Đề thi thử THPT quốc gia năm 2015 môn toán đề số 25

SỞ GD-ĐT THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ QUÝ ĐÔN

KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG
THI THPT QUỐC GIA
Năm học 2014 – 2015

Môn thi: TOÁN HỌC
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm 01 trang)
4
Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số y  x  8 x 2  4 .
a. Khảo sát và vẽ đồ thị C  của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của C  , biết hoành độ của tiếp điểm là nghiệm của phương
trình y '' x   13.
Câu 2. (1,0 điểm)


a. Giải phương trình 1  sin x cos x  2 sin x  cos 2


x 
.
2 

b. Cho số phức z  3  2i . Xác định phần thực và phần ảo của w  iz  z.
Câu 3. (0,5 điểm) Giải bất phương trình 6log 21 x  5log 3 x  4  0.
3

Câu 4. (1,0 điểm) Giải bất phương trình

x

x 4  2 x 3  2 x 1
 x   .
x3  2 x2  2 x

2 x2  4x 1
dx .
Câu 5. (1,0 điểm) Tính tích phân I  
2x 1
0
Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình thang cân với hai đáy là BC và AD .
Biết SB  a 2 , AD  2a, AB  BC  CD  a và hình chiếu vuông góc của điểm S xuống mặt
phẳng  ABCD  trùng với trung điểm cạnh AD. Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD và
khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD .
4

Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn T  :  x  2   y  2  4 và đường
thẳng  : 3 x  y 10  0. Viết phương trình đường tròn C  biết tâm I của C  có hoành độ âm
2

2

và nằm trên đường thẳng d : x  y  0, C  tiếp xúc với  và cắt T  tại A, B sao cho AB  2 2 .
Câu 8. (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz , cho điểm I 1;2; 2 và mặt phẳng  P có phương trình

 P : 2 x  2 y  z  5  0 . Hãy viết phương trình mặt cầu  S  có tâm I sao cho giao tuyến của mặt
cầu  S  và mặt phẳng  P  là một đường tròn có chu vi bằng 8.
Câu 9. (0,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A2,0, B 2, 2, C 4, 2, D 4,0 .

Xét các điểm có tọa độ  x; y  với x, y là các số nguyên, nằm trong hình chữ nhật ABCD (kể cả các
điểm nằm trên các cạnh). Trong các điểm đó, chọn ngẫu nhiên một điểm. Tính xác suất để điểm
được chọn có tọa độ  x; y  thỏa x  y  2.
Câu 10. (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ac  b 2  2bc. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2a 2  b 2
2b 2  c 2
biểu thức P 

.
a 2b 2  ab 3  4b 4
b 2c 2  bc 3  4c 4
---Hết---


ĐÁP ÁN TOÁN THPT 2014-2015
Câu Ý
Nội dung
1
a Học sinh khảo sát và vẽ đúng đồ thị hàm số
b
1
y ' x  4 x 3  16 x; y '' x  12 x 2  16  13  x  
2
1
15
93
x   phương trình tiếp tuyến: y  x 
2
2
16

1
15
93
x    phương trình tiếp tuyến: y   x  .
2
2
16
2
a Biến đổi phương trình như sau
1  sin x cos x  2sin x  cos x  1  21 sin x  cos x 1 sin x  0

Điểm
1,0
0,5
0,25
0,25

0,25

 1 sin xcos x  2  0
Vì cos x  1 nên phương trình có nghiệm x 
b
3

w  i 3  2i   3  2i   1  i
 Re w  1, Im w  1.


 k 2 .
2

0,25

ĐK: x  0. Biến đổi bất phương trình 6log x  10log3 x  4  0 *
2
3

Đặt t  log 3 x  * : 6t 2  10t  4  0  2  t 

4

1
3

0,25
0,25
0,25

1

Suy ra tập nghiệm bất phương trình S   ; 3 3  .
 9

Điều kiện x  0. Biến đổi bất phương trình

 x    x 1 *
 x  1 x 1
x



2
2
x  1  x 1  1
x  x 1  1
3

3

3

t3
t 4  3t 2
Đặt f t   2
 0, t  
t    , ta có f 't   2
2
t 1
t  1
Hơn nữa f t  liên tục trên  , nên đồng biến trên 
 3 5 
.
Vậy * : f x  f  x 1  x  x 1  x 0;

2 
t 2 1
 dx  tdt
Đặt t  2 x  1  x 
2
3
3

t4
 t 5 t 3 t 
1 
478
2


.
I     t   dt     
2
2
15
10 3 2 
1 

 

5

0,25

0,25

0,5

0,25
0,5
0,5

1

6

Gọi M là trung điểm AD , theo giả thiết SM   ABCD .
Tứ giác MBCD là hình bình hành nên MB  a, do đó SM  a.
Ta có MC  a nên tam giác MBC đều, do đó
3 3a 2
1
3a 3
.
dt  ABCD   3dt  MBC  
 V  .SM .dt  ABCD  
4
3
4
Gọi K là trung điểm BC , H là hình chiếu của M lên SK .
Do SC  SB  a 2 nên tam giác SBC cân tại S , do đó
 BC  MK
 BC  MH


 BC   SMK   
 MH   SBC 



 BC  SK
SK  MH

0,25

0,25

0,25



www.VNMATH.com
Chú ý. Học sinh có thể sử dụng tọa độ để giải bài toán 6 như sau
 a 3 a 
  
Chọn hệ trục tọa độ M ; MK , MD, MS khi đó C 
; ;0 , D 0; a;0, S 0;0; a ,
 2 2 
  a 3 a  

1    a 3 3
.
; ;0 , MD  0; a;0, MS  0;0; a   V  3VS .MCD   MC , MD  MS 
MC  

 2 2 
2
4
 a 3 a  

  a 3 a
-Ta có A0; a;0, B 
;  ;0  AD  0;2a;0, SB  
;  ; a
 2

2 
2
 2

  
 AD, SB  .MS

a 21

Vậy d  AD, SB     

.
 AD, SB
7





