Mở rộng định lý thác triển picard đối với họ chuẩn tắc đều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
–––––––––––––––––––––––

TRẦN THỊ HUYỀN

MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN PICARD
ĐỐI VỚI HỌ CHUẨN TẮC ĐỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
–––––––––––––––––––––––

TRẦN THỊ HUYỀN

MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN PICARD
ĐỐI VỚI HỌ CHUẨN TẮC ĐỀU
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHẠM VIỆT ĐỨC

THÁI NGUYÊN - 2015

i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới
sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của PGS.TS Phạm Việt Đức.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Tác giả

TRẦN THỊ HUYỀN


ii
LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung của luận văn, tôi xin chân thành cảm ơn
Trường Đại học Sư Phạm Thái Nguyên, nơi mà tôi đã hoàn thành chương trình cao
học dưới sự giảng dạy nhiệt tình và tâm huyết của các Thầy, Cô.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Phạm Việt Đức,
người Thầy đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình và giúp đỡ để tôi có thể
hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè những người đã giúp đỡ
và chia sẻ với tôi trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Tác giả

TRẦN THỊ HUYỀN

iii

MỤC LỤC
Lời cam đoan ......................................................................................................................... i
Lời cảm ơn ............................................................................................................................ ii
Mục lục ................................................................................................................................. iii
MỞ ĐẦU .............................................................................................................................. 1
Chƣơng 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Hàm chỉnh hình bị chặn..................................................................................2
1.2 Hình học phi Euclide........................................................................................4
1.3 Hàm chuẩn tắc và họ chuẩn tắc đều.............................................................6
1.4 Hàm độ dài và khoảng cách trên các không gian phức.........................10
1.5 Ánh xạ chỉnh hình vào các không gian hyperbolic................................17
Chƣơng 2. MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN PICARD ĐỐI VỚI HỌ
CHUẨN TẮC ĐỀU
2.1. Họ chuẩn tắc đều và một số tính chất.......................................................23
2.2. Mở rộng định lý thác triển Picard đối với họ chuẩn tắc đều ...............31
KẾT LUẬN ....................................................................................................................... 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 40


1
MỞ ĐẦU
Theo định nghĩa của Cima và Krantz [10] về ánh xạ chuẩn tắc, Jarvi [29]
đã chứng tỏ rằng một ánh xạ chuẩn tắc f  H  D* , P1 
thành ánh xạ chuẩn tắc

f  H  M  A, P1 



f  H  D, P1 

 ;



thác triển được

và một ánh xạ chuẩn tắc

thác triển được thành ánh xạ f  H  M, P1 

đó M là một miền hyperbolic trong

n

  , trong

và A là một divisor trên M với các

giao chuẩn tắc. Mục đích của luận văn này là trình bày một số các kết quả của
M.Kwack trong việc mở rộng các kết quả trên bằng cách chứng tỏ rằng tất cả
các ánh xạ của một họ chuẩn tắc đều F  H  M  A,Y  thỏa mãn các định lý
thác triển dạng Picard lớn khi Y là một không gian phức, M là một đa tạp
phức và A là một divisor trên M với các giao chuẩn tắc. Ngoài ra, luận văn
còn chứng tỏ rằng: họ các thác triển C  M ,Y  ; F  là compact tương đối trong

C  M ,Y   và hơn nữa, nếu M  A   D*  và Y là compact thì họ H  M ,Y ; F 
m

cũng là họ chuẩn tắc. Các kết quả trình bày trong luận văn đều là mở rộng các
kết quả của Kobayashi, Kwack, Kiernan, Joseph và Kwack trong việc mở rộng
định lý thác triển Picard lớn đối với các ánh xạ chỉnh hình.
Luận văn gồm 2 chương:
Chƣơng 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị về hàm chỉnh hình bị chặn,
hình học phi Euclid, hàm chuẩn tắc và họ chuẩn tắc đều, hàm độ dài và khoảng
cách sinh bởi hàm độ dài trên các không gian phức, ánh xạ chỉnh hình vào các
không gian hyperbolic.
Chƣơng 2 là nội dung chính của luận văn, trình bày về họ chuẩn tắc đều
và các kết quả mở rộng định lý thác triển Picard lớn đối với họ chuẩn tắc đều.


2
Chƣơng 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm chỉnh hình bị chặn
1.1.1. Định lý. (Định lý thác triển Riemann)
Một hàm chỉnh hình bị chặn

f

xác định trên đĩa thủng

D*  z  :0  z  1 đều thác triển thành hàm chỉnh hình f xác định trên
đĩa D   z  : z  1.
1.1.2. Định lý. (Định lý Liouville).
Một hàm nguyên bị chặn là một hàm hằng.

Với X , Y là các không gian phức, kí hiệu H  X ,Y   C  X ,Y   là không
gian các ánh xạ chỉnh hình (liên tục) từ X vào Y . Ta sẽ sử dụng

H  X   C  X   thay cho H  X ,

 C  X ,   . Tất cả các không gian hàm được

trang bị tôpô compact mở. Hình cầu Riemann sẽ biểu thị bởi P1 

.

1.1.3. Định lý. (Bổ đề Hurwitz).
Cho U là một miền trong

H U , P1 

  a

hoặc f  H U , P1 

và cho

mà hội tụ tới f  H U , P1 

f 
k

 .

là một dãy trong

Khi đó hoặc f là hằng

  a.

Một họ các hàm chỉnh hình F xác định trên một miền U 

được gọi

là chuẩn tắc nếu mỗi dãy trong F hoặc chứa một dãy con hội tụ trong H U 
hoặc dần đến . Bổ đề Hurwitz chứng tỏ rằng tính chuẩn tắc của một họ
F  H U  là tương đương với tính compact tương đối của một họ nếu xem họ

đó là một tập con của H U , P1 

 .


3
Cho X , Y là các không gian tô pô. Một họ F  C  X ,Y  được gọi là
liên tục đồng đều từ p  X tới q  Y nếu mỗi tập mở U trong Y quanh q , tồn
tại các tập mở V ,W trong X , Y quanh p, q tương ứng sao cho:

 f  F : f  p   W   f  F : f V   U .
Nếu F là liên tục đồng đều từ mỗi p  X tới mỗi q  Y ta nói rằng F
là liên tục đồng đều (từ X tới Y ). Ta có định lý Ascoli-Arzelá sau:
1.1.4. Định lý. Cho X là một không gian compact địa phương chính quy và cho

Y là một không gian chính quy. Khi đó F  C  X ,Y  là compact tương đối
trong C  X ,Y  khi và chỉ khi:

a

F là liên tục đồng đều

b

F  x    f  x  : f  F  là compact tương đối trong Y với mỗi x  X .

Cho  X ,   và Y ,  là các không gian giả metric, cho f  C  X ,Y  và
cho c  0 . Ta nói rằng f là Lipschitz bậc c ứng với  và  nếu

  f  a  , f  b    c  a, b  với a, b  X và một họ F  C  X ,Y  là Lipschitz
bậc c ứng với  và  nếu mỗi

f  F là Lipschitz bậc c ứng với  và  .

Trong trường hợp đặc biệt chúng ta có thể rút ngắn thuật ngữ này
và nói rằng F là Lipschitz. Nếu F  C  X ,Y  là Lipschitz bậc 1 ứng
với  và  ta sẽ nói rằng F là giảm khoảng cách ứng với  và  .
Với Y là không gian tô pô, Y  là compact hóa một điểm của Y nếu

Y không là compact, Y   Y nếu Y là compact. Định lý sau đưa ra
một tính chất quan trọng của họ giảm khoảng cách.


4
1.1.5. Định lý. Cho

Y , 

là không gian metric compact địa

phương. Cho X là không gian tô pô và  là một giả metric trên

X mà liên tục trên X  X . Nếu F  C  X ,Y  là Lipschitz ứng với 
và  , thì F là compact tương đối trong C  X ,Y   .
1.1.6. Định lý. (Định lý Montel).
Một họ bị chặn địa phương F các hàm chỉnh hình xác định trên miền
U

là compact tương đối trong H U  .

1.2. Hình học phi Euclide
Nhóm các tự đẳng cấu A  D  của đĩa D được cho bởi
T  z   ei

za
, a  D.
1  az

Khoảng cách hyperbolic d D và metric Poincaré

dz



1 z

2

là bất biến đối với A  D  và thỏa mãn:

d D  z,   inf  




trong đó  là đường cong nối z và  . Tiếp theo bổ đề Schwarz-Pick sau đây
chứng tỏ rằng H  D, D  là giảm khoảng cách đối với khoảng cách hyperbolic.
1.2.1. Định lý. (Bổ đề Schwarz-Pick [34]).
Với mỗi f  H  D, D  , ta có:

f  z   f  
1  f  z  f  



z 
1  z

; z,  D


5
và

f '  z
1 f  z

2



1
1 z

2

; z D

trừ khi nó là một tự đẳng cấu.
1.2.2. Định lý. (Định lý Montel [3]).
Cho M là một miền trong

. Khi đó họ H  M ,  0,1 là một họ

chuẩn tắc, tức là nó là compact tương đối trong H  M , P1 

 .

1.2.3. Định lý. (Định lý Picard bé [3]).
Mỗi hàm f  H  ,  0,1 đều là hàm hằng.
1.2.4. Định lý. (Định lý Picard lớn [3]).
Mỗi ánh xạ
f  H  D, P1 

f  H  D* ,  0,1

đều thác triển được thành

 .

1.2.5. Định lý. (Carathéodory [3]).



Cho F  H  D* ,  0,1 . Khi đó họ F  f : f  F
của F là compact tương đối trong H  D, P1 



 .

1.2.6. Định lý. (Định lý Schottky).
Có hằng số c  0 chỉ phụ thuộc vào r và f  0  sao cho:
sup f  z   c
z r

với mỗi f  H  D,  0,1 .

các thác triển


6
Khoảng cách cầu trên cầu Riemann được cho bởi:

S 1 , 2   inf


d

 1  

2

trong đó  là một đường nối 1 và 2 .
1.2.7. Định lý. (Marty [16]).
Cho M là một miền trong

. Giả sử F  H  M , P1 



và với các tập

compact K  M , có một hằng số c  0 sao cho:

 f '  z 

sup 
: f  F , z  K   c.
2
1

f
z
 



Khi đó F là một họ chuẩn tắc.
1.2.8. Định lý. (Royden [16]).
Cho M là một miền trong

. Nếu F  H  M , P1 



và với mọi tập

compact K  M , có một hàm đơn điệu tăng hK thỏa mãn:



f '  z   hK f  z 



với z  K và f  F , thì khi đó F là họ chuẩn tắc.
1.3. Hàm chuẩn tắc và họ chuẩn tắc đều
Nhóm các tự đẳng cấu của không gian M kí hiệu bởi A  M  ,
F G   f g : f  F , g  G .

1.3.1. Định nghĩa. Cho M 
f  H  M , P1 



là một miền đơn liên. Một ánh xạ

là chuẩn tắc nếu họ F A  M  là chuẩn tắc, tức là nó là tập

compact tương đối trong H  M , P1 

  . Nếu

M là một miền đa liên, f được


7
gọi là chuẩn tắc nếu nó là chuẩn tắc trên phủ toàn thể M của M , tức là ánh xạ

 f là chuẩn tắc, trong đó  :M  M là ánh xạ phủ.
Lehto và Virtanen đã chứng minh tính chất sau của ánh xạ chuẩn tắc.
1.3.2. Định lý. Cho M là một miền hyperbolic. Khi đó một ánh xạ
f  H  M , P1 



là chuẩn tắc khi và chỉ khi với mỗi c  0, ta có:

f '  z
1 f  z

2

 cd  z 

trong đó d là độ dài hyperbolic trên M .
Trường hợp đặc biệt f  H  D, P1 



là chuẩn tắc khi và chỉ khi với

mỗi c  0, ta có:

1  z  f  z   c.
2

'

1 f  z

2

1.3.3. Định lý. (Lehto-Vertanen-Javi [28,29])
Mỗi ánh xạ chuẩn tắc f  H  D* , P1 
xạ chuẩn tắc f  H  D, P1 



đều thác triển được thành ánh

 .

1.3.4. Định lý. (Lohwater-Pommerenke [28]).
Một ánh xạ chỉnh hình khác hằng f  H  D, P1 
chỉ khi không tồn tại dãy
r  0, f  zn  rn   g  

g  H  , P1 

 zn 
đều

  là khác hằng.

trong D và
trên

tập

rn 

con



là chuẩn tắc khi và

trong

 0,1

sao cho

compact

của

và


8
1.3.5. Định lý. (Lappan [32]).
Cho A là tập con của P1 
f  H  D, P1 



với ít nhất 5 phần tử. Khi đó

  là chuẩn tắc khi và chỉ khi





 1 z 2 f '  z



1
sup 
: z  f  A   .
2
 1  f  z 

Một họ F  H  M , X  , trong đó M , X là các không gian phức, được

gọi là bất biến nếu F  F A  M  . Nhận thấy rằng họ H  D,  0,1 là bất
biến, Hayman đã nghiên cứu về họ chuẩn tắc bất biến của các hàm. Ông đã
chứng tỏ rằng một họ bất biến F  H  D  là chuẩn tắc nếu có một số c  0 sao
cho khi f  F , z1, z2  D, f  z1   1 và f  z2   ec , ta có:

 D  z1 , z2  

z2  z1

1
 .
1  z1 z2 2

Ông đã gọi tính chất này là chuẩn tắc đều. Ta chú ý rằng :
1   D  z1 , z2 
1
d D  z1 , z2   log
.
2
1   D  z1, z2 

1.3.6. Định nghĩa. (Hayman [38]).
Một họ F  H  D  là chuẩn tắc đều nếu có một c  0 sao cho khi

f  F , z1, z2  D, f  z1   1 và f  z2   ec , ta có:
1
2

 D  z1 , z2   .
Rõ ràng một họ chuẩn tắc đều là chuẩn tắc. Nhưng điều ngược lại chưa

hẳn đúng (Xem ví dụ 2.1.6, chương 2). Tuy nhiên, một họ chuẩn tắc bất biến là
một họ chuẩn tắc đều.


9
1.3.7. Định lý. Cho F là một tập con bất biến của H  D  . Khi đó F là chuẩn
tắc đều khi và chỉ khi F là họ chuẩn tắc.
Chứng minh
Điều kiện cần là hiển nhiên. Ta chỉ cần chứng minh điều kiện đủ.
Giả sử F là chuẩn tắc. Có một hằng số c  0 sao cho:

1
nếu f  F và f  0   1 thì f  z   ec với z  .
2

f  z1   1 và

Cho z1, z2  D, f  F ,

  z 

Từ

f  z2   ec . Cho   A  D  thỏa mãn

z1  z
.
1  z1 z

f   0    1

ta có

f   z    ec

với

1
z  . Vì vậy ta có
2

1
2

 1  z2    D  z1 , z2   . Suy ra điều phải chứng minh.
Từ bổ đề Schwarz-Pick ta có:
1.3.8. Định lý.
Cho F  H  D  , các điều kiện sau đây là tương đương:

1

F là chuẩn tắc đều.

 2

F H  D, D  là chuẩn tắc đều.

 3

F A  D  là chuẩn tắc.

 4

F là một tập con của một họ chuẩn tắc bất biến.


10
Chứng minh

1   2 . Giả sử

F H  D, D  không là chuẩn tắc đều và cho c  0 . Có

một hàm f h  F H  D, D  và z1, z2  D sao cho f h  z1   1, f h  z2   ec
và

1
2

 D  z1 , z2   .

Điều

này

trái

với

giả

thiết

1

vì

 D  h  z1  ,h  z2     D  z1, z2   . Vậy  2  được chứng minh.
1
2

 2   3 . Họ

F A  D  là chuẩn tắc đều, do đó F A  D  là chuẩn tắc.

 3   4  1 . Họ

F A  D  là bất biến và chuẩn tắc, theo định lý 1.3.7

F A  D  là chuẩn tắc đều. Từ F  F A D  ta có F là chuẩn tắc đều.

Vậy định lý được chứng minh.
1.4. Hàm độ dài và khoảng cách trên các không gian phức
Cho X ,Y là các không gian phức. Kí hiệu T  X  và Tp  X  là không
gian tiếp xúc của X và không gian tiếp xúc với X tại p . Nếu f  H  X ,Y  ta
sẽ biểu thị các ánh xạ đạo hàm trên các không gian tiếp xúc bởi df và  df  p và
f * là đối ngẫu của df . Một hàm nửa độ dài E trên một không gian phức X là

một hàm thực không âm nửa liên tục trên trên không gian tiếp xúc T  X  thỏa
mãn E  av   a E  v  với a  , v Tp  X  . Hơn nữa, nếu E  v   0 với mọi

v  T  X  khác không thì E được gọi là hàm độ dài trên X . Một hàm độ dài

E trên X sinh ra một khoảng cách d E trên X cho bởi:
b

d E  p, q   inf  E  '  t   dt ,


a


11
trong đó  :  a, b  X là một đường cong từ p tới q . Đó chính là khoảng
cách d E xác định tô pô của X .
Kobayashi [34] đã định nghĩa một giả khoảng cách k X , và được gọi là
giả khoảng cách Kobayashi (hoặc hyperbolic) trên một đa tạp phức X như sau:
1.4.1. Định nghĩa. Cho X là một đa tạp phức. Khi đó giả khoảng cách k X
được định nghĩa bởi





k X  p, q   inf L   p, q   : p, q  X ,
  p ,q 

trong đó   p, q  là một dây chuyền

 f1,..., fm  H  D, X 

z1,...,zm  D, f1  0  p, fi  zi   fi1  0 , i  1,2,..., m  1, f m  zm   q

sao cho
và

m

L   p, q     d D  0, zi .
i 1

Royden [8] chứng tỏ rằng giả khoảng cách k X là cảm sinh bởi hàm nửa
độ dài K X xác định như sau:
1.4.2. Định nghĩa. Dạng vi phân K X của k X được cho bởi
K X  v   inf r  0 :   0   p, d  re   v,  H  D, X ,

trong đó p  X , v Tp  X  , e T  D  là vectơ đơn vị của T  D  .
Nếu giả khoảng cách Kobayashi k X trên đa tạp phức X là một khoảng
cách, thì k X xác định tô pô của X và X được gọi là hyperbolic. Một đa tạp
phức con X của một đa tạp phức Y được gọi là nhúng hyperbolic [34] trong

Y nếu với p, q  X phân biệt, có các lân cận mở Wp , Wq tương ứng của p, q
trong Y sao cho:
k X  X  Wp , X  Wq   0.


12
Rõ ràng rằng một đa tạp phức X là nhúng hyperbolic trong chính nó khi
và chỉ khi nó là hyperbolic. Định lý sau được suy ra trực tiếp từ định nghĩa và
bổ đề Schwarz-Pick.
1.4.3. Định lý. Đối với đĩa hyperbolic D các hàm K D và k D trùng với metric

Poincaré  và khoảng cách hyperbolic d D tương ứng.
Định lý tiếp theo có thể được sử dụng để tính K D* :
1.4.4. Định lý. Cho M là một đa tạp phức và M là một đa tạp phủ của M với
ánh xạ phủ là  : M  M . Ta có  *  K M   K M .
Vì dạng vi phân K D* trùng với metric cảm sinh bởi ánh xạ phủ
p  z   exp  2 iz  từ nửa mặt phẳng trên H tới D* , nên ta có:
K D* 

dz
z log z

2

.

Từ đó ta có:
1.4.5. Mệnh đề. Độ dài cung L  r  của đường tròn  r   z : z  r ứng với
k D* hội tụ tới 0 khi r  0 .

Hàm modular chứng tỏ rằng đĩa đơn vị D là không gian phủ của
 0,1 và do đó ta có định lý sau:

1.4.6. Định lý. Không gian

 0,1 là không gian hyperbolic.

Với X là đa tạp con của đa tạp phức Y , Kobayashi [35] đã định nghĩa
một giả khoảng cách tương đối k X ,Y và dạng vi phân của K X ,Y trên X , bao
đóng của X trong Y . Các hàm k X ,Y và K X ,Y được định nghĩa tương tự như k X
và K X nhưng sử dụng họ

13
FX ,Y   f  H  D,Y  : f 1 Y  X  cã nhiÒu nhÊt mét phÇn tö.

Nếu không có f  FX ,Y thỏa mãn f  0   p và

 df 0  re   v

thì

K X ,Y  v  được định nghĩa bằng .

1.4.7. Định lý. Cho X ,Y , X ' ,Y ' là các không gian phức sao cho X  Y và

X '  Y ' . Khi đó ta có:

1 K X X  v,   maxK X  v  , K X  ,
'

'

 2 K X  X ,Y Y  v,   maxK X ,Y  v  , K X ,Y  ,
'

'

'

'

 3 k X  X   p, p'  ,  q, q'    maxk X  p, q  ,k X  p' , q' ,
'

'

 4 k X  X ,Y Y   p, p'  ,  q, q'    maxk X ,Y  p, q  ,k X ,Y  p' , q' .
'

'

'

'

Chứng minh
Ta sẽ chỉ chứng minh 1 ;  2  được chứng minh tương tự; còn  3 ,  4 
được suy ra từ 1 và  2  là các giả khoảng cách cảm sinh bởi các hàm giả dài
trong 1 ,  2  .
Sử dụng phép chiếu  : X  X '  X và  ' : X  X '  X ' ta được:

K X X'  v,   K X  v  và K X X'  v,   K X '   , với v  Tp  X  và   Tp  X '  .
Để chứng minh bất đẳng thức còn lại, giả sử rằng K X  v   K X '   và lấy
f  H  D, X  thỏa mãn df  re   v, trong đó f  0   p và v  Tp  X  . Khi đó

tồn tại một số s   0, r  và một ánh xạ g  H  D, X '  sao cho dg  se   


14
trong đó g  0   q và  Tq  X '  . Định nghĩa ánh xạ h  H  D, X  X '  bởi


 s 
h  z    f  z  , g  z  .
 r 

Khi đó dh  re    v,  , do đó K X X'  v,   r . Từ đó suy ra 1 được
chứng minh.
Vậy định lý được chứng minh.
Nói chung K X ,Y  K X với X là đa tạp con phức của đa tạp phức Y . Tuy
nhiên, sử dụng định lý 1.4.7, Kobayashi [35] đã chứng tỏ rằng trong một vài
trường hợp chúng là bằng nhau.
1.4.8. Định lý. (Kobayashi).
Đối với các không gian  D*  và D m , trong đó m là một số nguyên, ta có:
m

k

 D* 

m

, Dm

 kDm và K

 D* 

m

, Dm

 K Dm .

Các giả khoảng cách nội tại và các dạng vi phân của chúng có tính chất
tương tự với khoảng cách Kobayashi và dạng vi phân của nó.
1.4.9. Định lý. Cho X ,Y , X ' ,Y ' là các đa tạp phức sao cho X  Y và X '  Y ' .
Khi đó:

1

Với f  H  X , X '  , p, q  X ta có:

 

f * K X '  K X và k X '  f  p  , f  q    k X  p, q .

Hơn nữa, K X (tương ứng k X ) là hàm giả độ dài lớn nhất E (tương ứng giả
khoảng cách d ) trên X thỏa mãn với mỗi f  H  D, X  , f *  E   K D (tương
ứng d  f  z  , f     kD  z,  với z,  D ).


15

 2  Với mỗi

f  H Y ,Y '  sao cho f  X   X ' và với mỗi p, q  X , ta có





f * K X ' ,Y '  K X ,Y và k X ' ,Y '  f  p  , f  q    k X ,Y  p, q .
Hơn nữa, hàm K X ,Y (tương ứng k X ,Y ) là hàm giả độ dài lớn nhất E (tương
ứng hàm giả khoảng cách d ) trên X thỏa mãn với mỗi f  FX ,Y , f *  E   K D
(tương ứng d  f  z  , f     kD  z,  với z,  D ).
Nếu X là một đa tạp phức hyperbolic và Y là một đa tạp phức với hàm
độ dài E , chuẩn df

E

của ánh xạ tiếp xúc của f  H  X ,Y  ứng với E được

định nghĩa bởi
df

E

 sup



  df 

p E



: p X ,





trong đó  df  p  sup E  df  p  v  : K X  v   1, v Tp  X  .
E

(Ta chỉ sử dụng df và  df  p khi không thể xảy ra nhầm lẫn). Trong trường
hợp đặc biệt với f  H  D,Y  ,
nếu df

E

 df 0

 E  df  e   . Ta cũng có f *  E   cK X

 cc   . Ta có tính chất của các đa tạp hyperbolic sau:

1.4.10. Mệnh đề. Cho f  H  M ,Y  trong đó M là một đa tạp hyperbolic và

Y là một không gian phức với một hàm độ dài E . Khi đó:

 df  p

 sup

 d  f



  0 :   H  D, M  ,  0   p với p  M ,

và

df  sup

 d  f




  0 :   H  D, M 



 sup d  f   :   H  D, M  .


16
Chứng minh
Cho p  M và v  Tp  M  sao cho K M  v   1 và cho    . Tồn tại

  H  D, M  và r  0 sao cho   0  p, d  re   v và r  1   . Ta có:





E  df  p  v   E  d  f  0  re    1    d  f  0





 1    sup d  f  0 :   H  D, M  ,  0   p
 1     df  p .

Từ đó các đẳng thức trên được suy ngay ra từ bổ đề Schwarz-Pick. Đó là điều
phải chứng minh.
Mệnh đề sau đây có được từ tính chất giảm khoảng cách của các ánh xạ
chỉnh hình giữa các đa tạp hyperbolic.
1.4.11. Mệnh đề. Cho M là một đa tạp hyperbolic thuần nhất và Y là một đa
tạp phức với một hàm độ dài E . Khi đó với f  H  M ,Y  ta có:


 sup d  f

df  sup d  f



g  : g  A M 



g  : g  H M ,M  .

1.4.12. Ví dụ. Cho E là metric cầu trên hình cầu Riemann. Với
f  H  D, P1 

  , ta có:
df



E



 1 z 2 f '  z



 sup 
: z  D .
2
 1  f  z 


Đối với không gian phức X , các khái niệm hàm độ dài E và
hàm khoảng cách d E kết hợp với E được định nghĩa tương tự như
đối với đa tạp ([37]).


17
1.5. Ánh xạ chỉnh hình vào các không gian hyperbolic
Royden đã định nghĩa một đa tạp phức X là hyperbolic tại p  X nếu
có một lân cận tọa độ địa phương U của p và một hằng số c  0 sao cho
KX  c v

với mọi v  T U  . Mở rộng định nghĩa này ta có:
1.5.1. Định nghĩa. Cho X là một không gian con phức của một
không gian phức Y với một hàm độ dài E . Một điểm p  X là một
điểm hyperbolic đối với X nếu có một lân cận U của p và một
hằng số c  0 sao cho K X  cE trên X  U .
Kobayashi gọi một điểm p  X là điểm hyperbolic nếu mỗi lân cận U
của p chứa một lân cận nhỏ hơn V của p sao cho k X V  X , X  U   0 . Các
đặc trưng tiếp theo của một điểm hyperbolic chứng tỏ rằng hai định nghĩa của
điểm hyperbolic là tương đương v à làm sáng tỏ thêm về các tính
chất của một không gian con nhúng hyperbolic. Khi X là một
không gian con phức của một không gian phức Y , ta sẽ kí hiệu tập
hợp các điểm hyperbolic của X bởi R  X ,Y  .
1.5.2. Định lý. [11]. Cho X là một không gian con phức của một
không gian phức Y với một hàm độ dài E . Các điều kiện sau đây là
tương đương với p  X :

1

 2

Điểm p là một điểm hyperbolic.
Với tất cả các dãy

 pn 

và qn  trong X thỏa mãn pn  p và

không có dãy con nào của qn  hội tụ về p , ta có limk X  pn , qn   0 .

18

 3 Nếu  f n  và  zn 

là các dãy tương ứng trong H  D* , X  và D* sao

cho zn  0 và f n  zn   p , khi đó với mỗi lân cận mở U của p , có một số
0  r  1 sao cho f n  Dr*   U .

 4  Nếu  f n  và  zn 

là các dãy tương ứng trong H  D* , X  và D* sao

cho zn  0 và f n  zn   p , khi đó hai điều kiện sau đây được thỏa mãn:

 i  Mỗi
 ii 

f n có thác triển f n  H  D,Y  và

Tồn tại một số 0  r  1 , một dãy con

 f  của  f  và một hàm
n

nk

f  H  Dr ,Y  sao cho f nk  f .

 5

Nếu  f n  là một dãy trong FX ,Y sao cho f n  0   p , khi đó với mỗi

lân cận mở U của p , có một số 0  r  1 sao cho f n  Dr   U .

 6  Có một lân cận U
sup

7

của p sao cho

  df 

0



: f  FX ,Y , f  0  U   .

Có một lân cận U của p và một số c  0 sao cho

K X ,Y  cE trên U  X .

8

Với mọi dãy  pn  và qn  trong X thỏa mãn pn  p và không có

dãy con nào của qn  hội tụ về p , ta có limk X ,Y  pn , qn   0 .

9

Có một lân cận U của p sao cho nếu

 pn 

trong U  X và k X ,Y  pn , qn   0 khi đó d E  pn , qn   0 .
1.5.3. Ví dụ. Cho n

1 là một số nguyên dương và cho
M

z1, z2 ,..., zn

n

: zi

0,1 .

và qn  là các dãy


19
Cho

w0 , w 1,..., wn

Pn

và cho

là các tọa độ thuần nhất của không gian xạ ảnh

w0 , w1,..., wn : w0
Xác định

bởi

Pn

:M

0 .

z1; z2 ,..., zn

nhúng M vào trong P n

1, z1,..., zn .

và Kiernan [31] đã nhận thấy rằng

. Ta dễ dàng thấy rằng, từ điều kiện

không là nhúng hyperbolic trong P n

tương đương 2 của định lý 1.5.2, nếu p

0,1, w2 ,..., wn

mỗi i thì p không là điểm hyperbolic của

M . Định nghĩa dãy

H D* ,

M

1
2k

và wi
fk

1 với

trong

bởi

fk z

Khi đó f k

M

1,

k w2
wn
,
,...,
zk 2zk 1
2zk 1

p , trong khi đó f k

1
4k

zk
w
w
,1, 2 ,..., n .
k 2kz
2kz

0,1,2w2 ,...,2wn .

Sau đây là một dạng mở rộng của định lý 1.5.2.
1.5.4. Định lý. Cho X là một không gian con phức của một không gian phức

Y . Khi đó các điều kiện sau là tương đương :
1 X là nhúng hyperbolic trong Y .
2 Có một hàm độ dài H trên Y sao cho K X ,Y
3 Nếu p, q

X và p

q , thì k X ,Y p, q

0.

H trên X .


20
1.5.5. Hệ quả. Cho X là một không gian con phức của một không gian phức
là một dãy trong D* sao cho zn

Y . Cho f

H D* , X

f zn

R X ,Y . Khi đó f thác triển được tới f

p

và cho zn

0 và

H D,Y .

Chứng minh
Hệ quả này được chứng minh bằng cách áp dụng điều kiện 4 của định

lý 1.5.2 đối với dãy hằng

f .

Định lý sau đây là tổng quát của định lý Picard lớn của Kwack,
Kobayashi và Kiernan.
1.5.6. Định lý. Cho X là một không gian con phức nhúng hyperbolic của một
không gian phức Y . Khi đó mỗi f

H D* , X

thác triển tới f

C D,Y

.

Nếu X là compact tương đối trong Y , thì f là chỉnh hình.
Chứng minh
Nếu có một dãy zn
đó từ p

R X ,Y

trong D* sao cho zn

theo hệ quả 1.5.5, f thác triển tới f

trường hợp còn lại nếu dãy
f zn

0 và f zn

zn

trong D* sao cho zn

p Y , khi

H D,Y . Trong
0,

thì ta có

và ta có điều phải chứng minh.
Kiernan đã chứng minh được rằng một không gian con phức compact

tương đối X của một không gian phức Y là nhúng hyperbolic trong Y khi và
chỉ khi H D, X là một tập con compact tương đối của H D,Y . Điều kiện
cần của kết quả này là một mở rộng lên số chiều cao của định lý Montel đối với
các họ chuẩn tắc [3]. Một định lý của Carathéodory chỉ ra rằng nếu
X

0,1 và Y

P1

, thì khi đó H D,Y ; H D* , X

là compact tương

đối trong H D,Y trong đó ta sử dụng ký hiệu H M , N ; Q C M , N ; Q

là