Môđun suy yếu và môđun đối suy yếu

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
_____________________________________

VŨ VĂN NGUYÊN

MÔĐUN SUY BIẾN
VÀ MÔĐUN ĐỐI SUY BIẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2015


2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
_____________________________________

VŨ VĂN NGUYÊN

MÔĐUN SUY BIẾN
VÀ MÔĐUN ĐỐI SUY BIẾN

CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
MÃ SỐ: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. NGÔ SỸ TÙNG

NGHỆ AN - 2015


3

MỤC LỤC
Trang


4

MỞ ĐẦU
Trong sự phát triển chung của toán học, lý thuyết môđun đã có sự phát
triển và có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu các lĩnh vực
khác của toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực lý thuyết vành. Như chúng ta đã
biết việc nghiên cứu lý thuyết vành có hai hướng để nghiên cứu. Hướng thứ
nhất sử dụng nội tại các tính chất của nó thông qua lớp các iđêan và hướng
thứ hai là đặc trưng vành qua tính chất của một lớp xác định nào đó các
môđun trên chúng. Mặt khác ta cũng biết rằng một vành R là R - môđun
(phải) trên chính nó, nên hiển nhiên một số kết quả trên môđun có thể chuyển
sang vành.
Trong các lớp môđun, lớp môđun suy biến và đối suy biến là những lớp
môđun hiện nay được nhiều người quan tâm nghiên cứu. Để nghiên cứu các
lớp môđun và đặc trưng vành, người ta thường xét các lớp môđun với tính
chất của nó như: môđun suy biến, môđun đối suy biến…
Chính vì vậy đề tài của luận văn chúng tôi chọn là “Môđun suy biến và
đối suy biến”. Mục đích của luận văn tập trung nghiên cứu môđun suy biến

và môđun đối suy biến, trình bày hệ thống lại về khái niệm và tính chất của
môđun suy biến và đối suy biến.
Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận.
Chương 1. Các khái niệm cơ bản. Trình bày các khái niệm cơ bản
chuẩn bị cho chương 2. Các khái niệm cơ bản được đề cập chủ yếu trong
chương này là: Môđun con cốt yếu, Các điều kiện của ( Ci ) của môđun,
môđun con bé, môđun nội xạ.
Chương 2. Một số tính chất của môđun suy biến, môđun đối suy biến
Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng
dẫn tận tình của PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết


5
ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, thầy đã dành cho tôi sự chỉ bảo tận tình,
nghiêm khắc và đầy lòng nhân ái. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các quý
thầy cô giáo trong chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số - Khoa Toán Trường Đại học Vinh đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi
cho tôi trong quá trình học tập tại lớp Cao học khoá 21 chuyên ngành Đại số
và Lý thuyết số.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán và
Phòng Sau đại học trường Đại học Vinh và tất cả các bạn đồng nghiệp, đã
giúp đỡ và tạo điều kiện học tập, nghiên cứu cho tôi trong thời gian qua.
Trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu mặc dù đã cố gắng, nỗ lực
hết mình do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn này không tránh
khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được sự chỉ bảo góp ý của quý thầy cô
và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.

Nghệ An, tháng 10 năm 2015

CHƯƠNG 1
KHÁI NIỆM CƠ BẢN

6

Trong suốt luận văn này vành luôn được hiểu là vành có đơn vị (ký
hiệu 1) và các môđun là môđun phải unita trên vành R nào đó.

1.1. Môđun con cốt yếu
1.1.1. Định nghĩa. Cho M là R-môđun phải và N là môđun con của M.
(1) Môđun con N được gọi là môđun con cốt yếu của M, Ký hiệu

N ⊆* M nếu với mọi môđun con khác không K ⊆ M ta đều có K ∩ N ≠ 0 .
Khi đó ta cũng nói M là mở rộng cốt yếu của N.
(2) Môđun con N của M được gọi là đóng trong M nếu N không có một
mở rộng cốt yếu thực sự trong M. Nói cách khác N được gọi là đóng trong M
nếu với mọi môđun con K khác không của M mà N ⊆* M thì K = N .
(3) Môđun K của M được gọi là bao đóng của môđun con N trong M
nếu K là môđun con tối đại trong M sao cho N ⊆* K .
(4) Nếu mọi môđun con khác không của môđun M là môđun con cốt
yếu trong M thì M được gọi là môđun đều (uniform).
1.1.2. Ví dụ. a) Cho M là R - môđun. Ta luôn có M ⊆* M .

¢ đều cốt yếu vì với
a ¢ , b ¢ khác không đều có 0 ≠ ab ∈ a¢ ∩ b¢ , hay ¢ là môđun đều (trên
vành ¢ ).
b) Ta xét ¢ là ¢ - môđun. Mỗi môđun khác không của

1.1.3. Mệnh đề. i) Cho A ⊆ M thì A ⊆* M ⇔ x ≠ 0, x ∈ M thì A ∩ Rx ≠ 0.
ii) Cho A ⊆ K ⊆ M , khi đó A ⊆* M ⇔ A ⊆* K và K ⊆* M .
iii) Cho f : M → N là một đồng cấu R-môđun và B ⊆ M . Nếu

B ⊆* M thì f −1 ( B ) ⊆* M . Điều ngược lại không đúng.


7
iv) Giả sử Ai , Bi là các môđun con của M và Ai ⊆* Bi , i = 1, n. Khi đó
n
n
*
I Ai ⊆ I Bi , nếu tập chỉ số vô hạn thì điều này không đúng.
i=1
i =1

v) Cho A ⊆ K ⊆ M và K / A ⊆* M / A. Khi đó K ⊆* M .
M
vii) Cho Ai ⊆ M i ⊆ M và Ai ⊆* M i , i ∈ I . Nếu tồn tại ⊕
I i và

⊕ Ai ⊆* ⊕ M i .
I
I
Chứng minh. i) Điều kiện cần: Hiển nhiên.
Điều kiện đủ: Với mọi môđun B ⊆ M ta cần chứng minh A ∩ B ≠ φ .
Lấy x ∈ B, x ≠ 0, xét < x >= R = { rx / r ∈ R} ⊂ B .
Theo giả thiết ta có: A ∩ Rx ≠ 0 nên với mọi B ⊆ M ta chứng minh
A∩ B ≠ φ .
ii) Giả sử A ⊆ *M , lấy môđun con X bất kỳ của K mà A ∩ X = 0. Do

X ⊆ K nên X ⊆ M và A ⊆ *M nên X = 0 . Vậy A ⊆ *K .
Ngược lại, nếu A ⊆ *K và K ⊆ *M thì với môđun con X bất kỳ của
M, với A ∩ X = 0 . Đặt B = K ∩ X , ta có A ∩ B = A ∩ K ∩ X = A ∩ X = φ .

Do A ⊆* K nên B = 0 và K ⊆* M nên X = 0 , suy ra K ∩ X = 0 . Vậy
A ⊆* M .
iii) Với C ⊆ M , C ≠ 0 , ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: f ( C ) ⊆ M suy ra f ( C ) ∩ B ≠ 0 (vì B ⊆* M ), do đó
tồn tại y ∈ f ( C ) ∩ B, y ≠ 0. Khi đó tồn tại x ∈ C sao cho y = f ( x ) , x ≠ 0 (vì

y ≠ 0 ) và x ∈ f −1 ( B ) , suy ra C ∩ f −1 ( B ) ≠ 0.


8
Trường hợp 2: f ( C ) ⊆ M suy ra C ∈ f −1 ( B ) . Vì với mọi x ∈ C nên ta
có f ( x ) = 0 ⊆ B suy ra x ∈ f −1 ( B ) .

W

iv) Sử dụng quy nạp ta chỉ cần chứng minh với n = 2 .
Cho A1 ⊆* M1, A2 ⊆* M 2 , ta chứng minh A1 ∩ A2 ⊆* M1 ∩ M 2.
Lấy X ≠ 0, do A2 ⊆* M 2 nên B ∩ A2 ≠ 0 do đó X ∩ A1 ∩ A2 ≠ 0, suy

(

)

ra X ∩ A1 ∩ A2 ≠ 0.
Trường hợp giao vô hạn nói chung không đúng.
∞
Xét ¢ -môđun: n¢ ⊆* ¢, n ∈ ¥ *. Ta có: ¢ ⊆* I ¢ i ¢ i = ¢ , ∀i = 1, ∞ ,
i

(

)

suy ra 0 ⊆* ¢. Điều này vô lí.
Vậy trường hợp giao vô hạn không đúng.

W

v) Lấy X ⊆* M sao cho K ∩ X = 0. Khi đó K ∩ ( A ⊕ X ) = A nên

K / A ∩ ( A ⊕ X ) / A = 0. Mà K / A ⊆* M / A nên ( A ⊕ X ) / A = 0 hay A ⊕ X = A .
Vậy X = 0 hay K ⊆* M .

W

vi) Ta chứng minh 2 trường hợp.
Trường hợp 1: I = n hữu hạn. Sử dụng quy nạp ta cần chứng minh
với n = 2 .
Cho A1 ⊆* M1, A2 ⊆* M 2 và tồn tại A1 ⊕ A2. Ta cần chứng minh
M ∩ M = 0. Thật vậy, sử dụng tính chất iv) ta có A ∩ A ⊆* M ∩ M . Mà
1
2
1
2
1
2
A ∩ A = 0 nên M ∩ M = 0 . Bây giờ ta chứng minh A ⊕ A ⊆* M ⊕ M .
1
2
1

2
1
2
1
2
Xét các đồng cấu chiếu:


9
f : M ⊕M →M
1
1
2
1
x +x a x
1 2
1
f : M ⊕M →M
2
1
2
2
x +x a x
1 2
2

Do A1 ∩ A2 ⊆* M1 ∩ M 2 nên theo tính chất iii)

( )

( )

−1
−1
ta có f 1 A1 ⊆* M1 ⊕ M 2 và f 2 A2 ⊆* M1 ⊕ M 2 .

( )

−1
−1
Mà f 1 A = A ⊕ M ⊆ * M ⊕ M và f 2 A2 = M1 ⊕ A2 ⊆* M1 ⊕ M 2 nên lấy
1
1
2
1
2

( )

giao hai vế ta được A1 ⊕ A2 ⊆* M1 ⊕ M 2.
M
Trường hợp 2: Với I bất kì, điều đầu tiên ta chứng minh ⊕
I i . Lấy

x ∈ ∑ M i suy ra x = x + x + ... + x , x ∈ M , i = 1, k
1 2
k i
I

( *)

là hữu hạn. Theo

k
trường hợp 1 suy ra tồn tại M1 ⊕ M 2 ⊕ ... ⊕ M k = ⊕ M i , do đó biểu diễn ( *)
i =1
k
Ai = ⊕ M i .
là duy nhất nên tồn tại ∑ M i = ⊕ M i . Bây giờ ta chứng minh ⊕
I
I
I
i=1

M ,
Lấy X ≠ 0, X ⊆ ⊕
I i từ đó suy ra ∃x ∈ X , x ≠ 0 và
x = a + a + ... + an , ai ∈ M i , i = 1, n ( *) .
1 2
Suy ra x ∈ M1 ⊕ M 2 ⊕ ... ⊕ M n .
Theo trường hợp 1 ta có A1 ⊕ A2 ⊕ ... ⊕ An ⊆ *M1 ⊕ M 2 ⊕ ... ⊕ M n ,
A ∩ X ≠ 0.
suy ra A1 ⊕ A2 ⊕ ... ⊕ A ∩ Rx ≠ 0 nên ⊕
I i
k
M i và ⊕ A ⊆ * M .
Vậy tồn tại ⊕
⊕ i
I
I i

i =1

W


10
1.1.5. Mệnh đề. Với mọi môđun con của môđun M luôn tồn tại môđun con B
của M sao cho A ⊕ B cốt yếu trong M.
Chứng minh. Đặt S = { X ⊆ M : X ∩ A = 0} . Vì 0 ∈ S nên S ≠ φ.
Ta sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm. Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tính
∞
X
⊆
X
⊆
...
⊆
X
⊆
...
*
.
C
(
)
của S sao cho 1
Khi đó U X i là môđun con của
n
2
i=1

M và là lân cận trên của ( *) .
Lấy x ∈ A ∩ C suy ra có một số k nào đó sao cho x ∈ X k . Từ đây ta có
x ∈ A ∩ X . Vậy X = 0 hay C ∩ A = 0 . Theo bổ đề Zorn S có phần tử tối đại
k
là B. Ta cần chứng minh A ⊕ B ⊆* M .
Thật vậy, ∀Y ⊆ M thỏa mãn A ⊕ B ∩ Y = 0. Ta có A ∩ Y = 0 và
B ∩Y = 0 .
Nếu có a ∈ A và b ∈ B , y ∈Y sao cho a = b + y thì y = a.b ∈ A ⊕ B. Suy
ra y = 0 và a = b = 0. Như vậy A ⊕ ( B ∩ Y ) = 0 suy ra B ⊕ Y ∈ S . Do tính tối
đại của B nên Y = 0. Vậy

A ⊕ B ⊆* M .

W

1.1.6. Bổ đề. a) Nếu trong môđun M có các dãy môđun con A ⊆ B ⊆ C thì
A ⊆* M kéo theo B ⊆* C.
n
*
b) Nếu Ai ⊆* M, i = 1, n thì I Ai ⊆ M .
i =1
c) Nếu ϕ :M → N là đồng cấu môđun và B ⊂ *N thì ϕ −1 ( B ) ⊂ *M .
Chứng minh. a) Giả sử E là môđun con khác không của C, thế thì E cũng là
môđun con của M và
EI A≠0⇒ EI B ≠ 0.


11
Điều này chứng tỏ B ⊆* C.

W

b) Ta tiến hành chứng minh bằng quy nạp theo n. Với n = 1 mệnh đề
n−1
đúng theo giả thiết. Giả sử mệnh đề đúng với n −1 , tức là A = I Ai ⊂ *M .
i=1

Giả sử E ≠ 0 là môđun con của M. Do An cốt yếu trong M nên
An I E = 0 . Lại do A cốt yếu trong M nên
A I ( An I E ) ≠ 0 ⇒ A I An ⊂ *M .
c) Giả sử E là một môđun con của M và
E I ϕ −1 ( B ) = 0
Khi đó B ∩ kerϕ = 0 vì vậy ϕ ( E ) = 0 do B ⊂* N . Từ đó
E ⊂ kerϕ ∩ ϕ −1 ( B ) ⇒ E = E I ϕ −1 ( B ) = 0.
Điều này chứng tỏ ϕ −1 ( B ) là cốt yếu trong M.
1.1.7. Bổ đề. Cho ϕ : N → M là một đẳng cấu môđun trên R khi đó môđun
con L của N cốt yếu trong N ⇔ ϕ ( L ) cốt yếu trong M.
Chứng minh. Điều kiện cần. Cho L ⊆* N thì ∀X ⊆ M sao cho ϕ ( L ) ∩ X = 0
suy ra L ∩ ϕ −1 ( X ) = ϕ −1 ( X ∩ ϕ ( L ) ) = ϕ −1 ( 0 ) = 0. Do L ⊆* N .
Mặt khác ϕ đẳng cấu nên X = 0 . Vậy ϕ ( L ) ⊆* M .
Điều kiện đủ. Cho ϕ ( L ) ⊆* M thì ∀X ⊆ M sao cho L ∩ Y = 0 . ϕ đẳng
cấu nên ϕ −1 ( ( Y ) ∩ ϕ ( L ) ) = ϕ −1 ( ϕ ( L ) ) ∩ ϕ −1 ( ϕ ( Y ) ) = L ∩ Y = 0.
Suy ra ϕ ( L ) ∩ ϕ ( X ) = 0. Do ϕ ( L ) ⊆* M nên ϕ ( Y ) = 0 suy ra Y = 0 .
Vậy L ⊆* N .

1.2. Các điều kiện ( Ci ) của môđun

W

12
1.2.1. Định nghĩa các điều kiện ( Ci ) của môđun.
Cho M là một R-môđun. Ta xét các điều kiện sau đối với môđun M.

( C1 )

Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp

của M, hay nói cách khác mọi môđun con đóng trong M là hạng tử trực
tiếp của M.

( C2 )

Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là

hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M.

( C3 )

Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và A ∩ B = 0 thì

A ⊕ B cũng là hạng tử trực tiếp của M.

( 1 − C1 )

Mỗi môđun con đều của M là cốt yếu trong một hạng tử trực

tiếp của M.
Ta có các định nghĩa sau:

( 1) Một môđun M được gọi là CS-môđun (hay môđun extending), nếu
M thỏa mãn điều kiện ( C1 ) .

( 2 ) Môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện

( C1 )

và ( C2 ) .

( 3) Môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn điều kiện

( C1 )

( )

và C3 .

( 4 ) Một vành R gọi là CS-vành (liên tục, tựa liên tục) phải nếu

RR là

CS-môđun (liên tục, tựa liên tục) như một R-môđun phải R. Tương tự ta có
khái niệm CS-vành, vành liên tục và tựa liên tục trái.
1.2.3. Ví dụ. 1. Xét ¢ -môđun ¢ thì ta có


13

( )

a) ¢ có điều kiện ( C1 ) và C3 .
b) ¢ không có điều kiện ( C2 ) .
Chứng minh. a) với ∀A ⊆ ¢ thì A = n¢ ( n ∈ ¥ ) .
Nếu n = 0 ⇒ A = 0 ⊆ 0 ⊆⊕ ¢.
Nếu n = 0 ⇒ A = n¢ ⊆ ¢ ⊆⊕ ¢.
Với ∀A, B ⊆⊕ ¢ và A ∩ B = 0 suy ra A = 0, B = 0; A = 0, B = ¢ hoặc

A = ¢, B = 0. Vì vậy, A ⊕ B = ¢ ⊆⊕ ¢ .

W

b) ¢ không có điều kiện ( C2 ) . Thật vậy, ta có: 2¢ ≅ ¢ mà ¢ ⊆⊕ ¢
nhưng 2 ¢ không là hạng tử trực tiếp của ¢ .
2. ¢ -môđun ¤ thỏa mãn tất cả các điều kiện ( Ci ) ở trên. Bởi vì ¤ là
môđun nội xạ. Mà môđun nội xạ thì có đầy đủ các điều kiện ( Ci ) .

1.3. Môđun nội xạ
1.3.1. Định nghĩa. Môđun M được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu
f : X → M và với mỗi đơn cấu i : X → A của những R - môđun, tồn tại một
đồng cấu f ': A → M sao cho f ' i = f , nghĩa là biểu đồ sau giao hoán

1.3.2. Định lí. Nếu
xạ với i ∈ I .

Q = ∏ Qi
thì Q là môđun nội xạ khi và chỉ khi Qi là nội
I


14

Chứng minh. ( ⇒ ) . Giả sử Q là môđun nội xạ. Giả sử g : A → B là một đơn
cấu và f : A → Qi là một đồng cấu với i ∈ I .
Gọi µi :Qi → Q là phép nhúng chính tắc ta có µi f : A → Q là một
đồng cấu. Do Q nội xạ nên tồn tại một đồng cấu k : B → Q sao cho biểu
đồ sau giao hoán.

g→ B
0 → A 
f↓
Qi
k

µi ↓
Q
nghĩa là kg = µi f .
Bây giờ ta xét đồng cấu h = π i k , trong đó π i :Q → Qi là phép chiếu

( )

(

)

chính tắc, ta có hg = π i k g = π i µi f = f .
Điều này chứng tỏ Qi là nội xạ.

( ⇐ ) . Giả sử Qi là môđun nội xạ với i ∈ I . Xét biểu đồ giao hoán
g→ B
0 → A 
f↓

Q

hi

πi ↓
Qi

Trong đó g đơn cấu, f là đồng cấu, π i là phép chiếu chính tắc, còn hi
là đồng cấu có được do tính nội xạ của Qi , π i f = hi g. Khi đó theo tính chất
phổ dụng, tồn tại đồng cấu h : B → Q sao cho π i h = hi , cụ thể b ∈ B
h ( b ) i = hi ( b ) , ∀i ∈ I .


15
Ta khẳng định rằng f = hg . Thật vậy, với mọi a ∈ A ta có
f ( a ) i = π i ( f ( a ) ) = hi g ( a ) = π i ( hg ( a ) ) = hg ( a ) i , ∀i ∈ I
⇒ f ( a ) = hg ( a ) ⇒ f = hg

W

1.3.3. Hệ quả. Mọi hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ là nội xạ.
1.3.4. Định lí. Đối với một môđun QR có các điều kiện sau tương đương.

( a ) Q là nội xạ.

( b)

Mỗi đơn ánh ϕ :Q → B là chẻ ra (nghĩa là Imϕ là hạng tử trực

tiếp trong B).

( c ) Mỗi đơn cấu α : A → B , ánh xạ
Hom  α ,1 ÷: Hom ( B, Q ) → Hom ( A, Q ) là toàn cấu.
R
R
Q



Chứng minh. ( a ) ⇔ ( c ) . Từ định nghĩa của Hom  α ,1Q ÷ suy ra rằng ( c ) là




một phát biểu tương đương của mệnh đề ( a ) .

( a ) ⇒ ( b ) . Do Q là nội xạ nên tồn tại đồng cấu β : B → Q sao cho biểu
đồ sau giao hoán
ϕ
0 → A 
→B
1Q ↓
β
Q

Nghĩa là βϕ = 1Q . Bởi vậy ϕ là chẻ ra.

( b ) ⇒ ( a ) . Xét biểu đồ các đồng cấu môđun
g
0 

→ A → B
f↓
Q


16
trong đó g là đơn cấu. Gọi K là môđun con của Q ⊕ B gồm tất cả các tập có
dạng ( f ( a ) , − g ( a ) ) , với mọi a ∈ A .
Đặt N = ( Q ⊕ B ) / K ta có các đồng cấu β : B → N và γ :Q → N sao
cho hình vuông sau giao hoán

g→ B
A 
f↓
↓β
Q 
γ→N
trong đó β ( b ) = ( 0, b ) , γ ( q ) = ( q,0 ) .
Do g đơn cấu nên γ cũng đơn cấu. khi đó theo giả thiết γ chẻ ra, tức là
tồn tại đồng cấu v : N → Q sao cho vγ = 1Q . Đặt h = vβ : B → Q ta có

f = vγ f = vβ g = hg ,
Điều này chứng tỏ Q là nội xạ.

W

Theo định nghĩa, để xác định tính nội xạ của môđun Q ta cần chứng tỏ
sự tồn tại của đồng cấu h : B → Q, sao cho f = hg.
1.3.5. Định lí (Tiêu chuẩn Baer). Môđun Q là nội xạ khi và chỉ khi đối với
mỗi iđêan phải U ⊂ RR và mỗi đồng cấu f :U → Q đều tồn tại đồng cấu

h : R → Q sao cho hi = f , trong đó i là phép nhúng U vào R.
R
Chứng minh. Hiển nhiên điều kiện đã nêu là điều kiện cần cho tính nội xạ của
môđun. Ta cần chứng minh điều kiện đủ theo hai bước sau.
Bước 1: Xét biểu đồ

α→B
0 
→ A 
↓ϕ
Q


17
trong đó α là đơn cấu. Giả thiết rằng trong B tồn tại môđun con thực sự C
của B sao cho Imα ⊂ C và tồn tại đồng cấu γ :C → Q sao cho. Ta khẳng
định rằng khi đó tồn tại môđun C1 của B, thực sự chứa C và tồn tại đồng cấu

γ :C → Q sao cho ϕ = γ α (và do đó ϕ c = γ ).
1 1
1
1
Để chứng minh điều khẳng định này ta lấy b ∈ B, b ∉ C và đặt

C = C + bR.
1
Nếu C I bR = 0 thì γ có thể mở rộng trên C1 một cách tầm thường.
Nếu C I bR ≠ 0 ta thực hiện như sau. Gọi U = { u ∈ R bu ∈ C} .
Rõ ràng U là iđêan phải trong R và ánh xạ

ζ :U → C
u a bu
là một R- đồng cấu. Đặt ξ = ζγ , ξ : U → Q. Theo giả thiết tìm được đồng cấu

ρ : R → Q sao cho ξ = ρ i , nghĩa là biểu đồ sau giao hoán

ζ ξ
U →C → Q
i↓ Z
R ρ
Bây giờ ta định nghĩa γ1 : C1 → Q bởi quy tắc

γ : C + bR → Q
1
c + br a γ ( c ) + ρ ( r )
Tương ứng γ 1 là một ánh xạ. Thật vậy, nếu có

c + br = c '+ br ', c, c '∈ C , r , r '∈ R
thì
c − c ' = b ( r − r ') ∈ C I bR.
Từ đó


18
r '− r ∈U
⇒ γ .ζ ( r − r ') = ρ ( r − r ')

⇒ γ ( c − c ') = γ ( b ( r − r ') ) = γζ ( r − r ') = ρ ( r − r ')
⇒ γ ( c ) + ρ ( r ) = γ ( c ') + ρ ( r ' ) .

Do γ và ρ là những R - đồng cấu nên γ1 cũng là R - đồng cấu, và rõ
ràng ϕ1 c = γ .
Bước 2. Giả sử Co = Im α và αo là đẳng cấu của A lên Co , cảm sinh
bởi α . Đặt γ o = ϕα 0−1, ta có thể kéo dài lên B nhờ bước 1 và Bổ đề Zorn. Cụ
thể, giả sử τ là tập tất cả các cặp ( C ,ϕ ) , trong đó
Co ⊂ C ⊂ B
và

γ :C → Q, γ co = γ o .

(

)

Tập τ ≠ ∅ vì co,γ o ∈τ . Đưa vào τ quan hệ thứ tự

( C, γ )

C ⊂ C
1
≤ C , γ ⇔ 
1 1
γ1 c = γ

(

)

( 1)
( 2)

Bây giờ giả sử A là một dây chuyền trong và
D = UC với ( C , γ ) ∈ A.
Rõ ràng Co ⊂ D ⊂ B. Hơn nữa, giã sử δ : D → Q đặt tương ứng d a γ ( d )
với d ∈ C , trong đó ( C , γ ) ∈ A. Do ( 2 ) δ là đồng cấu mở rộng của γ o . Điều
này chứng tỏ ( D, δ ) là lân cận trên của A trong τ . Bởi vậy theo Bổ đề Zorn,
trong τ tồn tại phần tử tối đại, và do bước 1 phần tử tối đại phải bằng ( B,ψ )
trong đó ϕ =ψα .

1.4. Môđun con bé

W


19
1.4.1. Định nghĩa. Một môđun con B của môđun M được gọi là bé (hay là đối
cốt yếu) trong M và ký hiệu B << M , Nếu với mọi môđun con L của M ,
L ≠ M thì B + L ≠ M . Nói cách khác, nếu B + L = M thì L = M .

1.4.2. Ví dụ. 1) 0 << M , ∀M .
2) Trong ¢ - môđun tự do chỉ có môđun tầm thường 0 là môđun
con bé.

{

}

Thật vậy, giả sử F là ¢ - môđun tự do với cơ sở ei i ∈ I . Khi đó
F = ⊕ ei ¢.
I

Giả sử A là môđun con khác không của F và 0 ≠ a ∈ A. Khi đó a biểu
diễn duy nhất dưới dạng

e = e x + e x + ... + eim xm ; 0 ≠ xi ∈¢.
i1 1 i 2 2

(

)

Chọn n ∈ ¢, n > 1 sao cho n, x1 = 1 và đặt

(

)

E = ⊕ei Z + e n¢
i1
i≠1
ta có a¢ + E = F , nghĩa là A + E = F , trong đó E ≠ F . Điều này chứng tỏ A
không là môđun con bé của F.

W

3) Mỗi môđun con hữu hạn sinh trong ¤ Z là đối cốt yếu trong ¤ Z .
Thật vậy, giả sử A là môđun con của ¤ , sinh bởi tập

{ q1, q2 ,...,qn } ⊆ ¤
và E là môđun con của ¤ sao cho A + E = ¤ . Khi đó

{ q1, q2 ,...,qn } ∪ E
là một hệ sinh của ¤ Z . Từ đó E là một hệ sinh của ¤ và do đó E = ¤ . Điều
này chứng tỏ A << ¤ .

W


20
1.4.3. Chú ý. A << M khi và chỉ khi với mọi E là môđun con thực sự của M ,
A + E cũng là môđun con thực sự của M .
1.4.4. Bổ đề. 1) Nếu trong M có dãy những môđun con A ⊆ B ⊆ C
thì B << C kéo theo A << M .
n
A << M .
A
<<
M
,
i
=
1,
n
∑
2) Nếu i
suy ra
i =1 i
3) Nếu ϕ : M → N là đồng cấu các môđun và A << M thì ϕ ( A ) << N .
Chứng minh. 1) Giả sử D là môđun con trong M sao cho A + D = M . Khi đó
B + D = M và theo luật môđula ta có

( D ∩ C ) + B = ( D ∩ B ) + C = M ∩ C = C.
Do B << C nên D ∩ C = C. Điều này kéo theo C ⊆ D. Bởi vậy

M = A + D = D, chứng tỏ A << M .
2) Ta tiến hành quy nạp theo n. Với n = 1 mệnh đề đúng do giả thiết.
Giả sử ta đã chứng minh được

A = A + ... + An << M .
2
Bây giờ, giả sử D là môđun con của M sao cho

( A1 + A) + D = M .
Khi đó, do A << M nên A + D = M . Lại do A << M nên D = M , điều
này chứng tỏ A1 + A << M .

W

3) Giả sử ϕ ( A ) + D = N Với D là môđun con của N . Ta chứng tỏ

A + ϕ −1 ( D ) = M
Thật vậy, với phần tử tùy ý m ∈ M ta có

ϕ ( m ) = ϕ ( a ) + d , a ∈ A, d ∈ D
d = ϕ ( m − a ) ⇒ m − a ∈ϕ −1 ( D ) ⇒ m ∈ A + ϕ −1 ( D ) .

( 1)


21
Do A << M nên ( 1) suy ra ϕ −1 ( D ) = M . Bởi vậy

ϕ ( A) ⊆ ϕ ( M ) ⊆ D.
Do đó N = ϕ ( A ) + D = D, và ta có điều phải chứng minh.

W

1.4.5. Mệnh đề. Đối với a ∈ M R môđun con aR không là môđun con bé
trong M khi và chỉ khi tồn tại môđun con tối đại K sao cho a ∉ K .
Chứng minh. ( ⇐ ) Nếu K là môđun con tối đại trong M và a ∉ K thì

aR + K = M . Bởi vậy aR không là môđun con bé trong M.

( ⇒ ) Để chứng minh phép kéo theo này ta sử dụng Bổ đề Zorn.
Đặt Γ là tập tất cả các môđun con B của M, B ≠ M sao cho

aR + B = M
Γ = { B B ≠ M , aR + B = M } .
Tập Γ ≠ φ do aR không là môđun con bé. Giả sử A là một dây chuyền
trong Γ (Theo quan hệ bao hàm). Khi đó dễ thấy

Bo = UB, B ∈ A
là lân cận trên của A. Ta chứng tỏ Bo ≠ M . Muốn vậy ta chứng minh a ∉ Bo.
Thật vậy, nếu a ∈ Bo thì a ∈ B với B nào đó thuộc A. Khi đó aR ⊆ B và vì
vậy

M = aR + B = B,
trái với giả thiết B ≠ M . Bởi vậy a ∉ Bo .
Mặt khác, hiển nhiên Bo + aR = M , nghĩa là Bo ∈Γ. Khi đó theo Bổ
đề Zorn trong Γ có phần tử tối đại K .
Ta chứng tỏ K là môđun con tối đại trong M. Thật vậy, giả sử có môđun

con E của M sao cho K ⊆ E và K ≠ E . Khi đó E ∉Γ . Đồng thời

M = aR + K ⊆ aR + E ⊆ M ⇒ aR + E = M .


22
Bởi vậy E = M , chứng tỏ K là tối đại trong M .

W

CHƯƠNG 2
MÔĐUN SUY BIẾN VÀ MÔĐUN ĐỐI SUY BIẾN
2.1. Môđun suy biến
2.1.1. Bổ đề. Cho môđun M. Ký hiệu
Z ( M ) = {x ∈ M / xI = 0 với I là iđêan phải cốt yếu nào đó của R} .
Khi đó Z ( M ) là môđun con của M.
Chứng minh. Z ( M ) ≠ 0 vì 0∈Z ( M ) .
Cho x, y∈ Z ( M ) , khi đó ∃ I , J ⊆* RR mà xI = 0, yI = 0.
Đặt A = I ∩ J khi đó A ⊆* RR (giao hữu hạn các môđun con cốt yếu là cốt
yếu). Ta có

( x + y ) A = ( x + y ) ( I ∩ J ) = x ( I ∩ J ) + y ( I ∩ J ) ⊆ xI + yJ = 0 .
Vậy x + y ∈ Z ( M ) .
Cho x∈

Z ( M ) ⇒ xI = 0 với I ⊆* RR và r ∈ R ( r bất kỳ). Ta chứng

minh xr ∈ Z ( M ) . Đặt K = { a ∈ R / ra ∈ I } .

23
Dễ kiểm tra K ∆RR ( K là iđêan phải của R). Xét đồng cấu:

f :R→R
α a rα
Khi đó f −1 ( I ) = K , do vậy K ⊆* RR
(Tạo ảnh toàn phần của môđun con cốt yếu là môđun con cốt yếu).
Mặt khác xrK = 0 . Bởi vì lấy bất kỳ a ∈ K ta có xra = x ( ra ) ∈ xI = 0 .
Vậy xr ∈ Z ( M ) . Hay Z ( M ) là môđun của M.

W

2.1.2. Định nghĩa : Đối với một môđun M
i) Ta gọi Z ( M ) là môđun con suy biến của M .
ii) Nếu Z ( M ) = 0 ta gọi M là môđun không suy biến.
iii) Nếu Z ( M ) = M ta gọi M là môđun đối suy biến.
iv) 0 ≠ Z ( M ) ≠ M ta nói rằng M không phải là môđun không suy biến
và không phải là môđun suy biến.
vi) Vành R gọi là vành không suy biến phải (trái) nếu R - môđun phải
(trái) không suy biến.
vii) Vành R gọi là suy biến phải (trái) nếu R - môđun phải (trái) suy
biến.
viii) Vành R gọi là suy biến (không suy biến) là vành suy biến (không
suy biến) phải và suy biến (không suy biến) trái.
2.1.3. Ví dụ. 1) Xét ¢ - môđun ¢ có

Z ( ¢ ) = {x ∈ ¢ / xI = 0

với I ⊆* ¢}. Do

đó I = n¢, n ≠ 0 suy ra xI = xn¢ ≠ 0 . Vậy Z ( ¢ ) = 0 hay ¢ là môđun không
suy biến.
2) Xét ¢ - môđun ¢ 6 .
Lấy x ∈¢ 6 , khi đó 6¢ ⊆* ¢ mà x ( 6¢ ) = 0 (bằng 0 trong ¢ 6 ). Do đó

Z ( ¢ 6 ) = ¢ 6 . Hay ¢ 6 là môđun suy biến.


24
Tổng quát ¢ - môđun ¢ n thì Z ( ¢ n ) = ¢ n nghĩa là ¢ n là môđun suy
biến (trên vành ¢ ).
3) Xét ¢ 6 - môđun ¢ 6 (môđun ¢ 6 trên vành ¢ 6 ).
Do ¢ 6 là vành chỉ có ¢ 6 cốt yếu trong ¢ 6 nên Z ( ¢ 6 ) = 0 (trong vành

¢ ). Hay ¢ 6 không suy biến trên vành ¢ 6 .
6
4) Xét ¢ 4 - môđun ¢ 4 .
Ta thấy ¢ 4 chỉ có hai môđun cốt yếu là

Z ( ¢ 4 ) = { 0;2} . Vì 0 ≠ { 0;2} ≠ ¢ 4 , do đó

{ 0;2}

và ¢ 4 , nên

¢ 4 - môđun ¢ 4 không phải là

môđun suy biến cũng không phải là môđun đối suy biến.
2.1.4. Mệnh đề. a) M là môđun suy biến khi và chỉ khi M ≅ A B với A là
môđun nào đó và B là môđun cốt yếu trong A.

b) Nếu A là môđun suy biến, A / B là môđun suy biến thì B cốt yếu
trong A.
Chứng minh. a) Giả sử M là môđun suy biến. Ta có M ≅ F A , trong đó F là

{ }

môđun tự do và K là một môđun con của F. Gọi xi i∈Τ là cơ sở của F hay
F = ⊕ xi R . Do M suy biến nên F là suy biến. Vì thế với mỗi x + K ∈ F ,
K
K
i∈Τ
i

(

)

tồn tại iđêan Ii ⊆* RR để xi + K Ii = 0, hay xi Ii + K ⊆ K , với mọi i ∈Τ . Do

Ii ⊆* R nên xi Ii ⊆* xi RR vì vậy ⊕ xt It ⊆* ⊕ xt RR = F . Do xt It ⊆ K ,
R
t∈Τ
t∈Τ
*
với mọi t ∈Τ , nên ⊕ xt It ⊆ K . Do đó K ⊆* F . Lấy A = F , B = K , ta có
t∈Τ

B ⊆ *A . Ngược lại, giả sử M ≅ A B với A là môđun nào đó và B là môđun con
cốt yếu trong A . Lấy bất kỳ a ∈ A và gọi I = { λ ∈ R / aλ ∈ B} .

25
Xét đồng cấu:
f :R →A
R
λ a aλ
Vì f −1 ( B ) = I và B ⊆* A nên I ⊆ RR . Ta có ( a + b ) I = B = 0 (lớp

(

)

không trong môđun thương A B ) hay a + B ∈ Z A B hay A B = Z ( A B ) . Vậy
A

W

B suy biến, nghĩa là M suy biến.

b) Giả sử X là một môđun con khác không của A. Khi đó tồn tại

(

)

x ∈ X , x ≠ 0 . Suy ra x + B ∈ A B = Z A B . Do đó tồn tại I ⊆* R sao cho
R

( x + B ) I = 0 hay xI ⊆ B. Do A không suy biến nên xI ≠ 0 mà xI ⊆ X cho
W

nên B ∩ X ≠ 0 . Vậy B cốt yếu trong A.
2.2. Môđun M-suy biến
Cho R là vành và M, N là các R-môđun phải. N được gọi là suy biến
trong σ M  hay môđun M- suy biến nếu N ; L K với L ∈σ M  và K ⊆* L.
Khi M = R thì khái niệm M- suy biến trùng với khái niệm suy biến
thông thường, có nghĩa là N suy biến khi và chỉ khi N là R - suy biến.
Thật vậy, N là môđun R - suy biến khi và chỉ khi N ; L K với
L ∈σ  R , K ⊆ *L . Mặt khác, ta đã biết σ  R  = Mod − R hay L là R − môđun,
do đó N là môđun R- suy biến khi và chỉ khi N ; L K với L là R - môđun,
K ⊆ *L khi và chỉ khi N suy biến.

Mọi môđun M-suy biến đều nằm trong σ [ M ] .