Đáp án đề thi cao đẳng môn toán khối A năm 2008

ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2011
Môn: TOÁN; Khối: A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

1 3
x + 2 x 2 − 3 x +1.
3
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = −

Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình cos 4 x + 12sin 2 x − 1 = 0.

2. Giải bất phương trình 4 x − 3.2 x +

x2 − 2 x − 3
2

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫
1

− 41+

x2 − 2 x − 3

> 0.

2x +1
dx.
x( x + 1)

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, SA vuông
góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 30o. Gọi M là trung điểm
của cạnh SC. Tính thể tích của khối chóp S.ABM theo a.
Câu V (1,0 điểm) Tìm các giá trị của tham số thực m để phương trình sau có nghiệm
6 + x + 2 (4 − x)(2 x − 2) = m + 4 4 − x + 2 x − 2
( x ∈ \).

(

)

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x + y + 3 = 0. Viết phương trình đường
thẳng đi qua điểm A(2; − 4) và tạo với đường thẳng d một góc bằng 45o.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(−1; 2; 3), B(1; 0; −5) và mặt phẳng
( P) : 2 x + y − 3z − 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng.
Câu VII.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i ) 2 z + z = 4i − 20. Tính môđun của z.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình các cạnh là
AB: x + 3 y − 7 = 0, BC: 4 x + 5 y − 7 = 0, CA : 3x + 2 y − 7 = 0. Viết phương trình đường cao kẻ từ

đỉnh A của tam giác ABC.
x −1 y +1 z −1
=
=
. Viết phương trình
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :
−3
4
1
mặt cầu có tâm I(1; 2; − 3) và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho AB = 26.
Câu VII.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn z 2 − 2(1 + i ) z + 2i = 0. Tìm phần thực và phần ảo của
----------- Hết ---------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ...............................................................................; Số báo danh: ...........................

1
.
z


ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2011
Môn: TOÁN; Khối A
(Đáp án - thang điểm gồm 03 trang)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM

Câu
I
(2,0 điểm)

Đáp án

Điểm

1. (1,0 điểm)
• Tập xác định: D = \.

⎡x =1
• y ' = − x 2 + 4 x − 3; y ' = 0 ⇔ ⎢
⎣ x = 3.
• Giới hạn:

0,25

lim y = + ∞, lim y = − ∞.

x →− ∞

x→ + ∞

• Bảng biến thiên:

x −∞
y’
+∞
y

1
0

−

−

+

3
0
1

+∞
−
0,25

1
3

−∞

- Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 3); nghịch biến trên mỗi khoảng (− ∞; 1) và (3; + ∞).
1
- Hàm số đạt cực đại tại x = 3, yCĐ = 1; đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = − ⋅
3
• Đồ thị:

0,25

y

1
O
1
−−
3

1
3

x

0,25

2. (1,0 điểm)

II
(2,0 điểm)

Tọa độ giao điểm của (C) với trục tung là (0; 1).

0,25

Hệ số góc của tiếp tuyến là k = y '(0) = − 3.

0,25

Phương trình tiếp tuyến là y = k ( x − 0) + 1

0,25

⇔ y = −3 x + 1.

0,25

1. (1,0 điểm)

Phương trình đã cho tương đương với 2cos 2 2 x − 1 + 6(1 − cos 2 x) − 1 = 0

0,25

⇔ cos 2 2 x − 3cos 2 x + 2 = 0.

0,25

• cos2x = 2: Vô nghiệm.

0,25

• cos 2 x = 1 ⇔ x = kπ (k ∈ Z).

0,25
Trang 1/3


Câu

Đáp án

Điểm

2. (1,0 điểm)
Điều kiện: x ≤ −1 hoặc x ≥ 3.

Bất phương trình đã cho tương đương với 4 x −
Đặt t = 2 x −

x 2 − 2 x −3

− 3.2 x −

x 2 − 2 x −3

0,25

− 4 > 0.

x 2 − 2 x −3

0,25

> 0, bất phương trình trên trở thành t 2 − 3t − 4 > 0 ⇔ t > 4 (do t > 0)
7
⇔ x2 − 2 x − 3 < x − 2 ⇔ 2 < x < ⋅
2
7
Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là 3 ≤ x < ⋅
2

III
(1,0 điểm)

0,25
0,25

2

1 ⎞
⎛1
Ta có I = ∫ ⎜ +
⎟ dx.
x x +1⎠
1⎝
2

•

2

∫ x dx = l n | x | 1 = ln 2.

1
2

•

1

0,25

1

0,25

2

∫ x + 1 dx = l n | x + 1| 1 = ln 3 − ln 2.

0,25

1

IV

Do đó I = ln 3.
S

0,25

(1,0 điểm)

M

A

C

Ta có SA ⊥ BC, AB ⊥ BC ⇒ SB ⊥ BC.
n = 30o.

Do đó, góc giữa (SBC) và (ABC) bằng SBA

0,25

1
1
VS . ABM = VS . ABC = SA. AB.BC.
2
12

0,25

BC = AB = a; SA = AB.tan 30o =

Vậy VS . ABM =

V
(1,0 điểm)

B
Điều kiện: 1 ≤ x ≤ 4.
Xét f ( x) = 4 − x + 2 x − 2, 1 ≤ x ≤ 4.
−1
1
f '( x) =
+
; f '( x) = 0 ⇔ x = 3.
2 4− x
2x − 2
• Bảng biến thiên (hình bên).

a 3
⋅
3

0,25

a3 3
⋅
36

0,25

x
f’(x)

1

3
0
3

+

4
−

0,25

6

f(x)

3
Đặt t = 4 − x + 2 x − 2. Phương trình đã cho trở thành t 2 − 4t + 4 = m (1). Dựa vào bảng biến

thiên, ta được phương trình đã cho có nghiệm ⇔ (1) có nghiệm t thỏa mãn
Xét g (t ) = t 2 − 4t + 4, 3 ≤ t ≤ 3.
g '(t ) = 2t − 4; g '(t ) = 0 ⇔ t = 2.
• Bảng biến thiên (hình bên).

t
g’(t)

3 ≤ t ≤ 3.

3
−

2
0

7−4 3

0,25

3
+
1

0,25

g(t)
0
VI.a
(2,0 điểm)

Dựa vào bảng biến thiên, ta được giá trị m cần tìm là 0 ≤ m ≤ 1.
1. (1,0 điểm)
JJG
Phương trình của đường thẳng ∆ qua A(2; − 4) và có vectơ pháp tuyến v = (a; b) là
a( x − 2) + b( y + 4) = 0, với a 2 + b 2 ≠ 0.
JJG
Vectơ pháp tuyến của d là u = (1; 1). Do đó cos(d , ∆ ) =

|a+b|
2. a 2 + b 2

⋅

0,25
0,25
0,25

cos(d , ∆ ) = cos 45o ⇔ ab = 0.

0,25

Với a = 0, ta có phương trình ∆ : y + 4 = 0; với b = 0, ta có phương trình ∆ : x − 2 = 0.

0,25

Trang 2/3


Câu

Đáp án

Điểm

2. (1,0 điểm)

VII.a
(1,0 điểm)

A, B, M thẳng hàng ⇔ M thuộc đường thẳng AB.
JJJG
Ta có AB = (2; −2; −8) = 2(1; −1; − 4); M ∈ AB ⇒ M (−1 + t ; 2 − t ; 3 − 4t ).

0,25

M ∈ ( P ) ⇒ 2(−1 + t ) + (2 − t ) − 3(3 − 4t ) − 4 = 0

0,25
0,25

⇒ t = 1. Vậy M (0; 1; − 1).
Đặt z = a + bi (a, b ∈ \ ). Đẳng thức đã cho trở thành (−3 + 4i )(a + bi ) + (a − bi ) = 4i − 20
⎧a + 2b = 10

⇔⎨
⎩a − b = 1
⎧a = 4
⇔⎨
⎩b = 3.

(2,0 điểm)

0,25
0,25
0,25

Do đó | z | = 42 + 32 = 5.
VI.b

0,25

0,25

1. (1,0 điểm)

⎧x + 3y − 7 = 0
Tọa độ của điểm A thỏa mãn hệ phương trình ⎨
⎩3x + 2 y − 7 = 0
⇒ A(1; 2).
JJG
Đường cao kẻ từ A có vectơ pháp tuyến là n = (5; − 4).
Phương trình đường cao là 5( x − 1) − 4( y − 2) = 0 ⇔ 5 x − 4 y + 3 = 0.

0,25

0,25
0,25
0,25

2. (1,0 điểm)

Mặt phẳng (P) qua I và vuông góc với d có phương trình là 4( x − 1) − 3( y − 2) + ( z + 3) = 0
⇔ 4 x − 3 y + z + 5 = 0.

0,25

⎧ x −1 y +1 z −1
=
=
1 1⎞
⎪
⎛
Tọa độ giao điểm H của d và (P) thỏa mãn hệ ⎨ 4
1 ⇒ H ⎜ −1; ; ⎟ .
−3
2 2⎠
⎝
⎩⎪4 x − 3 y + z + 5 = 0

0,25

2

VII.b
(1,0 điểm)

⎛ AB ⎞
Bán kính mặt cầu là R = IH 2 + ⎜
⎟ = 5.
⎝ 2 ⎠

0,25

Phương trình mặt cầu là ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z + 3) 2 = 25.

0,25

Phương trình bậc hai theo z có ∆ = 4(1 + i )2 − 8i = 0
⇒ z =1+ i
1
1
1 1
⇒ =
= − i.
z 1+ i 2 2
1
1
1
1
Vậy phần thực của bằng , phần ảo của bằng − ⋅
z
2
z
2

0,25

------------- Hết -------------

Trang 3/3

0,25
0,25
0,25