Đề thi khảo sát chất lượng lần 2 môn Toán lớp 10 trường THPT Thạch Thành 1, Thanh Hóa năm 2015 2016

SỞ GD&ĐT THANH HÓA

TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I
(Đề có 01 trang)

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN II
NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn: Toán 10
Thời gian: 150 phút (Không kể giao đề)

Câu 1 (2,0 điểm). Tìm tập xác định của hàm số sau:
a) f ( x) =
b) f ( x) =

x+3
.
x − 10

1

( x − 2)

x+3

.

Câu 2 (2,0 điểm).
a) Xác định parabol (P): y = ax 2 + bx + c, biết parabol (P) có hoành độ đỉnh bằng 1 và
đi qua hai điểm A ( 0; −3) và B ( −2;5 ) .
b) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số vừa tìm được ở phần a.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình sau: x 2 + 3 x 2 + 3 x + 5 + 3 x − 13 = 0

( x∈¡ )

1

sin α =
5
Câu 4 (1,0 điểm). Cho 
. Hãy tính các giá trị lượng giác còn lại của góc α .
900 < α < 1800

( cos α ; tan α ;cot α )

Câu 5 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC có: A ( 1;1) ; B ( 3; 0 ) ; C ( 4;5 )
a) Tìm tọa độ trong tâm G và trực tâm H của tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ điểm D thuộc đoạn BC sao cho diện tích tam giác ABD gấp 2 lần diện tích
tam giác ACD.
3
3
 2 x − 9 y = ( x − y ) ( 2 xy + 3)
Câu 6 (1 điểm). Giải hệ phương trình  2 2
 x + y = 3 + xy.

( x; y ∈ ¡ )

Câu 7 (1,0 điểm). Cho a, b là các số thực thỏa mãn (2 + a)(1 + b) =

9
2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = 16 + a 4 + 4 1 + b 4 .
................HẾT..............
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh ......................................................... ; Số báo danh..............................


HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 10 - Lần II - Năm học 2015 - 2016
Câu ý
1
a

b

Nội dung
Tìm tập xác định của hàm số sau:
x+3
a) f ( x) =
.
x − 10
Hàm số có nghĩa khi: x − 10 ≠ 0 ⇔ x ≠ 10
Vậy hàm số có tập xác định D = ¡ \ { 10}
1
Tìm tập xác định của hàm số f ( x) =
.
( x − 2) x + 3

Điểm
1.0
0.5
0.5

1.0

x + 3 > 0
Hàm số xác định với những x thỏa mãn 
x − 2 ≠ 0
 x > −3
⇔
x ≠ 2

Vậy hàm số có tập xác định D = ( −3; +∞ ) \ { 2}

2.0
1.0

Xác định parabol (P): y = ax + bx + c, biết …
2

a ≠ 0
a ≠ 0

⇔
Parabol (P) có hoành độ đỉnh bằng 1 nên ta có:  b
(1)
− 2a = 1 b = −2a
Parabol đi qua A và B nên ta có: c = −3
(2)
2
và 5 = a.2 + b.2 + c ⇔ 4a + 2b + c = 5 ( 3)

b = −2a
b = −2a
a = 1



⇔ c = −3
⇔ b = −2
Từ (1), (2), (3), ta có: c = −3
 4a − 2b + c = 5
4a + 4a-3 = 5
 c = −3




b

0.25

0.25
0.25

0.25

Vậy y = x 2 − 2 x − 3
Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị …
Ta có:

0.25

0,25

2
a

0.5

1.0
0.25

−b
−∆
= 1;
= −4
2a
4a

Bảng biến thiên: a = 1 > 0

x
y

−∞

+¥

1

+∞
+∞

-4

0.25

Hàm số đồng biến trên ( 1;+∞ ) , hàm số nghịch biến trên. ( −∞;1)
Đồ thị :Đồ thị hàm số y = x 2 - 2 x - 3 là một Parabol có bề lõm quay
lên phía trên , có đỉnh I ( 1; −4 ) , trục đối xứng là đường thẳng x = 1 , đồ
thị cắt Ox tại ( −1;0 ) và ( 3;0 ) , cắt Oy tại ( 0; −3) , đồ thị đi qua (2;-3)
Đồ thị có dáng như hình vẽ:

0,25


0,25

3

x 2 + 3 x 2 + 3 x + 5 + 3x − 13 = 0

1.0

ĐK: x ∈ ¡

0,25

Đặt t = x 2 + 3x + 5

;t > 0
t = 3 ( t / m )

2
Phương trình trở thành: t + 3t − 18 = 0 ⇔ 

t = −6 ( loai )
x = 1
2
2
Với t = 3 ⇔ x + 3x + 5 = 3 ⇔ x + 3x − 4 = 0 ⇔ 
 x = −4
4

a

0,25

Vậy tập nghiệm của phương trình: Tx = { −4;1}

0,25

1

sin α =
5

0
90 < α < 1800


1,0

Vì 900 < α < 1800 nên cos α < 0 ⇒ cos α = − 1 − sin 2 α

0,5

1
2 6
=
25
5
1
sin α
6
= 5 =
+ tan α =
cos α 2 6 12
5
2 6
cos α
= 5 =2 6
+ cot α =
1
sin α
5
A ( 1;1) ; B ( 3;0 ) ; C ( 4;5 )
⇒ cos α = 1 −

5

0,25

1+ 3 + 4 1+ 0 + 5 
8 
;
+ Tọa độ trong tâm: G 
÷⇒ G  ; 2 ÷
3
3


3 
uuuruuur
 HA.BC = 0
 HA ⊥ BC
⇒  uuur uuur
+ Giả sử H ( x; y ) . Vì 
(1)
 HB ⊥ AC
 HB. AC = 0

uuur
uuur
uuur
uuur
HA ( 1 − x;1 − y ) ; HB ( 3 − x; − y ) ; BC ( 1;5 ) ; AC ( 3; 4 )

Khi đó (1) trở thành:

0,25

0,25


41

x=

( 1 − x ) + 5 ( 1 − y ) = 0
x
+
5
y
=
6


11 ⇒ H  41 ; 5 
⇔
⇔


÷
 11 11 
3x + 4 y = 13
y = 5
3 ( 3 − x ) + 4 ( − y ) = 0

11

b

 8   41 5 
Vậy G  ; 2 ÷; H  ; ÷
 3   11 11 
uuur
uuur
Vì S ABD = S ACD ⇒ BD = 2CD ⇒ DB = −2 DC .

Suy ra D chia đoạn BC theo tỷ số -2.

xB − ( −2 ) xC 3 + 2.4 11
=
=
 xD =
1 − ( −2 )
3
3

 11 10 
⇒ D ; ÷
Vậy tọa điểm D là: 
3 3
 y = yB − ( −2 ) yC = 0 + 2.5 = 10
D

1 − ( −2 )
3
3

6

1,0

 2x 3 - 9y3 = (x - y)(2xy + 3)

x 2 + y 2 = 3 + xy
Giải hệ phương trình 
Ta có

0,25

 2x - 9y = (x - y)(2xy + 3)
 2 x − 9 y = ( x − y )(2 xy + x + y − xy )
⇔

 2
2
x 2 + y 2 = 3 + xy

 x + y − xy = 3
2 x3 − 9 y 3 = x3 − y 3

x = 2 y
x3 = 8 y 3

⇔ 2
⇔
⇔

 2

2
2
2
2

 x + y − xy = 3
 x + y − xy = 3
 x + y − xy = 3
 x = 2

 x = 2y
y =1
⇔ 2
⇔
  x = −2
3 y = 3

  y = −1
x; y ) = ( 2;1) ; ( x; y ) = ( - 2; - 1)
Vậy hệ có 2 nghiệm (
.
9
Cho a, b là các số thực thỏa mãn: (2 + a)(1 + b) =
2
3

7

3

3

3

2

2

0,25

0,25
0,25
1,0

4
4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = 16 + a + 4 1 + b .

Chứng minh được:
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ (a + c )2 + (b + d ) 2 ( *) ∀a, b, c, d
ìïï ad = bc
í
ï ac + bd ³ 0
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi ïî
Áp dụng (*) ta có

.
0,25

0,25

2

2

 a2 
 a2
Q
(a 2 + 4b 2 )2
4
2
= 1+  ÷ + 1+ b ≥ 4 +  + b ÷ = 4 +
4
16
 4
 4

(1)
9
5
(2 + a )(1 + b) =
a + 2b + ab = ⇔ 2a + 4b + 2ab = 5
2
2⇔
Mặt khác:
Mà:
0,25



a 2 + 1 ≥ 2a
 2
3(a 2 + 4b 2 )
⇒
+ 2 ≥ 2a + 4b + 2ab = 5 ⇒ a 2 + 4b 2 ≥ 2
4b + 1 ≥ 4b
2
 a 2 + 4b 2

≥ 2ab
2

(2)
ìï a = 1
ï
4
= 2 17 . Dấu “=” xẩy ra khi: ïí
Từ (1) và (2) suy ra: Q ≥ 4. 4 +
ïï b = 1
16
ïî
2
ìï a = 1
ï
Vậy minQ = 2 17 đạt được khi ïí
.
ïï b = 1
2
îï
Lưu ý khi chấm bài:

0,25

- Đáp án chỉ trình bày một cách nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó
không được điểm.
- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
------------------------- Hết ------------------------