TÍNH CHẤT GIẢI TÍCH CỦA SỐ THỰC VÀ ỨNG DỤNG

Tính chất giải tích của số thực và ứng dụng

MỤC LỤC
Trang
Lời nói đầu .................................................................................................... 2
I. Tiên đề Dedekin ....................................................................................... 3
II. Định nghĩa tập bị chặn trên, tập bị chặn dưới và tập bị chặn .................. 3
III. Định nghĩa, định lý và tính chất của cận trên, cận dưới, cận trên đúng,
cận dưới đúng .................................................................................................. 3
III.1. Định nghĩa ......................................................................................... 3
III.2. Định lý về sự tồn tại cận trên đúng và cận dưới đúng ...................... 3
III.2.1. Định lý về sự tồn tại SupA ......................................................... 3
III.2.2. Định lý về sự tồn tại InfA ......................................................... 4
III.3. Các tính chất...................................................................................... 4
IV. Các nguyên lý của số thực ...................................................................... 9
IV.1. Định lý về sự hội tụ của dãy đơn điệu .............................................. 9
IV.2. Dãy đoạn lồng nhau và thắt lại ......................................................... 10
IV.2.1. Bổ đề về dãy đoạn lồng nhau ...................................................... 10
IV.2.2. Nguyên lý về dãy đoạn lồng nhau và thắt lại (nguyên lý
Cantor) .............................................................................................................11
IV.3. Nguyên lý Compact địa phương của (nguyên lý Bolzano –
Weierstrass). .................................................................................................... 12
IV.4. [a; b] là tập compact trong .......................................................... 13
IV.5. A là tập compact trong  A là tập đóng và bị chặn ..................... 13
V. Các tính chất của hàm số liên tục trên 1 đoạn ......................................... 14
V.1. Định nghĩa .......................................................................................... 14
V.2. Định lý bị chặn (định lý Weierstrass 1) ............................................. 14
V.3. Định lý nhận max và min (định lý Weierstrass 2) ............................. 15
V.4. Định lý nhận mọi giá trị trung gian (định lý Bolzano - Cauchy) ....... 16
Hệ quả: Định lý không điểm .................................................................... 18
VI. Giới hạn của hàm số đơn điệu ................................................................ 18

VI.1. Định nghĩa......................................................................................... 18
VI.2. Định lý: Giới hạn nếu có là duy nhất ................................................ 19
VI.3. Định lý giới hạn hàm số qua giới hạn dãy số .................................. 19
VI.4. Định lý quan hệ giữa tính đơn điệu và liên tục................................. 20
VI.5. Định lý về tồn tại hàm ngược ........................................................... 22

Trịnh Thị Kim Phượng

Trang 1


Tính chất giải tích của số thực và ứng dụng

LỜI NÓI ĐẦU
Những kiến thức trong học phần Giải Tích 1 là những kiến thức
nền tảng để xây dựng nội dung kiến thức mới ở các học phần tiếp theo.
Nhằm cũng cố lại những kiến thức đã được học trong học phần Giải Tích 1
và để giúp các bạn sinh viên lần đầu tiếp cận với các kiến thức của Giải
Tích 1 không còn cảm thấy nó khô khan và khó tiếp thu, giúp các bạn nắm
vững được đâu là kiến thức trọng tâm của học phần và những ứng dụng
của học phần này trong các học phần tiếp theo. Mặt khác, nội dung của
Giải Tích 1 cũng được ứng dụng rất nhiều trong chương trình dạy học ở
phổ thông. Chính vì vậy, thông qua bài tiểu luận này, tôi muốn tập hợp và
cũng cố những kiến thức trọng tâm nhất của Giải tích 1, tạo điều kiện
thuận lợi để cũng cố, tiếp thu và nâng cao kiến thức Giải Tích.
Để hoàn thành tốt bài tiểu luận này, tôi xin chân thành cảm ơn thạc
sĩ LÊ THỊ KIỀU NGA, đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt
thời gian qua.

Trịnh Thị Kim Phượng

Trang 2


Tính chất giải tích của số thực và ứng dụng
CHỦ ĐỀ 1

TÍNH CHẤT GIẢI TÍCH CỦA SỐ THỰC VÀ ỨNG DỤNG

I. Tiên đề Dedekin:
Cho hai tập A, B  thỏa A  ; B  ; a  b; a  A; b  B
thì c  sao cho a  c; a  A và c  b; b  B .
II. Định nghĩa tập bị chặn trên, tập bị chặn dưới và tập bị chặn
 Định nghĩa tập bị chặn trên: Giả sử A  . A bị chặn trên nếu tồn
tại số thực b sao cho x  b, x  A . Khi đó ta nói b là số chặn trên của A
hay nói rằng A bị chặn trên bởi b.
Tóm tắt: A bị chặn trên nếu b  : x  b; x  A
 Định nghĩa tập bị chặn dưới: Giả sử A  . A bị chặn dưới nếu
tồn tại số thực b sao cho b  x, x  A . Khi đó ta nói b là số chặn dưới của
A hay nói rằng A bị chặn dưới bởi b.
Tóm tắt: A bị chặn dưới nếu b  : b  x; x  A
 Định nghĩa tập bị chặn: Giả sử A  . A đồng thời bị chặn trên và
bị chặn dưới thì ta nói tập A bị chặn.
Tóm tắt: A  , A bị chặn nếu  M  0 : x  M; x  A
III. Định nghĩa, định lý và tính chất của cận trên, cận dưới, cận trên
đúng, cận dưới đúng.
III.1. Định nghĩa:
 Cận trên: A  , b , b là cận trên của A nếu x  b, x  A .
 Cận dưới: A  , b , b là cận dưới của A nếu b  x, x  A .
 Cận trên đúng (Suprêmum): Giả sử A   và A bị chặn trên. Số nhỏ

nhất trong các cận trên của A gọi là cận trên đúng của A. Ký hiệu: SupA
 Cận dưới đúng (Infimum): Giả sử A   và A bị chặn trên. Số lớn
nhất trong các cận dưới của A gọi là cận dưới đúng của A. Ký hiệu: InfA
III.2. Định lý về sự tồn tại cận trên đúng và cận dưới đúng
III.2.1. Định lý về sự tồn tại SupA

A



A
  SupA 
A bò chaën treân 

Chứng minh:
Trịnh Thị Kim Phượng

Trang 3


Tính chất giải tích của số thực và ứng dụng
Ta có: A  ; A  ; A bị chặn trên  b  : x  b, x  A
 b là một cận trên của A.
Đặt F là tập hợp các cận trên của A  F   do chứa b
A, F  ; A, F  ; x  y; x  A; y  F theo tiên đề Dedekin


x  c; x  A  c là một cận trên của A
 c  sao cho 
.

c

y;

y

F
F
là
tậ
p
cá
c
cậ
n
trê
n
củ
a
A




 c là cận trên nhỏ nhất trong các cận trên của A hay c = supA
III.2.2. Định lý về sự tồn tại InfA
A




A
  InfA 
A bò chặn dưới 


Chứng minh :
Ta có: A  R; A  ; A bị chặn dưới  b '  : x  b ', x  A
 b' là một cận dưới của A.
Đặt F là tập hợp các cận dưới của A  F   do chứa b'
A, F  ; A, F  ; y  x; x  A; y  F theo tiên đề Dedekin

y  c; y  F  F là tập các cận dưới của A 
sao cho 
.
c

x;

x

F

c
là
mộ
t
cậ
n
dướ
i

củ
a
A


 c là cận dưới lớn nhất trong các cận dưới của A hay c = infA

 c 

III.3. Các tính chất:
III.3.1. Tính chất 1:


m  A
m  max A  
sup A  m

Chứng minh:

m  A
 ) Ta có: m  max A  
x  m, x  A  m là một cận trên của A
Ta đi chứng minh m là cận trên nhỏ nhất của A
Giả sử m’ là một cận trên của A và m’ < m

m' là cận trên của A  x  m', x  A 
  m  m' (mâu thuẫn với m'  m) .
m  A (giả thiết)
Vậy m là cận trên nhỏ nhất của A hay m = sup A
Trịnh Thị Kim Phượng

Trang 4


Tớnh cht gii tớch ca s thc v ng dng

m A
Vy m max A
sup A m
) Ta cú: m sup A x m, x A
v m A
m = max A


n A
n min A
inf A n

Chng minh:

n A

) Ta cú: n min A

n x, x A n laứ moọt caọn dửụựi cuỷa A
Ta i chng minh n l cn di ln nht ca A
Gi s n l mt cn di ca A v n > n
n l cn di ca A n ' x, x A . Trong khi n A n ' n
(mõu thun vi gi thit)
Vy n l cn di ln nht ca A hay n = inf A

n A
Vy n min A
inf A n
) Ta cú: n inf A n x, x A
v n A
n = min A
III.3.2. Tớnh cht 2:
a l; a A
l sup A
0; a ' A : l a ' l
Chng minh:
a l; a A
) Chng minh l sup A
0; a A : l a ' l
Ta cú: l = SupA nờn l l mt cn trờn v l cn trờn nh nht ca A
(1)
l l mt cn trờn ca A a l , a A
l l mt cn trờn nh nht ca A nờn 0; l l l khụng
cũn l mt cn trờn ca A a ' A : l a ' l
(2)
a l; a A
T (1) v (2) ta cú l sup A
0; a A : l a ' l
Trnh Th Kim Phng

Trang 5


Tớnh cht gii tớch ca s thc v ng dng

a l; a A

l sup A .
0; a A : l a ' l
Ta cú: a l; a A l l mt cn trờn ca A
(3)
0, a ' A : l a ' l l khụng l cn trờn ca A (4)
T (3) v (4) l l cn trờn nh nht ca A
Vy l = Sup A
l a; a A
l inf A
0; a A : l a ' l
Chng minh:
l a; a A
) Chng minh l inf A
0; a A : l a ' l
Ta cú: l = inf A nờn l l mt cn di v l cn di ln nht ca A
(1)
l l mt cn di ca A l a, a A
l l mt cn di ln nht ca A nờn 0; l l l khụng
cũn l mt cn di ca A a ' A : l a ' l
(2)
l a; a A
T (1) v (2) l inf A
0; a A : l a ' l
) Chng minh

l a; a A

l infA .

0; a A : l a ' l
Ta cú: l a; a A l l mt cn di ca A
(3)
0, a ' A : l a ' l l khụng l cn di ca A (4)
T (3) v (4) l l cn di ln nht ca A
Vy l = inf A
III.3.3. Tớnh cht 3
l laứ moọt caọn treõn cuỷa A
l SupA
x l
x n A : lim
n n
Chng minh:
l laứ moọt caọn treõn cuỷa A
) Chng minh l SupA
x l
x n A : lim
n n
a l; a A
Ta cú: l sup A
0; a A : l a ' l
) Chng minh

Trnh Th Kim Phng

Trang 6


Tính chất giải tích của số thực và ứng dụng
a  l; a  A  l là một cận trên của A

  0, a '  A : l    a '  l
Chọn   1  0  x1  A : l  1  x1  l
1
1
Chọn    0  x 2  A : l   x 2  l
2
2
…………………………………………...
1
1
Chọn    0  x n  A : l   x n  l
n
n
1
 x n  A : l   x n  l, n  *
n
1
Ta có: lim l  l , lim(l  )  l
n 
n 
n
Theo ngun lý kẹp giữa  lim x n  l với x n   A, n 

*

n 

l là một cận trên của A
Vậy l  SupA  
x l

x n   A : lim
n  n
l là một cận trên của A 
 ) Chứng minh
  l  SupA
x n   A : lim x n  l 
n 

Ta có: x n   A : lim x n  l nên   0, n1  0 : n  n1  x n  l  
n 

 l    xn  l  
Vì x n   A và l là một cận trên của A  l    x n  l, n  n1
Chọn n 2  n1  1  n1    0, x n2  A : l    x n2  l

Vậy l là một cận trên nhỏ nhất của A
Vậy l  sup A .
l là một cận dưới của A
 l  infA  
x l
x n   A : lim
n  n
Chứng minh:
l là một cận dưới của A
 ) Chứng minh l  inf A  
x l
x n   A : lim
n  n

 l  a; a  A

  0; a   A : l  a '  l  

Ta có: l  inf A  

l  a; a  A  l là một cận dưới của A

Trịnh Thị Kim Phượng

Trang 7


Tớnh cht gii tớch ca s thc v ng dng
0, a ' A : l a ' l
Chn 1 0 x1 A : l x1 l 1
1
1
Chn 0 x 2 A : l x 2 l
2
2
.
1
1
Chn 0 x n A : l x n l
n
n
1
x n A : l x n l , n *
n
1
Ta cú: lim l l , lim(l ) l

n
n
n
Theo nguyờn lý kp gia lim x n l vi x n A, n

*

n

l laứ moọt caọn dửụựi cuỷa A
Vy l inf A
x l
x n A : lim
n n
l laứ moọt caọn dửụựi cuỷa A
) Chng minh
l inf A
x n A : lim x n l
n

Ta cú: x n A : lim x n l nờn 0, n1 0 : n n1 x n l
n

l xn l
Vỡ x n A v l l mt cn di ca A l x n l , n n1
Chn n 2 n1 1 n1 0, x n2 A : l x n2 l

Vy l l mt cn di ln nht ca A
Vy l infA .
III.3.4. Tớnh cht 4

A, B , A + B = {a + b / a A, b B}.
Nu sup A = l, sup B = l thỡ sup (A + B) = l + l
Chng minh:
Ta cú: x A + B x = a + b, a A, b B.
a A a l (do l = sup A)
b B b l (do l = sup B)
x = a + b l + l, x A + B
l + l l mt cn trờn ca A + B

> 0 l = sup A nờn a A: l a' l
2
Trnh Th Kim Phng

Trang 8


Tớnh cht gii tớch ca s thc v ng dng
l = sup B nờn b B: l'


b' l'
2


a' b' l l' l l' a' b' l l'
2 2
Vaọy 0, a' b' A B : l l' a' b' l l' vụựi a' A, b' B
l + l l cn trờn nh nht trong cỏc cn trờn ca A + B
Vy l + l = sup (A + B).
A, B , A + B = {a + b / a A, b B}.

Nu inf A = l, inf B = l thỡ inf (A + B) = l + l
Chng minh:
Ta cú: x A + B x = a + b, a A, b B.
a A l a (do l = inf A)
b B l b (do l = inf B)
x = l + l a + b, x A + B
l + l l mt cn di ca A + B

> 0 l = inf A nờn a A: l a' l
2

l = inf B nờn b B: l' b' l'
2

l l' a' b' l l' l l' a' b' l l'
2 2
Vaọy 0, a' b' A B : l l' a' b' l l' vụựi a' A, b' B
l + l l cn di ln nht trong cỏc cn di ca A + B
Vy l + l = inf (A + B).
IV. Cỏc nguyờn lý ca s thc:
IV.1. nh lý v s hi t ca dóy n iu:
i/ Nu {an} l dóy tng v b chn trờn thỡ nú hi t v lim an Supan
l l'

n

n

*

ii/ Nu {an} l dóy gim v b chn di thỡ nú hi t v lim a n inf* a n
n

n

Chng minh:
i/ Chng minh tn ti Sup an
n

*

t A an ,n *
{an} b chn trờn b : an b, n * A bũ chaởn treõn bụỷi b

Trnh Th Kim Phng

Trang 9


Tính chất giải tích của số thực và ứng dụng

A  ,A  


 l  Sup an
  SupA
n *
A bò chặn trên bởi b
n *
Chứng minh lim an  l

n 

Do l  sup an nên   0,l    l  l   khơng là cận trên của A.
n

*

 n 0  *,an  A : l    an  l



  l    an
n  n 0 , ta có an  an (do an  là dãy tăng)
0

l là cận trên của A  an  l, an  A
 l –  < an ≤ l  l –  < an < l +   an – l < 
Vậy   > 0,  n0 tự nhiên:  n > n0  an – l <  hay lim an  l
0

0

n 

Vậy {an} là dãy tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ và lim an  sup an
n 

n

*

ii/ Chứng minh tồn tại inf* a n
n

Đặt A = {an , n  N*}
{an} bị chặn dưới  b  : b  an , n  *  A bò chặn dưới bởi b

A  ,A  


a
   inf* A  l  ninf
 * n
n
A bò chặn dưới bởi b
Chứng minh lim an  l
n 

Do l  inf* an nên   0,l  l    l   khơng là cận dưới của A.
n

 n 0  *,an  A : l  an  l  



  an  l  
n  n 0 , ta có an  an (do an  là dãy giảm)
0

l là cận dưới của A  l  an , an  A

0

0

 l  an  l    l    an  l    a n  l  

Vậy   > 0,  n0 tự nhiên:  n > n0  an – l <  hay lim an  l
n 

Vậy {an} là dãy giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ và lim an  inf* a n
n 

n

IV.2. Dãy đoạn lồng nhau và thắt lại
IV.2.1. Bổ đề về dãy đoạn lồng nhau
Dãy đoạn lồng nhau đều có phần tử chung của tất cả các đoạn
(Nghĩa là: Giả sử  a n , b n n 1 là dãy các đoạn lồng nhau


Trịnh Thị Kim Phượng

Trang 10


Tớnh cht gii tớch ca s thc v ng dng

a , b a , b a , b ... a , b
1

1

2

2

3



thỡ

i 1

3

n

n

...trong ủoự a i , b i



a i ; bi ).

Chng minh:
Ta cú a1;b1 a 2 ;b2 ... a n ;bn ...

a1 a2 a3 ... an ... (*) (daừy an taờng)


b1 b2 b3 ... bn ... (**) (daừy bn giaỷm)
b bk (do (**))
k t nhiờn; c nh a n ;bn a k ;bk ; n k n
a n bn
a n b k , n k
Ta li cú: a1 a 2 a 3 ....... a k
an bk ; n taọp A an ,n * b chn trờn bi b k
A , A
Sup A l
n *

l b k ; k

(1)
do a k A

Sup A l a n l, a n A a k l (2)
T (1) v (2) ta cú l a k ;bk , k



a k ;bk l

k 1

Vy

i 1

a i ; bi l .

IV.2.2. Nguyờn lý dóy on lng nhau v tht li (Nguyờn lý Cantor):
* nh ngha: Dóy on [an; bn] trong gi l lng nhau v tht li
nu a n+1 ;bn+1 a n ;bn , n 1 v lim(bn a n ) 0
n

* nh lý: Mi dóy on lng nhau v tht li (lng nhau v di cỏc
on dn v 0 khi n dn v ) u cú mt im chung duy nht.
Chng minh:
Dóy on lng nhau u cú phn t chung ca tt c cỏc on (theo
b v dóy on lng nhau).
Ta chng minh phn t chung l duy nht ?
Chng minh bng phn chng: Gi s cú hai phn t phõn bit chung, tc l
a, b



a n , bn ; a b

n 1

Trnh Th Kim Phng

Trang 11

Tính chất giải tích của số thực và ứng dụng

 a; b a n ; bn ; n  1  0  b  a  bn  a n ; n  1
Lấy giới hạn ta có: lim 0  lim b  a  lim(b n  a n )
n 

n 

n 

Mặt khác lim(bn  an )  0 (do dãy đoạn lồng nhau và thắt lại) và lim 0  0
n 

n 

 lim b  a  b  a  0  b  a  0  b  a (mâu thuẫn với b  a ).
n 

Vậy phần tử chung của dãy đoạn là duy nhất.
IV.3. Ngun lý Compact địa phương của
(ngun lý Bolzano –
Weierstrass)
Mọi dãy bị chặn đều có dãy con hội tụ
Chứng minh:
Giả sử un n bò chặn  M  0 : un  M, n  *  M  un  M, n  *
+ Chia đoạn  M;M thành hai đoạn bằng nhau bởi điểm chia là trung
điểm của –MM. Khi đó có một đoạn con chứa vơ số số hạng của u n . Đặt
a1;b1  là đoạn chứa vơ số số hạng của u n và b1  a1  M .
+ Chia a1 ;b1  thành hai đoạn bằng nhau bởi điểm chia là trung điểm của
a1b1 . Khi đó có một đoạn con chứa vơ số số hạng của u n . Đặt a 2 ;b2  là

M
đoạn chứa vơ số số hạng của u n và b 2  a 2  .
2
+ Tiếp tục q trình này ta được một dãy đoạn lồng nhau a n ;bn , n  1
M
và b n  a n  n 1 .
2
M
Mặt khác: lim n 1  0  lim(b n  a n )  0
n  2
n 
 a n ;bn , n  1 là dãy đoạn lồng nhau và thắt lại nên theo ngun lý
Cantor suy ra dãy a n ;bn , n  1 có một điểm chung duy nhất là l .
Chọn u n1  a1 ;b1 

u n2  a 2 ;b2  sao cho n 2  n1 (do [a2; b2] chứa vơ số số hạng của un)

u n3  a 3 ;b3  sao cho n 3  n 2  n1 (do [a2; b2] chứa vơ số số hạng của un)
……………………………………
Vậy ta chọn được u nk là một dãy con của u n n .

 

k

Ta có u n k ,l  a n k ;b n k   0  u n k  l  b n k  a n k
mà lim(bn k  a n k )  0; lim 0  0
n 

n 

Trịnh Thị Kim Phượng

Trang 12


Tớnh cht gii tớch ca s thc v ng dng
lim u n k l 0 lim(u n k l) 0 lim u n k l
k

hi t.

Vy dóy u n k

k

k

k

Vy mi dóy b chn u cú dóy con hi t.
IV.4. [a; b] l tp compact trong
nh ngha tp Compact: Cho (X, d) l mt khụng gian metric v
. Ta núi rng A l tp compact nu mi dóy x n luụn tn



ti mt dóy con x n k hi t v mt im x .
[a; b] l tp compact trong
Chng minh:

x n a, b i chng minh x n k x n : lim x n k x o , x o a, b
x n a; b a x n b , n

k

*

x n bũ chaởn

Theo nguyờn lý Bonzano Weierstrass suy ra:
x n k x n : lim x n k x o , x o a, b
k

Vy a, b l tp compact trong

.

IV.5. A l tp compact trong A l tp úng v b chn
Chng minh
) Cho A l tp compact trong , ta i chng minh A l tp úng v b chn
+ Chng minh A úng tc l x n A, lim x n x cn chng minh x A
n

x : lim x

Ta cú xn A, A laứ taọp compact xn

k

M lim x n x lim x n k x

n

n

k

nk

x', x' A

k

Do gii hn l duy nht nờn x x ' x A
Vy A l tp úng
+ Chng minh A b chn (chng minh bng phn chng)
Gi s A khụng b chn M 0, x A : x M
Chn M = 1 > 0, x1 A : x1 1
Chn M = 2 > 0, x2 A : x2 2
Chn M = 3 > 0, x3 A : x3 3
.
Chn M = n > 0, x n A : x n n
Trnh Th Kim Phng

Trang 13


Tính chất giải tích của số thực và ứng dụng
Vậy x n   A : x n  n, n

(*)

x   A, A laø taäp compact  x
n

Suy ra

nk

x  bị chặn nên M  0 : x
nk

  x  : lim x

nk

n

k 

 x', x'  A

nk

 M (**)

Xảy ra mâu thuẫn giữa (*) và (**)
Vậy A bị chặn
) Chứng minh A là tập compact tức là x n   A đi chứng minh tồn tại

 

một dãy con x n k hội tụ về một phần tử x  A.

Ta có: A bị chặn  M  0 : x n  M, n  x n  bị chặn

Theo nguyên lý Bolzano – Weierstrass  x n k   x n  : lim x n k  x
k 

Mà A là tập đóng nên x  A
Vậy tồn tại dãy con x n k   A : lim x n k  x, x  A
k 

Vậy A- compact
V. Các tính chất của hàm số liên tục trên 1 đoạn
V.1. Định nghĩa
 Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm
f : A  ; x 0  A ta nói f liên tục tại x  x 0 nếu:
  0;   0 : x  A; x  x 0    f (x)  f (x 0 )   .
 Định nghĩa hàm số liên tục trên khoảng (a; b)
f : (a; b)  ta nói f liên tục trên (a; b)  f liên tục tại x 0 ; x 0  (a; b) .
 Định nghĩa hàm số liên tục trên [a; b]
f : (a; b)  , f liên tục trên [a; b]  f liên tục trên khoảng (a; b) và f liên
tục phải tại a, f liên tục trái tại b.
V.2. Định lí bị chặn (định lý Weierstrass 1)
Hàm số f liên tục trên [a; b] thì f bị chặn trên [a; b].
Tức là: M  0 : f  x   M, x  a;b 
Chứng minh: (chứng minh bằng phản chứng)
Giả sử f không bị chặn trên [a;b]  M  0;  x  a;b : f (x)  M .
Với M  1  0;  x1  a;b : f (x1 )  1

M  2  0;  x 2  a;b : f (x 2 )  2
…………………………………..
M  n  0;  x n  a;b : f (x n )  n

(*)

Trịnh Thị Kim Phượng

Trang 14


Tớnh cht gii tớch ca s thc v ng dng
Vy x n n * [a; b] thoỷa (*)

Ta cú x n [a;b] a x n b, n * .
x n b chn x n cú mt dóy con hi t v x0 (theo nguyờn



lý Bolzano Weierstrass) tc l x nk

k

x n n : lim x nk x 0 .
k

Ta cú a x nk b; k N * qua gii hn khi k ta cú a x 0 b .

f lieõn tuùc taùi x 0 (do x 0 [a; b])

lim x n x 0
lim f(x nK ) f(x 0 ) .
K
k
k
x n [a; b]

K
Mt khỏc t (*) f (x n k ) n k k

Khi k suy ra lim f (x n k ) mõu thun vi lim f (x n k ) f (x 0 ) (do
k

k

gii hn l duy nht).
Vy f phi b chn.
V.3. nh lớ nhn max v min (nh lý Weierstrass 2)
Hm s f liờn tc trờn [a; b] thỡ f t giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht trờn [a; b] .
Chng minh :
f liờn tc trờn [a; b] nờn theo nh lý Weierstrass 1 ta cú f b chn trờn [a; b] .
t A f (x); x [a;b] A b chn A b chn trờn v b chn di.
Chng minh s tn ti max f (x) ?
x[a; b]

Ta cú A ; A ; A b chn trờn SupA m
(*)
y n A : lim y n m
n

yn A f (x), x [a;b] x n [a;b]: yn f x n , n *
Vy x n [a;b] x n b chn nờn cú mt dóy con hi t v x0 theo



nguyờn lý Bolzano - Weierstrass tc l x nk

k

x n n : lim x nk x 0
k

Ta cú a x nk b; k * qua gii hn khi k ta cú a x 0 b x0 [a; b]

f lieõn tuùc taùi x 0 (do x 0 [a;b])

lim x n x 0
lim f(x nK ) f(x 0 ) lim y nK f(x 0 )
K
k
k
k
x n [a; b]

K

Trnh Th Kim Phng

Trang 15

Tính chất giải tích của số thực và ứng dụng

 

Ta có y n k

k

là dãy con của dãy yn n mà lim yn  m  lim y nK  m .
n 

n 

Do giới hạn là duy nhất nên f (x 0 )  m với x 0  [a; b]  m  A
Từ (*) và (**)  m  max f (x) .

(**)

x[a; b]

 Chứng minh sự tồn tại min f (x) ?
x[a; b]

Ta có A  ; A  ; A bị chặn dưới  infA  n
 y n   A : lim y n  n

(1)

n 

yn  A  f (x), x [a;b]  x n [a;b]: yn  f  x n  , n  *
Vậy x n   [a;b]  x n  bị chặn nên có một dãy con hội tụ về x0 theo

 

nguyên lý Bolzano - Weierstrass tức là  x nk

k

 x n n : lim x nk  x 0
k 

Ta có a  x nk  b; k  * qua giới hạn khi k   ta có a  x 0  b .

 x0  [a; b]

f lieân tuïc taïi x 0 (do x 0  [a;b])

lim x n  x 0
  lim f(x nK )  f(x 0 )  lim y nK  f(x 0 )
K
k 
k 
 k 
x n  [a; b]

K
Ta có y n k là dãy con của dãy yn n mà lim yn  n  lim y nK  n .

 

n 

k

n 

Do giới hạn là duy nhất nên f (x 0 )  n với x 0  [a; b]  n  A
Từ (1) và (2)  n  min f (x) .

(2)

x[a; b]

V.4. Định lí nhận mọi giá trị trung gian (định lý Bolzano – Cauchy)
Hàm số f liên tục trên [a; b] thì f nhận mọi giá trị trung gian giữa giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, tức là:
m  min f(x),M  max f(x), y  m;M thì x 0 [a;b]: y  f(x 0 )
x[a;b]

x[a;b]

Chứng minh :
Trường hợp 1: m  M  y  m là hàm hằng, x  [a, b] .Vậy thỏa định lý.
Trường hợp 2: m  M
y : m  y  M ta đi chứng minh x 0  [a; b] : y  f (x 0 ) .
f (c)  m  min f (x),
x a;b 


Đặt 
với c, d  [a; b]
f
(d)

M

max
f
(x)

x a;b 

Trịnh Thị Kim Phượng

Trang 16


Tớnh cht gii tớch ca s thc v ng dng
y
M=f(d)
f(b)
f(xo)

y=f(xo)
a

x

c

xo

O

d

b

f(a)
m=f(c)

Nu y = m = f (c) , c [a; b], rừ rng nh lý tha
Nu y = M = f (d) , d [a; b], rừ rng nh lý tha
Nu m < y < M
t A x, x a; b : f x y

A [a; b] A bũ chaởn


sup A x 0
A (do f(c) m y,c [a; b] c A)
Theo tớnh cht ca sup x n A : lim x n x o x o a; b
n

Ta cú c A a c x o (do sup A = xo )

f lieõn tuùc taùi x 0 (do f lieõn tuùc treõn [a;b], x0 [a;b])

lim f(xn ) f(x 0 )
lim xn x0 ;

x n [a; b]
n

n

Ta cú: f (x n ) y (do x n A ) qua gii hn f x o y
(1)
f d M y d A



x o SupA x x 0 , x A x o d b x 0 b

d [a;b]

1
Vy n o : x o b, n n o
n

1
xo a; b , n *

n



1
1

lim x o x o

lim f x o f(x o )

n
n
n
n



f lieõn tuùc taùi x 0 (do f lieõn tuùc treõn [a;b] vaứ x 0 [a; b]



Trnh Th Kim Phng

Trang 17


Tính chất giải tích của số thực và ứng dụng
1
1
1

 x o  SupA  x o   A  f  x o    y
n
n
n

Qua giới hạn  f  x o   y
(2)

Từ (1) và (2)  f  x o   y
Vậy x 0  [a; b] : y  f (x 0 )

Ta lại có: x o 

 Hệ quả: Định lí khơng điểm
Hàm số f liên tục trên [a; b] và f(a), f(b) trái dấu thì  x 0  (a; b) : f (x 0 )  0 .
Chứng minh:
f liên tục trên [a; b] nên theo định
lý Weierstrass 2
  min f (x)  m,  max f (x)  M
x[a;b]

x[a;b]

y
4
3
2

f(a)

Ta có f(a), f(b) trái dấu  f (a).f (b)  0
1
nên giả sử f (a)  0, f (b)  0
a
1 xo
O
 m  f (a)  0  f (b)  M
-1

 y = 0 là giá trị trung gian của giá tri lớn
-2 f(b)
nhất và giá trị nhỏ nhất của f trên [a; b]
-3
Theo định lý Bolzano - Cauchy
-4
 xo a;b : f (x o )  0
Do f(a), f(b)  0  xo  a, b
Vậy xo   a;b  : f (x o )  0 .
VI. Giới hạn của hàm số đơn điệu
VI.1. Định nghĩa
 Định nghĩa lân cận
+ x0  ,  lân cận của x 0 là khoảng (x 0  ;x 0  ), kí hiệu: V (x 0 ).

x

b

2

+ U  ,U gọi là lân cận của x0 nếu tồn tại một  lân cận của x0 nằm trong U.
 Định nghĩa điểm tụ (điểm giới hạn)
A  ,x 0  R,x 0 gọi là điểm tụ của A nếu một lân cận tùy ý của x 0 chứa ít nhất một
điểm của A và điểm đó khác x 0 .

 Định nghĩa giới hạn hàm số theo , 
A  , hàm số f : A  , x o là điểm tụ của A nếu có một số thực b sao





cho   0,  > 0: x  A, 0  x  x o    f  x   b   ,ta nói hàm số
f có giới hạn là b khi x  x o
Trịnh Thị Kim Phượng

Trang 18


Tớnh cht gii tớch ca s thc v ng dng
Kớ hiu: lim f (x) b hay f(x) b khi x x o
x xo

VI.2. nh lý: Gii hn nu cú l duy nht
Gi thit lim f (x) b , ta chng minh b l duy nht ?
x xo

Gi s cú lim f (x) b ' , i chng minh b = b
x xo

0, lim f(x) b neõn 1 0 : x A,0 x x 0 1 f(x) b
x xo


2

lim f(x) b' neõn 2 0 : x A,0 x x 0 2 f(x) b'

x xo

Choùn 0 min 1 , 2 0


2

do (*)


0 x x 0 1 f(x) b
2
x A,0 x x 0 0
do (**)
0 x x f(x) b
0
2

2

Ta li cú b b' b f(x) f(x) b' b f(x) f(x) b'
Vaọy 0 b b' , 0 b b' 0 b b'



2 2

Vy gii hn ca hm s nu cú l duy nht.
VI.3. nh lý gii hn hm s qua gii hn dóy s
Cho hm s f xỏc nh trờn tp hp A, xo l im gii hn ca A.
Hm s f cú gii hn l b khi x x o , khi v ch khi mi dóy
x n n A \ xo m lim x n x o thỡ dóy f x n n cng u hi t v cú

n

gii hn l b.
Chng minh
) Gi thit lim f x b ; x n A \ x 0 sao cho lim x n x o
x xo

n

Chng minh: lim f x n b
n

(*)

0 ta coự: lim f x b neõn >0:x A,0 < x x o f x b
x xo

lim x n x o nờn vi s dng s
n

do (*)

n 0 tửù nhieõn: n n 0 0 x n x o f x n b

Vy 0, n 0 tửù nhieõn : n n 0 f x n b
Trnh Th Kim Phng

Trang 19

Tính chất giải tích của số thực và ứng dụng
hay lim f  x n   b .
n 

 ) Giả thiết mọi dãy x n   A \ x o  mà lim x n  x o thì dãy f  x n  cũng
n 

đều hội tụ và có giới hạn là b (**).
Chứng minh lim f  x   b (chứng minh bằng phản chứng)
x  xo

Giả sử không có giới hạn lim f  x   b tức là
x  xo

o  0 :   0, x  A \ x o ,0  x  x o   và f  x   b  o

Chọn   1  x1  A \ x o ,0  x1  x o  1 và f  x1   b  o
1
1
Chọn    x 2  A \ x o  , 0  x 2  x o  và f  x 2   b  o
2
2
……………………………………………………………………..
1
1
Chọn   (n  *)  x n  A \ x o  , 0  x n  x o  và f  x n   b  o
n
n
1
Vậy x n   A \ x o  và 0  x n  x o  , n

n
1
Mặt khác: lim  0, lim 0  0
n  n
n 
Theo nguyên lý kẹp  lim x n  x o  0  lim  x n  x o   0  lim x n  x o
n 

n 

n 

(**)  lim f  x n   n  lim  f  x n   b   0  lim f  x n   b  0
n 

n 

n 

Trong khi f  x n   b  o , n  qua giới hạn n    0   o (vô lý)
*

Vậy lim f  x   b
x  xo

VI.4. Định lý quan hệ giữa tính đơn điệu và liên tục
Cho f là hàm đơn điệu trên đoạn [a; b]. f liên tục trên đoạn [a; b] khi và chỉ
khi f ([a; b]) là một đoạn có hai đầu mút là f  a  ,f  b .
Chứng minh
 ) Giả sử f là hàm số tăng trên đoạn [a; b]

Vì f là hàm số tăng nên f  a   f  x   f  b  , x : a  x  b

 f a;b  f  a  ,f  b 

(1)

f  a   min f  x 
xa;b


f x
f  b   xmax
a;b
Theo định lý Bolzano – Cauchy ta có:

Trịnh Thị Kim Phượng

Trang 20


Tính chất giải tích của số thực và ứng dụng
y : f  a   y  f  b   x  a;b : y  f  x   f  a  ;f  b   f a;b  (2)

Từ (1) và (2)  f a;b  f  a  ;f  b 
Trường hợp f là hàm số giảm trên [a; b] chứng minh tương tự.
 ) Giả thiết f là hàm số tăng trên [a; b] và f a;b  f  a  ,f  b 
Chứng minh f liên tục trên [a; b] (chứng minh bằng phản chứng)
Giả sử f không liên tục [a; b]  x o  [a; b] sao cho f gián đoạn tại x o .
Giả sử x o  (a; b)
+ Chứng minh   f (x o )

Đặt B f (x), x [a;x o )  [a;b]
Ta có f tăng trên đoạn [a; b] suy ra f tăng trên [a; x o ]
x  a; x o  ta có a  x  x o  f (a)  f (x)  f (x 0 ) (do f tăng)
Ta có: [a;x o )  a;x o   x [a;x o ) ta có f (a)  f (x)  f (x o )
 B bị chặn trên bởi f (x o ) và B   (do chứa f (a) )
 sup B    sup f  x   
x[a;x o )

Ta có f (x)  f (x o ), x  [a; x o ) sau khi lấy sup ta được   f (x o )
+ Chứng minh f (x o )  
Đặt B' f (x), x  (x o ;b]  [a;b]
Ta có f tăng trên đoạn [a; b] suy ra f tăng trên [x 0 ; b]
x   x o ;b ta có x o  x  b  f (x o )  f (x)  f (b) (do f tăng)
Ta có: (xo ;b]   xo ;b  x  (xo ;b] ta có f (x o )  f (x)  f (b)
 B' bị chặn dưới bởi f (x 0 ) và B'   (do chứa f (b) )
 inf B    inf f  x   
x(x o ;b]

Ta có f (x o )  f (x), x  (x o ; b] sau khi lấy sup ta được f (x o )  
+ Chứng minh lim f  x   
x x o

Ta có sup f  x   
x[a;x o )

  0, f  x '  B :     f  x '  ,
f  x '  B  x '  [a; x o )    0 : x '  x o  

     f  xo    
Do f tăng trên [a; x o ) và sup f  x   

x[a;x o )

Trịnh Thị Kim Phượng

Trang 21


Tính chất giải tích của số thực và ứng dụng
 x  a;b  : x o    x  x o thì     f  x o     f  x       ,
     f x    

 f x    

Vậy   0,   0 : x  a;b, x o    x  x o  f (x)     hay lim  
x x o

+ Chứng minh lim  
x  xo

Ta có inf f  x   
x( x o ;b]

  0, f  x ''  B' :   f  x ''     ,
f  x ''  B'  x ''  (x o ;b]   '  0 : x ''  x o   '

   f  x o   '    
Do f tăng trên ( x o ; b] và inf f  x   
x(x o ;b]

 x  a;b  : x o  x  x o +' thì       f  x   f  x o   '     ,

     f x    

 f x    

Vậy   0,  '  0 : x  a;b, x o  x  x o   '  f (x)     hay lim  
x x o

  f (x o )
+ Do f gián đoạn tại x 0 nên 
.
  f (x o )
Ta lại có   f  xo    .
Giả sử   f (xo )    f  x o  theo tính chất trù mật trong

 yo  :   yo  f  x o 
Rõ ràng f (a)   và f (x o )    f (b)
Vậy yo ở giữa f(a) và f(b)
Ta có:
x  [a; x o )  f (x)   (do   sup f (x))
x[a;x o )

x  (x o ; b]    f (x) (do   inf f (x))
x(x o ; ]

 f (x)  y o x  [a; b], mâu thuẫn với f nhận giá trị yo
Vậy f liên tục trên [a; b].
VI.5. Định lý về tồn tại hàm ngược
f tăng nghiêm ngặt trên [a; b], f : a;b  f  a  ;f  b  , thì f có hàm ngược

f 1 : f  a  ;f  b   a;b, f 1 tăng nghiêm ngặt, f 1 liên tục trên đoạn

f  a  ;f  b 

Chứng minh:
Trịnh Thị Kim Phượng

Trang 22


Tính chất giải tích của số thực và ứng dụng
+ Chứng minh tồn tại hàm ngược
Ta có: f tăng trên [a; b]  f đơn điệu trên [a; b]
Mặt khác f a;b  f  a  ;f  b  nên theo định lý giữa tính đơn điệu và
liên tục ta có f liên tục trên [a; b]
Ta lại có f tăng nghiêm ngặt trên [a; b]
nên y   f  a  ; f  b   , toàn taïi duy nhaát x  a; b  sao cho y  f(x)
 tồn tại hàm ngược f 1 : f  a  ;f  b   a;b

+ Chứng minh f 1 tăng nghiêm ngặt trên f  a  ;f  b 
y, y '  f  a  ;f  b  giả sử y  y ' x, x ' a;b : y  f  x  , y'  f  x ' 

y  f (x)  x  f 1 (y)
y'  f (x ')  x '  f 1 (y')
Ta có: y  y '  f (x)  f (x ')
Vì f tăng nghiêm ngặt  x  x '  f 1 (y)  f 1 (y')
Vậy f 1 tăng nghiêm ngặt trên f  a  ;f  b  .

+ Chứng minh hàm ngược liên tục trên f  a  ;f  b 
Ta có: f 1 f  a  ;f  b    f 1  f  a   ;f 1  f  b     a; b  và f là hàm





đơn điệu trên f  a  ;f  b  nên theo định lý về quan hệ giữa tính đơn điệu
và liên tục ta có f 1 liên tục trên f  a  ;f  b  .

Trịnh Thị Kim Phượng

Trang 23