Sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên α mixing và ứng dụng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (406.9 KB, 33 trang )

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGÔ TRÍ HẢI

SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ CỦA TỔNG
CÓ TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU
NHIÊN α-MIXING VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành : Lý thuyết xác suất và thống kê Toán học
Mã số : 60. 46. 01. 06

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS. TS. LÊ VĂN THÀNH

NGHỆ AN, 2015

MỤC LỤC

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Các dạng hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . .
1.2 Dãy cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Sự phụ thuộc mixing của dãy các biến ngẫu nhiên . . . . . . . .

5
5
10

11

2 Sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên
α-mixing và ứng dụng
17
2.1 Sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên α-mixing 17
2.2 Ứng dụng cho mô hình hồi quy phi tham số . . . . . . . . . . . 29
Kết luận

31

Tài liệu tham khảo

32

2

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong lý thuyết xác suất và thống kê toán học, tính độc lập của các biến ngẫu
có thể được xem như là một tính chất rất mạnh. Hiện nay, các kết quả xác suất
như luật số lớn, định lý giới hạn trung tâm, luật loga lặp... đã được chứng minh
rất chặt chẽ với điều kiện độc lập. Tuy nhiên, trong cuộc sống hầu hết các hiện
tượng ngẫu nhiên xẩy ra lại thường phụ thuộc theo một quy luật nào đó, chẳng
hạn như phụ thuộc Markov, phụ thuộc martingale, m-phụ thuộc... Trong các
kiểu phụ thuộc của các biến ngẫu nhiên thì phụ thuộc mixing hiện nay đang
được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Vào năm 1956, Rosenblatt đã đưa
ra định nghĩa cho kiểu phụ thuộc α- mixing. Tiếp đó, các nhà nghiên cứu đã

đưa ra các kiểu phụ thuộc khác như ϕ-mixing[ Ibragimov -1959] và ψ-mixing
[Blum -1963], ρ-mixing [Kolmogorov -1960]. Từ đó đến nay nhiều hướng nghiên
cứu khác nhau về các biến ngẫu nhiên thỏa mãn các kiểu phụ thuộc này.
Định lý giới hạn của tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên α- mixing
có vai trò quan trọng trong điều khiển, ngẫu nhiên và thống kê toán học (Ví
dụ như bài toán quan sát trạng thái, phương pháp ước lượng bình phương tối
thiểu, bài toán ước lượng hàm hồi quy phi tham số, . . . ) là một hướng thu hút
sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu. Theo hướng phát triển này chúng tôi
chọn đề tài luận văn là: “Sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số các biến ngẫu
nhiên α-mixing và ứng dụng” Chúng tôi nghiên cứu các bất đẳng thức cực đại
cho các biến ngẫu nhiên α-mixing. Từ đó, chúng tôi nghiên cứu sự hội tụ đầy
đủ của tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên α-mixing và đưa ra ứng dụng trong
mô hình hồi quy phi tham số.
Luận văn được chia làm hai chương. Chương 1 trình bày các kiến thức cơ
bản về sự phụ thuộc mixing, sự hội tụ hầu chắc chắn và sự hội tụ đầy đủ.
Trong chương hai chúng tôi trình bày về sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng
số các biến ngẫu nhiên α-mixing và ứng dụng cho mô hình hồi quy phi tham
3

số. Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại hoc Vinh, dưới sự
hướng dẫn khoa học của thầy giáo PGS.TS. Lê Văn Thành. Tác giả xin được
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy về sự hướng dẫn nhiệt tình trong
suốt thời gian học tập và nghiên cứu. Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời biết ơn
tới GS.TS. Nguyễn Văn Quảng, TS. Nguyễn Trung Hòa, TS. Nguyễn Thị Thế,
TS. Nguyễn Thanh Diệu, TS. Võ Thị Hồng Vân, cùng các thầy cô giáo trong
tổ xác suất thống kê Khoa Toán. Đồng thời, tác giả xin cảm ơn tới gia đình,
bạn bè đã quan tâm, góp ý, tạo điều kiện giúp tác giả hoàn thành luận văn
này. Mặc dù đã cố gắng song do năng lực còn hạn chế nên luận văn chắc chắn
không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những lời

chỉ bảo quý báu của các Thầy, Cô giáo và góp ý của bạn đọc để luận văn được
hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 09 năm 2015
Tác giả

4

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong toàn bộ luận văn, ta luôn giả sử các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên
không gian xác suất (Ω, F, P ). Trong chương này, chúng tôi trình bày các dạng
hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên và sự phụ thuộc mixing.

1.1

Các dạng hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên

Mục này sẽ trình bày giới hạn của dãy các biến cố, và bổ đề Borel-Cantelli. Sau
đó chúng tôi giới thiệu các dạng hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên, đó là sự
hội tụ theo xác suất, sự hội tụ theo trung bình, sự hội tụ hầu chắc chắn,...
Định nghĩa sau đây trình bày về khái niệm lim sup và lim inf của một dãy
các tập hợp. Các định nghĩa này chỉ có ý nghĩa thực sự khi các tập hợp đang
xét thuộc một σ-đại số nào đó.
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử A1 , A2 , . . . là dãy các biến cố. Khi đó ta định nghĩa
∞

∞

lim sup An :=

Ak
n=1 k=n

= {ω ∈ Ω : ∀ n ∃ k ≥ n sao cho ω ∈ Ak }
= {ω ∈ Ω : ω thuộc vô hạn các biến cố An },
và
∞

∞

lim inf An :=

Ak
n=1 k=n

= {ω ∈ Ω : ∃ n sao cho ∀ k ≥ n, ω ∈ Ak }
= {ω ∈ Ω : ω thuộc vào tất cả trừ ra một số hữu hạn An }.

5

Ta cũng thường chúng ký hiệu lim sup An = (An i.o.), với chữ i.o. là viết tắt
của “infinite often”, với ý nghĩa lim sup An xảy ra khi và chỉ khi có vô hạn các
biến cố An xảy ra.
Tiếp theo chúng ta trình bày khái niệm giới hạn của một dãy các tập hợp.
Định nghĩa 1.1.2. Nếu lim sup An = lim inf An = A, thì ta nói dãy (An ) hội
tụ tới A và viết
lim An = A hay An → A.

Chúng ta trình bày một ví dụ đơn giản về lim sup và lim inf của một dãy
các tập hợp.
Ví dụ 1.1.3. Giả sử A1 = A3 = A5 = · · · = A và A2 = A4 = A6 = · · · = B với
B là tập con thực sự của A. Khi đó lim sup An = A và lim inf An = B.
Khái niệm lim sup và lim inf trong Định nghĩa 1.1.1 là một khái niệm tương
đối khó. Thông thường, chúng ta chỉ quan tâm đến dãy các tập hợp tăng hoặc
giảm.
Định nghĩa 1.1.4. Dãy các biến cố A1 , A2 , . . . được gọi là giảm nếu A1 ⊇ A2 ⊇
A3 ⊇ · · · . Trong trường hợp này, ta viết An .
Tương tự, Dãy các biến cố A1 , A2 , . . . được gọi là tăng nếu A1 ⊆ A2 ⊆ A3 ⊆
· · · . Trong trường hợp này, ta viết An .
Định lý sau đây trình bày về giới hạn của dãy các biến cố tăng (giảm). Phép
chứng minh là tương đối dễ dàng.
Mệnh đề 1.1.5. Nếu An

, thì (An ) hội tụ, và
∞

lim An =

An = A.
n=1

Nếu An

, thì (An ) hội tụ, và
∞

lim An =

An = B.
n=1

Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày bổ đề Borel-Cantelli. Nó cho ta một điều
kiện đơn giản để biết khi nào xác suất của biến cố lim sup An bằng 0 hay 1.
6

Định lý 1.1.6 (Bổ đề Borel-Cantelli). Giả sử A1 , A2 , . . . là các biến cố.
1. Nếu

n P (An )

< ∞ thì P (An i.o.) = 0.

2. Nếu A1 , A2 , . . . độc lập và

n P (An )

= ∞ thì P (An i.o.) = 1.

Tiếp theo, chúng ta sẽ trình bày các dạng hội tụ của dãy các biến ngẫu
nhiên.
Định nghĩa 1.1.7 (Hội tụ theo xác suất). Một dãy các biến ngẫu nhiên
X1 , X2 , . . . được gọi là hội tụ theo xác suất đến một biến ngẫu nhiên X nếu
với mọi ε > 0
P (|Xn − X| > ε) → 0 khi n → ∞.
P

Khi đó ta viết Xn → X.

Sự hội tụ theo xác suất khẳng định rằng với ε bé tùy ý, xác suất để Xn lệch
khỏi X một khoảng quá ε là không đáng kể khi n lớn, xác suất đó hội tụ về 0.
Sau đây ta sẽ giới thiệu một khái niệm hội tụ mạnh hơn, đó là sự hội tụ
trong Lp (p > 0), hay hội tụ theo trung bình cấp p.
Định nghĩa 1.1.8 (Hội tụ theo trung bình p). Giả sử p > 0. Một dãy các biến
ngẫu nhiên X1 , X2 , . . . được gọi là hội tụ trong Lp hay hội tụ theo trung bình
cấp p đến một biến ngẫu nhiên X nếu
Xn − X

p

→ 0 khi n → ∞,

tức là
E|Xn − X|p → 0 khi n → ∞.
Lp

Khi đó ta viết Xn → X.
Mệnh đề sau đây giải thích tại sao sự hội tụ theo trung bình cấp p lại mạnh
hơn sự hội tụ theo xác suất.
Lp

p

Mệnh đề 1.1.9. Nếu Xn → X thì Xn → X.
Chứng minh. Mệnh đề trên là một hệ quả đơn giản của bất đẳng thức Markov:
P (|Xn − X| > ε) ≤ P (|Xn − X|p ≥ εp ) ≤

E|Xn − X|p
→ 0.

εp

✷
7

Tiếp theo ta trình bày khái niệm hội tụ hầu chắc chắn (almost sure convergence), một dạng hội tụ mạnh hơn sự hội tụ theo xác suất. Trước hết, chúng
ta nhận xét rằng với dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1}, tập
C = {ω : Xn (ω) hội tụ}
là một biến cố. Thật vậy, dãy {Xn (ω), n ≥ 1} hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy
Cauchy trong R. Do đó,
∞

∞

∞

ω : |Xm+k (ω) − Xm (ω)| ≤

C=
n=1 m=1 k=1

1
.
n

Định nghĩa 1.1.10. Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là hội tụ
hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X khi n → ∞ nếu
P ω : n→∞
lim Xn (ω) = X(ω) = 1.

Khi đó ta viết
h.c.c
Xn → X h.c.c khi n → ∞, hoặc n→∞
lim Xn = X h.c.c, hoặc n→∞
lim Xn = X.
Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là khi nào thì Xn không hội tụ hầu chắc chắn?
Ta nhắc lại rằng một dãy các số thực xn → x nếu và chỉ nếu ∃ε > 0 : |xn −x| > ε
tại vô hạn n. Điều này có nghĩa là tồn tại một dãy con của (xn ) cách xa x một
khoảng lớn hơn ε. Do đó, ta có mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.1.11. Xn → X h.c.c. nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0, P (|Xn −X| > ε
i.o.) = 0.
Định lý sau đây so sánh sự hội tụ h.c.c và sự hội tụ theo xác suất.
Định lý 1.1.12 (Sự hội tụ h.c.c. và sự hội tụ theo xác suất). Giả sử {X, Xn , n ≥
1} là dãy các biến ngẫu nhiên.
1. Nếu Xn → X h.c.c. thì Xn → X theo xác suất.
2. Nếu Xn → X theo xác suất thì tồn tại dãy con {Xnk } của {Xn } sao cho
Xnk → X h.c.c.
8

Chứng minh. 1. Giả sử Xn → X h.c.c. và ε > 0. Do đó 0 = P (|Xn − X| >
ε i.o.) = P (lim sup{|Xn − X| > ε}). Theo tính chất liên tục của độ đo xác
suất, ta có P (lim sup{|Xn −X| > ε}) = limn→∞ P ( ∞
k=n (|Xk − X| > ε)) ≥
lim sup P (|Xn − X| > ε). Khi đó P (|Xn − X| > ε) → 0. Điều này có nghĩa
Xn → X theo xác suất.
2. Giả sử Xn → X theo xác suất. Cố định dãy εk → 0, ta chọn dãy con (nk )
sao cho
P (|Xnk − X| > εk ) < 2−k với k = 1, 2, . . .
Do

k

2−k hội tụ, nên áp dụng bổ đề Borel-Cantelli ta có
P (|Xnk − X| > εk i.o.) = 0.

Do đó, Xnk → X h.c.c.

✷
Hệ quả sau đây nêu lên một điều kiện cần và đủ của sự hội tụ theo xác suất.
Hệ quả 1.1.13. Giả sử {X, Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên. Khi đó
Xn → X theo xác suất nếu với mọi dãy con của Xn đều chứa một dãy con khác
hội tụ h.c.c. đến X.
Chứng minh.
• (⇒). Với một dãy con bất kỳ, theo định lý trên, nó sẽ chứa
một dãy con khác hội tụ h.c.c.
• (⇐). Giả sử ngược lại rằng Xn → X theo xác suất. Khi đó tồn tại ε > 0
và dãy con (nk ) sao cho P (|Xnk − X| > ε) > ε. Do đó, dãy con Xnk không
chứa một dãy con nào hội tụ đến X theo xác suất. Điều mâu thuẫn này
kết thúc chứng minh định lý.
✷
Một câu hỏi đặt ra là khi nào sự hội tụ h.c.c tương đương với sự hội tụ theo
xác suất. Hệ quả sau đây trả lời câu hỏi đó.
Hệ quả 1.1.14. Nếu Xn là dãy đơn điệu thì Xn → X h.c.c. khi và chỉ khi
Xn → X theo xác suất.
9

Chứng minh. Nếu Xn → X theo xác suất, thì tồn tại dãy con Xnk → X h.c.c.
Kết hợp với tính đơn điệu của dãy Xn , ta suy ra được Xn → X h.c.c.

✷
Định nghĩa 1.1.15. Giả sử {X, Xn , n
1} là họ biến ngẫu nhiên. Ta nói
{Xn , n 1} hội tụ đầy đủ đến X khi n → ∞ nếu với mọi ε > 0 thì
∞

P (|Xn − X| > ε) < ∞.
n=1
c

Khi đó ta ký hiệu Xn →
− X khi n → ∞.
Phép chứng minh hai mệnh đề sau đây là hoàn toàn dễ dàng.
c

Mệnh đề 1.1.16. Nếu Xn →
− X thì Xn → X h.c.c.
Mệnh đề 1.1.17. Nếu

∞

E|Xn − X|p < ∞

n=1
c

− X.
với p > 0 nào đó thì Xn →
Định lý sau đây sẽ chỉ ra điều kiện để chiều ngược của Mệnh đề 1.1.16 đúng.
Định lý 1.1.18. Giả sử {Xn , n

1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập và c là
c
− c.
một hằng số. Nếu Xn → c h.c.c. thì Xn →
Chứng minh. Giả sử ε > 0 tùy ý. Đặt An = (|Xn − c| > ε). Khi đó
lim sup An ⊂ (Xn

X).

Áp dụng bổ đề Borel-Cantelli cho dãy biến cố độc lập {An , n
phải chứng minh.

1.2

1} ta được điều
✷

Dãy cơ bản

Một dãy số thực hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản. Trong mục này, chúng
ta sẽ xét điều tương tự cho trường hợp dãy biến ngẫu nhiên. Các kết quả trong
phần này được trình bày với chứng minh chi tiết trong [1].

10

Định nghĩa 1.2.1. Ta nói dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n 1} là dãy cơ bản
• hầu chắc chắn (h.c.c) nếu P(m,n→∞
lim |Xm − Xn | = 0) = 1.
• theo xác suất nếu m,n→∞

lim P(|Xm − Xn | > ε) = 0 với mọi ε > 0.
• theo trung bình cấp p > 0 nếu m,n→∞
lim E|Xm − Xn |p = 0.
Định lý 1.2.2. (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ hầu chắc chắn ) Dãy {Xn , n
1} cơ bản hầu chắc chắn khi và chỉ khi {Xn , n 1} hội tụ hầu chắc chắn.
Định lý 1.2.3. Dãy {Xn , n 1} là cơ bản hầu chắc chắn khi và chỉ khi một
trong hai điều kiện sau thoả mãn
(i) n→∞
lim P( sup |Xk − Xl | > ε) = 0 với mọi ε > 0.
k,l≥n

(ii) n→∞
lim P(sup |Xk − Xn | > ε) = 0 với mọi ε > 0.
k n

Định lý 1.2.4. (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ theo xác suất) Dãy {Xn , n
1} hội tụ theo xác suất khi và chỉ khi {Xn , n 1} cơ bản theo xác suất.
Định lý 1.2.5. (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ theo trung bình) Với p 1,
dãy {Xn , n 1} hội tụ theo trung bình cấp p khi và chỉ khi {Xn , n 1} cơ bản
theo trung bình cấp p. Hơn nữa, không gian Lp là không gian Banach.

1.3

Sự phụ thuộc mixing của dãy các biến ngẫu nhiên

Mục này sẽ trình bày một số loại phụ thuộc mixing như α-mixing, β-mixing,...
Mối quan hệ giữa các loại mixing cũng sẽ được đề cập.
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử A và B là các σ-đại số con của F, ta định nghĩa
các đại lượng đo sự phụ thuộc giữa A và B như sau:
α(A, B) = sup |P (AB) − P (A)P (B)| : A ∈ A, B ∈ B ;

ϕ(A, B) = sup |P (B|A) − P (B)|, A ∈ A, B ∈ B, P (A) > 0 ;
ψ(A, B) = sup

P (A ∩ B)
− 1 , A ∈ A, B ∈ B, P (A)P (B) > 0 ;
P (A)P (B)

β(A, B) = sup

1 I J
|P (Ai ∩ Bj ) − P (Ai )P (Bj )|
2 i=1 j=1
11

với sup được lấy cho mọi cặp Ai và Bj tương ứng thuộc các phân hoạch hữu
hạn {A1 , A2 , ..., AI } của A và {B1 , B2 , ..., BJ } của B.
Mệnh đề 1.3.2. Cho A và B là các σ-đại số con của F. Khi đó
(i) 0 ≤ α(A, B) ≤ 1/4;
(ii) 0 ≤ β(A, B) ≤ 1;
(iii) 0 ≤ ϕ(A, B) ≤ 1;
(iv) 0 ≤ ψ(A, B) ≤ ∞.
Chứng minh. (i) Rõ ràng α(A, B) ≥ 0. Với A ∈ A và B ∈ B tùy ý, xét |P (AB)−
P (A)P (B)|. Nếu A, B xung khắc thì
(P (A) + P (B))2
1
0 ≤ |P (AB) − P (A)P (B)| = P (A)P (B) ≤
≤ .
4
4

Với A ∈ A, B ∈ B tùy ý ta có
|P (AB) − P (A)P (B)| = |P (AB) − (P (A\B) + P (AB))P (B)|
¯ − P (A\B)P (B)|.
= |P (AB)P (B)
¯ xung khắc; A\B và B xung khắc nên áp dụng trường hợp trên ta
Vì AB và B
¯ ≤ 1/4, 0 ≤ P (A\B)P (B) ≤ 1/4. Do đó,
được 0 ≤ P (AB)P (B)
¯ − P (A\B)P (B) ≤ P (AB)P (B)
¯ ≤ 1/4,
P (AB)P (B)
¯ − P (A\B)P (B) ≥ −P (A\B)P (B) ≥ −1/4.
P (AB)P (B)
Điều này dẫn đến |P (AB) − P (A)P (B)| ≤ 1/4, do đó α(A, B) ≤ 1/4.
(ii) Chứng minh β(A, B) ≤ 1. Với phân hoạch {A1 , . . . , AI } của A và
{B1 , . . . , BJ } của B ta có
I

J

|P (Ai Bj ) − P (Ai )P (Bj )|
i=1 j=1
I

J

≤

I

J

P (Ai Bj ) +
i=1 j=1

P (Ai )P (Bj )
i=1 j=1

12

I

J

=1+

P (Ai )
i=1

P (Bj ) = 1 + 1 = 2.
j=1

Do đó β(A, B) ≤ 1.
(iii) Chứng minh 0 ≤ ψ(A, B) ≤ ∞, tức là ta cần chứng minh nói chung
ϕ(A, B) không bị chặn.
Chẳng hạn, ta chọn A = B và A = B, khi đó
P (A)
1
P (AB)

−1 =
−1 =
−1
P (A)P (B)
P (A)P (A)
P (A)
và nếu ta cho P (A) → 0 thì rõ ràng
P (AB)
−1 →∞
P (A)P (B)
và do đó ϕ(A, B) ≤ ∞.
(iv) Chứng minh 0 ≤ ϕ(A, B) ≤ 1. Bất đẳng thức ϕ(A, B) ≥ 0 là hiển nhiên.
Với A ∈ A, B ∈ B và P (A) > 0 ta có
P (B|A) − P (B) ≤ P (B|A) ≤ 1 và P (B|A) − P (B) ≥ −P (B) ≥ −1
do đó |P (B|A) − P (B)| ≤ 1. Ta suy ra ϕ(A, B) ≤ 1.

✷
Nếu A và B độc lập thì ta có
α(A, B) = β(A, B) = Ψ(A, B) = 0 = ϕ(A, B) = 0.
Mệnh đề sau đây cho phép chúng ta so sánh các đại lượng trên.
Mệnh đề 1.3.3. Cho A và B là các σ-đại số con của F. Khi đó
2α(A, B) ≤ β(A, B) ≤ ϕ(A, B) ≤ (1/2)ψ(A, B).
Chứng minh. Trước hết ta nhận xét rằng với mọi biến cố A, B ta luôn có
¯ − P (A)P
¯ (B)|
|P (AB) − P (A)P (B)| = |P (AB)
¯ − P (A)P (B)|
¯
= |P (AB)
¯ − P (A)P

¯ (B)|.
¯
= |P (A¯B)
13

(i) Chứng minh 2α(A, B) ≤ β(A, B). Lấy A ∈ A, B ∈ B tùy ý và chọn phân
¯ của A, {B, B}
¯ của B ta có
hoạch {A, A}
I

J

2β(A, B) = sup

|P (Ai Bj ) − P (Ai )P (Bj )|
i=1 j=1

¯ − P (A)P
¯ (B)|
≥|P (AB) − P (A)P (B)| + |P (AB)
¯ − P (A)P (B)|
¯ + |P (A¯B)
¯ − P (A)P
¯ (B)|
¯
+ |P (AB)
=4|P (AB) − P (A)P (B)|.
Vì A, B chọn tùy ý nên β(A, B) ≥ 2 sup{|P (AB) − P (A)P (B)| : A ∈ A, B ∈

B} = 2α(A, B).
(ii) Chứng minh ϕ(A, B) ≤ (1/2)ψ(A, B). Xét P (A) > 0. Nếu P (B) = 0
¯ = 0 và P (B|A) − P (B) =
thì P (B|A) − P (B) = 0. Nếu P (B) = 1 thì P (B)
¯
¯ = P (B)
¯ − P (B|A)
¯
(1 − P (B|A))
− (1 − P (B))
= 0. Do đó
ϕ(A, B) = sup{|P (B|A) − P (A)| : A ∈ A, B ∈ B, P (A) > 0}
= sup{|P (B|A) − P (A)| : A ∈ A, B ∈ B, P (A) > 0 và 1 > P (B) > 0}.
Với A ∈ A, B ∈ B tùy ý mà P (A) > 0 và 1 > P (B) > 0 ta có
|P (AB) − P (A)P (B)|
4|P (B|A) − P (B)| = 4
P (A)
|P (AB) − P (A)P (B)|
4
=
.
¯
P (A)
P (B) + P (B)
|P (AB) − P (A)P (B)|
1
1
≤
+
¯

P (A)
P (B) P (B)
¯ − P (A)P (B)|
¯
|P (AB) − P (A)P (B)| |P (AB)
=
+
.
¯
P (A)P (B)
P (A)P (B)
Lấy sup hai vế và chú ý tính chất “sup của tổng không lớn hơn tổng các sup”
ta thu được 4ϕ(A, B) ≤ 2ψ(A, B), tức là ϕ(A, B) ≤ (1/2)ψ(A, B).
(iii) Chứng minh β(A, B) ≤ ϕ(A, B). Với phân hoạch {Ai , 1 ≤ i ≤ I} của A
và {Bj , 1 ≤ j ≤ J} của B ta có
I

J

I

J

|P (Ai Bj ) − P (Ai )P (Bj )| =
i=1 j=1

|P (Bj |Ai ) − P (Bj )|P (Ai )
i=1 j=1
I

|P (Ai Bj ) − P (Ai )P (Bj )| ≤
i=1 j=1

P (Ai ).2ϕ(A, B) = 2ϕ(A, B)
i=1

(do {A1 , . . . , AI } là phân hoạch của Ω nên P (Ai ) = 1). Lấy “sup” trên mọi
phân hoạch của A và B ta suy ra β(A, B) ≤ ϕ(A, B).
✷
Bây giờ chúng ta trình bày khái niệm dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc
mixing.
Định nghĩa 1.3.4. Cho {Xn , n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên xác định
trên không gian xác suất (Ω, F, P ). Với mỗi 1 ≤ J ≤ L ≤ ∞, ta ký hiệu:
FJL = σ(Xk , J ≤ k ≤ L, k ∈ N) là σ-đại số sinh bởi dãy {Xk , J ≤ k ≤ L}. Với
mỗi n ≥ 1, ta ký hiệu:
∞
α(n) := sup α(F1J ; FJ+n
);
n≥1

∞
β(n) := sup β(F1J ; FJ+n
);
n≥1

∞
ϕ(n) := sup ϕ(F1J ; FJ+n
);
n≥1

∞
ψ(n) := sup ψ(F1J ; FJ+n
).
n≥1

Với các ký hiệu trên ta định nghĩa các loại phụ thuộc mixing như sau. Dãy
biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là α- mixing (tương ứng, β- mixing,
ϕ- mixing, ψ- mixing) nếu α(n) → 0 khi n → ∞ (tương ứng, β(n) → 0 khi
n → ∞, ϕ(n) → 0 khi n → ∞, ψ(n) → 0 khi n → ∞).
Từ Mệnh đề 1.3.3, ta có định lý sau đây.
15

Định lý 1.3.5. Cho dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1}. Khi đó ta có các
khẳng định sau.
(i) Nếu {Xn , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên m- phụ thuộc thì {Xn , n ≥ 1} là
dãy phụ thuộc ψ- mixing.
(ii) Nếu {Xn , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc ψ- mixing thì {Xn , n ≥
1} là dãy phụ thuộc ϕ- mixing .
(iii) Nếu {Xn , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc ϕ- mixing thì {Xn , n ≥
1} là dãy phụ thuộc β- mixing .
(iv) Nếu {Xn , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc β- mixing thì {Xn , n ≥
1} là dãy phụ thuộc α- mixing.
Như vậy, trong bốn loại phụ thuộc mixing chúng ta giới thiệu ở trên, phụ
thuộc α-mixing là loại phụ thuộc yếu nhất. Nội dung chính của luận văn sẽ
nghiên cứu sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên phụ
thuộc α-mixing và ứng dụng của nó. Nội dung này sẽ được trình bày trong
Chương 2 của luận văn.

16

CHƯƠNG 2
SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ CỦA TỔNG CÓ TRỌNG SỐ
CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN α-MIXING VÀ
ỨNG DỤNG

Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số
các biến ngẫu nhiên phụ thuộc α-mixing và ứng dụng trong mô hình hồi quy
phi tham số. Chương 2 được chia thành hai mục. Nội dung chính của Mục 2.1
là Định lý 2.1.7. Nội dung chính của Mục 2.2 là Định lý 2.2.1.

2.1

Sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số các biến
ngẫu nhiên α-mixing

Sự hội tụ đầy đủ của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối được
nghiên cứu đầu tiên bởi Hsu, Robbins [6] và Erd¨os [4]. Kết quả của các tác giả
này được mở rộng bởi Baum và Katz [2], phát biểu như sau.
Định lý 2.1.1 (Baum-Katz [2]). Giả sử η > 1/2, p ≥ 1, và {Xn , n ≥ 1} là dãy
các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối. Khi đó EX1 = 0 và E|X1 |p < ∞
khi và chỉ khi
∞
n=1

nηp−2 P

n

Xi > εnη < ∞ với mọi ε > 0.

(2.1)

i=1

Kết quả của Baum-Katz [2] sau đó được mở rộng sang trường hợp các biến
ngẫu nhiên thỏa mãn các kiểu phụ thuộc khác nhau, trong đó có trường hợp
các biến ngẫu nhiên phụ thuộc mixing. Berbee [3] nghiên cứu sự hội tụ đầy đủ
của tổng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc α-mixing và bị chặn. Shao [8] đã mở
rộng kết quả của Berbee [3] sang các biến ngẫu nhiên không bị chặn.
17

Tổng có trọng số có rất nhiều ứng dụng trong thống kê, điều khiển ngẫu
nhiên và nhiều lĩnh vực khác (xem, chẳng hạn, [10, 5, 7]). Sự hội tụ của tổng có
trọng số các biến ngẫu nhiên φ-mixing được nghiên cứu bởi Shen và các cộng
sự [9] năm 2014. Trong phần này, chúng ta thiết lập sự hội tụ đầy đủ của tổng
có trọng số các biến ngẫu nhiên phụ thuộc α-mixing. Năm 2013, tác giả Zhou
và Lin [11] đã nghiên cứu sự hội tụ của tổng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc
α-mixing. Kết quả chính của các tác giả này được thể hiện qua bốn định lý mà
chúng tôi sẽ trình bày sau đây. Vì nội dung của bốn định lý này là các trường
hợp đặc biệt của Định lý 2.1.7 (là kết quả chính của Mục 2.1) nên ở đây chúng
tôi chỉ trình bày nội dung bốn Định lý này mà bỏ qua chứng minh.
Định lý 2.1.2. Cho 0 < p < 2, α > 1/2, pα ≥ 1, δ > 0. Giả sử rằng {Xn , n ≥
1} là dãy các biến ngẫu nhiên α-mixing cùng phân phối với α(n) ≤ Cn−θ với
θ > q(q + δ)/(2δ) và q > 2 nào đó. Nếu EX1 = 0 với α ≤ 1 và E|X1 |p+δ < ∞
thì
∞
n=1



npα−2 P



i

 max
Xj
1≤i≤n j=1

≥ εnα  < ∞, với mọi ε > 0

(2.2)

và
∞
n=1



npα−2 P sup i−α
i≥n



i

Xj ≥ ε < ∞, với mọi ε > 0.

(2.3)

j=1

Định lý 2.1.3. Cho α > 1/2, pα ≥ 1, δ > 0, 2 < v < 2(p + δ)α. Giả sử
rằng {Xn , n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên α-mixing cùng phân phối với
α(n) ≤ Cn−θ với θ > max(v/(v − 2), (q − 1)(q + δ)/δ) và với q > 2 nào đó sao
cho v ≤ q + δ. Nếu EX1 = 0 với α ≤ 1 và E|X1 |p+δ < ∞ thì (2.1) và (2.2)
đúng.
Định lý 2.1.4. Cho α > 1/2, pα ≥ 1, δ > 0. Giả sử rằng {Xn , n ≥ 1} là dãy các
biến ngẫu nhiên α-mixing cùng phân phối với α(n) ≤ Cn−θ với θ > q(q+δ)/(2δ)
và q > 2 nào đó. Giả sử rằng {ani , 1 ≤ i ≤ n, n ≥ 1} là mảng các số thực thỏa
mãn
n
|ani |p+δ = O(nt ), 0 < t < 1.
(2.4)
i=1

18

Nếu EX1 = 0 với α ≤ 1 và E|X1 |p+δ < ∞ thì


∞

pα−2

n

P

n=1



i

α

< ∞, với mọi ε > 0

(2.5)

anj Xj ≥ ε < ∞, với mọi ε > 0.

(2.6)

 max
anj Xj
1≤i≤n j=1

≥ εn

và


∞

n

pα−2

P sup i

−α

i≥n

n=1



i
j=1

Định lý 2.1.5. Cho α > 1/2, pα ≥ 1, δ > 0, 2 < v < 2(p + δ)α. Giả sử
rằng {Xn , n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên α-mixing cùng phân phối với
α(n) ≤ Cn−θ với θ > max(v/(v − 2), (q − 1)(q + δ)/δ) và với q > 2 nào đó sao
cho v ≤ q + δ. Giả sử rằng {ani , 1 ≤ i ≤ n, n ≥ 1} là mảng các số thực thỏa
mãn (2.4). Nếu EX1 = 0 với α ≤ 1 và E|X1 |p+δ < ∞ thì (2.4) và (2.5) đúng.
Bổ đề sau là một bất đẳng thức dạng cực đại với các biến ngẫu nhiên αmixing, được chứng minh bởi Shao [8].
Bổ đề 2.1.6. Giả sử {Xi , 1 ≤ i ≤ n} là dãy các biến ngẫu nhiên có kỳ vọng
bằng 0. Khi đó ta có bất đẳng thức
j

Xi | ≥ x ≤

P max |
j≤n

i=1

4 n
4
323 ncαk
E|Xi |I(|Xi | > c) + a +
x i=1
x
x

(2.7)

đúng với mọi a ≥ 1, x ≥ 1, c > 0 và số nguyên k thỏa mãn các điều kiện sau
x
1≤k≤
,
(2.8)
64ac log(x ∨ 2)
và với s ≥ 2 nào đó,
n

s

2/s

k

E(|Xi | I(|Xi | ≤ c))
i=1

i=0

1−2/s
αi

x2
≤ 3
.
32 a log(x ∨ 2)

Chứng minh. Đặt
X i = Xi I(|Xi | ≤ c) − EXi I(|Xi | ≤ c),
(2i+1)∧n

Yi,1 =

X j , i = 0, 1, . . . , q1 :=

n
1
− ,
2k 2

X j , i = 0, 1, . . . , q2 :=

n
−1 ,

2k

j=1+2ik
2(i+1)k∧n

Yi,2 =
j=1+(2i+1)k

19

(2.9)

i

Si =

i

i

X j , Ti,1 =
j=1

Yj,1 , Ti,2 =
j=0

(2.10)

Yj,2 .

j=0

Dễ dàng thấy rằng
n

max |Si | ≤ max |S i | +
i≤n

i≤n

n

|Xi |I(|Xi | > c) +
i=1

E|Xi |I(|Xi | > c)
i=1

và
P max |Si | ≥ x ≤ P max |S i | ≥
i≤n

i≤n

n
x
+ 4x−1
E|Xi |I(|Xi | > c).
2
i=1

Vì
max |S i | ≤ max |Ti,1 | + max |Ti,2 | + 2kc ≤ max |Ti,1 | + max |Ti,2 | +
i≤n

0≤i≤q1

0≤i≤q2

0≤i≤q1

0≤i≤q2

x
,
32

theo (2.8), ta có
P max |S i | ≥
i≤n

x
≤P
2

max |Ti,1 | ≥

0≤i≤q1

x

+P
8

max |Ti,2 | ≥

0≤i≤q2

x
:= I1 + I2 .
8

Ta sẽ ước lượng I1 , còn I2 sẽ ước lượng tương tự. Với i = 0, 1, . . ., đặt
i

G−1 = σ(Ω), Gi = σ(Xj , 1 ≤ j ≤ (2i + 1)k), ui = Yi,1 − E(Yi,1 |Gi−1 ), Ui =

uj .
j=0

Khi đó




q1

x
I1 ≤ P  |E(Yi,1 |Gi−1 )| ≥  + P
16
i=0

max |Ui | ≥

0≤i≤q1

x
:= I3 + I4
16

(2.11)

và {Ui , Gi , i ≥ 0} là martingale với |ui | ≤ 2kc với mọi i ≥ 0. Chú ý rằng với
mỗi số thực t và i ≥ 1,
E etui |Gi−1





(tui )l

=1+
E
Gi−1 
l!
l=2
∞ (|t|2kc)l
2
2
≤ 1 + t E ui |Gi−1

j=0

là martingale trên không âm với mọi t và vì vậy với y > 0


P



 max exp tU
i
0≤i≤q1



i

− t2 e2|t|kc



2
E(Yj,1
|Gj−1 ) ≥ y  ≤ 1/y

(2.12)

j=0

theo bất đẳng thức cực đại. Lấy t = (32a log x)/x trong (2.12). Theo (2.12) và
(2.8) ta có
P

max Ui ≥

0≤i≤q1


≤P
≤P

x
16
2 2|t|kc

 max exp tU − t
i
0≤i≤q1

q1
2

E(Yj,1
|Gj−1 ) ≥
j=0





i

2
E(Yj,1
|Gj−1 )

e

j=0
2





q1
xt
2
2 2|t|kc

≥ exp
E(Yj,1
|Gj−1 )
−t e
16
j=0







x2
xt
t2 e2|t|kc x2 
2



E(Yj,1 |Gj−1 ) ≥
+ exp − +
≤P
4(32)2 a log x
16 4(32)2 a log x
j=0
≤P





2
E(Yj,1
|Gj−1 )

j=0

x2

 + x−a .
≥
2
4(32) a log x

(2.13)

Sử dụng bất đẳng thức Davydov, ta thu được
q1


2
EYj,1



k

1−2/s

q1 (2j+1)k

Xi I(|Xi | ≤ c)

≤

4

≤

j=0 i=1+2jk
i=0


k
n
4  α1−2/s (i)
Xi I(|Xi |
i=0
i=0
2

j=0

≤

α

(i)

≤ c)

2
s

2
s

x
8(32)2 a log x

bởi (2.9). Vì vậy




x2
8(32)2 a log x q1
2
2
2


P
E(Yj,1 |Gj−1 ) ≥
≤
E|E(Yj,1
|Gj−1 ) − EYj,1
|.
2
2
4(32) a log x
x
j=0
j=0
(2.14)
q1

21

2
2
Đặt ξj = E(Yj,1
|Gj−1 ) − EYj,1
, ta thấy rằng
2
2
E|ξj | = E(Yj,1
− EYj,1
) sgn ξj ≤ 4(kc)2 α(k)

(2.15)

theo bất đẳng thức Davydov. Kết hợp (2.14) và (2.15) ta có




q1

x2
(32)3 anc2 kα(k) log x
(32)2 ncα(k)
2


P
E(Yj,1 |Gj−1 ) ≥
≤

≤
4(32)2 a log x
x2
x
j=0
(2.16)
theo (2.14). Kết hợp (2.15) và (2.16) cho ta
P

max Ui ≥

0≤i≤q1

x
≤ x−a + (32)2 ncx−1 α(k).
16

Tương tự, ta cũng có
P

max Ui ≤ −

0≤i≤q1

x
≤ x−a + (32)2 ncx−1 α(k).
16

Do đó
I4 ≤ 2x−a + 2(32)2 ncx−1 α(k).

(2.17)

Tương tự như (2.12), ta cũng có
E|E(Yi,1 |Gi−1 )| = EYi,1 sgn (E(Yi,1 |Gi−1 )) ≤ 4kcα(k)
và vì thế
I3 ≤ 64ncx−1 α(k).

(2.18)

Từ (2.12), (2.13) và (2.14) ta thu được
I1 ≤ 2x−a + 3(32)2 ncx−1 α(k).
Tương tự, ta cũng có
I2 ≤ 2x−a + 3(32)2 ncx−1 α(k).
Kết hợp (2.1), (2.17), (2.18) và (2.19) ta có (2.7).

22

(2.19)

✷

Kết quả chính của Shao [8] là một trường hợp đặc biệt của Định lý 2.1.7 khi
ani ≡ 1 . Chúng ta lưu ý là tốc độ α-mixing trong (2.20) bên dưới là hoàn toàn
giống tốc độ α-mixing trong [8].
Định lý 2.1.7. Giả sử η > 1/2, q > p ≥ 1/η ≥ 1, và {Xn , n ≥ 1} là dãy
các biến ngẫu nhiên α-mixing có EXn = 0 sao cho supn≥1 E|Xn |q ≤ 1. Giả sử
{ani , i ≥ 1, n ≥ 1}, là mảng các hằng số. Giả thiết rằng
1

αk = O

với t nào đó thỏa mãn t >

k q(p−1)/(q−p) logt k

Nếu

n

pq
.
q−p

|ani |q = O(n),

(2.20)

(2.21)

i=1

thì ta có
j

∞

ηp−2

n

ani Xi | ≥ εnη < ∞ với mọi ε > 0.

P max |
j≤n

n=1

(2.22)

i=1

Chứng minh. Đặt
M = sup

n
q
i=1 |ani |

n

n≥1

+ 1.

(2.23)

Theo (2.21) thì M < ∞. Đặt u = q(p − 1)/(q − p), chúng ta sẽ chứng minh
rằng tồn tại một hằng số đủ lớn K độc lập với n sao cho

j

P max |
j≤n

ani Xi | ≥ x ≤ Knx−q(u+1)/(q+u) log(q−1)(u−t)/(q+u) x

(2.24)

i=1

với tất cả n đủ lớn và với x ≥ Kn1/2 log1+t/2 n.
Nếu Knx−q(u+1)/(q+u) log(q−1)(u−t)/(q+u) x > 1, thì (2.24) là hiển nhiên. Do đó
chúng ta có thể giả thiết rằng
Knx−q(u+1)/(q+u) log(q−1)(u−t)/(q+u) x ≤ 1.

(2.25)

Đặt
c = 2xu/(q+u) log(t−u)/(q+u) x, a = u + 2, k =

23

x
.
64ac log x

(2.26)

Trường hợp 1: 1 < q ≤ 2. Trong trường hợp này ta có
n

(k + 1)
i=1
n

≤ 2k

E(ani Xi I(|ani Xi | ≤ c))2
|ani |q E|Xi |q c2−q

i=1

nxc1−q
≤M
32a log x
x2
= 3
322 M 21−q nx−q(u+1)/(q+u) log(q−1)(u−t)/(q+u) x
32 a log x
x2
≤ 3
(theo (2.25)).
32 a log x

(2.27)

Theo (2.26) và (2.27), ta có thể áp dụng Bổ đề 2.1.6 với s = 2 để thu được
j

≤ M nx−q(u+1)/(q+u) log(q−1)(u−t)/(q+u) x (theo (2.26)).

(2.29)

Chỉ cần tính toán đơn giản sử dụng (2.20), ta cũng có
1
ncαk
+
≤ Cnx−q(u+1)/(q+u) log(q−1)(u−t)/(q+u) x.
a
x
x
Kết luận (2.24) tuân theo (2.28), (2.16) và (2.30).

24

(2.30)

Trường hợp 2: q > 2. Trong trường hợp này, ta có
n

E|ani Xi I(|ani Xi | ≤ c)|q

2/q

k

1−2/q

αi

i=1

i=0
n

≤

k

|ani |2

i=1

1−2/q
αi

i=0
n

|ani |2

≤

k

1−2/q

αi

n

+

i=0

i=1,|ani |≤1
k

≤ (1 + M )n

|ani |q

i=1,|ani |>1

1−2/q

k

1−2/q

αi
i=0

(theo (2.23))

αi

(2.31)

i=0
k

≤ (1 + M )n 1 + C

i−u(1−2/q) log−t(1−2/q) i

i=1
1+t(1−2/q)

≤ Cn log
x2
.
≤ 3
32 a log x

k + k 1−u(1−2/q) log−t(1−2/q) k

Theo (2.26) và (2.31), ta có thể áp dụng lại Bổ đề 2.1.6 với s = q để thu
được (2.28). Tương tự với trường hợp 1 < q ≤ 2, (2.24) thì vẫn đúng. Bây
giờ ta chứng minh (2.22). Đặt ε > 0. Vì η > 1/2, ta có hằng số C sao cho,
εnη ≥ Cn1/2 log1+t/2 n với mọi n. Theo (2.24) ta có
j

∞

ηp−2

n

j≤n

n=1
∞

≤K
n=1
∞

=K

ani Xi | ≥ εnη

P max |
i=1

nηp−2 n1−ηq(u+1)/(q+u) log(q−1)(u−t)/(q+u) n
n−1 log−1−β n

n=1

trong đó β = −
đúng.

(q − 1)(u − t)
t(q − p)
−1 =
− p > 0. Do đó, suy ra (2.22)
q+u

q
✷

Chú ý 2.1.8. Rõ ràng điều kiện supn≥1 E|Xn |q ≤ 1 có thể được thay bằng:
sup E|Xn |q ≤ C < ∞.
n≥1

Chú ý 2.1.9. Năm 2013, Zhou và Lin [11] cũng đã kiểm tra tính hội tụ đầy
đủ của các quá trình α-mixing. Chúng ta hãy so sánh các kết quả của họ với
Định lý 2.1.7.
25

Sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên α mixing và ứng dụng

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về