Luyện thi THPT quốc gia năm 2016 môn toán (quyển 1) mai nguyễn minh hoàng

TàiliệuluyệnthiTrunghọcPhổThôngQuốcGiaMôn
To
ánNăm2016MaiNguyễnMinhHoàng
Quyển1-Tháng8năm2015Học,họcnữa,họcmãi
LUY
LUY
LUY
LUYỆ
Ệ
Ệ
ỆN
N
N
NTHI
THI
THI
THITHPT
THPT
THPT
THPTQU
QU
QU
QUỐ
Ố
Ố
ỐC
C
C
CGIA
GIA
GIA

GIAN
N
N
NĂ
Ă
Ă
ĂM
M
M
M2016
2016
2016
2016
Mai
Mai
Mai
MaiNguy
Nguy
Nguy
Nguyễ
ễ
ễ
ễn
n
n
nMinh
Minh
Minh
MinhHo
Ho

Ho
Hoà
à
à
àng
ng
ng
ng
M
M
M
MÔ
Ô
Ô
ÔN
N
N
NTO
TO
TO
TOÁ
Á
Á
ÁN
N
N
N
Quyển1
"
"

"
"C
C
C
CÓ
Ó
Ó
ÓC
C
C
CÔ
Ô
Ô
ÔNG
NG
NG
NGM
M
M
MÀ
À
À
ÀI
I
I
IS
S
S
SẮ
Ắ

Ắ
Ắ
T,
T,
T,
T,
C
C
C
CÓ
Ó
Ó
ÓNG
NG
NG
NGÀ
À
À
ÀY
Y
Y
YN
N
N
NÊ
Ê
Ê
ÊN
N
N

NKIM
KIM
KIM
KIM"
"
"
"
ĐàNẵng,tháng8năm2015
TàiliệuluyệnthiTrunghọcPhổThôngQuốcGiaMôn
To
ánNăm2016MaiNguyễnMinhHoàng
Quyển1-Tháng8năm2015Học,họcnữa,họcmãi
L
L
L
LỜ
Ờ
Ờ
ỜI
I
I
IM
M
M
MỞ
Ở
Ở
ỞĐẦ
ĐẦ
ĐẦ

ĐẦU
U
U
U
C
C
C
Cá
á
á
ác
c
c
cb
b
b
bạ
ạ
ạ
ạn
n
n
nth
th
th
thâ
â
â
ân
n

n
nm
m
m
mế
ế
ế
ến!
n!
n!
n!
Khicácbạncầmquyểntàiliệunàytrêntaythìắchẳncácbạnđãchuẩnbịbước
vàonămlớp12-nămkếtthúccủacấp3cũnglànămđánhdấusựtrưởngthànhcủa
cácbạnsau12nămcắpsáchđếntrường.Mìnhnghĩrằngaitrongcácbạntrongnăm
nàyđềuquyếttâmhọchànhchămchỉđểcómộtchỗngồitốtnhấttrongtrườngĐại
họcmàmìnhmongmuốn.Hiểuđượcsựcốgắngcủacácbạn,mìnhđãviếttậptài
liệunàyđểnhằmgiúpchocácbạnnắmđượccáckiếnthứccơbảncủamôn
To
ánvà
cácdạng
To
ánthườnggặptrongcáckìthi,đặcbiệtlàkìthiTHPTQuốcGiacủacác
bạnsắptới.Mìnhhyvọngcácbạnsẽcốgắngrènluyện,đọcthậtkĩtàiliệuvàlàm
cácbàitậptrongtàiliệumộtcáchkĩcàngvàcẩnthận.
Vi
ệclàmnàysẽgiúpcácbạn
tựtinhơntrongcácgiờhọctrêntrường,cácbàikiểmtra15phút,1tiết,họckỳvà
hơnthếlàbàithiTHPTQuốcGiasắptới.
Cácbạnà,cácbạnnghĩrằngmộtnămlâulắmphảikhông?Mìnhcũngđồngýlà
mộtnămlâuthậtnhưngtheomìnhcácbạncứcốgắnghọctậpchămchỉ,vìđócũng

làcơhội1nămquýbáu.Cácbạncứthửnghĩxemrồisẽđếntếtkhiấy1nămđãcòn
cónửanămrồiđếngiỗtổHùngVương,30/4,1/5rồiđếnngàybếgiảngcácbạnà.
Saubếgiảngchỉcòn1thángcuốiđểôntậplạivàlênđường,đếnlúcđócácbạnsẽ
cảmnhậnđược1thánggiốngnhư1tuầnthôi,nhanhlắmcácbạn.Đâylàcảmnhận
thậtmàmìnhrútra,mìnhxinchiasẻvớicácbạn.Hènămngoáilên12mìnhsợHình
khônggianlắm,nênmìnhđãhạquyếttâmtrong3thánghèlên12phảicốhọccho
xonghìnhkhônggian.Nhưngvớisuynghĩ:"Thôiđểmaihọc",cứnhưthếngày
quangàymìnhchẳnghọcđượcgìcả.Rồiđếnngàykhaigiảng,mìnhcũngquyếttâm
họcchoxonghìnhtronghọckìInhưngrồicũngvớisuynghĩ:"Thờigiancòndài
mà,họcchichosớm,thôiđểmaihọc".ThếlàhọckìItrôiquamàtrongđầumình
chẳngcóchữhìnhkhônggiannàocả.Rồicómộtngườithầyđãnóivớitụimình:"
Emnàocósuynghĩcứđểmailàmthìbỏđinhé,nósẽgiếtchếtcácemđó".Thếlà
sợqua,sanghọckìIImìnhđãcốgắnghọchìnhkhônggianvàbỏđisuynghĩđó,
ngàynàolàmviệcngàyđó,nhờvậymìnhđãchinhphụcthànhcôngcâuHìnhkhông
TàiliệuluyệnthiTrunghọcPhổThôngQuốcGiaMôn
To
ánNăm2016MaiNguyễnMinhHoàng
Quyển1-Tháng8năm2015Học,họcnữa,họcmãi
giantrongđềthi.Mìnhnghĩrằngnhiềubạncũngcósuynghĩ:"Thôiđểmaihọc,để
mailàm".Mìnhkhuyêncácbạnhãycốgắngbỏsuynghĩấyđivàquyếttâmlàmviệc
gìthìhãylàmngaytrongngàyhômnay,cốgắnghọchànhchămchỉđểsaukhimình
làmxongviệcgìthìluôncảmthấymãnnguyệnvìmìnhđãhoànthànhhếtsứcmình,
đừngbaogiờhốihậnvìviệcmìnhchưalàmmàhãycốgắnghơnởtươnglaicácbạn
nhé.Mìnhkhuyêncácbạnkhiđọctàiliệunàythìhãygiữmộtsựtựtinvàobảnthân,
đừngsợhãikiếnthứcvàluônnghĩrằngmìnhluônđồnghànhcùngvớicácbạntrên
mỗidòngviết.Cácbạncứnghĩrằngcácbạnhọckhôngphảilàchoaicảmàlàcho
chínhmìnhvàlàmvuilòngchamẹ,thầycôvàmọingười,nghĩnhưvậycácbạnsẽ
cảmthấyviệchọcsẽnhẹnhànghơnnhiều.Chúccácbạnsẽthànhcôngvàđạtkết
quảtốtnhấttrongkìthiTHPTQuốcGiasắptới.
H

H
H
Hã
ã
ã
ãy
y
y
ylu
lu
lu
luô
ô
ô
ôn
n
n
nv
v
v
vữ
ữ
ữ
ững
ng
ng
ngtin
tin
tin
tinv

v
v
và
à
à
ào
o
o
os
s
s
sứ
ứ
ứ
ức
c
c
cm
m
m
mạ
ạ
ạ
ạnh
nh
nh
nhc
c
c
củ

ủ
ủ
ủa
a
a
ab
b
b
bả
ả
ả
ản
n
n
nth
th
th
thâ
â
â
ân,
n,
n,
n,c
c
c
cá
á
á
ác

c
c
cb
b
b
bạ
ạ
ạ
ạn
n
n
nnh
nh
nh
nhé
é
é
é!
!
!
!
Cógìthắcmắccácbạncóthểinboxmìnhthôngquafacebook:
Minh
Minh
Minh
MinhHoang
Hoang
Hoang
HoangMai.
Mai.

Mai.
Mai.
Mìnhhứasẽtậntìnhgiảiđápthắcmắccủacácbạnmộtcáchchuđáonhất.Xincảm
ơncácbạn!
MìnhcũngmuốnsoạntàiliệuLý,Hóachocácbạn.Nếucácbạnủnghộmìnhsẽ
bắtđầuthựchiện.Xinchânthànhcảmơncácbạn!
ĐàNẵngtháng8năm2015
Ngườiviết
MaiNguyễnMinhHoàng
N
N
N
Nộ
ộ
ộ
ội
i
i
idung
dung
dung
dungc
c
c
củ
ủ
ủ
ủa
a
a

aquy
quy
quy
quyể
ể
ể
ển
n
n
n1:
1:
1:
1:
Ph
Ph
Ph
Phầ
ầ
ầ
ần
n
n
nI:
I:
I:
I:Khảosát,vẽđồthịvàcácvấnđềliênquancơbảnvềhàmsố
Ph
Ph
Ph
Phầ

ầ
ầ
ần
n
n
nII:
II:
II:
II:Lượnggiác
Ph
Ph
Ph
Phầ
ầ
ầ
ần
n
n
nIII:
III:
III:
III:Hìnhhọckhônggian
*Ghi
Ghi
Ghi
Ghich
ch
ch
chú
ú

ú
ú:
:
:
:Mỗiquyểnsẽhọctrong1tháng.
TàiliệuluyệnthiTrunghọcPhổThôngQuốcGiaMôn
To
ánNăm2016MaiNguyễnMinhHoàng
Quyển1-Tháng8năm2015Học,họcnữa,họcmãi
PH
PH
PH
PHẦ
Ầ
Ầ
ẦN
N
N
NI:
I:
I:
I:H
H
H
HÀ
À
À
ÀM
M
M

MS
S
S
SỐ
Ố
Ố
Ố
C
C
C
Cá
á
á
ác
c
c
cb
b
b
bạ
ạ
ạ
ạn
n
n
nth
th
th
thâ
â

â
ân
n
n
nm
m
m
mế
ế
ế
ến!
n!
n!
n!
Hàmsốlàphầnkiếnthứcquantrọng,thườngxuấthiệnchủyếutrongcácđềthi
họckì,họcsinhgiỏi,tuyểnsinhĐạihọc,Caođẳng,TốtnghiệpvàTHPTQuốcGia.
TrongphầnInà
y,
mìnhxinđềcậpđếnmảngkiếnthứckhảosát,vẽđồthịhàmsốvà
cácvấnđềliênquan.Đâylàkiếnthứcmớithuộcchươngtrình12,vìvậymìnhmong
cácbạnsẽnghiêncứucẩnthận,đọckĩlýthuyết,bàitậpminhhọavàrènluyệnbằng
việclàmcácbàitậpápdụng.Đâylàphầnkiếnthứckhôngquákhó,chỉcầnđọckĩ
phầncơbảnlàcóthểlàmtốt2điểmtrongđềthiTHPTQuốcGiasắptới.Mìnhđã
trìnhbàyphươngphápcụthểvớinhữngbàitậpminhhọasátvớichươngtrìnhđể
giúpchocácbạnthuậnlợihơntrongviệchọc.Mìnhhyvọngphầnnàysẽgiúpích
chocácbạntrongviệchọctoántrêntrườngvàluyệnthi.Chúccácbạnthànhcôngvà
đạtđượcnhữngkếtquảtốtsaukhihọcxongphầnnà
y.
H
H

H
Hã
ã
ã
ãy
y
y
ylu
lu
lu
luô
ô
ô
ôn
n
n
nv
v
v
vữ
ữ
ữ
ững
ng
ng
ngtin
tin
tin
tinv
v

v
và
à
à
ào
o
o
os
s
s
sứ
ứ
ứ
ức
c
c
cm
m
m
mạ
ạ
ạ
ạnh
nh
nh
nhc
c
c
củ
ủ

ủ
ủa
a
a
ab
b
b
bả
ả
ả
ản
n
n
nth
th
th
thâ
â
â
ân,
n,
n,
n,c
c
c
cá
á
á
ác
c

c
cb
b
b
bạ
ạ
ạ
ạn
n
n
nnh
nh
nh
nhé
é
é
é!
!
!
!
Cógìthắcmắccóthểinboxmìnhthôngquafacebook:
Minh
Minh
Minh
MinhHoang
Hoang
Hoang
HoangMai.
Mai.
Mai.

Mai.
Mình
hứasẽtậntìnhgiảiđápthắcmắccủacácbạnmộtcáchchuđáonhất.Xincảmơncác
bạn!
M
M
M
MỘ
Ộ
Ộ
ỘT
T
T
TS
S
S
SỐ
Ố
Ố
ỐK
K
K
KÍ
Í
Í
ÍHI
HI
HI
HIỆ
Ệ

Ệ
ỆU,
U,
U,
U,T
T
T
TỪ
Ừ
Ừ
ỪVI
VI
VI
VIẾ
Ế
Ế
ẾT
T
T
TT
T
T
TẮ
Ắ
Ắ
ẮT
T
T
TTRONG
TRONG

TRONG
TRONGT
T
T
TÀ
À
À
ÀI
I
I
ILI
LI
LI
LIỆ
Ệ
Ệ
ỆU
U
U
U
1)TXĐ:Tậpxácđịnh
2)CĐ:Cựcđại;CT:Cựctiểu
3)//:Songsong;
⊥
:Vuônggóc
4)
∠
:Góc
5)d(SA,BC):KhoảngcáchgiữaSAvàBC
6)V

S.ABC
:ThểtíchkhốichópS.ABC
7)TCĐ:Tiệmcậnđứng;TCN:Tiệmcậnngang
TàiliệuluyệnthiTrunghọcPhổThôngQuốcGiaMôn
To
ánNăm2016MaiNguyễnMinhHoàng
Quyển1-Tháng8năm2015Học,họcnữa,họcmãi
B
B
B
BÀ
À
À
ÀI
I
I
I1
1
1
1KH
KH
KH
KHẢ
Ả
Ả
ẢO
O
O
OS
S

S
SÁ
Á
Á
ÁT
T
T
TV
V
V
VÀ
À
À
ÀV
V
V
VẼ
Ẽ
Ẽ
ẼĐỒ
ĐỒ
ĐỒ
ĐỒTH
TH
TH
THỊ
Ị
Ị
ỊH
H

H
HÀ
À
À
ÀM
M
M
MS
S
S
SỐ
Ố
Ố
ỐĐ
Đ
Đ
Đ
A
A
A
A
TH
TH
TH
THỨ
Ứ
Ứ
ỨC
C
C

CB
B
B
BẬ
Ậ
Ậ
ẬC
C
C
C3
3
3
3
y
y
y
y=
=
=
=f(x)
f(x)
f(x)
f(x)=
=
=
=ax
ax
ax
ax
3

3
3
3
+
+
+
+bx
bx
bx
bx
2
2
2
2
+
+
+
+cx
cx
cx
cx+
+
+
+d,
d,
d,
d,a
a
a
a≠

≠
≠
≠0
0
0
0
I)
I)
I)
I)Ph
Ph
Ph
Phươ
ươ
ươ
ương
ng
ng
ngph
ph
ph
phá
á
á
áp
p
p
pgi
gi
gi

giả
ả
ả
ải:
i:
i:
i:
•B
B
B
Bướ
ướ
ướ
ước
c
c
c1
1
1
1:TìmTXĐ:TấtcảcácbàitoándạngnàyTXĐđềuthuộcR(D=R)
•B
B
B
Bướ
ướ
ướ
ước
c
c
c2

2
2
2:Sựbiếnthiên:
a)Giớihạn:
+Nếua>0thì:
+∞=
+∞→
x
y
lim
;
−∞=
−∞→
x
y
lim
+Nếua<0thì:
+∞=
−∞→
x
y
lim
;
−∞=
+∞→
x
y
lim
b)Chiềubiếnthiên:
Tínhy':y'=3ax

2
+2bx+c
Tìmnghiệmcủay'=0nếucó.Cònnếuy'=0khôngcónghiệm(tứclà∆<0)thì
tathựchiệnnhưsau:
Nếua>0thìy'>0=>HàmsốđãchođồngbiếntrênR
Nếua<0thìy'<0=>HàmsốđãchonghịchbiếntrênR
c)Bảngbiếnthiên:
x-
∞
+
∞
y'Dấucủay'
yChiềubiếnthiêncủay'
•B
B
B
Bướ
ướ
ướ
ước
c
c
c3
3
3
3:Điểmuốn:
Ta
có:y''=6ax+2b
y''=0<=>6ax+2b=0<=>x= =>y=
SuyrađồthịđãchocóđiểmuốnlàI( ; )

•B
B
B
Bướ
ướ
ướ
ước
c
c
c4
4
4
4:Tìmđiểmđặcbiệt:
x=0=>y=
y=0=>x=
•B
B
B
Bướ
ướ
ướ
ước
c
c
c5
5
5
5:Vẽđồthị
Vẽhệtrục
GhiđiểmCĐ,CT(nếucó)vàđiểmuốn

TàiliệuluyệnthiTrunghọcPhổThôngQuốcGiaMôn
To
ánNăm2016MaiNguyễnMinhHoàng
Quyển1-Tháng8năm2015Học,họcnữa,họcmãi
Ghiđiểmđặcbiệt
Vẽđồthịtheocácđiểmtrên
*Ch
Ch
Ch
Chú
ú
ú
úý
ý
ý
ý:Hìnhvẽsẽđốixứngquađiểmuốn
II)
II)
II)
II)B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
it
t

t
tậ
ậ
ậ
ập
p
p
pminh
minh
minh
minhh
h
h
họ
ọ
ọ
ọa:
a:
a:
a:
B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
i1

1
1
1:Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsốsau:y=x
3
-3x
2
+6x
Giải
•TXĐ:D=R
•Sựbiếnthiên:
+Giớihạn:
+∞=
+∞→
x
y
lim
;
−∞=
−∞→
x
y
lim
+Chiềubiếnthiên:
Ta
có:y'=3x
2
-6x+6=3(x
2
-2x+2)=3(x-1)
2

+3>0
=>HàmsốđồngbiếntrênR
+Bảngbiếnthiên:
•Điểmuốn:
+
Ta
có:y''=6x-6
y''=0<=>x=1=>y(1)=4
=>ĐồthịcóđiểmuốnlàI(1;4)
•Điểmđặcbiệt:
x=0=>y=0
x=2=>y=8
•Đồthị:
x-
∞
+
∞
y'+
y+
∞
-
∞
TàiliệuluyệnthiTrunghọcPhổThôngQuốcGiaMôn
To
ánNăm2016MaiNguyễnMinhHoàng
Quyển1-Tháng8năm2015Học,họcnữa,họcmãi
B
B
B
Bà

à
à
ài
i
i
i2
2
2
2:(ĐềthiTHPTQGnăm2015)
Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsốsau:y=x
3
-3x
Giải
B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
i3
3
3
3:Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsốsau:y=2x
3
-3x
2
+1

(HDtrựctiếp)
B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
i4
4
4
4:Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsốsau:y=-x
3
+2x
2
-x
(HDtrựctiếp)
TàiliệuluyệnthiTrunghọcPhổThôngQuốcGiaMôn
To
ánNăm2016MaiNguyễnMinhHoàng
Quyển1-Tháng8năm2015Học,họcnữa,họcmãi
III)
III)
III)
III)B
B
B
Bà

à
à
ài
i
i
it
t
t
tậ
ậ
ậ
ập
p
p
pá
á
á
áp
p
p
pd
d
d
dụ
ụ
ụ
ụng:
ng:
ng:
ng:

B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
i1.1)
1.1)
1.1)
1.1)Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsốsau:
a)y=x
3
+3x
2
+3x+1b)y=(x-1)
3
c)y=-x
3
-3x+2d)y=-x
3
+3x
2
-3x-1
B
B
B
Bà

à
à
ài
i
i
i1.2)
1.2)
1.2)
1.2)Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsốsau:
a)y=x
3
+3x
2
-9x+5b)y=
1 3 2
3
1
2 3
+ + −
x x x
c)y=
1 3 2
3
1
2 3
+ − − −
x x x
d)y=-2x
3
+9x

2
-12x+4
e)y=
)5 9 3 (
8
1
2 3
− − −
x x x
g)y=
2 4 3
2 3
+ − + −
x x x
TàiliệuluyệnthiTrunghọcPhổThôngQuốcGiaMôn
To
ánNăm2016MaiNguyễnMinhHoàng
Quyển1-Tháng8năm2015Học,họcnữa,họcmãi
B
B
B
BÀ
À
À
ÀI
I
I
I2
2
2

2KH
KH
KH
KHẢ
Ả
Ả
ẢO
O
O
OS
S
S
SÁ
Á
Á
ÁT
T
T
TV
V
V
VÀ
À
À
ÀV
V
V
VẼ
Ẽ
Ẽ

ẼĐỒ
ĐỒ
ĐỒ
ĐỒTH
TH
TH
THỊ
Ị
Ị
ỊH
H
H
HÀ
À
À
ÀM
M
M
MS
S
S
SỐ
Ố
Ố
ỐB
B
B
BẬ
Ậ
Ậ

ẬC
C
C
C4
4
4
4TR
TR
TR
TRÙ
Ù
Ù
ÙNG
NG
NG
NGPH
PH
PH
PHƯƠ
ƯƠ
ƯƠ
ƯƠNG
NG
NG
NG
y
y
y
y=
=

=
=f(x)
f(x)
f(x)
f(x)=
=
=
=ax
ax
ax
ax
4
4
4
4
+
+
+
+bx
bx
bx
bx
2
2
2
2
+
+
+
+c,

c,
c,
c,a
a
a
a≠
≠
≠
≠0
0
0
0
I)
I)
I)
I)Ph
Ph
Ph
Phươ
ươ
ươ
ương
ng
ng
ngph
ph
ph
phá
á
á

áp
p
p
pgi
gi
gi
giả
ả
ả
ải:
i:
i:
i:
•B
B
B
Bướ
ướ
ướ
ước
c
c
c1
1
1
1:TìmTXĐ:TấtcảcácbàitoándạngnàyTXĐđềuthuộcR(D=R)
•B
B
B
Bướ

ướ
ướ
ước
c
c
c2
2
2
2:Sựbiếnthiên:
a)Giớihạn:
+Nếua>0thì:
+∞=
+∞→
x
y
lim
;
+∞=
−∞→
x
y
lim
+Nếua<0thì:
−∞=
−∞→
x
y
lim
;
−∞=

+∞→
x
y
lim
b)Chiềubiếnthiên:
Tínhy':y'=4ax
3
+2bx
Tìmnghiệmcủay'=0
c)Bảngbiếnthiên:
x-
∞
+
∞
y'Dấucủay'
yChiềubiếnthiêncủay'
•B
B
B
Bướ
ướ
ướ
ước
c
c
c3
3
3
3:Điểmuốn:
Ta

có:y''=12ax
2
+2b
y''=0<=>12ax
2
+2b=0<=>x=
±
=>y=
SuyrađồthịđãchocóđiểmuốnlàI
1
( ; ),I
2
(+ ; )
•B
B
B
Bướ
ướ
ướ
ước
c
c
c4
4
4
4:Tìmđiểmđặcbiệt:
y=c=>x=
•B
B
B

Bướ
ướ
ướ
ước
c
c
c5
5
5
5:Vẽđồthị
Vẽhệtrục
GhiđiểmCĐ,CT(nếucó)vàđiểmuốn
Ghiđiểmđặcbiệt
Vẽđồthịtheocácđiểmtrên
*Ch
Ch
Ch
Chú
ú
ú
úý
ý
ý
ý:HìnhvẽsẽđốixứngquađiểmtrụctungOy
II)
II)
II)
II)B
B
B

Bà
à
à
ài
i
i
it
t
t
tậ
ậ
ậ
ập
p
p
pminh
minh
minh
minhh
h
h
họ
ọ
ọ
ọa:
a:
a:
a:
TàiliệuluyệnthiTrunghọcPhổThôngQuốcGiaMôn
To

ánNăm2016MaiNguyễnMinhHoàng
Quyển1-Tháng8năm2015Học,họcnữa,họcmãi
B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
i1
1
1
1:Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsốsau:y=x
4
+x
2
-2
Giải
•TXĐ:D=R
•Sựbiếnthiên:
+Giớihạn:
+∞=
+∞→
x
y
lim
;
+∞=

−∞→
x
y
lim
+Chiềubiếnthiên:
Ta
có:y'=4x
3
+2x=2x(2x
2
+1)
Vì2x
2
+1>0nêny'=0<=>2x=0<=>x=0=>y(0)=-2
+Bảngbiếnthiên:
Từbảngbiếnthiêntrênsuyra:
Hàmsốnghịchbiếntrênkhoảng(-
∞
;0)
đồngbiếntrênkhoảng(0;+
∞
)
đạtcựcđạitạix=0;y
CĐ
=-2
•Điểmuốn:
+
Ta
có:y''=12x
2

+2>0,
R x
∈ ∀
=>ĐồthịhàmsốlõmtrênR
•Điểmđặcbiệt:
x=
±
1=>y=0
x-
∞
0+
∞
y'-0+
y-
∞
+
∞
-2
TàiliệuluyệnthiTrunghọcPhổThôngQuốcGiaMôn
To
ánNăm2016MaiNguyễnMinhHoàng
Quyển1-Tháng8năm2015Học,họcnữa,họcmãi
•Đồthị:
B
B
B
Bà
à
à
ài

i
i
i2
2
2
2:(ĐềthiĐHkhối
A
năm2012)
Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsốsau:y=x
4
-2x
2
Giải
TàiliệuluyệnthiTrunghọcPhổThôngQuốcGiaMôn
To
ánNăm2016MaiNguyễnMinhHoàng
Quyển1-Tháng8năm2015Học,họcnữa,họcmãi
B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
i3
3
3
3:Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsốsau:y=x

4
-2x
2
+2
(HDtrựctiếp)
B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
i4
4
4
4:Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsốsau:y=-x
4
+10x
2
-9
(HDtrựctiếp)
III)
III)
III)
III)B
B
B
Bà

à
à
ài
i
i
it
t
t
tậ
ậ
ậ
ập
p
p
pá
á
á
áp
p
p
pd
d
d
dụ
ụ
ụ
ụng:
ng:
ng:
ng:

B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
i2.1)
2.1)
2.1)
2.1)Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsốsau:
a)y=
2
1
x
4
+x
2
+
2
1
b)y=-
4
1
x
4
-x
2

+
4
1
c)y=-x
4
-2x
2
+3d)y=
2
1
x
4
-x
2
-
2
3
e)y=-x
4
+2x
2
f)y=(x-1)
2
(x+1)
2
g)y=x
4
-3x
2
+2h)y=-x

4
-2x
2
+1
TàiliệuluyệnthiTrunghọcPhổThôngQuốcGiaMôn
To
ánNăm2016MaiNguyễnMinhHoàng
Quyển1-Tháng8năm2015Học,họcnữa,họcmãi
B
B
B
BÀ
À
À
ÀI
I
I
I3
3
3
3KH
KH
KH
KHẢ
Ả
Ả
ẢO
O
O
OS

S
S
SÁ
Á
Á
ÁT
T
T
TV
V
V
VÀ
À
À
ÀV
V
V
VẼ
Ẽ
Ẽ
ẼĐỒ
ĐỒ
ĐỒ
ĐỒTH
TH
TH
THỊ
Ị
Ị
ỊH

H
H
HÀ
À
À
ÀM
M
M
MS
S
S
SỐ
Ố
Ố
ỐPH
PH
PH
PHÂ
Â
Â
ÂN
N
N
NTH
TH
TH
THỨ
Ứ
Ứ
ỨC

C
C
CB
B
B
BẬ
Ậ
Ậ
ẬC
C
C
CNH
NH
NH
NHẤ
Ấ
Ấ
ẤT
T
T
T
y
y
y
y=
=
=
=f(x)
f(x)
f(x)

f(x)=
=
=
=
d cx
b ax
+
+
,
,
,
,c
c
c
c≠
≠
≠
≠0
0
0
0v
v
v
và
à
à
àad
ad
ad
ad-

-
-
-bc
bc
bc
bc≠
≠
≠
≠0
0
0
0
I)
I)
I)
I)Ph
Ph
Ph
Phươ
ươ
ươ
ương
ng
ng
ngph
ph
ph
phá
á
á

áp
p
p
pgi
gi
gi
giả
ả
ả
ải:
i:
i:
i:
•B
B
B
Bướ
ướ
ướ
ước
c
c
c1
1
1
1:TìmTXĐ:
Vìđâylàbàitoáncómẫuthứcnênmẫuthứccx+dphảikhác0
DođóTXĐ:D=R\{-
c
d

}
•B
B
B
Bướ
ướ
ướ
ước
c
c
c2
2
2
2:Sựbiếnthiên:
a)Giớihạnvàtiệmcận:
+
Ta
có:
) ( lim
) (
+∞ −∞=
−
− →
c
d
x
y
,
) ( lim
) (

−∞ +∞=
+
− →
c
d
x
y
=>Đồthịcótiệmcậnđứnglà:x=
c
d
−
Và
c
a
y
x
=
±∞→
lim
=>Đồthịcótiệmcậnnganglà:y=
c
a
b)Chiềubiếnthiên:
Tínhy':y'=
2
) (
d cx
bc ad
+
−

+Nếuad-bc<0thìy'<0,
D x
∈ ∀
=>HàmsốnghịchbiếntrênmỗikhoảngcủaD
+Nếuad-bc>0thìy'>0,
D x
∈ ∀
=>HàmsốđồngbiếntrênmỗikhoảngcủaD
c)Bảngbiếnthiên:
+Nếuy'<0
x-
∞
-d/c+
∞
y'

y
c
a
-
∞
+
∞
c
a
TàiliệuluyệnthiTrunghọcPhổThôngQuốcGiaMôn
To
ánNăm2016MaiNguyễnMinhHoàng
Quyển1-Tháng8năm2015Học,họcnữa,họcmãi
+Nếuy'>0

x-
∞
-d/c+
∞
y'++
y
+
∞
c
a
c
a
-
∞
•B
B
B
Bướ
ướ
ướ
ước
c
c
c3
3
3
3:Tìmđiểmđặcbiệt:
x=0=>y=
d
b

,nếud≠0
y=0=>x=-
a
b
,nếua≠0
Ngoài2điểmgiaovớitrụchoànhvàtrụctungởtrêntanêntìmthêm2điểmkhác
trênđồthịcóhoànhđộđốixứngquaOđểvẽchodễ.
*Ch
Ch
Ch
Chú
ú
ú
úý
ý
ý
ý:
:
:
:Nênkẻbảnggiátrịvàlấy4cặpgiátrịthìviệcvẽsẽthuậntiệnhơn
•B
B
B
Bướ
ướ
ướ
ước
c
c
c4

4
4
4:Vẽđồthị
Vẽhệtrục
Vẽcácđườngtiệmcận
Ghiđiểmđặcbiệt
Vẽđồthịtheocácđiểmtrên
*Ch
Ch
Ch
Chú
ú
ú
úý
ý
ý
ý:HìnhvẽsẽđốixứngquagiaođiểmcủaTCĐvàTCN.
II)
II)
II)
II)B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
it

t
t
tậ
ậ
ậ
ập
p
p
pminh
minh
minh
minhh
h
h
họ
ọ
ọ
ọa:
a:
a:
a:
B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i

i1
1
1
1:Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsốsau:y=
1
3
+
+
x
x
Giải
•TXĐ:D=R\{-1}
•Sựbiếnthiên:
+Giớihạnvàtiệmcận:
Ta
có:
+∞=
+
− →) 1 (
lim
x
y
;
−∞=
−
− →) 1 (
lim
x
y
=>Đồthịcótiệmcânđứnglà:x=-1

TàiliệuluyệnthiTrunghọcPhổThôngQuốcGiaMôn
To
ánNăm2016MaiNguyễnMinhHoàng
Quyển1-Tháng8năm2015Học,họcnữa,họcmãi
Và
1 lim=
±∞→
x
y
=>Đồthịcótiệmcậnnganglà:y=1
+Chiềubiếnthiên:
Ta
có:y'=
0
1
2
<
+
−
x
,
D x
∈ ∀
=>Hàmsốđãchonghịchbiếntrênmỗikhoảng(-∞;-1),(-1;+∞)
+Bảngbiếnthiên:
x-
∞
-1+
∞
y'

y1
-
∞
+
∞
1
•Điểmđặcbiệt:
x-3-2-101
y0-132
•Đồthị:
B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
i2
2
2
2:(ĐềthiminhhọaTHPTQGnăm2015)
Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsốsau:y=
1
1 2
+
−
x
x

TàiliệuluyệnthiTrunghọcPhổThôngQuốcGiaMôn
To
ánNăm2016MaiNguyễnMinhHoàng
Quyển1-Tháng8năm2015Học,họcnữa,họcmãi
Giải
B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
i3
3
3
3:Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsốsau:y=
2
2 3
+
+
x
x
(HDtrựctiếp)
TàiliệuluyệnthiTrunghọcPhổThôngQuốcGiaMôn
To
ánNăm2016MaiNguyễnMinhHoàng
Quyển1-Tháng8năm2015Học,họcnữa,họcmãi
B

B
B
Bà
à
à
ài
i
i
i4
4
4
4:Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsốsau:y=
2
4
−
−
x
x
(HDtrựctiếp)
III)
III)
III)
III)B
B
B
Bà
à
à
ài
i

i
it
t
t
tậ
ậ
ậ
ập
p
p
pá
á
á
áp
p
p
pd
d
d
dụ
ụ
ụ
ụng:
ng:
ng:
ng:
B
B
B
Bà

à
à
ài
i
i
i3.1)
3.1)
3.1)
3.1)Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsốsau:
a)y=
4 2
2 1
−
−
x
x
b)y=
2
1
+
+ −
x
x
c)y=
1 2
2
+ −
+
x
x

d)y=
2 2
1 3
+
+
x
x
B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
i3.2)
3.2)
3.2)
3.2)Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsốsau:
a)y=
1
1 2
−
−
x
x
b)y=
1 2
2

+
−
x
x
c)y=
1
1
−
+
x
x
d)y=
x
x
3 1
1 2
−
+
e)y=
2
1
−
+
x
x
f)y=
1
1
1
+

+ −
x
TàiliệuluyệnthiTrunghọcPhổThôngQuốcGiaMôn
To
ánNăm2016MaiNguyễnMinhHoàng
Quyển1-Tháng8năm2015Học,họcnữa,họcmãi
B
B
B
BÀ
À
À
ÀI
I
I
I4
4
4
4NH
NH
NH
NHỮ
Ữ
Ữ
ỮNG
NG
NG
NGV
V
V

VẤ
Ấ
Ấ
ẤN
N
N
NĐỀ
ĐỀ
ĐỀ
ĐỀLI
LI
LI
LIÊ
Ê
Ê
ÊN
N
N
NQUAN
QUAN
QUAN
QUANC
C
C
CƠ
Ơ
Ơ
ƠB
B
B

BẢ
Ả
Ả
ẢN
N
N
NV
V
V
VỀ
Ề
Ề
ỀH
H
H
HÀ
À
À
ÀM
M
M
MS
S
S
SỐ
Ố
Ố
Ố
*
*

*
*Nh
Nh
Nh
Nhậ
ậ
ậ
ận
n
n
nx
x
x
xé
é
é
ét:
t:
t:
t:Bàitoánvềsựtươnggiaovàtiếptuyếncủađồthịlàhaidạngtoán
thườnggặptrongcácđềthinêntrongtậptàiliệunàymìnhxinđưaracácdạngtoán
xoayquanh2vấnđềnà
y.
Hyvọngcácbạnsẽnghiêncứu,rènluyệnkĩlưỡngđểhoàn
thànhtốtcácdạngtoánliênquantớihaidạngnà
y.
Còncácbàitoánkhácvềhàmsố
mìnhsẽđưavàocáctậptàiliệutiếptheo,bạnnàocónhucầuthìtheodõicáctậptiếp
theonhé.
A)

A)
A)
A)V
V
V
VẤ
Ấ
Ấ
ẤN
N
N
NĐỀ
ĐỀ
ĐỀ
ĐỀ1:
1:
1:
1:S
S
S
SỰ
Ự
Ự
ỰT
T
T
TƯƠ
ƯƠ
ƯƠ
ƯƠNG

NG
NG
NGGIAO
GIAO
GIAO
GIAOC
C
C
CỦ
Ủ
Ủ
Ủ
A
A
A
A
2
2
2
2ĐỒ
ĐỒ
ĐỒ
ĐỒTH
TH
TH
THỊ
Ị
Ị
Ị:
:

:
:
I)
I)
I)
I)B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
ito
to
to
toá
á
á
án
n
n
nt
t
t
tì
ì
ì
ìm

m
m
mgiao
giao
giao
giaođ
đ
đ
đi
i
i
iể
ể
ể
ểm
m
m
mc
c
c
củ
ủ
ủ
ủa
a
a
ahai
hai
hai
haiđồ

đồ
đồ
đồth
th
th
thị
ị
ị
ịh
h
h
hà
à
à
àm
m
m
ms
s
s
số
ố
ố
ố:
:
:
:
1)
1)
1)

1)Ph
Ph
Ph
Phươ
ươ
ươ
ương
ng
ng
ngph
ph
ph
phá
á
á
áp
p
p
pgi
gi
gi
giả
ả
ả
ải:
i:
i:
i:
Chohaiđồthịhàmsốy=f(x)vày=g(x).Đểtìmgiaođiểmcủahaiđồthịnàyta
làmnhưsau:

B
B
B
Bướ
ướ
ướ
ước
c
c
c1:
1:
1:
1:Lậpphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủahaiđồthịđãcho.Sauđógiải
phươngtrìnhđểtìmragiátrịcủax(nếucó)
Nếuphươngtrìnhvônghiệmthì2đồthịđãchokhôngcáchnhau.
Nếuphươngtrìnhcó1nghiệm,2nghiệm,3nghiệm, thì2đồthịcắtnhạutại1
điểm,2điểm,3điểm.
B
B
B
Bướ
ướ
ướ
ước
c
c
c2:
2:
2:
2:Thaycácgiátrịxvừatìmđượcvào1trong2biểuthứcf(x)hoặcg(x).Sau

đósuyratọađộgiaođiểmcủacácđồthịđãcho.
2)
2)
2)
2)B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
it
t
t
tậ
ậ
ậ
ập
p
p
pminh
minh
minh
minhh
h
h
họ
ọ

ọ
ọa:
a:
a:
a:
B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
i1:
1:
1:
1:Tìmtọađộgiaođiểmcủa2đồthịcủa2hàmsốsauđây:
x x x y
3 2
3
1
2 3
+ + =
và
y=x
Giải
Ta
cóphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủa2đồthịđãcholà:
x x x

3 2
3
1
2 3
+ +=x<=>0 6 6
2 3
= + +
x x x
<=>
3 3 3 3
3 3 3 3
0 0
+ − = ⇒ + − =
− − = ⇒ − − =
= ⇒ =
y x
y x
y x
Vậy2đồthịđãchogiaonhautạicácđiểmlà:A(0;0),B(-3-
3
;-3-
3
),
C(-3+
3
;-3-
3
)
TàiliệuluyệnthiTrunghọcPhổThôngQuốcGiaMôn
To

ánNăm2016MaiNguyễnMinhHoàng
Quyển1-Tháng8năm2015Học,họcnữa,họcmãi
B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
i2:
2:
2:
2:Tìmtọađộgiaođiểmcủa2đồthịcủa2hàmsốsauđây:
1
1 2
2
−
+ +
=
x
x x
y
vày=
2x+1
Giải
Ta
cóphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủa2đồthịđãcholà:
1

1 2
2
−
+ +
x
x x
=2x+1<=>
1 2 1 2
2 2
− − = + +
x x x x
,x
≠
1
<=>
0 2 3
2
= − −
x x
,x
≠
1
<=>
17 4
2
17 3
17 4
2
17 3
− = ⇒

−
=
+ = ⇒
+
=
y x
y x
Vậy2đồthịđãchogiaonhautạicácđiểmlà:A(
17 4;
2
17 3
+
+
),B(
17 4;
2
17 3
−
−
)
B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
i3:

3:
3:
3:Tìmtọađộgiaođiểmcủa2đồthịcủa2hàmsốsauđây:
2 4
2
x x y
+ =
và
1 4
2
− =
x y
(HDtrựctiếp)
B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
i4:
4:
4:
4:Vớigiátrịnàocủamthìđườngthẳngy=m-xcắtđồthịcủahàmsố
1
1 2
2
−

+ −
=
x
x x
y
tại2điểmphânbiệt
(HDtrựctiếp)
3)
3)
3)
3)B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
it
t
t
tậ
ậ
ậ
ập
p
p
pá
á

á
áp
p
p
pd
d
d
dụ
ụ
ụ
ụng:
ng:
ng:
ng:
B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
i4.1:
4.1:
4.1:
4.1:Tìmtọađộgiaođiểmcủa2đồthịcủa2hàmsốsauđây:1 3 3
2 3
− − + =
x x x y

và
y=0
B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
i4.2:
4.2:
4.2:
4.2:Tìmtọađộgiaođiểmcủa2đồthịcủa2hàmsốsauđây:1 3 2
2 3
+ + =
x x y
và
1 2
2
+ =
x y
B
B
B
Bà
à
à
ài

i
i
i4.3:
4.3:
4.3:
4.3:Chứngminhrằngvớimọigiátrịcủam,đườngthẳngy=x-mluôncắt
đườngcong
1
2
2
−
+ −
=
x
x x
y
tại2điểmphânbiệt.
B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
i4.4:
4.4:
4.4:
4.4:Vớigiátrịnàocủamthìđườngthẳngy=mcắtđườngcong

3 2
2 4
− − =
x x y
tại4điểmphânbiệt.
Hướngdẫn:
Lậpphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủa2đườngđãcho.Sauđóđặtt
TàiliệuluyệnthiTrunghọcPhổThôngQuốcGiaMôn
To
ánNăm2016MaiNguyễnMinhHoàng
Quyển1-Tháng8năm2015Học,họcnữa,họcmãi
PH
PH
PH
PHẦ
Ầ
Ầ
ẦN
N
N
NII:
II:
II:
II:L
L
L
LƯỢ
ƯỢ
ƯỢ
ƯỢNG

NG
NG
NGGI
GI
GI
GIÁ
Á
Á
ÁC
C
C
C
C
C
C
Cá
á
á
ác
c
c
cb
b
b
bạ
ạ
ạ
ạn
n
n

nth
th
th
thâ
â
â
ân
n
n
nm
m
m
mế
ế
ế
ến!
n!
n!
n!
Lượnggiáclàphầnkiếnthứcthườngxuấthiệntrongđềthi,đặcbiệtlàkìthi
THPTQuốcGia.Câuhỏinàythườngkhôngquákhóđểgiảinhưngđểgiảinócác
bạncầnphảinắmvữngmộtsốkiếnthứccơbản.VìthếtrongphầnIInà
y,
cácbạnsẽ
nắmđượcphầncơbảncủalượnggiácmàbấylâunayđượchọcnhưngvìlâuquánên
quênmấtthìbâygiờđượccủngcốvàrènluyện.Mìnhhyvọngsaukhihọcxong
phầnnàythìcâuhỏilượnggiácsẽtrởnênđơngiảnvànằmtrongtầmtaycủacácbạn.
Chúccácbạnthànhcông!
H
H

H
Hã
ã
ã
ãy
y
y
ylu
lu
lu
luô
ô
ô
ôn
n
n
nv
v
v
vữ
ữ
ữ
ững
ng
ng
ngtin
tin
tin
tinv
v

v
và
à
à
ào
o
o
os
s
s
sứ
ứ
ứ
ức
c
c
cm
m
m
mạ
ạ
ạ
ạnh
nh
nh
nhc
c
c
củ
ủ

ủ
ủa
a
a
ab
b
b
bả
ả
ả
ản
n
n
nth
th
th
thâ
â
â
ân,
n,
n,
n,c
c
c
cá
á
á
ác
c

c
cb
b
b
bạ
ạ
ạ
ạn
n
n
nnh
nh
nh
nhé
é
é
é!
!
!
!
Cógìthắcmắccóthểinboxmìnhthôngquafacebook:
Minh
Minh
Minh
MinhHoang
Hoang
Hoang
HoangMai.
Mai.
Mai.

Mai.
Mìnhhứa
sẽtậntìnhgiảiđápthắcmắccủacácbạnmộtcáchchuđáonhất.Xincảmơncác
bạn!
TàiliệuluyệnthiTrunghọcPhổThôngQuốcGiaMôn
To
ánNăm2016MaiNguyễnMinhHoàng
Quyển1-Tháng8năm2015Học,họcnữa,họcmãi
B
B
B
BÀ
À
À
ÀI
I
I
I1
1
1
1BI
BI
BI
BIẾ
Ế
Ế
ẾN
N
N
NĐỔ

ĐỔ
ĐỔ
ĐỔI
I
I
IL
L
L
LƯỢ
ƯỢ
ƯỢ
ƯỢNG
NG
NG
NGGI
GI
GI
GIÁ
Á
Á
ÁC
C
C
CC
C
C
CƠ
Ơ
Ơ
ƠB

B
B
BẢ
Ả
Ả
ẢN
N
N
N
I)
I)
I)
I)V
V
V
Vò
ò
ò
òng
ng
ng
ngtr
tr
tr
trò
ò
ò
òn
n
n

nl
l
l
lượ
ượ
ượ
ượng
ng
ng
nggi
gi
gi
giá
á
á
ác:
c:
c:
c:
*
*
*
*Ghi
Ghi
Ghi
Ghich
ch
ch
chú
ú

ú
ú:
:
:
:Chiềuquaylượnggiácgiốngchiềumởnắpchainước,
II)
II)
II)
II)M
M
M
Mộ
ộ
ộ
ột
t
t
ts
s
s
số
ố
ố
ốc
c
c
cô
ô
ô
ông

ng
ng
ngth
th
th
thứ
ứ
ứ
ức
c
c
cli
li
li
liê
ê
ê
ên
n
n
nh
h
h
hệ
ệ
ệ
ệgi
gi
gi
giữ

ữ
ữ
ữa
a
a
ac
c
c
cá
á
á
ác
c
c
cg
g
g
gó
ó
ó
óc:
c:
c:
c:
*Th
Th
Th
Thầ
ầ
ầ

ần
n
n
nch
ch
ch
chú
ú
ú
ú:
"cosđốisinbùphụchéokhácpilàtan,cot"
1)Hai
Hai
Hai
Haig
g
g
gó
ó
ó
óc
c
c
cđố
đố
đố
đối
i
i
inhau:

nhau:
nhau:
nhau:
"cosđối"
cos(-x)=cosx
Cònđốivớisin,tan,cotthì:
sin(-x)=-sinx;tan(-x)=-tanx;cot(-x)=-cotx
2)Hai
Hai
Hai
Haig
g
g
gó
ó
ó
óc
c
c
cb
b
b
bù
ù
ù
ùnhau:
nhau:
nhau:
nhau:
"sinbù"

sin(
π
-x)=sinx;cos(
π
-x)=-cosx
tan(
π
-x)=-tanx;cot(
π
-x)=-cotx
3)Hai
Hai
Hai
Haig
g
g
gó
ó
ó
óc
c
c
cph
ph
ph
phụ
ụ
ụ
ụnhau
nhau

nhau
nhau:
:
:
:
"phụchéo-nghĩalàsinđivớicos,tanđivớicot"
sin(
2
π
-x)=cosx;cos(
2
π
-x)=sinx
O
TrụcCos
TrụcSin
Chiều
quay
lượng
giác
Cos>0
Sin<0
Cos<0
Sin<0
Cos>0
Sin>0
Cos<0
Sin>0
V
V

V
VÒ
Ò
Ò
ÒNG
NG
NG
NGTR
TR
TR
TRÒ
Ò
Ò
ÒN
N
N
NL
L
L
LƯỢ
ƯỢ
ƯỢ
ƯỢNG
NG
NG
NGGI
GI
GI
GIÁ
Á

Á
ÁC
C
C
C
TàiliệuluyệnthiTrunghọcPhổThôngQuốcGiaMôn
To
ánNăm2016MaiNguyễnMinhHoàng
Quyển1-Tháng8năm2015Học,họcnữa,họcmãi
tan(
2
π
-x)=cotx;cot(
2
π
-x)=tanx
4)Hai
Hai
Hai
Haig
g
g
gó
ó
ó
óc
c
c
ch
h

h
hơ
ơ
ơ
ơn
n
n
nk
k
k
ké
é
é
ém
m
m
mnhau
nhau
nhau
nhau
π
:
:
:
:
"khácpilàtan,cot"
sin(
π
+x)=-sinx;cos(
π

+x)=-cosx
tan(
π
+x)=tanx;cot(
π
+x)=cotx
5)
5)
5)
5)Hai
Hai
Hai
Haig
g
g
gó
ó
ó
óc
c
c
ch
h
h
hơ
ơ
ơ
ơn
n
n

nk
k
k
ké
é
é
ém
m
m
mnhau
nhau
nhau
nhau
2
π
:
:
:
:
sin(
2
π
+x)=cosx;cos(
2
π
+x)=-sinx
tan(
2
π
+x)=-cotx;cot(

2
π
+x)=-tanx
III)
III)
III)
III)M
M
M
Mộ
ộ
ộ
ột
t
t
ts
s
s
số
ố
ố
ốc
c
c
cô
ô
ô
ông
ng
ng

ngth
th
th
thứ
ứ
ứ
ức
c
c
cc
c
c
cơ
ơ
ơ
ơb
b
b
bả
ả
ả
ản:
n:
n:
n:
1)sin
2
x+cos
2
x=1

2)1+tan
2
x=
x
2
cos
1
3)1+cot
2
x=
x
2
sin
1
4)tanx.cotx=1
5)
5)
5)
5)C
C
C
Cô
ô
ô
ông
ng
ng
ngth
th
th

thứ
ứ
ứ
ức
c
c
ct
t
t
tổ
ổ
ổ
ổng
ng
ng
nghi
hi
hi
hiệ
ệ
ệ
ệu:
u:
u:
u:
b a
b a
b a
b a b a b a
a b b a b a

tan tan 1
tan tan
) tan(
sin sin cos cos) cos(
cos sin cos sin ) sin(
m
m
±
= ±
= ±
± = ±
6)
6)
6)
6)C
C
C
Cô
ô
ô
ông
ng
ng
ngth
th
th
thứ
ứ
ứ
ức

c
c
cnh
nh
nh
nhâ
â
â
ân
n
n
nđô
đô
đô
đôi,
i,
i,
i,nh
nh
nh
nhâ
â
â
ân
n
n
nba:
ba:
ba:
ba:

a)Sin2x=2sinx.cosx
b)Cos2x=cos
2
x-sin
2
x=2cos
2
x-1=1-2sin
2
x
c)Sin3x=3sinx-4sin
3
x
d)Cos3x=4cos
3
x-3cosx
e)tan2x=
x
x
2
tan 1
tan2
−
;tan3x=
x
x x
2
3
tan3 1
tan tan3

−
−
7)
7)
7)
7)C
C
C
Cô
ô
ô
ông
ng
ng
ngth
th
th
thứ
ứ
ứ
ức
c
c
cbi
bi
bi
biế
ế
ế
ến

n
n
nđổ
đổ
đổ
đổi
i
i
it
t
t
tổ
ổ
ổ
ổng
ng
ng
ngth
th
th
thà
à
à
ành
nh
nh
nht
t
t
tí

í
í
ích:
ch:
ch:
ch:
*
*
*
*Th
Th
Th
Thầ
ầ
ầ
ần
n
n
nch
ch
ch
chú
ú
ú
ú:
:
:
:sincộngsinbằng2sincos,sintrừsinbằng2cossin,coscộngcos
Th
Th

Th
Thầ
ầ
ầ
ần
n
n
nch
ch
ch
chú
ú
ú
ú:
sinthì3,4costhì4,3
TàiliệuluyệnthiTrunghọcPhổThôngQuốcGiaMôn
To
ánNăm2016MaiNguyễnMinhHoàng
Quyển1-Tháng8năm2015Học,họcnữa,họcmãi
bằng2coscos,costrừcosbằngtrừ2sinsin.
2
cos
2
cos2 cos cos
2
cos
2
sin2 sin sin
2
cos

2
sin2 sin sin
b a b a
b a
b a b a
b a
b a b a
b a
− +
= +
+ −
= −
− +
= +
)
4
cos(2 )
4
sin(2 cos sin
)
4
cos(2 )
4
sin(2 cos sin
2
sin
2
sin2 cos cos
π π
π π

+ − = − = −
− = + = +
− +
− = −
a a a a
a a a a
b a b a
b a
B
B
B
BÀ
À
À
ÀI
I
I
I2
2
2
2M
M
M
MỘ
Ộ
Ộ
ỘT
T
T
TS

S
S
SỐ
Ố
Ố
ỐV
V
V
VẤ
Ấ
Ấ
ẤN
N
N
NĐỀ
ĐỀ
ĐỀ
ĐỀLI
LI
LI
LIÊ
Ê
Ê
ÊN
N
N
NQUAN
QUAN
QUAN
QUANV

V
V
VỀ
Ề
Ề
ỀL
L
L
LƯỢ
ƯỢ
ƯỢ
ƯỢNG
NG
NG
NGGI
GI
GI
GIÁ
Á
Á
ÁC
C
C
C
*
*
*
*Nh
Nh
Nh

Nhậ
ậ
ậ
ận
n
n
nx
x
x
xé
é
é
ét:
t:
t:
t:Đâylàdạngtoánđãhọcởlớp10,nhưngnhiềubạntheothờigianđã
quênmấtnênsauđâymìnhxintómtắtmộtsốkiếnthứccơbảntrọngtâmvàcác
dạngbàitậpchủyếu.Cácbạncầnchúýđâylàdạngtoánmớixuấthiệnvàođềthi
THPTQuốcgianăm2015vànhữngnămtrướcchưacó,vìthếcácbạncầnnghiên
cứucẩnthậnvàrènluyệncácbàitậpđểvữnghơn,tựtinhơntrongkìthiTHPT
QuốcGiasắptới.
I)
I)
I)
I)M
M
M
Mộ
ộ
ộ

ột
t
t
ts
s
s
số
ố
ố
ốph
ph
ph
phé
é
é
ép
p
p
pt
t
t
tí
í
í
ính
nh
nh
nhl
l
l

lượ
ượ
ượ
ượng
ng
ng
nggi
gi
gi
giá
á
á
ác:
c:
c:
c:
1)
1)
1)
1)M
M
M
Mộ
ộ
ộ
ột
t
t
ts
s

s
số
ố
ố
ốl
l
l
lư
ư
ư
ưu
u
u
uý
ý
ý
ý:
:
:
:
.Cầnchúýcáccôngthứcsau:
+Nếubàitoánchogiátrịcủasinhaycosthìsửdụngcôngthứcsin
2
x+cos
2
x=1để
tìmgiátrịcònlại
+Nếucầntìmtanx,cotx,sin2x,cos2x,sin3x,cos3xthìnhớsửdụngcáccôngthức
đãđượcnêuởbài1
+Nếubàitoánchoxthuộckhoảngnàothìsửdụngvòngtrònlượnggiácđểtính

chínhxácgiátrịdươngâmcủasinx,cosx
0 cos; 0 sin ) 0;
2
( _ ) 2;
2
3
(
0 cos; 0 sin )
2
; ( _ )
2
3
; (
0 cos; 0 sin ) ;
2
(
0 cos; 0 sin )
2
; 0(
> < => − ∈ ∈
< < => − − ∈ ∈
< > => ∈
> > => ∈
x x x hay x
x x x hay x
x x x
x x x
π
π
π

π
π
π
π
π
π
π
2)
2)
2)
2)B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
it
t
t
tậ
ậ
ậ
ập
p
p
pminh
minh

minh
minhh
h
h
họ
ọ
ọ
ọa:
a:
a:
a:
B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
i1:
1:
1:
1:(
(
(
(Đề
Đề
Đề
Đềthi

thi
thi
thiTHPTQG
THPTQG
THPTQG
THPTQGn
n
n
nă
ă
ă
ăm
m
m
m2015)
2015)
2015)
2015)
TàiliệuluyệnthiTrunghọcPhổThôngQuốcGiaMôn
To
ánNăm2016MaiNguyễnMinhHoàng
Quyển1-Tháng8năm2015Học,họcnữa,họcmãi
Tìmgiátrịcủabiểuthức:P=) 2 cos3 2 )( 2 cos3 1(
α α
+ −,biết
3
2
sin=
α
Giải

Ta
có:
9
1
)
3
2
.(2 1 sin2 1 2 cos
2 2
= − = − =
α α
Suyra:P=
9
14
3
7
.
3
2
)
9
1
. 3 2 )(
9
1
. 3 1(= = + −
B
B
B
Bà

à
à
ài
i
i
i2:
2:
2:
2:Chogóc
)
2
; (
π
π α
− − ∈
thoảmãn:
5
1
sin=
α
.Tính
A
=
)
2
sin(
tan 2 cot
π
α
α α

−
+
Giải
Ta
có:
5
4
5
1
1 sin 1 cos
2 2
= − = − =
α α
Do
)
2
; (
π
π α
− − ∈
nên
0 cos<
α
=>
5
2
cos− =
α
=>
2

1
cos
sin
tan− = =
α
α
α
Ta
có:
5
2
cos )
2
sin(= − = −
α
π
α
và
4
3
) 2/ 1 .(2
4/ 1 1
tan2
tan 1
2 cot
2
− =
−
−
=

−
=
α
α
α
Suyra:
A
=
8
5 5
5 / 2
2/ 1 4/ 3
)
2
sin(
tan 2 cot
− =
− −
=
−
+
π
α
α α
B
B
B
Bà
à
à

ài
i
i
i3:
3:
3:
3:Chogóc
α
thỏamãn
2
1
tan=
α
.Tính
A
=
α
π
α
3
cos
)
4
sin(2+
Giải
Ta
có:
A
=
α α α

α
α
α α
α
π
α
2 2 3 3
cos
1
cos
1
.
cos
sin
cos
cos sin
cos
)
4
sin(2
+ =
+
=
+
8
15
2
3
.
4

5
)
2
1
1)(
4
1
1(
)1 )(tan tan 1( tan 1 ) tan 1( tan
2 2 2
= = + + =
+ + = + + + =
α α α α α
B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
i4:
4:
4:
4:Chogóc
) ;
2
(
π

π
α
∈
thoảmãn:
3
5
sin=
α
.Tính
A
=
α
α α
3
sin
sin tan−
ĐS:
2
9
−
;
(HDtrựctiếp)
B
B
B
Bà
à
à
ài
i

i
i5:
5:
5:
5:Chogóc
)
2
3
; (
π
π α
∈
thoảmãn:
3
2 2
cos=
α
.Tính
A
=
α α α
3 6 6
sin cos sin+ +
TàiliệuluyệnthiTrunghọcPhổThôngQuốcGiaMôn
To
ánNăm2016MaiNguyễnMinhHoàng
Quyển1-Tháng8năm2015Học,họcnữa,họcmãi
ĐS:
3
2

;
(HDtrựctiếp)
III)
III)
III)
III)B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
it
t
t
tậ
ậ
ậ
ập
p
p
pá
á
á
áp
p
p
pd

d
d
dụ
ụ
ụ
ụng:
ng:
ng:
ng:
B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
i1:
1:
1:
1:Chogóc
) ;
2
(
π
π
α
∈
thoảmãn:

5
4
cos− =
α
.Tính
A
=
α
α π
α
sin 1
cos
)
4
tan(
+
+ +
ĐS:
14
5
−
B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i

i2:
2:
2:
2:Chogóc
) 2;
2
3
(
π
π
α
∈
thoảmãn:
10
1
sin− =
α
.Tính
A
=
α
α
cot1
2 tan
+
ĐS:
8
3
−
B

B
B
Bà
à
à
ài
i
i
i3:
3:
3:
3:Chogóc
) 0;
2
(
π
α
− ∈
thoảmãn:
5
3
2 cos− =
α
.Tính
A
=
α α
α α α
3
3 3

sin cos2
cos sin2 cos8
−
+ −
ĐS:
18
29
B
B
B
Bà
à
à
ài
i
i
i4:
4:
4:
4:(ĐềthiminhhọaTHPTQGnăm2015)
Chogóc
) ;
2
(
π
π
α
∈
thoảmãn:
5

3
sin=
α
.Tính
A
=
α
α
2
tan 1
tan
+
ĐS:
25
12
−
II)
II)
II)
II)M
M
M
Mộ
ộ
ộ
ột
t
t
ts
s

s
số
ố
ố
ốh
h
h
hệ
ệ
ệ
ệth
th
th
thứ
ứ
ứ
ức
c
c
cl
l
l
lượ
ượ
ượ
ượng
ng
ng
nggi
gi

gi
giá
á
á
ác
c
c
ctrong
trong
trong
trongtam
tam
tam
tamgi
gi
gi
giá
á
á
ác:
c:
c:
c:
1)
1)
1)
1)Ph
Ph
Ph
Phươ

ươ
ươ
ương
ng
ng
ngph
ph
ph
phá
á
á
áp
p
p
pgi
gi
gi
giả
ả
ả
ải:
i:
i:
i:
+Đểgiảitốtphầnnà
y,
cầnnắmvữngcáccôngthứcbiếnđổitổngthànhtích.Đểđơn
giảnhãynhớcâuthầnchúsau:
*
*

*
*Th
Th
Th
Thầ
ầ
ầ
ần
n
n
nch
ch
ch
chú
ú
ú
ú:
:
:
:sincộngsinbằng2sincos,sintrừsinbằng2cossin,coscộngcos
bằng2coscos,costrừcosbằngtrừ2sinsin.
2
cos
2
cos2 cos cos
2
cos
2
sin2 sin sin
2

cos
2
sin2 sin sin
b a b a
b a
b a b a
b a
b a b a
b a
− +
= +
+ −
= −
− +
= +
)
4
cos(2 )
4
sin(2 cos sin
)
4
cos(2 )
4
sin(2 cos sin
2
sin
2
sin2 cos cos
π π

π π
+ − = − = −
− = + = +
− +
− = −
a a a a
a a a a
b a b a
b a
*Ch
*Ch
*Ch
*Chú
ú
ú
úý
ý
ý
ý:
:
:
:Khigặpbàitoánbiếnđổicóliênquanđến3gócA,B,Ctrongtamgiácthì