Chinh phục điểm 9 trong kỳ thi THPT quốc gia năm 2016 môn toán

Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

CHINH PHỤC ĐIỂM 9 TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016 – P3
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
 y 2 + 4 x + 2 y + ( y + 1) 1 − 2 x = 1
Câu 1: Giải hệ phương trình sau  2
2
2 y + y − 4 x + 2 (1 − y − 2 x ) y + 1 = 2
Lời giải
1

x ≤
Điều kiện: 
2
 y ≥ −1
Phương trình (1) của hệ phương trình đã cho tương đương
y 2 + 2 y + 1 + 4 x − 2 + ( y + 1) 1 − 2 x = 0 ⇔ ( y + 1) + ( y + 1) 1 − 2 x − 2 (1 − 2 x ) = 0
2

 y + 1 = 1 − 2 x ⇔ ( y + 1)2 = 1 − 2 x ⇔ 2 x = − y 2 − 2 y
⇔ y + 1 + 2 1 − 2x y + 1 − 1 − 2x = 0 ⇔ 
 y + 1 + 1 − 2 x = 0 ( l )
Thay 2 x = − y 2 − 2 y vào phương trình ( 2 ) của hệ phương trình ta có

(

)(

)

2 y 2 + y + 2 y 2 + 4 y + 2 (1 − y 2 + y 2 + 2 y ) y + 1 = 2 ⇔ 4 y 2 + 5 y + 2 ( 2 y + 1) y + 1 = 2

(

⇔ ( 2 y + 1) + 2 ( 2 y + 1) y + 1 + ( y + 1) = 4 ⇔ 2 y + 1 + y + 1
2

• Với 2 y + 1 + y + 1 = 2 ⇔

)

2

2 y + 1 + y + 1 = 2
=4⇔
 2 y + 1 + y + 1 = −2

1

1

y ≤ 2
y ≤
y +1 = 1− 2y ⇔ 
⇔
⇒ y =0⇒ x=0
2
2

2

4 y − 5 y = 0

 y + 1 = (1 − 2 y )

• Với 2 y + 1 + y + 1 = −2 ⇔ 2 y + 3 + y + 1 = 0 ⇔ 2 ( y + 1) + y + 1 + 1 = 0 ( l )

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y ) = ( 0; 0 )

Câu 2: [Trích đề thi thử trường chuyên Lê Hồng Phong – Tp HCM - Lần 1 – 2015]
x − y 2 − x + 2 y2 = 2

Giải hệ phương trình 
2 x + 2 − 4 y + 8 y xy + 2 y = 34 − 15 x
Lời giải:
−
2
≤
x
≤
2

Điều kiện: 
y ≥ 0

(

)

Phương trình (1) của hệ phương trình tương đương

 2 − x = y ⇔ 2 − x = y2 ⇔ x = 2 − y2
(2 − x) + y 2 − x − 2 y = 0 ⇔ 2 − x + 2 y 2 − x − y = 0 ⇔ 
 2 − y + 2 y = 0 ( l )
Thay x = 2 − y 2 vào phương trình ( 2 ) của hệ phương trình ta có
2

(

)(

)

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
2

Facebook: Lyhung95

)

(

4 − y 2 − 4 y + 8 y y ( 4 − y 2 ) = 34 − 15 ( 2 − y 2 ) ⇔ 2 4 − y 2 − 8 y + 8 y 4 − y 2 = 15 y 2 + 4

⇔ 2 ( 4 y + 1) 4 − y 2 = 15 y 2 + 8 y + 4 ⇔ ( 4 y + 1) − 2 ( 4 y + 1) 4 − y 2 + ( 4 − y 2 ) − 1 = 0
2

(

⇔ 4y +1− 4 − y

• Với

2

)

2

4 y + 1 − 4 − y 2 = 1
 4 − y2 = 4 y
=1⇔ 
⇔
 4 y + 1 − 4 − y 2 = −1
4 y + 2 = 4 − y2



4 − y 2 = 4 y ⇔ 4 − y 2 = 16 y 2 ⇔ y 2 =

4
2
30
⇔ y=
⇒x=
17

17
17

• Với 4 y + 2 = 4 − y 2 ⇔ ( 4 y + 2 ) = 4 − y 2 ⇔ 17 y 2 + 16 y = 0 ⇔ y = 0 ⇒ x = 2
2

 2 30 
;  , ( 2; 0 )
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y ) = 
 17 17 
Câu 3: [Trích đề thi thử trường chuyên ĐHSP - Lần 1 – 2015]
Giải phương trình

2 x 2 + 3x − 2 − 3 x + 6 = 4 − 2 x 2 + 11x − 6 + 3 x + 2
Lời giải:

1
2
Phương trình đã cho tương đương

Điều kiện: x ≥

( 2 x − 1)( x + 2 ) − 3
⇔ 2x − 1

(

x + 6 = ( x + 6) − ( x + 2) −

) (

x+ 2 + x +6 −3

) (

x+6+ x+2 =

⇔ 2x − 1 − 3 = x + 6 − x + 2 ⇔
x−7

( 2 x − 1)( x + 6 ) + 3

(

x+2

x+6+ x+2

) (

2x − 1 − x + 6 +

)

x−7

+

x+6− x+2

)

x+2 −3 = 0


1
= 0 ⇔ ( x − 7) 
+
2x −1 + x + 6
x+2 +3
 2x −1 + x + 6
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {7}
⇔

)(


=0⇔ x=7
x + 2 +3
1

Câu 4: Giải phương trình 12 x 2 + 55 x + 50 − 4 3x + 10 = 4 3x + 1 + 9 − 12 x 2 + 19 x + 5
Lời giải
1
Điều kiện: x ≥ −
3
Phương trình đã cho tương đương

( 4 x + 5 )( 3x + 10 ) − 4
⇔ 4x + 5

(

3 x + 10 = 4 3 x + 1 + ( 3 x + 10 ) − ( 3 x + 1) −

) (

3 x + 10 + 3 x + 1 − 4

⇔ 4 x + 5 − 4 = 3 x + 10 − 3 x + 1 ⇔
x−5

3 ( x − 5)

) (

3 x + 10 + 3 x + 1 =

(

( 4 x + 5 )( 3 x + 1)

3 x + 10 + 3 x + 1

) (

4 x + 5 − 3 x + 10 +

)

)(

3 x + 10 − 3 x + 1

)

3x + 1 − 5 = 0



1
3
= 0 ⇔ ( x − 5) 
+
=0⇔ x=5
4 x + 5 + 3 x + 10
3x + 1 + 4
3x + 1 + 5 
 4 x + 5 + 3 x + 10
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {5}
⇔

+

Câu 5: [Trích đề thi thử trường chuyên KHTN - Lần 1 – 2015]
 x2 + y2 = 2

Giải hệ phương trình  2 x 5
2
 x + y + ( xy + 1) = 5


Lời giải:
ĐK: x + y ≠ 0
(*)

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

2 x5
= 4 − 2 xy − x 2 y 2 ⇔ 2 x5 = ( x + y ) ( 4 − 2 xy − x 2 y 2 ) .
x+ y
2
2
Ta có 4 = ( x 2 + y 2 ) nên 2x 5 = ( x + y ) ( x 2 + y 2 ) − ( x 2 + y 2 ) xy − x 2 y 2 



Khi đó (2) ⇔

(3)

+) Với y = 0 ⇒ (3) thành 2 x 5 = x ( x 4 − 0 − 0 ) ⇔ x 5 = 0 ⇔ x = 0 ⇒ x 2 + y 2 = 0 ≠ 1 ⇒ Loại

2
  x2
 x x2 

2 x 5  x   x 2
+) Với y ≠ 0 thì (3) ⇔ 5 =  + 1  2 + 1 −  2 + 1 . − 2  .
y
 y   y
 y
 y y 
2
x
Đặt t = ⇒ 2t 5 = ( t + 1) ( t 2 + 1) − ( t 2 + 1) t − t 2 


y

⇔ 2t 5 = ( t + 1) ( t 4 − t 3 + t 2 − t + 1)

⇔ 2t 5 = t 5 + 1 ⇔ t 5 = 1 ⇔ t = 1 ⇒

x
= 1 ⇒ x = y.
y

x = 1⇒ y = 1
Thế vào (1) ta được 2 x 2 = 2 ⇔ x 2 = 1 ⇔ 
 x = −1 ⇒ y = −1
Thử lại ta thấy đều thỏa mãn hệ đã cho.
Đ/s: ( x; y ) = {(1;1) , ( −1; −1)}
 x 2 + y ( x + 2 ) = ( y + 1)2

Câu 6: Giải hệ phương trình  x5 + y 5
− 1 = xy ( x + y )( y − 1)


 y +1
ĐK: y ≠ −1

Lời giải
(*)

Khi đó (2) ⇔ x5 + y 5 − y − 1 = xy ( y + 1)( x + y )( y − 1)

⇔ x5 + y 5 − y − 1 = y ( y + 1)( y − 1) ( x 2 + xy ) .

Ta có (1) ⇔ x 2 + xy + 2 y = y 2 + 2 y + 1 ⇔ x 2 + xy = y 2 + 1

⇒ x5 + y 5 − y − 1 = y ( y + 1)( y − 1) ( y 2 + 1)
⇔ x5 + y 5 − y − 1 = y ( y 2 − 1)( y 2 + 1)

⇔ x 5 + y 5 − y − 1 = y ( y 4 − 1) = y 5 − y ⇔ x5 = 1 ⇔ x = 1

y = 0
⇒ 1 + y = y2 +1 ⇔ y2 − y = 0 ⇔ 
y =1
Thử lại ta thấy ( x; y ) = {(1;1) , (1;0 )} thỏa mãn hệ đã cho.

Đ/s: ( x; y ) = {(1;1) , (1;0 )}

( x + y )3 = 2 + 3xy ( x + y )

Câu 7: Giải hệ phương trình 
1
5

4
4
 x + xy = ( x + y ) ( x + y )

2
Lời giải
ĐK: x, y ∈ ℝ

(*)

Khi đó (1) ⇔ x + y + 3xy ( x + y ) = 2 + 3 xy ( x + y ) ⇔ x3 + y 3 = 2
3

3

(3)

Ta có (2) ⇔ 2 x5 + 2 xy = ( x + y ) ( x 4 + y 4 ) = x5 + y 5 + xy 4 + x 4 y

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

⇒ 2x5 + ( x3 + y 3 ) xy = x5 + y 5 + xy 4 + x 4 y

⇔ 2 x5 + x 4 y + xy 4 = x5 + y 5 + xy 4 + x 4 y ⇔ x 5 = y 5 ⇔ x = y.
Thế vào (3) ta được 2 x 3 = 2 ⇔ x 3 = 1 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1, thỏa mãn hệ đã cho.

Đ/s: ( x; y ) = (1;1)

Câu 8: [Trích đề thi thử trường chuyên Quốc Học Huế - Lần 1 – 2015]
 x 2 + 4 y ( x − 5 ) − 1 = 4 y 2 − x + 2 2 y
Giải hệ phương trình 
4 y ( x − 4 ) + x = 2 x − 1
Lời giải:
x ≥ 1
ĐK: 
(*)
y ≥ 0
Khi đó (1) ⇔ x 2 + 4 xy − 20 y − 1 = 4 y 2 − x + 2 2 y .
Ta có (2) ⇔ 4 xy − 16 y + x = 2 x − 1 ⇔ 4 xy = 16 y − x + 2 x − 1

(

)

⇒ x 2 + 16 y − x + 2 x − 1 − 20 y − 1 = 4 y 2 − x + 2 2 y ⇔ x 2 + 2 x − 1 = 4 y 2 + 4 y + 1 + 2 2 y

⇔ x 2 + 2 x − 1 = ( 2 y + 1) + 2
2

( 2 y + 1) − 1 ⇔ f ( x ) = f ( 2 y + 1)

(3)

1
> 0, ∀t ∈ (1; +∞ ) .
t −1

Kết hợp với f ( t ) liên tục trên [1; +∞ ) ⇒ f ( t ) đồng biến trên [1; +∞ ) .

Xét hàm số f ( t ) = t 2 + 2 t − 1 với t ∈ [1; +∞ ) ta có f ' ( t ) = 2t +

Do đó (3) ⇔ x = 2 y + 1 ⇔ 2 y = x − 1.
Thế vào (2) ta được 2 ( x − 1)( x − 4 ) + x = 2 x − 1 ⇔ 2 x 2 − 9 x + 8 = 2 x − 1
⇔ 2 ( x − 2) = x − 2 x −1 = x −1 − 2 x −1 + 1 =
2

(

)

x −1 + 1

2

( x − 2 ) 2 = x − 1 + 1  x − 1 = x 2 − 2 2 − 1
⇔
⇔
( 2 − x ) 2 = x − 1 + 1  x − 1 = − x 2 + 2 2 − 1
•

TH1.

x 2 − 2 2 −1 ≥ 0

x −1 = x 2 − 2 2 −1 ⇔ 
 x − 1 = x 2 − 2 2 − 1

(

)

2


5+2 2
3+ 2 2
x 2 ≥ 1+ 2 2
⇔ 2
⇔x=
⇒y=
.
2
4
2 x − 9 + 2 2 x + 10 + 4 2 = 0

(

•

TH2.

)

− x 2 + 2 2 − 1 ≥ 0

x −1 = −x 2 + 2 2 −1 ⇔ 
 x − 1 = − x 2 + 2 2 − 1

(

)

2


5−2 2
3− 2 2
x 2 ≤ 2 2 −1
⇔ 2
⇔x=
⇒ y=
.
2
4
2 x − 9 − 2 2 x + 10 − 4 2 = 0

(

)

 5 + 2 2 3 + 2 2   5 − 2 2 3 − 2 2  
Đ/s: ( x; y ) = 
;
;
, 

2

4  
2
4  

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

 x 2 + xy − y 2 = y − x + 2 y + 4
Câu 9: Giải hệ phương trình 
 x + y + xy = 3 + 2 x − 1
Lời giải
x ≥ 1
ĐK: 
(*)
y ≥ 0
Khi đó ta có ( x 2 + xy − y 2 ) + 3 + 2 x − 1 = y − x + 2 y + 4 + ( x + y + xy )

(

) (

)

⇔ x − y + 2 x −1 = 2 y +1 + 2 y ⇔ x + 2 x −1 = y + 2 y + 1 + 2 y
2

2

2

⇔ x 2 + 2 x − 1 = ( y + 1) + 2
2

2

( y + 1) − 1 ⇔ f ( x ) = f ( y + 1)

(3)

1
> 0, ∀t ∈ (1; +∞ ) .
t −1
Kết hợp với f ( t ) liên tục trên [1; +∞ ) ⇒ f ( t ) đồng biến trên [1; +∞ ) .
Xét hàm số f ( t ) = t 2 + 2 t − 1 với t ∈ [1; +∞ ) ta có f ' ( t ) = 2t +

Do đó (3) ⇔ x = y + 1 ⇔ y = x − 1.
Thế vào (2) ta được x + x − 1 + x ( x − 1) = 3 + 2 x − 1 ⇔ x 2 + x − 4 = 2 x − 1
x −1 −1
+ x2 − x − 2 = 0
x −1 +1
 2 x −1

2 ( x − 2) x −1
⇔
+ ( x − 2 )( x + 1) = 0 ⇔ ( x − 2 ) 
(4)

+ x + 1  = 0
1 + x −1
 1 + x −1

⇔ 2 x −1

(

)

x − 1 − 1 − 2 ( x − 1) + x 2 + x − 4 = 0 ⇔ 2 x − 1.

2 x −1
+ x + 1 > 0 nên (4) ⇔ x = 2 ⇒ y = 1, thỏa mãn hệ đã cho.
1 + x −1
Đ/s: ( x; y ) = ( 2;1)

Với x ≥ 1 ⇒

2 x 2 − y 2 + x 2 y = y + 2 y + 8
Câu 10: Giải hệ phương trình 
2
2
 x + y + x y = 7 + 2 x − 1

Lời giải
x ≥ 1
ĐK: 
y ≥ 0

(*)

(

) (

)

Khi đó ta có ( 2 x 2 − y 2 + x 2 y ) + 7 + 2 x − 1 = y + 2 y + 8 + ( x 2 + y + x 2 y )

⇔ x2 − y2 + 2 x −1 = 2 y + 2 y +1
⇔ x2 + 2 x −1 = y2 + 2 y + 1 + 2 y
⇔ x 2 + 2 x − 1 = ( y + 1) + 2

( y + 1) − 1

⇔ f ( x ) = f ( y + 1)

(3)

2

1
> 0, ∀t ∈ (1; +∞ ) .
t −1
Kết hợp với f ( t ) liên tục trên [1; +∞ ) ⇒ f ( t ) đồng biến trên [1; +∞ ) .

Xét hàm số f ( t ) = t 2 + 2 t − 1 với t ∈ [1; +∞ ) ta có f ' ( t ) = 2t +

Do đó (3) ⇔ x = y + 1 ⇔ y = x − 1.

Thế vào (2) ta được x 2 + x − 1 + x 2 ( x − 1) = 7 + 2 x − 1 ⇔ x3 + x − 8 = 2 x − 1

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
x −1 −1
+ x3 − x − 6 = 0
x −1 +1
 2 x −1

2 ( x − 2) x −1
⇔
+ ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 3) = 0 ⇔ ( x − 2 ) 
+ x 2 + 2 x + 3  = 0
1 + x −1
 1 + x −1

⇔ 2 x −1

(

Facebook: Lyhung95

)

x − 1 − 1 − 2 ( x − 1) + x3 + x − 8 = 0 ⇔ 2 x − 1.

(4)

2 x −1
+ x 2 + 2 x + 3 > 0 nên (4) ⇔ x = 2 ⇒ y = 1, thỏa mãn hệ đã cho.
1 + x −1
Đ/s: ( x; y ) = ( 2;1)
Với x ≥ 1 ⇒

Thầy Đặng Việt Hùng

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!