Rẽ nhánh cho hệ động lực trơn từng khúc

RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN
TỪNG KHÚC
Thầy hướng dẫn: TS. Nguyễn Ngọc Doanh
Sinh viên:Vũ Quốc Uy
Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN

Ngày 24 tháng 6 năm 2014

Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNG Ngày
KHÚC
24 tháng 6 năm 2014

1 / 24


Nội dung
1

Khái niệm và ví dụ
Khái niệm
Ví dụ

2

Ổn định và rẽ nhánh của hệ động lực trơn từng khúc
Ổn định
Rẽ nhánh

3

Kết luận

Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNG Ngày
KHÚC
24 tháng 6 năm 2014

2 / 24


Khái niệm và ví dụ

Khái niệm

Khái niệm
Về mặt vật lý, mọi hệ có sự thay đổi đột ngột theo một tham số (vận
tốc, vị trí) hoặc tới ngưỡng, giới hạn.
Về mặt toán học, mọi hệ động lực mà không gian pha được phân
hoạch bởi các biên chuyển (switching boundary) thành các miền khác
nhau, mỗi miền ứng với các trường véc tơ (trơn) khác nhau.

Hình 1: Mô tả quỹ đạo của hệ động lực trơn từng khúc
Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNG Ngày
KHÚC
24 tháng 6 năm 2014

3 / 24


Khái niệm và ví dụ

Khái niệm

Hệ động lực trơn từng khúc
Định nghĩa 1.1
Hệ động lực trơn từng khúc được xác định bởi tập hữu hạn các
phương trình vi phân thường
x˙ = Fi (x, µ), với x ∈ Si ,

(1)

trong đó, ∪i Si = D ⊂ Rn và Si có phần trong khác rỗng. Giao
Σij := Si ∩ Sj là một đa tạp Rn−1 nằm trong biên ∂Sj và ∂Si hoặc là
tập rỗng. Mỗi véc tơ Fi là trơn đối với trạng thái x và tham số µ, và
xác định dòng trơn ϕi (x, t) với bất kì tập mở U ⊃ Si . Đặc biệt, mỗi
dòng ϕi đều xác định ở hai phía của biên ∂j .

Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNG Ngày
KHÚC
24 tháng 6 năm 2014

4 / 24


Khái niệm và ví dụ

Khái niệm

Các lĩnh vực áp dụng
Mô hình sinh thái, hệ động lực cạnh tranh thú mồi,...
Mạng lưới luật di truyền,
Chuyển mạch diode,

Bài toán điều khiển (điều khiển số),
Phanh, khối lắc
Va chạm, ma sát
Kinh tế,...

Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNG Ngày
KHÚC
24 tháng 6 năm 2014

5 / 24


Khái niệm và ví dụ

Khái niệm

Hệ Filippov

Hình 2: Biên gián đoạn đặc trưng của hệ hai chiều Filippov mô tả dáng
điệu của trường véc tơ ở hai phía

Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNG Ngày
KHÚC
24 tháng 6 năm 2014

6 / 24


Khái niệm và ví dụ

Khái niệm

Hệ lai
Định nghĩa 1.2
Hệ lai trơn từng khúc bao gồm tập hợp các hệ phương trình vi phân
thường
x˙ = Fi (x, µ), nếu x ∈ Si ,
(2)
cùng với một tập các ánh xạ tái thiết lập
x → Rij (x, µ), nếu x ∈ Σij := S i ∩ S j .

(3)

Hình 3: (a) Hệ lai và (b) lớp các bài toán va chạm của hệ lai
Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNG Ngày
KHÚC
24 tháng 6 năm 2014

7 / 24


Khái niệm và ví dụ

Khái niệm

Hệ lai va chạm
Định nghĩa 1.3
Hệ lai va chạm là hệ lai trơn từng khúc với Rij : Σij → Σij , và dòng
bị ràng buộc địa phương để nằm về một phía của biên, S i = Si ∪ Σij

Hình 4: Mặt Σ và quỹ đạo đa va chạm cho hệ lai va chạm với một biên
gián đoạn
Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNG Ngày
KHÚC
24 tháng 6 năm 2014

8 / 24


Khái niệm và ví dụ

Ví dụ

Bộ dao động song tuyến tính
d 2u
du
+ζ
+ k1 u = cos(ωt),
2
dt
dt

nếu u < 0,

(Miền S1 )

nếu u > 0,

(Miền S2 )

và
d 2u
du
+ k2 u = cos(ωt),
+ζ
2
dt
dt

trong đó, u đặc trưng cho tọa độ của vật thể. Một ví dụ về hệ song
tuyến tính có thể được tìm hiểu trong [7], nó được sử dụng để mô
hình hóa dáng điệu chuyển động của chiếc thuyền được neo trên biển.

Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNG Ngày
KHÚC
24 tháng 6 năm 2014

9 / 24


Khái niệm và ví dụ

Ví dụ

Bộ dao động song tuyến tính
Và hệ song tuyến tính trên được viết lại dưới dạng hệ động lực bằng
cách đặt u = x1 , v = x2 và t = x3 như sau




x˙1 = x2 ,
x˙2 = −2ζx2 − ki x1 + cos(x3 ),


x˙3 = 1,

(4)

trong đó, giá trị của ki phụ thuộc vào miền Si , với S1 = {x1 < 0},
S2 = x1 > 0.

Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày
KHÚC
24 tháng 6 năm 2014

10 / 24


Khái niệm và ví dụ

Ví dụ

Hệ động lực thú mồi từng khúc
Xét hệ động lực thú mồi trong đó loài thú được chia làm hai nhóm,
mỗi nhóm sử dụng một loại chiến thuật săn mồi khác nhau chim ưng
hoặc bồ câu.
Model I: n < Ca ,

 dn



dt
dp
dt

= rn 1 − Kn − anp,
2
= −µp + αa
np − αa
n 2 p.
2
2C
Model II: n >

dn
dt
dp
dt

(5)

C
,
a

= rn 1 − Kn − anp,
= −µp + αa
np − αC
p.

2
2

Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày
KHÚC
24 tháng 6 năm 2014

(6)

11 / 24


Khái niệm và ví dụ

Ví dụ

Hệ động lực thú mồi từng khúc

Hình 5: Trường hợp αC > 8µ, (a) n3∗ < K , (b) n2∗ < K < n3∗ , (c)
n1∗ < K < n2∗ và (d) K < n1∗ .
Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày
KHÚC
24 tháng 6 năm 2014

12 / 24


Ổn định và rẽ nhánh của hệ động lực trơn từng khúc

Ổn định

Ổn định
1
2

Ổn định tiệm cận
Ổn định cấu trúc

Hình 6: Hình ảnh pha của hai hệ tương đương topo nhưng không tương
đương topo từng khúc. Hình ảnh pha trong mỗi miền Si , i = 1, . . . , 4 là
tương đương topo với nhau giữa (a) và (b)
Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày
KHÚC
24 tháng 6 năm 2014

13 / 24


Ổn định và rẽ nhánh của hệ động lực trơn từng khúc

Rẽ nhánh

Rẽ nhánh
Các trường hợp rẽ nhánh cảm sinh gián đoạn thường gặp:

Hình 7: Ví dụ về rẽ nhánh cảm sinh gián đoạn: (a) rẽ nhánh với điểm cân
bằng trên biên; (b) rẽ nhánh lướt của chu trình giới hạn; (c) rẽ nhánh
trượt; (d) rẽ nhánh biên giao nhau chữ thập
Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày
KHÚC

24 tháng 6 năm 2014

14 / 24


Ổn định và rẽ nhánh của hệ động lực trơn từng khúc

Rẽ nhánh

Dáng điệu hệ động lực trơn từng khúc liên tục
Xét hệ hai chiều trơn từng khúc liên tục sau
x˙1 = x2
x˙2 = −x1 + |x1 + µ| − |x1 − µ|
−x2 − |x2 + µ| + |x2 − µ|.

(7)

Hệ xấp xỉ trơn đối xứng của hệ (7)
x˙1 = x2 ,
x˙2 = −x1 + π2 arctan(ε(x1 + µ))(x1 + µ)
− π2 arctan(ε(x1 − µ))(x1 − µ)
−x2 − π2 arctan(ε(x2 + µ))(x2 + µ)
+ π2 arctan(ε(x2 − µ))(x2 − µ),

Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày
KHÚC
24 tháng 6 năm 2014

(8)

15 / 24


Ổn định và rẽ nhánh của hệ động lực trơn từng khúc

Rẽ nhánh

Dáng điệu hệ động lực trơn từng khúc liên tục
Hệ xấp xỉ trơn bất đối xứng của hệ (7)
x˙1 = x2 ,
x˙2 = −x1 + π2 arctan(ε(x1 + µ))(x1 + µ)
− π2 arctan(ε(x1 − µ))(x1 − µ)
−x2 − π2 arctan(ε(x2 + µ))(x2 + µ)
+ π2 arctan(ε(x2 − µ))(x2 − µ) + 1ε ,

(9)

Hình 8: Sơ đồ rẽ nhánh của hệ trơn từng khúc (7)
Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày
KHÚC
24 tháng 6 năm 2014

16 / 24


Ổn định và rẽ nhánh của hệ động lực trơn từng khúc

Rẽ nhánh

Dáng điệu hệ động lực trơn từng khúc liên tục

Hình 9: Hệ rẽ nhánh đa giao (7)

Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày
KHÚC
24 tháng 6 năm 2014

17 / 24


Ổn định và rẽ nhánh của hệ động lực trơn từng khúc

Rẽ nhánh

Dáng điệu hệ động lực trơn từng khúc liên tục

Hình 10: Đường trị riêng của hệ (7)

Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày
KHÚC
24 tháng 6 năm 2014

18 / 24


Ổn định và rẽ nhánh của hệ động lực trơn từng khúc

Rẽ nhánh

Dáng điệu hệ động lực trơn từng khúc liên tục

(Rẽ nhánh đa giao với điểm chuyển hướng). Xét hệ
x˙1 = x1 + 2|x1 | + x2 ,
x˙2 = x1 + 2|x1 | + 12 x2 + µ,

(10)

là hệ tuyến tính từng khúc, có biên chuyển Σ = {x ∈ R|x = 0}.

Hình 11: Hình ảnh pha và sơ đồ rẽ nhánh của hệ xấp xỉ trơn đối xứng của
hệ (10) và đường trị riêng của J (0)
Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày
KHÚC
24 tháng 6 năm 2014

19 / 24


Ổn định và rẽ nhánh của hệ động lực trơn từng khúc

Rẽ nhánh

Dáng điệu hệ động lực trơn từng khúc liên tục

Hình 12: Hình ảnh pha và sơ đồ rẽ nhánh của hệ xấp xỉ trơn với hệ (10)
và ε = 20
Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày
KHÚC
24 tháng 6 năm 2014

20 / 24

Kết luận

Kết luận
Hệ từng khúc có những ứng dụng rất rộng rãi trong nhiều lĩnh
vực sinh học, kinh tế, vật lý...
Đồ án đã tổng hợp các kiến thức cơ bản, các ví dụ để giúp tiếp
cận tới hệ động lực từng khúc
Chúng có dáng điệu hệ động lực độc đáo, duy nhất.
Có nhiều vấn đề còn chưa được xử lý, nghiên cứu.

Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày
KHÚC
24 tháng 6 năm 2014

21 / 24


Kết luận

Tài liệu tham khảo
A. J. van der Schaft, Johannes Maria Schumacher, An
Introduction to Hybrid Dynamical Systems, Front Cover Springer,
2000.
Bernardo, M., Budd, C.J., Champney, A.R, Bifurcations of
dynamical systems with sliding:derivation of normal formal
mappings, Physica 170,175-205,2001.
Bernardo, M., Budd, C., Champneys, A.R., Kowalczyk,P.,
Piecewise-smooth dynamical systems Theory and Applications,

Springer, Hardcover, 2008.
John Hogan, Piecewise dynamical systems presentation, 2012.
Jitka Kuhnova - Lenka Pribylova, A predator-prey model with
allee effect and fast strategy evolution dynamics of predators
using
dove
tactics,
publication,
Viện toán Ứng
dụng &hawk
Tin học - and
ĐH BKHN
RẼ NHÁNH
CHO HỆMathematical
ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNG
Ngày
KHÚC
24 tháng 6 năm2011.
2014

22 / 24


Kết luận

Kuznetsov Yu-1.A, Elements of applied bifurcation theory, 1998.
R.I. Leine, Bifurcations of equilibria in non-smooth continuous
systems, 2006.
R.I. Leine, D.H.van Campen, Bifurcation phenomena in
non-smooth dynamical systems, 2006.

Pierre Auger, Rafael Bravo de la Parra, Serge Morand, Eva
Sáanchez, A predator–prey model with predators using hawk and
dove tactics, Mathematical Biosciences, Vol 9, 4: 307-329, 2001.
Z. Zhusubalyev, E. Mosekilde, Bifurcations and Chaos in
Piecewise-Smooth Dynamical Systems, World Scientific, 2003.
S. V. Drakunov and V. I. Utkin, Sliding mode control in dynamic
systems, Internat. J. Control, 55, 1029-1037, 1992.

Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày
KHÚC
24 tháng 6 năm 2014

23 / 24


Kết luận

Em xin chân thành cảm ơn thầy cô và các bạn đã chú ý
lắng nghe!

Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày
KHÚC
24 tháng 6 năm 2014

24 / 24