Chuyên đề tích phân luyện thi đại học THPTQG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.15 MB, 34 trang )
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
Chuyên đề: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH.
2. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ.
3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN.
4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN.
5. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN
m
PHẦN 2:
TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ.
PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN
in
h2
47
.co
PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
I.TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH:
A. Phương pháp:
Phương pháp phân tích là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân
thành tổng các hạng tử mà nguyên hàm của mỗi hạng tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm
hoặc chỉ bằng các phép biển đổi đơn giản đã biết, sau đó áp dụng định nghĩa.
B. Ví dụ:
1
VD1: Tính tích phân I
0
Giải :
1
Biến đổi I về dạng I
0
=
(
1
ex
(
1
ex
=
0
1
(e
=
0
e
ex
.
dx
x
e (ex 1)
)dx
1
ex
1
ex
ex
1
0
[(ex
1)
x
e (ex
ex ]dx
1)
1
ex
4
x
4
)dx
ye
0
1
1
x
e
ns
1
dx
2x
x
1
ex
)dx
1
Tu
= ( e x x ln e x 1 )10 =
VD2: Tính các tích phân sau:
a/
2
x2 2x
I
dx;
3
x
1
b/
J (3x e )dx.
0
Giải:
2
2
2
1 2
a/ Ta có: I 2 dx ln | x | (ln2 1) (ln1 2) ln2 1.
x 1
x
1 x
1
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
x
3 2
b/ Ta có: J x 4e 4
2
4
(24 4e) (0 4) 28 4e.
0
1
x5
VD3: Tính tích phân: I 2 dx.
0 x 1
Giải:
Từ x5 x3 (x2 1) x(x 2 1) x.
1
1
VD4: Tính
0
in
h2
47
.co
/ 2
m
x
1
1
1 4 1 2 1
2
Ta được: I x3 x 2
dx x x ln(x 1)] ln 2 .
2
2
4
4
0 2
x 1
0
sin x
dx.
cosx sin x
Giải:
sin x
cosx sin x (A B)cosx (A B)sin x
A B
cosx sin x
cosx sin x
cosx sin x
A B 0
1
A B .
Đồng nhất đẳng thức, ta được:
2
A B 1
Ta có:
Vậy:
0
/ 2
sin x
1
1 cosx sin x
1
dx
dx
x
ln(cosx sin x)
cosx sin x
2(cosx sin x
2
2
0 2
tg x 2
sin 2 x dx
4
2
Tu
1)
ye
C.Bài tập:
Tính:
ns
/ 2
/ 2
0
.
4
3
2)
( cosxcos3x + sin4xsin3x) dx
0
4
4
3
3)
tg2x dx
4)
| x-2 | dx
0
6
4
5)
2
x 2 6 x 9 dx
3
4
3
6)
4
| x2-4 | dx
7)
cos 2 x 1 dx
4
II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
2
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
b
1) DẠNG 1: Tính I f ( x)dx với giả thiết hàm số f(x) liên tục trên [a;b]
a
A. Phương pháp:
t u ( x) dt u ' ( x)dx (t=u(x) có đạo hàm liên tục, f(t) liên tục trên tập xđ của t)
xb
t u(b)
+)Đổi cận :
xa
t u (a)
+) Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
+) Đặt
I f u ( x).u ' ( x)dx f (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới)
b
u (b )
a
u(a)
VD1 Tính tích phân I
e
Giải
x
ln x
e
t
2
I
1
Vậy I
dx
x
e2
dt
1, x
dt
t
ln t
2
1
4
cos x
dx .
(sin x cos x)3
ns
0
4
2
ln 2 .
VD2: Tính tích phân I
Tu
ye
cos x
dx
3
(sin
x
cos
x)
0
3
ĐS: I
.
8
I
dx
.
x ln x
t
ln 2 .
Hướng dẫn:
in
h2
47
.co
e2
Đặt t
m
1
, ln x) thì đặt t = lnx.
x
+, Khi f(x) có chứa n u(x) thì thường đặt t = u(x).
+, Khi f(x) có mẫu số thì thường đặt t = mẫu.
Nhìn chung là ta phải nắm vững công thức và vận dụng hợp lý.
B. Ví dụ:
+, Khi gặp dạng f(x) có chứa (
CHÚ Ý:
4
0
1
(tan x
3
1
x
dx .
x
3
1)
.
dx
. Đặt t
cos2 x
tan x
1
VD3:Tính tích phân:
3
I
1
2
(1
dx
x) 2x
3
.
Hướng dẫn:
2x 3
Đặt t
3
ĐS: I ln .
2
1
VD4. Tính tích phân I
0
3
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
Hướng dẫn:
3
1
Đặt t
ĐS: I
3
x
x
8
1
3
3
t2 dt
; đặt t
(t2 1)2
tan u
2 . hoctoancapba.com
Chú ý:
3
1
Phân tích I
0
x
dx , rồi đặt t
x
VD5:: Tính tích phân : I
7
x sẽ tính nhanh hơn.
x3dx
3
0
1
1 x2
m
1
Giải:
3t 2dt
Đặt t x 1 t x 1, khi đó: 3t dt 2xdx dx
.
2x
x= 0 t = 1
Đổi cận:
x= 7 t 2
2
3
2
x3dx
2
in
h2
47
.co
3
x3 .3t 2dt
Ta có:
3t(t 3 1)dt 3(t 4 t)dt.
3
2xt
1 x2
2
2
t5 t2
141
Khi đó: I 3 (t t)dt 3
.
5
2
10
1
1
4
C.Bài tập:
Tính các tích phân sau:
2
2
1) cos x sin xdx ;
0
2
0
5) sin 2x(1 sin2 x)3dx ;
ye
0
e
1 ln2 x
1 x dx ;
Tu
9)
3
12).
5
4
6)
1
cos
0
4
x
1
sin 4x
3)
dx ;
1 cos2 x
0
2) cos xdx ;
2
ns
3
4
dx
e
;
7)
1
6
1
10) x5 (1 x3 )6dx ;
11)
0
0
4
1 ln x
dx ;
x
cos x
6 5sin x sin
0
4) x3 1 x 2 dx .
2
x
8)
1
cos xdx .
0
dx ;
tg x
4
cos2xdx
0
cos x sin x
13)
dx ;
3 sin 2 x
0
4
2
14)
0
sin 2 x
cos x 4 sin x
2
dx
.
x
3
ln 3 e 2e
ln 5
2
dx ;
15)
x
4
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
sin 2 x
dx ;
16)
2
0 ( 2 sin x )
ln(tgx)
dx ;
17)
sin 2 x
3
2
4
18) (1 tg 8 x)dx ;
0
4
sin x cos x
2
19)
1 sin 2 x
dx .
4
20)
0
sin 2 x sin x
1 3 cos x
x
2
23)
1
sin 2 x cos x
21)
dx ;
0 1 cos x
2
dx ;
e
1 x 1
24)
dx ;
1
2
22) (e sin x cos x) cos xdx ;
0
1 2 sin 2 x
dx .
0 1 sin 2 x
1 3 ln x ln x
dx ;
x
4
25)
m
2
in
h2
47
.co
2) DẠNG 2:
b
A. Phương pháp: I f ( x)dx với giả thiết hàm số f(x) liên tục trên [a;b]
a
Cách thực hiện:
+) Đặt x (t ) dx ' (t )dt ( trong đó (t ) là hàm số được lựa chọn thích hợp: ảnh của
(t ) nằm trong tập xác định của f và ' (t ) liên tục.)
xb
t
+) Đổi cận :
xa
t
+) Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
I f ( x)dx f (t ) ' (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới)
b
a
x 2 )n thì đặt x
ye
+, (a 2
ns
Chú ý:
* Nếu f(x) có chứa:
+, (a 2
x2 )n thì đặt x
+, x 2
a2
thì đặt x
Tu
n
+,
+,
B. Ví dụ
a .sin t với t
2
;
a . tan t với t
a
hoặc x
sin t
, hoặc x
2
2
a
.
cos t
;
2
, hoặc x
a .cos t với t
a .cot t với t
0;
.
0;
.
a x a x
thì đặt x a cos 2t
;
a x a x
(x a)(b x) thì đặt x=a+(b-a)sin2t
1
2
VD1 :Tính tích phân I
0
1
1
x2
dx .
Giải
Đặt x
sin t, t
2
;
2
dx
cos tdt
5
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
x
0
t
6
1
2
0, x
t
6
cos t
dt
1 sin2 t
I
0
6
cos t
dt
cos t
0
6
dt
t 06
0
6
0
Vậy I
6
6
.
.
2
VD2: Tính tích phân I
x2 dx .
4
m
0
in
h2
47
.co
Hướng dẫn:
Đặt x 2 sin t
ĐS: I
.
1
dx
.
1 x2
VD3:Tính tích phân I
0
Hướng dẫn:
Đặt x
tan t, t
2
;
(tan2 x
dx
2
x
0
t
4
I
0
1)dt
0, x
x
0
ye
Hướng dẫn:
3 1
I
0
1
ĐS: I
12
2
3 1
2
1
0
2
4
dt
0
4
.
.
.
dx
.
(x 1)2
tan t
Tu
Đặt x
x
dx
2x
2
dx
2x
ns
VD4:Tính tích phân I
4
t
4
tan2 t 1
dt
1 tan2 t
Vậy I
3 1
1
.
VD5: Tính tích phân : I
0
2
2
x2
1 x2
dx.
Giải:
Đặt x = sint, khi đó: dx = costdt
.Đổi cận:
x= 0 t = 0
với
2
x= 2 t 4
6
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
x2dx
Lại có:
sin2 t.cos tdt
1 x2
1 sin2 t
sin 2 t.cos tdt sin 2 t cos tdt 1
(1 cos2t)dt.
cos t
cos t
2
1 / 4
1 1
Khi đó: I (1 cos2t)dt t sin 2t
2 0
2 2
VD6: Tính tích phân : I
2/ 3
2
/ 4
0
1
.
8 4
dx
x x2 1
m
Giải:
1
cost
, khi ñoù : dx 2 dt
sin t
sin t
x= 1 t = 2
Đổi cận:
2
x=
t
3
3
1
cos tdt / 2
/ 2
2
/ 2
sin
t
dt t / 3
Khi đó:
1
6
/ 3
/ 3
1
sin t
1
sin2 t
0
VD7: Tính tích phân : I
ax
dx, (a 0)
ax
ns
a
in
h2
47
.co
Đặt x
Đặt x a.cos2t, khi ñoù: dx 2a.sin2tdt.
Giải:
ye
x= -a t = 2
x=0 t
4
Tu
Đổi cận:
Lại có:
ax
a a.cos2t
dx
(2a.sin 2tdt) cot t (2a.sin 2tdt)
ax
a a.cos2t
4a.cos2 t.dt 2a(1 cos2t)dt.
/ 2
/ 2
1
a 1 .
Do đó: I 2a (1 cos2t)dt 2a t sin 2t
2
/ 4
4
/ 4
VD8: Tính tích phân : I
/ 3
cosdx
/ 6 sin x 5sin x 6
2
7
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
Giải:
Đặt x = sint, khi đó: dt = cosxdx
1
x= 6 t = 2
Đổi cận:
x= t 3
3
2
cosdx
dt
dt
Ta có:
2
2
sin x 5sin x 6 t 5t 6 (t 2)(t 3)
Suy ra:
A 1
B 1
in
h2
47
.co
A B 0
2A 3B 1
Từ đó:
cosxdx
1
1
dt.
sin x 5sin x 6 t 3 t 2
2
Khi đó: I
3/2
1/ 2
1
t 3
1
dt ln
t2
t 3 t 2
C.Bài tập:
Tính các tích phân sau:
1
x
dx
4
2
x
x
1
0
2
dx
x x2 1
cos x
dx
7 cos2 x
2
9)
ns
1
2)
3
6)
9 3x 2
dx
x2
1
ye
5)
1
0 1 cos x sin x dx
2
1)
2
3
Tu
0
m
B
[(A B)t 2A 3B]dt
A
dt
(t 2)(t 3)
t 3 t 2
3/2
ln
1/ 2
3(6 3)
5(4 3)
2
2
3)
1 x2
0
1
7))
0
1
1 x4
dx
10)
1 x6
0
x2
(1 x )5
0
2
4) x2 4 x2 dx
1
1 x
11)
dx
dx
cos x
1 cos2 x
2
8)
2
3
dx
1
x x2 1
dx
dx
1 x 2x 2
0
12)
2
x x 1
dx .
0 1 1 3x
1 x5
III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:
A. Phương pháp:
1
13)
dx
2
14)
* Kiến thức:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D vi phân của hàm số ký hiệu:
dy = f '(x).dx hay d(f(x)) = f '(x).dx.
* Để tính được nhanh các em cần nhớ những công thức sau:
d(a.x b)
dx
(a 0) .
+, d(a.x b) a.dx
a
8
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
+, d(ae x
ae x .dx
b)
+, d(sin x)
dx
cos x.dx
+, d(ln x)
dx
.
x
+, d( x2
a2 )
dx
dx
a.x b
x.dx
d(ae x b)
.
a.e x
d(sinx)
sin x.dx
; d(cos x)
cos x
1 d(a.x b) 1
ln(a.x b) .
a a.x b
a
dx
d(cos x)
.
sin x
. hoctoancapba.com
x2 a 2
B.Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
1)
0
e
4
dx
;
2007.x 2008
2
sin x.cos xdx;
2)
3)
0
1
0
1 x
3
1
x2
2) (
) dx;
2 x3
0
;
e2
2 ln x
6)
dx ;
x
1
e
3)
1
2x2
4) xe dx ;
x2
dx ;
in
h2
47
.co
1)
1
2x2
dx
7)
;
e x 1 ln x
0
1 x
3
0
3
3
sin x
8)
dx ;
cos3 x
0
cot x.dx .
4)
6
C. Bài tập Tính các tích phân sau:
1
4
e x .dx
;
4 3e2x
m
1
9)
sin x e
cos x
dx ;
0
1
5) x 2e x dx .
3
1
1
10)
0
dx
2e
IV. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
A. Phương pháp:
Công thức tích phân từng phần:
u ( x).v' ( x)dx u ( x).v( x)a v( x).u ' ( x)dx
b
b
b
a
a
udv u.va vdu
b
Hay:
b
u u ( x)
du u' ( x)dx
dv v' ( x)dx
v v( x)
ye
Cách thực hiện:
a
ns
a
b
+) Đặt
Tu
+) Thay vào công thức tích phân từng từng phần : udv u.va vdu
b
a
b
b
a
Chú ý:
+)Đặt u f(x), dv g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân
du u/ (x)dx không quá phức tạp.
b
vdu phải tính được.
+)Hơn nữa, tích phân
a
+)Đặc biệt:
9
x
3
.
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
b
b
i/ Nếu gặp
P(x) sin axdx,
eax .P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt
P(x) cos axdx,
a
u
b
a
a
P(x) .
b
P(x) ln xdx thì đặt u
ii/ Nếu gặp
ln x .
a
b
b
x
e x .cos axdx thì ta tính hai lần từng phần bằng cách đặt
e .sin axdx ,
iii/ Nếu gặp
a
u
a
x
e .
B. Ví dụ:
m
1
xex dx .
VD1:Tính tích phân I
0
Giải
Đặt
1
1
x
xe dx
xe
x 1
0
x
in
h2
47
.co
u
dv
ex dx
0
0
e
VD2Tính tích phân I
x
e dx
Giải
Đặt
e
1
x2
ln x
2
1
1
2
u
v
1
0
e
(chọn C
0)
1.
dv
e
xdx
xdx
e2
1
4
1
dx
x
du
ln x
ns
x ln xdx
dx
x
x ln xdx .
1
e
1)ex
(x
du
x2
2
v
.
2
e x sin xdx .
ye
VD3Tính tích phân I
0
Tu
Giải
Đặt
u
dv
sin x
du
e x dx
2
x
e sin xdx
x
e sin x
e x cos xdx
2
0
0
Đặt
dv
cos x
x
e dx
du
v
2
J.
sin xdx
e
x
2
ex cos xdx
0
e2
0
u
J
ex
v
2
I
cos xdx
e x cos x
e x sin xdx
2
0
1
I
0
10
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
I
e2
( 1
I)
e2
I
1
2
.
2
ln(1 x)
dx.
2
x
1
VD4:Tính tích phân: I
Giải:
m
1
du
dx
u ln(1 x)
1
x
Đặt:
dx
dv
v 1
x2
x
2
in
h2
47
.co
2
2
1
1
1
1
1
dx ln3 ln 2
Khi đó: I ln(x 1)
dx
x
2
1 x
1
1 x(x 1)
1 x
2
1
3
ln3 ln 2 (ln | x | ln(x 1)) ln3 3ln 2.
2
2
1
VD5:Tính tích phân:
1
0 (x
2
x)e2x dx
hoctoancapba.com
Giải:
u x2 x
(x
x)e
dx
.
Đặt
0
2x
dv e dx
2
2x
I=
1 2x 2
e (x x)
2
0
(2x 1)e2x dx
I1 =
1 1
(2x 1)e2x dx e2 I1
2 0
u 2x 1
, Đặt
2x
1 2x
e (2x 1)
2
Tu
1
0
ye
I1 =
1
=
1
0
dv e dx
1
e2x dx
0
1
1
3e2 1 (e2 1) e2 .
2
2
du 2x 1 dx
1 2x
v e
2
ns
1
VD6:Tính tích phân:
0
1x
5
du 2x 1dx
1 2x
v 2 e
1
1
(3e2 1) e2x
2
2
1
2
Vậy I = e2 e2
1
0
e2
2
3
.e x dx
Giải:
0
3
I = 1x5 .e x dx . Đặt t = –x3 dt = –3x2dx ,
11
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
t = 0 , x = –1 t = 1
x=0
I=
u t
Đặt
1
t
0
1
1
1
t
1 (t).e 3 dt 3 0 t.e dt 3 I1 .
t
1
v e
1
et dt e et
0
0
1 t
0 t e dt .
du dt
t
dv e dt
I1 = et .t
Với I1 =
/ 2
(x
VD7:Tính tích phân: I
2
1
0
1
1
1. Vậy I = I1
3
3
1)sin xdx.
m
0
Giải:
in
h2
47
.co
u (x2 1)
du 2xdx
Đặt:
v cosx
dv sin xdx
/ 2
2
Khi đó: I (x 1)cosx 0
Xét tích phân J
/ 2
2
/ 2
x cosxdx 1 2
/ 2
x cosxdx
0
(1)
0
x cos xdx.
0
u x
du dx
dv cos xdx v sin x
Đặt:
Khi đó: J xsin x
/ 2
0
/ 2
/ 2
sin xdx 2 cos x 0
0
1
2
(2)
1 1.
2
ns
Thay (2) vào (1) ta được: I 1 2
1
0 xe
x
Tu
ye
VD8:Tính tích phân:
1
0 xe
x
dx
. Đặt t = x
dx
Giải:
t2 = x 2tdt = dx
x=1 t=1 , x=0 t=0
I=
1 2 t
t e 2tdt
0
I1 = et .t3
1
0
u t 2
Đặt
1
2 t3et dt 2I1
0
u t3
. Đặt
1
3 et .t 2dt e 3I2 . Với I2 =
0
t
dv e dt
t
dv e dt
du 3t 2dt
t
1 t 2
0 e .t
v e
dt .
du 2tdt
t
v e
12
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
1
I2 = et .t 2
1
2 et t dt e 2I3
0
01
u t
Đặt
t
dv e dt
1
I3 = et .t
0
. với I3 =
1 t
0 e
t dt
.
du dt
t
v e
1
et dt e et
0
1
e (e 1) 1
0
Vậy I = 2I1 = 2(e – 3I2) = 2e – 6I2 = 2e – 6(e – 2I3) = 12I3 – 4e = 12 – 4e
VD 9:Tính tích phân: I e2x sin 2 xdx.
0
in
h2
47
.co
Giải:
1 2x
Biến đổi I về dạng: I e sin xdx e (1 cos2x)dx
20
0
2x
2x
2
(1)
1
e2 1
Xét tích phân: I1 e dx e2x
2
2
2
0
0
m
(2)
Xét tích phân: I2 e2x cos2xdx
0
du 2sin 2xdx
u cos2x
Đặt:
1 2x
2x
dv e dx
v 2 e
ns
1 2x
e2 1 2x
2x
Khi đó: I2 e cos2x e sin2xdx
e sin2xdx
2
2
2 0
0
0
(3)
Xét tích phân: I2, 1 e2x sin 2xdx
ye
0
Tu
du 2 cos2xdx
u sin 2x
Đặt:
1 2x
2x
dv e dx
v 2 e
1
Khi đó: I2, 1 e2x sin e2x cos2xdx I 2 .
2
0
0
(4)
I2
e2 1
e2 1
Thay (4) vào (3), ta được: I2
I2 I2
.
2 2
4 4
1 e2 1 e 2 1
1
Thay (2), (5) vào (1), ta được: I [
(
)] (e2 1).
2 2 2
4 4
8
(5)
13
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
1
I1 = et .t
0
1
et dt e et
0
1
1.
Vậy I = 2
0
C. Bài tập
Tính tích phân
x sin x
1)
dx
cos2 x
0
2) x sin x cos2 xdx
0
1
1
7)) cos x.ln(1 cos x)dx 8)
0
1
1
xtg xdx
2
2
4)
0
2
6) (x ln x)2 dx
0
ln(1 x)
dx
x2
1
e
10) ( x 2)e 2 x dx
ln x
( x 1)
1
e
2
dx
in
h2
47
.co
9))
3) x(2 cos2 x 1)dx
e
5) (x 1)2 e2x dx
4
m
3
0
0
IV PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ
A Phương pháp:
a
-Dạng 1:Nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :
f(x)dx 0
a
a
- Dạng 2:Nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :
a
f(x)dx 2 f(x)dx .
a
0
Tu
ye
ns
- Dạng 3:Nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì
f ( x)
+
a x 1 dx 0 f ( x)dx vôùi R vaø a > 0
- Dạng 4: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và thoả mãn f(x) = f( a +b - x) thì
b
b
a b
x.f(x)dx
. f(x).dx
2
a
a
B. Ví dụ
VD1: Tính tích phân
1/ 2
1 x
I cos x.ln(
)dx
1 x
1/ 2
1 x
) thỏa:
Giải: nhận xét hs f(x) cos x.ln(
1 x
* Liên tục trên [-1/2;1/2]
* f(x) +f(-x) =......= 0
Theo tc 1 ta được I=0
VD2 :Tính tích phân
2
cos x.ln(x
I=
x2
1)dx
2
VD3
Cho f (x) là hàm số liên tục trên R thoả mãn f (x) + f (- x) =
2
2.cos 2x .
14
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
3
2
Tính tích phân I
f(x).dx
3
2
VD4:
Tính tích phân
2
2
a) I
b)J
x.sin x.cos x.dx ;
(
0
0
1
cos (cos x)
tan2 (sin x)).dx .
2
VD5:
Tính các tích phân
2
ln(sin x
sin 2 x)dx;
1
m
a) I
0
2008
sin2007 x.dx .
b) J
in
h2
47
.co
0
VD6:
Tính các tích phân sau:
1
1
a)
x4
2x 1 dx
1
b)
1
1 x2
dx
1 2x
c)
sin 2 x
3x 1 dx
PHẦN 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN
ns
I.TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
1. Dạng bậc lẻ với hàm sin.
Phương pháp chung: Đặt t = cosx khi đó dt = - sinx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân
theo biến t.
sin2 x 1 cos2 x 1 t2 .
Chú ý:
(sin x)2n 1 (sin2 x)n .sin x (1 t2 )n .sin x
2
cos2 x sin 3 xdx .
Tu
ye
Ví dụ 1 (bậc sin lẻ). Tính tích phân I
Đặt t
x
0
I
cos x(1
0
Giải
cos x
dt
t
sin xdx
1, x
2
0
2
2
0
2
0
1
2
cos x) sin xdx
t
t (1
2
1
Vậy I
(t2
t )dt
0
t4 )dt
t3
3
t5
5
1
0
2
.
15
2
.
15
2. Dạng bậc lẻ với hàm cos.
Phương pháp chung: Đặt t = sinx khi đó dt = cosx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân
theo biến t.
cos2 x sin2 x 1 t2 .
Chú ý:
(cos x)2n 1 (cos2 x)n .cosx (1 t2 )n .cosx
15
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
2
cos5 xdx .
Ví dụ 2 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân I
0
Giải
sin x
dt
Đặt t
x
0, x
1
1
cos xdx
2
(1
0
t
2
2
5
I
t
2
sin x) cos xdx
2 2
(1
0
t ) dt
2t3
3
t
0
1
t5
5
0
8
.
15
8
.
15
Vậy I
3. Dạng bậc chẵn với hàm sin và cos.
Phương pháp chung: Sử dụng công thức hạ bậc
1 cos 2x
1 cos 2x
2
2
cos
x
;
sin
x
; sin x.cos x
Chú ý:
2
2
m
2
0
cos xdx
in
h2
47
.co
1
sin 2x
2
2
cos4 x sin2 xdx .
Ví dụ 3 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân I
0
Giải
2
cos4 x sin2 xdx
I
0
1
16
2
(1
1
4
1
16
cos2 x sin2 2xdx
0
1
8
cos 4x)dx
0
2
Ví dụ 4. Tính tích phân I
0
dx
cos x sin x
x
tg
2
Tu
ye
Đặt t
x
1
I
0
1
1
dt
0
t
t2
2t
1
t2
1
t
1
0, x
2dt
.
1 t2
Vậy I
2
cos 2x sin2 2xdx
0
sin 3 2x
24
1
sin 4x
64
2
0
32
.
.
.
Giải
1
x
tg2
2
2
1
2
x
16
0
32
1
4
cos 4x)dx
0
sin2 2xd(sin 2x)
ns
2
(1
2
Vậy I
Nhận xét:
2
1 dx
t
2
1
0
dx
t
1
1
dt
t
2dt
2
1
ln t
1
1
0
ln 2 .
ln 2 .
4. Dạng liên kết
Ví dụ 1. Tính tích phân I
0
xdx
.
sin x 1
Đặt x
x 0
t
Giải
t
dx
, x
dt
t 0
16
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
0
I
(
sin(
dt
2
0
t
sin
2
t
cos
2
4
1
t
sin t
1
dt
2 0 sin t 1
t
d
2 4
2 0 cos2 t
2 4
.
I
2
xf(sin x)dx
f(sin x)dx .
2
t
2
0
in
h2
47
.co
0
tg
2
0
4
.
0
m
Tổng quát:
Ví dụ 2. Tính tích phân I
dt
I
dt
t
cos2
2 4
Vậy I
0
sin t
0
dt
sin t 1
0
2
t)dt
t) 1
sin2007 x
dx .
sin2007 x cos2007 x
Giải
Đặt x
x
I
2
sin2007
2
2
Mặt khác I
J
dx
6
Tu
Ví dụ 3. Tính tích phân I
6
3J
0
sin2 x
sin x
6
+, I
J
0
0
dt
t
2
2
t
2
0
0
4
J (1).
.
cosn x
dx
sin n x cos n x
6
0
4
,n
.
cos2 x
dx .
sin x
3 cos x
Giải
6
3 cos2 x
dx
3 cos x
(sin x
3 cos x)dx
0
cos x
3 cos x
0
cos2007 t
dx
sin2007 t cos2007 t
dx
sin2 x
dx và J
sin x
3 cos x
dx
sin x
, x
2
2
sin n x
dx
sin n x cosn x
ye
0
dx
(2). Từ (1) và (2) suy ra I
ns
2
+, I
t
t
2
cos2007
t
2
0
Tổng quát:
0
sin2007
0
t
2
1
2
dx
6
0
0
6
0
1
3 (1).
dx
sin x
Đặt t
x
3 sin x
x
t
3
3
3
, x
dt
6
dx
t
2
17
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
J
2
dt
sin t
2
1
2
3
sin tdt
sin2 t
2
1
2
3
d(cos t)
cos2 t 1
3
Từ (1) và (2)
I
1
cos t
1
1
1
3
x
4
3
1
3
4
tgt
Giải
dx
(1
tg2 t)dt
t
0, x
1
t
0
.
Đặt t
t
0
tg2 t dt
u
4
dt
, t
ln(1
du
u
4
tgt)dt
ln 1
0
0
tg
u du
4
4
ns
4
ln 1
0
4
1
1
0
4
tgu
du
tgu
ln
0
2
du
1 tgu
4
ln 2du
ln 1
tgu du
4
0
Vậy I
4
tgt)dt .
0
4
Ví dụ 5. Tính tích phân I
ln(1
0
4
u
4
4
ln(1 tgt)
1
1 tg2 t
0
ye
d(cos t)
I
Đặt x
I
1
in
h2
47
.co
0
I
1
ln(1 x)
dx .
1 x2
Ví dụ 4. Tính tích phân I
1
cos t
1
ln 3 (2).
4
2
3
1
3
ln 3
16
4
.
1
1
1
3
J
ln 3
J
ln 3
4
16
4
3
1
3
1
ln 3
, J
ln 3
Vậy I
16
4
16
3J
1
Tu
2
3
1
cos t
ln
4
cos t
I
1
4
m
I
1
2
8
ln 2
I.
ln 2 .
cos x
dx .
2007 x 1
4
Giải
t
dx
Đặt x
x
4
4
I
4
t
4
, x
cos( t)
dt
2007 t 1
dt
t
4
4
4
2007 t cos t
dt
1 2007 t
4
18
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
4
(1
4
2007 t ) 1
cos tdt
1 2007 t
1
4
1
2007 t
1
cos tdt
4
4
cos tdt
I
4
1
2
I
4
cos tdt
4
2
.
2
cos tdt
0
4
Tổng quát:
0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn
f(x)
a
1
dx
f(x)dx .
0
và thỏa f( x)
2f(x)
cos x .
thì
in
h2
47
.co
Ví dụ 6. Cho hàm số f(x) liên tục trên
x
;
m
Với a > 0 ,
2
Tính tích phân I
f(x)dx .
2
Giải
2
Đặt J
f( x)dx , x
t
dx
dt
2
x
2
I
t
2
, x
t
2
2
2
f( t)dt
2
2
J
3I
J
2I
f( x)
2f(x) dx
2
2
2
ns
cos xdx
2
cos xdx
2.
0
2
ye
Vậy I
Vậy I
2
.
3
2
.
Tu
Chú ý:
Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
2
4
Ví dụ 7. Tính tích phân I
cos xdx .
0
Đặt t
x
Giải
x t2
dx
2tdt
2
x
0
t
0, x
4
t
2
2
I
2
t cos tdt
2 t sin t
cos t
2
0
2.
0
19
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
Vậy I
1
x
Câu8:: Tính tích phân : I
2008
2.
sin xdx
1
Giải:
0
1
2008
2008
x sin xdx x sin xdx.
Viết lại I về dưới dạng: I
1
Xét tích phân J
0
x
2008
(1)
0
sin xdx.
Đặt x t dx dt khi đó: 3t 2dt 2xdx dx
0
2008
Khi đó: I (t)
1
in
h2
47
.co
x= -1 t = 1
x=0 t 0
Đổi cận:
3t 2dt
.
2x
m
1
1
sin(t)dt x2008 sin xdx.
(2)
0
Thay (2) vào (1) ta được I = 0.
Câu9:: Tính tích phân : I
/ 2
0
cos4 x
dx.
cos4 x sin 4 x
Giải:
x dx dt
2
x=
0
t
=
2
Đổi cận:
x= t 0
2
cos4 ( t)(dt)
0
/ 2
/ 2
sin 4 tdt
sin 4 x
2
Khi đó: I
dx.
4
4
4
4
/ 2 cos4 ( t) sin 4 ( t)
0 cos t sin t
0 cos x sin x
2
2
/ 2
/ 2
cos4 x sin 4 x
dx
dx I .
Do đó: 2I
4
4
2
4
0 cos x sin x
0
Tu
ye
ns
Đặt t
Câu10:: Tính tích phân: I
1/ 2
1 x
cos x.ln
dx.
1 x
1/ 2
Giải:
20
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
0
1 x
I cos x.ln
dx
1
x
1/ 2
1/ 2
1 x
cos x.ln 1 x dx .
(1)
0
0
1 x
cosx.ln
dx
1
x
1/ 2
Đặt x t dx dt
Xét tính chất J
Đổi cận:
1
1
x= - t =
2
2
x=0 t 0
Khi đó:
m
0
1/ 2
1/ 2
1 t
1 t
1 x
I cos(t).ln
dt
cost.ln
dt
cosx.ln
dx
1
t
1
t
1
x
1/ 2
0
0
in
h2
47
.co
Thay (2) vào (1) ta được I = 0.
(2)
1
x 4dx
Câu11:: Tính tích phân: I x
1 2 1
Giải:
0
x 4dx 1 x 4dx
Biến đổi I về dạng: I x
x
1 2 1
0 2 1
Xét tích phân J
0
x 4dx
x
1 2 1
Đặt x = –t dx = –dt
0
(t)4 dt 1 t 4 .2t.dt 1 x 4 .2x.dx
x= -1 t = 1
t
x
. Khi đó: J t
x=0 t 0
1 2 1
0 2 1
0 2 1
(2)
ns
Đổi cận:
(1)
Tu
ye
x 4 .2x.dx 1 x 4dx 1 x 4 (2x 1)dx 1 4
1
x
x dx .
Thay (2) vào (1) ta được: I x
x
5
2 1
0 2 1
0 2 1
0
0
Câu12: Tính tích phân: I
Đặt t
1
/ 2
0
cosn xdx
cosn x sin n x
Giải:
x dx dt
2
21
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
x= 0 t = 2
Đổi cận:
x= t 0
2
cosn t (dt)
0
/ 2
/ 2
sin n tdt
sin n x
2
dx.
Khi đó: I
0 cosn t sin n t 0 cosn x sin n x
n
/ 2 cosn
t sin t
2
2
0
/ 2
cosn x sin n x
dx dx I .
n
n
2
4
cos x sin x
0
m
Do đó: 2I
/ 2
xsin xdx
.
2
4
cos
x
0
in
h2
47
.co
Câu13:: Tính tích phân: I
Giải:
xsin xdx
xsin xdx
3 sin2 x xf(sin x)dx.
2
4
(1
sin
x)
0
0
0
Đặt x t dx dt
Biến đổi I về dạng: I
x= t = 0
x=0 t
Đổi cận:
0
( t)sin( t)dt ( t)sin tdt sin tdt t sin tdt
2
2
2
2
4
cos
(
t)
4
cos
t
4
cos
t
0
0
0 4 cos t
Khi đó: I
d(cost)
d(cost)
d(cost)
I 2I
2
2
2
0 4 cos t
0 4 cos t
0 cos t 4
ns
ye
d(cost) 1 cost 2
I
. ln
2 0 cos2 t 4 2 4 cost 2
Tu
Câu14:: Tính tích phân: I
2
3
x.cos
0
ln 9
.
8
xdx
0
Giải:
Đặt x 2 t dx dt
x= 2 t = 0
x=0 t 2
Đổi cận:
2
2
0
0
Khi đó: I
2 cos3 tdt t cos3 tdt
0
3
2
(2 t).cos (2 t)(dt) (2 t).cos
2
3
tdt
0
2
(cos3t 3cos t)dt I
2 0
22
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
2
1
2I sin3t 3sin t 0 I 0.
23
0
Câu15: Tính tích phân: I
/ 2
0
1 sin x
ln
dx.
1 cos x
Giải:
x dx dt
2
x= 0 t = 2
Đổi cận:
x= t 0
2
0
/ 2
1 sin 2 t
1 cos t
1 sin t
Khi đó: I ln
(dt) ln
dt ln
dt
1 sin t
1 cos t
1 cos t
/ 2
0
0
2
/ 2
0
in
h2
47
.co
m
Đặt t
1 sin x
ln
dx I 2I 0 I 0.
1 cos x
Câu16:: Tính tích phân: I
/ 4
ln(1 tgx)dx.
0
ns
Giải:
x dx dt
4
x=
0
t
=
4
Đổi cận:
Khi đó:
x= t 0
4
0
/ 4
/ 4
1 tgt
2
I ln[1 tg( t)dt ln(1
)dt ln
dt
4
1
tgt
1
tgt
/ 4
0
0
Tu
ye
Đặt t
/ 4
/ 4
0
0
[ln 2 ln(1 tgt)]dt ln 2
2I
dt
/ 4
/ 4
ln(1 tgt)dt ln 2.t 0 I
0
ln 2
ln 2
I
.
4
8
II. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải toán
23
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
b
1. Dạng 1
tính tích phân I
f(x) dx
a
+) lập bảng xét dấu f(x) : giả sử bxd f(x) là
a
x
f(x)
b
+) Tính I
x1
0
x1
x2
f(x) dx
b
f(x)dx
a
f(x)dx
a
b
x2
0
f(x)dx .
x1
x2
2
x2
Ví dụ 1. Tính tích phân I
3x
2 dx .
3
m
Giải
Bảng xét dấu
I
2
x
3
2
0
1
0
2
in
h2
47
.co
1
3
x
3x
x2
2
3x
x2
2 dx
3x
59
.
2
2 dx
1
59
.
2
Vậy I
2
Ví dụ 2. Tính tích phân I
4 cos2 x
5
4 sin xdx .
0
Giải
2
2
4 sin2 x
I
0
Bảng xét dấu
4 sin x
2 sin x
1 dx .
0
x
0
ns
2 sin x
2 sin x
6
0
1
6
I
1dx
2
1 dx
0
ye
2
2 sin x
1 dx
2 3
2
6
.
6
Vậy I
2 3
2
6
.
Tu
2. Dạng 2
b
Giả sử cần tính tích phân I
f(x)
g(x) dx , ta thực hiện
a
Cách 1.
b
Tách I
b
f(x)
a
g(x) dx
b
f(x) dx
a
g(x) dx rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
a
Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
24
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
GIAO VIEN:Trinh thi thanh Binh
2
Ví dụ 1. Tính tích phân I
x
x
1 dx .
1
Giải
Cách 1.
2
2
x
x
1
0
1 dx
1
2
xdx
0
1
1)dx
1
2
x2
2
(x
1)dx
1
1
x2
2
0
1 dx
2
(x
0
x
1
1
xdx
1
x2
2
x dx
2
x2
2
x
1
x
0.
m
I
2
1
Cách 2.
Bảng xét dấu
–1
0
0
0
1
2
in
h2
47
.co
x
x
x–1
–
–
+
–
+
+
0
1
I
x
1
x
2
1 dx
x
x
1 dx
x
0
1
x2 x 0
Vậy I 0 .
x 01
3. Dạng 3
b
Để tính các tích phân I
x 12
1 dx
0.
b
max f(x), g(x) dx và J
a
x
1
min f(x), g(x) dx , ta thực hiện các
a
bước sau:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x)
Bước 2.
+ Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x)
+ Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x)
g(x) trên đoạn [a; b].
f(x)
ns
f(x) và min f(x), g(x)
g(x) và min f(x), g(x)
g(x) .
f(x) .
4
max x2
Ví dụ 1. Tính tích phân I
2 dx .
ye
0
Đặt h(x)
Tu
1, 4x
x
2
Giải
4x
1
x2
2
4x
3.
Bảng xét dấu
x
h(x)
0
+
1
I
1
0
3
0
–
3
x
2
1 dx
0
4
+
4
4x
x2
2 dx
1
3
Vậy I
1 dx
80
.
3
80
.
3
2
min 3x , 4
Ví dụ 2. Tính tích phân I
x dx .
0
Giải
25
