Ảnh hưởng của tán sắc bậc ba và tán xạ Raman lên Soliton lan truyền trong sợi quang

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN PHƯỚC THANH TÂM

ẢNH HƯỞNG CỦA TÁN SẮC BẬC BA VÀ TÁN
XẠ RAMAN LÊN SOLITON LAN TRUYỀN
TRONG SỢI QUANG

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN PHƯỚC THANH TÂM

ẢNH HƯỞNG CỦA TÁN SẮC BẬC BA VÀ TÁN
XẠ RAMAN LÊN SOLITON LAN TRUYỀN
TRONG SỢI QUANG
Chuyên ngành: Quang học
Mã số:
60.44.01.09

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học : TS. BÙI ĐÌNH THUẬN

Nghệ An, 2015

1

Lời Cảm Ơn
Trong quá trình thực hiện luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến thầy giáo hướng dẫn khoa học TS. Bùi Đình Thuận. Thầy đã tận tình
hướng dẫn, luôn quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian hoàn
thành luận văn. Đối với tôi được học tập và nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của
thầy là một niềm vinh dự.
Tôi cũng xin phép được cảm ơn các thầy cô đã tham gia giảng dạy, đào
tạo tại lớp Quang học 21, cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật lý và Công nghệ,
Phòng đào tạo sau đại học, Ban lãnh đạo Trường Đại học Vinh, Ban lãnh đạo
Trường Đại học Kinh tế – Kỹ thuật Long An đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi
trong quá trình học tập, nghiên cứu tại cơ sở đào tạo.
Xin cảm ơn tất cả bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã quan tâm động
viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Xin chân thành cảm ơn !
Tác giả


2

Mục lục
Lời cảm ơn

Trang

Mục lục
Danh mục hình vẽ
Danh mục viết tắt
Danh mục ký hiệu các đại lượng vật lý

Mở đầu

5

Chương 1: Phương trình lan truyền xung trong môi trường phi tuyến

7

1.1. Phương trình lan truyền xung trong sợi quang

7

1.1.1 Hệ phương trình Maxwell

7

1.1.2 Lan truyền xung ngắn

9

1.1.3. Lan truyền xung cực ngắn

10

1.2. Phương pháp số để giải phương trình lan truyền.
1.2.1. Phương pháp split – step Fourier.

14
14

1.2.2 Thuật toán Runge - Kutta bậc bốn trong phương pháp bức tranh
tương tác.

16

Chương 2: Ảnh hưởng của tán sắc bậc ba và tán xạ raman lên soliton lan truyền
trong sợi quang.

20

2.1 Soliton quang học.

20

2.1.1 Cơ sở xuất hiện Soliton quang học.

20

2.1.2 Soliton cơ bản và các soliton bậc cao

20

2.2 Ảnh hưởng của tán sắc bậc ba

24

2.3 Soliton tự dịch chuyển tần số.

28

KẾT LUẬN CHUNG

32

TÀI LIỆU THAM KHẢO

33


3

Danh mục hình vẽ
Hình
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8

Tên hình vẽ
Trang
Lan truyền của soliton bậc nhất
22
Lan truyền của các soliton bậc hai trong hai chu kỳ soliton
23
Lan truyền của soliton bậc bốn trong một chu kỳ soliton
24

Ảnh hưởng của tán sắc bậc ba lên soliton bậc nhất lan truyền
25
trong 30 chu kỳ
Ảnh hưởng của tán sắc bậc ba lên soliton bậc hai (N=2) lan
26
truyền trong 4 chu kỳ.
Ảnh hưởng của tán sắc bậc ba lên soliton nhất lan truyền
28
trong trường hợp tán sắc bậc hai bằng không.
Ảnh hưởng của tán xạ Ramman lên soliton bậc nhất lan
29
truyền trong 15 chu kỳ
Ảnh hưởng của tán xạ Ramman lên soliton bậc ha lan truyền
30
trong 1,6 chu kỳ

Danh mục thuật ngữ viết tắt
Ký hiệu
FFT
GVD
NLS

Diễn giải
Fast Fourier Transform
Group velocity dispersion
Nonlinear Shrodinger


4

Danh mục ký hiệu các đại lượng vật lý

Đại lượng
H
D
B


 (r , t)

E
h
c
xˆ


0

 
j(r , t )

P
0

Diễn giải
Cường độ từ trường
Cảm ứng điện của môi trường
Cảm ứng từ
Mât độ điện tích
Cường độ điện trường.

Hằng số Plank.
Vận tốc ánh sáng.
Vecto phân cực đơn vị
Bước sóng của bức xạ.
Từ thẩm
Mật độ dòng
Công suất
Độ điện thẩm


5

MỞ ĐẦU
Nghiên cứu quá trình lan truyền của các xung ánh sáng trong môi trường
sợi quang là một trong những vấn đề cơ bản và quan trọng của ngành Quang
học vì những ứng dụng thực tế của nó vào công nghệ. Khi laser ra đời, nó đã
tạo điều kiện cho ngành Quang học phi tuyến hình thành và phát triển. Việc
nghiên cứu lan truyền của các xung ánh sáng trong môi trường tán sắc phi
tuyến do đó lại trở nên đặc biệt quan trọng bởi vì Quang học phi tuyến đang
càng ngày càng có nhiều ứng dụng trong thực tiễn.
Như chúng ta đã biết, sự lan truyền của xung laser ngắn tuân theo phương
trình Schrodinger(NLS), còn các xung cực ngắn có độ rộng cỡ femtô giây thì
phương trình này sẽ dẫn đến sự sai lệch [1-4]. Các kết quả thực nghiệm đã
chứng tỏ rằng, đối với các xung cực ngắn, thì ngoài các ảnh hưởng của hiện
tượng biến điệu pha phi tuyến, xung còn chịu thêm các ảnh hưởng của các hiệu
ứng khác. Điều này dẫn đến các xung bị tách ra thành nhiều phần và biến đổi
phức tạp. Các hiện tượng trên chỉ được giải thích khi tính đến các số hạng bậc
cao trong khai triển phương trình chuyển động của hàm bao, đồng thời cũng
cần chú ý đến các cơ chế vật lý phức tạp khác. Để tìm hiểu ảnh hưởng của các
hiệu ứng bậc cao như tán xạ Raman, tán sắc bậc ba, thì chúng ta không thể

xem sự phản ứng của môi trường là tức thời, nghĩa là chúng ta phải sử dụng
phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng. Việc xem xét ảnh hưởng của các
hiệu ứng bậc cao lên xung, cũng như khi nào thì có thể bỏ qua một hoặc một số
hiệu ứng là rất quan trọng. Với lý do nói trên chúng tôi đã lựa chọn vấn đề
“Ảnh hưởng của tán sắc bậc ba và tán xạ Raman lên soliton lan truyền
trong sợi quang” làm vấn đề nghiên cứu cho luận văn của mình.
Mục đích nghiên cứu của luận văn là: Xem xét ảnh hưởng của tán sắc bậc
ba và tán xạ Raman lên soliton trong quá trình lan truyền trong sợi quang.
Đồng thời làm rõ khi nào thì các hiệu ứng trên chiếm ưu thế so với các hiệu
ứng phi tuyến khác.


6

Trên cơ sở mục đích nghiên cứu, nội dung của luận văn sẽ được trình bày
trong hai chương theo bố cục sau:
Chương 1: Phương trình lan truyền xung trong môi trường phi tuyến
Chương này tập trung vào việc thiết lập phương trình Schrodinger phi tuyến
mô tả quá trình lan truyền xung trong sợi quang khi tính đến tính chất phản ứng
trễ của môi trường cũng như hiện tượng tán sắc bậc ba. Đồng thời trình bày các
phương pháp số để giải phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng.
Chương 2: Ảnh hưởng của tán sắc bậc ba và tán xạ Raman lên soliton lan
truyền trong sợi quang.
Trong chương này chúng tôi trình bày về soliton quang học, các tính chất của
soliton cũng như các loại soliton. Tiếp đó chúng tôi sử dụng phương pháp số để
nghiên cứu ảnh hưởng của tán sắc bậc ba và tán xạ Raman lên soliton trong quá
trình lan truyền.


7

Chương 1:
PHƯƠNG TRÌNH LAN TRUYỀN XUNG TRONG MÔI
TRƯỜNG PHI TUYẾN
1.1. Phương trình lan truyền xung trong sợi quang
1.1.1 Hệ phương trình Maxwell
Quá trình lan truyền của các sóng điện từ trong môi trường vật chất được
mô tả bởi hệ phương trình Maxwell [1,2]
 
 
B  r , t 
  E r , t   
,
t
 

. D  r , t     r , t 
,
 
 
D r ,t   
  H r , t  
 j r , t  ,
t
 
. B  r , t   0.


(1.1)

 

Trong phương trình (1.1)  (r , t) và j(r , t ) là mật độ điện tích và mật độ
 

 

 

 

dòng điện, E  r , t  , D  r , t  , H  r , t  và B  r , t  tương ứng là cường độ điện
trường, cảm ứng điện của môi trường, cường độ từ trường và cảm ứng từ. Đối
với các môi trường điện môi như sợi quang thì không tồn tại điện tích tự do,


 

do vậy ta xem   r , t   0 và j  r , t   0.
Khi ánh sáng lan truyền trong môi trường sẽ kích thích các nguyên tử và
 

sinh ra vectơ phân cực điện cảm ứng của môi trường, ký hiệu là P  r , t  . Theo
 

 

 

điện động lực học, mối liên hệ giữa các đại lượng E  r , t  , D  r , t  , P  r , t  được

biểu diễn như sau:
 
 
 
D  r , t    0 E r , t   P r, t .

 

(1.2)

Mối liên hệ của cường độ từ trường và cảm ứng từ trong môi trường do
đó có thể viết giống như trong chân không:
 
 
B  r , t   0 H  r , t  ,

(1.3)


8

với các hằng số 0, 0 trong các phương trình trên là độ điện thẩm và từ thẩm
của chân không. Đối với các trường laser, các vectơ trường có độ lớn so sánh
 

được với trường nội nguyên tử nên sự phân cực vi mô và cả P  r , t  sẽ trở thành
phi tuyến. Ta có thể viết:
 
 
 

P r , t  Pl r , t  P nl r , t .

 

 

 

(1.4)

Thành phần thứ nhất ở vế phải trong biểu thức trên là vectơ phân cực
tuyến tính còn thành phần thứ hai là vectơ phân cực phi tuyến. Về độ lớn ta có:
 
 
Pl r , t  P nl r , t , do đó từ hệ phương trình (1.1) chúng ta thu được:

 

 

 
 
2
 
2 P r , t 
1  E r , t 
    E r ,t    2
 0
.
c

t 2
t 2

Trong đó c: là vận tốc ánh sáng trong chân không và

(1.5)

1
  0 0 . Theo giải tích
c2

vectơ:
 
 
 
   E  r , t    .E  r , t    2 E  r , t  .





(1.6)

Kết hợp với (1.5) ta có:
 
 
 
2
2
2




E
r
,
t

P
r
,
t

P
nl  r , t 




1


l
2 E  r , t    . E  r , t   2
 0
 0
. (1.7)
2
2
c

t
t
t 2





Đây chính là phương trình sóng phi tuyến tổng quát, mô tả sự biến thiên
của điện trường trong môi trường vật chất. Ở đây ta chưa xét một phép gần
đúng nào.
Như đã nói ở trên, thành phần phi tuyến rất nhỏ so với thành phần tuyến




 

tính nên ở đây ta sử dụng phép gần đúng là P nl  r , t    0 E (r , t) nên ta có:
 
 . E r , t   0 .

(1.8)

Thay vào (1.7):
 
2
2 




1 
1 P nl  r , t 


2 E  r , t   2 2 E  r , t    (1)  E  2
.
c t
c
t 2





(1.9)


9

Trong phương trình sóng phi tuyến (1.9), do chưa xác định rõ biểu thức
 

của thành phần sóng phân cực phi tuyến Pnl  r , t  nên phương trình (1.9) thực ra
 

vẫn còn chưa đủ để giải tìm nghiệm của vectơ trường E  r , t  .
1.1.2 Lan truyền xung ngắn


Đối với các xung ngắn cỡ ps lan truyền trong sợi quang thì PNL được


xem như một sự nhiễu loạn nhỏ so với PL . Mặt khác, trường quang học được
giả thiết gần như là đơn sắc, tức là xung phổ tập trung tại  0 , giả thiết rằng phổ
có độ rộng  sao cho  /  0  1 . Khi  0  1015 s 1 , là giả thiết cuối cùng phù
hợp cho các xung ngắn cỡ 0.1ps[2-5]. Trong gần đúng đường bao biến đổi
chậm biểu thức của điện trường có viết dưới dạng:

 

1
E r , t   xˆE r , t exp  i0 t   c.c 
2

(1.10)



ở đây xˆ là vecto phân cực đơn vị và E r , t  là hàm thời gian biến đổi chậm (so




với chu kì quang học). Các thành phần phân cực PL và PNL có thể được biểu
diễn theo cách tương tự như sau:
 

1
PL r , t   xˆPL r , t exp  i 0t   c.c 

2

(1.11)



1
PNL r , t   xˆ PNL r , t  exp  i 0 t   c.c 
2

(1.12)

Mặt khác sự phản ứng phi tuyến tức thời bỏ qua sự đóng góp của dao
động phân tử  3 (Hiệu ứng Raman). Đối với sợi silica dao động hoặc phản
ứng Raman xảy ra trên khoảng thời gian 60 – 70 fs [2]. Đối với xung cỡ ps thì
 

1   3  0  (3)
PNL r , t  x 
A  z, t  A  z , t  2e i0t ik0 z  c.c  .
2  4


 

(1.13)

Từ dạng tường minh của sóng phân cực phi tuyến, chúng ta đưa nó vào trong
phương trình (1.9). Thực hiện các biến đổi như trong [1,3] chúng ta thu được
phương trình lan truyền đối với hàm bao biến thiên chậm.

10

i

 '' 0  2
02


3(3)
A z, t   i ' 0  A z, t  
A
z
,
t

A z, t  2 A z, t   0 . (1.14)


z
t
2 t 2
2   0  c2 4

hay:
A z, t 
 A z, t  i  '' 0   2 A z, t 
  ' 0 


 i A z, t  2 A z, t   0 .
2
z
t
2
t

(1.15)

Trong đó : là hệ số đặc trưng cho hiệu ứng phi tuyến bậc ba:

3  (3)  0
 
 n2 0 ,
8 n  0  c
c

với n2 

(1.16)

3 (3)
: được gọi là hệ số chiết suất phi tuyến. Trong đa số các trường
8 n  0 

hợp nó là một đại lượng dương.
Phương trình (1.15) mô tả sự lan truyền xung cỡ ps trong sợi đơn mode.
Nó được gọi là phương trình Schrodinger phi tuyến (NLS) và có thể rút gọn
dạng dưới điều kiện cụ thể. Ở đây chúng ta bỏ qua sự hấp thụ, nghĩa là giả sử
xung lan truyền nằm khá xa miền cộng hưởng. Tham số  2 có thể dương hoặc

âm tùy thuộc vào bước sóng  . Trong tán sắc dị thường (    D ),  2 âm và sợi
có thể hỗ trợ soliton quang. Đối với sợi silica là  2  50 ps 2 / km trong vùng nhìn
thấy, nhưng gần bằng  20 ps 2 / km gần vùng bước sóng  1.5m , sự thay đổi dấu
xuất hiện ở vùng cận với 1.3m [2].
1.1.3. Lan truyền xung cực ngắn
Như chúng ta đã biết, các quá trình vi mô có đặc trưng thời gian từ 0.1 –
10fs. Các xung cực ngắn có thời gian từ 10fs đến hàng trăm fs, thì giả thiết
xem phản ứng của môi trường là tức thời không còn chính xác nữa.Vì vậy, khi
thiết lập biểu thức của sóng phân cực phi tuyến, cần phải có thêm các số hạng
diễn tả sự trễ của phản ứng của môi trường.
Để thiết lập phương trình lan truyền xung cực ngắn, chúng ta đưa vào
phương trình (1.13) số hạng diễn tả sự trễ của môi trường. Sử dụng mô hình


11

dao động tử về nguyên tử của Lorentz [1, 2, 4] và phép gần đúng xem chuyển
động của các electron và hạt nhân một cách độc lập nhau. Do đó ta có hai
phương trình mô tả hai dao động tử tắt dần là electron và hạt nhân độc lập. Quá
trình tương tác với sóng điện từ gây ra phân cực vi mô (tuyến tính và phi
tuyến) của nguyên tử. Phân cực này có đóng góp của cả hạt nhân và electron.
Do đó, ta có thể viết:
t
 





 3 

3
P nl r , t  x.  0  1  f R  E r , t  E  r , t   f R hR  t  t1  E 2 r , t1 dt1  .




 

 

 

(1.17)

Trong biểu thức trên, hàm hR(t) đặc trưng cho đóng góp của hạt nhân vào sóng
phân cực [1, 5]. Nó được gọi là hàm phản ứng Raman (Raman response
function) và là đặc trưng cho các môi trường khác nhau. Tên gọi như vậy vì sự
kích thích dao động của hạt nhân khi sóng ánh sáng tác dụng với phân tử liên
quan đến quá trình tán xạ không đàn hồi của các photon lên phân tử, gọi là tán
xạ Raman.
Phương trình (1.17) có thể viết dưới dạng :
 


P nl r , t  x.  0   3 E r , t

 



t

   1  f

R

   t  t1   f R hR  t  t1   E 2  r , t1  dt1





 x. 0 E r , t

t

   

 3



 t  t1  E 2  r , t1  dt1

(1.18)






  3   E.E   .
 x.  0 E r , t  



 

với (t) là hàm delta Dirac, còn:
ˆ 3  t     3    t   g R  t     3 1  f R    t   f R hR  t   .

Từ định nghĩa của phép biến đổi Fourier ta được các biểu thức sau:

 1
1
fR  2  2

 3
 1  2
     3  1  f R  
2i  1

 2 


 2  12






.
1 
 2 
 2  





(1.19)


12

Từ biểu thức sóng phân cực phi tuyến ở (1.18), chúng ta thay vào
phương trình (1.19). Ở đây chúng ta sẽ giữ lại các số hạng tán sắc bậc hai và ba
trong thành phần tuyến tính, còn thành phần phi tuyến sẽ được giữ lại số hạng
đạo hàm bậc nhất. Chúng ta thu được:

 

A z, t 
A z, t   " 0  2 A z, t  i
 3 A z,t  3  20 (3)
i
 i ' 0

  ''' 0
 2
z

t
2
t 2
6
t 3
8 c  0

 

 

 

     1 f  A z,t A z,t   f A z,t  h t t  A z,t 


   t  

  1 n' 0
1 i  
  0 n 0
 

t

2

R

R

R

1

1




2
dt1   0.


(1.20)

Mặt khác tính chất vật lý của môi trường không phụ thuộc vào việc chọn mốc
thời gian nghiên cứu nên ta có thể đổi biến số của biểu thức tích phân trong
phương trình trên và viết thành dạng sau:
t







hR  t  t1  A  z , t1  2 dt1   hR  t1  A  z , t  t1  2 dt1

(1.21)

0

Thực hiện khai triển gần đúng biểu thức của bình phương môđun hàm
bao dưới dấu tích phân trong phương trình trên và giữ lại số hạng bậc thấp:
2

2

A  z , t  t1   A  t   t1

 A  z, t 

2

t

 ...

(1.22)

Ta thu được:




 h  t  A  z, t  t 
R

1

1

2

dt1  A  z , t 

0

2

 h  t  dt
R

1

1



0

 A  z, t 
t

2 

 t h t  dt
1

R

1

1

.

(1.23)

0

Theo điều kiện chuẩn hóa của hàm hR(t) ta có:


 h  t  dt  1.
R

(1.24)

0

Đặt:


TR  f R  t hR  t  dt ,
0

(1.25)

13

Thay vào phương trình (1.20) ta thu được phương trình:

i

A  z, t 
z

 

 i '  0

A  z, t 
t

 " 0  2 A  z, t  i  '''  0   3 A z, t 



2
t 2
6
t 3


 A  z, t  2 A  z, t 
 A  z, t 
2

   A  z, t  A  z, t   i  s
 TR A z, t 

t
t


2


  0.



(1.26)

Để giải phương trình số phương trình (1.26), ta tiến hành rút gọn và
chuẩn hoá các biến số. Ta lập các biến mới và các hàm mới:
1
 02
1
L
U   ,  
A  z, t  , LD 
, LN 
, N2  D ,
 P0
LN
 " 0 
P0

t   ' 0  z

,
0

 "' 0 
z

. 3 
,
LD
6  "  0   0


T
S  s , R  R .
0
0

(1.27)

Trong đó 0 là độ rộng thời gian xung vào, LD và LN tương ứng là các
chiều dài đặc trưng cho hiện tượng tán sắc và phi tuyến. Đại lượng P0 có thứ
nguyên của công suất, nó bằng giá trị công suất cực đại (ở đỉnh) của xung vào.
N là một số vô hướng, đặc trưng cho phương trình lan truyền. Sau khi chuẩn
hóa (1.26) được viết lại:
 2
U 2 
U
i 2U

 3U

2
2
 sign  ''  0
 3 3  i N  U U  i S
U U  R U
 . (1.28)


2  2








  





Trong (1.28) ( sign  "  0  cho giá trị bằng +1 khi "(0) dương (môi
trường tán sắc thường) và bằng -1 khi "(0) âm (môi trường tán sắc dị
thường). Phương trình (1.28) cho hàm bao phức chuẩn hóa của xung ánh sáng
trong môi trường tán sắc phi tuyến thường được gọi là phương trình
Schrodinger phi tuyến suy rộng [1,2]. Các tham số 3 , S , R tương ứng đặc

trưng cho các hiệu ứng tán sắc bậc ba, tự dựng xung (self steepening) và tự
dịch chuyển tần số (self frequency shift). Từ biểu thức (1.27) chúng ta thấy rõ
ràng là khi 0 càng bé (tức là xung càng ngắn) thì độ lớn của các tham số này
càng tăng lên, các hiệu ứng bậc cao càng thể hiện rõ.


14

1.2. Phương pháp số để giải phương trình lan truyền.
Phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng chứa nhiều đại lượng có
tính phi tuyến mạnh. Vì vậy để tìm nghiệm của nó bằng phương pháp giải tích
như phương pháp tán xạ ngược Hirota là hết sức khó khăn. Nói chung là không
tìm được lời giải chính xác ở dạng giải tích của (1.28). Một số phương pháp
gần đúng (phương pháp nhiễu loạn, phương pháp biến phân…) áp dụng cho
(1.28) đã cho phép tìm các nghiệm gần đúng, nhưng cũng chỉ trong các trường
hợp rất đặc biệt. Vì vậy khi xem xét các hiệu ứng phi tuyến bậc cao thì phương
pháp giải thông dụng nhất là phương pháp số [5,6,7,8].
1.2.1. Phương pháp split – step Fourier.
Phương trình lan truyền xung (1.28) có thể viết dưới dạng tổng quát như
sau:
U  , 


N
 U  ,   U  ,  .
 L





(1.29)

Trong đó:
 là toán tử tuyến tính, không phụ thuộc vào hàm bao U  ,  cũng như
L

biến  mà chỉ phụ thuộc vào  . Nó chứa các đạo hàm bậc cao theo  , là
nguyên nhân của các hiện tượng GVD và tán sắc bậc cao.
 là toán tử phi tuyến nó phụ thuộc vào U  ,  và có thể cả vào các đạo
N

hàm của nó theo  . Tùy vào phương trình lan truyền mà sự phụ thuộc này là
đơn giản hay phức tạp. Đó là nguyên nhân gây ra các hiện tượng phi tuyến
Kerr, tự dựng xung và tự dịch chuyển tần số.
 không phụ thuộc tường minh vào  , một cách
Do các toán tử L và N

hình thức ta có thể viết:
dU  ,  
U  ,  

N
 U  ,    d  .
 L





(1.30)

Giả sử xung đã lan truyền tới tọa độ  trong môi trường. Sự tiến triển
của xung đến tọa độ  +  sau đó tuy không mô tả chính xác được do sự phụ
 U   ,   , song nó có thể mô tả được một cách gần đúng, bằng cách lấy
thuộc N


15

tích phân phương trình trên và tạm thời chưa quan tâm đến sự phụ thuộc đó. Ta
suy ra:
 
 

 d ' 
 U  ',    d 'U  ,   .
U    ,    exp   L
N



 


(1.31)

Do L độc lập với biến  nên có thể đưa ra ngoài dấu tích phân của thành
phần tuyến tính. Đặt các ký hiệu mới:
 

A



  ' L

Ld
  

B 



 




 ,
d  '   . L

 U  ', 
N

 d  ' .

do đó:

U     ,   e A B U  ,  .

(1.32)

Trong các phương trình trên, chúng ta cần lưu ý rằng A và B cũng như L
 , đều là các toán tử. Các biến đổi toán học chỉ mang tính hình thức mà
và N

thôi. Các toán tử luôn được hiểu là "tác dụng" lên hàm U  ,  cho dù chúng
nằm trong hàm e mũ. Mặt khác, sử dụng công thức Baker – Campbell –
Hausdorff [1,2]
X

Y

e e e

X Y 

1
1
 X ,Y   X Y , X ,Y  ....
2
12

.

(1.33)

Chú ý rằng X, Y là các toán tử, còn [ ] là ký hiệu của giao hoán tử. Nếu  đủ
nhỏ thì các toán tử A và B cũng "nhỏ" và ta có thể viết:

,
 A   .L


 B   .N  Q  .

(1.34)

Ở đây Q  U  ",  với  " là một điểm nào đó giữa  và    . Thay X và Y ở
(2.33) bởi A và B ở (2.34) chúng ta thu được công thức:

e

  
N Q
 L

e

e

2

3

 N
  Q     L
, N
  Q      L  N
  Q ,  L

 ,N
  Q     ...
 L

 12 

 
2





.
(1.35)


16

Từ đây có thể thấy nếu  rất nhỏ thì các lũy thừa bậc cao của nó bé
hơn nhiều lũy thừa bậc nhất và trong phép gần đúng bậc nhất chúng ta sẽ bỏ đi.
Điều này cũng tương đương với việc xem rằng các toán tử "nhỏ" A và B giao
  Q  nói chung không giao hoán). Kết
hoán với nhau [A, B]  0 (mặc dù L và N

quả là:

e

N

 Q 
 L



  e  L e  N Q 
.

(1.36)

Nghĩa là từ (1.36) ta có gần đúng mới:




U    ,   e  L e  N  Q  U  ,  .

(1.37)

Trong công thức này, giá trị U  ,  chúng ta đã biết và được gọi là "điều
kiện đầu" của quá trình lan truyền qua một bước nhỏ  . Tuy nhiên còn có
  Q  , nên
một khó khăn nữa là chưa biết giá trị của Q và do đó chưa biết N

phương trình (1.29) vẫn chưa giải được. Có thể loại bỏ khó khăn này bằng cách
đơn giản nhất là xem rằng Q  U  ,  . Như vậy thì:
  
N U  ,  

U     ,    e  L e

U  ,  .

(1.38)

Đó là phương trình thu được cuối cùng sau một loạt phép gần đúng. Nếu giá trị
xung ban đầu ở   0 là U  0,  đã cho thì ta có thể tìm được giá trị U  ,  ở
tọa độ  bất kỳ trong môi trường sau một số bước lan truyền  thích hợp.
Chú ý rằng, do dừng ở gần đúng bậc nhất theo  nên sai số của tính toán theo
phương pháp này có thể ước lượng là cùng bậc với  2 .
1.2.2 Thuật toán Runge - Kutta bậc bốn trong phương pháp bức tranh
tương tác.
Phương pháp chia tách theo bước Fourier có sai số vào cỡ  2 với  là
bước chia không gian. Phương pháp này tuy ngắn gọn nhưng sai số thường lớn
khi xem xét sự lan truyền xung trên một quãng đường lớn. Đặc biệt là chúng ta
không thể quản lý được sai số, nghĩa là không quản lý được tính hội tụ. Hiện
này để nâng cao tính chính xác người ta thường sử dụng thuật toán Runge -


17

Kutta bậc bốn trong phương pháp bức tranh tương tác (interaction picture
method) [13]. Trong phương pháp này, việc tính các đạo hàm riêng theo thời
gian có thể được thực hiện đơn giản nhờ thực hiện phép biến đổi Fourier.
Trong chương hai chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp này để nghiên cứu ảnh
hưởng của tán sắc bậc ba về tán xạ Ramman lên soliton trong quá trình lan
truyền trong sợi quang.
Phương trình (1.28 ) có thể viết lại dưới dạng:





2

2 

 U U
 U 
U 
i 2
3
1
2
2
 sign   "0  
 3 3  i N U  i S
R
U , (1.39)

  
2  2
U

  






hay:
U  , 


N
 U  ,   U  , 
 L





Do đó dạng của toán tử tuyến tính L là:
2
3
   sign   "    i     .
L
0
3
2  2
 3

(1.40)

  Q  có dạng:
Toán tử phi tuyến N


N U   i N  U



2

2



1  U U
iS
U


2

 

U
R



2


,



(1.41)

Toán tử tuyến tính L chỉ chứa các đạo hàm riêng theo  nên sẽ rất tiện
lợi khi xét các quá trình lan truyền tuyến tính trong không gian Fourier. Theo
hệ thức liên hệ về toán tử đạo hàm và biến tần số  chúng ta thấy rằng có thể
viết:
     m  


  
L m  U  ,   F 1 exp L
 i m  U  ,.
 2



 2    

exp





(1.42)

Trong đó U  ,    F U  ,  còn F và F-1 là các ký hiệu của biến đổi Fourier
và Fourier ngược như đã đưa ra trước đây. Nhờ biến đổi Fourier, các đạo hàm


18

m

sẽ thay bởi các phép nhân đại số  i  thông thường, do đó quá trình lan
truyền tuyến tính được giải quyết dễ dàng. Khó khăn chính ở đây là thực hiện
các biến đổi Fourier và Fourier ngược khi tính toán bằng số, nhưng nó có thể
thực hiện nhanh gọn nhờ chương trình FFT mà chúng ta đã trình bày ở các
phần trước.
  Q  lên hàm bao tùy thuộc vào dạng
Tác dụng của toán tử phi tuyến N

của nó như đã thấy ở trên. Các đạo hàm của chúng theo  có thể sử dụng biến
đổi Fourier để tính, cụ thể như sau:








U


2

U


U 2



F

F

1

1

i F  U U  ,
2

(1.43)

i F  U .
2

  Q  sẽ hoàn toàn xác định trong trường hợp này. Tác động của N
 Q 
Do đó N

lên hàm bao chỉ là phép nhân đại số thông thường mà thôi. Bài toán lan truyền
phi tuyến vì vậy cũng được giải quyết.
Như vậy trong không gian Fourier thì phương trình (1.39) được viết lại
dưới dạng:
d
2 i
3



F U     i    i   3  F U 

d
2



(1.44)

2
 iN 1  iS  i   F  U U    R F UF 1  i  F | U |2    





2

Trong đó F, F-1 là biến đổi Fourier thuận và ngược. Đặt:
 i 2

3
V  exp 
   i   3  F U  ,
 2


(1.45)

chúng ta có thể viết lại (1.44) như sau:
dV
 f  ,U ,
d

(1.46)


19

Trong đó:
 i 2

3
f   , U   iN 2 exp 
   i   3  
 2


(1.47)

2

 1  iS  i   F  U U    R F UF 1  i  F | U |2    






Sử dụng thuật toán Runge - Kutta bậc bốn cho phương trình (1.46), giá trị
của hàm V tại vị trí  + ∆ được tính như sau:
V      V   

1
K1  2K 2  K3   K 4 ,
6

(1.48)

Ở đây các hệ số Ki được xác định theo:
K 1   . f  , U  , ,

1 

K 2  . f   
, U  ,    K 1 ,
2
2 


1


K 3   . f   
, U  ,    K 2 ,
2
2



K 4   . f    , U  ,   K 3 .

(1.49)

Từ (1.47) và (1.45) chúng ta tính được giá trị hàm bao tại vị trí    :

  i 2 

U      F 1 V     exp  
D    .

 2



(1.50)

Sai số khi tính theo (1.50) sẽ có bậc vào cỡ  5 . Đồng thời khi sử dụng
phương pháp này chúng ta sẽ quản lý được sai số và tính chất hội tụ của
phương pháp. Đây là phương pháp được chúng tôi sử dụng trong chương 2.
Kết luận chương 1
Trong chương này, xuất phát từ hệ phương Maxwell chúng tôi đã thiết
lập phương trình lan truyền xung dưới dạng tổng quát. Trong phương trình này
chứa các hiệu ứng phi tuyến bậc cao cũng như tán sắc bậc cao. Phân tích rõ về
mặt vật lý sự cần thiết phải xuất hiện các hiệu ứng này. Tính chất trễ của phản
ứng của môi trường cũng như đặc trưng của các môi trường sợi quang.
Đồng thời chúng tôi cũng đã trình bày các phương pháp số để giải
phương trình Schrodinger suy rộng.

20

Chương 2:

ẢNH HƯỞNG CỦA TÁN SẮC BẬC BA VÀ TÁN XẠ RAMAN
LÊN SOLITON LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG
2.1 Soliton quang học.
2.1.1 Cơ sở xuất hiện Soliton quang học.
Khi xung ánh sáng lan truyền trong môi trường tán sắc, hình dạng của nó
liên tục thay đổi vì các thành phần tần số khác nhau lan truyền với vận tốc khác
nhau. Đối với trường hợp môi trường là phi tuyến, quá trình tự biến điệu pha
gây bởi phi tuyến bậc ba sẽ làm thay đổi pha, ảnh hưởng của hiện tượng này
ngược chiều với ảnh hưởng của tán sắc vận tốc nhóm. Quan hệ tương hỗ giữa
tự biến điệu pha và tán sắc vận tốc nhóm cuối cùng sẽ làm cho xung giãn rộng
ra hoặc co lại phụ thuộc vào độ lớn và hướng của hai hiệu ứng trên. Trong một
điều kiện nhất định, dạng ban đầu của xung sẽ giữ nguyên trong quá trình lan
truyền, tương tự như lan truyền trong môi trường không phi tuyến, không tán
sắc. Điều này sẽ xảy ra khi hiệu ứng tự biến điệu pha và hiệu ứng tán sắc vận
tốc nhóm bù trừ hoàn toàn cho nhau. Các sóng ổn định như xung này gọi là
sóng cô đơn (solitary). Các Soliton quang học là các sóng cô đơn đặc biệt [1,2].
2.1.2 Soliton cơ bản và các soliton bậc cao
Xét đối với các xung cỡ ps lan truyền xa miền cộng hưởng. Khi đó
Phương trình Schodinger phi tuyến suy rộng (1.39) được viết lại:
U 
i 2
2
   sign   "  0  
 iN 2 U  U
2
 

2 


(2.1)

Đây là một dạng đặc biệt của các phương trình vi phân từng phần phi
tuyến và có thể được giải một cách chính xác bằng phương pháp tán xạ ngược.
Phương pháp này được Zakharov và Shabat giải vào năm 1971. Mặc dù
phương trình này có các nghiệm soliton cho cả dạng GVD thường và dị


21

thường, nhưng các soliton dạng xung chỉ được tìm thấy đối với trường hợp tán
sắc dị thường. Trong trường hợp tán sắc thường các nghiệm có dạng dốc không
đổi. Các nghiệm như vậy tương ứng với các soliton tối không đề cập ở đây.
Tham số N trong (2.1) thể hiện bậc của soliton. Nó liên quan đến đỉnh
công suất của xung đưa vào sợi quang. Đối với trường hợp môi trường tán sắc
dị thường (  "0   0 ), phương trình (2.1) được giải bằng phương pháp tán xạ
ngược.
Khi xung vào có dạng:
U N  0,   N sech   .

(2.2)

Kết quả của phương pháp tán xạ ngược đối với các soliton bậc nhất và
bậc hai như sau [2,3,4,5]
Soliton bậc nhất:
U 1  ,    e  i  / 2 sech 



(2.3)

Soliton bậc hai:
U 2  ,    4 e

i / 2

cosh  3   3 e  4 i  cosh  
cosh  4   4 cosh  2   3 cosh  4  

.

(2.4)

Từ các biểu thức nghiệm soliton (2.3) và (2.4) chúng ta nhận thấy,
soliton bậc nhất có hàm bao và do đó cả môđun hàm bao không đổi trên mọi
điểm của quãng đường truyền còn soliton bậc hai có môđun hàm bao biến đổi
tuần hoàn với chu kỳ z0 =
chu kỳ


LD (tức là tuần hoàn theo biến chuẩn hoá  với
2



). Thực tế thì tất cả các soliton bậc cao đều có cùng chu kỳ z0 =
2

2

LD.
Các hình 2.1 – 2.4 thu được bằng cách giải số trực tiếp phương trình
(2.1), các kết quả số này sẽ giúp chúng ta kiểm tra lại các lớp nghiệm soliton
của phương trình (2.1) và tính chu kỳ biến đổi của soliton.


22

Hình 2.1 a và b, mô tả quá trình lan truyền của soliton bậc nhất trên
quãng đường bằng . Từ các hình vẽ này, chúng ta có thể thấy rằng soliton bậc
nhất có hàm bao và phổ không đổi trong khi lan truyền. Đây là một trường hợp
đặc biệt vì có sự cân bằng tuyệt đối giữa các hiệu ứng tuyến tính và phi tuyến.
Điều kiện để có sự cân bằng tuyết đối này trong các hệ thống thông tin gần như
không thể thực hiện được, đặc biệt là trong hệ thống thông tin đường dài.

Hình 2.1. Lan truyền của soliton bậc nhất
Hình 2.2 a và b, mô tả quá trình lan truyền của soliton bậc hai trên quảng
đường bằng , nghĩa là bằng hai chu kỳ theo tính toán lý thuyết. Các kết quả số
thu được đối với soliton bậc 2 cũng đã chứng tỏ nó có chu kỳ bằng /2 (hình
2.2 b). Soliton bậc hai có cường độ tăng lên gấp bốn cường độ vào tại một nửa
chu kỳ, lúc này phổ của xung tách đôi. Nửa sau của chu kỳ quá trình diễn ra
ngược lại với nửa đầu.


23

Soliton bậc bốn thì sự biến đổi phức tạp hơn hình 2.3. Cường độ xung
tăng lên sáu lần tại một phần tư chu kỳ, ứng với đó phổ của nó tách làm ba. Tới

một nửa chu kỳ thì xung tách đôi còn phổ thì tách bốn. Sau đó quá trình diễn ra
ngược lại, xung sẽ có hàm bao và phổ trở lại như ban đầu sau một chu kỳ.
Các hình vẽ biểu diễn lời giải số về sóng soliton của phương trình
Shrodinger phi tuyến suy rộng mà chúng ta tính được ở trên rất phù hợp với
các kết quả giải tích thu được theo phương pháp tán xạ ngược.

Hình 2.2. Lan truyền của các soliton bậc hai trong hai chu kỳ soliton
Như vậy, ngoài soliton bậc nhất là trường hợp lý tưởng, các soliton bậc
hai và ba cũng như tất cả các soliton bậc cao hơn khác đều có sự biến đổi của
cường độ lẫn phổ trong quá trình lan truyền. Các soliton bậc càng cao sự biến
đổi đó càng phức tạp nên chúng ta không phân tích kỹ thêm nữa. Nói chung dù
biến đổi phức tạp nhưng quá trình cũng có quy luật, đó là: sự biến đổi cường
độ và phổ sẽ đối xứng xung quanh vị trí có tọa độ bằng một nửa chu kỳ lan