Bồi dưỡng năng lực tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học hình học không gian ở trường trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ VÂN

BỒI DƢỠNG NĂNG LỰC TƢ DUY THUẬN NGHỊCH CHO
HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Ở
TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

– 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ VÂN

BỒI DƢỠNG NĂNG LỰC TƢ DUY THUẬN NGHỊCH CHO
HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Ở
TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Lý luận và Phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60. 14. 01. 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. THÁI THỊ HỒNG LAM

NGHỆ AN – 2015

1
LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Thái Thị Hồng Lam đã
tận tình hƣớng dẫn, hết lòng giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu
để hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô giáo trong chuyên ngành Lý
luận và Phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán trƣờng Đại học Vinh, đã nhiệt tình
giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình thực hiện luận văn.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban chủ nhiệm cùng quý thầy cô khoa
Toán, phòng Đào tạo Sau đại học, trƣờng Đại học Vinh đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập, thực hiện và hoàn thành luận văn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trƣờng THPT Đô Lƣơng 1, huyện Đô Lƣơng,
tác giả
trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực nghiệm sƣ phạm.
Dù đã rất cố gắng nhƣng luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót,
tác giả mong nhận đƣợc sự góp ý chân thành của quý thầy, cô giáo và các bạn.
Tác giả

Nguyễn Thị Vân

1


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN

MỞ ĐẦU .......................................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài......................................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................................. 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.................................................................................................. 3
4. Đối tƣợng nghiên cứu ................................................................................................. 3
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ........................................................................................... 3
6. Giả thuyết khoa học.................................................................................................... 3
7. Nhữngđóng góp mới của luận văn ............................................................................ 3
8. Cấu trúc của luận văn ................................................................................................ 4
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................................. 5
............................................................................... 5
1.1.1. Khái niệm về tƣ duy ............................................................................................. 5
1.1.2. Đặc điểm của tƣ duy ............................................................................................. 6
1.1.3. Về sự phân loại tƣ duy ......................................................................................... 8
1.1.4. Những điều kiện hình thành các kiểu tƣ duy khác nhau trong dạy học .............. 10
1.2. Tƣ duy Toán học .................................................................................................... 12
1.2.1. Một số quan niệm về tƣ duy Toán học ............................................................ 12
1.2.2. Một số quan điểm về những thành phần của tƣ duy Toán học và năng lực Toán
học................................................................................................................................... 12
1.3. Tƣ duy thuận nghịch ............................................................................................. 15
1.3.1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài ............................ 15
1.3.2. Những căn cứ dẫn đến một cách quan niệm về tƣ duy thuận nghịch ........... 18
1.3.3. Quan niệm về tƣ duy thuận nghịch................................................................... 23
1.4. Năng lực tƣ duy thuận nghịch trong Toán học................................................... 23
1.4.1. Năng lực tƣ duy thuận nghịch ........................................................................... 23
1.4.2. Các thành tố của năng lực tƣ duy thuận nghịch trong Toán học .........................24
1.4.3. Các mức độ biểu hiện của năng lực TDTN trong Toán học ........................... 29
1.5. Vai trò của tƣ duy thuận nghịch ......................................................................... 30
1.5.1. Vai trò của tƣ duy thuận nghịch trong sự phát triển của Toán học và ứng
dụng Toán học vào thực tiễn ....................................................................................... 30

Toán ............................ 32
1.6. Tƣ duy thuận nghịch trong dạy học Hình học không gian................................ 35


1
1.6.1. Về nội dung Hình học không gian trong chƣơng trình môn Toán ở trƣờng THPT35
1.6.2. Vai trò của HHKG trong nhà trƣờng THPT ................................................... 37
1.6.3. Những đặc trƣng cơ bản trong nhận thức luận hình học ............................... 37
1.6.4. Một số biểu hiện của năng lực tƣ duy thuận nghịch của học sinh trong Hình
học không gian .............................................................................................................. 39
1.7. Đặc điểm tâm lý của học sinh Trung học phổ thông ......................................... 49
1.8. Thực trạng về việc bồi dƣỡng tƣ duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy
học phân môn Hình học không gian ở trƣờng Trung học phổ thông ...................... 50
1.8.1. Mục đích khảo sát ............................................................................................... 50
1.8.2. Đối tƣợng khảo sát.............................................................................................. 50
1.8.3. Nội dung khảo sát ............................................................................................... 50
1.8.4. Phƣơng pháp khảo sát........................................................................................ 50
1.8.5. Kết quả khảo sát thực trạng ............................................................................. 50
Kết luận chƣơng 1 .......................................................................................................... 55
Chƣơng 2:
TƢ DUY
THUẬN NGHỊCH CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG DẠY
HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ................................................................................. 57
2.1. Định hƣớng xây dựng và thực hiện biện pháp.................................................... 57
sinh

............. 57
............................................................. 57

có tính thuận nghịch ..................................................................................................... 80

2.2.3. Biện pháp 3: Thiết kế nhiệm vụ học tập có nội dung, hoạt động chứa các
yếu tố có tính thuận nghịch.......................................................................................... 92
Kết luận chƣơng 2 .......................................................................................................... 95
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ....................................................................... 97
3.1. Mục đích thực nghiệm........................................................................................... 97
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm ........................................................................ 97
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm .......................................................................................... 97
3.2.2. Nội dung thực nghiệm ........................................................................................ 97
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm ............................................................................. 99
3.3.1. Đánh giá định tính .............................................................................................. 99
3.3.2. Đánh giá định lƣợng ......................................................................................... 100
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm .......................................................................... 102
............................................................................................ 104


0
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN
Viết tắt

Viết đầy đủ

ĐBH

: Đặc biệt hóa

ĐC

: Đối chứng

GV

: Giáo viên

HTH

: Hệ thống hóa

HĐ

: Hoạt động

HS

: Học sinh

KQH

: Khái quát hóa

NL

: Năng lực

HHKG

: Hình học không gian

NXB

: Nhà xuất bản

PPDH

: Phƣơng pháp dạy học

SGK

: Sách giáo khoa

SGV

: Sách giáo viên

TT

: Thành tố

TN

: Thực nghiệm

Tr

: Trang

THCS

: Trung học cơ sở

THPT

: Trung học phổ thông

TDLG

: Tƣ duy lôgic

TDPP

: Tƣ duy phê phán

TDST

: Tƣ duy sáng tạo

TDTN

: Tƣ duy thuận nghịch


1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
- Đổi mới giáo dục nói chung và đổi mới phƣơng pháp dạy học môn toán nói
riêng đang trở thành một yêu cầu bức thiết của giáo dục phổ thông nƣớc ta, nhằm tạo
ra nguồn lực phục vụ sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa nƣớc nhà. Để đáp ứng
đƣợc những yêu cầu trên, ở nhà trƣờng dạy học các môn học không chỉ đơn thuần là
giúp cho học sinh có đƣợc một số kiến thức cụ thể nào đó mà điều cơ bản hơn, quan
trọng hơn là trong quá trình dạy học các tri thức cụ thể đó, rèn luyện cho học sinh tiềm
lực để khi ra trƣờng họ có thể tiếp tục tự học tập, có khả năng nghiên cứu, tìm tòi sáng

tạo giải quyết vấn đề, đáp ứng đƣợc những đòi hỏi đa dạng của hoạt động thực tiễn
không ngừng phát triển. Nói cách khác, hệ thống giáo dục phải linh hoạt hơn, cần phải
quan tâm hơn nữa đến việc dạy cách học, cách tƣ duy, tạo điều kiện cho học sinh có
phƣơng pháp tƣ duy tốt để các em có thể tiếp tục tự học suốt đời.
-

nghiệp đặc biệt là trong trƣờng học. Tƣ duy thuận nghịch là một trong những biểu hiện
của năng lực giải quyết vấn đề.
Tƣ duy thuận nghịch là một loại hình tƣ duy không xa lạ trong Toán học và giáo
dục Toán học, liên quan đến việc nhận thức, xem xét sự vật và hiện tƣợng theo các
chiều hƣớng ngƣợc nhau, mà trong đó mức độ khó, dễ giữa chúng cũng không giống
nhau, tựa hồ nhƣ những hành động phổ biến diễn ra trong cuộc sống hàng ngày: đi tiến
và đi lùi, đi lên và đi xuống cầu thang ... Tất cả những điều trên đã cho chúng ta gợi ý:
Phải chăng chúng ta có thể nghiên cứu về một loại hình tƣ duy có tên gọi tƣ duy thuận
nghịch?
- Trong thực tiễn dạy học Toán ở trƣờng phổ thông, thƣờng xuyên bắt gặp những
tình huống biểu thị mối liên hệ hai chiều mà ta tạm xem một chiều là thuận và một
chiều là ngƣợc. Chẳng hạn nhƣ các hoạt động tƣ duy phân tích và tổng hợp, khái quát
hóa và đặc biệt hóa, suy ngƣợc và suy xuôi, nhận dạng và thể hiện, lật ngƣợc vấn đề ...
Tuy nhiên, những tình huống này chƣa thể hiện đầy đủ mọi khía cạnh của tƣ duy thuận


2
nghịch, mà chỉ thể hiện một phần nào đó của tƣ duy thuận nghịch. Những tình huống
đó là phổ biến, nhƣng không phải là dễ dàng thực hiện đối với học sinh.
Thực tiễn dạy học cũng cho thấy, trong quá trình dạy học, vẫn còn nhiều giáo
viên chƣa quan tâm nhiều đến mối liên hệ hai chiều này. Một số giáo viên đã có tìm
hiểu, khai thác mối liên hệ này trong dạy học, nhƣng chƣa thành hệ thống và thƣờng
xuyên. Hầu hết chỉ khi nào trong nội dung dạy học có chứa đựng tƣờng minh mối liên
hệ đó thì giáo viên mới đặt vấn đề xem xét, chẳng hạn khi trong sách giáo khoa yêu

cầu xét định lý đảo, điều kiện cần và đủ, ...
thông hiện nay. Đặc biệt là phần Hình học không gian, khi các em phải chuyển việc
nhận thức từ Hình học phẳng sang Hình học không gian, khi mà những biểu tƣợng trực
quan và tƣ duy trực giác thông qua xem xét các mô hình, hình vẽ minh họa lại dƣờng
nhƣ không thống nhất với nội dung, kiến thức khoa học chứa đựng trong nó. “Trí
tƣởng tƣợng hình học” của các em không đủ để có đƣợc hình vẽ mong muốn, do đó
không có cách tiếp cận bài toán theo hƣớng có lợi nhất để phát hiện và giải quyết vấn
đề của bài toán một cách hiệu quả nhất.
Trong quá trình giải toán, thƣờng thì ngƣời học sẽ đi từ giả thiết với những suy
luận logic, lập luận chặt chẽ để đi đến kết luận bài toán. Tuy nhiên, trong giải toán
Hình học không gian, không phải bài toán nào cũng có thể giải quyết theo chiều hƣớng
đó mà có khi phải đặt vấn đề ngƣợc lại, phải đi từ kết luận bài toán từ đó phân tích,
tổng hợp... để đi tìm lời giải bài toán. Cũng có một số bài toán chứng minh Hình học
không gian phải dùng phƣơng pháp phản chứng.
Đến nay, đã có nhiều công trình nghiên cứu trong và ngoài nƣớc đề cập đến các
loại hình tƣ duy trong giảng dạy Toán học. Tuy nhiên, chƣa có công trình nào nghiên
cứu một cách đầy đủ, có hệ thống về tƣ duy thuận nghịch. Đặc biệt là biểu hiện của
năng lực tƣ duy thuận nghịch của học sinh trong phân môn Hình học không gian.
Từ những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận văn là: “Bồi
dƣỡng năng lực tƣ duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học Hình học không gian
ở trƣờng Trung học phổ thông”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là mô tả một số biểu hiện của năng lực tƣ duy thuận
nghịch của học sinh trong Hình học không gian, trên cơ sở đó đề xuất một số biện
pháp phù hợp để có thể bồi dƣỡng năng lực tƣ duy này cho học sinh trong quá trình


3
dạy học Hình học không gian ở bậc Trung học phổ thông nhằm nâng cao chất lƣợng
dạy học.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt đƣợc mục đích nghiên cứu trên, đề tài có nhiệm vụ:
3.1. Tổng hợp những cơ sở lý luận và thực tiễn về tƣ duy, tƣ duy Toán học, năng
lực tƣ duy Toán học và việc phát triển tƣ duy Toán học cho học sinh.
3.2. Làm sáng tỏ một số biểu hiện của năng lực tƣ duy thuận nghịch của học sinh
trong
thuận nghịch cho học sinh Trung học phổ thông trong dạy học Hình học không gian.
3.4. Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các
biện pháp đã đề xuất.
4. Đối tƣợng nghiên cứu
Quá trình phát triển tƣ duy cho học sinh thông qua dạy học Hình học không gian.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
5.1. Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu trong và ngoài
nƣớc về các vấn đề có liên quan đến đề tài.
5.2. Phƣơng pháp điều tra quan sát: Dự giờ, quan sát và lập phiếu điều tra thực
trạng về việc bồi dƣỡng tƣ duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học Hình học
không gian ở trƣờng Trung học phổ thông.
5.3. Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm: Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm để đánh
giá tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sƣ phạm đã đề xuất.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng đƣợc một số biện pháp sƣ phạm hợp lý, khả thi trong dạy học Hình
học không gian thì có thể bồi dƣỡng năng lực tƣ duy thuận nghịch cho học sinh, góp
phần vào việc nâng cao chất lƣợng dạy học Hình học không gian nói riêng và dạy học
Toán
7. Nhữngđóng góp mới của luận văn
7.1. Về mặt lý luận


4
7.2. Về mặt thực tiễn

7.2.1. Đề xuất những biện pháp sƣ phạm có tính khả thi và hiệu quả góp phần phát
triển năng lực tƣ duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học hình học không gian.
7.2.2. Có thể sử dụng Luận văn để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán
nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học hình học không gian nói riêng và dạy học
Toán
8. Cấu trúc của luận văn

Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.2. Tƣ duy Toán học.
1.3. Tƣ duy thuận nghịch.
1.4. Vai trò của tƣ duy thuận nghịch
1.5. Một số biểu hiện của năng lực TDTN của học sinh trong HHKG
1.6. Đặc điểm tâm lý của học sinh Trung học phổ thông.
1.7. Thực trạng về việc bồi dƣỡng tƣ duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy
học Hình học không gian ở trƣờng Trung học phổ thông.
1.8. Thực trạng về việc bồi dƣỡng tƣ duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy
học phân môn Hình học không gian ở trƣờng Trung học phổ thông.
Kết luận Chƣơng 1.

2.1. Định hƣớng xây dựng và thực hiện biện pháp.
2.2. Một số biện pháp góp phần bồi dƣỡng năng lực
sinh trong dạy học Hình học không gian ở trƣờ

Kết luận


5

Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1.1. Khái niệm về tư duy
Trong thực tiễn cuộc sống, có rất nhiều cái mà ta chƣa biết, chƣa hiểu. Để làm
chủ đƣợc thực tiễn, con ngƣời cần phải hiểu thấu đáo những cái chƣa biết đó, phải
vạch ra cái bản chất, mối quan hệ, liên hệ có tính quy luật của chúng. Quá trình đó gọi
là tƣ duy.
Trong Tâm lý học, một trong những nghiên cứu đầy đủ nhất về tƣ duy đã đƣợc
trình bày trong các công trình của X. L. Rubinstêin. Những công trình này đã thúc đẩy
mạnh mẽ việc giải quyết hàng loạt vấn đề cơ bản liên quan đến việc nghiên cứu hình
thức hoạt động tâm lý phức tạp. Theo cách hiểu của X. L. Rubinstêin: “Tƣ duy là sự
khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn
so với các tƣ liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể” [11, tr 246].
Có thể chỉ ra một số cách định nghĩa khác về tƣ duy, chẳng hạn: “Tƣ duy là quá
trình tâm lí nhờ đó mà con ngƣời phản ánh đƣợc các đối tƣợng và các hiện tƣợng của
hiện thực qua những dấu hiệu căn bản của chúng, con ngƣời vạch ra đƣợc những mối
liên hệ khác nhau trong mỗi đối tƣợng và hiện tƣợng và giữa các đối tƣợng, hiện tƣợng
với nhau” [19] hoặc: “Tƣ duy là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ
- quá trình tìm tòi và sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần
hay khái quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó. Tƣ duy sinh ra trên cơ sở
hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vƣợt xa giới hạn của nó”[58].
Theo tác giả Đào Tam, tƣ duy là quá trình tâm lí tìm tòi và khám phá hiện thực khách
quan gắn với hoạt động xã hội, liên hệ mật thiết với ngôn ngữ, là quá trình phản ánh gián tiếp
khái quát hiện thực khách quan nhờ các hoạt động phân tích và tổng hợp...
Mặc dù có nhiều định nghĩa, cách diễn đạt khác nhau về tƣ duy, nhƣng có thể
thấy đƣợc đặc điểm chung của các cách phát biểu là: Tư duy là quá trình nhận thức
phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính


6
quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa

biết. Đó là một quá trình nhận thức đặc biệt chỉ có ở ngƣời.
Nhƣ vậy, nhiệm vụ của tƣ duy là phát hiện ra những đối tƣợng, những thuộc tính,
những quan hệ mới nhất định không đƣợc phát hiện một cách trực tiếp trong tri giác,
còn chƣa biết hay nói chung là chƣa tồn tại. Tƣ duy bao hàm cả việc biến đổi những cứ
liệu đã có, mà nhờ sự biến đổi đó ngƣời ta đạt đƣợc mục đích đề ra.
Tƣ duy của mỗi ngƣời đƣợc hình thành và phát triển trong quá trình hoạt động
nhận thức tích cực của bản thân họ, nhƣng nội dung và tính chất của tƣ duy đƣợc quy
định bởi trình độ nhận thức chung, tồn tại trong một giai đoạn phát triển xã hội lúc đó.
Tƣ duy là sản phẩm của sự phát triển xã hội – lịch sử.
Trong quá trình phát triển, tƣ duy con ngƣời không dừng lại ở trình độ tƣ duy
bằng thao tác chân tay, bằng hình tƣợng mà con ngƣời còn đạt tới trình độ tƣ duy bằng
ngôn ngữ, tƣ duy trừu tƣợng, tƣ duy khái quát,... hình thức tƣ duy đặc biệt của con
ngƣời [17, tr. 119].
Trong quá trình tƣ duy, con ngƣời sử dụng phƣơng tiện ngôn ngữ, sản phẩm có
tính xã hội cao để nhận thức tình huống có vấn đề, để tiến hành các thao tác tƣ duy:
Phân tích, tổng hợp, so sánh, tƣơng tự hóa, khái quát hóa nhằm đi đến khái niệm, phán
đoán, suy lý, những quy luật – những sản phẩm khái quát của tƣ duy.
1.1.2. Đặc điểm của tư duy
Tƣ duy có các đặc điểm cơ bản sau [1], [16, tr.119 - 125].
* Tính có vấn đề của tư duy: Không phải bất cứ hoàn cảnh nào tƣ duy cũng xuất
hiện. Tƣ duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh, những tình huống “có vấn đề”, tức
là những tình huống chứa đựng một mục đích, một vấn đề mới mà những hiểu biết cũ,
phƣơng pháp hành động cũ không đủ sức giải quyết. Muốn giải quyết vấn đề mới đó,
để đạt mục đích mới đó, con ngƣời phải tìm cách thức giải quyết mới, tức là con ngƣời
phải tƣ duy.
* Tính gián tiếp của tư duy: Tính gián tiếp của tƣ duy đƣợc thể hiện trƣớc hết ở
việc con ngƣời sử dụng ngôn ngữ để tƣ duy. Nhờ có ngôn ngữ mà con ngƣời sử dụng
các kết quả nhận thức (quy tắc, công thức, quy luật, khái niệm,...) vào quá trình tƣ duy
(phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa,...) để nhận thức cái bên trong, bản chất
của sự vật hiện tƣợng.

7
* Tính trừu tượng và tính khái quát: Khác với nhận thức cảm tính, tƣ duy không
phản ánh sự vật, hiện tƣợng một cách cụ thể và riêng lẻ. Tƣ duy có khả năng trừu xuất
khỏi sự vật, hiện tƣợng những thuộc tính, những dấu hiệu cá biệt, cụ thể, chỉ giữ lại
những thuộc tính bản chất chung cho nhiều sự vật, hiện tƣợng. Trên cơ sở đó mà khái
quát những sự vật, hiện tƣợng riêng lẻ, nhƣng có những thuộc tính bản chất chung thành
một nhóm, một loại, một phạm trù. Do đó, tƣ duy có tính trừu tƣợng và khái quát. Nhờ
có tính khái quát, tƣ duy trong khi giải quyết vấn đề cụ thể vẫn có thể xếp nó vào một
nhóm, một phạm trù để có những quy tắc, phƣơng pháp giải quyết tƣơng tự.
* Tư duy có mối quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: Tƣ duy và ngôn ngữ có mối
quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau nhƣng cũng không đồng nhất với
nhau. Nếu không có ngôn ngữ thì quá trình tƣ duy của con ngƣời không thể diễn ra
đƣợc, đồng thời các sản phẩm của tƣ duy (những khái niệm, phán đoán,...) cũng không
đƣợc chủ thể và ngƣời khác tiếp nhận. Ngƣợc lại, nếu không có tƣ duy (với những sản
phẩm của nó) thì ngôn ngữ chỉ là những chuỗi âm thanh vô nghĩa. Ngôn ngữ không
phải là tƣ duy, ngôn ngữ là vỏ vật chất của tƣ duy, là phƣơng tiện của tƣ duy.
* Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: Mặc dù ở mức độ
nhận thức cao hơn (phản ánh những cái bản chất bên trong, mối quan hệ có tính quy
luật), nhƣng tƣ duy phải dựa vào nhận thức cảm tính. Tƣ duy thƣờng bắt đầu từ nhận
thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh “tình huống có vấn đề”. Dù
tƣ duy có khái quát và trừu tƣợng đến đâu thì nội dung của tƣ duy vẫn chứa đựng
những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, hình tƣợng trực quan,...).
X. L. Rubinstêin đã khẳng định rằng: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong
tƣ duy trừu tƣợng, tựa hồ nhƣ làm thành chỗ dựa cho tƣ duy” [63, tr.111].
* Tư duy là một quá trình: Tƣ duy đƣợc xét nhƣ một quá trình, nghĩa là tƣ duy
có nảy sinh, diễn biến và kết thúc. Quá trình tƣ duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp
nhau đƣợc minh họa bởi sơ đồ do K. K. Plantônôv đƣa ra [62, tr. 115].

8

Xuất hiện các liên tƣởng

Hoạt động tƣ duy mới

* Quá trình tư duy là một hành động trí tuệ: Quá trình tƣ duy đƣợc diễn ra bằng
cách chủ thể tiến hành những thao tác trí tuệ nhất định. Có rất nhiều thao tác trí tuệ
tham gia vào một quá trình tƣ duy cụ thể với tƣ cách một hành động trí tuệ: Phân tích,
tổng hợp, so sánh, trừu tƣợng hóa, khái quát hóa,...
1.1.3. Về sự phân loại tư duy
Có nhiều loại hình tƣ duy đã đƣợc nhiều tác giả trong và ngoài nƣớc nghiên cứu
nhƣ tƣ duy lôgic, tƣ duy trừu tƣợng, tƣ duy sáng tạo, tƣ duy lý luận, ... Về bản chất, tƣ
duy chỉ có một, đó là sự hình thành mới hoặc tái tạo lại các liên kết giữa các phần tử
ghi nhớ. Sự phân chia ra các loại hình tƣ duy nhằm mục đích hiểu sâu và vận dụng tốt
tƣ duy trong hoạt động của hệ thần kinh.
Theo [52], [63], có ba loại tƣ duy: Tư duy trực quan, hành động; Tư duy trực
quan hình tượng; Tư duy trừu tượng (tư duy ngôn ngữ, lôgic).
Theo A.V. Pêtrôvxki và L. B. Itenxơn, có bốn loại tƣ duy: Tư duy hình tượng, tư
duy thực hành, tư duy khoa học, tư duy lôgic [45].


9
J. Piaget thƣờng nói đến 2 loại tƣ duy: Tư duy cụ thể, tư duy hình thức.
Trong [11], V. V. Đavƣđôv nói đến tư duy lý luận, tư duy kinh nghiệm.
Trong một số công trình của V. A. Cruchetxki đề cập đến: Tư duy tích cực, tư
duy độc lập, tư duy sáng tạo, tư duy lý luận [9].
Theo J. Guilford, có hai loại tƣ duy phân biệt, ngƣợc với nhau: Tư duy hội tụ và
tư duy phân kỳ [34].

Tác giả Nguyễn Văn Lộc trong [33] đã trình bày 5 cách xem xét về phƣơng diện
tƣ duy: Xem xét về phƣơng diện lịch sử hình thành và phát triển tƣ duy; xem xét về
phƣơng diện lôgic hình thức và lôgic biện chứng; xem xét về phƣơng diện tính chất,
kết quả của quá trình tƣ duy; xem xét về phƣơng diện cấu trúc khác nhau của hiện
thực; xem xét về phƣơng diện các dấu hiệu đặc thù của đối tƣợng tƣ duy.
Trong cuốn Phương pháp tư duy lôgic [56], tác giả Tiến Thành đề cập đến rất
nhiều loại hình tƣ duy, chẳng hạn: Tư duy động, tư duy tĩnh, tư duy ngược, tư duy
chiều dọc, tư duy chiều ngang, tư duy liên tưởng, ...
Benjamin Bloom đã phân loại tƣ duy theo những mục tiêu giáo dục: Lĩnh vực
nhận thức, trong đó phần mô tả về tƣ duy gồm sáu mức độ nhận thức sắp xếp từ mức
độ đơn giản nhất, gợi lại kiến thức, đến mức độ phức tạp nhất, đánh giá giá trị và tính
hữu ích của một ý kiến. Cụ thể là:
Biết: Nhớ lại thông tin;
Hiểu: Hiểu nghĩa, diễn giải khái niệm;
Vận dụng: Sử dụng thông tin hay khái niệm trong tình huống mới;
Phân tích: Chia nhỏ thông tin và khái niệm thành những phần nhỏ hơn để hiểu
đầy đủ hơn;
Tổng hợp: Ghép các ý với nhau để tạo nên nội dung mới;
Đánh giá: Đánh giá chất lƣợng.
Đến năm 1999, để khắc phục những hạn chế của cách phân loại của Bloom, Tiến
sĩ Lorin Anderson cùng với những đồng nghiệp đã đƣa ra cách phân loại tƣ duy trên cơ
sở cách phân loại của Bloom, trong đó phân biệt “biết cái gì” – nội dung của tƣ duy, và
“biết nhƣ thế nào”– tiến trình đƣợc sử dụng để giải quyết vấn đề. Theo ông quá trình
nhận thức cũng gồm sáu kỹ năng đƣợc sắp xếp theo mức độ từ đơn giản nhất đến phức
tạp nhất: nhớ, hiểu, vận dụng, phân tích, đánh giá và sáng tạo [www.cuwc.edu.vn].


10
Trên đây là một số cách phân loại tƣ duy, qua đó có thể thấy rằng cách phân loại
tư duy là hết sức đa dạng và “Tùy theo nội dung và tính chất của những nhiệm vụ cần

giải quyết mà tư duy được phân thành các kiểu khác nhau” [21].
1.1.4. Những điều kiện hình thành các kiểu tư duy khác nhau trong dạy học
Theo A.V. Pêtrôvxki, trong tình huống sƣ phạm đã cho, hình thành đƣợc kiểu tƣ
duy nào, điều đó phụ thuộc vào bốn nhân tố: Tính chất của tài liệu học tập; kiểu bài
toán; lứa tuổi và trình độ của học sinh; phương thức dạy học.
Nhân tố thứ nhất – Tính chất của tài liệu: Hiểu tài liệu có nghĩa là xác định đƣợc
mối liên hệ giữa các sự vật và hiện tƣợng với nhau, cũng nhƣ với kinh nghiệm và
những tri thức đã có của học sinh. Từ đó, ông quan niệm: tư duy – có nghĩa là vận
dụng những mối liên hệ này để giải những bài toán xác định.
A.V. Pêtrôvxki cho rằng: Nếu tƣ duy là chân thực, tức nó phản ánh hiện thực một
cách đúng đắn, thì nó chỉ có thể dựa trên những mối liên hệ thực sự có trong các tri
thức xuất phát của nó. Vì thế, dựa theo tính chất về mối liên hệ mà tạo khả năng triển
khai loại hình tư duy, không phải trên mọi tài liệu đều có thể hình thành bất kì kiểu tƣ
duy nào. Vì vậy, ở trƣờng phổ thông, tính chất khác nhau của các môn học cũng như
giữa các nội dung kiến thức trong một môn học, tạo khả năng cho sự triển khai một
kiểu tư duy xác định. Chẳng hạn, khi xem xét một định lý Toán học, chúng ta không
chỉ quan tâm định lý thuận, mà còn quan tâm đến mệnh đề đảo của định lý, nghĩa là
xem xét định lý trong mối liên hệ hai chiều, tạo khả năng cho kiểu tư duy xem xét sự
vật hiện tượng theo hai chiều ngược nhau.
Nhân tố thứ hai - Tính chất của bài toán là nhân tố sản sinh ra sự cần thiết của kiểu
tƣ duy. Mỗi bài toán muốn giải đƣợc đòi hỏi phải phát hiện và sử dụng những mối liên
hệ xác định của các dữ kiện xuất phát. Chẳng hạn, những bài toán về chứng minh trong
Toán học đòi hỏi phải phát hiện và sử dụng những mối liên hệ lôgic của các dữ kiện tất
yếu, do đó tƣ duy lôgic là cần thiết, còn việc giải các phƣơng trình (chẳng hạn nhƣ
x2

2 x 8 ) thƣờng chỉ đòi hỏi những biến đổi hợp qui tắc, vì thế tƣ duy thực hành là

cần thiết. Nhƣ vậy, bản thân bài toán buộc tƣ duy phải dựa trên kiểu mối liên hệ này hay
kiểu mối liên hệ kia trong các dữ kiện xuất phát và do đó nó cũng quyết định kiểu tư duy

nào đƣợc thực hiện khi giải bài toán đó. Hơn thế nữa, bằng cách biến đổi tính chất của
bài toán có thể bồi dƣỡng cho các em những kiểu tƣ duy khác nhau.


11
Ví dụ 1.1: Đối với học sinh lớp 7, sau khi học các hằng đẳng thức đáng nhớ
(a b)( a b)

a2

b 2 , nếu yêu cầu giải các bài toán:

1) (4a – 3b) (4a + 3b) = 
2) ( - 3b) ( + ) = 16a2 - 
Bài toán 1) giải bằng cách áp dụng trực tiếp hằng đẳng thức, không đòi hỏi hoạt
động tƣ duy phức tạp của học sinh. Tất cả những điều cần làm đã đƣợc dự kiến trong
quy tắc rồi, nó cần thiết cho tƣ duy thực hành. Tuy nhiên, đối với bài toán 2) đòi hỏi
phải tìm tòi, phải đi theo con đường ngược lại – từ dữ kiện của bài toán đến chỗ tìm
tòi lời giải, khiến cho hoạt động trí tuệ của các em có đặc điểm khác, nâng cao tính
tích cực trí tuệ của học sinh và giúp học sinh lĩnh hội sâu sắc hơn hằng đẳng thức đang
nghiên cứu (nghiên cứu cả hai chiều của hằng đẳng thức).
Nhân tố thứ ba – đó là lứa tuổi và trình độ phát triển của học sinh. Khó qui định
đƣợc các giới hạn của lứa tuổi. Nhƣ L. S. Vygotski đã chứng tỏ, những cấp độ và
những kiểu tƣ duy khác nhau có thể đồng thời tồn tại ở cùng một ngƣời tùy theo tri
thức và thực tiễn tƣ duy tƣơng ứng của ngƣời đó trong lĩnh vực này hay lĩnh vực khác.
Tuy nhiên, nhìn chung rõ ràng là cùng với lứa tuổi, tƣ duy phát triển từ kiểu hình
tƣợng – thực hành sang kiểu tƣ duy khoa học và tƣ duy lí thuyết.
Ví dụ 1.2: Đối với học sinh lớp 1, sau khi học phép cộng các số tự nhiên mà chƣa
học phép trừ, thì việc giải bài toán 3 +  = 9 không thể dễ dàng nhƣ bài toán 3 + 6 = ,
khi đó trong suy nghĩ của các em ít nhiều cũng phải có sự mò mẫm, tìm tòi, dự đoán,

có phương pháp thử - sai. Tuy nhiên, cũng bài toán đó nhƣng khi các em đã đƣợc học
phép trừ các số tự nhiên là phép toán ngƣợc của phép cộng, thì bài toán lại không gây
khó khăn cho học sinh.
Nhân tố thứ ba – lứa tuổi và trình độ phát triển của học sinh. Khó qui định đƣợc
các giới hạn của lứa tuổi. Nhƣ L. S. Vygotski đã chứng tỏ, những cấp độ và những
kiểu tƣ duy khác nhau có thể đồng thời tồn tại ở cùng một ngƣời tùy theo tri thức và
thực tiễn tƣ duy tƣơng ứng của ngƣời đó trong lĩnh vực này hay lĩnh vực khác. Tuy
nhiên, nhìn chung rõ ràng là cùng với lứa tuổi, tƣ duy phát triển từ kiểu hình tƣợng –
thực hành sang kiểu tƣ duy khoa học và tƣ duy lý thuyết.
Nhân tố thứ tƣ – Phương thức dạy học, phƣơng thức xác định các mối quan hệ
mà tƣ duy vận dụng.


12
Nhƣ vậy, trong quá trình dạy học, giáo viên cần phải xem xét bốn nhân tố trên
một cách linh hoạt, để lựa chọn và có phƣơng pháp bồi dƣỡng loại hình tư duy thích
hợp một cách hiệu quả nhất, nhằm đạt đƣợc mục đích dạy học.
1.2. Tƣ duy Toán học
1.2.1. Một số quan niệm về tư duy Toán học
Theo Nguyễn Văn Lộc [33], tƣ duy Toán học đƣợc hiểu: Thứ nhất là hình thức
biểu lộ của tƣ duy biện chứng trong quá trình con ngƣời nhận thức khoa học Toán học
hay trong quá trình áp dụng Toán học vào các khoa học khác nhƣ kĩ thuật, kinh tế
quốc dân, ... Thứ hai, tƣ duy Toán học có các tính chất đặc thù đƣợc quy định bởi bản
chất của khoa học Toán học, bởi sự áp dụng các phƣơng pháp Toán học để nhận thức
các hiện tƣợng của thế giới hiện thực, cũng nhƣ bởi chính các phƣơng thức chung của
tƣ duy mà nó sử dụng.
Nội dung của tƣ duy Toán học là những tƣ tƣởng phản ánh hình dạng không gian
và những quan hệ số lƣợng của thế giới hiện thực [33, tr. 16 - 17].
Về đặc điểm của tƣ duy Toán học, A. M. Phriđman viết: “Tư duy Toán học là tư
duy lý thuyết trừu tượng cao nhất, các đối tượng của nó có thể được hình thức hóa vứt

bỏ tất cả các tính vật chất và chỉ giữ lại những quan hệ đã cho giữa chúng” [6, tr.13].
Giáo dục Toán học cho HS là một quá trình phức tạp, nhằm đạt các mục tiêu [32]:
- Truyền thụ cho HS một hệ thống nhất định những kiến thức cơ bản của Toán học;
- Rèn luyện cho HS những kỹ năng, kỹ xảo Toán học;
- Phát triển tƣ duy Toán học cho HS.
“Tƣ duy Toán học không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt động
Toán học của HS, nó còn là thành phần mà, nếu thiếu sự phát triển một cách có
phƣơng hƣớng thì không thể đạt hiệu quả trong việc truyền thụ cho HS hệ thống các
kiến thức và kỹ năng Toán học” [58, tr.13].
Đến nay, đã có nhiều tài liệu đề cập (theo các mức độ khác nhau) đến các khía
cạnh xung quanh vấn đề về tƣ duy Toán học: [6], [22], [23], [24], [34], [35], [37], [40],
[46], [57], [58],...
1.2.2. Một số quan điểm về những thành phần của tư duy Toán học và năng
lực Toán học
Nhiều nhóm tác giả đƣa ra các quan điểm khác nhau về vấn đề này.


13
- Trong cuốn sách Phương pháp giảng dạy Toán ở trường phổ thông của nhóm
tác giả: Iu. M. Kôliagin, V. A. Ôganhexian, V. Ia. Xannhixki và G. L. Lucankin (cuốn
sách này đƣợc ấn hành lần đầu tiên vào năm 1975 [32] và đƣợc tái bản lần thứ nhất
vào năm 1980 [32]), các tác giả đã trình bày rất cụ thể về những thành phần của tƣ duy
Toán học [58].
Trƣớc khi nêu ra các thành phần của tƣ duy Toán học, tác giả lý giải: “Tƣ duy
Toán học có những nét, những đặc điểm đặc trƣng của mình, mà những đặc điểm này
đƣợc quy định bởi tính đặc thù của các đối tƣợng nghiên cứu và đƣợc quy định bởi
tính đặc thù của các phƣơng pháp nghiên cứu” [32].
Về cấu trúc tƣ duy Toán học, theo [32], các thành phần chủ yếu của tư duy Toán
học gồm: Tƣ duy cụ thể; Tƣ duy trừu tƣợng; Tƣ duy trực giác; Tƣ duy hàm; Tƣ duy biện
chứng; Tƣ duy sáng tạo; Các phong cách Toán học của tƣ duy.

Trong đó, tư duy trừu tượng có thể đƣợc tách thành: Tƣ duy phân tích; Tƣ duy
lôgic; Tƣ duy lƣợc đồ không gian.
Tuy nhiên, cũng là nhóm tác giả này, trong [32] các tác giả chỉ trình bày các
thành phần của tƣ duy là: Tƣ duy cụ thể; Tƣ duy trừu tƣợng; Tƣ duy trực giác; Tƣ duy
hàm.
Khi đề cập đến các loại hình tƣ duy, các tác giả đều mô tả tƣơng đối cụ thể bằng
cách chỉ ra những đặc trƣng của loại hình tƣ duy ấy.
- Trong các bài báo của Viện sĩ B. V. Gơnhedencô viết về giáo dục Toán học (ở
trƣờng phổ thông), không thấy Ông nói đến những thành phần của tƣ duy Toán học
hay cấu trúc của năng lực Toán học, mà chỉ thấy Ông sử dụng cụm từ những yêu cầu
đối với tư duy Toán học của học sinh. Những yêu cầu đó là: Năng lực nhìn thấy sự
không rõ ràng của quá trình suy luận, thấy đƣợc sự thiếu sót của những điều cần thiết
trong chứng minh; Sự cô đọng; Sự chính xác của các ký hiệu; Phân chia rõ ràng tiến
trình suy luận; Thói quen lý lẽ đầy đủ về lôgic [58, tr.15].
- Nhà Toán học nổi tiếng A. Ia. Khinsin, A. I. Marcusêvich, cũng không nói rõ
ràng tƣ duy Toán học; năng lực Toán học bao gồm những thành phần nào mà có cách
sử dụng khác về thuật ngữ.
Theo A. Ia. Khinsin, những nét độc đáo của tư duy Toán học là: Suy luận theo sơ
đồ lôgic chiếm ƣu thế; Khuynh hƣớng đi tìm con đƣờng ngắn nhất dẫn đến mục đích;


14
Phân chia rành mạch các bƣớc suy luận; Sử dụng chính xác các ký hiệu (mỗi ký hiệu
Toán học có một ý nghĩa xác định chặt chẽ); Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận [19,
tr.127].
Theo A. I. Marcusêvich, những kỹ năng cần phải bồi dưỡng cho học sinh trong
dạy học Toán là: Kỹ năng loại bỏ những chi tiết không căn bản để chỉ giữ lại những
cái bản chất của vấn đề, chẳng hạn kỹ năng trừu tƣợng hóa; Kỹ năng rút ra hệ quả
lôgic từ những tiền đề đã cho; Kỹ năng phân tích một vấn đề thành những trƣờng hợp
riêng, phân biệt khi nào đã bao quát đƣợc mọi khả năng, khi nào chỉ là ví dụ chƣa bao

quát hết mọi khả năng; Kỹ năng khái quát hóa các kết quả nhận đƣợc và đặt ra những
vấn đề mới ở dạng khái quát; Kỹ năng xây dựng sơ đồ của hiện tƣợng, sao cho, trong
đó chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt Toán học; Kỹ
năng vận dụng các kết luận đƣợc rút ra từ các suy luận, biết đối chiếu các kết quả đó
với các vấn đề đã dự kiến, kỹ năng đánh giá ảnh hƣởng của việc thay đổi các điều kiện
đến độ tin cậy của các kết quả [34].
- Theo quan điểm của V.A. Cruchetxki, cấu trúc NL Toán học của HS bao gồm
các thành phần sau:
Thu nhận những thông tin Toán học: NL tri giác hình thức hóa tài liệu Toán
học, NL nắm đƣợc cấu trúc hình thức của bài toán.
Chế biến thông tin Toán học, đó là: NL tƣ duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ
số lƣợng và các quan hệ không gian, các kí hiệu dấu, các kí hiệu số, NL suy nghĩ với
các kí hiệu Toán học; NL khái quát nhanh chóng và rộng rãi các đối tƣợng, quan hệ,
các phép Toán của Toán học; NL rút ngắn quá trình suy luận Toán học và hệ thống các
phép Toán tƣơng ứng, NL suy nghĩ với những cấu trúc đƣợc rút gọn; Tính mềm dẻo
của quá trình tƣ duy trong hoạt động Toán học; Khuynh hƣớng vƣơn tới sự rõ ràng, sự
đơn giản, tính tiết kiệm và tính hợp lý của lời giải; NL thay đổi nhanh chóng, dễ dàng
hƣớng suy nghĩ, dạng tư duy thuận chuyển qua tư duy ngược.
Lưu trữ thông tin Toán học, đó là trí nhớ Toán học tức là trí nhớ khái quát về
các quan hệ Toán học, về các đặc điểm điển hình, về các sơ đồ suy luận và chứng
minh, về các phƣơng pháp giải toán, nguyên tắc, đƣờng lối giải toán.
Thành phần tổng hợp chung là khuynh hƣớng Toán học của trí tuệ [7, tr.167168]; [19, tr.129-130].


15
- Theo A. N. Kôlmôgôrôv, trong thành phần của NL Toán học có: NL biến đổi
khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, NL tìm các con đƣờng giải các phƣơng trình
không theo quy tắc chuẩn, NL tính Toán; Trí tƣởng tƣợng hình học hay “trực giác hình
học”; Nghệ thuật suy luận lôgic theo các bƣớc đƣợc phân chia một cách đúng đắn. Đặc
biệt, có kỹ năng vận dụng đúng đắn nguyên lý quy nạp Toán học [19, tr.129].

Bên cạnh các tác giả nƣớc ngoài, một số loại hình của tƣ duy Toán học đã đƣợc
các tác giả Việt Nam nghiên cứu. Trong [19, tr.60-61], các tác giả cho rằng: “Để nhận
thức mặt nội dung của hiện thực cần tƣ duy biện chứng, để nhận thức mặt hình thức
của hiện thực cần tƣ duy lôgic, nên tƣ duy Toán học cũng phải là sự thống nhất biện
chứng giữa tƣ duy lôgic và tƣ duy biện chứng”.
Những đặc trƣng của tư duy hàm và bốn tƣ tƣởng chủ đạo để phát triển tƣ duy
hàm đã đƣợc tác giả Nguyễn Bá Kim trình bày trong [26, tr.122- 149]. Theo đó, tư duy
hàm đƣợc đặc trƣng bởi các hoạt động: Phát hiện hoặc thiết lập những sự tƣơng ứng;
Nghiên cứu những sự tƣơng ứng; Lợi dụng những sự tƣơng ứng.
Trong [27, tr.201- 202], [37, tr.28], các tác giả đã chỉ rõ những thành phần của tư
duy thuật Toán (thuật giải). Trong [37] đã đề xuất một số hƣớng có thể thực hiện để
phát triển tƣ duy thuật giải cho học sinh trong dạy học môn Toán.
Qua việc tham khảo các quan điểm của các tác giả về tƣ duy Toán học và năng
lực Toán học, có thể nhận thấy rằng: Dù phân loại theo tiêu chí nào thì các loại hình tƣ
duy thƣờng có sự giao thoa nhau. Tuy nhiên, sự phân chia một cách tƣơng đối vẫn rất
cần thiết: “Sự phân chia diễn ra ở trên cho một quá trình phức tạp nhƣ tƣ duy Toán
học, bằng cách xét các thành phần riêng rẽ của nó, chẳng qua là do muốn nghiên cứu
các biểu hiện riêng biệt của tƣ duy trong quá trình giảng dạy toán mà thôi. Chỉ có như
vậy ngƣời giáo viên mới có điều kiện thúc đẩy sự phát triển nếu không đƣợc toàn diện
thì cũng là sự phát triển từng phần tƣ duy Toán học cho học sinh” (dẫn theo [58,
tr.20]).
1.3. Tƣ duy thuận nghịch
1.3.1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài
Việc nghiên cứu mối quan hệ hai chiều có tính thuận nghịch trong các hiện tƣợng
tự nhiên, xã hội và tƣ duy đã đƣợc một số tác giả trong và ngoài nƣớc quan tâm nhƣ sau:
Ở ngoài nƣớc:


16
- Theo Piaget [10], [42], [43], [47], [48], đối

tính đảo ngƣợc có thể hiểu là trật tự ngƣợc nhau của chuỗi thao tác hai hành động).
Chẳng hạn, ngay từ lớp 1, HS đã thực hiện thao tác 3 + 5 = 8 (trên cở sở đã thành thục
hành động “gộp” 3 với 5 thành 8), thì cũng thực hiện đƣợc thao tác ngƣợc lại là “tách”
hay là phân tích 8 = 3 + 5. Theo J. Piaget, tính thuận nghịch thể hiện khi “các thao tác
và hành động có thể đƣợc triển khai về hai hƣớng và hiểu đƣợc một trong hai hƣớng đó
gợi ra sự hiểu biết hƣớng kia” [11, tr.275]. Ông đã đánh giá cao về vai trò của tính thuận
nghịch trong hoạt động nhận thức, điều này đƣợc thể hiện trong nhận xét của Ph.
Lêyven: Đối với Piaget, tính thuận nghịch – đó là “con ngƣơi” của nhận thức, đƣợc
hình thành trong hệ thống, một tính chất mà trong quan hệ với nó, tất cả các tính chất
còn lại chỉ là dẫn xuất [11, tr.275].
- Tác giả V. A. Cruchetxki đã quan tâm đến tính thuận nghịch của quá trình tƣ
duy trong lập luận Toán học [7, tr.107], đƣợc hiểu là việc làm thay đổi phƣơng hƣớng
của quá trình tƣ duy theo nghĩa chuyển từ tƣ duy thuận (hƣớng tƣ duy từ A đến B)
sang tƣ duy đảo (hƣớng từ B đến A). Ông xem khả năng này là một thành phần của
năng lực Toán học của HS và đã tiến hành thực nghiệm trên đối tƣợng HS lớp 6, 7, 8
và chủ yếu tập trung vào việc xem xét, đánh giá sự suy nghĩ của HS trong vấn đề nhận
thức và giải quyết vấn đề liên quan đến hai chiều của một công thức và các bài toán
thuận nghịch. Ông đã rút ra kết luận rằng nét nổi bật của HS có năng khiếu là khả năng
chuyển một cách nhanh chóng và dễ dàng từ quá trình tƣ duy thuận sang quá trình tƣ
duy đảo, là tính thuận nghịch dễ dàng của quá trình lập luận. Các liên hệ đƣợc hình
thành ở các em có ngay đặc tính thuận nghịch. Ở các HS trung bình và kém quá trình
này hết sức khó khăn.
- Tác giả Edgar Morin cho rằng: “Tƣ duy, trong sự vận động/sáng tạo của nó, là
một dạng thức đối lôgic phức hợp của những hoạt động và những thao tác, sử dụng
những năng lực bổ sung/đối kháng của tinh thần/bộ não, và theo nghĩa đó, tư duy là sử
dụng đầy đủ đối lôgic về những năng lực suy nghĩ của tinh thần con người” [38,
tr.342]. Ông cho rằng
–

–


17
–

–

đƣa tƣ duy vào vận động.
trình đối kháng tiềm tàng có xu hƣớng loại bỏ nhau. Nó phải từ chối và chiến đấu
chống lại mâu thuẫn, nhƣng đồng thời lại chịu đựng mâu thuẫn và tự nuôi sống bằng
mâu thuẫn. Theo nghĩa đó, tư duy là một vận động đối lôgic không ngừng. Do đó, có
những khiếm khuyết của tƣ duy khi xảy ra sự loại trừ một quá trình bởi quá trình đối
kháng. Chẳng hạn, sự phân tích một mình nó phá vỡ tổ chức liên kết các yếu tố đƣợc
phân tích, còn sự tổng hợp một mình nó che khuất tính hiện thực của các thành tố, ...
Mọi quá trình tƣ duy, nếu không đƣợc kiểm tra theo lối đối lôgic, thì dẫn đến chỗ mù
quáng hay tới hoang tƣởng.
Tác giả Ia. I. Pêtrốp (dẫn theo [53, tr.114]) cũng có quan niệm: Hoạt động tư duy
của HS diễn biến theo chiều thuận – nghịch.
- Trong công trình nghiên cứu về tƣ duy của HS của M. N. Sacđacôp có đề cập
đến tính thuận nghịch trong các mối liên hệ và quan hệ. Ông cho rằng, tính thuận
nghịch là một trong những đặc điểm về chất của các mối liên hệ và quan hệ giữa các
hiện tƣợng của hiện thực. Nó biểu hiện trong ảnh hƣởng lẫn nhau có tính chất động
giữa các thành phần của một hiện tƣợng hoàn chỉnh. Ông cũng cho rằng dòng ý nghĩ
thuận và nghịch là đặc điểm vốn có của bản thân hoạt động tƣ duy.
- Các tác giả Tsukasa Hirashima và Megumi Kurayama quan tâm đến việc dạy
HS học tập bằng cách đặt bài toán cho những bài toán tư duy ngược. Các ông đặc biệt
quan tâm “đảo ngƣợc suy nghĩ vấn đề”, và đã tiến hành thực nghiệm trong một lớp học
của HS lớp 1 ở một trƣờng tiểu học, với môi trƣờng học tập dựa trên máy tính [32].
- Tác giả G. Polya đã đề cập đến phép rút gọn thuận nghịch trong giải Toán. Ông

quan niệm: “Việc chuyển bài toán ban đầu sang bài toán phụ sẽ gọi là phép rút gọn
thuận nghịch hoặc hai chiều, hoặc là tương đương nếu nhƣ bài toán phụ và bài toán
ban đầu là tƣơng đƣơng nhau” [49, tr.66].
Ở trong nƣớc:
- Tác giả Nguyễn Bá Kim đã quan tâm đến khả năng đảo ngược quá trình tƣ duy,
lấy đích của một quá trình đã biết làm điểm xuất phát cho quá trình mới, còn điểm xuất
phát của quá trình đã biết lại trở thành đích của quá trình mới. Ông xem đó là một thể


18
hiện của tính linh hoạt của tƣ duy [31]. Các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dƣơng Thụy,
Hoàng Chúng đều cho rằng, trong dạy học, cần chú ý rèn luyện cho học sinh kĩ năng
biến đổi xuôi chiều và ngƣợc chiều một cách song song với nhau nhằm giúp cho việc
hình thành các liên tƣởng ngƣợc diễn ra đồng thời với việc hình thành liên tƣởng thuận
[5], [29].
- Trên cơ sở nghiên cứu Lý thuyết phát sinh nhận thức của J. Piaget, Phan Trọng
Ngọ [43] cho rằng: Thao tác thực chất là hành động vật chất bên ngoài đƣợc chuyển
vào trong và cải biến ở trong đó; tính đảo ngƣợc của thao tác là do hai hành động thực
tiễn ngƣợc nhau tạo thành. Từ đó, để có thao tác trong đầu, trẻ em phải bắt đầu từ hành
động ở bên ngoài và khi tiến hành hành động ở bên ngoài cần triển khai hành động
ngược ngay sau khi có hành động xuôi. Đây chính là bí quyết trong việc hình thành
thao tác học cho HS.
Vì vậy, trong giáo dục, nói chung cần thực hiện theo nguyên tắc: Hai việc làm
(thao tác) ngƣợc nhau phải đƣợc tiến hành liền nhau (coi nhƣ đồng thời). Chẳng hạn,
thao tác trừ đi liền thao tác cộng; thao tác chia đi liền thao tác nhân; thao tác “tháo” vần
ra thành nguyên âm và phụ âm phải đi liền thao tác “lắp” nguyên âm vào phụ âm để
đƣợc lại vần; Cho hàm số y = f(x), thao tác tìm y khi biết x đi liền với thao tác tìm x khi
biết y, ...
- Tác giả Tôn Thân [57] quan tâm đến việc bồi dƣỡng tƣ duy sáng tạo cho HS
thông qua việc giải các bài toán thuận nghịch và lập bài toán đảo.

Nhƣ vậy, nhìn chung đã có nhiều tác giả trong và ngoài nƣớc quan tâm nghiên
cứu mối quan hệ có tính thuận nghịch trong tƣ duy theo những quan niệm, đối tƣợng
cụ thể khác nhau. Tuy nhiên, chƣa có tác giả hay nhóm tác giả nào nghiên cứu có hệ
thống, đầy đủ về một loại hình tƣ duy mang tên là tư duy thuận nghịch và đề xuất các
biện pháp sƣ phạm để khai thác tiềm năng của môn Toán nhằm hiện thực hóa việc bồi
dƣỡng loại hình tƣ duy này cho HS.
1.3.2. Những căn cứ dẫn đến một cách quan niệm về tư duy thuận nghịch
Để dẫn đến một cách quan niệm về TDTN, cũng nhƣ xác định các thành tố của năng
lực TDTN của học sinh trong Toán học, trong [32] tác giả đã dựa vào các căn cứ sau:
1.3.2.1. Căn cứ vào mối liên hệ phổ biến


19
-Lênin [15
lại, chuyển hóa lẫn nhau với sự vật, hiện tƣợng khác, cũng nhƣ giữa các mặt của một sự
vật, của một hiện tƣợng. Do đó, khi nhận thức về sự vật, hiện tƣợng chúng ta phải có
quan điểm toàn diện, xem xét theo nhiều chiều, nhiều phƣơng diện, theo các góc cạnh
khác nhau, tránh quan điểm phiến diện chỉ xét sự vật, hiện tƣợng ở một mối liên hệ, hay
chỉ một mặt, đã vội vàng kết luận về bản chất hay tính quy luật của chúng. Chẳng hạn,
mỗi bài toán cần đƣợc xem xét trong mối liên hệ với các bài toán khác nhƣ bài toán
ngƣợc, bài toán đặc biệt, bài toán khái quát, bài toán tƣơng tự, ... Đồng thời, ngay trong
mỗi bài toán cũng cần xem xét mối quan hệ giữa giả thiết và kết luận của nó.
Tất cả các sự vật, hiện tƣợng trên thế giới đều có tính hai mặt của nó. Hai mặt của
một vấn đề vừa có tính thống nhất, vừa mâu thuẫn, sẽ không có mặt này nếu không có
mặt kia, sẽ không có cái toàn bộ nếu không có mối liên hệ giữa hai mặt đó. Chẳng hạn,
phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngƣợc nhau nhƣng lại là hai mặt của
một quá trình thống nhất.
1.3.2.2. Căn cứ vào kết quả nghiên cứu về tính thuận nghịch của tư duy
Dựa vào một số kết quả nghiên cứu của J. Piaget, V. A. Cruchetxki, Edgar Morin,
M. N. Sacđacôp, Phan Trọng Ngọ, Nguyễn Bá Kim, …về tính thuận nghịch của tƣ duy

trong mục 1.3.1, có thể nhận thấy tính thuận nghịch của tư duy được đặc trưng bởi khả
năng của trí tuệ vận động theo cả chiều thuận và nghịch

tư duy trong sự vận động

là một dạng thức đối lôgic phức hợp của những hoạt động và những thao tác. Đó là
những đặc tính quan trọng của tƣ duy, có vai trò quan trọng trong hoạt động nhận thức
và có thể bồi dƣỡng đƣợc trên cơ sở thực hiện các hành động có chiều hƣớng ngƣợc
nhau. Vì vậy, trong dạy học GV cần quan tâm tập luyện cho HS các hoạt động tư duy,
cách suy nghĩ ngược nhau nhưng hỗ trợ lẫn nhau và vận dụng linh hoạt mối liên hệ,
quan hệ đó nhằm nâng cao hiệu quả dạy học.
1.3.2.3. Căn cứ vào nghĩa của các từ và cụm từ “thuận nghịch” trong tiếng Việt
Trong Từ điển tiếng Việt, chƣa thấy sự giải thích về nghĩa của cụm từ tƣ duy
thuận nghịch. Tuy nhiên, sự xuất hiện của mỗi từ hoặc cụm từ ít nhiều đều có cái lí của
nó. Trong quan hệ đặt tên cho các đối tƣợng có ba khái niệm khác nhau tham gia vào
đó là: “tên gọi”, “ý nghĩa của tên gọi”, “ý đồ của tên gọi” [13]. Ngƣời ta nói rằng: Tên