Các định lý điểm bất động kiểu caristi trong không gian mêtric

❇é ●✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➜➭♦ t➵♦

❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤

◆❣✉②Ô♥ ❚❤Þ ❚❤❛♥❤

❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❦✐Ó✉ ❈❛r✐st✐
tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝
▲✉❐♥ ✈➝♥ ❚❤➵❝ sü ❚♦➳♥ ❤ä❝

◆❣❤Ö ❆♥ ✲ ✷✵✶✺


❇é ●✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➜➭♦ t➵♦

❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤

◆❣✉②Ô♥ ❚❤Þ ❚❤❛♥❤

❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❦✐Ó✉ ❈❛r✐st✐
tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝
▲✉❐♥ ✈➝♥ ❚❤➵❝ sü ❚♦➳♥ ❤ä❝
❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿

❚♦➳♥ ●✐➯✐ tÝ❝❤

▼➲ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✶✳✵✷

❈➳♥ ❜é ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝
P●❙✳ ❚❙✳ ❚r➬♥ ❱➝♥ ➣♥

◆❣❤Ö ❆♥ ✲ ✷✵✶✺


▼ô❝ ▲ô❝

❚r❛♥❣
▼ô❝ ❧ô❝

✶

▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉

✷

❈❤➢➡♥❣ ✶✳

❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❈❛r✐st✐ s✉② ré♥❣

✺

✶✳✶

❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶✳✷

❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❈❛r✐st✐ s✉② ré♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻

❈❤➢➡♥❣ ✷✳

❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❦✐Ó✉ ❈❛r✐st✐

✷✳✶

❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❦✐Ó✉ ❈❛r✐st✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✷

❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❦✐Ó✉ ❈❛r✐st✐ ✈í✐ ❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ s✉②
ré♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✼

✷✼
✸✸

❑Õt ❧✉❐♥

✹✸

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✹✹

✶


ờ ó

ý tết ể t ộ ột tr ữ ủ ề ứ q
trọ ủ tí ó ó ề ứ ụ tr t ọ ỹ
tt ết q q trọ t ể ế tr ý tết ể t ộ
í tr tr ủ ủ ó
ý trở t ột ụ ổ ụ ể qết
t ề sự tồ t tr ề ủ tí t ọ
ó ứ ụ q trọ tr ề ọ ì tế ó
ột số ớ ở rộ ủ ị ý ớ
ề ỉ ề ệ t ổ

rst ứ ột ị ý ể t ộ ó
ở rộ ủ ý ị ý rst ột tr ữ
ị ý ể t ộ q trọ t tr tr ủ ở
ì ó ò ột ủ ý ế rt ễ
ụ ó rt ề t ọ tì ở rộ ị ý ể t
ộ rst r
ột tr ữ ớ ở rộ ị ý rst ợ q t ề ó
tì ở rộ


w

ế

ột số t ọ tết ột số ớ ủ ị ý

ể t ộ ể rst ú ó tể ợ ụ ể ứ
ột số ở rộ ủ ý ố ớ
s rộ tí ợ
ể t ợt ứ ọ ú t tế ớ ứ
tì ể ết q ề ệ ở rộ ị ý rst ị ể
t ộ ể rst q ế s rộ ột số



ø♥❣ ❞ô♥❣ ❝ñ❛ ❝❤ó♥❣✳ ❚r➟♥ ❝➡ së ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦✱ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥
❝ñ❛ P●❙✳❚❙✳❚r➬♥ ❱➝♥ ➣♥✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➲ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ➤Ò t➭✐✿

✧❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❦✐Ó✉ ❈❛r✐st✐ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝✧✳

▼ô❝ ➤Ý❝❤ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❧➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❧➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝✱ ❦❤➠♥❣
❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ➤➬② ➤ñ✱ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣✱ ➳♥❤ ①➵ ❝♦✱ ➳♥❤ ①➵ ❦✐Ó✉ ❈❛r✐st✐✱ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥
❝♦✱

τ ✲❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤✱ w✲❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤✱ ❣✐➯ ❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ s✉② ré♥❣✱ τ ✲❤➭♠✱ τ ✲❤➭♠

②Õ✉✱

P ✲❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤✱ Q✲❤➭♠✱ ❤➭♠ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐✱ tù❛ t❤ø tù

✲➤➬② ➤ñ✱ tù❛ t❤ø tù

✱ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

❝❤Ý♥❤ q✉②✱ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❈❛r✐st✐✱ ❝➳❝ ♠ë ré♥❣

❝ñ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❈❛r✐st✐✱ ✳✳✳
◆❣♦➭✐ ♣❤➬♥ ♠ë ➤➬✉✱ ❑Õt ❧✉❐♥ ✈➭ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦✱ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ✷
❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ✶ ✈í✐ ♥❤❛♥ ➤Ò

❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❈❛r✐st✐ s✉② ré♥❣✳

❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ♠ô❝ ✶ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❧➭♠ ❝➡ së ❝❤♦
✈✐Ö❝ tr×♥❤ ❜➭② ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✱ ❣å♠✿ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝✱ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ➤➬②
➤ñ✱ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝♦✱

τ ✲❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤✱ w✲❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤✱ ❣✐➯ ❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ s✉② ré♥❣✱

τ ✲❤➭♠✱ τ ✲❤➭♠ ②Õ✉✱ P ✲❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤✱ Q✲❤➭♠✱ ❤➭♠ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐✱ tù❛ t❤ø
tù

✱ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

✲➤➬② ➤ñ✱ tù❛ t❤ø tù

❝❤Ý♥❤ q✉②✱ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣✱ ➳♥❤ ①➵

❝♦✱ ➳♥❤ ①➵ ❦✐Ó✉ ❈❛r✐st✐✱ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❈❛r✐st✐✱ ❝➳❝ ♠ë ré♥❣ ❝ñ❛ ➤Þ♥❤
❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❈❛r✐st✐✱ ✳✳✳ ❈❤♦ ✈Ý ❞ô ♠✐♥❤ ❤♦➵ ✈Ò ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ➤ã✳ ❚r×♥❤ ❜➭②
✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ♠Ö♥❤ ➤Ò✱ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✈➭ ♠ét sè ♠ë ré♥❣ ❝ñ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠
❜✃t ➤é♥❣ ❈❛r✐st✐✱ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❦✐Ó✉ ❈❛r✐st✐✱✳✳✳ ▼ô❝ ✷ tr×♥❤ ❜➭②
♠ét sè ❜æ ➤Ò ❧➭♠ ❝➡ së ❝❤♦ ✈✐Ö❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ♠ë ré♥❣ ✈Ò s❛✉✱ ♠ét
sè ❦Õt q✉➯ ♠ë ré♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ❈❛r✐st✐ ✈í✐ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝♦ s✉② ré♥❣✱ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤
❝❤✐ t✐Õt ✈Ò ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤ã✳ ◆❣♦➭✐ r❛ ❝ß♥ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❤Ö q✉➯ ✈➭ ❝➳❝ ✈Ý ❞ô ♠✐♥❤
❤♦➵ ❝❤♦ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈õ❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤➢➡♥❣ ✷ ✈í✐ t➟♥ ❧➭
❜✃t ➤é♥❣ ❦✐Ó✉ ❈❛r✐st✐✳

❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠

❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ë ♠ô❝ ✶ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét

sè ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❦✐Ó✉ ❈❛r✐st✐ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ➤➬② ➤ñ ✈➭ ❝➳❝
❤Ö q✉➯ ❝ñ❛ ❝❤ó♥❣✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐Õt ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ➤➢î❝ tr×♥❤ ❜➭②✳ ▼ô❝ ✷
tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❦✐Ó✉ ❈❛r✐st✐✱ ♠ét sè ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠

✸


❜✃t ➤é♥❣ ❦✐Ó✉ ❈❛r✐st✐ ✈í✐ ❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ s✉② ré♥❣ ✈➭ ❝➳❝ ❤Ö q✉➯ ❝ñ❛ ❝❤ó♥❣✱ ♠è✐
❧✐➟♥ q✉❛♥ ❣✐÷❛ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤➢î❝ ➤➢❛ r❛ ✈➭ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ➳♣ ❞ô♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý
♥ã✐ tr➟♥✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐Õt ✈Ò ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ➤ã ✈➭ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ✈Ý ❞ô
♠✐♥❤ ❤ä❛✳
▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ t➵✐ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤✱ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣
❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ❝❤✉ ➤➳♦ ❝ñ❛ t❤➬② P●❙✳❚❙✳ ❚r➬♥ ❱➝♥ ➣♥✱ t➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❜➭② tá sù
❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❚❤➬②✳ ◆❤➞♥ ❞Þ♣ ♥➭② t➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➳♠ ➡♥ ❇❛♥
❝❤ñ ♥❤✐Ö♠ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥✱ P❤ß♥❣ ➤➭♦ t➵♦ ❙❛✉ ➤➵✐ ❤ä❝✱ q✉ý t❤➬②✱ ❝➠ tr♦♥❣ tæ ●✐➯✐
❚Ý❝❤ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤✱ P❤ß♥❣ ❚æ ❝❤ø❝✱ P❤ß♥❣ ❑❤♦❛ ❤ä❝✲❙❛✉
➤➵✐ ❤ä❝ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➭✐ ●ß♥ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❤♦➭♥
t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ◆❤➞♥ ➤➞② t➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❝➳♠ ➡♥ ❝➳❝ ❜➵♥ ❤ä❝ ✈✐➟♥ ❝❛♦ ❤ä❝ ❦❤♦➳
✷✶ ●✐➯✐ ❚Ý❝❤ t➵✐ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➭✐ ●ß♥✳ ❈✉è✐ ❝ï♥❣ ❝➳♠ ➡♥ ❣✐❛ ➤×♥❤✱ ❝➳♠ ➡♥
❇❛✱ ▼Ñ✱ ❈❤å♥❣✱ ❝➳❝ ❝♦♥ ➤➲ t➵♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐ ❣✐ó♣ t➳❝ ❣✐➯ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤
♥❤✐Ö♠ ✈ô tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣✳
▼➷❝ ❞ï ➤➲ tÝ❝❤ ❝ù❝ ➤➬✉ t➢ ✈➭ ❝ã ♥❤✐Ò✉ ❝è ❣➽♥❣ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✱ t❤ù❝
❤✐Ö♥ ➤Ò t➭✐✱ s♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❦❤➠♥❣ tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤÷♥❣ s❛✐ sãt✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ♠♦♥❣ ♥❤❐♥
➤➢î❝ ♥❤÷♥❣ ý ❦✐Õ♥ ➤ã♥❣ ❣ã♣ ❝ñ❛ q✉ý ❚❤➬②✱ ❈➠ ✈➭ ❜➵♥ ➤ä❝ ➤Ó ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝
❤♦➭♥ t❤✐Ö♥✳

❱✐♥❤✱ ♥❣➭② ✸✵ t❤➳♥❣ ✽ ♥➝♠ ✷✵✶✺

◆❣✉②Ô♥ ❚❤Þ ❚❤❛♥❤

✹




ị ý ể t ộ rst s rộ
ệ



P ú t ớ tệ ột số ế tứ sở ệ trì
ủ ồ ột số ị í tr tr
ủ ề ệ

w s rộ

ế P Q ử tụ ớ tự tứ
tự



ủ tự tứ tự

í q ể t ộ

ể rst ị ý ể t ộ rst ở rộ ủ ị
ý ể t ộ rst í ụ ề ó rì
ứ ệ ề tí t ột số ở rộ ủ ị ý ể
t ộ rst ị ý ể t ộ ể rst

ị ĩ



ột

tr

tr

X

t ợ

X



d : X ì X R ợ ọ

ế tỏ ề ệ



d(x, y) 0 ớ ọ x, y X

d(x, y) = d(y, x) ớ ọ x, y X



d(x, y) d(x, z) + d(z, y) ớ ọ x, y, z X



X

ù ớ ột tr



d(x, y) = 0 ế ỉ ế x = y

d tr ó ợ ọ ột tr

í ệ

(X, d) X ố d (x, y) ọ từ ể x

ế ể

y

ọ

í ụ

ét

X = R d : R ì R R ở d (x, y) = |x y| ớ

x, y R ó d ột tr tr R




✷✮ ❳Ðt

X = Rn ✳ ❱í✐ ❜✃t ❦ú x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn t❛
1

n
➤➷t

|xi − yi |

d1 (x, y) =

n

2

2

✈➭

X

t❛ ❝ã

i=1

(X, d)✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ ♠ä✐ x, y, u, v ∈

✭❬✶❪✮ ❈❤♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

(X, d)✱ A ⊂ X ✱ x ∈ X ✱

❦Ý

d(x, A) = inf d (x, y) ✈➭ ❣ä✐ d(x, A) ❧➭ ❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ tõ ➤✐Ó♠ x ➤Õ♥ t❐♣
y∈A

A✳

❤î♣

▼Ö♥❤ ➤Ò✳

✶✳✶✳✺

♠ä✐

✭❬✶❪✮

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

❣ä✐ ❧➭

❤é✐ tô

♠ä✐

❈❤♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

(X, d)✱ A ⊂ X ✳

❑❤✐ ➤ã ✈í✐

x, y ∈ t❛ ❝ã |d (x, A) − d (y, A)| ≤ d (x, y)✳

✶✳✶✳✻

❦❤✐

❈❤♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

|d (x, y) − d (u, v)| ≤ d (x, u) + d (y, v)✳

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

✶✳✶✳✹

❤✐Ö✉

✭❬✶❪✮

▼Ö♥❤ ➤Ò✳

✶✳✶✳✸

|xi − yi |✳ ❑❤✐ ➤ã d1 , d2

d2 (x, y) =

i=1
n
❧➭ ❝➳❝ ♠➟tr✐❝ tr➟♥ R ✳

✭❬✶❪✮ ❈❤♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

✈Ò ➤✐Ó♠

x∈X

♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐

(X, d)✳ ❉➲② {xn } ⊂ X

➤➢î❝

ε > 0 tå♥ t➵✐ n0 ∈ N∗ s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐

n ≥ n0 t❛ ❝ã d (xn , x) < ε✳ ▲ó❝ ➤ã t❛ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ lim xn = x ❤❛② xn → x
n→∞

n → ∞✳
▼Ö♥❤ ➤Ò✳

✶✳✶✳✼

✭✶✮ ❚❐♣

E

✭❬✶❪✮

❈❤♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

(X, d)✱ E ⊂ X ✱ x ∈ X ✳ ❑❤✐ ➤ã

➤ã♥❣ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐

{xn } ⊂ E

♠➭

xn → x

t❛ ❝ã

x ∈ E✳

✭✷✮

✶✳✶✳✽

x∈E

♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ tå♥ t➵✐

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

❣ä✐ ❧➭

❞➲② ❈❛✉❝❤②

n, m ≥ n0
lim

n,m→+∞

t❛ ❝ã

{xn } ⊂ E

✭❬✶❪✮ ❈❤♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝
♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐

ε > 0✱

d(xn , xm ) < ε✱

❤❛②

d(xn , xm ) = 0✳

✻

xn → x✳

(X, d)✳ ❉➲② {xn } ⊂ X

tå♥ t➵✐

{xn }

s❛♦ ❝❤♦

n0 ∈ N∗

➤➢î❝

s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐

❧➭ ❞➲② ❈❛✉❝❤② ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉


➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

✶✳✶✳✾

(X, d)

✭❬✶❪✮ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

➤➬② ➤ñ

♥Õ✉

♠ä✐ ❞➲② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ ♥ã ➤Ò✉ ❤é✐ tô✳
❚❐♣ ❝♦♥
❣✐❛♥ ❝♦♥

M

M

✈í✐ ♠ä✐

(X, d) ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➬② ➤ñ ♥Õ✉ ❦❤➠♥❣

✈í✐ ♠➟tr✐❝ ❝➯♠ s✐♥❤ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤➬② ➤ñ✳

❱Ý ❞ô✳

✶✳✶✳✶✵

❝ñ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

✶✮ ❚❐♣ ❤î♣ ❝➳❝ sè t❤ù❝

x, y ∈ X

✷✮ ❚❐♣ ❤î♣

R ✈í✐ ♠➟tr✐❝ ❝❤♦ ❜ë✐ d (x, y) = |x − y|

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ➤➬② ➤ñ✳

Rn ❣å♠ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❜é n sè t❤ù❝✱ ✈í✐ ♠➟tr✐❝ d1 (x, y)✱ d2 (x, y)

❝❤♦ tr♦♥❣ ❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✷ ❧➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ➤➬② ➤ñ✳

▼Ö♥❤ ➤Ò✳

✶✳✶✳✶✶

✭❬✶❪✮

❈❤♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

✭✶✮ ◆Õ✉

M

➤➬② ➤ñ t❤×

✭✷✮ ◆Õ✉

M

❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣ ✈➭

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

✶✳✶✳✶✷

M

(X, d)✱ M ⊂ X ✳ ❑❤✐ ➤ã

❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣✳

X

➤➬② ➤ñ t❤×

M

➤➬② ➤ñ✳

✭❬✶❪✮ ❈❤♦ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

(X, d) ✈➭ (Y, ρ)✳ ➳♥❤ ①➵

f : (X, d) → (Y, ρ) ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ α ∈ [0, 1) s❛♦ ❝❤♦
ρ[f (x) , f (y)] ≤ αd (x, y) ,
➜Þ♥❤ ❧ý✳

✶✳✶✳✶✸

✭❬✶❪✮ ✭◆❣✉②➟♥ ❧ý ➳♥❤ ①➵ ❝♦✮

♠➟tr✐❝ ➤➬② ➤ñ✱

f :X→X

❞✉② ♥❤✃t ➤✐Ó♠

x∗ ∈ X

➜✐Ó♠

x∗ ∈ X

➳♥❤ ①➵

f✳

✶✳✶✳✶✹

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

tõ

X

✈í✐ ♠ä✐

✈➭♦ ❝❤Ý♥❤ ♥ã✳

❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ tõ

s❛♦ ❝❤♦

❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t

x, y ∈ X.

●✐➯ sö

X

(X, d)

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

✈➭♦ ❝❤Ý♥❤ ♥ã✳ ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐

f (x∗ ) = x∗ ✳
f (x∗ ) = x∗

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣

✭❬✾❪✮ ❈❤♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ (X, d) ✈➭ ➳♥❤ ①➵ T

➳♥❤ ①➵ T

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

❝♦ ❦✐Ó✉ ❇❛♥❛❝❤

❝ñ❛

:X→X

♥Õ✉ tå♥ t➵✐ sè t❤ù❝

λ ∈ [0, 1) s❛♦ ❝❤♦
d(T x, T y) ≤ λd(x, y),
✼

✈í✐ ♠ä✐

x, y ∈ X.

✭✶✳✶✮


◆❤❐♥ ①Ðt r➺♥❣ ♥Õ✉
tr➟♥

T

❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ❝♦ ❦✐Ó✉ ❇❛♥❛❝❤ tr➟♥

X ✱ t❤× T

❧✐➟♥ tô❝

X✳
✭❬✶✶❪✮ ●✐➯ sö

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

✶✳✶✳✶✺

p : X × X → [0, ∞)

X

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ✈í✐ ♠➟tr✐❝

τ ✲❦❤♦➯♥❣

❝➳❝❤

tr➟♥

X

d✳

❍➭♠

♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ❤➭♠

η : X × [0, ∞) → [0, ∞) ✈➭ t❤á❛ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ s❛✉ ➤➞②
✭τa ✮

p(x, z) ≤ p(x, y) + p(y, z) ✈í✐ ♠ä✐ x, y, z ∈ X ✳

✭τb ✮

η(x, 0) = 0 ✈➭ η(x, t) ≥ t✱ ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ X ✱ ✈í✐ ♠ä✐ t ∈ [0, ∞) ✈➭ η

❧➭ ❤➭♠ ❧â♠ ✈➭ ❧✐➟♥ tô❝ t❤❡♦ ❜✐Õ♥ t❤ø ✷ ❝ñ❛ ♥ã✳
✭τc ✮

lim xn = x ✈➭ lim sup{η(zn , p(zn , xm )) : m ≥ n} = 0 ❦Ð♦ t❤❡♦

n→∞

n→∞

p(w, x) ≤ lim inf p(w, xn ),
n→∞

✭τd ✮

lim

n→∞

lim

n→∞

n→∞

0✳

lim η(zn , p(zn , xn )) = 0

n→∞
d(xn , yn )

✶✳✶✳✶✻

lim η(zn , p(zn , yn )) = 0

n→∞

❦Ð♦ t❤❡♦

d

tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

(X, d)

❧➭ ♠ét

τ ✲❦❤♦➯♥❣

X✳

▼Ö♥❤ ➤Ò✳

✭❬✶✶❪✮

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

✶✳✶✳✶✼

✈➭

= 0✳

❉Ô t❤✃② r➺♥❣ ♠➟tr✐❝
❝➳❝❤ tr➟♥

w ∈ X;

lim sup{p(xn , ym ) : m ≥ n} = 0 ✈➭ lim η(xn , tn ) = 0 ❦Ð♦ t❤❡♦

n→∞
η(yn , tn ) =

✭τe ✮

✈í✐ ♠ä✐

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

❈❤♦

p : X × X → [0, ∞) ❧➭ ♠ét τ ✲❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ tr➟♥

X ✳ ◆Õ✉ p(x, y) = 0 ✈➭ p(x, z) = 0 t❤× y = z ✳
✭❬✾❪✮ ❈❤♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

(X, d)✳ ❍➭♠ p : X × X →

[0, +∞) ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét w✲❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ ♥Õ✉ t❤á❛ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ s❛✉
✭w1✮

p(x, z) ≤ p(x, y) + p(y, z) ✈í✐ ♠ä✐ x, y, z ∈ X ✳

✭w2✮ ✈í✐ ♠ä✐

x ∈ X ✱ p(x, .) : X → [0, +∞) ❧➭ ❤➭♠ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐✳

✭w3✮ ✈í✐ ♠ä✐

ε > 0✱ tå♥ t➵✐ δ > 0 s❛♦ ❝❤♦ p(z, x) ≤ δ ✈➭ p(z, y) ≤ δ ❦Ð♦

t❤❡♦

d(x, y) ≤ ε✳
✽




tr

ị ĩ

(X, d) p : X ì X

[0, +) ợ ọ ột ế tỏ ề ệ s
1

p(x, z) p(x, y) + p(y, z) ớ ọ x, y, z X

2 ế
ớ số

xX

{yn } X



ớ

lim yn = y s p(x, yn ) M

n

M = M (x) > 0 ó tì p(x, y) M
{xn } X

3 ớ t ỳ

lim sup{p(xn , xm ) : m > n} = 0
n

ế tồ t ột {yn }

X s lim p(xn , yn ) = 0 tì lim d(xn , yn ) =
n

n

0
4 ớ ọ



í ụ

x, y X



x, y, z X ế p(x, y) = 0 p(x, z) = 0 tì y = z

ét

X = R ớ tr d ở d (x, y) = |x y| ớ ọ

0 < a < b

ị

p : X ì X [0, +) ở

p(x, y) = max{a(y x), b(x y)} ó p


ị ĩ

tr

(X, d) p : X ì X

[0, +) ợ ọ



ế tr X

ế tỏ ề ệ

s rộ

tr

X

( 1) ( 3) ( 4)

ế ề ệ

( 1)



( 3)

ợ tỏ
ể r ỗ

ột ế ỗ ế ột

s rộ ề ợ ú rớ ết t
ỉ r r tồ t ột



í ụ

X

ế ó ột

= [0, +) số > 0 ét p : XìX [0, +)

ở tứ

p(x, y) =

|x y| +

ế

x = y,

3
2

ế

x = y.




p ột ế ó ột ũ

ó

w
í ụ ỉ r r tồ t ột s rộ ó
ột

ế
ét

í ụ

X = [0, 2] ị p : [0, 2] ì [0, 2] [0, +)

ở tứ

p(x, y) =



0



x y = 2,

|x y|

ế

2 < x y 0,

xy+2

ế

0 < x y 2.

p s rộ ế

ó

ế

ị ĩ



: [0, +) (0, 1) ợ ọ Q

ế

lim sup (s) < 1 ớ ọ t [0, +)
st+

: [0, +) [0, 1) t

ét r ế
tì

ột Q

ì tế t ợ

rộ tồ t ữ ó

í ụ sử

Q

: [0, +) [0, 1) ợ ị ở

(t) =
ì

Q ột t

sin t
t

ế

0

ế

t 0, 2
tr trờ ợ ò .

lim sup (s) = 1 Q
s0+



ị ý



số

: [0, +) [0, 1) ó ệ ề

s t



ột Q

ớ ỗ

(1)

rt

(1)

t [0, +) tồ t rt

ớ ọ

(1)

s (t, t + t )


(1)

[0, 1) t

> 0 s (s)


ớ ỗ

(2)

rt

(2)

t [0, +) tồ t rt

ớ ọ

(2)

[0, 1) t

> 0 s (s)

{xn }nN

[0, +)

(2)

s [t, t + t ]

ớ ột t t ỳ

tr

t ó

0

t ó

0

sup (xn ) < 1
nN
ớ ột t t ỳ

{xn }nN

tr

[0, +)

sup (xn ) < 1
nN
ị ĩ



sử

(X, d) ột tr

:

X (, +] ợ ọ ử tụ tr t x0 X ế lim sup (x)
xx0

(x0 )

t ọ

ợ ọ ử tụ tr tr X

ế ó ử tụ tr

x X





ợ ọ

tụ tr tr ó

ử tụ ớ

tr

X

ế



ử

()(x) = (x) ớ ọ x X

ó



ợ ọ

ử tụ ớ

t

x0 X

ế

lim inf (x) (x0 )

xx0

t ết

lim (x) lim (x) ợt t lim sup (x)

xx0

xx0

xx0

lim inf (x)

xx0



: X ( , +] ợ ọ r rr ế

+


ị ĩ

ợ ọ ột

ọ

tr

tự tứ tự

xn M

ế

ợ ọ

(M, d)

ệ

tr

X

ó tí t



t tự tứ tự

ế

xn + 1

xn ớ

n = 1, 2, . . .


tr

M

(M, d,

) ợ ọ



ủ

ề ộ tụ tớ ột tử ó ủ


ế ọ

M


ể ế

(M, d) ủ tì (M, d,

)



ủ
ự tứ tự
ỳ

{xn } M

ợ ọ

ó ớ

ế ỉ ế ớ t

ó ộ tụ tớ tử ó

x M tì x

xn ớ ọ

n = 1, 2, . . .
tr ột tr M ợ ọ í q ế

ự tứ tự

ỉ ế ọ

{xn } M

tệ ĩ

lim d(xn+1 , xn ) = 0

n

r ỉ r r ột tự tứ tự í q tr

tr ố ứ ó t tí tổ qt t ó tể sử
r ột tự tứ tự tr tr tứ tự ộ ế ó í
q



ổ ề





ủ ế

tể

x tr (M, d,



sử

ột tự tứ tự tr

) ĩ ế x M


(X, d)

f : X R : R (0, +)

từ

X

)

í q ó ớ tì tồ t ột tử ự

ị ĩ

T :XX

(M, d) s (M, d,



x

x tì x = x

ột tr


p : X ì X [0, +)



í ó ợ ọ

ể rst tr

X

ợ trộ ở

p,



f

ết ọ

(p, , f )ể rst tr X ế
p(x, T x)


(f (x))(f (x) f (T x)) ớ ọ x X;

ể rst tr

ể rst

tr

X

ợ trộ ở

(f (x) f (T x)) ớ ọ x X;

ể rst tr X
tr

ết ọ

(p, f )

X ế

p(x, T x)

ể rst

p f



ợ trộ ở



f ết ọ (, f )

X ế

d(x, T x)

(f (x))(f (x) f (T x)) ớ ọ x X;





✭✐✈✮
❈❛r✐st✐

X

❦✐Ó✉ ❈❛r✐st✐ tr➟♥

tr➟♥

f

✭❤❛② ✈✐Õt ❣ä♥ ❧➭ ✭f ✮✲❦✐Ó✉

X ✮ ♥Õ✉
(f (x) − f (T x)) ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ X;

d(x, T x)

❘â r➭♥❣ r➺♥❣ ♥Õ✉

X ✮✱ t❤× T

➤➢î❝ ❧➭♠ tré✐ ❜ë✐

T

❧➭ ✭p, ϕ, f ✮✲❦✐Ó✉

❧➭ ✭p, f ✮✲❦✐Ó✉
❈❛r✐st✐

❈❛r✐st✐

✭❤♦➷❝ ✭f ✮✲❦✐Ó✉

✭t➢➡♥❣ ø♥❣✱ ✭ϕ, f ✮✲❦✐Ó✉

✭✶✳✺✮

❈❛r✐st✐

❈❛r✐st✐✮

tr➟♥

tr➟♥

X

✈í✐

ϕ(t) = 1 ✈í✐ ♠ä✐ t ∈ R✳
❚✉② ♥❤✐➟♥ ❝❤✐Ò✉ ♥❣➢î❝ ❧➵✐ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❦Õt ❧✉❐♥ tr➟♥ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ➤ó♥❣✳

✶✳✶✳✷✾

❱Ý ❞ô✳

✈í✐ ♠ä✐

❈❤♦

X : [0, +∞) ✈í✐ ♠➟tr✐❝ t❤➢ê♥❣ ❝❤♦ ❜ë✐ d(x, y) = |x − y|

x, y ∈ X ✳

❑❤✐ ➤ã✱

(X, d)

❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝✳ ●✐➯ sö

p :

X × X → [0, +∞) ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐
p(x, y) =

♠❛①{20(x

❚õ ❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✶✾✱ t❛ ❜✐Õt r➺♥❣
❇➞② ❣✐ê✱ t❛ ①Ðt ➳♥❤ ①➵
①➵

− y), 40(y − x)}, ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ X.

p ❧➭ ♠ét τ ✲❤➭♠✳

T :X→X

①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐

Tx = x2 , x ∈ X

✈➭ ➳♥❤

f : X → R ❝❤♦ ❜ë✐
f (x) =

❑❤✐ ➤ã✱❤➭♠

f

4x − 12

♥Õ✉

15 − 8x

♥Õ✉

x ∈ [0, 1)
x ∈ [1, +∞).

❦❤➠♥❣ ❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ t➵✐

x = 1✳ ❱í✐ i = 1, 2✱ t❛ ①➳❝ ➤Þ♥❤

ϕi : R → (0, +∞) ❝❤♦ ❜ë✐
ϕ1 (t) = 2, ϕ2 (t) = 6,
❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐

✈í✐ ♠ä✐

t ∈ R.

x ∈ [0, 1)✱ t❛ ❝ã

d(x, T x) = x − x2 < 4(x − x2 ) = f (x) − f (T x),
p(x, T x) = max{20(x − T x), 40(T x − x)} = 20(x − x2 )
< ϕ2 (f (x))(f (x) − f (T x)),
✶✸


ớ

x [1, +) t ó
d(x, T x) = x2 x < 8(x2 x) = f (x) f (T x)
p(x, T x) = 40(x2 x) = 2 (f (x))(f (x) f (T x)).
x X t ỉ r r

ì tế ớ t ỳ

f (x) f (T x)

d(x, T x)

i (f (x))(f (x) f (T x)),

ớ ọ

i {1, 2},



2 (f (x))(f (x) f (T x)).

p(x, T x)
ó

T



(f )ể

rst tr X ớ ọ i
ể rst tr

X

rst tr

X

ũ

{1, 2} ữ t ết r T

ó

(p, f )ể

(i , f )

ể

(p, 2 , f )

rst ũ

(p, 1 , f )ể rst tr X ì r
p(x, T x) > 1 (f (x))(f (x) f (T x)) > f (x) f (T x), ớ ọ x X.

rst ứ ết q s



ị ý



ột tù ý

sử

tr ủ

g:XX



: X R+ ử tụ ớ ế

d(x, g(x))
tì

X

(x) (g(x)),

ớ ọ

g ó ột ể t ộ ĩ tồ t x0 X

x X,
s

g(x0 ) = x0

r ở rộ ị ý t
ợ ết q s

ị ý





ột tù ý

{xn } X



X

Y

g:XX

ột ó ĩ ế ớ

xn x f (xn ) y tì é t f (x) = y ế ó tồ t
: f (X) R+ ột số C > 0 s

x X,


d(x, g(x))

(f (x)) (f (g(x))),

cd(f (x), f (g(x)))
tì

tr ủ

f : X Y

ột ử tụ ớ
ớ ỗ



(f (x)) (f (g(x))),

g ó ột ể t ộ
ứ ý ế s



ị ý





X

tr ủ

: X R

{+} ột ử tụ ớ ị ớ ồ t
+
t

ế tồ t số

yX

> 0 x X

s

(x) inf (t) + tì tồ

(y) (x); d(x, y) 1; (z) > (y)d(x, y),



tX

s

ị ý

ớ ọ

x, y X, x = y.

(X, d) tr p : X ì X

[0, ) tỏ ề ệ 3 ủ ế {xn } tr X

s

lim sup{p(xn , xm ) : m > n} = 0 tì {xn } ột tr X

n






ị ý ể t ộ rst s rộ

P ú t trì ột số ết q ở rộ ị ý rst ớ
ề ệ s rộ ột số ệ q í ụ ết
q ừ trì



X

ị ý

X



Y

tr ủ

ột tù ý sử tồ t ó

tụ ớ
số



g:X

f : X Y ử

: f (X) R ị ớ tr ọ t ị tồ t

C > 0, a < 0 s a < C

ể

x0 X

tỏ ề ệ

(f (x))
> 1,
d(x,x0 )+ d(x, x0 )



(f (x))
> a,
d(f (x),f (x0 ))+ d(f (x), f (x0 ))



lim inf

lim inf

ớ ỗ

xX

t ó


d(x, g(x))

(f (x)) (f (g(x))),
(f (x)) (f (g(x))).

cd(f (x), f (g(x)))
ó

g ít t ột ể t ộ

ứ

ừ ề ệ t s r tồ t số

M > 0, 1 > 1, 0
d(x, x0 )

2 > a s t ó (f (x)) > 1 (x, x0 )

M t ó (f (x)) > 2 d(f (x), f (x0 )) d(f (x), f (x0 ))

M ữ t ó tể tết r 1

0 ì ế ợ 1 > 0 tì ì

ị ớ t ó : f (X) R+ ó ết g ó ể t
ộ ợ s từ ị ý
ì



ị ớ tr ỗ t ị tồ t

(f (x)) > 1 d(x, x0 )

M



1

0

s

(f (x)) > 1 d(f (x), f (x0 ))

M ó t ó
(f (x)) > 1 d(x, x0 ) 1 ,


ớ ọ

x X,


✈➭

ϕ(f (x)) > α2 d(f (x), f (x0 )) − β1 ,
❑ý ❤✐Ö✉

δ1 = 1 + α1 , δ2 = c + α2 ✳

①➳❝ ➤Þ♥❤ ♠ét q✉❛♥ ❤Ö tr➟♥

✈í✐ ♠ä✐

❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã

x ∈ X.

δ1 > 0, δ2 > 0✳

x ♥❤ê s❛✉✿ ❱í✐ x, y ∈ X

t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛

❇➞② ❣✐ê t❛

x

y ♥Õ✉

t❤á❛ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥



δ1 d(x, y)

ϕ(f (x)) − α1 d(x, x0 ) − [ϕ(f (y)) − α1 d(y, x0 )],


δ1 d(f (x), f (y))
❑❤✐ ➤ã✱ q✉❛♥ ❤Ö

ϕ(f (x)) − α2 d(f (x), f (x0 )) − [ϕ(f (y) − α2 d(f (y), f (x0 ))].

≤ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❤➢ tr➟♥ ❧➭ ♠ét q✉❛♥ ❤Ö t❤ø tù tr➟♥ X ✳

✈❐②✱ t❛ sÏ ❦✐Ó♠ tr❛ q✉❛♥ ❤Ö

▼✉è♥

≤ t❤á❛ ♠➲♥ ✸ t✐➟♥ ➤Ò ❝ñ❛ q✉❛♥ ❤Ö t❤ø tù✳

❚❤❐t

✈❐②✱
✭✐✮

x

x ❧➭ ❤✐Ó♥ ♥❤✐➟♥✳

✭✐✐✮ ♥Õ✉

x

y ✈➭ y

z ✱ t❤× t❛ ❝ã


δ1 d(x, y)

ϕ(f (x)) − α1 d(x, x0 ) − [ϕ(f (y)) − α1 d(y, x0 )],

δ1 d(y, z)

ϕ(f (y)) − α1 d(y, x0 ) − [ϕ(f (z) − α1 d(z, x0 )],

✈➭



δ2 d(f (x), f (y))

ϕ(f (x)) − α2 d(f (x), f (x0 )) − [ϕ(f (y)) − α2 d(f (y), f (x0 ))],


δ2 d(f (y), f (z))

ϕ(f (y)) − α2 d(f (y), f (x0 )) − [ϕ(f (z) − α2 d(f (z), f (x0 ))].

❚õ ✹ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ t❛ ❝ã

δ1 d(y, z)

δ1 d(x, y)+δ1 (y, z)

ϕ(f (x))−α1 d(x, x0 )−[ϕ(f (z))−α1 d(z, x0 )],

✈➭

δ2 d(f (y), f (z))

δ2 d(f (x), f (y)) + δ2 (f (y), f (z))
≤ ϕ(f (x)) − α2 d(f (x), f (x0 )) − [ϕ(f (z)) − α2 d(f (z), f (x0 ))],

x

z✳

✭✐✐✐✮ ♥Õ✉

x

♥❣❤Ü❛ ❧➭✱

y ✈➭ y

δ1 d(x, y) + δ1 d(y, x)

x✱ t❤× ♥❤➢ tr♦♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝ñ❛ ✭✐✐✮✱ t❛ ❝ã
0, δ2 d(f (x), f (y)) + δ2 d(f (y), f (x))
✶✼

0.


❱×

δ1 > 0, δ2 > 0✱ tõ ➤✐Ò✉ ♥➭② t❛ s✉② r❛ r➺♥❣ x = y ✳
❇➞② ❣✐ê ❣✐➯ sö r➺♥❣

tr♦♥❣

X

✈í✐

xα

xβ

M = {xα : α ∈ I} ❧➭ ♠ét t❐♣ t❤ø tù ❤♦➭♥ t♦➭♥

❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐

α

β✳

●✐➯ sö

ϕ1 (f (x)) = ϕ(f (x)) −

α1 d(x, x0 ) ✈➭ ϕ2 (f (x)) = ϕ(f (x)) − α2 d(f (x), f (x0 ))✱ ❦❤✐ ➤ã t❛ ❝ã


δ1 d(x, y)

ϕ1 (f (x)) − ϕ1 d(f (y)),
ϕ2 (f (x)) − ϕ2 d(f (y)).

δ2 d(f (x), f (y))
❉♦ ➤ã✱ t❛ ❝ã

xα

xβ ⇔

❉Ô t❤✃② r➺♥❣


0

δ1 d(xα , xβ )

0

δ2 d(f (xα ), f (xβ ))

{ϕ1 (f (xα ))}α∈I

❚õ ❝➳❝ ❧❐♣ ❧✉❐♥ tr➟♥ t❛ ❝ã

−β1 ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ X ✳

✈➭

ϕ1 (f (xα )) − ϕ1 d(f (xβ )),
ϕ2 (f (xα )) − ϕ2 d(f (xβ )).

{ϕ2 (f (xα ))}α∈I

ϕ1 (f (x)) > −β1

❙✉② r❛

✈í✐ ♠ä✐

{ϕ1 (f (xα ))}α∈I

✈➭

➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❣✐➯♠ ❜Þ ❝❤➷♥ ❞➢í✐✳ ❉♦ ➤ã✱ tå♥ t➵✐ t1 , t2
✈➭

❧➭ ❤❛✐ ❞➲② ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❣✐➯♠✳

x∈X

✈➭

ϕ2 (f (x)) >

{ϕ2 (f (xα ))}α∈I

❧➭ ❤❛✐ ❞➲②

∈ R s❛♦ ❝❤♦ ϕ1 (f (xα )) → t1

ϕ2 (f (xα )) → t2 ✳ ❱× t❤Õ✱ ✈í✐ ♠ä✐ ε > 0✱ tå♥ t➵✐ α0 ∈ I, s❛♦ ❝❤♦ ❦❤✐ α > α0

t❛ ❝ã

t1

ϕ1 (f (xα ))

➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦ ✈í✐ ♠ä✐

❱× t❤Õ

β

α


0

δ1 d(xα , xβ )

0

δ2 d(f (xα ), f (xβ ))

X

x, f (xα ) → y ✳ ❱× f

✈➭

Y✱

ϕ2 (f (xα ))

t2 + ε.

α0 t❛ ❝ã

ϕ1 (f (xα )) − ϕ1 d(f (xβ ))

{xα } ❧➭ ❞➲② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ X

tÝ♥❤ ➤➬② ➤ñ ❝ñ❛

▲➵✐ ✈×

t1 + ε, t2

ε,

ϕ2 (f (xα )) − ϕ2 d(f (xβ ))
✈➭

ε.

{f (xα )} ❧➭ ❞➲② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ Y ✳ ◆❤ê

t❛ s✉② r❛ tå♥ t➵✐

x∈X

✈➭

y ∈Y

s❛♦ ❝❤♦

❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤ã♥❣✱ tõ ❦Õt q✉➯ tr➟♥ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢î❝

ϕ ❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐✱ ♥➟♥ t❛ ❝ã
ϕ1 (f (x)) = ϕ(f (x)) − α1 d(x, x0 )
ϕ2 (f (x)) = ϕ(f (x)) − α2 d(f (x), f (x0 ))
✶✽

t1 ,
t2 .

xα →

f (x) = y ✳


❍➡♥ ♥÷❛✱ ♥Õ✉

α, β ∈ I

✈í✐

β

α✱ t❤× t❛ ❝ã


δ1 d(xα , x ) ϕ1 (f (xα )) − ϕ1 (f (x )) ϕ1 (f (xα )) − t1 ,
β
β
δ2 d(f (xα ), f (x )) ϕ2 (f (xα )) − ϕ2 (f (x )) ϕ2 (f (xα )) − t2 .
β

β

❱× t❤Õ✱ ❦❤✐ ❧✃② ❣✐í✐ ❤➵♥ t❤❡♦


δ1 d(xα , x)

β t❛ ➤➢î❝

ϕ1 (f (xα )) − t1

δ2 d(f (xα ), f (x))

ϕ2 (f (xα )) − t2

❉♦ ➤ã tõ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t❤ø tù t❛ s✉② r❛
❝❐♥ tr➟♥ ❝ñ❛

M✳

ϕ1 (f (xα )) − ϕ1 (f (x)),

xα

ϕ2 (f (xα )) − ϕ2 (f (x)),

x ✈í✐ ♠ä✐ α ∈ I ✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ x ❧➭ ♠ét

➜✐Ò✉ ♥➭② ❝❤ø♥❣ tá ♠ét t❐♣ s➽♣ t❤ø tù ❤♦➭♥ t♦➭♥

M

❜✃t ❦ú

❧✉➠♥ ❝ã ❝❐♥ tr➟♥✳ ❱× t❤Õ✱ ➳♣ ❞ô♥❣ ❇æ ➤Ò ❝ñ❛ ❩♦r♥ t❛ t❤✉ ➤➢î❝ ♣❤➬♥ tö ❝ù❝ ➤➵✐

x∗ ∈ X ✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ X

♠➭

x = x∗ t❛ ❝ã

δ1 d(x∗ , x) > ϕ(f (x∗ )) − α1 d(x∗ , x0 ) − [ϕ(f (x)) − α1 d(x1 , x0 )],

✭✶✳✽✮

❤♦➷❝

δ2 d(f (x∗ ), f (x)) > ϕ(f (x∗ )) − α2 d(f (x∗ ), f (x0 )) − [ϕ(f (x)) − α2 d(f (x), f (x0 ))].

✭✶✳✾✮

❚õ ✭✶✳✽✮ t❛ ❝ã

ϕ(f (x))) > ϕ(f (x∗ )) − α1 d(x∗ , x0 ) + α1 d(x, x0 ) − δ1 d(x∗ , x),
ϕ(f (x∗ )) + α1 d(x∗ , x) − δ1 d(x∗ , x)
= ϕ(f (x∗ )) − d(x∗ , x),
♥❣❤Ü❛ ❧➭

ϕ(f (x)) > ϕ(f (x∗ )) − d(x∗ , x),

✈í✐ ♠ä✐

x = x∗ .

❚õ ✭✶✳✾✮ t❛ ❝ã

ϕ(f (x))) > ϕ(f (x∗ )) − α2 d(f (x∗ ), f (x0 )) + α2 d(f (x), f (x0 )) − δ2 d(f (x∗ ), f (x)),
ϕ(f (x∗ )) + α2 d(f (x∗ ), f (x)) − δ2 d(f (x∗ ), f (x))
= ϕ(f (x∗ )) − cd(f (x∗ ), f (x)),

✶✾


ĩ

(f (x)) > (f (x ), f (x))) cd(f (x ), f (x)),
ờ sử ợ r
ó t ó

ớ ọ

x = x .

g ó ể t ộ

g(x) = x ớ ọ x X ệt t ó g(x ) = x ó t

ó

(f (g(x ))) > (f (x )) d(x , g(x )),


(f (g(x ))) > (f (x )) cd(f (x ), f (g(x ))).
t tứ tr ề t ớ tết ó

g ó ít t ột

ể t ộ



ét

ét r ế tết

(f (x))
d(x,x0 )+ d(x, x0 )
lim inf

ị ớ tì ó t ó
0,

(f (x))
d(f (x),f (x0 ))+ d(f (x), f (x0 ))
lim inf

0.

ể r t tứ tr t tứ
t ứ tr ị ý ì tế ị ý ở rộ ủ
ị ý ị ý



ệ q



X ột tr ủ g : X X

tù ý sử r tồ t ử tụ ớ
ớ tr ỗ t ị

x0 X

: X R ị

s

(f (x))
> 1,
d(x,x0 )+ d(x, x0 )
lim inf



d(x, g(x))

(x) (g(x)),


ớ ọ

x X.


ó tồ t

x X

ứ

ớ ọ


x X

s

Y =X

g(x ) = x


f :X X

ồ t

ó ụ ị ý t s r tồ t

f (x) = x

x X

s

g(x ) = x
r tế t ú t trì ột số ở rộ ủ ị

ý rst

ị ý



T :X X

từ

ử tụ ớ từ
từ

X



(X, d)
X

X

ột tr ủ sử

í ó



f : X [0, ) ột

[0, ) sử : X [0, ) ột

[0, ) s ớ số > 0 ó tỏ ề ệ
sup{(x) : x X, f (x)

inf f () + } < .

X

sử r

d(x, Tx )
ó

T

(x)(f (x) f (Tx )) ớ ọ x X.

ó ột ể t ộ

ứ

rớ ết t ó ét r r trờ ợ (x)

f (Tx )

từ tết t s r
từ tết t s r

Y = {x X : f (x)



Y

ở ì

f

f (x) ò tr trờ ợ (x) = 0 ũ
f (Tx )

f (x) ớ ọ x X t

inf f () + }

X



= sup () < .
Y

ử tụ ớ

Y

ủ ễ t r

f (Tx )

> 0

d(x, Tx ) = 0 ề é t f (Tx ) = f (x) ì

tr trờ ợ t ó

ý r ì

x0 X

Y

ó ì

X

ủ

rỗ

TY Y

f (x), x X t t ũ ó

d(x, T x)
ở x

[f (x) f (T x)] = .f (x) .f (T x) ớ ọ x Y,
f (x) ử tụ ớ tr Y ờ ị ý

t s r tồ t ể

x0 Y X

ể t ộ ủ


T


✶✳✷✳✺

➜Þ♥❤ ❧ý✳

T :X →X

✭❬✶✵❪✮

❈❤♦

(X, d)

❧➭ ➳♥❤ ①➵ tõ

♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ tõ

X

X

✈➭♦

❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ➤➬② ➤ñ✳ ●✐➯ sö

✈➭♦ ❝❤Ý♥❤ ♥ã ✈➭ ❝❤♦

[0, ∞)✳

❈❤♦

f : X → [0, ∞) ❧➭ ❤➭♠

c : [0, ∞) → [0, ∞)

❧➭ ♠ét ❤➭♠

[0, ∞) ✈➭♦ ❝❤Ý♥❤ ♥ã✳ ●✐➯ sö r➺♥❣ c ❧➭ ❤➭♠ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ ❜➟♥ ♣❤➯✐ ✈➭
max{c(f (x)), c(f (Tx ))} f (x) − f (Tx )

d(x, Tx )
❑❤✐ ➤ã

T

❝ã ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ tr♦♥❣

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

➜➷t t0

x ∈ X.

✈í✐ ♠ä✐

X✳

= inf f (ω) ✈➭ ❝è ➤Þ♥❤ sè δ > c(t0 )✳
ω∈X

c ❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ ❜➟♥ ♣❤➯✐✱ ♥➟♥ tå♥ t➵✐ η > 0 s❛♦ ❝❤♦ c(t)

❑❤✐ ➤ã✱ ✈×

δ ✱ ✈í✐ ♠ä✐

t ∈ [t0 , t0 + η]✳ ❇➞② ❣✐ê t❛ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♠ét ❤➭♠ ϕ : X → [0, ∞) ❝❤♦ ❜ë✐
ϕ(x) = max{c(f (x)), c(f (Tx ))} ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ X.
❑❤✐ ➤ã✱ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ tr♦♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✹✱ t❛ ❝ã t❤Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤
➤➢î❝ r➺♥❣

f (x) ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ X ✳ ❱× ✈❐②✱ ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ X

f (Tx )

t0 + η ✱ t❛ ❝ã f (Tx )

t0 + η ✈➭ ✈× t❤Õ t❛ ❝ã ϕ(x)

sup{ϕ(x) : x ∈ X, f (x)

❉♦ ➤ã✱ ➳♣ ❞ô♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✹ t❛ s✉② r❛

✶✳✷✳✻

➜Þ♥❤ ❧ý✳

T :X →X

✭❬✶✷❪✮

❈❤♦

❧➭ ➳♥❤ ①➵ tõ

♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ tõ
❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠

(X, d)

[0, ∞)

X

X

✈➭♦

T

f (x)

δ ✳ ❱× ✈❐②✱ t❛ t❤✉ ➤➢î❝

inf f (ω) + η}

ω∈X

♠➭

δ < ∞.

❝ã ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ tr♦♥❣

X✳

❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ➤➬② ➤ñ✳ ●✐➯ sö

✈➭♦ ❝❤Ý♥❤ ♥ã ✈➭ ❝❤♦

[0, ∞)✳

❈❤♦

f : X → [0, ∞) ❧➭ ❤➭♠

c : [0, ∞) → [0, ∞)

❧➭ ♠ét ❤➭♠

✈➭♦ ❝❤Ý♥❤ ♥ã✳ ●✐➯ sö r➺♥❣ ♠ét tr♦♥❣ ✷ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ s❛✉

➤➢î❝ t❤á❛ ♠➲♥

✭✐✮

d(x, T x)

c(f (x))(f (x) − f (T x)) ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ X ✱

✭✐✐✮

d(x, T x)

c(f (T x))(f (x) − f (T x)) ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ X ✳

❑❤✐ ➤ã

T

❝ã ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ tr♦♥❣

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

➤➢î❝ r➺♥❣

f (T x)

X✳

❚➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✹✱ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤

f (x)✱ ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ X ✳ ❱× t❤Õ✱ t❛ ❝ã c(f (T x))
✷✷

c(f (x))✳


ó ề ệ é t ề ệ ì t ỉ ứ ị ý
trờ ợ ủ ề ệ ợ tỏ t tr trờ
ợ ó t ị ột
ọ

: X [0, ) ở (x) = c(f (x)) ớ

x X ó t ó

sup{(x) : x X, f (x)

c( inf f () + 1) < .

inf f () + 1}

X

X

ờ ề ệ ụ ị ý t s r
t ộ tr

ị ý

T :X X

T

ó ột ể

X




(X, d) ột tr ủ sử

từ

tụ ớ từ

X



X

í ó

f : X [0, ) ử

[0, ) sử r d(x, T x)

tồ t ột ử tụ tr

f (x) ớ ọ x X

c : [0, ) [0, )

từ

[0, )



í ó tỏ

d(x, T x)
ó

T

c(d(x, T x))[f (x) f (T x)] ớ ọ x X.

ó ột ể t ộ tr

ứ

X

ị ột

: X [0, ) ở (x) =

c(d(x, T x)) ớ ọ x X ó ớ ỗ x X f (x)

inf f () + 1

X

t ó

(x)

sup{c(t) : 0
sup c(t) : 0

ó ì

t

d(x, T x)}
t

sup{c(t) : 0

t

f (x)}

inf f () + 1 .

X

c ử tụ tr t ó
sup{(x) : x X, f (x)
max{c(t) : 0

inf f () + 1}

X

inf f () + 1} < .

t

X

ì ờ ị ý t t ợ ết q ứ

r ệ
q s ở rộ ị ý rst


r ết