Bronshtein: Handbook of mathematics (2007)

I.N. Bronshtein · K.A. Semendyayev · G. Musiol · H. Muehlig

Handbook of Mathematics


I.N. Bronshtein · K.A. Semendyayev · G. Musiol · H. Muehlig

Handbook of Mathematics
5th Ed.

With 745 Figures and 142 Tables

123


Ilja N. Bronshtein †
Konstantin A. Semendyayev †
Prof. Dr. Gerhard Musiol
Prof. Dr. Heiner Muehlig

Based on the 6th edition of Bronshtein/Semendyayev/Musiol/Muehlig
“Taschenbuch der Mathematik”, 2005.
Published by Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch GmbH, Frankfurt am Main.

Library of Congress Control Number: 2007930331

ISBN 978-3-540-72121-5 Springer Berlin Heidelberg New York
This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material
is concerned, specifically the rights of translation, reprinting, reuse of illustrations, recitation, broadcasting, reproduction on microfilm or in any other way, and storage in data banks. Duplication of
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of September 9, 1965, in its current version, and permission for use must always be obtained from

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Typesetting: Typesetting by the authors
Production: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig
Cover: WMXDesign GmbH, Heidelberg
Translation: Gabriela Sz´
ep, Budapest
Printed on acid-free paper

62/3180/YL - 5 4 3 2 1 0


Preface to the Fifth English Edition
This fth edition is based on the fourth English edition (2003) and corresponds to the improved sixth
German edition (2005). It contains all the chapters of the both mentioned editions, but in a renewed
revised and extendet form.
So in the work at hand, the classical areas of Engineering Mathematics required for current practice are
presented, such as \Arithmetic", \Functions", \Geometry", \Linear Algebra", \Algebra and Discrete
Mathematics", (including \Logic", \Set Theory", \Classical Algebraic Structures", \Finite Fields",
\Elementary Number Theory", "Cryptology", \Universal Algebra", \Boolean Algebra and Swich Algebra", \Algorithms of Graph Theory", \Fuzzy Logic"), \Di erentiation", \Integral Calculus", \Differential Equations", \Calculus of Variations", \Linear Integral Equations", \Functional Analysis",
\Vector Analysis and Vector Fields", \Function Theory", \Integral Transformations", \Probability
Theory and Mathematical Statistics".
Fields of mathematics that have gained importance with regards to the increasing mathematical modeling and penetration of technical and scienti c processes also receive special attention. Included
amongst these chapters are \Stochastic Processes and Stochastic Chains" as well as \Calculus of Errors", \Dynamical Systems and Chaos", \Optimization", \Numerical Analysis", \Using the Computer" and \Computer Algebra Systems".
The chapter 21 containing a large number of useful tables for practical work has been completed by

adding tables with the physical units of the International System of Units (SI).
Dresden, February 2007
Prof. Dr. Gerhard Musiol
Prof. Dr. Heiner Muhlig

From the Preface to the Fourth English Edition
The \Handbook of Mathematics" by the mathematician, I. N. Bronshtein and the engineer, K. A.
Semendyayev was designed for engineers and students of technical universities. It appeared for the

rst time in Russian and was widely distributed both as a reference book and as a text book for colleges
and universities. It was later translated into German and the many editions have made it a permanent
xture in German-speaking countries, where generations of engineers, natural scientists and others in
technical training or already working with applications of mathematics have used it.
On behalf of the publishing house Harri Deutsch, a revision and a substantially enlarged edition was
prepared in 1992 by Gerhard Musiol and Heiner Muhlig, with the goal of giving "Bronshtein" the modern practical coverage requested by numerous students, university teachers and practitioners. The
original style successfully used by the authors has been maintained. It can be characterized as \short,
easily understandable, comfortable to use, but featuring mathematical accuracy (at a level of detail
consistent with the needs of engineers)" . Since 2000, the revised and extended fth German edition of
the revision has been on the market. Acknowledging the success that \Bronstein" has experienced in
the German-speaking countries, Springer-Verlag Heidelberg/Germany is publishing a fourth English
edition, which corresponds to the improved and extended fth German edition.
The book is enhanced with over a thousand complementary illustrations and many tables. Special
functions, series expansions, inde nite, de nite and elliptic integrals as well as integral transformations
See Preface to the First Russian Edition


VI
and statistical distributions are supplied in an extensive appendix of tables.
In order to make the reference book more e ective, clarity and fast access through a clear structure
were the goals, especially through visual clues as well as by a detailed technical index and colored tabs.

An extended bibliography also directs users to further resources.
We would like to cordially thank all readers and professional colleagues who helped us with their valuable statements, remarks and suggestions on the German edition of the book during the revision process. Special thanks go to Mrs. Professor Dr. Gabriela Szep (Budapest), who made this English debut
version possible. Furthermore our thanks go to the co-authors for the critical treatment of their chapters.
Dresden, June 2003
Prof. Dr. Gerhard Musiol
Prof. Dr. Heiner Muhlig

Co-authors
Some chapters and sections originated through a cooperation with the co-authors.

Chapter or Section

Spherical Trigonometry (3.4.1{3.4.3)
Spherical Curves (3.4.3.4)
Logic (5.1), Set Theory (5.2), Classic Algebraic
Structures (5.3), Applications of Groups, Rings
and Fields, Vektor Spaces (besides 5.3.4, 5.3.7.6)
Universal Algebra (5.6), Boolean Algebra
and Switch Algebra (5.7)
Groups Representations, Applications of
Groups (5.3.4, 5.3.5.4{5.3.5.6)
Elementary Number Theory (5.4), Cryptology
(5.5), Graphs (5.8)
Fuzzy{Logic (5.9)
Non-Linear Partial Di erential Equations,
Solitonen (9.2.4)
Linear Integral Equations (11.)
Optimization (18.)
Functional Analyzis (12.)
Elliptic Functions (14.6)

Dynamical Systems and Chaos (17.)
Computer Algebra Systems (19.8.4, 20.)

Co-author

Dr. H. Nickel , Dresden
Prof. L. Marsolek, Berlin

Dr. J. Brunner, Dresden
Prof. Dr. R. Reif, Dresden
Prof. Dr. U. Baumann, Dresden
Prof. Dr. A. Grauel, Soest
Prof. Dr. P. Ziesche, Dresden
Dr. I. Steinert, Dusseldorf
Prof. Dr. M. Weber, Dresden
Dr. N. M. Fleischer , Moscow
Prof. Dr. V. Reitmann, Dresden,
St. Petersburg
Prof. Dr. G. Flach, Dresden


Contents VII

Contents
List of Tables
1 Arithmetic
1.1

1.2

Elementary Rules for Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.1 Natural, Integer, and Rational Numbers . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.2 Irrational and Transcendental Numbers . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.3 Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.4 Continued Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.5 Commensurability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Methods for Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.1 Direct Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.2 Indirect Proof or Proof by Contradiction . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.3 Mathematical Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.4 Constructive Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Sums and Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3.1 Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3.2 Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Powers, Roots, and Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4.1 Powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4.2 Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4.3 Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4.4 Special Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Algebraic Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5.1 De nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5.2 Algebraic Expressions in Detail . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Integral Rational Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6.1 Representation in Polynomial Form . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6.2 Factorizing a Polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6.3 Special Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6.4 Binomial Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6.5 Determination of the Greatest Common Divisor of Two Polynomials
1.1.7 Rational Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.7.1 Reducing to the Simplest Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7.2 Determination of the Integral Rational Part . . . . . . . . . . . . .
1.1.7.3 Decomposition into Partial Fractions . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7.4 Transformations of Proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.8 Irrational Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Finite Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 De nition of a Finite Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Arithmetic Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Geometric Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Special Finite Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Mean Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5.1 Arithmetic Mean or Arithmetic Average . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5.2 Geometric Mean or Geometric Average . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5.3 Harmonic Mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5.4 Quadratic Mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XL
1
1
1
1
2
2
3
4
4
5
5
5
6

6
6
7
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17
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18
18
19
19
19
19

20
20
20


VIII Contents
1.3

1.4

1.5

1.2.5.5 Relations Between the Means of Two Positive Values . . . . . . . .
Business Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Calculation of Interest or Percentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Calculation of Compound Interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2.1 Interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2.2 Compound Interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Amortization Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3.1 Amortization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3.2 Equal Principal Repayments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3.3 Equal Annuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Annuity Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4.1 Annuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4.2 Future Amount of an Ordinary Annuity . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4.3 Balance after n Annuity Payments . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Depreciation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Pure Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1.1 De nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.1.2 Properties of Inequalities of Type I and II . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Special Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.1 Triangle Inequality for Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.2 Triangle Inequality for Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.3 Inequalities for Absolute Values of Di erences of Real and Complex
Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.4 Inequality for Arithmetic and Geometric Means . . . . . . . . . .
1.4.2.5 Inequality for Arithmetic and Quadratic Means . . . . . . . . . . .
1.4.2.6 Inequalities for Di erent Means of Real Numbers . . . . . . . . . .
1.4.2.7 Bernoulli's Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.8 Binomial Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.9 Cauchy{Schwarz Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.10 Chebyshev Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.11 Generalized Chebyshev Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.12 Holder Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.13 Minkowski Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Solution of Linear and Quadratic Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3.1 General Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3.2 Linear Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3.3 Quadratic Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3.4 General Case for Inequalities of Second Degree . . . . . . . . . . .
Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Imaginary and Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1.1 Imaginary Unit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1.2 Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Geometric Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.1 Vector Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.2 Equality of Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.3 Trigonometric Form of Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.4 Exponential Form of a Complex Number . . . . . . . . . . . . . .

1.5.2.5 Conjugate Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Calculation with Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3.1 Addition and Subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3.2 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20
21
21
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22
22
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23
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25
25
25
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34
34
35
35
36
36
36
36


Contents IX

1.6

1.5.3.3 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3.4 General Rules for the Basic Operations . . . . . .
1.5.3.5 Taking Powers of Complex Numbers . . . . . . . .
1.5.3.6 Taking of the n-th Root of a Complex Number . .
Algebraic and Transcendental Equations . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Transforming Algebraic Equations to Normal Form . . . . .
1.6.1.1 De nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1.2 Systems of n Algebraic Equations . . . . . . . . .
1.6.1.3 Super uous Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Equations of Degree at Most Four . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2.1 Equations of Degree One (Linear Equations) . . .
1.6.2.2 Equations of Degree Two (Quadratic Equations) .
1.6.2.3 Equations of Degree Three (Cubic Equations) . .
1.6.2.4 Equations of Degree Four . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2.5 Equations of Higher Degree . . . . . . . . . . . .
1.6.3 Equations of Degree n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3.1 General Properties of Algebraic Equations . . . .
1.6.3.2 Equations with Real Coe cients . . . . . . . . . .
1.6.4 Reducing Transcendental Equations to Algebraic Equations
1.6.4.1 De nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.4.2 Exponential Equations . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.4.3 Logarithmic Equations . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.4.4 Trigonometric Equations . . . . . . . . . . . . . .
1.6.4.5 Equations with Hyperbolic Functions . . . . . . .

2 Functions
2.1

Notion of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 De nition of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.1 Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.2 Real Functions . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.3 Functions of Several Variables . . . . . . . . .
2.1.1.4 Complex Functions . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.5 Further Functions . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.6 Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.7 Functions and Mappings . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Methods for De ning a Real Function . . . . . . . . . .
2.1.2.1 De ning a Function . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2.2 Analytic Representation of a Function . . . . .
2.1.3 Certain Types of Functions . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3.1 Monotone Functions . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3.2 Bounded Functions . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3.3 Even Functions . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3.4 Odd Functions . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3.5 Representation with Even and Odd Functions .
2.1.3.6 Periodic Functions . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3.7 Inverse Functions . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Limits of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4.1 De nition of the Limit of a Function . . . . . .
2.1.4.2 De nition by Limit of Sequences . . . . . . . .
2.1.4.3 Cauchy Condition for Convergence . . . . . .
2.1.4.4 In nity as a Limit of a Function . . . . . . . .
2.1.4.5 Left-Hand and Right-Hand Limit of a Function

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52


X Contents

2.2

2.3

2.4

2.5
2.6

2.7

2.1.4.6 Limit of a Function as x Tends to In nity . . . . . . . . . . .
2.1.4.7 Theorems About Limits of Functions . . . . . . . . . . . . .
2.1.4.8 Calculation of Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4.9 Order of Magnitude of Functions and Landau Order Symbols
2.1.5 Continuity of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5.1 Notion of Continuity and Discontinuity . . . . . . . . . . . .
2.1.5.2 De nition of Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5.3 Most Frequent Types of Discontinuities . . . . . . . . . . . .
2.1.5.4 Continuity and Discontinuity of Elementary Functions . . . .
2.1.5.5 Properties of Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . .
Elementary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Algebraic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1.1 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1.2 Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1.3 Irrational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Transcendental Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.1 Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.2 Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.3 Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.4 Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.5 Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.6 Inverse Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Composite Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Linear Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Quadratic Polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Cubic Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Polynomials of n-th Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Parabola of n-th Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Special Fractional Linear Function (Inverse Proportionality) . . . . . .
2.4.2 Linear Fractional Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Curves of Third Degree, Type I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Curves of Third Degree, Type II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5 Curves of Third Degree, Type III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.6 Reciprocal Powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Irrational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Square Root of a Linear Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Square Root of a Quadratic Polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Power Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exponential Functions and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.3 Error Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.4 Exponential Sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.5 Generalized Error Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.6 Product of Power and Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . .
Trigonometric Functions (Functions of Angles) . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Basic Notion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1.1 De nition and Representation . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1.2 Range and Behavior of the Functions . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Important Formulas for Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . .

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Contents XI

2.7.2.1 Relations Between the Trigonometric Functions of the Same Angle
(Addition Theorems) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2.2 Trigonometric Functions of the Sum and Di erence of Two Angles
2.7.2.3 Trigonometric Functions of an Integer Multiple of an Angle . . . .
2.7.2.4 Trigonometric Functions of Half-Angles . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2.5 Sum and Di erence of Two Trigonometric Functions . . . . . . . .
2.7.2.6 Products of Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2.7 Powers of Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3 Description of Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3.1 Formulation of the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3.2 Superposition of Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3.3 Vector Diagram for Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3.4 Damping of Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 De nition of the Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . .

2.8.2 Reduction to the Principal Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.3 Relations Between the Principal Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.4 Formulas for Negative Arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.5 Sum and Di erence of arcsin x and arcsin y . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.6 Sum and Di erence of arccos x and arccos y . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.7 Sum and Di erence of arctan x and arctan y . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.8 Special Relations for arcsin x arccos x arctan x . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.1 De nition of Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2 Graphical Representation of the Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . .
2.9.2.1 Hyperbolic Sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2.2 Hyperbolic Cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2.3 Hyperbolic Tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2.4 Hyperbolic Cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3 Important Formulas for the Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3.1 Hyperbolic Functions of One Variable . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3.2 Expressing a Hyperbolic Function by Another One with the Same
Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3.3 Formulas for Negative Arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3.4 Hyperbolic Functions of the Sum and Di erence of Two Arguments
(Addition Theorems) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3.5 Hyperbolic Functions of Double Arguments . . . . . . . . . . . . .
2.9.3.6 De Moivre Formula for Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . .
2.9.3.7 Hyperbolic Functions of Half-Argument . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3.8 Sum and Di erence of Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . .
2.9.3.9 Relation Between Hyperbolic and Trigonometric Functions with Complex Arguments z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Area Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1 De nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1.1 Area Sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1.2 Area Cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.10.1.3 Area Tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1.4 Area Cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.2 Determination of Area Functions Using Natural Logarithm . . . . . . . . .
2.10.3 Relations Between Di erent Area Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.4 Sum and Di erence of Area Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.5 Formulas for Negative Arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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XII Contents
2.11 Curves of Order Three (Cubic Curves) . . . . . . . . . . . . .
2.11.1 Semicubic Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.11.2 Witch of Agnesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.3 Cartesian Folium (Folium of Descartes) . . . . . . . .
2.11.4 Cissoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.5 Strophoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12 Curves of Order Four (Quartics) . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.1 Conchoid of Nicomedes . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.2 General Conchoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.3 Pascal's Limacon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.4 Cardioid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.5 Cassinian Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.6 Lemniscate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13 Cycloids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13.1 Common (Standard) Cycloid . . . . . . . . . . . . . .
2.13.2 Prolate and Curtate Cycloids or Trochoids . . . . . .
2.13.3 Epicycloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13.4 Hypocycloid and Astroid . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13.5 Prolate and Curtate Epicycloid and Hypocycloid . . .
2.14 Spirals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14.1 Archimedean Spiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14.2 Hyperbolic Spiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14.3 Logarithmic Spiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14.4 Evolvent of the Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14.5 Clothoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.15 Various Other Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.15.1 Catenary Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.15.2 Tractrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16 Determination of Empirical Curves . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.1 Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.1.1 Curve-Shape Comparison . . . . . . . . . .
2.16.1.2 Recti cation . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.16.1.3 Determination of Parameters . . . . . . . . .
2.16.2 Useful Empirical Formulas . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.2.1 Power Functions . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.2.2 Exponential Functions . . . . . . . . . . . .
2.16.2.3 Quadratic Polynomial . . . . . . . . . . . .
2.16.2.4 Rational Linear Function . . . . . . . . . . .
2.16.2.5 Square Root of a Quadratic Polynomial . . .
2.16.2.6 General Error Curve . . . . . . . . . . . . .
2.16.2.7 Curve of Order Three, Type II . . . . . . . .
2.16.2.8 Curve of Order Three, Type III . . . . . . .
2.16.2.9 Curve of Order Three, Type I . . . . . . . .
2.16.2.10 Product of Power and Exponential Functions
2.16.2.11 Exponential Sum . . . . . . . . . . . . . . .
2.16.2.12 Numerical Example . . . . . . . . . . . . . .
2.17 Scales and Graph Paper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.17.1 Scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.17.2 Graph Paper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.17.2.1 Semilogarithmic Paper . . . . . . . . . . . .
2.17.2.2 Double Logarithmic Paper . . . . . . . . . .
2.17.2.3 Graph Paper with a Reciprocal Scale . . . .

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112
112
112
114
114
115
115
115
116


Contents XIII

2.17.2.4 Remark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18 Functions of Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.1 De nition and Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.1.1 Representation of Functions of Several Variables . . . . . . . . . .
2.18.1.2 Geometric Representation of Functions of Several Variables . . . .
2.18.2 Di erent Domains in the Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.2.1 Domain of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.18.2.2 Two-Dimensional Domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.2.3 Three or Multidimensional Domains . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.2.4 Methods to Determine a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.2.5 Various Ways to De ne a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.2.6 Dependence of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.3 Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.3.1 De nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.3.2 Exact De nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.3.3 Generalization for Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.3.4 Iterated Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.4 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.5 Properties of Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.5.1 Theorem on Zeros of Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.5.2 Intermediate Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18.5.3 Theorem About the Boundedness of a Function . . . . . . . . . . .
2.18.5.4 Weierstrass Theorem (About the Existence of Maximum and Minimum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.19 Nomography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.19.1 Nomograms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.19.2 Net Charts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.19.3 Alignment Charts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.19.3.1 Alignment Charts with Three Straight-Line Scales Through a Point
2.19.3.2 Alignment Charts with Two Parallel and One Inclined Straight-Line
Scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.19.3.3 Alignment Charts with Two Parallel Straight Lines and a Curved
Scale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.19.4 Net Charts for More Than Three Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Geometry
3.1

Plane Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Basic Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1.1 Point, Line, Ray, Segment . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1.2 Angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1.3 Angle Between Two Intersecting Lines . . . . . . . .
3.1.1.4 Pairs of Angles with Intersecting Parallels . . . . . .
3.1.1.5 Angles Measured in Degrees and in Radians . . . . .
3.1.2 Geometrical De nition of Circular and Hyperbolic Functions .
3.1.2.1 De nition of Circular or Trigonometric Functions . .
3.1.2.2 De nitions of the Hyperbolic Functions . . . . . . .
3.1.3 Plane Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3.1 Statements about Plane Triangles . . . . . . . . . .
3.1.3.2 Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Plane Quadrangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4.1 Parallelogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4.2 Rectangle and Square . . . . . . . . . . . . . . . . .

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130
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131
131
132
134
134
135


XIV Contents

3.2

3.3

3.4

3.5

3.1.4.3 Rhombus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4.4 Trapezoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4.5 General Quadrangle . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4.6 Inscribed Quadrangle . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4.7 Circumscribing Quadrangle . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Polygons in the Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5.1 General Polygon . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5.2 Regular Convex Polygons . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5.3 Some Regular Convex Polygons . . . . . . . . . . .
3.1.6 The Circle and Related Shapes . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6.1 Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6.2 Circular Segment and Circular Sector . . . . . . . .
3.1.6.3 Annulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Plane Trigonometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1.1 Calculations in Right-Angled Triangles in the Plane
3.2.1.2 Calculations in General Triangles in the Plane . . .
3.2.2 Geodesic Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2.1 Geodetic Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2.2 Angles in Geodesy . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2.3 Applications in Surveying . . . . . . . . . . . . . .
Stereometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Lines and Planes in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Edge, Corner, Solid Angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Polyeder or Polyhedron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.4 Solids Bounded by Curved Surfaces . . . . . . . . . . . . . .
Spherical Trigonometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Basic Concepts of Geometry on the Sphere . . . . . . . . . .
3.4.1.1 Curve, Arc, and Angle on the Sphere . . . . . . . .
3.4.1.2 Special Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . .
3.4.1.3 Spherical Lune or Biangle . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1.4 Spherical Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1.5 Polar Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1.6 Euler Triangles and Non-Euler Triangles . . . . . .
3.4.1.7 Trihedral Angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Basic Properties of Spherical Triangles . . . . . . . . . . . . .
3.4.2.1 General Statements . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2.2 Fundamental Formulas and Applications . . . . . .
3.4.2.3 Further Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Calculation of Spherical Triangles . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3.1 Basic Problems, Accuracy Observations . . . . . . .
3.4.3.2 Right-Angled Spherical Triangles . . . . . . . . . .
3.4.3.3 Spherical Triangles with Oblique Angles . . . . . . .
3.4.3.4 Spherical Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vector Algebra and Analytical Geometry . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Vector Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1.1 De nition of Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1.2 Calculation Rules for Vectors . . . . . . . . . . . . .
3.5.1.3 Coordinates of a Vector . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1.4 Directional Coe cient . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1.5 Scalar Product and Vector Product . . . . . . . . .
3.5.1.6 Combination of Vector Products . . . . . . . . . . .

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180
181
182
183
183
184


Contents XV

3.6

3.5.1.7 Vector Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1.8 Covariant and Contravariant Coordinates of a Vector . . . . . .
3.5.1.9 Geometric Applications of Vector Algebra . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Analytical Geometry of the Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.1 Basic Concepts, Coordinate Systems in the Plane . . . . . . . . .
3.5.2.2 Coordinate Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.3 Special Notation in the Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.4 Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.5 Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.6 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.7 Hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.8 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2.9 Quadratic Curves (Curves of Second Order or Conic Sections) . .
3.5.3 Analytical Geometry of Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.1 Basic Concepts, Spatial Coordinate Systems . . . . . . . . . . .
3.5.3.2 Transformation of Orthogonal Coordinates . . . . . . . . . . . .
3.5.3.3 Special Quantities in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.4 Line and Plane in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3.5 Surfaces of Second Order, Equations in Normal Form . . . . . . .
3.5.3.6 Surfaces of Second Order or Quadratic Surfaces, General Theory
Di erential Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Plane Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1.1 Ways to De ne a Plane Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1.2 Local Elements of a Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1.3 Special Points of a Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1.4 Asymptotes of Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1.5 General Discussion of a Curve Given by an Equation . . . . . . .
3.6.1.6 Evolutes and Evolvents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1.7 Envelope of a Family of Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Space Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6.2.1 Ways to De ne a Space Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2.2 Moving Trihedral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2.3 Curvature and Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3 Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3.1 Ways to De ne a Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3.2 Tangent Plane and Surface Normal . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3.3 Line Elements of a Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3.4 Curvature of a Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3.5 Ruled Surfaces and Developable Surfaces . . . . . . . . . . . . .
3.6.3.6 Geodesic Lines on a Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Linear Algebra
4.1

4.2

Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Notion of Matrix . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Square Matrices . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Arithmetical Operations with Matrices
4.1.5 Rules of Calculation for Matrices . . . .
4.1.6 Vector and Matrix Norms . . . . . . . .
4.1.6.1 Vector Norms . . . . . . . . .
4.1.6.2 Matrix Norms . . . . . . . . .
Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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251

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251
252
253
254
257
258
258
259
259


XVI Contents

4.3

4.4

4.5

4.2.1 De nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Rules of Calculation for Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Evaluation of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Transformation of Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Tensors in Cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Tensors with Special Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3.1 Tensors of Rank 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3.2 Invariant Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Tensors in Curvilinear Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.4.1 Covariant and Contravariant Basis Vectors . . . . . . . . . . . . .
4.3.4.2 Covariant and Contravariant Coordinates of Tensors of Rank 1 . .
4.3.4.3 Covariant, Contravariant and Mixed Coordinates of Tensors of Rank
2 ....................................
4.3.4.4 Rules of Calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.5 Pseudotensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.5.1 Symmetry with Respect to the Origin . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.5.2 Introduction to the Notion of Pseudotensors . . . . . . . . . . . .
Systems of Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Linear Systems, Pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1.1 Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1.2 Pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1.3 Linear Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1.4 Calculation of the Inverse of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Solution of Systems of Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2.1 De nition and Solvability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2.2 Application of Pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2.3 Cramer's Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2.4 Gauss's Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Overdetermined Linear Equation Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3.1 Overdetermined Linear Systems of Equations and Linear Mean Square
Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3.2 Suggestions for Numerical Solutions of Mean Square Value Problems
Eigenvalue Problems for Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 General Eigenvalue Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Special Eigenvalue Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2.1 Characteristic Polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2.2 Real Symmetric Matrices, Similarity Transformations . . . . . . .
4.5.2.3 Transformation of Principal Axes of Quadratic Forms . . . . . . .
4.5.2.4 Suggestions for the Numerical Calculations of Eigenvalues . . . . .

4.5.3 Singular Value Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Algebra and Discrete Mathematics
5.1
5.2

Logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Propositional Calculus . . . . . .
5.1.2 Formulas in Predicate Calculus . .
Set Theory . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Concept of Set, Special Sets . . . .
5.2.2 Operations with Sets . . . . . . .
5.2.3 Relations and Mappings . . . . .
5.2.4 Equivalence and Order Relations .
5.2.5 Cardinality of Sets . . . . . . . . .

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Contents XVII

5.3

5.4

5.5

Classical Algebraic Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3.1 De nition and Basic Properties . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3.2 Subgroups and Direct Products . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3.3 Mappings Between Groups . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 Group Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4.1 De nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4.2 Particular Representations . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4.3 Direct Sum of Representations . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4.4 Direct Product of Representations . . . . . . . . . . . . .
5.3.4.5 Reducible and Irreducible Representations . . . . . . . .
5.3.4.6 Schur's Lemma 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4.7 Clebsch{Gordan Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4.8 Irreducible Representations of the Symmetric Group SM .
5.3.5 Applications of Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.5.1 Symmetry Operations, Symmetry Elements . . . . . . . .
5.3.5.2 Symmetry Groups or Point Groups . . . . . . . . . . . .
5.3.5.3 Symmetry Operations with Molecules . . . . . . . . . . .
5.3.5.4 Symmetry Groups in Crystallography . . . . . . . . . . .
5.3.5.5 Symmetry Groups in Quantum Mechanics . . . . . . . .
5.3.5.6 Further Applications of Group Theory in Physics . . . . .

5.3.6 Rings and Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.6.1 De nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.6.2 Subrings, Ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.6.3 Homomorphism, Isomorphism, Homomorphism Theorem
5.3.6.4 Finite Fields and Shift Registers . . . . . . . . . . . . . .
5.3.7 Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.7.1 De nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.7.2 Linear Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.7.3 Linear Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.7.4 Subspaces, Dimension Formula . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.7.5 Euclidean Vector Spaces, Euclidean Norm . . . . . . . . .
5.3.7.6 Linear Operators in Vector Spaces . . . . . . . . . . . . .
Elementary Number Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Divisibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1.1 Divisibility and Elementary Divisibility Rules . . . . . . .
5.4.1.2 Prime Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1.3 Criteria for Divisibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1.4 Greatest Common Divisor and Least Common Multiple .
5.4.1.5 Fibonacci Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Linear Diophantine Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Congruences and Residue Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4 Theorems of Fermat, Euler, and Wilson . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.5 Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cryptology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Problem of Cryptology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Cryptosystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3 Mathematical Foundation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4 Security of Cryptosystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4.1 Methods of Conventional Cryptography . . . . . . . . . .

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334
334
334
335
335


XVIII Contents

5.6

5.7

5.8

5.9

5.5.4.2 Linear Substitution Ciphers . . . . . . . . . . . . .

5.5.4.3 Vigenere Cipher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4.4 Matrix Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.5 Methods of Classical Cryptanalysis . . . . . . . . . . . . . .
5.5.5.1 Statistical Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.5.2 Kasiski{Friedman Test . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.6 One-Time Pad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.7 Public Key Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.7.1 Di e{Hellman Key Exchange . . . . . . . . . . . .
5.5.7.2 One-Way Function . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.7.3 RSA Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.8 AES Algorithm (Advanced Encryption Standard) . . . . . . .
5.5.9 IDEA Algorithm (International Data Encryption Algorithm)
Universal Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 De nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Congruence Relations, Factor Algebras . . . . . . . . . . . .
5.6.3 Homomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.4 Homomorphism Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.5 Varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.6 Term Algebras, Free Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . .
Boolean Algebras and Switch Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.1 De nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.2 Duality Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.3 Finite Boolean Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.4 Boolean Algebras as Orderings . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.5 Boolean Functions, Boolean Expressions . . . . . . . . . . . .
5.7.6 Normal Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.7 Switch Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algorithms of Graph Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.1 Basic Notions and Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.2 Traverse of Undirected Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.8.2.1 Edge Sequences or Paths . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.2.2 Euler Trails . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.2.3 Hamiltonian Cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.3 Trees and Spanning Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.3.1 Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.3.2 Spanning Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.4 Matchings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.5 Planar Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.6 Paths in Directed Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.7 Transport Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fuzzy Logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.1 Basic Notions of Fuzzy Logic . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.1.1 Interpretation of Fuzzy Sets . . . . . . . . . . . . .
5.9.1.2 Membership Functions on the Real Line . . . . . . .
5.9.1.3 Fuzzy Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.2 Aggregation of Fuzzy Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.2.1 Concepts for Aggregation of Fuzzy Sets . . . . . . .
5.9.2.2 Practical Aggregator Operations of Fuzzy Sets . . .
5.9.2.3 Compensatory Operators . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.2.4 Extension Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.2.5 Fuzzy Complement . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Contents XIX

5.9.3 Fuzzy-Valued Relations . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.3.1 Fuzzy Relations . . . . . . . . . . . . . .
5.9.3.2 Fuzzy Product Relation R S . . . . . .
5.9.4 Fuzzy Inference (Approximate Reasoning) . . . . .
5.9.5 Defuzzi cation Methods . . . . . . . . . . . . . .
5.9.6 Knowledge-Based Fuzzy Systems . . . . . . . . . .
5.9.6.1 Method of Mamdani . . . . . . . . . . .
5.9.6.2 Method of Sugeno . . . . . . . . . . . . .

5.9.6.3 Cognitive Systems . . . . . . . . . . . .
5.9.6.4 Knowledge-Based Interpolation Systems

6 Di erentiation
6.1

6.2

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Di erentiation of Functions of One Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Di erential Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Rules of Di erentiation for Functions of One Variable . . . . . . . . . . . . .
6.1.2.1 Derivatives of the Elementary Functions . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2.2 Basic Rules of Di erentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Derivatives of Higher Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3.1 De nition of Derivatives of Higher Order . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3.2 Derivatives of Higher Order of some Elementary Functions . . . . .
6.1.3.3 Leibniz's Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3.4 Higher Derivatives of Functions Given in Parametric Form . . . . .
6.1.3.5 Derivatives of Higher Order of the Inverse Function . . . . . . . . .
6.1.4 Fundamental Theorems of Di erential Calculus . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.4.1 Monotonicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.4.2 Fermat's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.4.3 Rolle's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.4.4 Mean Value Theorem of Di erential Calculus . . . . . . . . . . . .
6.1.4.5 Taylor's Theorem of Functions of One Variable . . . . . . . . . . .
6.1.4.6 Generalized Mean Value Theorem of Di erential Calculus (Cauchy's

Theorem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.5 Determination of the Extreme Values and In ection Points . . . . . . . . . .
6.1.5.1 Maxima and Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.5.2 Necessary Conditions for the Existence of a Relative Extreme Value
6.1.5.3 Relative Extreme Values of a Di erentiable, Explicit Function . . .
6.1.5.4 Determination of Absolute Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.5.5 Determination of the Extrema of Implicit Functions . . . . . . . .
Di erentiation of Functions of Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1.1 Partial Derivative of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1.2 Geometrical Meaning for Functions of Two Variables . . . . . . . .
6.2.1.3 Di erentials of x and f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1.4 Basic Properties of the Di erential . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1.5 Partial Di erential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Total Di erential and Di erentials of Higher Order . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2.1 Notion of Total Di erential of a Function of Several Variables (Complete Di erential) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2.2 Derivatives and Di erentials of Higher Order . . . . . . . . . . . .
6.2.2.3 Taylor's Theorem for Functions of Several Variables . . . . . . . .
6.2.3 Rules of Di erentiation for Functions of Several Variables . . . . . . . . . .
6.2.3.1 Di erentiation of Composite Functions . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3.2 Di erentiation of Implicit Functions . . . . . . . . . . . . . . . . .

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XX Contents
6.2.4 Substitution of Variables in Di erential Expressions and Coordinate Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4.1 Function of One Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4.2 Function of Two Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.5 Extreme Values of Functions of Several Variables . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.5.1 De nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.5.2 Geometric Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.5.3 Determination of Extreme Values of Functions of Two Variables . .
6.2.5.4 Determination of the Extreme Values of a Function of n Variables .
6.2.5.5 Solution of Approximation Problems . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.5.6 Extreme Value Problem with Side Conditions . . . . . . . . . . . .

7 In nite Series
7.1

7.2

7.3

Sequences of Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Properties of Sequences of Numbers . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1.1 De nition of Sequence of Numbers . . . . . . . . . .
7.1.1.2 Monotone Sequences of Numbers . . . . . . . . . .
7.1.1.3 Bounded Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Limits of Sequences of Numbers . . . . . . . . . . . . . . . .
Number Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 General Convergence Theorems . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1.1 Convergence and Divergence of In nite Series . . . .
7.2.1.2 General Theorems about the Convergence of Series .
7.2.2 Convergence Criteria for Series with Positive Terms . . . . . .
7.2.2.1 Comparison Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2.2 D'Alembert's Ratio Test . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2.3 Root Test of Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2.4 Integral Test of Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Absolute and Conditional Convergence . . . . . . . . . . . .
7.2.3.1 De nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3.2 Properties of Absolutely Convergent Series . . . . .
7.2.3.3 Alternating Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4 Some Special Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4.1 The Values of Some Important Number Series . . .
7.2.4.2 Bernoulli and Euler Numbers . . . . . . . . . . . .
7.2.5 Estimation of the Remainder . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.5.1 Estimation with Majorant . . . . . . . . . . . . . .
7.2.5.2 Alternating Convergent Series . . . . . . . . . . . .
7.2.5.3 Special Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Function Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 De nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Uniform Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2.1 De nition, Weierstrass Theorem . . . . . . . . . . .
7.3.2.2 Properties of Uniformly Convergent Series . . . . .
7.3.3 Power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3.1 De nition, Convergence . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3.2 Calculations with Power Series . . . . . . . . . . . .
7.3.3.3 Taylor Series Expansion, Maclaurin Series . . . . . .
7.3.4 Approximation Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.5 Asymptotic Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.5.1 Asymptotic Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.5.2 Asymptotic Power Series . . . . . . . . . . . . . . .

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Contents XXI

7.4

Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Trigonometric Sum and Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1.1 Basic Notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1.2 Most Important Properties of the Fourier Series . . . . .
7.4.2 Determination of Coe cients for Symmetric Functions . . . . . . .
7.4.2.1 Di erent Kinds of Symmetries . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2.2 Forms of the Expansion into a Fourier Series . . . . . . .
7.4.3 Determination of the Fourier Coe cients with Numerical Methods
7.4.4 Fourier Series and Fourier Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.5 Remarks on the Table of Some Fourier Expansions . . . . . . . . .

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Inde nite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Primitive Function or Antiderivative . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1.1 Inde nite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1.2 Integrals of Elementary Functions . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Rules of Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.3 Integration of Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.3.1 Integrals of Integer Rational Functions (Polynomials) . . .
8.1.3.2 Integrals of Fractional Rational Functions . . . . . . . . . .
8.1.3.3 Four Cases of Partial Fraction Decomposition . . . . . . . .
8.1.4 Integration of Irrational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.4.1 Substitution to Reduce to Integration of Rational Functions
8.1.4.2 Integration of Binomial Integrands . . . . . . . . . . . . . .
8.1.4.3 Elliptic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.5 Integration of Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.5.1 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.5.2 Simpli ed Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.6 Integration of Further Transcendental Functions . . . . . . . . . . .
8.1.6.1 Integrals with Exponential Functions . . . . . . . . . . . .
8.1.6.2 Integrals with Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . .
8.1.6.3 Application of Integration by Parts . . . . . . . . . . . . .
8.1.6.4 Integrals of Transcendental Functions . . . . . . . . . . . .
De nite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2.1 Basic Notions, Rules and Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1.1 De nition and Existence of the De nite Integral . . . . . .
8.2.1.2 Properties of De nite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1.3 Further Theorems about the Limits of Integration . . . . .
8.2.1.4 Evaluation of the De nite Integral . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Application of De nite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2.1 General Principles for Application of the De nite Integral .
8.2.2.2 Applications in Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2.3 Applications in Mechanics and Physics . . . . . . . . . . .
8.2.3 Improper Integrals, Stieltjes and Lebesgue Integrals . . . . . . . . .
8.2.3.1 Generalization of the Notion of the Integral . . . . . . . . .
8.2.3.2 Integrals with In nite Integration Limits . . . . . . . . . .
8.2.3.3 Integrals with Unbounded Integrand . . . . . . . . . . . . .
8.2.4 Parametric Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.4.1 De nition of Parametric Integrals . . . . . . . . . . . . . .
8.2.4.2 Di erentiation Under the Symbol of Integration . . . . . .
8.2.4.3 Integration Under the Symbol of Integration . . . . . . . .
8.2.5 Integration by Series Expansion, Special Non-Elementary Functions .

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8 Integral Calculus
8.1

8.2

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XXII Contents
8.3

8.4

8.5

Line Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Line Integrals of the First Type . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1.1 De nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1.2 Existence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1.3 Evaluation of the Line Integral of the First Type . . .
8.3.1.4 Application of the Line Integral of the First Type . . .
8.3.2 Line Integrals of the Second Type . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2.1 De nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2.2 Existence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2.3 Calculation of the Line Integral of the Second Type . .
8.3.3 Line Integrals of General Type . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3.1 De nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3.2 Properties of the Line Integral of General Type . . . .
8.3.3.3 Integral Along a Closed Curve . . . . . . . . . . . . .
8.3.4 Independence of the Line Integral of the Path of Integration . .
8.3.4.1 Two-Dimensional Case . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.4.2 Existence of a Primitive Function . . . . . . . . . . .
8.3.4.3 Three-Dimensional Case . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.4.4 Determination of the Primitive Function . . . . . . .
8.3.4.5 Zero-Valued Integral Along a Closed Curve . . . . . .

Multiple Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Double Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1.1 Notion of the Double Integral . . . . . . . . . . . . .
8.4.1.2 Evaluation of the Double Integral . . . . . . . . . . .
8.4.1.3 Applications of the Double Integral . . . . . . . . . .
8.4.2 Triple Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2.1 Notion of the Triple Integral . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2.2 Evaluation of the Triple Integral . . . . . . . . . . . .
8.4.2.3 Applications of the Triple Integral . . . . . . . . . . .
Surface Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1 Surface Integral of the First Type . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1.1 Notion of the Surface Integral of the First Type . . . .
8.5.1.2 Evaluation of the Surface Integral of the First Type .
8.5.1.3 Applications of the Surface Integral of the First Type
8.5.2 Surface Integral of the Second Type . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.2.1 Notion of the Surface Integral of the Second Type . .
8.5.2.2 Evaluation of Surface Integrals of the Second Type . .
8.5.3 Surface Integral in General Form . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.3.1 Notion of the Surface Integral in General Form . . . .
8.5.3.2 Properties of the Surface Integrals . . . . . . . . . . .
8.5.3.3 An Application of the Surface Integral . . . . . . . . .

9 Di erential Equations
9.1

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Ordinary Di erential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 First-Order Di erential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1.1 Existence Theorems, Direction Field . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1.2 Important Solution Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1.3 Implicit Di erential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1.4 Singular Integrals and Singular Points . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1.5 Approximation Methods for Solution of First-Order Di erential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2 Di erential Equations of Higher Order and Systems of Di erential Equations

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Contents XXIII

9.2

9.1.2.1 Basic Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
9.1.2.2 Lowering the Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
9.1.2.3 Linear n-th Order Di erential Equations . . . . . . . . . . . . . . 500
9.1.2.4 Solution of Linear Di erential Equations with Constant Coe cients 502

9.1.2.5 Systems of Linear Di erential Equations with Constant Coe cients 505
9.1.2.6 Linear Second-Order Di erential Equations . . . . . . . . . . . . . 507
9.1.3 Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
9.1.3.1 Problem Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
9.1.3.2 Fundamental Properties of Eigenfunctions and Eigenvalues . . . . 515
9.1.3.3 Expansion in Eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
9.1.3.4 Singular Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
Partial Di erential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
9.2.1 First-Order Partial Di erential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
9.2.1.1 Linear First-Order Partial Di erential Equations . . . . . . . . . . 517
9.2.1.2 Non-Linear First-Order Partial Di erential Equations . . . . . . . 519
9.2.2 Linear Second-Order Partial Di erential Equations . . . . . . . . . . . . . . 522
9.2.2.1 Classi cation and Properties of Second-Order Di erential Equations
with Two Independent Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
9.2.2.2 Classi cation and Properties of Linear Second-Order Di erential Equations with more than two Independent Variables . . . . . . . . . . 523
9.2.2.3 Integration Methods for Linear Second-Order Partial Di erential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
9.2.3 Some further Partial Di erential Equations From Natural Sciences and Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
9.2.3.1 Formulation of the Problem and the Boundary Conditions . . . . . 534
9.2.3.2 Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
9.2.3.3 Heat Conduction and Di usion Equation for Homogeneous Media . 537
9.2.3.4 Potential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
9.2.3.5 Schrodinger's Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
9.2.4 Non-Linear Partial Di erential Equations: Solitons, Periodic Patterns and Chaos 546
9.2.4.1 Formulation of the Physical-Mathematical Problem . . . . . . . . 546
9.2.4.2 Korteweg de Vries Equation (KdV) . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
9.2.4.3 Non-Linear Schrodinger Equation (NLS) . . . . . . . . . . . . . . 549
9.2.4.4 Sine{Gordon Equation (SG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
9.2.4.5 Further Non-linear Evolution Equations with Soliton Solutions . . 551

10 Calculus of Variations

10.1 De ning the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Historical Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Isoperimetric Problem . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2 Brachistochrone Problem . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Variational Problems of One Variable . . . . . . . . . . . . .
10.3.1 Simple Variational Problems and Extremal Curves . .
10.3.2 Euler Di erential Equation of the Variational Calculus
10.3.3 Variational Problems with Side Conditions . . . . . .
10.3.4 Variational Problems with Higher-Order Derivatives .
10.3.5 Variational Problem with Several Unknown Functions
10.3.6 Variational Problems using Parametric Representation
10.4 Variational Problems with Functions of Several Variables . . .
10.4.1 Simple Variational Problem . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.2 More General Variational Problems . . . . . . . . . .
10.5 Numerical Solution of Variational Problems . . . . . . . . . .

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XXIV Contents
10.6 Supplementary Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
10.6.1 First and Second Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
10.6.2 Application in Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562

11 Linear Integral Equations

11.1 Introduction and Classi cation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Fredholm Integral Equations of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1 Integral Equations with Degenerate Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2 Successive Approximation Method, Neumann Series . . . . . . . . . . . . .
11.2.3 Fredholm Solution Method, Fredholm Theorems . . . . . . . . . . . . . . .

11.2.3.1 Fredholm Solution Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.3.2 Fredholm Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.4 Numerical Methods for Fredholm Integral Equations of the Second Kind . .
11.2.4.1 Approximation of the Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.4.2 Kernel Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.4.3 Collocation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Fredholm Integral Equations of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1 Integral Equations with Degenerate Kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2 Analytic Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.3 Reduction of an Integral Equation into a Linear System of Equations . . . .
11.3.4 Solution of the Homogeneous Integral Equation of the First Kind . . . . . .
11.3.5 Construction of Two Special Orthonormal Systems for a Given Kernel . . .
11.3.6 Iteration Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Volterra Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.1 Theoretical Foundations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.2 Solution by Di erentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.3 Solution of the Volterra Integral Equation of the Second Kind by Neumann
Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.4 Convolution Type Volterra Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.5 Numerical Methods for Volterra Integral Equations of the Second Kind . . .
11.5 Singular Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.1 Abel Integral Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.2 Singular Integral Equation with Cauchy Kernel . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.2.1 Formulation of the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.2.2 Existence of a Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.2.3 Properties of Cauchy Type Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.2.4 The Hilbert Boundary Value Problem . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.2.5 Solution of the Hilbert Boundary Value Problem (in short: Hilbert
Problem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.2.6 Solution of the Characteristic Integral Equation . . . . . . . . . .

12 Functional Analysis

12.1 Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.1 Notion of a Vector Space . . . . . . . . . . . .
12.1.2 Linear and A ne Linear Subsets . . . . . . . .
12.1.3 Linearly Independent Elements . . . . . . . . .
12.1.4 Convex Subsets and the Convex Hull . . . . . .
12.1.4.1 Convex Sets . . . . . . . . . . . . . .
12.1.4.2 Cones . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.5 Linear Operators and Functionals . . . . . . .
12.1.5.1 Mappings . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.5.2 Homomorphism and Endomorphism .

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Contents XXV

12.2

12.3

12.4

12.5

12.1.5.3 Isomorphic Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.6 Complexi cation of Real Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.7 Ordered Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.7.1 Cone and Partial Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.7.2 Order Bounded Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.7.3 Positive Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.7.4 Vector Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1 Notion of a Metric Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1.1 Balls, Neighborhoods and Open Sets . . . . . . . . . . . .
12.2.1.2 Convergence of Sequences in Metric Spaces . . . . . . . .
12.2.1.3 Closed Sets and Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1.4 Dense Subsets and Separable Metric Spaces . . . . . . . .
12.2.2 Complete Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.2.1 Cauchy Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.2.2 Complete Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.2.3 Some Fundamental Theorems in Complete Metric Spaces
12.2.2.4 Some Applications of the Contraction Mapping Principle
12.2.2.5 Completion of a Metric Space . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.3 Continuous Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Normed Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.1 Notion of a Normed Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.1.1 Axioms of a Normed Space . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.1.2 Some Properties of Normed Spaces . . . . . . . . . . . .
12.3.2 Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.2.1 Series in Normed Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.2.2 Examples of Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.2.3 Sobolev Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.3 Ordered Normed Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.4 Normed Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1 Notion of a Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1.1 Scalar Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1.2 Unitary Spaces and Some of their Properties . . . . . . .
12.4.1.3 Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.2 Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.2.1 Properties of Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.2.2 Orthogonal Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.3 Fourier Series in Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.3.1 Best Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.3.2 Parseval Equation, Riesz{Fischer Theorem . . . . . . . .
12.4.4 Existence of a Basis, Isomorphic Hilbert Spaces . . . . . . . . . . .
Continuous Linear Operators and Functionals . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.1 Boundedness, Norm and Continuity of Linear Operators . . . . . .
12.5.1.1 Boundedness and the Norm of Linear Operators . . . . .
12.5.1.2 The Space of Linear Continuous Operators . . . . . . . .
12.5.1.3 Convergence of Operator Sequences . . . . . . . . . . . .
12.5.2 Linear Continuous Operators in Banach Spaces . . . . . . . . . . .
12.5.3 Elements of the Spectral Theory of Linear Operators . . . . . . . .
12.5.3.1 Resolvent Set and the Resolvent of an Operator . . . . . .

12.5.3.2 Spectrum of an Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.4 Continuous Linear Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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XXVI Contents

12.6

12.7

12.8

12.9

12.5.4.1 De nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.4.2 Continuous Linear Functionals in Hilbert Spaces, Riesz Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.4.3 Continuous Linear Functionals in L p . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.5 Extension of a Linear Functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.6 Separation of Convex Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.7 Second Adjoint Space and Re exive Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Adjoint Operators in Normed Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.1 Adjoint of a Bounded Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.2 Adjoint Operator of an Unbounded Operator . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.3 Self-Adjoint Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.3.1 Positive De nite Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.3.2 Projectors in a Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Compact Sets and Compact Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.1 Compact Subsets of a Normed Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.2 Compact Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.2.1 De nition of Compact Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.2.2 Properties of Linear Compact Operators . . . . . . . . . . . . . .
12.7.2.3 Weak Convergence of Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.3 Fredholm Alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.4 Compact Operators in Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.5 Compact Self-Adjoint Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Non-Linear Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8.1 Examples of Non-Linear Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8.2 Di erentiability of Non-Linear Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8.3 Newton's Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8.4 Schauder's Fixed-Point Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8.5 Leray{Schauder Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8.6 Positive Non-Linear Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.8.7 Monotone Operators in Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Measure and Lebesgue Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.1 Sigma Algebra and Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.2 Measurable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.2.1 Measurable Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.2.2 Properties of the Class of Measurable Functions . . . . . . . . . .
12.9.3 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.3.1 De nition of the Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.3.2 Some Properties of the Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.3.3 Convergence Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.4 Lp Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.5 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.5.1 Formula of Partial Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.5.2 Generalized Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.5.3 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9.5.4 Derivative of a Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 Vector Analysis and Vector Fields

13.1 Basic Notions of the Theory of Vector Fields . . . . .
13.1.1 Vector Functions of a Scalar Variable . . . .
13.1.1.1 De nitions . . . . . . . . . . . . . .
13.1.1.2 Derivative of a Vector Function . .
13.1.1.3 Rules of Di erentiation for Vectors

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