bài tập lớn lý thuyết đồ thị

GVHD:TS Trần Hành

Lý Thuyết Đồ Thị

BÀI TẬP LỚN LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ
PHẦN LÝ THUYẾT
Câu 1: Trình bày đầy đủ định nghĩa và các ví dụ về đường chu trình, chú
trọng đặc biệt về đường chu trình Euler và Hamilton?
- Định nghĩa đường đi: Cho V0 và Vn là hai đỉnh của đồ thị . Một đường đi
từ V0 đến Vn có chiều dài n là một dãy có (n+1) đỉnh và n cạnh bắt đầu từ đỉnh V 0
và kết thúc tại Vn.
( v0,e1,v1,e2,…,vn-1,en,vn )
ei nối vi-1 với vi. Có thể vi = vj (i#j)
+ Đường đi từ v0 đến vn có thể được định hướng nhất định được gọi là đường
định hướng.
+ Một đường đi từ v0 được gọi là sơ cấp nếu như vi # vj với ∀i # j.
+ Đường định hướng được gọi là định hướng sơ cấp nếu một đỉnh chỉ đi
qua một lần
- Định nghĩa chu trình :Chu trình (mạch) là đường có định hướng có độ dài
khác không và không đi qua một cạnh quá một lần.
+ Chu trình (mạch) được gọi là sơ cấp từ v0 đến vn không đi quá 1 lần
ngoại trừ v.
- Định nghĩa đường Euler : Một đường được gọi là đường Euler đi từ v đến w
nếu như đường đó chứa tất cả các đỉnh và các cạnh của đồ thị
- Định nghĩa chu trình Euler :Một chu trình được gọi là chu trình Euler là
một chu trình chứa tất cả các đỉnh của đồ thị
- Định lý 1:Đồ thị G có chu trình Euler nếu và chỉ nếu G có tất cả các bậc là
chẵn khác không.
- Định lý 2:Đồ thị G có đường Euler từ v đến w (v≠w) nếu và chỉ nếu G liên
thông và có đúng hai đỉnh bậc lẻ

SVTH: Trần Thị Thanh
Trang 1


GVHD:TS Trần Hành

Lý Thuyết Đồ Thị

- Định nghĩa chu trình Hamilton : Là một chu trình sơ cấp và chứa tất cả
các đỉnh của đồ thị
+ Đồ thị n đỉnh có chu trình Hamilton thì phải có n cạnh
* Lưu ý: Nếu đồ thị có chu trình Hamilton thì các đỉnh nằm trong chu trình
đó điều là bậc hai
- Đường Halminton : nếu ta hủy đi một cạnh trong chu trình Halmiton thì sẽ
nhận dược một đường Halmiton..

Ví dụ :
Cho quân mã đi trên bàn cờ vua sao cho nó đi qua mỗi ô đúng một lần (bài
toán mã đi tuần).
- Các Ví dụ về đường chu trình Euler và Hamilton:

Đồ

thị

không có chu trình

trên có chu trình Euler nhưng
Halminton.

Đồ thị trên vừa không có chu trình Euler vừa không có chu trình Halminton.

SVTH: Trần Thị Thanh
Trang 2


GVHD:TS Trần Hành

Lý Thuyết Đồ Thị

Đồ thị trên vừa có chu trình Euler vừa có chu trình Halminton.

Đồ thị này có chu trình Halminton nhưng không có chu trình Euler
- Định lý 3: Cho một đồ thị đầy đủ Kn với n lẻ và n ≥ 3 thì đồ thị G có
(n-1)/2 chu trình Hamilton từng đôi một không giao nhau
- Định lý 4: Cho G là một đồ thị đơn giản có đỉnh n lớn hơn bậc 3 nếu
δ(v) ≥ n/2 với mọi đỉnh v ∈ G thì G có chu trình Hamilton

SVTH: Trần Thị Thanh
Trang 3


GVHD:TS Trần Hành

Lý Thuyết Đồ Thị

Một số nhận xét:
1. Đồ thị có đỉnh có bậc ≤ 1 thì không có chu trình Hamilton.
2. Đồ thị có các đỉnh đều có bậc ≥ 2. Nếu có đỉnh nào có bậc bằng 2 thì mọi
chu trình Hamilton (nếu có) phải đi qua hai cạnh kề với đỉnh này.

3. Nếu trong đồ thị có đỉnh có ba đỉnh bậc 2 kề với nó thì đồ thị không có chu
trình Hamilton.
4. Nếu đỉnh a có hai đỉnh kề bậc 2 là b và c thì mọi cạnh (a, x), x ∉{b, c} sẽ
không thuộc bất kỳ chu trình Hamilton nào.
5. Đồ thị có đường đi vô hướng < a1 , a2 , ... , ak >. Với chỉ số k < n và các đỉnh
trên đường đi (trừ a1 và ak) đều có bậc 2 thì cạnh (a1, ak) sẽ không thuộc
bất kỳ chu trình Hamilton nào.
6. Đồ thị hai phần G = (V1,V2, F) với | V1 | ≠ | V2 | sẽ không có một chu trình
Hamilton nào

Câu 2 : Thế nào là ma trận liên kết, ma trận kề , ma trận tới của đồ thị và ngược
lại?
- Ma trận liên kết :
Cho đồ thị G có n đỉnh v 1 , v 2 ,…v n . Ma trận liên kết của G với thứ tự các đỉnh
1

v1, v 2 ,…v n là ma trận vuông nxn.
[mij]n X n ; mij là số cạnh nối vi với vj.
B

Ví dụ: Cho đồ thị G:

D

A

C
SVTH: Trần Thị Thanh
Trang 4

E


GVHD:TS Trần Hành

Lý Thuyết Đồ Thị

Từ đồ thị G có ma trận liên kết là
A

B

C

D

E

A

0

1

1

0

0

B

1

0

1

1

1

C

1

1

0

1

1

D

0

1

1

0

1

E

0

1

1

1

0

- Ma trận kề của đồ thị : cho G là đồ thị n đỉnh, không có cạnh song song.
Ma trận vuông cấp n. Anxn = [Aij] có n dòng n cột ứng với i, j.thì A ijđược xác định
như sau :
1 Nếu có cạnh giữa đỉnh i và đỉnh j
Aij=
0 Ngược lại

Ví dụ:
A
A

B

0

B

C

D

1

0

1

0

E
1

0

1

0

1

SVTH: Trần Thị Thanh
Trang 5

C

0

1

0

1

1

D

1

0

1

0

0

E

0

1

1

0

0


GVHD:TS Trần Hành

Lý Thuyết Đồ Thị

<*> Chú ý: Chỉ có đồ thị đơn giản nhìn vào ma trận kề ta tính được bậc các đỉnh.
Khi đồ thị có cạnh song song thì ta không tính được ma trận kề
Cho A là ma trận kề của đồ thị đơn giản thì phần tử hàng thứ i và cột thứ j của ma
trận An (tích của ma trận ) là số các đường đi có chiều dài n từ điểm i đến j
- Ma trận tới : cho G là đồ thị có n đỉnh v 1, v2, ..vn và có m cạnh e1,e2,e3 …em.
Ma trận An xm có n hàng ứng với n đỉnh , m cột ứng với m cạnh có giá trị như sau :
1 Nếu cạnh ei tới vj
Aij=
0 Ngược lại

Ví dụ:
V2

V1

E6

E2

V3
E4

E1

E5

E3
V5

V4

E1

E2

E3

E4

E5

E6

V1

1

1

0

0

0

0

V2

0

0

1

1

0

1

V3

0

0

0

0

1

1

V4

1

0

1

0

0

0

V5

0

1

0

1

1

0

SVTH: Trần Thị Thanh
Trang 6


GVHD:TS Trần Hành

Lý Thuyết Đồ Thị

- Tìm đường chu trình khi biết ma trận liên kết,ma trận kề,ma trận tới.
• Ma trận kề :

a

b

c

d

e

0

1

0

1

0

b 1

0

1

0

1

c 0

1

0

1 1

d 1

0

1

0 0

d

1

11 3

9 6

e 0

1

1

0 0

e

6

8 8

6 8

a
A=

a

b c

a

9

3 11 1 6

b

3

15 7 11 8

11

7 15 3 8

A 4= c

d e

[A4] de = 6 .
Vậy có 6 đường đi có độ dài 4 từ d → e.
(d,a,b,c,e) ; (d,a,d,c,e) ; (d,c,d,c,e) ;(d,c,b,c,e) ;(d,c,e,c,c,e) ;(d,a,b,a,d,c,e)
- Ma trận tới : Tìm đường đi ngắn nhất qua 2 đỉnh của một đồ thị có trọng số

- Tìm đường đi từ a đến f: a , b , c , f ; f không thuộc T
SVTH: Trần Thị Thanh
Trang 7

GVHD:TS Trần Hành

Lý Thuyết Đồ Thị

L(f) = 7

Câu 3 : Thế nào là đồ thị phẳng , cách nhận biết đồ thị phẳng?
- Định nghĩa:Đồ thị được gọi là đồ thị phẳng nếu ta có thể vẽ nó trên mặt
phẳng sao cho các cạnh của nó không cắt nhau ngoài ở đỉnh.
Ví dụ đồ thị K4 là phẳng, vì có thể vẽ nó trên mặt phẳng sao cho các cạnh của
nó không cắt nhau ngoài ở đỉnh

Một điều đáng lưu ý nếu đồ thị là phẳng thì luôn có thể vẽ nó trên mặt phẳng
với các cạnh nối là các đoạn thẳng không cắt nhau ngoài ở đỉnh
* Cách nhận biết đồ thị phẳng : Để nhận biết xem một đồ thị có phải là đồ
thị phẳng có thể sử dụng định lý Kuratovski : Ta gọi một phép chia cạnh (u,v) của
đồ thị là việc loại bỏ cạnh này khỏi đồ thị và thêm vào đồ thị một đỉnh mới w cùng
với hai cạnh (u,w), (w, u) . Hai đồ thị G(V,E) và H=(W,F) được gọi là đồng cấu
nếu chúng có thể thu được từ cùng một đồ thị nào đó nhờ phép chia cạnh.
- Định lý 2 (Kuratovski). Đồ thị là phẳng khi và chỉ khi nó không chứa đồ thị con
đồng cấu với K3,3 hoặc K5.

SVTH: Trần Thị Thanh
Trang 8


GVHD:TS Trần Hành

Lý Thuyết Đồ Thị

Ví dụ :

Câu 4 : Các hiểu biết về đồ thị đẳng cấu, cây tự do, cây có gốc và cây nhị
phân đẳng cấu?
1 . Đồ thị đẳng cấu :
Hai đồ thị G1 và G2 được gọi là đẳng cấu với nhau nếu có một song ánh f :
từ tập đỉnh của G1 đến tập đỉnh của G2. 1 song ánh f : từ tập các đỉnh cua G1 đến
tập các đỉnh của G2.1 song ánh G: từ tập các cạnh của G1→tập các cạnh của G2.
Sao cho e tới 2 đỉnh v, w trong G1 nếu cạnh g(e) tới f(v), f(w) trong G2.
SVTH: Trần Thị Thanh
Trang 9


GVHD:TS Trần Hành

Lý Thuyết Đồ Thị

Hai đồ thị G1 , G2 là đẳng cấu, nếu và chỉ nếu hai ma trận kề tương ứng
bằng nhau xếp lại theo thứ tự của ảnh.
* Cách nhận biết : Hai đồ thị đẳng cấu với nhau thì phải có cùng số cạnh, số
đỉnh. Số đỉnh bậc k bằng hay số chu trình sơ cấp có đỉnh bậc k.
Ta xây dựng một song ánh tập đỉnh của đồ thị G1 và tập đỉnh của đồ thị
G2. Kiểm tra xem mọi cặp cạnh của G1 có ảnh là cạnh của G2, nếu có thì đẳng
cấu, nếu không thì không đẳng cấu.
Ví dụ :

f(a) = A , f(b) = B , f(c) = C , f(d) = D, f(e) = E.
(a , e ) = x1 ∈ G1

(A , E) = y1 ∈ G2

(b , c ) = x3 ∈G1

(B , C) = y3 ∈ G2

(c , d ) = x4 ∈ G1

(C , D) = y4 ∈ G2

(a , b ) = x2 ∈ G1

(A , B) = y2 ∈ G2

(d , e ) = x5 ∈ G1

(D , E) = y5 ∈ G2

2 . Cây tự do và cây có gốc :
- Cây tự do là một đồ thị đơn giản thỏa mãn mọi cặp đỉnh trong T có duy
nhất một đường nối

SVTH: Trần Thị Thanh
Trang 10


GVHD:TS Trần Hành

Lý Thuyết Đồ Thị

- Cây có gốc là một cây có hướng trên đó đã chọn một đỉnh là gốc và các
cạnh được định hướng sao cho với mọi đỉnh, luôn luôn có một đường có hướng từ
gốc đi đến đỉnh đó.

Cho T là một cây có rễ v0 , giả sử x , y, z là các đỉnh trong T và v0 , v1 ... vn là lối đi
đơn giản trong T ( đi qua các đỉnh)
a. vn – 1 là cha vn
b. v0...vn -1 là tiền bối của vn
c. vn là con của vn – 1
d. Nếu x là tiền bối của y thì y là hậu thế của x
e. Nếu x và y là con của z , ta bảo x ,y là anh em.
f. Nếu x không có con ta gọi x là đỉnh treo (lá).
g. Nếu x không là đỉnh treo, ta gọi x là đỉnh phân
h.Cây con của T lấy gốc tại x là một đồ thị với tập các đỉnh V , tập các cạnh E với
các hậu thế của x và E={ e│e} là một cạnh của đường đi đơn giản từ x đến một
đỉnh trong V
* Nhận xét : Cho T là một cây , ta có :
-

T liên thông

-

T không có chu trình ( vì có duy nhất một đường nối)

SVTH: Trần Thị Thanh
Trang 11

GVHD:TS Trần Hành

T1

Lý Thuyết Đồ Thị

T2

Với cây tự do T trên, chọn đỉnh a làm gốc thành cây có gốc.
3. Cây nhị phân đẳng cấu :
Nếu T là cây tự do thì định nghĩa 2 cây đẳng cấu như định nghĩa về đồ thị
đẳng cấu.
Nếu cây có rễ thì thêm điều kiện : ảnh của rễ cây T1 là rễ cây T2.

Câu 5 : Trình bày các hiểu biết về cây, cây m-phân có sắp thứ tự và cây nhị
phân ?
1/ Cây :
Cây tự do là một đồ thị đơn giản thỏa mãn mọi cặp đỉnh đến T có duy nhất một
đường nối.
Cho T là một cây có rễ v 0 , giả sử x , y, z là các đỉnh trong T và v 0 , v1 ... vn là
lối đi đơn giản trong T ( đi qua các đỉnh)
a. vn – 1 là cha vn
b. v0...vn -1 là tiền bối của vn
c. vn là con của vn – 1
d. Nếu x là tiền bối của y thì y là hậu thế của x
e. Nếu x và y là con của z , ta bảo x ,y là anh em.
SVTH: Trần Thị Thanh
Trang 12

GVHD:TS Trần Hành

Lý Thuyết Đồ Thị

f. Nếu x không có con ta gọi x là đỉnh treo (lá).
g. Nếu x không là đỉnh treo, ta gọi x là đỉnh phân

Ví dụ :

2/ Cây m- phân :
- Định nghĩa :Cho một cây có gốc T. Nếu số con tối đa của một đỉnh tring T là
m và có ít nhất một đỉnh có đúng m con thì T gọi là một cây m phân.
Nếu mọi đỉnh trong T đều có đúng m con thì T gọi là một cây m-phân đầy đủ

Ví dụ :

- Định lý :
1.Một cây m- phân đầy đủ có i đỉnh trong thì có mi +1 đỉnh.
2.Một cây m- phân có chiều cao là h thì có nhiều nhất là mh lá.
3. Một cây m - phân có l lá thì có chiều cao h >=[logml].
4. Một cây m – phân đầy đủ và cân bằng có l lá thì có chiều cao h=[log ml]
SVTH: Trần Thị Thanh
Trang 13


GVHD:TS Trần Hành

Lý Thuyết Đồ Thị

3/ Cây nhị phân :

- Định nghĩa : Cây nhị phân là một dạng quan trọng nhất của cây có rễ.Một
đỉnh trong cây nhị phân nhiều nhất là hai con và mỗi con được chỉ định là con bên
trái hay con bên phải.
Cây nhị phân đầy là cây nhị phân mà trong đó mọi đỉnh phải có hai con hoặc
không có con nào.

Ví dụ :

- Định lý 1 : Nếu T là cây nhị phân đầy có i đỉnh phân thì T có i+1 đỉnh treo và
2i+1 đỉnh tất cả.
- Định lý 2 : Nếu cây nhị phân có chiều cao h và có t đỉnh treo thì ta có :
lgt ≤ h

Câu 6 : Cây bao trùm ?
- Định nghĩa : Cho một đồ thị vô hướng G.Một cây T gọi là một cây bao trùm
của G nếu T là một đồ thị con chứa mọi đỉnh của G.
- Định lý :Đồ thị G có cây bao trùm nếu và chỉ nếu G liên thông

Ví dụ : Cho đồ thị liên thông G , G’ là cây bao trùm của G.

SVTH: Trần Thị Thanh
Trang 14


GVHD:TS Trần Hành

G

SVTH: Trần Thị Thanh
Trang 15

Lý Thuyết Đồ Thị

G’