TÍNH ĐỘ VÕNG VÀ TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA TẤM HÌNH BÌNH HÀNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

i

LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin chân thành cảm ơn Trường đại học Xây dựng, Khoa Sau
đại học, Khoa xây dựng Dân dụng và Công nghiệp đã giúp đỡ, tạo điều kiện
thuận lợi nhất trong quá trình học tập và thực hiện Luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS Trần Minh Tú đã tận
tình hướng dẫn, cùng tất cả các thầy cô ở Bộ môn Sức bền Vật liệu của
trường Đại học Xây dựng đã đóng góp ý kiến giúp tác giả hoàn thành luận
văn một cách tốt nhất
Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã
giúp đỡ tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này
Với khả năng và thời gian nghiên cứu có hạn, hy vọng rằng luận văn
có thể góp được một phần nhỏ trong tính toán thiết kế tấm hình bình hành,
tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn đồng
nghiệp./.

Học viên

Tống Thị Như Hiển


ii

MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn….................................................................................................... i
Mục lục............................................................................................................. ii
Danh mục các ký hiệu......................................................................................iv
Danh mục các bảng...........................................................................................v
Danh mục các hình vẽ, đồ thị............................................................................v

MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
Chương 1: Lý thuyết tấm và các phương trình cơ bản................................5
1.1. Lý thuyết tấm cổ điểm Kirchhoff – Love..................................................5
1.1.1. Giả thiết Kirchhoff.......................................................................6
1.1.2. Các thành phần chuyển vị, biến dạng...........................................6
1.1.3. Các thành phần ứng suất - ứng lực...............................................9
1.1.4. Các phương trình cân bằng – Phương trình vi phân mặt đàn
hồi....................................................................................................................12
1.1.5. Điều kiện biên.............................................................................13
1.2. Lý thuyết tấm Reissner – Mindlin............................................................16
1.2.1. Các giả thiết.................................................................................16
1.2.2. Các thành phần chuyển vị...........................................................17
1.2.3. Các thành phần biến dạng...........................................................17
1.2.4. Các thành phần ứng suất - ứng lực.............................................18
1.2.5. Hệ phương trình cân bằng cho bài toán tĩnh...............................20
Chương 2 : Phân tích tấm hình bình hành bằng phương pháp phần tử
hữu hạn...........................................................................................................21
2.1. Đặt vấn đề................................................................................................21
2.2. Thiết lập thuật toán..................................................................................22


iii

2.2.1. Phần tử đẳng tham số tám nút....................................................22
2.2.2. Quan hệ giữa tọa độ xiên và hệ tọa độ vuông góc......................26
2.2.3. Phương trình phần tử hữu hạn.....................................................27
2.3. Tích phân số và ghép nối phần tử.............................................................30
2.3.1. Thuật toán ghép nối phần tử........................................................30
2.3.2. Tích phân số................................................................................31
2.3.3. Tích phân ma trận độ cứng..........................................................34

2.3.4. Chương trình tính........................................................................35
2.4. Tính toán tấm hình bình hành bằng chương trình ANSYS......................36
Chương 3 : Ví dụ số......................................................................................48
3.1. Tính toán độ võng.....................................................................................49
3.1.1. Kiểm chứng chương trình viết bằng Matlab với phần mềm
Ansys...............................................................................................................49
3.1.2. Khảo sát ảnh hưởng của tỷ số cạnh b/a đến độ võng..................50
3.1.3. Khảo sát ảnh hưởng của góc nghiêng đến độ võng.....................51
3.2. Tính toán tần số dao động........................................................................53
3.2.1. Kiểm chứng chương trình viết bằng Matlab với phần mềm
Ansys...............................................................................................................53
3.2.2. Khảo sát ảnh hưởng của tỷ số cạnh b/a đến tần số dao
động.................................................................................................................56
3.3.3. Khảo sát ảnh hưởng của góc nghiêng đến tần số dao
động.................................................................................................................60
KẾT LUẬN.....................................................................................................65
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................66
PHỤ LỤC........................................................................................................67


iv

DANH MỤC KÝ HIỆU
h:

Chiều dầy của tấm

β :

Góc nghiêng của tấm so với trục y

u , v, z :

Các thành phần chuyển vị trên mặt trung bình.

ε1 , ε 2 :

Các thành phần biến dạng dài tỉ đối theo phương x, y.

γ 12 :

Các biến dạng góc.

N1 , N 2 :

Các thành phần lực dọc theo phương x, y.

N12 , N 21 :

Lực màng theo phương x, y.

Q1 , Q2 :

Lực cắt theo phương x, y

M1, M 2 :

Mô men uốn quanh trục y, x

M 12 , M 21 : Mô men xoắn.

D :

Độ cứng uốn hay là độ cứng trụ của tấm.

G :

Mô đun dàn hồi trượt.

ν :

Hệ số nở ngang Poisson.

E :

Mô đun đàn hồi Young

ω :

Tần số dao động riêng (rad/s)

f :

Tần số dao động riêng (Hz)

λ :

Tần số dao động riêng (không thứ nguyên)


v

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1. Điểm Gauss và hàm trọng lượng....................................................34
Bảng 3.1. Độ võng của tấm hình bình hành tại mặt cắt song song trục x và đi
qua tâm............................................................................................................49
Bảng 3.2. Độ võng lớn nhất của tấm tại tâm phụ thuộc tỷ lệ cạnh.................50
Bảng 3.3. Độ võng lớn nhất của tấm tại tâm phụ thuộc góc nghiêng.............52
Bảng 3.4. Tần số dao động không thứ nguyên của tấm..................................53
Bảng 3.5a. Tần số dao động không thứ nguyên phụ thuộc tỷ lệ cạnh với điều
kiện biên N-N-N-N..........................................................................................56
Bảng 3.5b. Tần số dao động không thứ nguyên phụ thuộc tỷ lệ cạnh với điều
kiện biên K-K-K-K..........................................................................................57
Bảng 3.6a. Tần số dao động không thứ nguyên phụ thuộc góc nghiêng với
điều kiện biên N-N-N-N..................................................................................60
Bảng 3.6b. Tần số dao động không thứ nguyên phụ thuộc góc nghiêng với
điều kiện biên K-K-K-K..................................................................................61

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 0.1. Tấm và mặt phẳng trung bình………………………………………1
Hình 0.2. Các tấm bản sàn, mái, nắp cống hình dạng khác nhau……………..2
Hình 1.1. Tấm chữ nhật chịu uốn……………………………………………..7
Hình 1.2. Biến dạng trong mặt phẳng xoz…………………………………….7
Hình 1.3. Biến dạng trong mặt phẳng yoz…………………………………….8
Hình 1.4. Các thành phần ứng suất trong phân tố tấm………………………10
Hình 1.5. ứng lực trên phân tố tấm chịu uốn………………………………...11
Hình 1.6. Điều kiện biên của tấm chữ nhật………………………………….13
Hình 1.7. Biên chéo………………………………………………………….15


vi

Hình 1.8. Biên cong………………………………………………………..15
Hình 1.9. Biến dạng của pháp tuyến thẳng theo các lý thuyết……………..16
Hình 2.1. Phần tử đẳng tham số 8 nút và phần tử tham chiếu………………24
Hình 2.2. Hệ tọa độ vuông góc và hệ tọa độ xiên góc………………………27
Hình 2.3. Sơ đồ thuật toán ghép nối phần tử………………………………...31
Hình 2.4. Cầu phương 1 điểm Gauss………………………………………...33
Hình 2.5. Điểm Gauss theo qui tắc tích phân 2 điểm………………………..36
Hình 2.6. Lưu đồ giải bài toán tĩnh………………………………………….36
Hình 2.7. Lưu đồ giải bài toán động…………………………………………37
Hình 2.8. Phần tử một chiều…………………………………………………41
Hình 2.9. Phần tử phẳng……………………………………………………..42
Hình 2.10. Phần tử vỏ Shell 63………………………………………………42
Hình 2.11. Phần tử khối……………………………………………………...43
Hình 2.12. Phần tử Shell 181………………………………………………...44
Hình 2.13. Phần tử Shell 93………………………………………………….45
Hình 3.1. Mô hình tấm hình bình hành……………………………………...48
Hình 3.2. Độ võng của tấm hình bình hành ngàm bên chu vi……………….49
Hình 3.3. Đồ thị độ võng lớn nhất…………………………………………...51
Hình 3.4. Độ võng lớn nhất của tấm theo góc nghiêng……………………...52
Hình 3.5. Hình ảnh dao động tấm hình bình hành ngàm chu vi……………..55
Hình 3.6. Dao động tấm theo tỷ lệ cạnh……………………………………..59
Hình 3.7. Dao động tấm theo góc nghiêng…………………………………..63


1

MỞ ĐẦU

Tấm là vật thể phẳng có chiều cao (thường gọi là bề dày) nhỏ hơn

nhiều so với kích thước theo hai phương còn lại). Mặt phẳng chia đều bề dày
tấm gọi là mặt trung bình hoặc mặt trung gian của tấm. Giao tuyến của mặt
trung bình với các mặt bên gọi là chu tuyến của tấm. Sự biến dạng của tấm
được biểu thị bằng sự biến dạng của mặt trung bình, do đó mặt này còn được
gọi là mặt đàn hồi của tấm.

Hình 0.1. Tấm và mặt phẳng trung bình
Sử dụng các cấu kiện dạng tấm sẽ làm nhẹ kết cấu, mang lại hiệu quả
kinh tế cao, do vậy tấm ngày càng được sử dụng nhiều trong các công trình.
Các ứng dụng đặc trưng trong ngành xây dựng dân dụng là: bản sàn, nền,
tường, mặt cầu, ... Tấm còn được sử dụng rộng rãi trong công nghiệp đóng
tầu, công nghiệp hàng không (cánh cửa, vách ngăn,...)


2

Tấm hình bình hành được ứng dụng trong nhiều kết cấu hiện đại mặc
dù khi nghiên cứu chúng thường gặp nhiều khó khăn về mặt toán học. Cánh
đón gió của máy bay có thể mô hình hóa như một tấm xiên góc; kết cấu cầu,
nhà ở dân dụng,.. cũng tìm thấy nhiều bản sàn dạng hình bình hành.

Hình 0.2. Các tấm bản sàn, mái, nắp cống hình dạng khác nhau
Lời giải chính xác của phương trình vi phân độ võng rất cồng kềnh do
phải biểu diễn trong hệ tọa độ không phải là vuông góc. Lời giải giải tích
thường dựa vào một trong các dạng hàm độ võng: chuỗi lượng giác đơn,
chuỗi lượng giác kép, chuỗi Fourier, đa thức, ... Ganga Rao và Chaudhary [3]
đã kết hợp chuỗi lượng giác và chuỗi đa thức với các hệ số chưa biết để phân
tích uốn tấm xiên góc. Phương pháp sai phân hữu hạn [4] cũng được sử dụng
khi nghiên cứu tấm xiên góc nhưng cũng hạn chế với các góc xiên bé. Dao
động riêng của tấm xiên góc với các điều kiện biên ngàm và khớp trên chu vi

đã được Durvasula nghiên cứu [5,6]. Hasegawa [7] tính tần số dao động riêng
của tấm xiên góc sử dụng dãy đa thức và phương pháp Rayleigh – Ritz.


3

Hamada [8] sử dụng phương pháp nhân tử Lagrangian và hàm lượng giác để
tính toán tần số dao động riêng tấm hình bình hành.
Phương pháp phần tử hữu hạn phát triển với giả thiết biến dạng bé đối
với tấm mỏng hình bình hành. Trường chuyển vị trên cơ sở phần tử tấm uốn
của Kirchhoff, bỏ qua biến dạng cắt ngang được sử dụng để phân tích tấm
xiên góc [9]. Reissner và Mindlin [10, 11] là những tác giả đầu tiên đưa ra lý
thuyết biến dạng cắt bậc nhất dựa trên các giả thiết tấm mỏng về biến thiên
của trường ứng suất và biến dạng theo chiều dày tấm. Cả hai lý thuyết đều
dẫn đến hệ phương trình cân bằng là hệ phương trình vi phân cấp 6 và để giải
chúng cần ba điều kiện biên trên mỗi cạnh. Lý thuyết Reissner – Mindlin chỉ
đòi hỏi sử dụng phần tử liên tục C 0. Trường chuyển vị trên cơ sở phần tử
Mindlin cho kết quả tin cậy đối với tấm xiên góc. Ngoài ra còn nhiều phương
pháp khác được sử dụng khi nghiên cứu về tấm xiên góc, như phương pháp
biến phân, phương pháp dải hữu hạn,phương pháp độ cứng tương đương, và
cả phương pháp thực nghiệm,...[11].
Các nghiên cứu về tĩnh và động kể trên với tấm hình bình hành làm
bằng vật liệu đẳng hướng, vật liệu composite, vật liệu có cơ tính biến thiên,…
đã được nhiều tác giả công bố. Chương trình đào tạo thạc sĩ ngành Xây dựng
dân dụng và công nghiệp, đã được trang bị thêm cho học viên những kiến
thức chuyên sâu thông qua nhiều môn học: Lý thuyết tấm và vỏ mỏng,
Phương pháp Phần tử hữu hạn, …Việc áp dụng những kiến thức đã học để
giải quyết trọn vẹn bài toán thiết kế đặt ra là một thách thức.
Mục đích của luận văn là hệ thống hóa các hệ thức, phương trình cơ
bản cho bài toán tấm nói chung và bài toán tấm hình bình hành nói riêng trên

cơ sở lý thuyết tấm bậc nhất của Reissner-Mindlin. Để tính toán độ võng và
tần số dao động riêng của tấm hình bình hành, thuật toán Phần tử hữu hạn và
chương trình tính sẽ được xây dựng để tính toán số các lớp bài toán nhằm rút


4

ra các nhận xét, kết luận bổ ích đối với các kỹ sư thiết kế. Với mục đích nêu
trên tác giả đã lựa chọn nội dung nghiên cứu với tiêu đề:
“TÍNH ĐỘ VÕNG VÀ TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA TẤM HÌNH
BÌNH HÀNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN”
Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương chính và kết luận:
PHẦN MỞ ĐẦU
Chương 1: Lý thuyết tấm và các phương trình cơ bản
Chương 2: Phân tích tấm hình bình hành bằng phương pháp phần tử hữu hạn
Chương 3: Ví dụ số
KẾT LUẬN
Phần phụ lục giới thiệu chương trình nguồn tính toán số các lớp bài toán.

CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT TẤM VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH
CƠ BẢN


5

Để phân tích các cấu kiện dạng tấm, căn cứ vào độ lớn tương đối giữa
chiều dày tấm và kích thước chu tuyến (h/L min), có thể phân thành các loại
chính sau đây:
-


Tấm mỏng  h / L =


1 1
÷ ÷ là các tấm mỏng với độ cứng uốn, trạng thái
50 10 

ứng suất là trạng thái ứng suất phẳng, có thể bỏ qua ứng suất theo phương
chiều dày tấm.
-




1 


Màng mỏng  h / L < ÷, là tấm rất mỏng, độ cứng uốn bằng 0, do vậy
50

chỉ tồn tại các nội lực màng (lực dọc và lực cắt)
-


Tấm có chiều dày trung bình  h / L =


1 1
÷ ÷, tương tự như tấm mỏng

10 5 

nhưng phải kể đến ảnh hưởng của lực cắt.
-

1

Tấm dày  h / L > ÷, trạng thái ứng suất là trạng thái ứng suất khối


5

Mỗi loại tấm đều kèm theo một lý thuyết tấm phù hợp khi phân tích các
bài toán cụ thể. Lý thuyết tấm cổ điển của Kirchhoff – Love được áp dụng
cho tấm mỏng, và lý thuyết tấm bậc nhất của Reissner – Mindlin được áp
dụng cho các tấm có chiều dày trung bình, với tấm dày lại sử dụng các lý
thuyết bậc cao.
1.1.

Lý thuyết tấm cổ điển Kirchhoff – Love.
Phân tích trường ứng suất trong tấm mỏng chịu tác dụng của tải trọng

vuông góc với bề mặt tấm dẫn đến phải giải các phương trình vi phân trong lý
thuyết đàn hồi ba chiều. Tuy nhiên trong phần lớn các trường hợp ta gặp khó
khăn về mặt toán học khi giải các phương trình vi phân này. Với các bài toán
kỹ thuật, áp dụng lý thuyết tấm mỏng của Kirchhoff có thể cho ta lời giải mà
không cần đến lý thuyết đàn hồi ba chiều. Lý thuyết tấm cổ điển Kirchhoff
dựa trên các giả thiết cơ bản sau:
1.1.1. Giả thiết Kirchhoff.

6

Xét tấm chữ nhật chiều dày không đổi, chịu uốn bởi tải trọng vuông
góc với mặt trung bình, lý thuyết tấm của Kirchhoff dựa trên những giả thiết
sau [2]:
1.
Vật liệu đồng nhất, đẳng hướng và đàn hồi tuyến tính
2.
Hình dạng hình học ban đầu của tấm là phẳng.
3.
Mặt trung bình của tấm không bị biến dạng khi chịu uốn (remain
unstrained)
4.
Chiều dày của tấm là rất bé so với các kích thước còn lại (h/l min<1/10).
Chuyển vị theo phương chiều dày tấm (còn gọi là độ võng) w(x,y) là bé so
với chiều dày tấm. (wmax/h<1/10: chuyển vị bé)
5.
Pháp tuyến thẳng và vuông góc với mặt trung bình trước biến dạng, sau
biến dạng vẫn thẳng, vuông góc với mặt trung bình và có chiều dài không đổi.
6.
Góc xoay của pháp tuyến mặt đàn hồi là vô cùng bé so với đơn vị.
7.
Bỏ qua ứng suất pháp σz theo phương chiều dày tấm.
Chấp nhận các giả thiết kể trên, bài toán ứng suất khối của lý thuyết
đàn hồi được đưa về bài toán ứng suất phẳng của tấm. Với tấm chữ nhật, ta sử
dụng hệ tọa độ vuông góc với các trục là x, y, z. Các nội, ngoại lực, ứng suất,
và các thành phần chuyển vị u, v, w được coi là dương khi có chiều cùng với
chiều dương các trục x, y, z. Chiều mô men dương khi làm căng thớ dưới như
qui ước của Sức bền vật liệu.

1.1.2. Các thành phần chuyển vị, biến dạng.
Xét hai điểm A, B trên pháp tuyến của mặt trung bình trước biến dạng.
Sau biến dạng vị trí của chúng là A1, B1.


7

Hình 1.1. Tấm chữ nhật chịu uốn
Ký hiệu u0, v0 là chuyển vị của điểm A trên mặt trung bình (z = 0) ; u, v
là chuyển vị của điểm B (có tọa độ z so với mặt trung bình).
Xét mặt phẳng xOz song song với cạnh a.
Theo định nghĩa, biến dạng góc trong mặt phẳng xOz :

γ xz =

∂w ∂u
+
∂x ∂z

Mà theo giả thiết (5) thì: γ xz = 0

Hình 1.2. Biến dạng trong mặt phẳng xOz
Do vậy:

∂u
∂w
=−
, tích phân hai vế ta nhận được:
∂z
∂x

u = u z =0 − z

∂w
∂w
= u0 − z
∂x
∂x


8

Hình 1.3. Biến dạng trong mặt phẳng yOz
Tương tự, trong mặt phẳng yOz, biến dạng góc theo định nghĩa có
dạng:

γ yz =

∂v ∂w
+
∂z ∂y

Mà theo giả thiết (5): γ yz = 0
Suy ra:

∂v
∂w
=−
, tích phân hai vế ta cũng nhận được:
∂z
∂y

v = v z =0 − z

∂w
∂w
= v0 − z
∂y
∂y

Cũng từ giả thiết (5), biến dạng dài ε z =

∂w
= 0 , ta thấy chuyển vị w chỉ
∂z

là hàm của hai biến x, y không phụ thuộc vào z. Do đó w0=w(x,y), nghĩa là
mọi điểm nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt trung bình đều có chuyển
vị theo phương chiều dày tấm như nhau.
Từ giả thiết (3), mặt trung bình không bị biến dạng nên: u0 = v0 = 0
Vậy ta có:


9

u = −z

∂w0
∂w0
; v = −z
: w = w0 ( x, y )
∂y

∂x

(1.1)

Thay các biểu thức chuyển vị vào biểu thức quan hệ chuyển vị - biến
dạng, ta thu được các biểu thức biểu diễn các thành phần biến dạng theo
chuyển vị:
∂u
∂2w
∂v
∂ 2w
∂u ∂v
∂2w
εx =
= − z 2 ;ε y =
= − z 2 ; γ xy =
+
= −2 z
∂x
∂x
∂y
∂y
∂y ∂x
∂x∂y

(1.2)

1.1.3. Các thành phần ứng suất - Ứng lực.
Xét phân tố tấm tách ra từ hai cặp mặt vuông góc với mặt trung gian
cách nhau khoảng dx, và dy, chiều cao phân tố bằng chiều cao h (hình 1.6).

Theo giả thiết Kirchhoff, phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng, trên các mặt
vuông góc với các trục có các thành phần σx, σy, τxy. Còn các thành phần τxz =
τyz = 0.
Theo định luật Hooke tổng quát, liên hệ giữa các thành phần ứng suất
và các thành phần biến dạng cho bởi phương trình:
E
(ε x + νε y )
1 −ν 2
E
σy =
(ε y + νε x )
1 −ν 2
E
τ xy =
γ xy
2(1 + ν )

σx =

(1.3a)

Thay các thành phần biến dạng biểu diễn qua các thành phần chuyển vị
trong (1.2) vào (1.3a) ta nhận được:


10

σx =

E

Ez ∂ 2 w
∂ 2w
(
ε
+
νε
)
=
−
(
+
ν
)
x
y
1 −ν 2
1 − ν 2 ∂x 2
∂y 2

E
Ez ∂ 2 w
∂ 2w
σy =
(ε y + νε x ) = −
(
+ν 2 )
1 −ν 2
1 − ν 2 ∂y 2
∂x

τ xy =

(1.3b)

E
Ez ∂ 2 w
γ xy = −
2(1 + ν )
(1 + ν ) ∂x∂y

Hình 1.4. Các thành phần ứng suất trong phân tố tấm
Các ứng lực trên đơn vị dài tương ứng được xác định theo định nghĩa
h /2

Nx =

∫ σ dz

h /2

x

− h /2

;

Ny =

∫σ

− h /2

h /2
y

dz

;

N xy =

∫τ

− h /2

xy

dz

(1.4)

Đối với tấm mỏng chịu uốn các thành phần lực màng trong (1.4) đều
bằng không.
Các thành phần mô men uốn và lực cắt trên phân tố tấm biểu diễn trên
hình 1.5 . Chú ý rằng chỉ số của mô men uốn và xoắn tương ứng với thành
phần ứng suất sinh ra nó, chẳng hạn M x là mô men uốn quay quanh trục y, và
do ứng suất σx tạo ra .


11

h /2

h /2

∫σ

Mx =

x

zdz ; M y =

− h /2

∫σ

h /2
y

− h /2

zdz ; M xy =

∫τ

xy

zdz

(1.5a)

− h /2

h /2

Qx =

∫τ

xz

h /2

dz

Qy =

;

− h /2

∫τ

yz

dz

− h /2

(1.5b)

Hình 1.5. Ứng lực trên phân tố tấm chịu uốn
Thay biểu thức các thành phần ứng suất theo (1.3) vào (1.5), sau khi
tích phân dọc theo chiều dày tấm ta nhận được các thành phần mô men:
 ∂2w

M x = − D 

+v

∂2w 
÷
∂y 2 ÷

 ∂x
 ∂2w
∂2w 
M y = − D  2 + v 2 ÷÷
∂x 
 ∂y

M xy = M yx

2

∂2w
= − D(1 − v)
∂x∂y

trong đó: D =

Eh3
- gọi là độ cứng trụ của tấm
12(1 − v 2 )

và các thành phần lực cắt:

(1.6a)


12

Qx = − D

∂  ∂2w ∂2w 
∂ 2
=
−
D
∇ w ,
 2 +
2 ÷
∂x  ∂x
∂x
∂y ÷

(

)

∂  ∂2w ∂2w 
∂ 2
Qy = − D  2 + 2 ÷÷ = − D
∇ w ,
∂y  ∂x
∂y
∂y 

(

)

(1.6b)

Độ cứng trụ D của tấm đóng vai trò như độ cứng uốn EI của dầm.

σx = ±

12M y
12M xy
12M x
z
,
σ
=
±
z
,
τ

=
z
y
xy
h3
h3
h3

(1.7)

Từ phương trình cân bằng trong Lý thuyết đàn hồi ta nhận được các
thành phần ứng suất cắt ngang, ứng suất pháp theo phương chiều dày:
 ∂σ x ∂τ xy 
E ( z 2 − h2 / 4) ∂ 2
τ xz = − 
+
∇ w,
÷dz =
∂x
∂y ÷
2(1 − v 2 ) ∂x
− h /2 
h /2 
∂σ
∂τ 
E ( z 2 − h2 / 4) ∂ 2
τ yz = −  y + yx ÷÷dz =
∇ w,
2
∂

y
∂
x
∂
y
2(1
−
v
)
− h /2 

E  h3 h 2 z z 3  2 2
σz = −
−
+ ÷÷∇ ∇ w,

3
2(1 − v 2 )  12 4
h /2

∫

∫

(1.8)

1.1.4. Các phương trình cân bằng – Phương trình vi phân mặt đàn hồi.
Xét điều kiện cân bằng của phân tố tấm dưới tác dụng của nội và ngoại
lực (hình 1.5).
Tổng hình chiếu của nội và ngoại lực lên trục z:

∑Z =0⇒

∂Qx ∂Qy
+
= − p ( x, y )
∂x
∂y

(1.9a)

Tổng mô men với trục y cho ta:
∂M x ∂M xy
+
= Qx
∂x
∂y
Tương tự, viết phương trình mô men với trục x:

(1.9b)


13

∂M xy ∂M y
+
= Qy
∂x
∂y

(1.9c)

Rút Qx, Qy từ (1.9b-c) thay vào (1.9a) ta nhận được phương trình cân
bằng duy nhất:

∂ 2 M xy ∂ 2 M y
∂2M x
+2
+
= − p ( x, y )
∂x 2
∂x∂y
∂y2

(1.10)

Thay các giá trị của mô men từ (1.6a) vào (1.10), ta nhận được phương
trình vi phân của mặt đàn hồi (Pt Sophie – Germain)
∂4w
∂ 4w
∂ 4w p
+2 2 2 + 4 =
∂x 4
∂x ∂y
∂y
D

(1.11)

Hay còn có thể viết dưới dạng khác như sau:

∇ 4w =

p
D

(1.12)

1.1.5. Điều kiện biên.
Điều kiện biên có thể là động học (liên quan đến chuyển vị và góc
xoay), có thể là tĩnh học (liên quan đến lực và mô men) hoặc là hỗn hợp.
Xét tấm chữ nhật có 2 cạnh song song với 2 trục Ox, Oy. Trên mỗi
cạnh phải thỏa mãn 2 điều kiện biên:


14

Hình 1.6. Điều kiện biên của tấm chữ nhật
1.

Điều kiện biên của tấm chữ nhật
•

Liên kết ngàm – cạnh y= 0

∂w
w = 0 | y =0 và v y =
=0
∂y
•

Liên kết gối cố định – cạnh x=a
 ∂2w

w = 0 |x =a , M x = D 

2
 ∂x

•

+v

∂2 w 
∂2w
=
0
÷
hoặc w = 0 |x= a , 2 = 0 |x =a
∂y 2 ÷
∂x

Biên độ tự do – cạnh y=b

∂2w
∂2w
∂  ∂2w
∂2w 
+ v 2 = 0 | y =b và −  2 + (2 − v) 2  = 0 | y =b
∂y  ∂y

∂x 
∂x 2
∂y
•

Biên tựa dầm – cạnh x=0

 ∂w 
∂w
w b = w |x =0 và vb = v |x =0 hoặc 
|x = 0
÷ =
 ∂x b ∂x


15

chỉ số b – dầm; không chỉ số: tấm; Hoặc :
 ∂3w
 ∂2w
∂3 w 
∂4w
∂2w 
∂3w
D  3 + (2 − v)
| ;D 
+ v 2  = (GI )b
|
 = ( EI )b
∂x∂y 

∂x∂y x =0
∂y 4 x =0  ∂x 2
∂y 
 ∂x

2.

Điều kiện biên chéo:
M n = M x cos2α + M y sin 2 α + M xy sin 2α ;

M nt = M xy cos2α − (M x − M y )sin α cosα
Qn = Qxcosα + Qy sin α
∂M nt
Vn = Qn +
∂t

α : Góc tạo bởi pháp tuyến n của mặt chéo với trục x.
Tùy thuộc vào liên kết của biên chéo, ta có những điều kiện biên tương ứng

Hình 1.7. Biên chéo

∂w
=0
∂u

-

Ngàm: w=0;

-

Khớp: w=0, Mu=0

3.

Điều kiện biên cong:


16

Hình 1.8. Biên cong

•

∂w
=0
∂n

•

Biên cong ngàm: w=0,

•

Biên cong tựa khớp: w=0, Mn=0

Biên cong tự do: Mn=0, Vn = Qn +

∂M nt
=0

∂s

1.2. Lý thuyết tấm Reissner - Mindlin
Lý thuyết tấm cổ điển Kirchhof chỉ phù hợp với tấm mỏng, khi chiều
dày tấm tăng lên thì lý thuyết này không còn thích hợp. Để khắc phục những
hạn chế của lý thuyết tấm mỏng, cần thiết phải có những điều chỉnh thích hợp
trên cơ sở lý thuyết tấm Kirchhoff.
Hiện nay có nhiều lý thuyết tấm đã được phát triển dùng để tính toán
các tấm dày (h/L=1/10-1/5): Levy, Reisssner, Mindlin, Reddy,...
1.1.

Các giả thiết.
Lý thuyết tấm của Reissner-Midlin có kể tới ảnh hưởng của biến dạng

cắt ngang dựa vào các giả thiết cơ bản sau [2]:


Pháp tuyến vẫn thẳng và có chiều dài không đổi, có thể không còn

vuông góc mặt trung bình. Với biến dạng bé, vẫn coi ε z =0


Bỏ qua trị số ứng suất pháp theo phương chiều dày tấm σ zz =0


17

Hình 1. 9. Biến dạng của pháp tuyến thẳng theo các lý thuyết
1.2.

Các thành phần chuyển vị.
Reissner-Mindlin giả thiết trường chuyển vị bậc nhất dưới dạng sau [2]:
u ( x, y , z ) = uo ( x, y ) + zθ x ( x, y )
v( x, y, z ) = vo ( x, y ) + zθ y ( x, y )

(1.13)

w( x, y , z ) = wo ( x, y )

Trong đó:
uo,vo,wo là các thành phần chuyển vị của mặt trung bình theo các phương x,y,z

θx, θy là các góc xoay của mặt pháp tuyến quanh hai trục y, x
Sơ đồ bậc nhất khắc phục những nhược đỉểm của sơ đồ Kirchhoff dành
cho tấm mỏng và cho phép giải quyết phần lớn các bài toán cơ bản.
1.3.

Các thành phần biến dạng.
Trường biến dạng được suy ra từ trường chuyển vị bằng cách sử dụng

quan hệ chuyển vị - biến dạng trong lý thuyết đàn hồi:


18

∂θ
∂u ∂uo
=
+z x
∂x ∂x

∂x
∂
θ
∂v ∂vo
=
=
+z y
∂y ∂y
∂y

ε xx =
ε yy

∂θ
∂u ∂v
∂θ
∂u ∂v
+
= ( o + o ) + z( x + y )
∂y ∂x
∂y ∂x
∂y
∂x
∂w
∂w ∂u
γ xz = 2ε xz =
+
= ( o + θx )
∂x ∂z
∂x

∂w
∂w ∂v
γ yz = 2ε yz =
+
= ( o +θy )
∂y ∂z
∂y

γ xy = 2ε xy =

(1.14)

Có thể biểu diễn trường biến dạng làm hai thành phần
-

Biến dạng màng, phụ thuộc vào chuyển vị (uo,vo) của mặt trung bình:
 ∂uo



ε o xx   ∂x

 o   ∂vo

ε m = ε yy  = 

 o   ∂y

γ xy   ∂uo ∂vo 
+



 ∂y ∂x 

-

(1.15a)

Biến dạng uốn xoắn, phụ thuộc vào góc xoay của mặt trung bình và toạ

độ z:
 ∂θ x



ε u xx 
 ∂x

kx 
 u 
 ∂θ y

 
ε u = ε yy  = z  k y  = z 

 u 
 ∂y

k 
 xy 

 ∂θ ∂θ y 
γ xy 
 x+

∂x 
 ∂y

-

(1.15b)

Biến dạng cắt ngang:
 ∂w 0

+ θx 



γ
γ
 xz 
∂x
xz

γc =   =  o  = 
∂
w
γ
γ


o
yz
   yz 
+θy 
 ∂y

o

(1.15c)


19

Như vậy các thành phần biến dạng có thể viết dưới dạng sau:
ε xx  ε xx0 
 kx 
   0
k 
ε yy  ε yy 
 y
γ  = γ 0  + z  k 
xy
 xy   xy0 
 
γ xz  γ xz 
0
0
  γ 
 0 
γ yz   yz 

1.4.

(1.16)

Các thành phần ứng suất - Ứng lực
Từ phương trình biểu diễn định luật Hooke, khi biết các thành phần

biến dạng, các thành phần ứng suất có dạng dưới đây:
 C11 C12 C12
σ xx  
  C12 C11 C12
σ yy  C12 C12 C11
σ  = 
 xy   0
0
0
σ xz  
  
σ yz   0
0
0


Trong đó:

C11 =

0
0

0
C11 − C12
2
0


ε xx 
 ε xx 
 
 
ε yy 
 ε yy 
 γ  = [ C ]  γ 
 xy 
  xy 
0
γ xz 
 γ xz 


 

C11 − C12 γ yz 
γ yz 
 
2

0
0
0

(1.17)

E (1 −ν )
νE
; C12 =
(1 − 2ν )(1 + ν )
(1 − 2ν )(1 +ν )


C11 − C12 1  E (1 −ν )
νE
E
= 
−
=
=G

2
2  (1 − 2ν )(1 +ν ) (1 − 2ν )(1 + ν )  2(1 +ν )

(1.18)

Từ trường biến dạng có thể viết lại trường ứng suất như sau:
ε o xx 
σ xx 
kx 
 o 
 
 

ε yy 
σ yy 
k y 


o
σ  = [ C ] γ
 
 xy  + z [ C ]  k xy 
 xy 
γ o 
σ xz 
0 
 xz 
 
 
γ o yz 
0 
σ yz 



(1.19)

Các ứng lực trên một đơn vị chiều dài được suy ra từ định nghĩa (như
tấm Kirchhoff)