bài tập toán lớp 10 học kì 2

ĐẠI SỐ.
A/LÝ THUYẾT CẦN NẮM VỮNG:
Nhị thức bậc nhất: f ( x ) = ax + b ( a ≠ 0 ) .
PHẢI CÙNG”

I.

x

−∞

ax+b

Trái dấu với a
với a

−

Xét dấu theo qui tắc: “TRÁI TRÁI –

b
a

+∞

0

Cùng dấu

Tam thức bậc hai: f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) , ∆ = b2 − 4ac

II.

Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với a.
Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với a trừ x =

−b
2a

Nếu ∆ > 0 thì dấu của f(x) theo qui tắc : “TRONG TRÁI – NGOÀI CÙNG”
−∞

x

x1

Cùng dấu a

ax 2 + bx + c

+∞

x2

0

Trái dấu a

0

Cùng dấu a

B/CÁC DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP:
DẠNG 1: BPT CHỨA ẨN Ở MẪU. CÁCH GIẢI 5 Bước: Chuyển vế , Qui đồng, Tìm nghiệm,
Xét dấu, Ghi tập nghiệm.
VD: Giải các BPT sau:
x 2 − 3x + 2
a) 1 − 2 x ≥ 0

x−6 x+7
≤
d) x + 2 x − 2

−x + 6
c) 3x − 6 > 2 x − 1

1
3
b) 2 x − 1 > 4 − 3 x ( *)

GIẢI
x =1
x = 2
1
1− 2x = 0 ⇔ x =
2

b) bpt ( *) ⇔

2
a) Tìm nghiệm: x − 3x + 2 = 0 ⇔ 

4 − 3x − 6 x + 3
−9 x + 7
⇔
>0
2
8 x − 6 x − 4 + 3x
−6 x 2 + 11x − 4
7
Tìm nghiệm: −9 x + 7 = 0 ⇔ x =
9
1

x=

2
−6 x 2 + 11x − 4 = 0 ⇔ 
x = 4

3
⇔

Bảng xét dấu:
x

1
2

−∞

x 2 − 3x + 2

+

1 − 2x

+

1
+ 0

0

-

1( 4 − 3 x ) − 3 ( 2 x − 1)
1
3
−
>0⇔
>0
2 x − 1 4 − 3x
( 2 x − 1) ( 4 − 3x )

2

+∞

- 0

+
-

Bảng xét dấu:

VT

+

-

0

x

+ 0 -

-9x + 7
ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ 10

1

1
2

−∞

+

7

9

+

0

4
3

-

+∞
-

THPT HUỲNH VĂN SÂM


1 
Vậy tập nghiệm S =  ;1 ∪ [ 2; +∞ )
2 

−6 x 2 + 11x − 4

VT

-

0

+

+
+ 0 -

0

+


 

Vậy tập nghiệm : S =  ; ÷∪  ; +∞ ÷
2 9 3

1 7

x+6
x+6
> 2x + 1 ⇔
− (2 x + 1) > 0
−3 x + 6
−3 x + 6
x + 6 − ( 2 x + 1) ( −3x + 6 )
⇔
>0
−3 x + 6
x + 6 + 6 x 2 − 12 x + 3 x − 6
⇔
>0
−3 x + 6
6 x2 − 8x

⇔
>0
−3 x + 6
x = 0
2
Tìm nghiệm: 6 x − 8 x = 0 ⇔  4
x=
3

−3 x + 6 = 0 ⇔ x = 2

c)

Bảng xét dấu:
x

−∞

4
3

0

6 x − 8x

+ 0

- 0

−3 x + 6

+
+

+

2

VT

0

+

x−6 x+7
x−6 x+7
≤
⇔
−
≤0
x+2 x−2
x+2 x−2
( x − 6) ( x − 2) − ( x + 7 ) ( x + 2) ≤ 0
⇔
( x + 2) ( x − 2)
d)

x 2 − 2 x − 6 x + 12 − x 2 − 2 x − 7 x − 14
−17 x − 2
⇔

≤0 ⇔ 2
≤0
2
x − 2x + 2x − 4
x −4
2
Tìm nghiệm: −17 x − 2 = 0 ⇔ x = −
17
x
=
2

x2 − 4 = 0 ⇔ 
 x = −2

Bảng xét dấu:
x
−∞

+∞

2

−17 x − 2

x −4

+

+

VT



x −1
≥ x−2
3 − 2x
2 x − 2 3x + 1
>
x2 − 4 x + 2

e)

+∞

2
-

+

0

-

*BÀI TẬP: Giải các bất phương trình sau:

d)

0

+

+



4

2
17

+ 0

0

Vậy tập nghiệm : S =  −2; −



Vậy tập nghiệm : S = ( −∞;0 ) ∪  ; 2 ÷
3


−

-2
+
+

2

+ 0 0
-

-

4

x + 3 2x −1
+
>2
2x −1 x + 3

a)

5
3
>
2x + 1 3 − 2x

b)

-

2
∪ ( 2; +∞ )
17 

x+3

x −1
≥
−2 x + 6 2 − x

−3

4

f) x + 2 2 < x + 2
(
)

c)

g)

x2 − 4x + 3
< 1− x
3 − 2x

A < B
DẠNG 2: A < B ⇔ 
 A > −B

ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ 10

Giải từng BPT rồi lấy giao các tập nghiệm.

2

THPT HUỲNH VĂN SÂM


VD: Giải các bất phương trình sau: a) 1 − 3 x < 5
3x + 4 < 4 − 5x

b) −3 x + 4 < 4 − 2 x

c)

2

a) 1 + 3x < 5

2
c) 3 x + 4 < 4 − 5 x

b) −3 x + 4 < 4 − 2 x

−3 x + 4 < 4 − 2 x
−3 x + 4 > −4 + 2 x
− x < 0
⇔
−5 x + 8 > 0
4

x >
4 
 x ∈ ( 0; +∞ )
⇔

3 ⇔ x ∈ ; 2÷

 0; 8 
3 
 x < 2
⇔
⇔
x
∈

÷
8


5


x
∈
−∞
;
÷
 
KL: Tập nghiệm :
5
 
4 
KL: Tập nghiệm:
S =  ;2÷
3 

 8
S =  0; ÷
 5
*BÀI TẬP: Giải các BPT sau:
1 + 3 x > 5
⇔
1 + 3 x < −5
3x − 4 > 0
⇔
3x − 6 < 0

⇔

3 x + 4 < 4 − 5 x 2
⇔
2
3 x + 4 > −4 + 5 x
5 x 2 + 3 x < 0
⇔
2
−5 x + 3 x + 8 > 0
x ∈  − 3 ; 0 

÷

  5 
 3 
⇔ x ∈  − ;0 ÷
⇔
 5 

 x ∈  −1; 8 ÷

  5

Vậy tập nghiệm: S =  − 3 ; 0 

÷
 5 

2
2
2
a) 1 − 4 x < 5 + 2 x b) 2 x − 1 < 2 x + x − 1 c) 4 x − 3 < 2 x − 3 d) x + 1 > − x + 2 x + 3
2
e) 3 x − − x + 5 x + 3 > −3

A > B
DẠNG 3: A > B ⇔ 
 A < −B

2
f) x − 6 x + 5 < x + 5

Giải từng BPT rồi lấy hợp các tập nghiệm.

VD: Giải các BPT sau: a) −3 x − 4 − 2 > 0(*)
a) (*) ⇔ −3 x − 4 > 2
 −3 x − 4 > 2
⇔
 −3 x − 4 < −2

 x < −2
 −3 x − 6 > 0
⇔
⇔
x > − 2
−
3
x
−
2
<
0

3

 2

x ∈ ( −∞; −2 ) ∪  − ; +∞ ÷
 3


Vậy tập nghiệm :
 2

S = ( −∞; −2 ) ∪  − ; +∞ ÷
 3


b) 1 − 4 x ≥ 2 x + 1(*)

1 − 4 x ≥ 2 x + 1
b) (*) ⇔ 
1 − 4 x ≥ −2 x − 1
 −6 x ≥ 0
⇔
 −2 x + 2 ≥ 0
x ≤ 0
⇔
⇔ x ∈ ( −∞;1]
x ≤ 1
Vậy tập nghiệm :
S = ( −∞;1]

2
c) x − 4 > x + 2(*)

 x2 − 4 > x + 2
c) (*) ⇔  2
 x − 4 < −x − 2
 x2 − x − 6 > 0
⇔ 2
x + x − 2 < 0
 x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 3; +∞ )
⇔
 x ∈ ( −2;1)
Vậy tập nghiệm:
S = ( −∞; −2 ) ∪ (−2;1) ∪ ( 3; +∞ )

BÀI TẬP

Giải các bất phương trình sau:
a ) x 2 − 4 > x + 2 b) 1 − 4 x ≥ 2 x + 1

c)2 x + 3 − x − 6 > 0

d ) x2 + 3x + 2 − 2 x + x2 > 0

ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ 10

3

THPT HUỲNH VĂN SÂM


DẠNG 4: A > B ⇔ A − B A + B > 0
(
)(
)
VD: Giải các BPT sau:

Hoặc A < B ⇔ A − B A + B < 0
(
)(
)

a) 2 x − 1 ≥ 3 + 4 x (*)

a) Bpt(*) ⇔ ( 2 x − 1 + 3 + 4 x ) ( 2 x − 1 − 3 − 4 x ) ≥ 0
2
⇔ ( 6 x + 2 ) ( −2 x − 4 ) ≥ 0x ⇔

 = −2−12 x − 28 x − 8 ≥ 0
Cho − 12 x − 28 x − 8 = 0 ⇔ 
1
x = −

3
2

Bảng xét dấu:

−∞

x

−

-2
+∞

-

−12 x − 28 x − 8
2

0

+

1
3

b) x 2 − 5 x + 4 − x 2 + x > 0

2
2
b)Bpt2 ⇔ x − 5 x + 42 > x + x − 102

⇔ ( x − 5 x + 4) −2 ( x + x − 10)   x − 5 x + 4 + x 2 + x − 10  > 0
⇔ ( −6 x + 14 ) ( 2 x − 4 x − 6 ) > 0
7
Cho: −6 x + 14 = 0 ⇔ x =
3
x
=
−
1

2 x2 − 4x − 6 = 0 ⇔ 
x = 3

Bảng xét dấu:
x
-∞

0

-

7
3

-1

-6x +14

+

2 x2 − 4x − 6

+

0

-

VT

+

0

-

Vậy tập nghiệm:
1

S =  −2; − 
3


+

+∞

3

0

-

-

- 0
0

+

+

0

-



Vậy tập nghiệm : S = ( −∞; −1) ∪  ;3 ÷
3
7





C/PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:
LÝ THUYẾT CẦN NẮM VỮNG:
b
a

Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0 có tổng S = − và tích P =

c
a

a ≠ 0
a ≠ 0
b) Phương trình có nghiệm kép ⇔ 
∆ > 0
∆ = 0

a)Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 

c) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0
a ≠ 0
∆ ≥ 0

a ≠ 0
∆ < 0

d) Phương trình có nghiệm ⇔ 

e) Phương trình vô nghiệm ⇔ 

(Nếu a có tham số m thì Xét TH a = 0)

(Nếu a có tham số m Xét TH a = 0)

∆ > 0

f) Phương trình có 2 nghiệmdương phân biệt ⇔  P > 0
S > 0


ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ 10

4

THPT HUỲNH VĂN SÂM


∆ ≥ 0

g) Phương trình có 2 nghiệm âm ⇔  P > 0
S < 0


VD1: Cho pt: x 2 − 2mx + 3m − 2 = 0 Tìm m để pt trên:
a) Có 2 nghiệm phân biệt.
b) Có 2 nghiệm dương phân biệt.
c) Có 2 nghiệm trái dấu.
GIẢI

a = 1; b = -2m; c = 3m - 2

b)Pt có 2 nghiệm dương phân biệt

∆ = b − 4ac


∆ > 0
m 2 − 3m + 2 > 0
∆ > 0



c
⇔  P > 0 ⇔  > 0 ⇔ 3m + 2 > 0
S > 0
a
 2m > 0


 b
− a > 0
m ∈ ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ )


 2

⇔ m ∈  − ; +∞ ÷
 3



m ∈ ( 0; +∞ )


2

= ( −2m ) − 4.1(3m − 2)
2

= 4m2 − 12m + 8

a) Pt có 2 nghiệm phân biệt
a ≠ 0
⇔ '
∆ > 0
1 ≠ 0
⇔ 2
m − 3m + 2 > 0

⇔ m ∈ ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ )

Vậy m ∈ ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) thì
phương trình có 2 nghiệm
phân biệt

c) Pt có 2 nghiệm trái dấu

⇔ a.c < 0
⇔ 3m − 2 < 0
2


⇔ m ∈  −∞; ÷
3

2

Vậy m ∈  −∞; ÷ thì phương
3


trình có 2 nghiệm trái dấu.

⇔ m ∈ ( 0;1) ∪ ( 2; +∞ )

Vậy m ∈ ( 0;1) ∪ ( 2; +∞ ) thì phương
trình có 2 nghiệm dương phân biệt

VD2: Cho pt: ( m − 1) x − 2 ( m + 1) x + 2m + 5 = 0 .Tìm m để pt:
a) Có nghiệm.
b) Có 2 nghiệm đều âm.
GIẢI
2

a = m-1; b = -2(m+1) = – 2m – 2; c = 2m + 5
∆ = b − 4ac = ( −2m − 2 ) − 4 ( m − 1) ( 2m + 5 )
2

2

= (−2m) 2 − 2(−2m).2 + 22 − 8m 2 − 20m + 8m + 20

= 4m 2 + 8m + 4 − 8m 2 − 20m + 8m + 20
= −4m 2 − 4m + 24
m − 1 ≠ 0
a ≠ 0
⇔
a)Pt có nghiệm ⇔ 
2
∆ ≥ 0
−4m − 4m + 24 ≥ 0
m ≠ 1
⇔
⇔ m ∈ [ −3;1) ∪ ( 1; 2]
m ∈ [ −3; 2]
*Nếu a = 0 ⇔ m − 1 = 0 ⇔ m = 1 thì pt trở thành:
7
−4 x + 7 = 0 ⇔ x =
4

vì phương trình có nghiệm nên nhận m = 1
ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ 10

5


−4m 2 − 4m + 24
∆ ≥ 0


c
⇔

P
>
0
⇔
b)Pt có 2 nghiệm âm 
 >0
S < 0
a

 b
− a < 0

m ∈ [ −3; 2]
−4m 2 − 4m + 24 ≥ 0


5
 2m + 5


⇔
>0
⇔ m ∈  −∞; − ÷∪ ( 1; +∞ )
2

 m −1

 2m + 2
m ∈ ( −1;1)


 m − 1 < 0
⇔ m ∈∅

Vậy không có m nào để phương trình có 2
THPT HUỲNH VĂN SÂM


Vậy: m ∈ [ −3;1] thì phương trình có nghiệm

nghiệm âm

BÀI TẬP
1. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu:
2
2
2
a. ( m − 3) x − 2mx + m + 2 = 0 b. ( m − 2 ) x − 2mx + m + 2 = 0 c. mx − 2 ( m − 1) x + m − 2 = 0
2
2
d. ( m − 1) x − 2 ( m − 1) x + 3m − 3 = 0 e. ( m + 1) x − 2mx − m + 3 = 0
2. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
2
2
2
a. ( m − 2 ) x + 2mx + m + 2 = 0 b. ( m + 4 ) x − 2mx + m + 1 = 0 c. mx − 2 ( m − 2 ) x + m − 3 = 0
2
2
d. ( m − 1) x − 2 ( m − 2 ) x + 3m − 4 = 0
e. ( m + 1) x − 2 ( m − 3) x − m + 3 = 0
3. Tìm m để phương trình có kép. Tính nghiệm kép

2
2
2
a. ( m − 2 ) x + 2mx + m + 2 = 0 b. ( m + 4 ) x − 2mx + m + 1 = 0 c. mx − 2 ( m − 2 ) x + m − 3 = 0
2
2
d. ( m − 1) x − 2 ( m − 2 ) x + 3m − 4 = 0 e. ( m + 1) x − 2 ( m − 3) x − m + 3 = 0
4. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt:
2
2
2
a. ( m − 3) x − 2mx + m + 2 = 0 b. ( m − 2 ) x − 2mx + m + 2 = 0 c. mx − 2 ( m − 1) x + m − 2 = 0

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:

Cho tam thức: f ( x) = ax 2 + bx + c
a > 0

a > 0





a) f (x) > 0 có nghiệm đúng với mọi x ⇔ ∆ < 0 b) f (x) ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x ⇔ ∆ ≤ 0
(Nếu a có tham số m thì Xét TH a = 0)
0)

(Nếu a có tham số m thì Xét TH a =
a < 0

∆ < 0

c) f (x) < 0 có nghiệm đúng với mọi x ⇔ 
(Nếu a có tham số m thì Xét TH a = 0)
= 0)

a < 0
∆ ≤ 0

d) f (x) ≤ 0 có nghiệm đúng với mọix ⇔ 

(Nếu a có tham số m thì Xét TH a

VD: Tìm m để BPT sau :
a) mx 2 − 2mx + 5 > 0 có nghiệm đúng với mọi x
ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ 10

6

b) mx 2 + 4 x + m ≤ 0 vô nghiệm.
THPT HUỲNH VĂN SÂM


a)Đặt f (x) = mx 2 − 2mx + 5

c) Đặt f (x) = mx 2 + 4 x + m .

∆ = b 2 − 4ac = ( −2m ) − 4.m.5 = 4m 2 − 20m

Khi đó

mọi x

2

*NẾU a = 0 ⇔ m = 0 : f (x) = 5 > 0 luôn đúng
với mọi x . Do đó nhận m = 0
a > 0
*NẾU a ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 : f (x) > 0∀x ∈ R ⇔ 
∆ < 0
m ∈ ( 0; +∞ )
m > 0
⇔ 2
⇔
⇔ m ∈ ( 0;5 )
4
m
−
20
m
<
0
m
∈
0;5
(
)



Vậy m ∈ ( 0;5] thì bất phương trình có

nghiệm

f ( x) ≤ 0

vô nghiệm

⇔ f ( x) > 0 luôn

đúng với

∆ = b 2 − 4ac = 42 − 4m.m = 16 − 16m 2

*NẾU a = 0 ⇔ m = 0 : f (x) = 4 x > 0 ⇔ x > 0 .
Vì f ( x) > 0 không đúng với mọi x Nên không nhận
m=0
a > 0
∆ < 0

*NẾU a ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 : f (x) > 0 ⇔ ∀x ∈ R ⇔ 

m > 0
m > 0
⇔
Ñ
⇔
⇔ m ∈ [ 2; +∞ )

2
m
∈

−∞
;
−
2
∪
2;
+∞
16
−
16
m
<
0
(
)
]
[




Vậy m ∈ [ 2; +∞ ) thì bất phương trình vô nghiệm.
*BÀI TẬP:
1/Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x:
a) x 2 − mx + m + 3 ≥ 0

2
c) ( m + 1) x − 2 ( m − 1) x + 3m − 3 ≥ 0

b) mx 2 − mx − 5 < 0

2
2
2
d) ( m + 2 ) x + ( m + 2 ) x − 4 < 0 e) ( m − 3) x + 2 ( m − 3) x − 4 ≥ 0 f) ( m + 1) x − 2 ( m + 1) x + 4m ≤ 0

2/Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:
2
a. ( m − 1) x − 2 ( m + 1) x + 3m − 6 > 0

b. ( m − 4 ) x − ( m − 6 ) x + m − 5 ≤ 0 c.
2
d. ( m + 2 ) x − 2 ( m + 2 ) x − 3m > 0
2

( m + 3) x 2 − 2 ( m + 3) x + m + 2 ≤ 0

2
e. ( m − 1) x + ( m + 1) x + 3m − 2 > 0

2
f. ( m − 2 ) x − 2 ( 2m − 3) x + 5m − 6 > 0

CHƯƠNG V: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC.
1/Công thức cơ bản:

2/Công thức cộng:

3/Công thức nhân đôi :

2
2
* sin x + cos x = 1

sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b

sin 2 x = 2sin x.cos x

cos(a ± b) = cos a cos b msin a sin b

cos2 x = cos 2 x − sin 2 x

tan x =

sin x
cos x

* tan x.cot x = 1

ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ 10

cot x =

cos x
sin x

tan(a ± b) =

7

t ana ± tan b
1 mt ana.tan b

= 2cos 2 x − 1
= 1 − 2sin 2 x
THPT HUỲNH VĂN SÂM


1
= 1 + tan 2 x
cos 2 x
1
= 1 + cot 2 x
sin 2 x

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
DẠNG 1: Tính các giá trị lượng giác còn lại khi biết một giá trị lượng giác
VD 1: Cho sin x =

1
π
và 0 < x < .
3
2

VD 2: Cho tan x = − 2 và

π
< x <π .
2

Tính các giá trị lượng giác còn lại.
Giải:

Tính các giá trị lượng giác còn lại.
Giải:

Vì 0 < x <

Vì

π
nên cosx > 0; tanx > 0; cot x >0
2
2
2
*Ta có: sin x + cos x = 1

2 2
(n)
cos x =
8
3
2
2
⇒ cos x = 1 − sin x = ⇒ 

9
2 2
(l)

cos x = −
3

sin x
1
* tan x = cos x =
2 2
cos x
=2 2
* cot x =
sin x

π
< x < π nên cosx < 0; sin x > 0; cot x < 0
2
1
1
*Ta có: tan x.cot x = 1 ⇒ cot x = tan x =
2
1
= 1 + tan 2 x
2
cos
x
*
⇒

1
1
= 3 ⇒ cos 2 x =

2
cos x
3


1
3
=
(l)
cos x =
3
3
⇒

1
3
= −
(n)
cos x = −
3
3

sin x
6
⇒ sin x = tan x.cosx =
* tan x =
cosx
3

Bài tập:

1/ Tính các giá trị lượng giác còn lại biết:
2
π
và 0 < x < .
3
2
π
c) tan x = 2 và 0 < x <
2

3
3π
và π < x < .
5
2
3π
< x < 2π
d) cotx = − 5 và
2

a) sin x =

b) cosx = −

2/ Tính các giá trị lượng giác của cung a biết:

3π
π
b) sin a = − 2cos a và − < a < 0
2

2
π
π
c) tan a = 4cot a và 0 < a <
d) cot a = 8tan a và < a < π
2
2
3
π
3/ Cho cosx = và 0 < x < . Tính sin 2x , cos2x , tan 2x , cot 2x .
5
2
4
π
4/ Cho sin α = − và − < α < 0 . Tính các giá trị lương giác của cung 2α
5
2

a) cosa = 3sin a và π < a <

DẠNG 2: Tính giá trị biểu thức:
3
5

1
2

VD1: Cho sin α = . Tính giá trị biểu thức

VD2: Cho tan x = . Tính giá trị biểu thức

sau:

sau:

ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ 10

8

THPT HUỲNH VĂN SÂM


a) A = 2 sin 2 x − cos 2 x + s inx b) B = (c osx+

1
) cotx
cosx

a) A =

GIẢI

2sin x + 3cos x
sin 2 x − 3
b) B =
4sin x − cosx
2sin 2 x − cos 2 x

GIẢI

17
2
2
a) A = 2 sin x − ( 1 − sin x ) + s inx = 3sin 2 x + s inx-1=

25

1
.cotx
b) B = c osx.cotx +
cosx
cosx
1 cosx
= c osx.
+
.
s inx cosx s inx

a)Chia tử và mẫu cho cos x được:
2 tan x + 3 4
= =4
4 tan x − 1 1
2 sin x.cosx − 3
b) B =
2sin 2 x − cos 2 x
A=

Chia tử và mẫu cho cos2 x được:

cos 2 x

1
1 − sin 2 x
1
41
=
+
=
+
=
s inx s inx
s inx
s inx 15

2sin x.cosx
3
−
2
2
cos x
cos 2 x 2 tan x − 3 ( 1 + tan x )
B=
2sin 2 x cos 2 x =
2 tan 2 x − 1
−
2
2
cos x cos x
2 tan x − 3 − 3 tan 2 x 11
=
=

2 tan 2 x − 1
2

BÀI TÂP
1/ Cho tanx = 3 . Tính giá trị biểu thức sau:
a) A =

3sin x − 5cos x
2sin x + cosx

3sin 2 x + 2 sin 2 x + 2
b) B =
sin x.cosx − 2

3
1− 2
sin 3 x − sin x
c) C =
d) D = sin x
sin x − cosx
cotx

2/ Cho cotx = 5 . Tính giá trị biểu thức sau:
a) A =

4sin x − 5cos x
5sin x + cosx

2sin 2 x + 3sin 2 x − 2
b) B =

sin x.cosx − 4

3
1− 2
sin 3 x − sin x
c) C =
d) D = sin x
sin x − cosx
cotx

π
1
π

0
0
và 0 < α < .Tính cos ( α − 30 ) , sin  α + ÷, tan ( 45 − α )
3
2
2


3
π
π

0
0
4/Cho cosa = − và < a < π .Tính cos ( a + 30 ) , sin ( 60 − a ) , tan  + a ÷
5

2
4

π
π

0
0
5/Cho tanx = 2 và 0 < x < .Tính cos ( x − 45 ) , sin  + x ÷, tan ( 60 + x )
2
6

π
π

0
0
6/ Cho cotβ = −3 và < β < π .Tính cos ( β − 45 ) , sin  + β ÷, tan ( 60 + β )
6
2


7π
5π
0
7/ Không dùng máy tính hãy tính: sin 4050 , cos3950 , tan7500 , sin , cos , cos2250 , cot ( -15 )
12
4

3/Cho sin α =

DẠNG 4: Chứng minh đẳng thức:
ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ 10

9

THPT HUỲNH VĂN SÂM


VD1: Chứng minh đẳng thức sau:
a) sin 4 x − cos 4 x = 1 − 2 cos 2 x

VD2: Chứng minh đẳng thức sau:
a)

cos x
1
+ tanx =
b)
1 + s inx
cos x

sin 2 x − sinx

= cot x

b)

cot x − cos x = cot x.cos x
2

2

2

2

Giải

Giải
2
2
a) VT = ( sin 2 x ) − ( cos 2 x )

1 − cos x + 2cos 2 x-1
2cos 2 x − cos x
=
2sinx .c osx − sinx
2sinx .c osx − sinx
cos x ( 2cosx − 1) cos x
=
=
= cot x = VP (dpcm)
sinx ( 2 c osx − 1)
sinx

a) VT =

= ( sin 2 x − cos 2 x ) ( sin 2 x + cos 2 x )

= 1 − 2cos 2 x = VP (dpcm)
cos x
sin x cos x.cosx + sin x. ( 1 + s inx )
=
+
b) VT =
( 1 + s inx ) .cosx
1 + s inx cosx
1 + sin x
cos 2 x + sin x + s in 2 x
=
=
( 1 + s inx ) .cosx
( 1 + s inx ) .cosx

= 1 − co s 2 x − cos 2 x

=

1 − cos x + cos2x

b)

1
= VP (ĐPCM)
cosx

cos 2 x − cos 2 x.sin 2 x
sin 2 x
sin 2 x

cos 2 x ( 1 − .sin 2 x )
cos 2 x.cos 2 x
=
=
=
sin 2 x
sin 2 x
2
2
= cot x.cos x =VP (ĐPCM)
2

VT =

cos x

− cos x =
2

BÀI TẬP
1/ Chứng minh đẳng thức sau:
a) ( cot x + tanx )

2

− ( cot x − tanx ) = 4
2

d) sin 6 x + cos 6 x = 1 − 3sin 2 x cos 2 x
g)

1 + sin 2 x
= 1 + 2 tan 2 x
1 − s in 2 x

2/ Bài tập công thức cộng:
a) A = cos480 .sin120 + sin 480.c os120
c) C = co s 230 cos530 +sin230 sin 530.
e) E =

1 + tan 4 x
= tan 2 x
b)
2
2
tan x + cot x
s inx
1 + cosx
2
+
=
e)
1 + cosx
s inx
s inx

h) ( 1 − cosx ) ( 1 + cot 2 x ) =

1 + tan x + tan 2 x
= tan 2 x

c)
2
1 + cot x + cot x

f) cot 2 x − cos 2 x = cot 2 x.cos 2 x

1
1 + cosx

b) B = sin 270 cos57 0 − c os27 0 sin 57 0.
d) D = co s120 cos180 -sin120 sin180.

tan180 + tan120.
1-tan180 tan120

f) F =

1 + tan150.
1- tan150

3/Rút gọn biểu thức:

9π 
 5π

− x÷
÷+ cot ( 12π − x ) + tan 
2 

 2


7π 

 3π

 3π

b) B = co s ( 15π − x ) +sin  x − ÷− tan  + x ÷.co t  − x ÷
2 

 2

 2

5π 
7π 

 9π


c) C = sin ( 7π + x ) + cos  x − ÷− cot ( 3π − x ) + tan  − x ÷+ 2 tan  x − ÷
2 
2 

 2


0
0
0

0
0
0
d) D = tan1 .tan 2 . tan 3 .....tan 87 .tan 88 .tan 89 .

a) A = sin ( 13π + x ) − cos  x −

MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA
Đề KTTT-25 phút-Ngày 31/1/2013
Giải các bất phương trình sau:
2
4
1
x − 3x + 2
a)
2
2
b
)
x
−
2
x
−
3
3
−
2
x
≥

0
)
<
(
)(
c)
≥ 0 d)
−2 x + 3 x − 1 > 0
x +1

2−x

Đề KTTT-50 phút-Ngày 12/1/2012
Bài 1(6đ): Giải các bất phương trình sau:
2x + 5
x+6 x−7
c)4 − 3 x + 4 > 5 x 2
a)
≥1
b) 2
≤
2 − 3x
x −4 x−2
ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ 10

10

x −3

e) 2 x − 3 < x + 1

d ) x − 2 + 3x < 3 − x
THPT HUỲNH VĂN SÂM


mx 2 + (m + 1) x + 3 − 2 m = 0

Bài 2(3đ):Cho phương
Tìm m để phương trình trên:
a)có 2 nghiệm trái dấu.
b)có 2 nghiệm dương.
Bài 3(1đ):Cho phương

trình:

( m − 2 ) x 2 + (m− 1) x + m− 1 = 0

trình:

Tìm tất cả các giá trị m để phương trình trên luôn có nghiệm.
Đề KTTT-60 phút-Ngày 24/2/2011
1 
1

Bài 1(2đ): Cho 2 số dương a và b. Chứng minh:  a + ÷ b + ÷ ≥ 4
a 
b

Bài 2(5đ): Giải các bất phương trình và hệ bất phương trình sau:

a)

( 2 x + 3) ( 1 + x )
x −1

Bài 3(3đ):

≥0

b) − 3 x 2 + 4 x − 1 > 0

f (x) = x 2 − 2 mx + 9

x − 3 ≤ 0
c) 
− x + 1 < 0

9

x − 9 ≤ 0
d)  2

− x + 1 < 0

Cho

a)Tìm m để f(x) = 0 có nghiệm kép.
b)Tìm m để f(x) = 0 có nghiệm x = 1. Tính nghiệm còn lại.
Đề KTTT-60 phút-Ngày 28/2/2013
Bài 1(5đ): Giải các bất phương trình và hệ bất phương trình sau:

a)

( 3x + 2 ) ( 1 + x )
x −1

f (x) = mx 2 − 2 mx + 3


x − 2 ≤ 0
c) 

− x + 1 < 0

≥0

b) − 3 x 2 + 4 x − 1 > 0

9

x − 9 ≤ 0
d)  2

− x + 3 < 0

Bài 2(3đ): Cho
a)Tìm m để f(x) = 0 có nghiệm kép.
b)Tìm m để f(x) = 0 có 2 nghiệm trái dấu.
c)Tìm m để f(x) > 0 luôn đúng với mọi x.
Bài 3(2đ):Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm:

mx 2 − 2(m+ 1) x + m − 3 > 0

Đề KTTT-25 phút-Ngày 23/4/2011
Bài 1(3đ): Không dùng máy tính hãy tính:
sin150 ;c os750 ; tan1050
Bài 2(6đ): Tính các giá trị lượng giác còn lại, biết:
1
3π
π
a)
b)cosa = sin a va 0 < a <
cot x = 5 va π < x <
2
2
4
ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ 10

11

THPT HUỲNH VĂN SÂM


Bài 3(1đ): Rút gọn biểu thức sau:
A=

sin 2 x + s inx
1+cos2 x + cosx

Đề KTTT-60 phút-Ngày 6/4/2013

Bài 1(2đ): Không dùng máy tính hãy tính:

sin 750 ;c os7350 ;c os

3π
13π
;sin
4
12

Bài 2(3đ): Tính các giá trị lượng giác còn lại, biết:
1
3π
π
a)
b)cotb = −3 va − < b < 0
cosa = − va π < a <
3
2
2
0

o

o

Bài 3(3đ): a)Tính A = cos(30 -x). Biết rằng sinx = 1/2 và 0 < x < 90
b)Cho sin a =
Bài 4(2đ): Cho cot x =

5
π
và < a < π . Tính sin 2a , cos2a .
13
2

1
.Tính giá trị các biểu thức sau:
2

a) A =

2sin x − co s x
s inx + 3cosx

sin 2 x − 3co s 2 x
b) B =
2cos 2 x − sin 2 x

ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ 10

12

THPT HUỲNH VĂN SÂM