Hệ thống kiến thức đại số tuyến tính

Ngày 13 tháng 2 năm 2016


Tài liệu tham khảo
Đại số tuyến tính - Nguyễn Hữu Việt Hưng

2


Mục lục
1 Không gian thương và định
1.
Không gian thương . . . .
2.
Chéo hóa ma trận . . . .
3.
Dạng chuẩn Jordan . . . .

lí đồng
. . . . .
. . . . .
. . . . .

cấu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
9

10

2 Tích tensor, đại số ngoài, đại số đối xứng
1.
Tích tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19
19

3


4


Chương 1

Không gian thương và định lí đồng
cấu
1.

Không gian thương

Definition 1.1. (Không gian thương)
W = 0 là một KGVT con của K-KGVT V
Xét tập hợp
V /W = {[v] = v + W |v ∈ V }
Trang bị tập hợp này
1. Sự bằng nhau
[v1 ] = [v2 ] ⇔ v1 − v2 ∈ W

2. Trang bị hai phép toán cộng và nhân vô hướng cảm sinh từ KGVT V (không phụ thuộc vào
việc chọn đại biểu)
Khi đó (V /W, +, .) lập thành một KGVT và ta gọi là KGVT thương.
Nhận xét :
1. W là KGVT con của V thì phép toán mới định nghĩa đứng đắn và V /W mới là KGVT.
2. Việc định nghĩa V /W như trên có tác dụng gì? nó có "tương thích" và liên quan gì đến KGVT
V không?
tương thích theo nghĩa có một đồng cấu V → V /W xác định bởi v −→ [v]
3. Ý nghĩa của không gian thương V /W là ta muốn tập V có tính chất W hay nói cách khác
muốn W đồng nhất bằng 0.
Chẳng hạn muốn tập số thực R2 có tính chất x = y (tức là ta cần x − y = 0) thì ta chỉ cần
xét R2 /{x − y}
Ví dụ khác chẳng hạn muốn tích R × R có tính chất tuyến tính thì ta chỉ cần chia tập đó cho
tập sinh bởi các phần tử
(ax + by, cz + dt) − ac(x, z) − ad(x, t) − bc(y, z) − bt(y, t)
Điển hình ví dụ khác là cách xây dựng tensor sẽ được giới thiệu sau
5


4. Ứng dụng khác của V /W là ta sẽ dùng để chứng minh quy nạp. Quy nạp ở đây được tận dụng
là dimV /W < dimV .
Definition 1.2. (Cơ sở của Không gian thương)
Cho không gian thương V /W , khi đó cơ sở của không gian thương được tìm bằng cách bổ sung cơ sở
W.
Cụ thể, giả sử (v1 , · · · , vr ) là cơ sở của W, ta bổ sung cơ sở sao cho (v1 , · · · , vr , vr+1 , · · · , vn ) là cơ
sở của W. Khi đó
([vr+1 ], · · · , [vn ]) là cơ sở của V/ W.
Nhận xét : Ta sẽ bổ sung cơ sở dựa trên ma trận là nhanh nhất. Cụ thể ở bài tập sau
Bài tập. V = R4 , W = {(x, y, z, t) : y = z = t}. Tìm cơ sở V /W
Chứng minh. Hướng giải (dùng định nghĩa bằng cách bổ sung cơ sở dựa vào ma trận)

(x, y, z, t) = (x, x, x, t) = x(1, 0, 0, 0) + t(0, 1, 1, 1) nên cơ sở của W là ((1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 1)
Bây giờ ta cần bổ sung hai vector nữa sao cho các vector hàng của ma trận sau là độc lập tuyến
tính (tức là có hạng bằng 4)


1 0 0 0
0 1 1 1


∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
Rõ ràng ta chỉ cần chọn hai vector ở hàng dưới
chính tắc là e3 , e4 . Cụ thể,

1 0
0 1

0 0
0 0

sao cho độc lập tuyến tính, dễ dàng chọn vector
0
1
1
0


0
1


0
1

Tóm lại cơ sở cần tìm là ([e3 ], [e4 ]).
Không gian thương ở trên cho phép ta tạo ra một không gian tương thích hay là đồng cấu với f
có những tính chất trong W .
Vấn đề sau sẽ tạo ra một đẳng cấu tương thích với f . Đây là một định lý cho ta những ý tưởng để
chứng minh các đẳng cấu liên quan đến không gian thương với ý tưởng xét một đồng cấu sao cho
có "ảnh và hạt nhân phù hợp" ! Cụ thể ta có định lý đồng cấu sau
Theorem 1.3. (Định lý về đồng cấu)
Cho đồng cấu f : V → T . Khi đó có một đơn cấu cảm sinh
f1 : V /Kerf → T xác định bởi [v] −→ f (v)
nghĩa là V /Kerf ∼
= Imf .
Nhận xét : Khi f là tự đồng cấu V thì
V = Kerf ⊕ Imf
Chú ý rằng f phải là tự đồng cấu mới có tính chất trên.

6


Example 1.4. Cho một ánh xạ tuyến tính đã xác định rõ f : V → T
1. Viết ma trận của ánh xạ tuyến tính đó.
2. Tìm Kerf.
3. Tìm Imf.
4. Viết đẳng cấu V /Kerf ∼
= Imf .
Chứng minh.
nếu

1. Viết ma trận của ánh xạ tuyến tính bằng cách dựa vào định nghĩa (v1 , · · · , vn )
(f (v1 ) · · · f (vn )) = (v1 · · · vn )A

Chú ý rằng nếu x có tọa độ (x1 , · · · , xn ) và y = f (x) có tọa độ (y1 , · · · , ym ) thì ta có hệ phương
trình
Ax = y
Ngoài ra, trong trường hợp không gian tọa độ ta có thể nhìn nhanh ra ma trận A có các vector
hàng i chính là "tọa độ ở thành phần yi ", hay nói cách khác các vector cột hàng i chính là "tọa
độ ở các ẩn xi trong các thành phần của y". Thực chất chính là từ định nghĩa viết ở dạng hệ
phương trình do nhân ma trận.
Ví dụ cho
(x1 , x2 , x3 , x4 ) −→ (x1 + 2x2 + x3 + 4x4 , 2x1 + 3x2 + x3 + 5x4 , 4x1 + 7x2 + 3x3 + 13x4 )
thì ma trận của ánh xạ tuyến tính là

1
A = 2
4

2
3
7

1
1
3


4
5
13

2. Tìm Kerf. Ta tìm bằng cách dùng định nghĩa. Gọi x = (x1 , cdots, xn ) là tọa độ trong cơ sở
giống với cơ sở ứng với ma trận A. Khi đó, ta có hệ phương trình
Ax = 0
từ hệ phương trình này ta suy ra mối liên hệ giữa các xi và suy ra cơ sở của Kerf.
3. Tìm Imf.
Lưu ý rằng: Tuy rằng V = Kerf ⊕ Imf trong trường hợp f là tự đồng cấu thì ta cũng không
được tìm Imf bằng cách bổ sung cơ sở của Kerf để được cơ sở của V là do tổng trực tiếp
không có tính duy nhất. Chẳng hạn R2 = Ox ⊕ Oy = Ox ⊕ {x = y}.
Hướng giải.(Sử dụng định nghĩa)
Với mọi x(x1 , · · · , xn ) là tọa độ trong cơ sở giống với cơ sở ứng với ma trận A. Gọi y = f (x) =
(y1 , · · · , ym ) thì ta có hệ phương trình có nghiệm
Ax = y.
7


Bước 1 Dùng phép khử Gauss ta đưa hệ phương trình

(= 0)
∗
∗
∗
∗
 0
(=
0)
∗
∗
∗


 0
0
(= 0) ..
∗

 ..
..
..
..
..

 0
0
0
.. (= 0)

 0
0
0
..
0

 ..
..
..
..
..
0
0
0

..
0

trên về dạng chéo sau
∗ ..
∗ ..
∗ ..
∗ ..
0 ..
0 ..


|
∗

|
∗


|
∗


|


∗ |
∗

0 | h1 (y1 , · · · , ym )



|
0 | hr (y1 , · · · , ym )
∗
∗
∗

Bước 2 Để hệ phương trình Ax = y có nghiệm thì ta có hệ phương trình sau
By = 0 với B là ma trận có các hàng là hi
Từ đó ta tìm được cơ sở của Imf.
4. Viết đẳng cấu chính là cảm sinh từ đồng cấu f .
Ngoài ra ta sẽ có một cách khác nhìn nhanh và tìm nhanh ra Kerf và Imf từ phép khử Gauss.
Cụ thể, bằng phép khử Gauss thì hệ phương trình Ax = y trở thành

∗ f (v1 ) f (v2 ) · · ·

∗
∗
∗
∗
∗  ma
trận
A
∗
∗
∗
∗

∗

1
1
1

1 (= 0)
∗
∗
1 0
(= 0)
∗
f (vn )


1 0
0
(= 0)
∗

1  ..
..
..
∗ = 
1 0
0
0
∗
2
0
0
 0

2  ..
..
..
2
0
0
0

1
1
∗
∗
∗
∗
..
∗
..
..
.. (= 0)
..
0
..
..
..
0

|
|
|
|

|
|
|
|
|

2 2 2

∗ .. ∗
∗ .. ∗ 

∗ .. ∗ 



∗ .. ∗ 
0 .. 0 


0 .. 0

Ở đây, có thể hiểu rằng Imf có một hệ sinh là (f (v1 ), · · · , f (vn )). Và việc khử Gauss nếu đổi
chỗ các cột hay hàng thì các vector tương ứng trong A cũng phải thay đổi.
• Số chiều của Kerf
dimKerf = Số vector hàng có chỉ số là 2 ở trên
• Cơ sở của Kerf tìm bằng cách tìm như thông thường.
• Số chiều của Imf
dimImf = Số vector cột có chỉ số là 2 ở trên
• Cơ sở của Imf tìm bằng cách ta có thể thấy các vector cột của ma trận A ứng với các cột chỉ
số là 1 ở trên là độc lập tuyến tính. Từ kết quả cở sở = hệ sinh + độc lập tuyến tính ta thu

được
Cơ sở Imf là các vector cột trong A ứng với các cột chỉ số là 1 ở trên

8


2.

Chéo hóa ma trận

Definition 2.1. (Không gian con ổn định, f- ổn định)
1. Xét W là không gian con của KGVT V và ánh xạ tuyến tính f : V → V . Khi đó
Không gian con ổn định W của V hay f −ổn định ⇔ f (W ) ⊂ W
Khi đó ta có một ánh xạ tuyến tính cảm sinh từ f là
f1 : W → W
2. Ma trận A của ánh xạ tuyến tính f có dạng khối
B
0

C
D

trong đó B là ma trận của ánh xạ tuyến tính f1 .
Trường hợp đặc biệt, nếu phần bù của W trong V cũng là ổn định thì ma trận ứng với phần
bù đó là D và khi đó C = 0.
Ta sẽ nghiên cứu trường hợp f-ổn định một chiều bằng khái niệm chéo hóa ma trận.
Definition 2.2. (Giá trị riêng, vector riêng, chéo hóa ma trận)
1. Giả sử W là f-ổn định với dimW = 1, tức W =< v > với v = 0 thì
f (v) = λv
Khi đó ta nói v là vector riêng ứng với giá trị riêng λ.

Chú ý cách tìm giá trị riêng và vector riêng.
2. Tự đồng cấu f được gọi là chéo hóa được hay ma trận A của tự đồng cấu f được gọi là chéo hóa
được nếu
• |A − λI| = (λ − λ1 )s1 · · · (λ − λp )sp
• dimKer(A − λi I) = si
Khi đó ma trận A đồng dạng với ma trận

λ1

···


λ1














···
···
λp

Tức là V = £(các vector riêng ứng với giá trị riêng λ1 )⊕· · ·⊕£(các vector riêng ứng với giá trị riêng λp )
Trường hợp đặc biệt, Ma trận cỡ n × n có n giá trị riêng khác nhau thì luôn chéo hóa được. Các ma
trận thực đối xứng chéo hóa được bằng ma trận trực giao.
9


Nhận xét một vài ứng dụng của chéo hóa ma trận (không gian ổn định)
1. Tính định thức
2. Giải hệ phương trình
3. Lũy thừa ma trận
T nhA100 . Do A = CDC −1 nên A100 = CD100 C −1 , mà ma trận chéo tính số mũ chỉ cần mũ
trên đường chéo chính.
4. Tính công thức truy hồi.
a1 = 1, a2 = 2, an = an−1 + an−2
Vì
a2n+1
=
a2n+2

1
1

1
2

a2n−1
a2n

=

1
1

1
2

n

a1
a2

5. Rõ ràng ý nghĩa của việc chéo hóa ma trận rất rõ ràng, biến ma trận thành ma trận có dạng
chéo nhưng không phải lúc nào cũng chéo hóa được nên ta sẽ cố gắng đưa nó về dạng chéo
khối và ta gọi là dạng chuẩn Jordan sẽ tìm hiểu ở phần sau.
Nhắc lại rằng để nhìn nhanh được ma trận là không chéo hóa được thì ta xem lại cách tìm
nhanh dim Kerf đã giới thiệu ở trên. Do vậy, sau khi tìm xong giá trị riêng λ, thay λ vào ma
trận (A − λI) là ta có thể nhìn thấy được dimKer(A − λI).

3.

Dạng chuẩn Jordan

Trong mục này ta luôn xét V là C − KGV T để phương trình đặc trưng luôn có đầy đủ nghiệm.
Ý tưởng của việc tìm dạng chuẩn Jordan là sử dụng ánh xạ lũy linh f (tức có tính chất f n = 0),
nó sẽ được thể hiện rõ ràng ở các chứng minh định lý, bổ đề. Việc tìm ra dạng chuẩn Jordan cũng
chính là cách đi chứng minh các định lý, bổ đề. Chúng ta sẽ trình bày cách tìm ma trận Jordan ở
cuối mục này.
Theorem 3.1. (Định lý chính, cách tìm ma trận Jordan)
V là một C − KGV T hữu hạn chiều và A : V → V là một tự đồng cấu. Khi đó tồn tại một phân

tích của V thành tổng trực tiếp của các không gian con A-ổn định
V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vk .
1. Tồn tại cơ sở ei1 , · · · eini của Vi với λi nào đó (Chú ý rằng λi vẫn có thể bằng λj ) sao cho
(A − λi I)ei1 = 0
(A − λi I)ei2 = ei1
······
(A − λi I)eini = eini−1
Theo định nghĩa của ma trận của ánh xạ tuyến tính, khi đó khối ứng với cơ sở này là


λi 1


λi 1




···



λi 1 
λi
10


2. Số chiều của các Vi và các λi là duy nhất và sai khác một hoán vị.
Example 3.2. Cho tự đồng cấu f sao cho f n = 0. Tìm các giá trị riêng có thể có của f .
Chứng minh. f n = 0 =⇒ An = 0 =⇒ det(An ) = (detA)n = 0 =⇒ det(A) = 0 do đó f có ít nhất

một giá trị riêng bằng 0.
Definition 3.3. (Không gian riêng suy rộng) Ta sẽ tập trung vào một giá trị riêng cụ thể là λ.
N1 (λ) := Ker(A − λI)
N2 (λ) := Ker(A − λI)2
······
Nm (λ := Ker(A − λI)m )
Nhận xét
1. Không gian riêng Ni+1 sẽ chứa không gian riêng Ni . Tức là
N1 ≤ N2 ≤ · · · ≤ Nm
2. Dãy trên sẽ dừng lại do V là không gian hữu hạn chiều, tức là luôn tồn tại m sao cho
Nm = Nm+1 = Nm+2 = · · ·
Lemma 3.4. Nếu Nk = Nk+1 thì Nk = Nk+1 = Nk+2 = · · ·
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh Nk+1 = Nk+2 (rồi tương tự, tức là quy nạp)
Giả sử v ∈ Nk+2 \Nk+1 khi đó
(A − λI)k+2 v = 0
(A − λI)k+1 v = 0
tức là
(A − λI)k+1 [(A − λI)v] = 0
(A − λI)k [(A − λI)v] = 0
do đó (A − λI)v ∈ Nk+1 \Nk nên mâu thuẫn.
Chú ý rằng v = 0 nên (A − λI)v = 0 do nếu (A − λI)v = 0 thì v là vector riêng nên v ∈ Nk+1
(N1 ≤ Nk+1 ) do đó mâu thuẫn.
Trong mục này ta luôn giả sử rằng k là chỉ số đầu tiên sao cho Nk = Nk+1 .
Lemma 3.5.
Ker(A − λi I)k ∩ Im(A − λi I)k = 0
Khi đó
Vi = Ker(A − λi I)k ⊕ Im(A − λi I)k
Chứng minh. v ∈ Ker(A − λi I)k ∩ Im(A − λi I)k tức là
(A − λi I)k v = 0
tồn tại w sao cho (A − λi I)k w = v

do đó (A − λi I)2k w = 0 nên w ∈ N2k = Nk . Tức là v = Nk w = 0.
11


Lemma 3.6. Ker(A − λi I)k và Im(A − λi I)k là các không gian A-ổn định.
Chứng minh.
1. Ta chứng minh Nk = Ker(A − λi I)k là không gian A-ổn định.
Thật vậy, với mọi v ∈ Ker(A − λi I)k tức
(A − λi I)k v = 0 nên (A − λi I)[(A − λi I)k v] = 0
do đó
(A − λi I)[(A − λi I)k ] = 0 ⊂ (A − λi I)k tức là (A − λi I)k là không gian (A − λi I)-ổn định
Do (A − λi I)k là không gian λi I ổn định (vì λi I[(A − λi I)k ] ⊂ (A − λi I)k ) nên ta có điều phải
chứng minh.
2. Ta chứng minh Im(A − λi I)k là các không gian A-ổn định.
Thật vậy, với mọi v ∈ Im(A − λi I)k tức tồn tại w sao cho v = (A − λi I)k w nên
(A − λi I)v = (A − λi I)[(A − λi I)k w] = (A − λi I)k+1 w = (A − λi I)k w ⊂ Im(A − λi I)k
(do Nk = Nk+1 ). Do đó Im(A − λi I)k là không gian (A − λi I) ổn định.
Chú ý rằng ta có thể chứng minh bằng cách khác nhờ vào đẳng thức sau
(A − λi I)k A = A(A − λi I)k (Chứng minh bằng quy nạp)

Theorem 3.7. Cho A : V → V có λ1 , · · · , λp là tất cả các giá trị riêng khác nhau. Khi đó tồn tại
n1 , · · · , np sao cho
V = Ker(A − λ1 I)n1 ⊕ · · · ⊕ Ker(A − λp I)np
Chú ý rằng do ánh xạ A là không chéo hóa được nên nói chung các chỉ số n1 , · · · , np là khác với
số bộ của λ1 , · · · , λp trong đa thức đặc trưng.
Chứng minh. (Các chứng minh là dùng phương pháp quy nạp) Theo bổ đề trước ta có
V = Ker(A − λ1 I)n1 ⊕ Im(A − λ1 I)n1
Ta chỉ cần chứng minh đẳng thức sau là xong
Im(A − λ1 I)n1 = Ker(A − λ2 I)n2 ⊕ Im(A − λ2 I)n2
1. Ta chứng minh ánh xạ sau cảm sinh từ ánh xạ A không có giá trị riêng λ1 (chính là Im(A −

λ1 I)n1 là A- ổn định)
A1 : Im(A − λ1 I)n1 → Im(A − λ1 I)n1 xác định bởi v −→ A1 (v) = A(v)
Gọi 0 = v ∈ Im(A − λ1 I)n1 là một vector riêng ứng với giá trị riêng λ1 khi đó
Av = A1 v = λ1 v tức v ∈ Ker(A − λ1 I) ⊂ Ker(A − λ1 I)n1
Do đó
v ∈ Ker(A − λ1 I)n1 ∩ Im(A − λ1 I)n1 = {0} tức ta có điều phải chứng minh.
12


Chú ý ta không thể lập luận như sau vì A chưa chắc chéo hóa được.
Do V = Ker(A − λ1 I)n1 ⊕ Im(A − λ1 I)n1 và cả hai tập đó là ổn định và Ker(A − λ1 I) ⊂
Ker(A − λ1 I)n1 nên ma trận của ánh xạ tuyến tính A đồng dạng khối chéo với một khối chéo
toàn bộ λ1 và khối còn lại không.
Tóm lại, vì A1 không nhận λ1 làm giá trị riêng nên.
V = Ker(A − λ1 I)n1 ⊕ Im(A − λ1 I)n1 = Ker(A − λ1 I)n1 ⊕ Ker(A1 − λ2 I)n2 ⊕ Im(A1 − λ2 I)n2
2. Chú ý rằng ánh xạ A1 trên không phải là ánh xạ hạn chế nên ta cần chứng minh đẳng thức
sau là có thể quy nạp được
Ker(A1 − λ2 I)n2 = Ker(A − λ2 I)n2
Im(A1 − λ2 I)n2 = Im(A − λ2 I)n2
Thật vậy, giả sử v ∈ Ker(A1 − λ2 I)n2 bằng phép khai triển nhị thức Newton và A1 v = Av ta
có
(A − λ2 I)n2 v = (A1 − λ2 I)n2 v = 0 tức là v ∈ Ker(A − λ2 I)n2
tương tự ta có điều phải chứng minh.
Hơn nữa, v ∈ Im(A1 − λ2 I)n2 tức tồn tại w sao cho (A1 − λ2 I)n2 w = v, bằng phép khai triển
nhị thức Newton và A1 v = Av ta có
(A − λ2 I)n2 w = (A1 − λ2 I)n2 w = v tức là v ∈ Im(A − λ2 I)n2
tương tự ta có điều phải chứng minh.

Example 3.8.

1. Tìm một ma trận C = I và chéo trong M (3 × 3, Z) mà C −1 ∈ M (3 × 3, Z).

2. Tìm một ma trận A ∈ M (3 × 3, Z) mà sau một phép biến đổi cơ sở thì A chuyển thành ma
trận


2 0 0
J = 0 3 1
0 0 3
Chứng minh.

1. Vì
(C −1 )ij =

Do đó ta sẽ chọn C là ma trận chéo trên có
là ma trận có dạng

1
0
0

(−1)i+j ij
(c )
det(C)

các phần tử trên đường chéo đều là 1. Khi đó C

∗ ∗
1 ∗
0 1

2. Do A có dạng A = CJC −1 với C là ma trận vừa tìm được ở trên.

13


Vấn đề tiếp theo là tìm cấu trúc của ánh xạ lũy linh.
Xét tự đồng cấu A : V → V , để hiểu được ánh xạ A cũng tương đương với hiểu ánh xạ A − λi I. Nói
chung A là ánh xạ không chéo hóa được nên ta sẽ vận dụng ánh xạ lũy linh để tìm cơ sở cho một
khối (khối đó trên đường chéo chứa các giá trị riêng λi nhiều nhất) của ma trận A.
Như các bổ đề trước ta có Nk = Nk+1 = Nk+2 = · · · với Nk (λi ) = Ker(A − λi I)k
Để đơn giản về mặt kí hiệu, ta kí hiệu B = A − λi I.
Definition 3.9. U là một KGVT con của V . {e1 , · · · , es } được gọi là một cơ sở của V ứng với U
nếu
{[e1 ], · · · , [es ]} là một cơ sở của khồng gian thương V /U .
Definition 3.10. Một dãy các phần tử {e1 , · · · , es } được gọi là độc lập tuyến tính ứng với U nếu
{[e1 ], · · · , [es ]} là độc lập tuyến tính trong không gian thương V /U .
Nhận xét rằng một hệ độc lập tuyến tính luôn mở rộng được để trở thành một cơ sở.
Lemma 3.11. Giả sử {e1 , · · · , es } là một cơ sở của Nk ứng với Nk−1 . Khi đó, các vector
{e1 , · · · , es , Be1 , · · · , Bes }
là độc lập tuyến tính của Nk ứng với Nk−2 .
Chú ý rằng Nk−2 ≤ Nk−1 và Nk = KerB k , B = A − λi I.
Chứng minh. Giả sử có một rằng buộc tuyến tính
s

(ci ei + di Bei ) = 0 trong Nk /Nk−2
i

ta sẽ chứng minh ci = di = 0 với mọi i = 1..s.
Thật vậy, vì ei ∈ Nk nên B k ei = B k−1 Bei = 0 tức là Bei ∈ Nk−1 .

s
Xét i (ci ei + di Bei ) trong Nk /Nk−1 thì
s

ci ei = 0do Bei ∈ Nk−1 và Nk−2 ≤ Nk−1
i

Từ đó ta thu được ci = 0. Khi đó ta có
s

B(

s

di ei ) =
i

Khi đó

s

B k−1 (

s

di ei ) = B k−2 [B(
i

Tức là

di Bei = 0 trong Nk /Nk−2
i

s

di ei ) ∈ Nk−2 .

di ei )] = 0 do B(
i

i

e

di ei = 0 trong Nk /Nk−1
i

Do đó di = 0.
14


Bằng cách bổ sung một hệ độc lập tuyến tính thành một cơ sở ta thu được
Nk
e1 , · · · , es

Nk−1
Be1 , · · · , Bes
f1 , · · · , ft

···

···
···
···
···

Nk−2
B e1 , · · · , B 2 es
Bf1 , · · · , Bft
h1 , · · · , hu
2

Để có thể chứng minh quy nạp được thì ta phải chứng minh tiếp bổ đề sau
Lemma 3.12. Các vector {e1 , · · · , es , Be1 , · · · , Bes , B 2 e1 , · · · , B 2 es , f1 , · · · , ft , Bf1 , · · · , Bft } là
độc lập tuyến tính của Nk ứng với Nk−3
Chứng minh. Giả sử có một rằng buộc tuyến tính
s

t

(ai ei + bi Bei + ci B 2 ei ) +
i

(di fi + gi Bfi ) = 0 trong Nk /Nk−3
i

Tương tự cách chứng minh trong bổ đề trước.
Do e1 ∈ Nk nên Bei ∈ Nk−1 , B 2 ei ∈ Nk−2 và do fi ∈ Nk−1 nên Bfi ∈ Nk−2 . Xét biểu thức trên
trong Nk /Nk−2 thì
s

t

(di fi ) = 0 trong Nk /Nk−2 , doNk−3 ≤ Nk−2

(ai ei + bi Bei ) +
i

i

do đó ai = bi = di = 0. Biểu thức đầu tiên trở thành
s

t

B(

ci Bei +
i

s

gi fi ) =
i

t
2

(ci B ei ) +
i

gi Bfi = 0 trong Nk /Nk−3
i

Hay
s

B k−2 (

t

i

s

gi fi ) = B k−3 [B(

ci Bei +
i

t

ci Bei +
i

s

gi fi )] = 0 do B(
i

t

gi fi ) ∈ Nk−3

ci Bei +
i

i

Tức là
s

t

ci Bei +
i

s

gi fi = 0 trong Nk /Nk−2 do
i

t

gi fi ∈ Nk−2

ci Bei +
i

i

Tóm lại ci = gi = 0 do hệ {Be1 , · · · , Bes , f1 , · · · , ft } độc lập tuyến tính.
Khi đi toàn bộ những thành phần trong bảng sau là một cơ sở của Nk .

Tóm lại, bây giờ ta sẽ đánh số lại để hình thành nên phương pháp tìm dạng chuẩn Jordan của một
ma trận hay một ánh xạ tuyến tính. Cụ thể, đánh số lại như sau
15


Nk
e1 , · · · , es

···

Nk−1
Be1 , · · · , Bes
f1 , · · · , ft

···
···

N1
B

k−1

B

k−2

···

N0

e1 , · · · , B

k−1

es

f1 , · · · , B

k−2

ft

0

···
g1 , · · · , gu

Bảng 1.1:

v1 = B k−1 (e1 )
v2 = B k−2 (e2 )
······
vk−1 = Be1
vk = e 1
Khi đó ta sẽ được khối cỡ k × k tương ướng với cơ sở v1 , · · · , vk là




λi
0 1

 ··· ··· 
 tức là A = 
A − λi I = B = 


· · · 1
0

1
···


···
···



1
λi

Do đó nhìn vào dòng đầu tiên của bảng trên thì sẽ có s khối cỡ k × k như vậy.
Dòng thứ hai sẽ có t khối cỡ (k − 1) × (k − 1).
···
Dòng cuối cùng sẽ có một khối cỡ 0 × 0.
TỔNG LẠI TA SẼ ĐƯỢC MỘT KHỐI si × si với si là bội của giá trị riêng λi trong đa thức
đặc trưng. (si = dimNk )

Definition 3.13. Số khối cỡ d được kí hiệu là md .
Definition 3.14. Gọi số khối cỡ k là mk với k = dim(Nk /Nk−1 ).
Example 3.15. Tìm dạng chuẩn Jordan của ma trận A.
Cách làm
Trước tiên ta nhìn lại bảng (1.1)
1. Tìm ma trận dạng chuẩn Jordan.
Bước 1 Tìm các giá trị riêng λi có số bội là si của ma trận A.
Bước 2 Tính dimNt = dimKerB t = dimKer(A − λi I)t với t chạy từ 1 đến k. Với k là chỉ số sao
cho
dim(A − λi I)k = si
Chú ý cách tìm dimKerB nhanh qua phép khử Gauss đã giới thiệu ở các phần trước. Do
đó bằng phép khử Gauss và lũy thừa ma trận ta sẽ tìm được dimNk dễ dàng.
16


Bước 3 Tìm mt là số khối cỡ t × t với t = 1..k. Ta tìm


mk





m
 k + mk−1
mk + mk−1 + mk−2




···



m + m
k
k−1 + mk−2 + · · · + m1

theo thứ tự mk , mk−1 , · · · , m1 Chẳng hạn,
= dimNk − dimNk−1
= dimNk−1 − dimNk−2
= dimNk−2 − dimNk−3
···
= dimN1 − dimN0 = dimN1

Để hiểu rõ tại sao có hệ phương trình trên thì ta xem lại bảng (1.1)
Bước 4 Kết luận.
2. Tìm một cơ sở ứng với dạng chuẩn Jordan trên.
• Nếu m1 = 0 thì ta có thể làm như sau
– Tìm các vector v1 là cơ sở của N1 = Ker(A − λi I). Hay nói cách khác là đi tìm cách
vector riêng ứng với giá trị λi .
– Tìm các vector là cơ sở của N2 /N1 Giải hệ phương trình Be = v1 ta sẽ tìm được e
N2

N1

e

Be = v1

và đánh số lại là v2 = e.
Tiếp tục làm với tất cả các vector là cơ sở trong N1 để tìm tương ướng vector này
trong N2 /N1 .
• Nếu m1 = 0 thì ta có thể làm như sau ngay cả trường hợp m1 = 0.
– Tìm các vector v1 là cơ sở của N1 = Ker(A − λi I). Hay nói cách khác là đi tìm cách
vector riêng ứng với giá trị λi .
– Tìm các vector là cơ sở của N2 /N1 Giải hệ phương trình Be = v1 ta sẽ tìm được e.
N2

N1

e

Be = v1

- Nếu B 2 e = 0 thì e là ở cột N2 và đánh số lại e = v2 .
- Nếu B 2 e = 0 thì v1 là vector riêng ứng với ma trận cỡ 1 × 1, hay nói cách khác v1 là
một vector bổ sung vào cột N1 để ta thu được một hệ độc lập tuyến tính trở thành
cơ sở.
Chú ý rằng là ta làm với từng λi khác nhau.
Example 3.16.

1. Liệt kê các dạng chuẩn Jordan của A nếu biết PA (X).

17


18

Chương 2

Tích tensor, đại số ngoài, đại số đối
xứng
1.

Tích tensor
• Ứng dụng nhiều trong vật lý, kỹ thuật.
• Chuyển bài toán đa tuyến tính về một bài tuyến tính. Chẳng hạn
Định thức det : V n → R.
Tích vô hướng <, >: V × V → K. Trong đó, V là tập hợp, không phải là một KGVT, tức là
trên V không được trang bị các phép toán.
• Dùng tích tensor có thể xây dựng thêm một số cấu trúc đại số từ một cấu trúc đại số đã cho
ban đầu. Chẳng hạn như cấu trúc đại số ban đầu là KGVT hay Idean. Trong nhiều trường
hợp, những thông tin từ những cấu trúc mới có thể giúp ta kết luận về những cấu trúc đại số
ban đầu.

Definition 1.1. (Ánh xạ song tuyến tính)
Giả sử L, M, N là các K − KGV T . Khi đó, ánh xạ ϕ : L × M → N được gọi là song tuyến tính nếu
ϕ(l1 + l2 , m) = ϕ(l, m) + ϕ(l2 , m)
ϕ(cl, m) = cϕ(l, m)
ϕ(l, m1 + m2 ) = ϕ(l, m1 ) + ϕ(l, m2 )
ϕ(l, cm) = cϕ(l, m)
trong đó với mọi l, l1 , l2 ∈ L; m, m1 , m2 ∈ M và c ∈ K.

19