Tương đẳng trên AG phỏng nhóm ngược hoàn toàn

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐOÀN THỊ TRÀ MY

TƯƠNG ĐẲNG TRÊN AG**-PHỎNG NHÓM NGƯỢC HOÀN TOÀN

ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN-2015


2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐOÀN THỊ TRÀ MY

TƯƠNG ĐẲNG TRÊN AG**-PHỎNG NHÓM NGƯỢC HOÀN TOÀN

ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyênngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mãsố: 60460104

Cánbộhướngdẫnkhoahọc
PGS.TS. LÊ QUỐC HÁN

NGHỆ AN-2015

3

MỤC LỤC
MỤC LỤC................................................................................................................................................3
MỞ ĐẦU.................................................................................................................................................4
CHƯƠNG 1. DÀN CÁC TƯƠNG ĐẲNG TRÊN MỘT NỬA NHÓM..............................................................5
1.1............................................................................... 1.3. Dàn các tương đẳng trên một nửa nhóm
..............................................................................................................................................................12
CHƯƠNG 2. TƯƠNG ĐẲNG TRÊN NỬA NHÓM NGƯỢC.......................................................................15
1.2............................................................................... 2.1. Nửa nhóm chính quy. Nửa nhóm ngược.
..............................................................................................................................................................15
1.3....................................................................................... 2.2. Tương đẳng trên nửa nhóm ngược
..............................................................................................................................................................19
1.4................................. 2.3. Sự phân loại các tương đẳng trên nửa nhóm ngược theo vết của chúng.
..............................................................................................................................................................21
CHƯƠNG 3. TƯƠNG ĐẲNG TRÊN PHỎNG NHÓM................................................................................26
1.5................................................ 3.1. Dàn các tương đẳng trên một phỏng nhóm ngược hoàn toàn.
..............................................................................................................................................................27
1.6............................................................................................................... 3.2. Nửa dàn các nhóm
..............................................................................................................................................................33
KẾT LUẬN..............................................................................................................................................38
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................................................39


4

MỞ ĐẦU
Bài toán mô tả tương đẳng trên một nửa nhóm là một trong những bài toán

trung tâm của lý thuyết nửa nhóm. Trong trường hợp đặc biệt nếu S là một
nhóm thì mỗi tương đẳng trên S hoàn toàn xác định bởi lớp tương đẳng chứa
đơn vị. Tuy nhiên, nếu S là nửa nhóm tùy ý, bài toán mô tả cấu trúc tương đẳng
trên S nói chung rất phức tạp.
Độc lập với nhau, Vacne (1953) và Preston (1954) đã mô tả được cấu trúc
của một tương đẳng trên một nửa nhóm ngược dựa vào hệ hạt nhân chuẩn của
nó. Hơn 30 năm sau (1986), Francis Pastijn và Mario Petrich mới mô tả được
cấu trúc tương đẳng trên nửa nhóm chính quy dựa vào hạt nhân và vết của nó.
Dựa trên ý tưởng đó, cấu trúc tương đẳng trên nhiều nửa nhóm liên quan với nửa
nhóm chính quy (Nửa nhóm E-ngược, E-nửa nhóm, nửa nhóm orthodox, nửa
nhóm chính quy suy rộng…) được mô tả một cách khá tường minh.
Những năm đầu thế kỷ này, các tác giả còn chuyển sang nghiên cứu các
tương đẳng trên các phỏng nhóm với những tính chất đặc trưng nào đó.
Bản luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo Completely inverse AG ** −
groupoids của hai tác giả Wieslaw A.Dudek và Roman S.Gigan đăng trên tạp
chí Semigroup Forum năm 2013 ([5]) để tìm hiểu các tương đẳng trên các
AG ** − phỏng nhóm ngược hoàn toàn.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương:
Chương 1.Dàn các tương đẳng trên một nửa nhóm.
Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm và tính chất của tập sắp thứ
tự, nửa dàn và dàn, nửa nhóm các quan hệ trên một tập, dàn các tương đẳng trên
một nửa nhóm để làm cơ sở cho việc trình bày các chương sau.

Chương 2. Tương đẳng trên nửa nhóm ngược.
Trong chương này chúng tôi trình bày về các nửa nhóm ngược, tương đẳng
trên nửa nhóm ngược và sự phân loại các tương đẳng trên nửa nhóm ngược.


5

Chương 3. Tương đẳng trên AG ** − phỏng nhóm ngược hoàn toàn.
Trước hết chúng tôi trình bày các AG − phỏng nhóm và các AG ** − phỏng
nhóm ngược. Tiếp theo chúng tôi trình bày dàn các tương đẳng trên một
AG ** − phỏng nhóm nhóm ngược hoàn toàn. Sau đó, chúng tôi trình bày nửa
dàn các AG − nhóm.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận
tình chu đáo của thầy giáo PGS.TS Lê Quốc Hán. Tác giả xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến thầy. Nhân đây tác giả cũng gửi lời cảm ơn chân thành đến các
thầy giáo, cô giáo trong Khoa Sư phạm Toán học cùng các anh, các chị, các bạn
học viên khóa 21- Đại số và Lý thuyết số đã quan tâm, giúp đỡ và hướng dẫn tận
tình tác giả trong quá trình học và hoàn thành luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những
thiếu sót. Kính mong quý thầy cô và bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn được
hoàn thiện hơn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

CHƯƠNG 1. DÀN CÁC TƯƠNG ĐẲNG TRÊN MỘT NỬA NHÓM
1.1. Các tập sắp thứ tự. Nửa dàn và dàn.


6

1.1.1. Định nghĩa. Một quan hệ hai ngôi ρ trên tập hợp X (nghĩa là, một
tập con ρ của tích Đề-các X × X ) được gọi là một thứ tự (bộ phận) nếu:
i) ( x, x ) ∈ ρ đối với tất cả x ∈ X , nghĩa là ρ phản xạ;
ii) ( ∀x, y ∈ X ) , ( x, y ) ∈ ρ và ( y, x ) ∈ ρ kéo theo x = y , nghĩa là ρ phản đối
xứng;
iii) ( ∀x, y, z ∈ X ) , ( x, y ) ∈ ρ và ( y, z ) ∈ ρ kéo theo ( x, z ) ∈ ρ , nghĩa là ρ bắc
cầu.
Theo truyền thống, người ta viết x ≤ y nhiều hơn ( x, y ) ∈ ρ . Từ đây ta sẽ
viết x ≤ y thay thế cho ( x, y ) ∈ ρ . Ta cũng viết x ≥ y , x < y hay x > y để chỉ

tương ứng ( y, x ) ∈ ρ , ( x, y ) ∈ ρ và x ≠ y .
Một quan hệ thứ tự bộ phận có tính chất
iv) ( ∀x, y ∈ X ) , x ≤ y hoặc y ≤ x được gọi là một thứ tự toàn phần
Ta sẽ nói rằng X là một tập hợp được sắp thứ tự bộ phận (hay thứ tự toàn
phần) nếu X đã xác định được một thứ tự bộ phận (tương ứng, thứ tự toàn
phần).
1.1.2. Định nghĩa. Giả sử X là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận và Y là một
tập con của X .
i)Phần tử a ∈ Y được gọi là cực tiểu nếu không có phần tử nào của Y thực sự
nhỏ hơn a , nghĩa là nếu

( ∀y ∈ Y ) , y ≤ a ⇒ y = a .

ii) Phần tử b ∈ Y được gọi là bé nhất nếu
( ∀y ∈ Y ) , b ≤ y
Một phần tử nhỏ nhất là phần tử cực tiểu, nhưng khẳng định ngược lại có thể
không đúng trong một tập sắp thứ tự bất kỳ. Thực ra ta có:
1.1.3.Mệnh đề ([6]).Giả sử Y là một tập con khác rỗng của tập sắp thứ tự
bộ phận X . Thế thì:
i) Y có ít nhất một phần tử nhỏ nhất;
ii) Nếu Y được sắp thứ tự toàn phần, thế thì các thuật ngữ “cực tiểu” và
“nhỏ nhất” là tương đương.


7

1.1.4. Định nghĩa.Tập sắp thứ tự bộ phận ( X , ≤ ) được gọi là thỏa mãn điều
kiện cực tiểu nếu mỗi tập con khác rỗng của X đều có phần tử cực tiểu. Một tập
hợp sắp thứ tự toàn phần thỏa mãn điều kiện cực tiểu được gọi là một tập sắp
thứ tự tốt.

Các khái niệm cực đại, lớn nhất và điều kiện cực đại được hiểu một cách đối
ngẫu.
1.1.5.

Định nghĩa.Giả sử Y là một tập con khác rỗng của tập sắp thứ tự

( X , ≤ ) . Phần tử c ∈ X

được gọi là cận dưới của Y nếu c ≤ y đối với mỗi y ∈ Y .
Nếu tập hợp tất cả các cận dưới của Y khác rỗng và phần tử lớn nhất d , thì

d được gọi là cận dưới lớn nhất hay giao của Y . Phần tử d là duy nhất nếu nó
tồn tại, chúng ta viết: d = ∧ { y | y ∈ Y } .
Nếu Y = { a, b} thì ta viết d = a ∧ b .
1.1.6.

Định nghĩa. Nếu

( X ,≤)

là một tập sắp thứ tự sao cho a ∧ b tồn

tại với mọi a, b ∈ X thì ( X , ≤ ) được gọi là nửa dàn dưới. Nếu chúng ta có tính
chất mạnh hơn rằng ∧ { y | y ∈ Y } tồn tại với mọi tập con khác rỗng Y của X ,
thì ta nói rằng ( X , ≤ ) là nửa dàn dưới đầy đủ.
Trong một nửa dàn dưới ( X , ≤ ) , với mọi a, b ∈ X , a ≤ b nếu và chỉ nếu
a ∧b = a.
Tương tự, ta định nghĩa được cận trên nhỏ nhất hay hợp ∨ { y | y ∈ Y } , a ∨ b
,nửa dàn trên hay nửa dàn trên đầy đủ.
Nếu ( X , ≤ ) vừa là nửa dàn trên (đầy đủ) vừa là nửa dàn dưới (đầy đủ) thì X

được gọi là một dàn đầy đủ.
Trong trường hợp này ta viết ( X , ≤ , ∧, ∨ ) .
1.1.7.
Định nghĩa. Giả sử Y là một tập con khác rỗng của dàn

( X , ≤ , ∧, ∨ ) . Thế thì Y

được gọi là dàn con của X nếu thỏa mãn điều kiện
a, b ∈ Y ⇒ a ∧ b ∈ Y , a ∨ b ∈ Y .


8

Giả sử ( E , ≤ ) là một nửa dàn dưới. Thế thì đối với a, b, c ∈ E cả hai

( a ∧ b ) ∧ c và a ∧ ( b ∧ c )

đều là cận dưới lớn nhất của { a, b, c} , do đó
( a ∧ b) ∧ c = a ∧ ( b ∧ c)
Như vậy ( E , ≤ ) là một nửa nhóm. Hơn nữa, a ∧ a = a đối với mỗi a ∈ A , và

a ∧ b = b ∧ a đối với tất cả a, b ∈ E . Do đó, ta đã chứng minh được một phần kết
quả sau:
1.1.8.

Mệnh đề.Giả sử ( E , ≤ ) là một nửa dàn dưới. Thế thì ( E , ∧ ) là một

nửa nhóm giao hoán bao gồm toàn bộ các phần tử lũy đẳng, và
( ∀a, b ∈ E ) a ≤ b nếu và chỉ nếu a ∧ b = a .
Đảo lại, giả sử ( E ,.) là một nửa nhóm giao hoán gồm tất cả các phần tử đều

lũy đẳng. Thế thì quan hệ ≤ trên E được xác định bởi
a ≤ b nếu và chỉ nếu ab = a
là một quan hệ thứ tự bộ phận trên E , với quan hệ này ( E , ≤ ) trở thành một
nửa dàn dưới. Trong ( E , ≤ ) , giao của a và b là tích ab của chúng.
Chứng minh. Giả sử ( E ,.) là một nửa nhóm giao hoán các lũy đẳng và ≤ xác
định bởi a ≤ b nếu và chỉ nếu ab = a . Thế thì a 2 = a nên a ≤ a .
Giả sử a ≤ b và b ≤ a . Thế thì ab = a và ba = b nên a = b . Bây giờ nếu
a ≤ b và b ≤ c thì ab = a và bc = b nên ac = ( ab ) c = a ( bc ) = ab = a .
Do đó, a ≤ c .
Như vậy ≤ là một quan hệ thứ tự bộ phận trên E .
2
2
Vì a ( ab ) = a b = ab và b ( ab ) = ab = ab (Do ( E ,.) giao hoán) nên
ab ≤ a, ab ≤ b .
Nếu c ≤ a, c ≤ b thì ac = c, bc = c nên c ( ab ) = ( ca ) b = cb = c , do đó c ≤ ab .
Từ đó, ab = a ∧ b . W
1.2. Nửa nhóm các quan hệ trên một tập
Ta nhắc lại rằng, mỗi quan hệ hai ngôi ρ trên tập hợp X là một tập con của

tích Đề-các X × X = { ( a, b ) | a, b ∈ X } .Nếu ( a, b ) ∈ ρ thì ta nói rằng a có quan
hệ ρ với b và viết a ρ b . Tập rỗng∅ cũng là một quan hệ hai ngôi trên X và
nó được chứa trong mọi quan hệ hai ngôi khác của X .


9

Ngoài ra, ta còn quan tâm đến hai quan hệ hai ngôi đặc biệt sau đây: Quan hệ
phổ dụng ωX cho bởi ω X = { ( x, y ) | x, y ∈ X } = X × X và quan hệ bằng nhau
(hay quan hệ đường chéo) 1X cho bởi 1X = { ( x, x ) | x ∈ X } .
Tập hợp tất cả các quan hệ hai ngôi trên X được kí hiệu bởi B X . Trong B X

ta đưa vào phép toán hai ngôi o theo quy tắc: đối với tất cả

ρ ,σ ∈ B X , ( x, y ) ∈ ρ o σ nếu và chỉ nếu tồn tại z ∈ X sao cho

( x, z ) ∈ ρ , ( z , y ) ∈ σ .

Thế thì với mọi ρ ,σ ,τ ∈B X có ρ ⊂ σ ⇒ ρ oτ ⊆ σ o τ và τ o ρ ⊆ τ o σ ; hơn

( ρ o σ ) oτ = ρ o ( σ oτ ) .
Nói cách khác ( B X , o) là một nửa nhóm.
1.2.1. Định nghĩa. Nửa nhóm ( B X , o) được gọi là nửa nhóm các quan hệ hai

nữa

ngôi trên X .
Nửa nhóm ( B X , o) có đơn vị là 1X , do đó nó là một vị nhóm.
1.2.2. Định nghĩa. Giả sử ρ là một quan hệ hai ngôi trên X .
i) Miền xác định của ρ là tập con của X cho bởi

domρ := { x ∈ X | ( ∃y ∈ X ) ( x, y ) ∈ ρ } .
ii) Ảnh của ρ là tập con của X cho bởi

imρ := { y ∈ X | ( ∃x ∈ X ) ( x, y ) ∈ ρ } .
Dễ thấy rằng với mọi ρ ,σ ∈B X , ρ ⊆ σ ⇒ domρ ⊆ domσ , imρ ⊆ imσ .
Đối với mỗi x ∈ X , ρ ∈B X ta định nghĩa tập con x ρ của X cho bởi

x ρ := { y ∈ X | ( x, y ) ∈ ρ } .
Như vậy x ρ ≠ ∅ nếu và chỉ nếu x ∈ domρ .
Nếu A là một tập con của X thì ta định nghĩa Aρ := ∪ { a ρ | a ∈ A} .

10
−1
Đối với mỗi ρ ∈B X ta định nghĩa quan hệ ngược ρ −1 cho bởi ( x, y ) ∈ ρ

nếu và chỉ nếu ( y, x ) ∈ ρ .
Giả sử ρ , ρ1 ,..., ρn ∈B X . Thế thì kiểm tra được

(ρ )

−1 −1

( ρ1 o ρ 2 o ... o ρ n )

−1

=ρ;

= ρ n−1 o ... o ρ 2−1 o ρ1−1 ;

ρ ⊆ σ ⇒ ρ − 1 ⊆ σ −1 ;
dom ( ρ −1 ) = imρ , im ( ρ −1 ) = domρ ;

Hơn nữa, x ρ −1 ≠ ∅ nếu và chỉ nếu x ∈ imρ .
1.2.3. Định nghĩa. Một phần tử φ ∈B X được gọi là một ánh xạ bộ phận của
X nếu xφ = 1 đối với tất cả x ∈ domφ , nghĩa là đối với tất cả x, y1 , y2 ∈ X ,

( x, y1 ) ∈ φ và ( x, y2 ) ∈ φ  ⇒ y1 = y2 .
Nếu φ ,ψ là các ánh xạ của X sao cho φ ⊆ ψ thì φ được gọi là cái thu hẹp
của ψ và ψ được gọi là mở rộng của φ . Trong trường hợp này, nếu

domφ =A ⊆ domψ thì ta kí hiệu φ bởi ψ A .

Tập hợp tất cả các ánh xạ bộ phận của X được kí hiệu bởi P X .
1.2.4. Mệnh đề. P X là một nửa nhóm con của ( B X , o) .
Chứng minh. Giả sử φ ,ψ ∈P X và giả thiết rằng ( x, y1 ) , ( x, y2 ) ∈ φ oψ . Thế thì,
tồn tại z1 , z2 ∈ X sao cho
( x, z1 ) ∈ φ , ( z1, y1 ) ∈ψ , ( x, z2 ) ∈ φ , ( z2 , y2 ) ∈ψ .
Vì φ là ánh xạ bộ phận của X nên z1 = z2 .
Tương tự, vì ψ là ánh xạ bộ phận của X và z1 = z2 nên y1 = y2 .
Vậy φ oψ ∈ P X . W
1.2.5. Mệnh đề ([6]). Nếu φ ,ψ ∈P X , thế thì
dom ( φ oψ ) = ( imφ ∩ domψ ) φ −1,
im ( φ oψ ) = ( imφ ∩ domψ ) φ ,


11

và ( ∀x ∈ dom ( φ oψ ) )

x ( φ oψ ) = ( xφ ) ψ .

Chú ý rằng ở đây ta thay kí hiệu φ ( x ) bởi kí hiệu xφ .
1.2.6. Định nghĩa. Ánh xạ bộ phận φ của X được gọi là một ánh xạ nếu
domφ =X .
Như vậy một quan hệ hai ngôi φ trên X là một ánh xạ nếu và chỉ nếu

xφ = 1 với mỗi x ∈ X . Nếu φ ,ψ là những ánh xạ thì φ oψ cũng là ánh xạ.
Kí hiệu tập hợp tất cả những ánh xạ trên X bởi T X , ta nhận được kết quả
sau.
1.2.7.

1.2.8.

Mệnh đề. T X là nửa nhóm con của ( B X , o) .
Định nghĩa. Một quan hệ ρ trên X được gọi là quan hệ tương

đương nếu ρ phản xạ (nghĩa là 1X ⊆ ρ ), đối xứng (nghĩa là ρ ⊆ ρ −1 ) và bắc
cầu (nghĩa là ρ o ρ ⊆ ρ ).
1.2.9. Định nghĩa. Một họ π = { Ai | i ∈ I } các tập con của một tập hợp X
được gọi là tạo thành một phân hoạch của X nếu
i) Ai ≠ ∅, ∀i ∈ I .
ii) ∀i, j ∈ I , hoặc Ai = Aj hoặc Ai ∩ Aj = ∅ .
iii) U{ Ai | i ∈ I } = X .
1.2.10. Mệnh đề ([6]).Giả sử ρ là một quan hệ tương đương trên X . Thế
thì họ φ ( ρ ) = { x ρ | x ∈ X } là một phân hoạch của X .
Đảo lại, nếu π = { Ai | i ∈ I } là một phân hoạch của X , thế thì quan hệ

Ψ ( π ) = { ( x, y ) ∈ X × X | ( ∃i ∈ I ) x, y ∈ Ai } là một quan hệ tương đương trên X .
Đối với mỗi quan hệ tương đương ρ trên X , Ψ ( Φ ( ρ ) ) = ρ , và đối với mỗi
phân hoạch π của X , Φ ( Ψ ( π ) ) = π .
1.2.11. Định nghĩa. Giả sử ρ là một quan hệ tương đương trên X .
i) Mỗi tập con x ρ = { y ∈ X | ( x, y ) ∈ ρ } được gọi là một ρ _ lớp.
ii)Tập hợp X ρ := { xρ | x ∈ X } được gọi là một tập thương của X bởi ρ .
#
iii) Ánh xạ ρ : X → X ρ , x a x ρ được gọi là ánh xạ tự nhiên.


12

1.2.12. Định nghĩa.Tập hợp tất cả các quan hệ tương đương trên X cùng với
quan hệ thứ tự bộ phận là quan hệ bao hàm tạo thành một dàn đầy đủ, gọi là dàn

các quan hệ tương đương trên X và được kí hiệu bởi E( X ) .
Chú ý rằng nếu ρ ,σ ∈E( X ) thế thì ρ ∧ σ = ρ ∩ σ và ρ ∨ σ được xác định
bởi: ( a, b ) ∈ ρ ∨ σ nếu và chỉ nếu đối với một số tự nhiên n nào đó, tồn tại các
phần tử x1 , x2 ,..., xn ∈ X sao cho:
( a, x1 ) ∈ ρ , ( x1, x2 ) ∈ σ , ( x1, x3 ) ∈ ρ ,..., ( x2 n−1, b ) ∈ σ .
Ta viết ρ ∨ σ = ( ρ o σ ) .
1.2.13. Định nghĩa.
i)Giả sử L là một dàn và a, b ∈ L . Ta nói rằng, a phủ b (và viết a f b ), nếu
∞

a > b và không tồn tại x ∈ L sao cho a > x > b .
ii) Dàn L được gọi là nửa modular (dưới) nếu đối với mọi a, b ∈ L ,
a f a ∧ b và b f a ∧ b ⇒ a ∨ b f a và a ∨ b f b .
1.2.14. Mệnh đề ([6]).Dàn ( E( X ) , ⊆, ∩, ∨ ) các tương đẳng trên một tập hợp
X là nửa modular.

1.3. Dàn các tương đẳng trên một nửa nhóm
1.3.1. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm. Một quan hệ tương đương ρ
trên S được gọi là tương đẳng trái (hoặc tương đẳng phải) nếu ρ ổn định trái,
nghĩa là ∀ ( a, b ) ∈ ρ và x ∈ S có ( xa, xb ) ∈ ρ (tương ứng, nếu ρ ổn định phải,
nghĩa là ∀ ( a, b ) ∈ ρ và x ∈ S có ( ax, bx ) ∈ ρ ).
ρ được gọi là một tương đẳng nếu ρ vừa ổn định trái, vừa ổn định phải.
1.3.2. Định nghĩa.Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm S . Thế thì
tương ứng ( a ρ , bρ ) a abρ là một phép toán trên S ρ = { a ρ | a ∈ S } .
Với phép toán này S ρ là một nửa nhóm và được gọi là nửa nhóm thương
của S theo tương đẳng ρ .


13

1.3.3. Định nghĩa. Giả sử S và T là các nửa nhóm. Khi đó ánh xạ ϕ : S → T
được gọi là một đồng cấu nếu thỏa mãn điều kiện ϕ ( ab ) = ϕ ( a ) ϕ ( b ) , ∀a, b ∈ S .
Đồng cấu ϕ được gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nếu ϕ là đơn ánh,
toàn ánh, song ánh.
Trong trường hợp ϕ là đẳng cấu thì ta nói rằng S và T đẳng cấu với nhau,
và viết S ≅ T .
1.3.4. Định nghĩa.
i) Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm S . Khi đó ánh xạ tự nhiên

ρ # : S → S ρ , x a x ρ là một toàn cấu và gọi là toàn cấu chính tắc.
ii) Giả sử ϕ : S → T là một đồng cấu nửa nhóm, thế thì quan hệ ρ cho bởi

( a, b ) ∈ ρ

nếu và chỉ nếu ϕ ( a ) = ϕ ( b ) là một tương đẳng trên S và được gọi là

tương đẳng hạt nhânliên kết với đồng cấu ϕ . Kí hiệu bởi Kerϕ .
Kết quả sau đây được trình bày trong [1], [3] và [6].
1.3.5. Định lý. Giả sử ϕ : S → T là toàn cấu nửa nhóm và ρ =Kerϕ . Thế thì
S

ρ ≅T .
Chú ý rằng giao của một họ tùy ý các tương đẳng trên một nửa nhóm S là

một tương đẳng trên S . Khẳng định tương tự không đúng đối với hợp, kể cả khi
hợp của hai tương đẳng trên S . Với mỗi quan hệ hai ngôi ρ bất kì trên S , ta có
C
1
quan hệ ρ = { ( xay, xby ) | x, y ∈ S , ( a, b ) ∈ ρ} ổn định hai phía trên S . Thế thì

quan hệ tương đương bé nhất trên S chứa ρ C là một tương đẳng trên S , nó
được gọi là tương đẳng sinh bởi ρ và được kí hiệu bởi ρ * .
1.3.6. Định nghĩa. Giả sử S là nửa nhóm và C ( S ) là tập hợp tất cả các
tương đẳng trên S . Khi đó quan hệ bao hàm ⊆ trên C ( S ) là một quan hệ thứ


14

tự bộ phận trên S . Giả sử { ρα | α ∈ I } là một họ các phần tử của C ( S ) . Thế thì
giao ∧ { ρα | α ∈ I } được hiểu theo lí thuyết tập hợp, nghĩa là

∧ { ρα | α ∈ I } = ∩ { ρα | α ∈ I } ,
Còn hợp ∨ { ρα | α ∈ I } là tương đẳng sinh bởi quan hệ ∪{ ρα | α ∈ I } . Thế thì

( C ( S ) , ⊆, ∩, ∨ )

là một dàn đầy đủ.

Dàn ( C ( S ) , ⊆, ∩, ∨ ) được xây dựng như trên được gọi là dàn các tương
đẳng trên nửa nhóm S .
Dễ thấy ( C ( S ) , ⊆, ∩, ∨ ) là một dàn con của dàn ( E( X ) , ⊆, ∩, ∨ ) các quan hệ
tương đương trên tập S .
1.3.7. Định nghĩa. Một dàn ( L, ≤, ∧, ∨ ) được gọi là dàn modular nếu đối với
mọi a, b, c ∈ L,

a ≤ c ⇒ ( a ∨ b) ∧ c = a ∨ ( b ∧ c) .
Theo [6], mỗi dàn modular là một dàn nửa modular.
1.3.8. Mệnh đề.Giả sử K

là một dàn con của dàn ( C ( S ) , ⊆, ∩, ∨ ) các

tương đẳng trên một nửa nhóm S sao cho ρ o σ = σ o ρ với mọi ρ ,σ ∈K
Thế thì K

.

là một dàn modular.

Chứng minh. Nói rằng K

là dàn con của ( C ( S ) , ⊆, ∩, ∨ ) nghĩa là K

đóng dưới các phép toán ∩ và ∨ .
Giả sử α , β , γ ∈K

sao cho α ⊆ γ và giả sử ( x, y ) ∈ ( α ∨ β ) ∩ γ .

Vì α o β = β o α nên α ∨ β = α o β và do đó ( x, y ) ∈ ( α o β ) ∩ γ .
Thế thì, ( x, y ) ∈ γ và ( x, y ) ∈ α o β nên tồn tại z ∈ S sao cho ( x, z ) ∈ α và

( z, y ) ∈ β . Vì α ⊆ γ

và γ là quan hệ tương đương nên ( z , y ) ∈ γ .

Như vậy ( x, z ) ∈ α và ( z , y ) ∈ β ∩ γ .


15

Do đó ( x, y ) ∈ α o ( β ∩ γ ) = α ∨ ( β ∩ γ ) .

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng ( α ∨ β ) ∩ γ ⊆ α ∨ ( β ∩ γ ) và
do đó K

là một dàn modular. W

1.3.9. Mệnh đề.Giả sử G là một nhóm và ρ ,σ là các tương đẳng trên G .
Thế thì ρ o σ = σ o ρ .
Chứng minh.
Ta sẽ sử dụng kí hiệu sau đây: Nếu ( x, y ) ∈ ρ thì ta viết x ≡ y ( modρ ) .
Giả sử ( a, b ) ∈ ρ o σ . Khi đó tồn tại c ∈ G sao cho ( a, c ) ∈ ρ và ( c, b ) ∈ σ .
−1
−1
−1
−1
Thế thì ( cc a, bc a ) ∈σ hay a = cc a ≡ bc a ( modσ ) ,

−1
−1
Tương tự bc a ≡ bc c = b ( modρ ) .

Như vậy ( a, b ) ∈ σ o ρ nên ρ o σ ⊆ σ o ρ .
Theo tính chất đối xứng, có σ o ρ ⊆ ρ o σ nên ρ o σ = σ o ρ .W
Từ mệnh đề 1.3.8 và 1.3.9 trực tiếp suy ra.
1.3.10. Hệ quả.Dàn các tương đẳng trên một nhómlà một dàn modular.

CHƯƠNG 2. TƯƠNG ĐẲNG TRÊN NỬA NHÓM NGƯỢC
2.1. Nửa nhóm chính quy. Nửa nhóm ngược.
2.1.1. Định nghĩa.

16

i) Phần tử a của nửa nhóm S được gọi là phần tử chính quy nếu tồn tại phần
tử x ∈ S sao cho a = axa
ii) Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm chính quy nếu mọi phần tử của S đều
là phần tử chính quy.
2.1.2. Ví dụ.
(1) Mọi nhóm đều là nửa nhóm chính quy
(2) Giả sử X là tập hợp khác rỗng và TX = { f : X → X | f lµ ¸nh x¹} . Khi đó TX
cùng với phép nhân ánh xạ là nửa nhóm chính quy nhưng không phải là một
nhóm.
2.1.3. Định nghĩa.Giả sử S là một nửa nhóm và a ∈ S . Khi đó phần tử
x ∈ S được gọi là phần tử ngược của a nếu a = axa và x = xax .
2.1.4. Mệnh đề.Mỗi phần tử chính quy của nửa nhóm S có ít nhất một phần
tử ngược.
Chứng minh.
Giả sử a ∈ S là phần tử chính quy. Khi đó có x ∈ S sao cho a = axa .
Đặt y = xax thì y ∈ S và y.a. y = xax.a.xax = x.( axa ) .xax = x.axa.x = xax = y
và a. y.a = a.xax.a = axa.xa = axa = a nên y là phần tử ngược của a .
2.1.5. Mệnh đề (Bổ đề Lallement). Giả sử S là nửa nhóm chính quy và

ϕ : S → P là một toàn cấu nửa nhóm. Nếu e ∈ EP thì tồn tại f ∈ ES sao cho

ϕ ( f ) = e , trong đó ES và EP tương ứng là tập hợp các lũy đẳng của S và P ,
ES = { x ∈ S | x 2 = x} , EP = { y ∈ P | y 2 = y} .

Chứng minh.
Giả sử x ∈ S thỏa mãn điều kiện ϕ ( x ) = e ( x tồn tại vì ϕ là toàn ánh), và giả
sử y là phần tử ngược của x 2 trong S ( y tồn tại theo Mệnh đề 2.1.4).

17

Khi đó x 2 = x 2 yx 2 , y = yx 2 y .
Đặt f = xyx . Thế thì f 2 = f . f = xyx.xyx = xyx 2 yx = xyx = f nên f ∈ ES .
2
2
Ta lại có ϕ ( f ) = ϕ ( xyx ) = ϕ ( x ) .ϕ ( y ) .ϕ ( x ) = e.ϕ ( y ) .e = e .ϕ ( y ) .e (vì

e ∈ EP )
= ϕ ( x )  .ϕ ( y ) . ϕ ( x )  = ϕ ( x 2 yx 2 ) = ϕ ( x 2 ) = ϕ ( x )  = e 2 = e.W
2

2

2

Từ bổ đề Lallement trực tiếp suy ra.
2.1.6. Hệ quả. Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm chính quy S và
P= S

ρ . Khi đó với mỗi a ρ ∈ EP , tồn tại e ∈ ES sao cho a ρ = eρ .

Chứng minh.
Áp dụng bổ đề Lallement với toàn cấu chính tắc ρ # : S → S ρ , x a x ρ W
2.1.7. Định nghĩa. Một nửa nhóm S được gọi là một nửa nhóm ngược nếu
mỗi phần tử của S đều có một phần tử ngược duy nhất.
Giả sử S là một nửa nhóm ngược và x ∈ S . Khi đó phần tử ngược duy nhất
của x được ký hiệu bởi x −1 .
Ta có x = x.x −1.x,

x −1 = x −1.x.x −1, x.x −1 ∈ ES , x −1.x ∈ E S .

2.1.8. Ví dụ. (1) Mọi nhóm là nửa nhóm ngược.
(2) Giả sử X là một tập hợp khác rỗng. Tập hợp I X các ánh xạ bộ phận một
– một của X cùng với phép nhân ánh xạ một nửa nhóm ngược nhưng nói chung
không phải là một nhóm (nếu X chứa nhiều hơn một phần tử).
2.1.9. Mệnh đề.Giả sử S là một nửa nhóm ngược. Thế thì ES là một nửa
nhóm con của S . Hơn nữa ES là một dàn, nghĩa là các lũy đẳng của S giao
hoán được với nhau.


18

−1
Chứng minh. Giả sử e, f ∈ ES . Xét phần tử ngược (duy nhất) x := ( ef ) của

ef . Thế thì ef = ef .x.ef = ef .xe.ef = ef . fx.ef (Vì e2 = e và f 2 = f )

và xe.ef .xe = xefxe = xe ; fx.ef . fx = f .xefx = fx , nghĩa là xe và fx cũng là
phần tử ngược của S .
Vì S là nửa nhóm ngược nên x = ( ef )

−1

= xe = fx .

Từ đó: x 2 = xe. fx = x.ef .x = x , nên x ∈ ES hay ef ∈ ES đối với mọi e, f ∈ ES .
Vậy ES là một nửa nhóm con của S .
Ta lại có, với mọi e, f ∈ ES thì ef , fe ∈ ES nên ef . fe.ef = ef .ef = ( ef

)

2

= ef

và fe.ef . fe = fe. fe = ( fe ) = fe .
2

Như vậy, ef là phần tử ngược của fe .
−1
−1
Vì ef là lũy đẳng nên ( ef ) = ef . Từ đó ef = ( ef ) = fe .

Vậy e, f giao hoán được với nhau nên ES là một nửa dàn. W
2.1.10. Định lý ([1]). Ba điều kiện sau đối với một nửa nhóm là tương đương
(i) S chính quy và hai lũy đẳng bất kỳ của S giao hoán được với nhau;
(ii) Mỗi iđêan chính trái và mỗi iđêan chính phải của S có một phần tử sinh
lũy đẳng duy nhất;
(iii) S là nửa nhóm ngược.
2.1.11. Mệnh đề ([1]).Giả sử S là một nửa nhóm ngược và a, b ∈ S . Thế thì

(a )

−1 −1

= a, ( ab ) = b −1a −1 .
−1

2.1.12. Mệnh đề ([2]).Giả sử S là một nửa nhóm ngược và ES là tập hợp
các lũy đẳng của nó. Trên S xác định quan hệ p cho bởi: x p y ( x, y ∈ S ) nếu
và chỉ nếu tồn tại e ∈ ES sao cho x = ey . Thế thì:
(i) Quan hệ p là một thứ tự bộ phận trên S ;


19

(ii) Cái thu hẹp của p trên ES trùng với quan hệ thứ tự bộ phận tự nhiên
trên tập hợp các lũy đẳng của S . ( e ≤ f ( e, f ∈ ES ) ⇔ ef = fe = e ) .
2.2. Tương đẳng trên nửa nhóm ngược
2.2.1. Mệnh đề. Giả sử S là một nửa nhóm ngược và ϕ : S → P là một đồng
cấu nửa nhóm. Thế thì ϕ ( S ) là một nửa nhóm con ngược của P . Đặc biệt, nếu

ϕ là toàn cấu thì P là nửa nhóm ngược.
Chứng minh.
Giả sử x ∈ S và x −1 là phần tử ngược của x . Khi đó x = xx −1 x nên

ϕ ( x ) = ϕ ( xx −1 x ) = ϕ ( x ) .ϕ ( x −1 ) .ϕ ( x ) . Do đó ϕ ( x ) là phần tử chính quy với mọi
x∈S .
Từ đó ϕ ( S ) là một nửa nhóm chính quy ( ϕ ( S ) là nửa nhóm vì ϕ : S → P là
một đồng cấu nửa nhóm).
Giả sử h, g ∈ Eϕ ( S ) . Thế thì theo bổ đề Lallement tồn tại e, f ∈ ES sao cho

ϕ ( e ) = g ,ϕ ( f ) = h .
Khi đó, gh = ϕ ( e ) .ϕ ( f ) = ϕ ( ef ) = ϕ ( fe ) = ϕ ( f ) .ϕ ( e ) = hg nên các lũy đẳng
của ϕ ( S ) giao hoán. Do đó, ϕ ( S ) là nửa nhóm ngược theo Định lý 1.1.10, từ
đó ϕ ( S ) là nửa nhóm con ngược của P . W
#
Chú ý rằng ánh xạ tự nhiên ρ : S → S ρ , x a xρ là một toàn cấu, nên từ

Mệnh đề 2.1.1, trực tiếp suy ra:
2.2.2. Hệ quả.Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm ngược S . Thế
thì:
(i) S ρ là một nửa nhóm ngược;
−1
−1
(ii) x ρ y ⇒ x ρ y ( x, y ∈ S ) .


20

2.2.3. Mệnh đề.Giả sử S là một nửa nhóm ngược và ϕ : S → P là một đồng
−1
cấu nửa nhóm. Khi đó, với mỗi e ∈ EP , ϕ ( e ) là một nửa nhóm con ngược của

S.
−1
Chứng minh. Giả sử x, y ∈ϕ ( e ) . Thế thì ϕ ( x ) = e, ϕ ( y ) = e .
2
−1
−1
Khi đó ϕ ( xy ) = ϕ ( x ) .ϕ ( y ) = e.e = e = e nên xy ∈ϕ ( e ) . Vậy ϕ ( e ) là một

nửa nhóm con của S .
−1
Mặt khác, nếu x ∈ ϕ ( e ) thì ϕ ( x ) = e , nên ϕ ( x −1 ) = ϕ ( x )  = e −1 = e (vì
−1

e ∈ EP ).

−1
−1
−1
Do đó x ∈ ϕ ( e ) nên ϕ ( e ) là nửa nhóm con ngược của S . W

2.2.4. Định nghĩa. Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm S .
e ρ được gọi là hạt nhân của
(i) Tập con Ker ( ρ ) := { x ∈ S | ∃e ∈ E S : x ρe} = eU
∈E
S

ρ.
(ii) Tập con tr ( ρ ) := { ( e, f ) ∈ ρ | e, f ∈ ES } = ρ |ES được gọi là vết của ρ .
Chú ý rằng Ker ( ρ ) ⊆ S và tr ( ρ ) ⊆ S × S .
2.2.5. Mệnh đề. Giả sử S là một nửa nhóm ngược và ρ ,σ là các tương đẳng
trên S . Thế thì ρ ⊆ σ nếu và chỉ nếu với mọi e ∈ ES , eρ ⊆ eσ .
Chứng minh.
Một chiều của khẳng định là tầm thường.
Giả sử eρ ⊆ eσ , ∀e ∈ ES . Thế thì chú ý rằng ∀x ∈ S , có xx −1 ∈ ES , x −1 x ∈ ES ,
suy ra

x ρ y ⇒ xx −1ρ yx −1 ⇒ xx −1σ yx −1 ⇒ xσ yx −1x;
x ρ y ⇒ x −1x ρ x −1 y ⇒ x −1xσ x −1 y ⇒ yx −1xσ yx −1 y ;
Từ đó: x ρ y ⇒ xσ yx −1 y.


21

Ta lại có: x ρ y ⇒ x −1ρ y −1 ⇒ x −1 y ρ y −1 y ⇒ x −1 yσ y −1 y ⇒ yx −1 yσ y.
Từ đó theo tính chất bắc cầu của σ , có x ρ y ⇒ xσ y.

Vậy ρ ⊆ σ .W
2.2.6. Hệ quả.Giả sử ρ và σ là các tương đẳng trên nửa nhóm ngược S .
Thế thì ρ = σ nếu và chỉ nếu với mọi e ∈ ES , eρ = eσ .
2.2.7. Định lý(Định lý Vagner).Giả sử ρ và σ là các tương đẳng trên nửa
nhóm ngược S . Thế thì ρ = σ ⇔ Ker ( ρ ) = Ker ( σ ) và tr ( ρ ) = tr ( σ ) .
Chứng minh.Một chiều của khẳng định là hiển nhiên.
Giả sử Ker ( ρ ) = Ker ( σ ) và tr ( ρ ) = tr ( σ ) .
Nếu e ∈ ES thì eρ x ⇒ ∃f ∈ ES : f σ x (Vì Ker ( ρ ) = Ker ( σ ) ) ⇒ fx −1σ xx −1;

eρ x ⇒ ee −1 = e ρ xx −1 ⇒ eσ xx −1 (Vì xx −1 , e ∈ ES và tr ( ρ ) = tr ( σ ) ).
Như vậy eσ f và f σ x được thỏa mãn nên eσ x .
Do đó eρ ⊆ eσ .
Tương tự có eσ ⊆ eρ nên eρ = eσ .
Từ đó ρ = σ theo Hệ quả 2.2.7. W
Như vậy, mỗi tương đẳng trên nửa nhóm ngược được xác định duy nhất bởi
vết và hạt nhân của nó.
2.2.8. Hệ quả.Giả sử ϕ : S → P và ψ : S → T là các toàn cấu từ nửa nhóm
ngược S lên các nửa nhóm P và T tương ứng. Thế thì Ker ( ϕ ) = Ker ( ψ ) nếu
và chỉ nếu với mọi x ∈ S và với mọi e, f ∈ ES , các điều kiện sau đây được thỏa
mãn:

ϕ ( x ) ∈ EP ⇔ ψ ( x ) ∈ ET

ϕ ( e) = ϕ ( f ) ⇔ ψ ( e) =ψ ( f ) .
2.3. Sự phân loại các tương đẳng trên nửa nhóm ngược theo vết của chúng.
Trước hết, ta chú ý đến kết quả sau.


22

2.3.1. Bổ đề.Giả sử S là một nửa nhóm ngược. Thế thì với mọi x ∈ S và với
mọi e ∈ ES , x −1ex ∈ ES .
Chứng minh. Vì các lũy đẳng giao hoán, e ∈ ES và xx −1 ∈ ES , x −1 x ∈ ES nên
x −1ex.x −1ex = x −1 xx −1.eex = x −1ex .

Từ đó x −1ex ∈ ES . W
2.3.2. Định nghĩa. Giả sử ρ là một tương đẳng tùy ý trên nửa nhóm ngược
S . Xác định quan hệ ρ min trên S cho bởi

x ρ min y ⇔ ∃e ∈ ES : xe = ye, x −1x ρ e, y −1 y ρ e.
2.3.3. Định lý.Đối với mỗi tương đẳng trên nửa nhóm ngược S , ρ min là
tương đẳng bé nhất có vết bằng vết của ρ .
Chứng minh. Vì ρ là một quan hệ tương đương trên S , nên từ Định nghĩa
2.3.2 suy ra ρ min cũng là quan hệ tương đương trên S . Ta chứng minh ρ min ổn
định hai phía.
Giả sử x ρmin y và e ∈ ES sao cho xe = ye, x −1 x ρ e, y −1 y ρ e .
Khi đó với mọi z ∈ S , có đặt z −1ez = f thì f ∈ ES theo Bổ đề 2.3.1 và

xz. f = xzz −1.ez = xe.zz −1z = ye.zz −1z = yzz −1ez = yzf .
−1
−1
Hơn nữa: ( xz ) .xz = z −1 x −1 xz ρ z −1ez ρ z −1 y −1 yz = ( yz ) . yz và do đó xz ρmin yz.

Mặt khác, xe = ye kéo theo ex −1 = ey −1 bằng cách nghịch đảo cả hai vế, và
bằng cách sử dụng kết quả đó, có

( zx )
( zy )

−1

−1

zx = x −1 z −1 zx = x −1 xx −1 z −1 zx ρ ex −1 z −1 zx và

zy = y −1 z −1 zy = y −1 yy −1z −1 zyy −1 y ρ ey −1 z −1 zye
= ex −1 z −1 zx ρ e.x −1 z −1 zx.x −1 x = ex −1 z −1 zx

Điều này chứng tỏ rằng zxρmin zy , vì ex −1 z −1 zx là một lũy đẳng. Do đó ρ min là
một lũy đẳng trên S .


23

Ta chứng minh tr ( ρ min ) = tr ( ρ ) . Giả sử g , f ∈ ES , f ρmin g .
Khi đó, tồn tại e ∈ ES sao cho fe = ge, f ρ e và g ρ e . Thế thì f ρ g .
Mặt khác, giả thiết rằng f ρ g . Thế thì đối với e := fg có e ∈ ES và
fe = ffg = fg = fgg = ge , hơn nữa f ρe và g ρ e nên f ρ min g . Từ đó, vết của ρ

và ρ min bằng nhau.
Cuối cùng, ta chứng minh ρ min là tương đẳng bé nhất trên S có vết bằng vết
của ρ . Thật vậy, giả sử σ là một tương đẳng tùy ý trên S sao cho

tr ( σ ) = tr ( ρ ) .
Thế thì x ρ min y ⇒ ∃e ∈ ES : xe = ye, x −1x ρ e, y −1 y ρ e ⇒ x −1xσ e, y −1 yσ e
(vì e, x −1x, y −1 y ∈ ES và tr ( ρ ) = tr ( σ ) )
Suy ra xσ xe, yσ ye ⇒ xσ y (Vì xe = ye ) và do đó ρ min ⊆ σ .
2.3.4. Hệ quả.Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm ngược S . Thế thì

ρ min ⊆ ρ .

2.3.5. Định nghĩa. Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm ngược S . Ta
định nghĩa quan hệ ρ max trên S cho bởi x ρ max y ⇔ ∀e ∈ ES : x −1ex ρ y −1ey .
2.3.6. Định lý.Giả sử ρ là tương đẳng trên nửa nhóm ngược S . Khi đó ρmax
là tương đẳng lớn nhất trên S có vết bằng vết của ρ .
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh ρ max là một tương đẳng trên S . Vì ρ
là một quan hệ tương đương trên S nên từ Định nghĩa 2.3.5 trực tiếp suy ra

ρ max là một quan hệ tương đương trên S .
Giả sử x ρ max y và z ∈ S . Thế thì

zx ρ max zy ⇔ ∃e ∈ ES : ( zx ) ezx ρ ( zy ) ezy ⇔ x −1z −1ez.x ρ y −1z −1ezy ⇔ x ρ max y
−1

(vì z −1ez ∈ E theo Bổ đề 2.3.1).

−1


24

Như vậy, từ x ρ max y kéo theo zx ρ max zy với mọi y ∈ S nên ρ max ổn định trái.
Lập luận tương tự, ρ max ổn định phải do đó ρ max là một tương đẳng trên S .
Bây giờ, ta chứng minh tr ( ρ max ) = tr ( ρ ) . Giả sử g , f ∈ ES . Thế thì

f ρ max g ⇒ f −1 ff ρ g −1 fg ⇒ f ρ fg , và bằng cách lập luận tương tự, có
f ρmax g ⇒ g ρ fg , từ đó f ρ g vì ρ có tính chất đối xứng và bắc cầu, do đó

tr ( ρ max ) ⊆ tr ( ρ ) .
Đảo lại, với mọi e ∈ ES , nếu f ρ g thì f −1ef ρ g −1eg nên f ρmax g , do đó

tr ( ρ max ) ⊇ tr ( ρ ) và như vậy tr ( ρ max ) = tr ( ρ ) .
Cuối cùng, nếu σ là một tương đẳng trên S sao cho tr ( σ ) = tr ( ρ ) . Khi đó,
với mọi e ∈ ES , ta có xσ y ⇒ x −1exσ y −1ey ⇒ x −1ex ρ y −1ey (vì x −1ex, y −1ey ∈ ES
theo Bổ đề 2.3.1 và tr ( ρ ) = tr ( σ ) ⇒ x ρ max y .
Từ đó σ ⊆ ρ max . W
2.3.7. Hệ quả.Giả sử ρ là tương đẳng tùy ý trên nửa nhóm S . Thế thì

ρ ⊆ ρ max .
Bây giờ ta xét một số tương đẳng đặc biệt trên nửa nhóm ngược: tương đẳng
nhóm và tương đẳng tách lũy đẳng.
2.3.8. Định nghĩa. Tương đẳng ρ trên một nửa nhóm S được gọi là một
tương đẳng nhóm nếu nửa nhóm thương S ρ là một nhóm.
Ta nhắc lại rằng một nửa nhóm chính quy (đặc biệt, một nửa nhóm ngược)
chứa đúng một lũy đẳng là một nhóm. Hơn nữa, nếu ρ là một tương đẳng trên
nửa nhóm ngược thì S ρ là một nửa nhóm ngược (Hệ quả 2.2.2) và
∀x ρ ∈ E S , ∃e ∈ ES sao cho eρ = x ρ (Hệ quả 1.1.6).
ρ


25

2.3.9. Mệnh đề.Một tương đẳng ρ trên nửa nhóm ngược S là một tương
đẳng nhóm nếu và chỉ nếu tr ( ρ ) = ES × ES .
Chứng minh. Nếu tr ( ρ ) = ES × ES thì S ρ có đúng một lũy đẳng theo Hệ
quả 2.1.6. Vì S là nửa nhóm ngược nên S ρ là nửa nhóm ngược theo Hệ quả
2.2.2, từ đó S ρ là một nhóm theo chú ý trên.
Khẳng định ngược lại là hiển nhiên. W
2.3.10. Chú ý.
(i) Nếu ρ là một tương đẳng nhóm trên nửa nhóm ngược S thì ρ min cũng
vậy, vì tr ( ρ min ) = tr ( ρ ) = ES × ES . Nói riêng, ρ min là tương đẳng nhóm nhỏ nhất

của S , đối với mọi tương đẳng nhóm σ tùy ý trên S , có σ min = ρmin .
Tương đẳng nhóm nhỏ nhất của nửa nhóm ngược S được ký hiệu bởi σ S .
Giả sử ρ là một tương đẳng nhóm trên S . Thế thì σ S ⊆ ρ S ⊆ ρ , nên theo
Định lý đồng cấu cảm sinh, tồn tại một đồng cấu duy nhất ϕ : S σ → S ρ sao
S

cho ϕ o σ S# = ρ # .
Điều đó có nghĩa là mỗi nhóm G _ ảnh đồng cấu của S _ là một ảnh đồng
cấu của S σ . Với ý nghĩa đó, S σ là ảnh đồng cấu nhóm tối đại của S .
S
S
(ii) Nếu S không phải là nửa nhóm ngược thì S có thể không có tương đẳng
nhóm nhỏ nhất. Ví dụ xét nửa nhóm cộng các số nguyên ¥ + . Tương đẳng nhóm
của ¥ + có và chỉ có dạng ρ n = { ( p, q ) | p ≡ q ( mod n ) } với n là số nguyên
dương tùy ý, hơn nữa với mọi m, n ∈ ¥ , có ρ n ⊂ ρm nếu và chỉ nếu m \ n nên
¥ + không có tương đẳng nhóm nhỏ nhất.