 + )x, (1 + )2 y), )
= ((1 + )(1 + )x, (1 + )2 (1 + )2 y)
= ((1 + + + )x, (1 + + + )2 y)
= X((x, y), (, )).
Vậy

X((x, y), ) là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số.

1.2.5. Biến đổi vi phân. Cho nhóm Lie các phép biến đổi một tham số

X = X(x, )
với phần tử đơn vị
cận của

(1.1)

= 0 và phép toán . Khai triển Taylor (1.1) tại = 0, trong lân

= 0, ta có
x



= x+

( X(x, )


( X(x, )
= x+


) 1( 2 X(x, )

+

=0

)

2

2

)
=0

+O(2 ).

+ããã
(1.2)

=0

Đặt

(x) =
Phép biến đổi

X(x, )


(1.3)
=0

x + (x) được gọi là phép biến đổi vi phân của nhóm Lie các phép

biến đổi (1.1). Các thành phần của

(x) được gọi là vi phân các phép biến đổi (1.1).

Một vấn đề đặt ra là nếu chỉ biết

(x) thì liệu rằng ta có thể biết được biến đổi

X(x, ) hay không? Chúng ta cùng tìm hiểu về Định lý Lie cơ bản thứ nhất để giải
quyết vấn đề này.
1.2.6. Định lý Lie cơ bản thứ nhất
1.2.6.1. Bổ đề. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số (1.1) thỏa mãn hệ thức

X(x; + ) = X(X(x; ); (1 + )).

!

(1.4)


Chứng minh. Ta có

X(X(x; ); (1 + )) = X(x; (, (1 , + )))
= X(x; ((, 1 ), + ))
= X(x; (0, + ))
= X(x; + ).

1.2.6.2. Định lý Lie cơ bản thứ nhất. Tồn tại một phép tham số hóa
nhóm Lie các phép biến đổi

() sao cho

X = X(x, ) tương ứng với nghiệm của bài toán giá

trị ban đầu của hệ phương trình vi phân cấp I

dx
= (x )
d
với điều kiện ban đầu

x = x,

khi

= 0.

Trong đó:
Phép tham số hóa



() =







( )d ,

0

với

() =

(a, b)
b



(a,b)=( ,)

và

(0) = 1.

1.2.7. Ví dụ (Nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng). Cho nhóm các phép biến
đổi

x = x +
y = y,

(1.5)

"


với phép toán
Do

(, ) = + , phần tử nghich đảo 1 = .

(a, b)
= 1
b

() = 1.

nên

X(x; ) = (x + , y). Vì

x = (x, y),

khi đó nhóm (1.5) trở thành

X(x; )
= (1, 0) nên ta có

(x) =

Bây giờ, giả sử ta chỉ có

Đặt

X(x; )


= (1, 0).

=0

(x) = (1, 0). Khi đó từ Định lý Lie cơ bản thứ nhất, ta sẽ

xây dựng lại nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng. Thật vậy,

dx
dy
= 1,
=0
d
d

(1.6)

và điều kiện ban đầu

x = x, y = y

khi

= 0.

(1.7)

Giải hệ (1.6) và (1.7), ta có

x = + C1
y = C2 .
Khi

= 0 thì x = x, y = y

nên

C1 = x, C2 = y. Vậy nghiệm của hệ (1.6), (1.7)

là

x = x +
y = y.
1.2.8. Ví dụ. Xét nhóm

x = (1 + )x
y = (1 + )2 y, 1 < < +,
với phép toán giữa các tham số là

1 =

(a, b) = a + b + ab


(a, b)
. Do đó,
= 1 + a.
1+
b

#

(1.8)
và phần tử nghịch đảo


Suy ra

() =

(a, b)
b

(a,b)=(1 ,)

= 1 + 1 =

1
. Chọn x = (x, y), khi đó hệ
1+

(1.8) trở thành

X = (x; ) = ((1 + )x, (1 + )2 y)
X(x; )
X(x; )
= (x, 2(1 + )y) và (x) =
= (x, 2y). Giả sử ta
=0


chỉ có (x) = (0, 1), khi đó theo Định lý Lie cơ bản thứ nhất ở trên ta sẽ xây dựng

nên ta có

lại nhóm Scalings. Ta có

x dy
2y
dx
=
,
=
,
d
1 + d
1+
x = x, y = y khi = 0. (1.9)
Giải hệ (1.9) ta thu được hệ (1.8). Thực hiện phép tham số hóa ta có





=

( )d =
0

0

1

d
= ln|1 + |.
1 +

Nhóm (1.8) trở thành

x = e x,
y = e2 y, < < +,
với phép toán giữa các tham số mới là

(1 , 2 ) = 1 + 2 .

1.2.9. Toán tử sinh vi phân
Từ Định lý Lie thứ nhất, không mất tính tổng quát ta giả sử nhóm Lie các phép
biến đổi một tham số hóa được tham số lại bằng phép toán cho bởi
với

(a, b) = a + b

1 = và () 1. Do đó, với hàm vi phân là (x) nhóm Lie các phép biến

đổi một tham số

sẽ trở thành

dx
= (x ),
d

với điều kiện ban đầu

x = x khi = 0.
1.2.10. Định nghĩa. Toán tử sinh vi phân của nhóm Lie các phép biến đổi một tham
số là toán tử

X = X(x) = (x). = 1 (x)

$



+ 2 (x)
,
x1
x2


với

là toán tử gradient:

)

=
,
x1 x2
với hàm khả vi F (x) = F (x1 , x2 ), ta có
(

XF (x) = (x).F (x) = 1 (x)

F (x)
F (x)
+ 2 (x)
.
x1
x2

Chú ý rằng

(

x1
x1
x2
x2 )
Xx = X(x)x = 1 (x)
+ 2 (x)
, 1 (x)
+ 2 (x)
x1
x2
x1

x2
= ((x1 ), (x2 ))(x).
Theo Định lý Lie thứ nhất từ nhóm Lie các phép biến đổi một tham số ta xác
định được toán tử sinh vi phân. Định lý dưới đây chỉ ra rằng bằng việc sử dụng toán
tử sinh vi phân

x = x khi = 0 ta dẫn đến thuật toán tìm nghiệm tường minh của

bài toán Cauchy.
1.2.11. Định lý. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số tương đương với

1
1
x = eX x = x + Xx + 2 X 2 x + ã ã ã = [1 + X + 2 X 2 + ã ã ã ]x
2
2

k

=
X k x,
k!
k=0
với toán tử


xi
k
k
k

và X = X (x)(k = 1, 2, ã ã ã ), trong đó toán tử X F (x) thu được từ toán tử X
X = X(x) = (x)

trong

X k1 F (x)(k = 1, 2, ã ã ã ), với X 0 F (x) F (x).

Chứng minh. Cho



+ 2 (x)
x1
x2


X(x) = 1 (x ) + 2 (x )
x1
x2

x = X(x, ),
X = X(x) = 1 (x)

là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số.

%


Khai triển Taylor

x = X(x, ) tại = 0, ta có

x =
với mọi hàm khả vi

k(

X(x; )

k!
i=0

k

)

=
=0

k( k k

dx
k=0

k!

dk

)
=0

F (x), ta thu được

F (x ) dx1 F (x ) dx2
d

F (x ) =
+
d
x1 d
x2 d


F (x )
F (x )
= 1 (x )
+ 2 (x )
x1
x2
= X(x )F (x ).
Do vậy

dx
= (x ) = X(x )x
d
2
d ( dx ) d
dx

= X(x )x .
=
2
d
d d
d


= X(x )X(x )x = X 2 (x )x
Tổng quát

dk x
= X k (x )x , k = 1, 2, ã ã ã
k
d

Do đó

dk x
= X k (x )x = X k (x)x,
k
d =0

vì khi = 0 thì x = X(x; ) = X(x; 0) = x nên ta suy ra


x =

k

i=0

k!

X k x.

F (x) là hàm khả vi vô hạn thì nhóm Lie các phép biến đổi một
(
)

tham số x = X(x; ) với toán tử vi phân X(x) = (x)
+
, ta có
x1 x2
1.2.12. Hệ quả. Nếu

F (x ) = F (eX .x) = eX .F (x).

&


Chứng minh. Ta có



X

F (e ) = F (x ) =

k( k

d F x
i=0

dk

k!

)
=0

d
d2 F (x )



Từ đẳng thức
F (x ) = X(x )F (x ), ta có
= X 2 (x )F (x ),
2
d
d
k

dk F (x )
d
F
(x
)

= X k (x )F (x ). Vì
= X k (x)F (x), nên ta có
k
k
=0
d
d


k
(


X

F (x ) = F (e x) =

i=0

k!

k



)

X (x ) F (x) = eX F (x).

1.2.13. Ví dụ. Xét nhóm phép quay

x = x cos + y sin
y = x sin + y cos .

(1.10)

Phép biến đổi vi phân của hệ (1.10)



(x ) = (1 (x, y); 2 (x, y)) =

( dx

dy
,
d =0 d

)
=0

= (y, x).

Toán tử sinh vi phân của hệ (1.10)

X = 1 (x, y)

2 (x, y) , Y =
x .
x
y
x
y

Chuỗi Lie tương ứng với hệ

X = 1 (x, y)
là





2 (x, y) , Y
x
x
y x
y

(x , y ) = (eX x, eY y). Khi đó
Xx = y

x
x
y
y

x = y, Xy = y x = x.
x
y
x
y

'

do đó


Bây giờ ta tính các

X k x và X k y, với k = 1, 2, .... Ta có:

X 2 x = XXx = Xy = x
X 3 x = X 2 Xx = X 2 y = XXy = Xx = y
X 4 x = X 3 Xx = X 3 y = X 2 Xy = X 2 x = x
X 2 y = XXy = Xx = y
X 3 y = X 2 Xy = X 2 x = x
X 4 y = X 3 Xy = X 3 x = X 2 Xx = X 2 y = y.
Do đó

X 4n x = x; X 4n1 x = y; X 4n2 x = x; X 4n3 x = y; n = 1, 2, ...
X 4n y = y; X 4n1 y = x; X 4n2 y = y; X 4n3 y = x; n = 1, 2, ...
Bởi vậy

x

(x , y ) được viết dưới dạng

)
(
)
2 4
3 5
= e x=
X x = 1 + + .... x + + + .... y
2! 4!
3! 5!
k=0
= x cos + y sin .



X

Tương tự ta cũng có

k

(

y = eX x = x sin + y cos .

1.2.14. Định nghĩa. Cho

F : D D

và

F (x) là hàm khả vi vô hạn.

được gọi là bất biến qua nhóm Lie các phép biến đổi một tham số

Khi đó

F

X = X(x, )

nếu và chỉ nếu

F (X(x, )) = F (x).
1.2.15. Định lý.

F (x)

là bất biến qua nhóm Lie các phép biến đổi một tham số

X = X(x, ) nếu và chỉ nếu
XF (x) 0.

Chứng minh. Ta có



F (x ) e F (x)

X

k



1
X k F (x) F (x) + XF (x) + 2 X 2 F (x) + ã ã ã
k!
2
i=0




Vì

F (x)

là hàm bất biến, nên

F (x ) = F (x).

Vậy từ công thức khai triển trên ta

XF (x) 0.

suy ra

1.2.16. Định lý. Cho nhóm Lie các phép biến đổi một tham số

X = X(x, ), đồng

nhất thức

F (x ) F (x) + ,
xảy ra khi và chỉ khi

XF (x) 1.

Chứng minh. Giả sử

F (x) thỏa mãn điều kiện F (x ) F (x) + thì

1
F (x) + F (x) + XF (x) + 2 X 2 F (x) + ã ã ã
2
Do đó,

XF (x) 1.

Ngược lại, nếu
với

F (x)

thỏa mãn điều kiện

XF (x) 1.

Khi đó

X n F (x) 0,

n = 2, 3, ...... Do vậy
F (x ) eX F (x) F (x) + XF (x) F (x) + .

1.3

Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số

1.3.1. Định nghĩa. Cho

= (1 , 2 ) S.(S, )

D R2 , x = (x1 , x2 ) D, S = (S1 , S2 )
là một nhóm với phần tử đơn vị

và phần tử

e = (0, 0).

Phép toán

i : Si ì Si Si là hàm giải tích. X = (X1 , X2 ) : D ì S D cho ta tập các
{

phép biến đổi 2 tham số, ký hiệu là

}

. Tập các phép biến đổi trên được

X(., )
S

gọi là nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số nếu thỏa mãn các điều kiện:
1. Với phần tử

cố định trong S thì ánh xạ X(., ) : D ì S D là một song

ánh và khả vi vô hạn,
2.

X(., 0) = IdD ,




3. Với mọi phần tử

, S, ta có
X(X(x, ), ) = X(x, (, )).

Xét ma trận vi phân

(x) cấp 2 ì 2


X1 (x, )

[
]

(x) 12 (x)
1
(x) = 11
=
X1 (x, )
21 (x) 22 (x)
2
Cho

=0

=0

X2 (x, )
1
X2 (x, )
2





=0
=0

(x) là ma trận cấp 2 ì 2

1 (, )

1
(x) =
1 (, )
2
và ma trận nghịch đảo của

=0

=0

2 (, )
1
2 (, )
2





=0
=0

() là () = 1 ().

1.3.2. Định lý Lie cơ bản thứ nhất. Nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số tại lân
cận

=0

tương ứng với nghiệm bài toán ban đầu giá trị ban đầu của hệ phương

trình vi phân cấp I





X1 X2


1 1 = ()(x )
X1 X2
2 2
với điều kiện ban đầu

x = x khi = 0.
1.3.3. Toán tử sinh vi phân. Toán tử sinh vi phân

X ứng với tham số của nhóm

Lie các phép biến đổi 2 tham số

X1 = 11

+ 12
, X2 = 21
+ 22
.
x1
x2
x1
x2

Cách khác để biểu diễn nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số là

x = eà1 X1 eà2 X2 ,
trong đó

à1 , à 2

là những hằng số thực.


Bậc của những số hạng trong công thức trên có thể được sắp xếp bằng cách đánh
số lại các toán tử sinh vi phân, sự sắp xếp đó có thể không cần thứ tự chính xác vì ta
có

eà1 X1 eà2 X2 = eà2 X2 eà1 X1 .
Một thứ tự mới của các số hạng sẽ tương ứng với một phép tham số hóa khác, ví vụ

() sẽ thay đổi. Nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số tương ứng với x = X(x, )
nếu nó có thể được biểu diễn dưới dạng hệ phương trình vi phân cấp I trong Định
lý Lie cơ bản thứ nhất với cùng một

(x). Ta cũng chỉ ra được rằng nhóm Lie các

phép biến đổi 1 tham số của phép biến đổi

x = eX x = e(1 X1 +2 X2 ) x
thu được nhờ sự mũ hóa toán tử vi phân

X = 1 X1 + 2 X2 = 1 (x)



+ 2 (x)
x1
x2

trong đó

1 (x) = 1 11 (x) + 2 21 (x), 2 (x) = 1 12 (x) + 2 22 (x).
Số hạng của hằng số thực cố định bất kỳ

1 , 2

xác định một nhóm Lie các phép

biến đổi 1 tham số là nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số.
Bây giờ ta xét nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số với các toán tử vi phân

X1 , X2

được xác định bởi



X1 (x, )
[
]

(x) 12 (x)
1
(x) = 11
=
X1 (x, )
21 (x) 22 (x)
2

=0

=0

X2 (x, )
1
X2 (x, )
2

và

+ 12
, X2 = 21
+ 22
.
x1
x2
x1
x2
Khi đó tích Lie của X1 và X2 là toán tử cấp I
X1 = 11

[X1 , X2 ] = X1 X2 X2 X1


= 1 (x)
+ 2 (x)
.
x1
x2

!





=0
=0