yourbooks tom tat cac cong thuc toan lop 12 internet

www.tailieuthamkhao.edu.vn

TÓM TẮT GIẢI TÍCH 12
@. Bổ túc về đại số:
1. phương trình bậc 2: ax2+bx+c=0 với x1, x2 là nghiệm thì
ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2); ∆=b2-4ac (∆’=b’2-ac với b’=b/2)
−b± ∆ 
− b'± ∆' 
 x1, 2 =

thì x1, 2 =


2a
2
a


nếu a+b+c=0 thì x1=1; x2=c/a; nếu a-b+c=0 thì x1=1; x2= -c/a;
S=x1+x2= - b/a; P=x1.x2= c/a (đl Vieet)
2. tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c
+ ∆<0 thì f(x) cùng dấu a + x1 < α < x 2 ⇔ af (α ) < 0
a > 0
a < 0
+ f ( x) > 0 ⇔ 
+ f ( x) < 0 ⇔ 
∆ < 0
∆ < 0


∆ > 0

∆ > 0


+ α < x1 < x 2 ⇔ af (α ) > 0 + x1 < x 2 < α ⇔ af (α ) > 0
S
S
 −α > 0
 −α < 0
2
2
3
2
3. phương trình bậc ba: ax +bx +cx+d=0
nếu a+b+c+d=0 thì x1=1;
nếu a-b+c-d=0 thì x1= -1; dùng Hoocner
ax3+bx2+cx+d=(x-1)(ax2 + βx + γ) = 0
với β=a+b; γ=β+c
4. các công thức về lượng giác, cấp số và lôgarit:
π
π
cos x = sin( x + ); - sin x = cos( x + );
2
2
1
cos 2 x = (1 + cos 2 x);
2
1
1
1
sin 2 x = (1 − cos 2 x) ; 1+tg2x=

1 + cotg 2 x = − 2
2
2
cos x
sin x
cấp số cộng: ÷a,b,c,… d = c – b = b – a
c b
q= =
cấp số nhân: a,b,c,…
b a
I. ĐẠO HÀM:
1. Qui Tắc:
1. (u ± v)’ = u’ ± v’
2. (u.v)’ = u’v + v’u
'
 u  u' v − v' u
3.   =
v2
v
4. (ku)’ = ku’ (k:const)
2. Công thức:
(xn)’ = nxn-1
(un)’ = nun-1u’
'
'
1
u'
1
1
  =− 2

  =− 2
x
u
x
u

www.tailieuthamkhao.edu.vn


www.tailieuthamkhao.edu.vn

( x)

'

=

1

2 x
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = - sinx
1
(tgx)’ =
cos 2 x

( u)

'

=

u'

2 u
(sinu)’ = u’cosu
(cosu)’ = - u’sinu
u'
(tgu)’ =
cos 2 u
1
u'
(cotgx)’ = −
(cotgu)’ = −
2
sin x
sin 2 u
x
x
u
u
(e )’ = e
(e )’ = u’e
x
x
(a )’ = a .lna
(au)’ = u’au.lna
1
u'
(lnx)’ =

(lnu)’ =
x
u
1
u'
(logax)’ =
(logau)’ =
x ln a
u ln a
II. KHẢO SÁT HÀM SỐ:
1. Hàm bậc ba y = ax3+bx2+cx+d:
• Miền xác định D=R
• Tính y’= 3ax2+2bx+c
• y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc không (nếu có)
• tính y’’ tìm 1 điểm uốn
• bảng biến thiên
• điểm đặc biệt (2điểm)
• đồ thị (đt)
* Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3:
a > 0
- để hs tăng trên D ⇔ y ' ≥ 0 ⇔ 
∆ y ' ≤ 0
a < 0
- để hs giảm trên D ⇔ y ' ≤ 0 ⇔ 
∆ y ' ≤ 0
- để hs có cực trị trên D ⇔y’=0 có 2 n0 pb
- để hs không có cực trị ⇔y’=0 VN hoặc có nghiệm kép
- hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và tiếp tuyến tại đây qua đthị
- chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n là đthẳng qua 2 điểm cực trị, nếu xi là cực trị thì giá trị cực
trị là: yi=mxi+n

- đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai giá trị cực trị trái dấu.
- đồ thị cắt ox tại 3 điểm pb cách đều nhau ⇔ ax3+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành csc ⇔ y’=0 có
2 nghiệm pb và điểm uốn thuộc ox.
2. Hàm trùng phương y = ax4+bx2+c:
• Miền xác định D=R
• Tính y’
• y' = 0 tìm 3cực trị hoặc 1 cực trị
• bảng biến thiên
• điểm đặc biệt (2điểm)
• đồ thị
* Các vấn đề đặc biệt cho hàm t phương:
- đt nhận oy làm trục đối xứng.

www.tailieuthamkhao.edu.vn


www.tailieuthamkhao.edu.vn
để hs có 3 (hoặc 1) cực trị trên D ⇔y’=0 có 3 n0 pb (hoặc 1 n0)
để hs có điểm uốn ⇔ y’’=0 có 2 n0 pb
đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb ⇔ ∆>0; P>0; S>0.
đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc ⇔ ∆>0; P>0; S>0; x2 = 9x1 và sử dụng đlý Vieet.
ax + b
3. Hàm nhất biến y =
cx + d
• Miền xác định D=R\ { − d c }
ad − bc
• Tính y ' =
( cx + d ) 2 (>0, <0)
y=0
• TCĐ x = − d c vì xlim

→− d c
y=a
• TCN y = a c vì lim
c
x →∞
• bảng biến thiên
• điểm đặc biệt (4điểm)
• đồ thị
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng
ax 2 + bx + c
γ
4. Hàm hữu tỷ y =
chia bằng Hoocner
= αx + β +
dx + e
dx + e
• Miền xác định D=R\ { − e d }
-

γ .d
mx 2 + nx + p
=
•
( dx + e ) 2
( dx + e ) 2
• y' = 0 tìm 2cực trị hoặc không có.
e
y=0
• TCĐ x = − vì xlim
→− e d

d
γ
=0
• TCX y = αx + β vì lim
x →∞ dx + e
• bảng biến thiên
• điểm đặc biệt (4điểm)
• đồ thị
* Một số kết quả quan trọng:
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng
- có 2 cực trị hoặc không ⇔ y’= 0 có 2 nghiệm pb khác nghiệm của mẫu hoặc VN
2axi + b
- nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là y i =
và đó cũng là đt qua 2 điểm cực trị.
d
- đthị cắt ox tại 2 điểm pb ⇔ ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm pb
* CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS:
1/ Phương trình tiếp tuyến: (pttt)
@ Loại 1: pttt tại M(x0,y0) ∈ y=f(x)
tính: y’=
y’(x0)=
pttt: y = f’(x0)(x-x0)+y0
@ Loại 2: pttt có hệ số góc k cho trước
ta có: f’(x)=k giải pt này tìm x0 thay vào y=f(x) tìm được y0 từ đó ta có pttt là:
y = k(x-x0)+y0
• pttt // y=ax+b có hệ số góc k = a
Tính y’= α −

www.tailieuthamkhao.edu.vn

www.tailieuthamkhao.edu.vn
• pttt ⊥y=ax+b có hệ số góc k = -1/a.
@ Loại 3: pttt qua M(x0,y0) của y=f(x)
ptđt d qua M có hệ số góc k là:
y = k(x-x0)+y0
để d là tt thì hệ sau có nghiệm:
 f ( x) = k ( x − x0 ) + y 0 (1)
thay (2) vào (1) giải pt này tìm được x thay vào (2) ta được k thế vào pttt d

 f ' ( x) = k (2)
ở trên.
2/ Giao điểm của 2 đường: Cho y=f(x) và y= g(x)
+ ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x) giải pt này được mấy nghiệm là có mấy giao điểm.
+ bài toán ứng dụng cho việc biện luận nghiệm f(x,m)=0 biến đổi về dạng f(x)=g(m)
đặt y=f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //ox. Từ đó biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ thị.
 f ( x) = g ( x)
+ để f(x) tiếp xúc g(x) ta có: 
từ đó tìm điểm tiếp xúc x
 f ' ( x) = g ' (x)
3/ đơn điệu: cho y=f(x)
đặt g(x)=y’
b
≤ α ; g(α)≥0.
a/ g(x) = ax2+bx+c ≥ 0 trong (α,+∞) ⇔ a>0; −
2a
b
≤ α ; g(α)≤0.
b/ g(x) = ax2+bx+c ≤ 0 trong (α,+∞) ⇔ a<0; −
2a

c/ g(x) = ax2+bx+c ≥ 0 trong (α,β) ⇔ ag(α)≤0; ag(β)≤0
{áp dụng cho dạng có m2}
d/ trong g(x) có chứa m biến đổi về dạng
m > h(x) (hoặc m<h(x)) điều này m > giá trị lớn nhất của h(x) (me/ đối với hàm có mxđ D=R\{x0} thì
• tăng trên (α,+∞)⇔ y’≥0; x0≤α
• giảm trên (α,+∞)⇔ y’≤0; x0≤α
4. Cực trị:
* y = f(x) có cực trị ⇔ y’= 0 có nghiệm và đổi dấu qua điểm đó.(y’=0;y”≠0)
 y' ( x0 ) = 0
* y=f(x) có cực đại tại x0 ⇔ 
 y' ' ( x0 ) < 0
 y' ( x0 ) = 0
* y=f(x) có cực tiểu tại x0⇔ 
 y' ' ( x0 ) > 0
3
1. T.Hợp 1: Hàm số y = ax + bx2 + cx + d
P.Pháp: Tập xác định D = R
•
Tính y/
Để hàm số có cực trị thì y/ = 0 có hai n 0 pb

a ≠ 0
⇔
∆〉 0
2. T.Hợp 2: Hàm số y =
P.Pháp:

Tập xác định

ax 2 + bx + c
a/ x + b/

b / 
D =R \  / 
a 

www.tailieuthamkhao.edu.vn


www.tailieuthamkhao.edu.vn
/
Tính y =

(a

g( x )

/

x +b/ )

2

∆g / 〉0

⇔
b/
g(− / ) ≠ 0
a



Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y/ = 0 có hai nghiệm pb thuộc D
5. GTLN, GTNN:
a. Trên (a,b)
• Tính y’
• Lập bảng biến thiên trên (a ; b )
• KL: max y = yCD , min y = yCT
( a ;b )

( a ;b )

b. Trên [a;b]
• Tính y’
• Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm x0 ∈ ( a; b )
• Tính y (x0 ) , y(a) , y (b)
Chọn số lớn nhất M KL: max y = M
[ a ;b ]

y=m
Chọn số nhỏ nhất m , KL: min
[ a ;b ]
III. Hàm số mũ và logarit:
1. Công thức lũy thừa:
Với a>0, b>0; m, n∈R ta có:
anam =an+m ;

an
= a n −m ;
m

a

(

1
=a−m ;
an

a0=1;

1
a

a−1= ); (an)m =anm ;

n

(ab)n=anbn;

an
a
=
;
 
bm
b

m

a n = n am .

2. Công thức logarit:
logab = c⇔ac=b ( 0< a≠1; b>0)
Với 0< a≠1, 0<b≠1; x, x1, x2>0; α∈R ta có: loga(x1x2)=logax1+logax2 ;
logax1−logax2;
α
a log a x = x ; logax =α logax;
log aα x =

1
log a x ; (logaax=x);
α

logax=

log b x
1
; (logab=
)
log b a
log b a

logba.logax=logbx; alogbx=xlogba.
3. Phương trình mũ- lôgarít
* Dạng ax= b ( a> 0 , a ≠ 0 )
b ≤ 0 : pt vô nghiệm
x
b>0 : a = b ⇔ x = log a b
* Đưa về cùng cơ số:
Af(x) = Bg(x) ⇔ f(x) = g(x)
* Đặt ẩn phụ; logarit hóa…

* Dạng log a x = b ( a> 0 , a ≠ 0 )
Điều kiện : x > 0
log a x = b ⇔ x = a b
• logaf(x) = logag(x) ⇔ f(x) = g(x)

www.tailieuthamkhao.edu.vn

x1
loga x 2 =


www.tailieuthamkhao.edu.vn
• Đặt ẩn phụ; mũ hóa…
4. Bất PT mũ – logarit:
* Dạng ax > b ( a> 0 , a ≠ 0 )
b ≤ 0 : Bpt có tập nghiệm R
x
b>0 : a > b ⇔ x > log a b , khi a>1
a x > b ⇔ x < log a b , khi 0 < a < 1
* Đặt ẩn phụ; logarit hóa…
* Dạng log a x > b ( a> 0 , a ≠ 0 , x>0 )
log a x > b ⇔ x > a b , khi a >1
log a x > b ⇔ x < a b , khi 0 < x < 1
• Đặt ẩn phụ; mũ hóa…
VI. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN:
ΙΙΙ Định nghĩa: F(x) đgl nguyên hàm của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b)
⇔ F / ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ( a; b )
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp
1.

∫ 1.dx = x + c

2.

∝
∫ x .dx =

3.

∫ x .dx = ln x + c

4.

∫ Cosx.dx = Sinx + c
∫ Sinx.dx = −Cosx + c

5.
6.

1

1

∫ Cos

2

∫ . Sin

2

1

x

x ∝ +1
+ c( ∝≠ −1)
∝ +1

.dx = tgx + c

dx = −Cotgx + c
x
x
x
8. ∫ e .dx = e + c
7.

ax
9. ∫ a .dx =
+c
ln a
x

Nguyên hàm các hàm số thường gặp:
∝ +1
1 ( ax + b )
α
1. ∫ ( ax + b ) .dx =
+c

a ∝ +1
2.

1

1

∫ ax + b .dx = a . ln ax + b + c

1
Cos
(
ax
+
b
)
.
dx
=
.Sin( ax + b ) + c
∫
a
1
4. ∫ Sin( ax + b ) .dx = − .Cos( ax + b ) + c
a
3.

www.tailieuthamkhao.edu.vn

www.tailieuthamkhao.edu.vn
1

1

5.

∫ Cos ( ax + b ) .dx = a .tg( ax + b ) + c

6.

∫ Sin ( ax + b ) .dx = − a .Cotg( ax + b ) + c

2

1

1

2

1
.dx = .e ax + b + c
a
1 a mx + n
mx + n
8. ∫ a
.dx = .
+c
m ln a

∫e

7.

ax + b

Các phương pháp tính tích phân:Tích phân của tích, thương phải đưa về tích phân của một tổng hoặc
hiệu bằng cách nhân phân phối hoặc chia đa thức.
Phương pháp đổi biến số :
b

A = ∫ f [ ϕ( x ) ].ϕ / ( x ) .d ( x )
a

P.Pháp:
Đặt : t = ϕ( x )

⇒ dt = ϕ / ( x ) .d ( x )
 x = b ⇒ t = ϕ( b )
Đổi cận: 
 x = a ⇒ t = ϕ( a )

Do đó: A =

ϕ( b )

∫( ) f ( t ) .dt = [ F ( t ) ]

ϕ a

ϕ( b )
ϕ( a )

Các dạng đặc biệt cơ bản:

dx
2
0 a + x
a

1.

I =∫

2

P.Pháp:
Đặt: x = a.tgt

•

⇒ dx =
•

 π π
 − 〈t〈 
 2 2

a

.dt = a(1 + tg 2 t ).dt
2
Cos t

Đổi cận:
a

2
2
2.Tính J = ∫ a − x .dx
0

P.Pháp:
•

π
 π
≤t≤ 
2
 2
⇒ dx = a.Cost.dt
Đặt x = a.S int  −

• Đổi cận
Phương pháp tính tích phân từng phần
Loại 1: Có dạng:
e x 
b



A= ∫ P( x). Sinx .dx
a
Cosx 



www.tailieuthamkhao.edu.vn


www.tailieuthamkhao.edu.vn
Trong đó P(x)là hàm đa thức
Phương pháp:
⇒ du = P(x).dx
Đặt u = P(x)
 ex 
∫


dv = ∫ Sinx  .dx ⇒ v = ...


 Cosx 
∫

Áp dụng công thức tích phân từng phần
b

A = [ u.v] a − ∫ v.du
b

a

b

Loại 2: B = ∫ P ( x ).Ln(ax + b).dx
a

Phương pháp:
Đặt u = Ln(ax+b)
dv = P(x).dx

⇒

du =

⇒

v = ...

[ u.v]

Áp dụng: B =

a
.dx
ax + b

b

b

a

− ∫ v.du
a

---------------------------------------------Dạng :

A = ∫ Sin n x.dx

B = ∫ Cos n x.dx

Hay

1. Nếu n chẵn:
Áp dụng công thức

Sin 2 a =

1 − Cos2a
;
2

Cos 2 a =

1 + Cos2a
2

2. Nếu n lẻ:

A = ∫ Sin n−1 x.Sinx.dx

Đặt t = Cosx (Đổi sin n −1 x thành Cosx )
----------------------------------------------Dạng :

A = ∫ tg m x.dx Hay B = ∫ Cotg m x.dx

PP:Đặt tg 2 làm thừa số
2
Thay tg =

1
−1
Cos 2 x

IV. Diện tích hình phẳng:
1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
(c): y = f(x) và hai đường x = a; x = b:
P.Pháp:  DTHP cần tìm là:
b

S = ∫ f ( x ) .dx

(a < b)

a

• Hoành độ giao điểm của (c) và tục ox là nghiệm của phương trình: f(x) = 0

www.tailieuthamkhao.edu.vn

www.tailieuthamkhao.edu.vn
ΣNếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm Hoặc có nghiệm không thuộc đoạn [ a; b] thì:

S=

b

∫ f ( x ).dx
a

ΣNếu p.trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc đoạn [ a; b] . Giả sử x = α , x = β thì
β

α

b

S = ∫ f ( x ) .dx + ∫ f ( x ) .dx + ∫ f ( x ) .dx
a

S=

α

β

α

β

b

a

α

β

∫ f ( x ).dx + ∫ f ( x ).dx + ∫ f ( x ).dx

2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c): y =f(x) và trục hoành:
P.Pháp:

x = a
x = b

♦ HĐGĐ của (c) và trục hoành là nghiệm của phương trình: f(x) = 0 ⇔ 
b

S = ∫ f ( x ) .dx =
a

b

∫ f ( x ).dx
a

3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường
(c 1 ): y = f(x) và(c 2 ): y = g(x) và hai đường

x = a; x = b:
P.Pháp
b

•

DTHP cần tìm là: S = ∫ f ( x ) − g( x ) .dx
a

• HĐGĐ của hai đường (c1) và (c2) là nghiệm của p.trình: f(x) – g(x) = 0
Lập luận giống phần số 1
V. Thể tích vật thể:
1. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b; trục ox và y = f(x) liên tục trên đoạn [ a; b] . Khi (H) quay
quanh trục ox tạo ra vật thể có thể tích:
2

b

V = π.∫ [ f ( x )] .dx
a

2. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b; trục oy và x = g(x) liên tục trên đoạn [ a; b] . Khi (H)
quay quanh trục oy tạo ra vật thể có thể tích:
b

2

V = π.∫ [ g( y )] .dy .
a

IV. SỐ PHỨC:
•
Số i : i2 = -1
•
Số phức dạng : z = a + bi ; a,b∈R

•

Modun của số phức : z = a 2 + b 2

•

Số phức liên hợp của z = a + bi là z = a − bi z = z ; z + z ' = z + z ' ; z.z ' = z.z ' ; 

 z′  z ′
÷=
z z

www.tailieuthamkhao.edu.vn


www.tailieuthamkhao.edu.vn
z ≥ 0 với mọi z ∈£ , z = 0 ⇔ z = 0 .
z = z ; zz′ = z z′ ;

z′ z′
= ; z + z′ ≤ z + z′
z
z

z là số thực ⇔ z = z ; z là số ảo ⇔ z = − z
•
•
•
•
•

a = c
a+ bi = c + di ⇔ 
b = d
(a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i
(a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i
a + bi ( a + bi ) ( c − di )
=
c + di
c2 + d 2

Ta có:

i1 = i, i 2 = −1, i 3 = −i, i 4 = 1 .

i 4 n = 1, i 4 n +1 = i, i 4 n +2 = −1, i 4 n+3 = −i .

(1+ i)

2

= 2i ; ( 1 − i ) = −2i .
2

Các căn bậc hai của số thực a < 0 là : ±i a
Xét phương trình bậc hai :

ax2 + bx + c = 0 ( a khác 0 ; a, b, c ∈ R )
Đặt ∆ = b 2 − 4ac

−b
2a
−b ± ∆
o Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực : x1,2 =
2a
−b ± i ∆
o Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức : x1,2 =
2a
o Nếu ∆ = 0 thì phương trình có một nghiệm kép(thực) : x =

 Định lý Viet :

z1 , z2 thì :

Nếu phương trình bậc hai az 2 + bz + c = 0 ( a, b, c ∈ £ , a ≠ 0 ) có hai nghiệm

www.tailieuthamkhao.edu.vn


www.tailieuthamkhao.edu.vn
z1 + z2 = −

b

c
và z1 z2 = .
a
a

 Định lý đảo của định lý Viet :
Nếu hai số z1 , z2 có tổng z1 + z2 = S và z1 z2 = P thì z1 , z2 là nghiệm của
phương trình :
z 2 − Sz + P = 0 .

HÌNH HỌC 12
CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 12
I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG

AB
AC
(ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos α =
(KỀ chia HUYỀN)
BC
BC
A
AB
AC
3. tan α =
(ĐỐI chia KỀ) 4. cot α =
(KỀ chia ĐỐI)
AC
AB
1. sin α =

II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
B
www.tailieuthamkhao.edu.vn

α
H

C


www.tailieuthamkhao.edu.vn
1. BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)=>AB2 = BC2 - AC2
2. AB2 = BH.BC
3. AC2 = CH.BC
4. AH2 = BH.CH

5. AB.AC = BC.AH

6.

1
1
1
=
+
2
2
AH
AB AC2

III. ĐỊNH LÍ CÔSIN
1. a2 = b2 + c2 – 2bccosA

3. c2 = a2 + b2 – 2abcosC

a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C

IV. ĐỊNH LÍ SIN
V. ĐỊNH LÍ TALET
a)

2. b2 = a2 + c2 – 2accosB

A

MN // BC

AM AN MN
=
=
;
AB AC BC

b)

N

M

AM AN
=
MB NC

B

C

VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG
1. Tam giác thường:
a) S =

1
ah
2

b) S =

p(p − a)(p − b)(p − c) (Công thức Hê-rông)

c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)
2. Tam giác đều cạnh a:

a) Đường cao: h =

a 3
;
2

b) S =

a2 3
4

c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
3. Tam giác vuông:

a) S =

1
ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)
2

b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):
a) S =

1 2
a (2 cạnh góc vuông bằng nhau)
2

b) Cạnh huyền bằng a 2

5. Nửa tam giác đều:
a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o

b) BC = 2AB

c) AC =

a 3
2

d) S =

a2 3
8

1
6. Tam giác cân: a) S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
2

A

B

60 o

30 o

C

b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)
8. Hình thoi:

S=

1
d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)
2

9. Hình vuông: a) S = a2
b) Đường chéo bằng a 2
10. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
11. Đường tròn: a) C = 2 π R (R: bán kính đường tròn)
b) S = π R2 (R: bán kính đường tròn)
VII. CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác

A

N

M

www.tailieuthamkhao.edu.vn

B

G
P

C

www.tailieuthamkhao.edu.vn
a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm
b) * BG =

2
1
BN; * BG = 2GN; * GN = BN
3
3

2. Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm
3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác
4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác
VIII. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau.
Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy).
Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
2. Hình chóp đều: Có đáy là đa giác đều .Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Chân
đường cao trùng với tâm của đa giác đáy .Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
3. Đường thẳng d vuông góc với mp( α ):

d ⊥ a; d ⊥ b

⇒ d ⊥ (α )
a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp( α ) Tức là: a ∩ b
a,b ⊂ α

(α) ⊥ (β)


b) (α) ∩ (β) = a ⇒ d ⊥ ( α )
d
a ⊥ d ⊂ (β)

A
c) Đt d vuông góc với mp( α ) thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp( α )
4. Góc ϕ giữa đt d và mp( α ): d cắt ( α ) tại O và A∈ d
O
ϕ
AH ⊥ (α)
d'
ˆ =ϕ
Nếu 
thì góc giữa d và ( α ) là ϕ hay AOH
H
α
 H ∈ (α )
5. Góc giữa 2 mp( α ) và mp( β ):
(α) ∩ (β) = AB

Nếu  FM ⊥ AB;EM ⊥ AB
EM ⊂ (α),FM ⊂ (β)

ˆ =ϕ
thì góc giữa ( α ) và ( β ) là ϕ hay EMF
β

F

E

B

ϕ

M

α

A

6. Khoảng cách từ điểm A đến mp( α ):
Nếu AH ⊥ ( α ) thì d(A, ( α )) = AH (với H ∈ ( α ))
IX. KHỐI ĐA DIỆN:
1. Thể tích khối lăng trụ:
V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)
2. Thể tích khối chóp:

1
Bh (diện tích đáy là đa giác)
3
VS.A′B′C′ SA′ SB′ SC′
=
.
.
VS.ABC SA SB SC
Sxq = πRl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)

V=

3. Tỉ số thể tích của khối chóp:
4. Diện tích xq của hình nón tròn xoay:

www.tailieuthamkhao.edu.vn


www.tailieuthamkhao.edu.vn
5. Thể tích của khối nón tròn xoay:
6. Diện tích xq của hình trụ tròn xoay:
7. Thể tích của khối trụ tròn xoay:
8. Diện tích của mặt cầu:
9. Thể tích của khối nón tròn xoay:

1
Bh (diện tích đáy là đường tròn)
3
Sxq = 2 πRl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)
V = Bh = πR 2 h ( h: chiều cao khối trụ)
S = 4 πR 2 (R: bk mặt cầu )
4 3
V = πR (R: bán kính mặt cầu)
3

V=

www.tailieuthamkhao.edu.vn


www.tailieuthamkhao.edu.vn

PHẦN II: HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN
x A +x B +x C

x G =
3

y
+
y

A
B +yC
y G =
3

z A +zB +zC

zG =
3


I. CÔNG THỨC VECTƠ:
ℵ. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho

a = ( a1 ; a 2 ; a3 )


b = ( b1 ; b2 ; b3 )

và k ∈ R

Ta có:
 
1) a ± b = ( a1 ± b1 ; a 2 ± b2 ; a 3 ± b3 )



3) a.b = a1 b1 + a 2 b2 + a 3 b3

4) a = a12 + a 22 + a 32
2) ka = ( ka1 ; ka 2 ; ka 3 )

4) G là trọng tâm tứ diện ABCD


⇔ GA + GB + GC + GD = 0

x A + x B + xC + X D

x G =
4

y + y B + yC + y D

⇔ y G = A
4

z A + z B + zC + z D


zG =
4

5) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k. Ta có:





5) Tích có hướng của hai vectơ a và b là

[a, b] =  ab ba

a 3 a1 a1 a 2
;
 2 3 b3 b1 b1 b2
 
 
 
a, b = a . b .Sin a, b
2

6)

3






;

[ ]

( )

a1 = b1
 

7) a = b ⇔ a 2 = b 2
a = b
3
 3


  
8) a cùng phương b ⇔ a , b = 0
  
  
9) a ⊥ a , b hay b ⊥ a , b
  
  
10) a , b , c đồng phẳng ⇔ a , b .c = 0
 
11) a ⊥b ⇔ a1 b1 + a 2 b 2 + a 3 b3 = 0

x A −kx B

x M = 1 −k


y A −ky B

y M =
1 −k

z A −kz B

z M = 1 −k


[ ]
[ ]
[ ]

[ ]

↑ Ứng dụng của vectơ:

[

1
. AB, AC
2

]

•

S ∆ABC =

•

VHoäpABCD . A B C D = AB, AD . AA /

•

VTöùdieänABCD =

/

/

/

/

[

[

]

6) I là trung điểm của đoạn AB thì:
xA + xB

x I =
2

y A + yB


y I =
2

z A + z2

z I =
2

III. MẶT PHẲNG:
1) Giả sử mp ( α ) có cặp VTCP là :

]

1
. AB, AC . AD
6


a = ( a1 ; a 2 ; a 3 )

b = ( b1 ; b2 ; b3 )

II. TOẠ ĐỘ ĐIỂM:
Trog không gian Oxyz cho A( x A ; y A ; z A )

Nên có VTPT là:

B( x B ; y B ; z B )

    a 2 a 3 a 3 a1 a1 a 2 
;
;
n = a, b = 
b
b
b
b
b1 b2 
2
3
3
1

2) Phương trình tổng quát của mp ( α ) có

[ ]

1) AB = ( x B − x A ; y B − y A ; zB − z A )
2)

− x A ) + ( y B − y A ) + ( zB − z A )
3) G là trọng tâm ∆ABC , ta có:
AB =

( xB

2

2

, k ≠1

2

dạng:
Ax + By + Cz + D = 0

www.tailieuthamkhao.edu.vn


www.tailieuthamkhao.edu.vn
Với A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 ; trong đó

n = ( A; B; C ) là VTPT của mp ( α )
3) Phương trình các mặt phẳng toạ độ:
♦ (Oxy) : z = 0 ; (Ozy) : x = 0
♦ (Oxz) : y = 0
4) Chùm mặt phẳng:Cho hai mặt phẳng cắt
nhau: ( α 1 ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

( α 2 ) : A2 x + B2 y + C 2 z + D 2 = 0
P.tr của chùm mp xác định bởi ( α 1 ) và ( α 2 )
là:

λ ( A1 x + B1 y + C1z + D1 ) + µ ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0

với λ2 + µ 2 ≠ 0
5) Các vấn đề viết phương trình mặt
phẳng:

Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt phẳng
P.Pháp:

• Tìm VTPT n = ( A; B; C ) và điểm đi
qua M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 )
• dạng:

[

]

Mp (ABC) có VTPT là n = AB, AC
và qua A
• Kết luận.
Vấn Đề 3: Viết phương trình mp ( α ) đi qua
điểm A và vuông góc BC
P.Pháp:
Mp ( α ) ⊥ BC. Nên có VTPT là BC qua A
Chú ý:

• Trục Ox chứa i = ( 1;0;0 )
•



Trục Oy chứa j = ( 0;1;0 )



Trục Oz chứa k = ( 0;0;1)

Vấn Đề 4: Viết phương tình mp ( β ) là mặt
phẳng trung trực của AB.
•

/



Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt phẳng qua
ba điểm A, B, C
P.Pháp:
• Tính AB, AC



• M 0 ∈ ( β) ⇒ D
• Kết luận
Vấn Đề 6: Viết phương trình mp (P) đi qua
hai điểm A, B và vuông góc với mp (Q)
P.Pháp:
• Mp (P) có cặp VTCP là: AB và VTPT
của (Q) là n Q

A( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0

•

P.Pháp:
• Mp ( β ) ⊥ AB. Nên có VTPT là AB đi
qua I là trung điểm của AB

• Kết luận.
Vấn Đề 5: Viết phương tình mp ( β ) đi qua
điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) và song song với mặt
phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
P.pháp:
• ( β ) // ( α ) . Nên phương trình ( β ) có
dạng:
Ax + By + Cz + D / = 0

[





]

• Mp (P) có VTPT là n = AB, n Q và qua
A
• Kết luận.
Vấn Đề 7: Viết phương trình mp ( α ) đi qua
các điểm là hình chiếu của điểm
M ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) trên các trục toạ độ.
P.Pháp:* Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình
chiếu của điểm M trên Ox, Oy, Oz. Thì
M1(x0;0;0) , M2(0;y0;0) , M3(0;0;x0)

y
x
z

+ +
=1
x0 y
z0

* Phương trình mp ( α ) là:

Vấn Đề 8: Viết phương trình mp ( α ) đi qua
điểm M0 và vuông góc với hai mặt phẳng (P)
và (Q).
P.Pháp:

(P) có VTPT là n P
•



•
•
•

(Q) có VTPT là n Q

[



]

Mp ( α ) có VTPT là n P , n Q và qua Mo

Kết luận.

•

ϑ Vấn Đề 9: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) tại tiếp điểm A.
P.Pháp:
• Xác định tâm I của mặt cầu (S)

www.tailieuthamkhao.edu.vn


www.tailieuthamkhao.edu.vn
•
•

Mặt phẳng ( α ) : Mp tiếp diện có VTPT : IA
Viết phương trình tổng quát.

www.tailieuthamkhao.edu.vn


www.tailieuthamkhao.edu.vn
 x − x0 y − y0
=
 a
a2
 1

 x − x 0 = z − z0
 a1

a3

IV. ĐƯỜNG THẲNG:
ϑ Phương trình đường thẳng:
1) Phương trình tổng quát của đường thẳng:

 A1 x + B1 y + C 1 z + D1 = 0

 A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2

2) Phương trình tham số của đường thẳng đi
qua điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) có VTCP


a ( a1 ; a 2 ; a 3 ) là:
 x = x 0 + a1 t

y = y 0 + a 2 t
z = z + a t
0
3


( t ∈ R)

3) Phương trình chính tắc của đường thẳng đi

qua điểm M0 có VTCP: a ( a1 ; a 2 ; a 3 ) là

x − x 0 y − y 0 z − z0
=
=
a1
a2
a3

Với

a12 + a 22 + a 32 ≠ 0
Σ Qui ước: Nếu ai = 0 thì x – x0 = 0
ϑ Vấn Đề 1: Tìm VTCP của đường thẳng tổng
quát.

 A1 x + B1 y + C 1 z + D1 = 0
∆: 
 A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

P.Pháp:
  B1C1 C1 A1 A1 B1 

;
;

B
C
C
A
A
B

2
2
2
2
1
2


ϑ Vấn Đề 2: Viết phương trình đường thẳng ∆
:
P.Pháp:

•
Cần biết VTCP a = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) và
điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) ∈ ∆
•
Viết phương trình tham số theo công
thức (2)
•
Viết phương trình chính tắc theo công
thức (3)
•
Viết phương trình tổng quát. thì từ
phương trình chính tắc , ta có phương trình
tổng quát:

∆ có VTCP là : a = 

•
Rút gọn về dạng (1)

Σ Chú ý:
Viết phương trình tổng quát về phương trình tham
số Hoặc chính tắc. Ta tìm:

- VTCP u = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) bằng vấn đề 11
- Cho một ẩn bằng 0 Hoặc bằng một giá trị nào
đó. Giải hệ tìm x, y => z
- Có điểm thuộc đường thẳng
- Kết luận.
ϑ Vấn Đề 3: Viết ptr đường thẳng ∆ đi qua
điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) và vuông góc với mặt
phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
P.Pháp:

 Mp ( α ) có VTPT là n = ( A; B; C )
Đường
thẳng ∆ đi qua điểm M0 và có VTCP là


n

•

Viết phương trình chính tắc => Ptr
tổng quát
ϑ Vấn Đề 4: Viết phương trình hình chiếu của
d trên mp ( α )
P.Pháp:
• Gọi d/ là hình chiếu của d trê mp ( α )
• Gọi ( β ) là mặt phẳng chứa d và ( β ) ⊥( α )

• Nên ( β ) có cặp VTCP là


• VTCP của d là u d và n α là VTPT của mặt
phẳng ( α )
•
•
•
•



 

Mp ( β ) có VTPT n β = [ u d , n α ]
Mp ( β ) đi qua điểm M0 ∈ d
Viết phương trình tổng quát của Mp

( β)

( α ) :
( β) :

Phương trình đường thẳng d/: 

ϑ Vấn Đề 5: Viết phương trình đường thẳng d
qua điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) và vuông góc với hai
đường ∆ 1 và ∆ 2
P.Pháp:


• ∆ 1 có VTCP u1

• ∆ 2 có VTCP u 2

www.tailieuthamkhao.edu.vn


www.tailieuthamkhao.edu.vn
d vuông góc với ∆ 1 và ∆ 2 . Nên d có VTCP

 
là u d = [ u1 , u 2 ]
ϑ Vấn Đề 6: Viết phương trình đường thẳng d
đi qua điểm A và cắt cả hai đường ∆ 1 và ∆ 2 .
P.Pháp:
• Thay toạ độ A vào phương trình ∆ 1 và ∆ 2
•

⇒ A ∉ ∆1 , A ∉ ∆ 2

•

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa

∆1

•

Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa

•

P.tr đường thẳng d: 

∆2

( P ) :
( Q ) :

ϑ Vấn Đề 7: Viết phương trình đường thẳng d
⊂ ( P ) cắt cả hai đường ∆ 1 và ∆ 2 .
P.Pháp:
• Gọi A = ∆ 1 ∩ ( P )
• Gọi B = ∆ 2 ∩ ( P )
• Đường thẳng chính là đường thẳng AB
ϑ Vấn Đề 8: Viết phương trình đường thẳng
d // d1 và cắt cả hai đường ∆ 1 và ∆ 2 .
P.Pháp
Gọi (P) là mặt phẳng chứa ∆ 1 và (P) // d1
•
• Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ∆ 2 và (Q) // d1
•

d = ( P) ∩ (Q)

•

Phương trình đường thẳng d 

( P ) :

( Q ) :

ϑ Vấn Đề 9: Viết phương trình đường vuông
góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ∆ 1
và ∆ 2 .
P.Pháp:


• Gọi u1 và u 2 lần lượt là VTCP của ∆ 1 và ∆ 2
  
• Gọi v = [ u1 , u 2 ]
• Gọi (P) là mặt phẳng chứa ∆ 1 và có một

 

VTCP là v . Nên có VTPT là n P = [ u1 , v ] ⇒
phương trình mặt phẳng (P)
• Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ∆ 2 và có một



 

VTCP là v . Nên có VTPT là n Q = [ u 2 , v ]
⇒ phương trình mặt phẳng (Q)



•

Phương trình đường vuông góc chung

( P ) :
( Q ) :

của ∆ 1 và ∆ 2 : 

ϑ Vấn Đề 10: Viết phương trình đường thẳng d
vuông góc (P) và cắt hai đường thẳng ∆ 1 và

∆2

P.Pháp:
•

Gọi ( α ) là mặt phẳng chứa

∆ 1 và có một VTCP là n P ( VTPT của (P) )
•
Gọi ( β ) là mặt phẳng chứa
∆ 2 và có một VTCP là n P ( VTPT của (P) )

•
Đường thẳng d = ( α ) ∩ ( β )
ϑ Vấn Đề 11: Viết phương trình đường thẳng d
đi qua điểm M0 vuông góc với đường thẳng ∆ 1
và cắt đường thẳng ∆ 2
P.Pháp:
• Gọi ( α ) là mặt phẳng đi qua M0 và vuông
góc ∆ 1

• Gọi ( β ) là mặt phẳng đi qua điểm M0 và chứa

∆2

• Đường thẳng d = ( α ) ∩ ( β )
ϑ Vấn Đề 12: Viết phương trình đường thẳng d
đi qua giao điểm của đường thẳng ∆ và mặt
phẳng ( α ) và d ⊂ ( α ) , d⊥∆
P.Pháp:
 Gọi { A} = ∆ ∩ ( α )
 Gọi ( β ) là mặt phẳng đi qua A và
vuông góc với ∆ . Nên ( β ) có VTPT
là VTCP của ∆
Đường thẳng d = ( α ) ∩ ( β )
V. MẶT CẦU:
1. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) bán
kính R là: (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2
2. Mặt cầu (S) có phươngtrình : x2 + y2 + z2 - 2ax
- 2by -2cz + d = 0 với đk a2 + b2 + c2 –d > 0
thì (S) có :
Tâm I(a ; b ; c)
Bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d
ϑ Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt cầu
P.Pháp:
Cần:
• Xác định tâm I(a ; b ; c) của mặt cầu
• Bán kính R

www.tailieuthamkhao.edu.vn

www.tailieuthamkhao.edu.vn
•

Viết phương trình mặt cầu
(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2
ϑ Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt cầu đường
kính AB
P.Pháp:

• Gọi I là trung điểm của AB. Tính toạ
độ I => I là tâm mặt cầu
•

Bán kính R =

1
AB
2

•
Viết phương trình mặt cầu
ϑ Vấn Đề 3: Viết phương trình mặt cầu (S) có
tâm I(a ; b ; c) và tiếp xúc với ( α ) : Ax + By +
Cz + D = 0
P.Pháp:
•
Mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với
( α ) . Nên có bán kính
R = d ( I , ( α) )

•

=

Ax I + By I + Cz I + D
A2 + B2 + C 2

•
Viết phương trình mặt cầu
ϑ Vấn Đề 4: Viết phương trình mặt cầu (S)
ngoại tiếp tứ diện ABCD
P.Pháp:
• Phương trình mặt cầu (S) có dạng
x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By +2Cz + D = 0
• A, B, C, D thuộc (S). Ta có hệ phương
trình
• Giải hệ phương trình tìm A, B, C, D
• Kết luận
ϑ Vấn Đề 5: Lập phương trình mặt cầu đi qua
ba điểm A, B, C có tâm nằm trên mặt phẳng
Oxy
P.Pháp:
•
Gọi I(xI ; yI ; 0) là tâm của mặt cầu,

I ∈ ( Oxy )

•

2

2

Ta có AI = BI = CI

2

 AI = BI
2

•

2

Ta có Hpt 

2
2
 AI = CI
⇒ IA = R
• Giải Hpt ⇒ I

• Kết luận
VI. KHOẢNG CÁCH:
1) Khoảng cách giữa hai điểm AB

AB =

( xB

− x A ) + ( y B − y A ) + ( zB − z A )
2

2

2

2) Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0 ; z0) đến mặt
phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0

Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D

d ( M 0 , ( α) ) =

A2 + B2 + C 2

3) Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng d
• Lấy M0 ∈ d

• Tìm VTCP của đường thẳng d là u

d ( M1 , d ) =

[M M , u]
0

1


u

4) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
∆ và ∆/
•



Gọi u và u / lần lượt là VTCP của ∆
và ∆/

∆ đi qua điểm M0 , M 0/ ∈ ∆/

u , u / .M 0 M 0/
d ( ∆ , ∆/ ) =

u, u /
•

[ ]
[ ]

VII.GÓC:

1. Góc giữa hai vectơ a và
Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ


a.b
Cosϕ =   =
a.b


b


a và b
a1 b1 + a 2 b2 + a 3 b3

a12 + a 22 + a 32 . b12 + b22 + b32

2. Góc giữa hai đường thẳng (a) và (b)
Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng (a) và (b)

( 0 ≤ ϕ ≤ 90 )
0

Đường thẳng (a) và (b) có VTCP lần lượt là :


a = ( a1 , a 2 , a 3 )

b = ( b1 , b2 , b3 )


a.b
Cosϕ =   =
a.b

a1 b1 + a 2 b2 + a 3 b3

a12 + a 22 + a 32 . b12 + b22 + b32

 Đặc biệt: a⊥b ⇔ a.b = 0
3. Góc giữa hai mặt phẳng ( α ) và ( α / )
( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
( α / ) : A/x + B/y + C/z + D/ = 0
Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( α ) và ( α / )

www.tailieuthamkhao.edu.vn


www.tailieuthamkhao.edu.vn
Cosϕ =

AA / + BB / + CC /

A2 + B2 + C 2 . A/ 2 + B/ 2 + C / 2
4. Góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng ( α )

(d): có VTCP là u = (a, b, c)
( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi ϕ là góc nhọn giữa (d) và ( α )
Aa + Bb + Cc
Sinϕ =
A2 + B2 + C 2 . a2 + b2 + c2
5. Vị trí tương đối giữa mp ( α ) và mặt cầu (S)
có tâm I, bán kính R
P.Pháp:
• Tính d(I, ( α ) )
• Nếu d(I, ( α ) ) > R => ( α ) không cắt (S)

• Nếu d(I, ( α ) ) = R => ( α ) tiếp xúc (S)
• Nếu d(I, ( α ) ) < R => ( α ) cắt (S) theo một
đường tròn giao tuyến có bán kính

r = R 2 − [ d( I , ( α) ) ]

2

Gọi d/ là đường thẳng đi qua tâm I và d / ⊥( α )

Gọi { H } = d / ∩ ( α ) ⇒ H là tâm đường tròn
giao tuyến

www.tailieuthamkhao.edu.vn


5. Tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆
và mặt cầu (S)
P.Pháp:
* Viết phương trình đường ∆ về dạng
phương trình tham số
* Thay vào phương trình mặt cầu (S) ta
được phương trình ( ) theo t
♦ Nếu ptr () vô nghiệm => ∆ không
cắt mặt cầu (S)
♦ Nếu ptr () có nghiệm kép => ∆ cắt
(S) tại một điểm
Nếu ptr () có hai nghiệm => ∆ cắt (S) tại
hai điểm. Thế t = ... vào phương trình tham
số của ∆ => Tọa độ giao điểm

ϑ Vấn Đề 1: Tọa độ điểm M/ đối xứng
của M qua mặt phẳng ( α )
P.Pháp:
•
Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) là điểm đối xứng của
M qua ( α )
•
Gọi d là đường thẳng đi qua M và

d⊥( α ) . Nên d có VTCP là n
•
Viết phương trình tham số của d
•
Gọi { H } = d ∩ ( α )
•
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương

( d ) :
=> Tọa độ điểm H
( α ) :

trình 
•

Vì H là trung điểm của MM/ => Tọa độ
điểm M/
ϑ Vấn Đề 2: Tìm tọa độ điểm M/ đối
xứng của M0 qua đường thẳng d
P.Pháp:


Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ )

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm
M0 và ( P ) ⊥d . Nên (P) nhận VTCP của d
làm VTPT

Gọi { H } = d ∩ ( P )

M/ là điểm đối xứng của M0 qua
đường thẳng d. Nên H là trung điểm của
đoạn M0M/


x0 + x /
x H =
2

y0 + y /

Ta có:  y H =
2


z0 + z /
z
=
 H
2


=> M/

22

WWW.ToanCapBa.Net