Đồ Án Tốt Nghiệp Máy Và Hệ Thống Điều Khiển Số Theo Chương Trình 150 tc (CDIO) CHƯƠNG 12 ( Sách Giáo Trình)

Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số

CHƯƠNG 12: NỘI SUY TRONG HỆ THỐNG MÁY ĐIỀU KHIỂN SỐ

Mục tiêu chương 12: Sau khi học xong chương này, sinh viên có khả năng:
1. Trình bày được cấu tạo và hoạt động của bộ tích phân DDA;
2. Tính toán nội suy và lập được bảng nội suy phần cứng cho đường thẳng và cung
tròn;
3. Phân tích được các lưu đồ giải thuật nội suy phần mềm DDA, nội suy bậc thang
và nội suy DSM;
4. Trình bày được cấu tạo và tính toán thiết kế bộ truyền vitme-bi trong máy điều
khiển số;
5. Giải thích được nguyên lý hoạt động của các cơ cấu thay dao tự động, mã hóa
dao cắt, trong máy điều khiển số;
6. Phân tích nguyên lý hoạt động của hệ thống truyền dẫn servo, hệ thống bôi trơn
công nghiệp và hệ thống thủy lực trong máy điều khiển số.

1


Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số
12.1. KHÁI NIỆM
Nội suy đóng vai trò tạo ra dữ liệu chuyển động trục từ khối dữ liệu được sinh ra bởi
trình biên dịch và là một trong những thành phần quan trọng của máy CNC, phản ánh độ
chính xác của máy.
Thông thường, một máy CNC có hơn hai trục điều khiển để gia công những hình
dạng phức tạp. Hai loại điều khiển có thể được thực hiện: phương pháp điều khiển điểm –
đến – điểm được sử dụng để di chuyển trục đến vị trí mong muốn, và phương pháp điều
khiển chu tuyến được sử dụng để di chuyển dọc theo đường cong bất kỳ.
Để thực hiện những phương pháp điều khiển này một cách hiệu quả, chuyển động
của dao phải được chia thành những thành phần tương ứng với mỗi trục, quỹ đạo của dao

thì được tạo ra thông qua sự kết hợp những sự dịch chuyển riêng lẻ của mỗi trục.
Ví dụ như, nếu dao di chuyển từ vị trí P 1 đến P2 với tốc độ Vf trong mặt phẳng XY,
được chỉ ra trong Hình 12.1a, bộ nội suy chia chuyển động toàn bộ thành các dịch chuyển
riêng lẻ dọc theo trục X và trục Y dựa trên tốc độ ăn dao. Cuối cùng, các khối câu lệnh điều
khiển vận tốc cho 2 trục được tạo ra như trong Hình 12.1b.
V
Y

v1

P2

y2

X
Vf
y1

V
v2

P1
x1

x2

X
Y

a)

Hình 12. 1 – Khái niệm cơ bản của nội suy

b)

Nội suy nên xem xét giới hạn vận tốc do cấu trúc máy và đặc tính động cơ servo.
Sự tích lũy sai số nội suy nên tránh để vị trí cuối cùng nên trùng khít với vị trí điều
khiển.

2


Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số
12.2. NỘI SUY PHẦN CỨNG
Nội suy phần cứng thực hiện việc tính toán nội suy và tạo ra xung bằng cách sử dụng
một mạch số. Trong nội suy phần cứng, việc thực hiện tốc độ cao có thể làm được, nhưng
rất khó để thích nghi với các thuật toán mới hoặc sửa đổi các thuật toán. Trong NC, việc
tính toán nội suy và tốc độ cắt phụ thuộc vào phần cứng. Tuy nhiên, việc phụ thuộc vào
phần cứng đã được giảm dần do sự xuất hiện của hệ thống máy điều khiển số (CNC).
Phương pháp điển hình cho việc nội suy phần cứng là sử dụng một bộ tích phân DDA
(Digital Differential Analyzer). Phương pháp sử dụng bộ tích phân DDA được chuyển thành
một phiên bản phần mềm và có thể được áp dụng cho CNC hiện đại. Trong phần này, bộ
tích phân DDA và phương pháp nội suy phần cứng sử dụng một bộ tích phân DDA sẽ được
giới thiệu.
12.3. BỘ TÍCH PHÂN DDA
P

Pk
Pk-1

p

P2
P1

t

t

Hình 12. 2 – Phép xấp xỉ bằng một phương pháp số của một hàm liên tục
Nguyên tắc hoạt động tích phân số về cơ bản được thực hiện bởi các phép cộng liên
tiếp sử dụng các phương pháp gần đúng hình chữ nhật hoặc hình thang. DDA trong các hệ
thống NC sử dụng các phương pháp gần đúng hình chữ nhật. Chúng ta giả thuyết rằng có
một biến p là hàm của thời gian t, như được minh họa trong Hình 12.2. Phép tích phân số

3


Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số
được thực hiện bởi việc tính gần đúng diện tích dưới đường cong như là tổng các diện tích
chữ nhật nhỏ, mà mỗi hình có đáy t bằng nhau.
∆

Điều này cho ta viết được công thức sau:
p

(1
2.1)
Giá trị z tại được ký hiệu bởi zk có thể được viết như sau:
Hay:

(12.2)

Trong đó:

(12.3)

Như vậy, phép tích phân số được thực hiện qua 3 giai đoạn.
-

Giai đoạn 1: Tung độ pk được tính bằng cách cộng gia lượng Δp, hay trừ nó
đi từ trung độ trước đó pk-1:
(12
.4)

-

Giai đoạn 2: Gia lượng tích phân được tính theo công thức (12.3), và sau
cùng nó được cộng vào giá trị z trước đó theo phương trình (12.2)

Bộ tích phân DDA hoạt động theo kiểu lập lại ở tần số f được cung cấp bởi một
đồng hồ tạo xung bên ngoài, với:
(12
.5)
Trong mỗi lần lặp lại, các phép toán được cho bởi phương trình (12.3) và (12.4) sẽ
được thực hiện.
Như chúng ta đã biết, các dữ liệu vào ra giữa các bộ tích phân DDA được truyền
dưới dạng gia lượng 1-bit, vì vậy, giá trị của Δp và Δz phải là 1 và 0. Điều này có thể đạt
được trong bộ DDA bằng cách chứa biến p trong một thanh ghi n - bit và do đó giới hạn giá
trị cho phép của p đến 2n.
Tức là: pk < 2n

Gia lượng vào Δp của bộ DDA được thêm vào bit có giá trị nhỏ nhất của thanh ghi
này cũng được ký hiệu thanh ghi p. Gia lượng ra Δz của bộ được tính với sự hỗ trợ của một
thanh ghi phụ, được ký hiệu là thanh ghi q. Ở mỗi lần lặp lại, giá trị thứ k của p là pk sẽ được
cộng thêm vào giá trị trước đó thứ k-1 của biến q là qk-1:
(12
.6)
Nếu một giá trị mới thứ k của q là qk lớn hơn giá trị (2n-1), thì sự tràn xảy ra và Δz
được tạo ra.

4


Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số
Sơ đồ bộ tích phân DDA được thể hiện trên Hình 12.3.

Thanh ghi q

Bộ cộng

p

+
-

Thanh ghi p

Hình 12. 3 – Sơ đồ bộ tích phân DDA
Một bộ tích phân DDA bao gồm hai thanh ghi n-bit, p và q và một bộ nhị phân.
Trong suốt một bước lặp, giá trị mới của pk đạt được theo phương trình (12.4), mà trong đó
Δp hoặc là 0 hoặc là 1. Phép tích phân được thực hiện theo phương trình (12.6) với sự hỗ trợ

của bộ cộng mà nó cộng giá trị của hai thanh ghi p và q với nhau và ghi kết quả mới vào
thanh ghi q. Các giá trị tràn của bộ cộng chính là các gia lượng Δz. Về mặt toán học các gia
lượng Δz này cho bởi:
(1
2.7)
Bằng việc kết hợp (12.5) với (12.7), ta có:
(1
2.8)
Trong đó:
(1
2.9)
Biểu tượng của một bộ tích phân DDA được biểu diễn trên Hình 12.4

5


Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số
f

p

+ Δt

Z

Px = a

_ Py = b

f0

Hình 12. 4 – Biểu tượng của bộ tích phân DDA
Ngõ ra của DDA là một xung tràn Δz, mà có thể được nối với ngõ vào Δp của các bộ
tích phân DDA khác để thiết kế ra các bộ phận nội suy mong muốn. Tần số ra trung bình f0
của xung tràn Δz được tính bởi phương trình (12.8):
(12
.10)
12.4. CÁC BỘ NỘI SUY BẰNG PHẦN CỨNG TRONG MÁY NC
Trong các hệ thống điều khiển đường, quỹ đạo gia công thường được kết hợp bởi các
đoạn thẳng và cung tròn. Chỉ cần xác định tọa độ điểm đầu, điểm cuối của mỗi đoạn và
lượng chạy dao. Bộ phận thực hiện công việc nội suy gọi là bộ nội suy. Bộ nội suy có nhiệm
vụ tính toán, kết hợp chuyển động giữa các trục để tạo nên quỹ đạo gia công. Hai bộ nội suy
thường thấy nhất trong thực tế là bộ nội suy đường thẳng và bộ nội suy cung tròn.
12.4.1. Bộ nội suy đường thẳng (Bộ nội suy tuyến tính)
Khả năng để điều khiển chuyển động dọc theo một đường thẳng giữa các tọa độ đầu
và cuối được gọi là nội suy đường thẳng. Nội suy đường thẳng có thể được thực hiện trong
một mặt phẳng (2-D) sử dụng một hay hai trục chuyển động, hay trong không gian (3-D),
trong đó chuyển động kết hợp của 3 trục. Trong chương này sẽ trình bày bộ nội suy 2-D.
Bộ nội suy 2-D cung cấp các lệnh về vận tốc, tính bằng số xung trong một giây đồng
thời cho cả hai trục và duy trì số giữa các tần số xung cho cả hai trục bằng với tỉ số giữa
khoảng cách gia tăng được yêu cầu.
Ví dụ: Xét trường hợp trong Hình 12.5, quỹ đạo dao cần đi theo đường A, B có
y=

phương trình dạng

b
x
a

với a và b là các số nguyên.

6


Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số
y
B

b
A

a
x

Hình 12. 5 – Đường thẳng AB
Với b = 3 và a = 5 gia lượng (số BLU trên mỗi giây) từ điểm A đến B lần lược theo
phương x là 5 BLU, theo phương y là 3 BLU, trong đó, mỗi BLU tương đương với một
xung ra.
Bộ nội suy phải cung cấp 5 xung cho vòng điều khiển theo trục x, đồng thời cấp 3
xung cho vòng điều khiển theo trục y, nghĩa là tỉ số giữa hai tần số này là 5:3. Quỹ đạo được
thực hiện bởi bộ nội suy bao gồm các gia lượng tính bằng BLU, và sai số lớn nhất nhỏ hơn
1 BLU.
Một bộ nội suy đường thẳng bao gồm 2 bộ DDA được thể hiện trên Hình 12.6.
Mỗi trục cần có một bộ tích phân DDA, bộ DDA thứ nhất cung cấp các xung cho
trục x và bộ DDA thứ hai cung cấp các xung cho trục y. Cả hai bộ hoạt động bởi một đồng
hồ cấp xung chung, và vì thế các hoạt động đồng thời. Khoảng cách gia tăng cần thiết của
mỗi trục được cấp bởi thanh ghi p trong mỗi DDA tương ứng.

+ Δt

_

Px = a

Z
Trục x

(1)

f

+ Δt
_

Py = b

Z
(2)

Trục y

Hình 12. 6 – Bộ nội suy DDA tuyến tính

7


Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số
Các xung tràn từ ngõ ra Δz được cấp cho các vòng điều khiển như là tín hiệu lệnh
điều khiển. Những xung này có thể kích hoạt các động cơ bước trong hệ thống hở, trong đó
mỗi xung sẽ tạo ra một chuyển động bước, hay được đưa đến các hệ thống kín như là tín

hiệu chuẩn.
Giả thuyết rằng, một đường thẳng AB cần được gia công, với lượng tăng a và b dọc
theo các trục x và y tương ứng. Thanh ghi p của bộ DDA 1 được tải với a và, và thanh ghi p
của bộ DDA 2 được tải với b. Theo phương trình (12.8), các ngõ ra tương ứng sẽ là:
(12.
11)
(12.
12)
Trong đó C được cho trong phương trình (12.9). Tỉ số của tần số các ngõ ra là:
(12.
13)
Và bảo đảm rằng quỹ đạo yêu cầu sẽ được tạo ra. Vị trí tức thời của x và y có thể
được xác định:
(12.
14)
(12.
15)
Ví dụ: Một bộ nội suy tuyến tính DDA với các thanh ghi 3 bit tạo ra quỹ đạo được
cho trên Hình 12.5. Hãy xác định các xung ngõ ra ở 10 bước đầu tiên.
Thanh ghi p của trục x được tải với 5 và thanh ghi p của trục y được tải với 3. Phương
trình (12.6) được thực hiện đồng thời trong hai bộ tích phân DDA. Các xung ra được tạo ra
mỗi khi qk ≥ 8 và sau đó, phương trình:
(12.
16)
Các kết quả 10 bước đầu tiên được cho trong bảng dưới đây:
B
ước
tích
phân
1

2
3
4
5
6

Bộ tích
phân 1
q
Δ
z1
5
2
1
7
4
1
1
1
6

Bộ tích
phân 2
q
Δ
z2
3
6
1
1

4
7
2
1
8


Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số
7
8
9
1

3
0
5
0

1
1
1

5
0
3
6

1

0

Chú ý rằng, sau mỗi 8 bước tích phân đầu tiên (hay 2n, trường hợp tổng quát) các
thanh ghi q lại được reset, và một chu kỳ mới bắt đầu.
Với việc sử dụng hai bộ DDA cho trục x và y, tỉ số vận tốc giữa hai trục x và y có thể
được duy trì. Mặt khác, để vận tốc chuyển động dọc theo quỹ đạo được ổn định, người ta
dùng thêm một bộ DDA thứ 3 để điều khiển 2 bộ DDA đầu tiên.
Bộ DDA thứ ba này được xem như là bộ DDA điều khiển tốc độ ăn dao, có hai thanh
ghi m bit. Thanh ghi của nó được gán giá trị FRN (coded federate number- số được mã hóa
của lượng chạy dao), được tính như sau:
(12.
17)
Trong đó V là lượng chạy dao, hay vận tốc tương đối của dao với phôi dọc theo quỹ
đạo (số đơn vị chiều dài / phút). Chiều dài của quỹ đạo được tính cùng đơn vị chiều dài của
vận tốc:
(12.
18)
Tần số ra của DDA thứ ba này được xác định bằng cách thay thế (12.16), vào
(12.10), và ta có:
(12.
19)
Trong đó f là tần số xung đồng hồ ngõ vào của DDA thứ ba. Ngõ ra thứ ba được gắn
vào ngõ vào đồng hồ của bộ DDA thứ nhất và hai tương ứng của trục x và y. Theo (12.9)
hằng số tích phân của những DDA này trở thành:
(12.
20)
Vận tốc của các trục được cho bởi phương trình (12.14) và (12.15)
(12.
21)
(12.
22)
Vậy vận tốc thực theo quỹ đạo VL (số đơn vị chiều dài/giây) được tính theo công

thức:
9


Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số
(12.
23)
Thay (12.19) vào (12.23), ta thu được:
(12.
24)
Vận tốc quỹ đạo mong muốn chỉ đạt được nếu tần số xung đồng hồ ngõ vào của
DDA thứ ba được chọn theo giá trị:
(12.
25)
Đây là tần số xung không đổi của đồng hồ và có thể hiệu chỉnh bởi nhà sản xuất máy
NC.

10


Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số
12.4.2. Bộ nội suy cung tròn
Bộ nội suy cung tròn loại bỏ nhu cầu xác định nhiều điểm trên cung tròn. Chỉ có các
điểm đầu và điểm cuối và bán kính là cần dược khai báo để tạo ra một cung tròn.
y

O

x

Hình 12. 7 – Đường tròn cần nội suy
Để tạo ra một cung tròn, phương trình quỹ đạo sau đây cần được thỏa mãn:
(12.
26)
Hay dạng tham số:
(12.
27)
(12.
28)
Vận tốc tương ứng của các trục là:
(12.
29)
(12.
30)
Lấy vi phân hai phương trình trên, ta có:
(12.
31)
(12.
32)
Mặt khác, gia lượng z1, z2 tương ứng với trục x và y được tính như sau:
(12.
33)
(12.
11


Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số
34)
Do vậy, từ các mối quan hệ trên ta có cấu trúc của bộ nội suy đường tròn DDA như
sau:

p
Trục x
f

Trục y
p

Hình 12. 8 – Bộ nội suy cung tròn
12.4.3. Bộ nội suy hoàn thiện
Một bộ nội suy hoàn thiện đóng vai trò vừa có thể là bộ nội suy đường thẳng và bộ
nội suy cung tròn (Hình 12.9). Người lập trình xác định kiểu nội suy thông qua từ khóa G.
Vận tốc dọc theo quỹ đạo nội suy (hay lượng chạy dao) được điều khiển bởi DDA 3. Thanh
ghi p của DDA 3 được tải vào giá trị FRN (federate number). FRN được tính theo công thức
sau:
-

Đối với bộ nội suy đường thẳng từ điểm A đến điểm B và chiều dài L, với
vận tốc dài V:
(12.
35)

-

Đối với nội suy cung tròn từ điểm A đến điểm B có bán kính R, với vận tốc
V
(12.
36)

Theo (12.19) tần số ra không đổi của DDA là:

(12.
37)

12


Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số

Hình 12. 9 – Bộ nội suy hoàn thiện
12.5. NỘI SUY PHẦN MỀM
12.5.1. Các giải thuật nội suy phần mềm dùng cho hệ CNC xung chuẩn
12.5.1.1. Giải thuật nội suy phần mềm DDA
Thuật toán nội suy phần mềm DDA bắt nguồn từ DDA của phần cứng và việc thực
hiện cũng giống như của DDA phần cứng.

13


Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số

Hình 12. 10 – Thuật toán nội suy phần mềm DDA
Hình 12.10 là biểu đồ thuật toán nội suy của phần mềm DDA. Hình 12.10a và Hình
12.10b tương ứng hiển thị nội suy tuyến tính và nội suy tròn. Trong Hình 12.10a, các biến L
dịch chuyển tuyến tính và các biến A và B biểu thị sự thay đổi của trục X và trục Y, và giá trị
ban đầu của biến Q1 và Q2 bằng 0. Trong Hình 12.10b, các giá trị ban đầu của biến cũng
tương tự như đối với nội suy tuyến tính, biến R là bán kính của cung tròn, và các biến P1 và
P2 ở trung tâm vị trí khi điểm bắt đầu của vòng tròn là gốc của hệ tọa độ.
Trong thực tế, quỹ đạo gia công của dao chuyển động tương đối với phôi thường là
đường thẳng hoặc đường cung tròn. Dưới đây, ta sẽ xét hai phép tính nội suy này.
• Nội suy đường thẳng theo phương pháp DDA

14


Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số
y
B

yB

Pi+1
Pi

yA

O

A

Vy
Vx

xA

xB

x

Hình 12. 11 – Nội suy tuyến tính
Giả sử, ta cần gia công theo một đường thẳng từ điểm A đến điểm B trong khoảng

thời gian T (Hình 12.11).
Nếu chuyển động từ điểm A đến B có vận tốc theo phương x là Vx và vận tốc theo
phương y là Vy thì tại thời điểm t, tọa độ của dao cắt được xác định theo công thức:
(12.
38)
(12.
39)
Nếu là chuyển động đều cho mỗi lần gia lượng theo phương x và y thì vận tốc theo
phương x và y được tính như sau:
(12.
40)
(12.
41)
Vậy tại một thời điểm bất kỳ t, ta có:
(12.
42)
(12.
43)

15


Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số
Nếu đoạn AB được chia thành n đoạn bằng nhau như vậy theo phương x và y, mỗi
∆t =

lần gia lượng, khoảng thời gian thực hiện là
thành tổng.

T

N

, phép tích phân trên được chuyển đổi

Tại thời điểm bất kỳ , tọa độ x(t) và y(t) được xác định bởi công thức:
(12.
44)
(12.
45)
Trong đó i = 1, 2, 3, 4,…, n
Như vậy mối quan hệ giữa T với chiều dài đường gia công L và vận tốc v gia công là:
(12.
46)
Trong đó:
(12.
47)
Để tìm ra các điểm nội suy tuyến tính, cần cung cấp các dữ liệu đầu vào: điểm đầu A
(xA,yA), điểm cuối B(xB,yB), vận tốc cắt (v), suất đơn vị BLU (basic length unit) của các trục
(suất đơn vị là lượng di động nhỏ nhất có thể đạt được trên các trục). Để đảm bảo độ chính
xác của biên dạng nội suy, người ta chọn các bước cộng nhỏ hơn suất đơn vị BLU.

16


Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số
• Giải thuật nội suy cung tròn theo phương pháp DDA
Giả sử, ta cần gia công theo một cung tròn từ điểm A đến điểm P trong khoảng thời
gian t (Hình 12.13), ta có phương trình:
(12
.48)

(12
.49)
Hay:
(12
.50)
(12
.51)
y
P(x; y)

y
r
α

yc

O(xc; yc)

A(xc+ r;yc)

O
xc

x

x

Hình 12. 12 – Nội suy cung tròn
Giả sử T0 là thời gian để đi hết một đơn vị cung tròn (1rad), và thời gian đi hết cung
α là t thì:

(12.
52)
Thay α vào các phương trình trên ta có:
(12
.53)
(12
.54)
17


Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số
(12
.55)
(12
.56)
Tích phân các phương trình trên ta có:
(12
.57)
(12
.58)
Giả sử ta cần gia công từ điểm A đến điểm B với thời gian T với n lần gia lượng ∆t
đều bằng nhau, có nghĩa là T = n.∆t. Ta cần xác định các điểm trung gian tại thời điểm t =
i.∆t. Công thức trên có thể viết lại như sau:
(12
.59)
(12
.60)
12.5.1.2. Giải thuật nội suy xấp xỉ bậc thang SA (Stair Approximation)
• Nội suy cung tròn theo giải thuật xấp xỉ bậc thang
Khác với giải thuật DDA, tâm của hệ tọa độ nội suy cung tròn theo giải thuật xấp xỉ

bậc thang trùng với tâm của cung tròn mà ta muốn nội suy. Giải thuật nội suy xấp xỉ bậc
thang cũng chia hai đường tròn cùng chiều và ngược chiều kim đồng hồ thành 8 cung như
trên Hình 12.14.

Hình 12. 13 – Hai đường tròn chia thành 8 cung đối với giải thuật xấp xỉ bậc thang
Giải thuật nội suy bậc thang, được gọi là nội suy gia lượng, quyết định hướng dịch
chuyển của mỗi bước nội suy trong một khoảng bằng 1BLU tăng thêm và gây bởi xung này

18


Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số
đến một trục tương ứng và do vậy ở mỗi bước nội suy, chỉ có 1 xung được đưa đến trục x
hoặc trục y mà thôi.

Hình 12. 14 - Ứng xử của giải thuật xấp xỉ bậc thang
Xét trường hợp gia công cung tròn theo chiều kim đồng hồ góc phần tư thứ nhất
(cung a Hình 12.14) trên Hình 12.15. Giả sử dao đã đi đến điểm thứ k(xk; yk) và cần quyết
định hướng đi của bước nội suy tiếp theo. Hướng đi tiếp theo từ điểm k có thể là một trong
các hướng x+, x-, y+, y- với lượng dịch chuyển 1BLU và phải thỏa điều kiện là bám sát quỹ
đạo cung tròn đã cho. Tuy nhiên, do quỹ đạo đi từ điểm A đến điểm B theo chiều kim đồng
hồ, nên trong thực tế việc chọn hướng đi tiếp theo từ điểm k chỉ phải chọn một trong hai
hướng x+ hoặc y- mà thôi. Để chọn hướng dịch chuyển, ta cần xác định các biến sau:
(12.
61)
Nếu Dk < 0, dễ thấy rằng điểm k nằm bên trong của cung tròn, ta phải chọn hướng x+
để đảm bảo quỹ đạo dao bám sát cung tròn cần gia công;
Nếu Dk > 0, điểm k nằm bên ngoài cung tròn, cần chọn hướng y- để đảm bảo quỹ đạo
dao bám sát cung tròn;
Bếu Dk = 0, có thể chọn một trong hai hướng trên.

Sau khi đã chọn được hướng dịch chuyển, dao sẽ di chuyển đến điểm thứ k+1, và thủ
tục trên lại được lập lại để xác định hướng đi tới các điểm tiếp theo.
Với việc lý luận tương tự như trên đối với các cung tròn còn lại, ta xác định được
hướng di chuyển tương ứng với giá trị Dk như sau:

19


Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số
Bảng 12. 1 – Hướng dịch chuyển dao theo D và chiều nội suy
¼
T
T
1

c
ung
tròn

ư
ớn
g

a

C

b
c
d

C

x

y
+

y

x

C

e

C

f

C
C
W

7

g

h

C
C
W

y

-

y
+
x
+

C
C
W

8

0

x
+

C
W
6

0

y
+

W
5

>

C

W
4

<

-

W
3

D

x
+

W
2

D

H

x
y
-

y
-

x
+

x
+

y
+

Trở lại với việc gia công cung tròn a (Hình 12.14), giả sử dao đã dịch chuyển từ A đi
i lần theo phương x và j lần theo phương y, tức là đến điểm có tọa độ (xi, yj), giá trị Di,j được
tính như sau:
(12.
62)

20


Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số

a)

b)

Hình 12. 15 – Hướng dao dịch chuyển
Nếu dao dịch chuyển theo hướng x+ từ điểm (xi, yj) đến điểm (xi+1, yj) như trên Hình
12.16a với xi+1 = xi + 1 thì:
(12.
63)
Suy
ra:
Hay:

(12.
64)

Với

(12.
65)

Do
vậy:
Suy
ra:
(12.
66)
Tương tự, nếu dao dịch chuyển theo hướng y- từ điểm (xi, yj) đến điểm (xi, yj+1) như
trên Hình 12.16b với yi+1 = yi – 1 thì:
(12.
67)

Suy
21


Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số
ra:
Hay:

(12.
68)

Với

(12.
69)

Do
vậy:
Suy
ra:
(12.
70)
Từ các phương trình (12.63) đến (12.70), ta suy ra được giải thuật nội suy xấp xỉ bậc
thang được biểu điễn theo lưu đồ trên Hình 12.17 với các giá trị ban đầu như sau:
x = x0 – xA;

xf = |xB – xA|; y = y0 – yA;

Δx = Δx0 = 2x0 + 1;

yf = |yB – yA|;

Δy = Δy0 = -2y0 + 1;

D=0

22


Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số

Hình 12. 16 – Giải thuật nội suy cung tròn bằng phương pháp xấp xỉ bậc thang
Tổng số lần nội suy của giải thuật này là n = 2R/BLU
• Nội suy đường thẳng theo giải thuật xấp xỉ bậc thang
Giả sử ta cần gia công đường thẳng A(XA, YA) đến B(XB, YB) trong hệ tọa độ OXY như
trên Hình 12.18. Đặt hệ tọa độ nội suy O’xy tại điểm A, phương trình đường thẳng AB trong
hệ tọa độ nội suy là:
(12.
71)
Đặt:

(12.
72)

Suy

(12.
73)

ra:

Nếu dao đang ở vị trí (xi, yj) thì Di,j được xác định như sau:

(12.
23


Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số
74)
Trường hợp Di,j > 0, điểm (xi, yj) nằm phía trên đường thẳng AB, vậy điểm đi tới tiếp
theo của dao là điểm (xi+1, yj) theo hướng x+, ta có:
(12.
75)

Với:

(12.
76)
(12.
77)

Trường hợp Di,j <0, điểm nằm (xi, yj) phía dưới đường thẳng AB, vậy điểm đi tới tiếp
theo của dao là điểm (xi, yj+1) theo hướng y+, vậy nên:
(12.
78)

Với:

(12.
79)
(12.

80)

Trường hợp Di,j = 0, điểm nằm ở trên đường thẳng AB, hướng đi tiếp theo của dao sẽ
là một trong hai trường hợp trên.
Kết quả phân tích ở trên cho ta giải thuật nội suy đường thẳng AB góc ¼ thứ nhất.
Tổng số lần nội suy: n = (|YB – YA| + |XB – XA|)/BLU

24


Chương 12: Nội suy trong hệ thống máy điều khiển số

Hình 12. 17 – Đường thẳng AB

Hình 12. 18 – Giải thuật nội suy đường thằng bằng phương pháp xấp xỉ bậc thang
12.5.1.3. Giải thuật nội suy tìm kiếm trực tiếp DS (Direct search)

25