Đáp án đề thi tốt nghiệp THPT hệ giáo dục thường xuyên năm 2012 - môn toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2012
Môn thi: TOÁN − Giáo dục thường xuyên
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1. (3,0 điểm)

2x + 1
.
x −1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số đã cho.
Cho hàm số y =

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm có tung độ bằng 5.
Câu 2. (2,0 điểm)

1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x 2 − 2 x + 5 trên
đoạn [ 0 ; 3].

2

2) Tính tích phân I = ∫ ( x − 2 ) x dx.
2

1

Câu 3. (2,0 điểm)

⎧ x = −2 + 2t
⎪

và
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : ⎨ y = 1 − t
⎪ z = 4 + 2t
⎩

mặt cầu ( S ): ( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z − 3) = 25.
2

2

2

1) Tìm tọa độ một vectơ chỉ phương của đường thẳng d . Tìm tọa độ tâm và tính
bán kính của mặt cầu ( S ) .
2) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d và tiếp xúc với
mặt cầu ( S ) .
Câu 4. (2,0 điểm)

1) Giải phương trình log3 x + log3 ( x − 8 ) = 2.

2) Tìm phần thực, phần ảo và môđun của số phức z = ( 2 + 3i ) (1 − i ) − 4i.
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt đáy.
n = 60o. Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a.
Biết AB = a 2, BC = a và SCA

----------------- Hết ----------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.............................................. Số báo danh: .............................................
Chữ kí của giám thị 1: ...................................... Chữ kí của giám thị 2:.............................

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2012
Môn thi: TOÁN – Giáo dục thường xuyên

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM THI
(Bản hướng dẫn này gồm 03 trang)

I. Hướng dẫn chung
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì vẫn cho đủ
số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hoá (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không
làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong toàn Hội
đồng chấm thi.
3) Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ
0,75 làm tròn thành 1,00 điểm).
II. Đáp án và thang điểm
CÂU
Câu 1

(3,0 điểm)

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

1. (2,0 điểm)

Tập xác định: D = \ \ {1} .

0,25

Sự biến thiên:
• Chiều biến thiên: y' =

−3

( x − 1)

2

< 0 , ∀x ∈ D.

0,50

Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (− ∞ ; 1) và (1 ; + ∞).
• Giới hạn và tiệm cận:
lim y = − ∞ ; lim y = + ∞ ⇒ đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng.
x → 1−

x → 1+

0,50

lim y = 2 ⇒ đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang.

x→ ±∞

• Bảng biến thiên:
x
y’
y

−∞

+∞

1
−

−

0,25

+∞

2
−∞

1

2


y

Đồ thị:

2
O
−

1
2

x

1

0,50

−1

⎛ 1
⎞
Lưu ý: Thí sinh chỉ trình bày: Đồ thị cắt Ox tại ⎜ − ; 0 ⎟ và Oy tại ( 0 ; −1)
⎝ 2
⎠
1
⎛
⎞
hoặc thể hiện ⎜ − ; 0 ⎟ và ( 0 ; −1) trên hình vẽ thì vẫn cho đủ 0,50 điểm.
⎝ 2
⎠

2. (1,0 điểm)

Câu 2

Với y0 = 5 ⇒ x0 = 2.

0,25

Ta có y' ( 2 ) = − 3.

0,25

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y − 5 = −3 ( x − 2 ) ⇔ y = −3 x + 11.

0,50

1. (1,0 điểm)
x −1

(2,0 điểm) Trên đoạn [ 0;3] , ta có f ' ( x ) =

x − 2x + 5
2

.

0,25

f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 1.

0,25

Ta có f ( 0 ) = 5 ; f (1) = 2; f ( 3) = 2 2 .

0,25

Vậy min f ( x ) = f (1) = 2 và max f ( x ) = f ( 3) = 2 2 .

0,25

[0;3]

[ 0;3]

2. (1,0 điểm)
I =

2

∫(
1

)

2

(

)

x 2 − 4 x + 4 xdx = ∫ x3 − 4 x 2 + 4 x dx

0,50

1
2

4
5
⎛1
⎞
= ⎜ x 4 − x3 + 2 x 2 ⎟ = .
3
⎝4
⎠ 1 12

0,50

Câu 3 1. (1,0 điểm)
(2,0 điểm) Một vectơ chỉ phương của d là uG = ( 2; − 1; 2 ) .

0,50

Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; − 1;3) .

0,25

Mặt cầu ( S ) có bán kính R = 5.

0,25

2

2. (1,0 điểm)

Gọi (α ) là mặt phẳng vuông góc với d , suy ra (α ) có một vectơ pháp
G
tuyến là u = ( 2; − 1; 2 ) và phương trình (α ) có dạng 2 x − y + 2z + D = 0.

(α ) tiếp xúc mặt cầu ( S ) khi và chỉ khi d ( I , (α ) ) = R
⇔

2.2 + ( −1)( −1) + 2.3 + D
22 + ( −1) + 22
2

=5⇔

0,25

0,25

11 + D
⎡D = 4
= 5⇔ ⎢
3
⎣ D = − 26.

0,25

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài là
(α1 ) : 2 x − y + 2 z + 4 = 0 và (α 2 ) : 2 x − y + 2 z − 26 = 0.

0,25

Câu 4 1. (1,0 điểm)
(2,0 điểm) Điều kiện: x > 8.

0,25

(

)

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với log3 x 2 − 8 x = 2

0,25

⇔ x2 − 8x − 9 = 0

0,25

⇔ x = 9. Vậy phương trình có nghiệm là x = 9.

0,25

2. (1,0 điểm)
z = 2 − 2i + 3i − 3i 2 − 4i

0,25

= 5 − 3i.

0,25

Số phức z có phần thực bằng 5 ; phần ảo bằng − 3 .

0,25

Môđun của z là z = 52 + ( − 3) = 34 .

0,25

2

S

Câu 5
(1,0 điểm)

a 2

A

B
a

60o

D

0,25

C

Do SA ⊥ ( ABCD ) nên SA là chiều cao của khối chóp S.ABCD.
Ta có AC = AB 2 + BC 2 = 2a 2 + a 2 = a 3 .
Trong tam giác vuông SAC, ta có: SA = a 3 tan 60D = 3a.

Diện tích đáy là S ABCD = AB.BC = a 2 2 .
Thể tích khối chóp S.ABCD là VS.ABCD =

0,25
1
SA.SABCD = a 3 2 .
3

--------------- Hết --------------3

0,25

0,25