chu kỳ dao động điều hòa của các cơ hệ con lắc lò xo

CHU KỲ (TẦN SỐ) DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ
CỦA CÁC CƠ HỆ CON LẮC LÒ XO
--------------------------------------A. DẪN NHẬP
Các mô hình cơ hệ con lắc lò xo (CLLX) ở thực tế rất phong phú. Mỗi cơ hệ khi kích thích dao
động có một tần số góc và do đó dẫn đến chu kỳ (tần số) dao động điều hoà (DĐĐH) tương ứng. Dưới
đây, thiết lập chu kỳ DĐĐH vài cơ hệ CLLX phổ biến theo hai phương pháp lực và năng lượng, đồng
thời thống kê một số cơ hệ thường gặp.
B. NỘI DUNG
I. Hệ lò xo ghép với nhau:
Tuỳ theo cách ghép các lò xo thành phần, ta có độ cứng tương đương của hệ lò xo tương ứng.
Gọi k1, k2, .... , kn: độ cứng của lò xo thành phần (1), (2), ... , (n).
k: độ cứng tương đương của hệ n lò xo được ghép lại.
. Ghép nối tiếp:
k
1

1 1 1
1
   .... 
k k1 k 2
kn

→k=?

k2

(k < k1, k2, ... , kn)
. Ghép song song:
k  k1  k 2  ...  k n

(k > k1, k2, ... , kn)

k1

k2

II. Lò xo bị cắt rời:
. Xét lò xo cấu tạo đồng đều, khối lượng không đáng kể, có chiều dài tự nhiên l, độ cứng k. Cắt
lò xo thành hai phần có chiều dài và độ cứng tương ứng là l01, k1 và l02, k2, ta có:
kl0  k1l01  k 2 l02

. Nếu lò xo có độ cứng k được cắt thành n đoạn lò xo bằng nhau thì mỗi lò xo mới có độ cứng
là:
k’ = nk

III. Thiết lập tần số góc:
1. Cơ hệ 1:
Cho lò xo có độ dài l0 = 45 (cm), độ cứng k = 12 (N/m) được cắt thành hai lò xo l01 = 18 (cm) và
l02 = 27 (cm). Mắc hai lò xo vào vật nặng m = 100 (g) như hình. Góc nghiêng  = 300. Bỏ qua mọi ma
sát. Tại thời điểm ban đầu, giữ cho hai lò xo không bị biến dạng. Thả nhẹ cho vật dao động. Tìm chu
kỳ dao động của vật.

Bằng phương pháp lực:


Độ cứng của hai lò xo thành phần:
l0
45
 12  30 (N/m)
l01
18

l
45
k 2  k 0  12  20 (N/m)
l02
27
   
Vật chịu tác dụng 4 lực: P, N, Fdh1 , Fdh 2 .
  


Tại vị trí cân bằng O: P  N  F dh1  Fdh 2  0
k1  k

Chiếu biểu thức lên phương nghiêng, chiều đã chọn:
- Psin + Fdh1 + Fdh2 = 0
với Fdh1 = k1Δl; Fdh2 = k2Δl
(lò xo (1) nén một đoạn Δl thì lò xo (2) dãn một đoạn Δl)
→ - Psin + (k1 + k2)Δl = 0
Tạily
độ x bất
kỳ:
  


P  N  F'dh1  F'dh 2  ma
 P sin   k1 ( l  x)  k 2 ( l  x)  ma
 P sin   (k1  k 2 ) l  (k1  k 2 )x  ma
 (k1  k 2 )x  m(x) ''
k k
 (x) '' 1 2 x  0

m
k k
Đặt 2  1 2  (x) '' 2 x  0
m

Vậy chu kỳ dao động của vật:
T

2
m
0,1
 2
 2
 0, 28 (s).

k1  k 2
50

2. Cơ hệ 2:
Cho cơ hệ CLLX như hình. Dây treo không dãn và có khối lượng không đáng kể. Bỏ qua mọi ma
sát. Kích thích cho hệ dao động. Chứng minh hệ DĐĐH với tần số góc  

Bằng phương pháp lực:

k
.
m1  m 2

  

Vật m1 chịu tác dụng 3 lực: P1 , T1 , Fdh .
 
Vật m2 chịu tác dụng 2 lực: P 2 , T 2 .

  

 P1  T1  Fdh  0  P1  T1  Fdh  0


 P2  T2  0
Tại vị trí cân bằng O:  P 2  T 2  0
P  T  kl  0
T1  T2  T   1
 P2  P1  kl  0
 P2  T  0

Tại ly độ x bất kỳ:


  

P 2  P1  F'dh  (m1  m 2 )a  P2  P1  k( l  x)  (m1  m 2 )a
 P2  P1  kl  kx  (m1  m 2 )a
k
 kx  (m1  m 2 )a  (x) ''
x 0
m1  m 2
k
Đặt 2 
 (x) '' 2 x  0

m1  m 2

Vậy hệ DĐĐH với tần số góc  

k
.
m1  m 2

3. Cơ hệ 3:
Cho cơ hệ như hình. Thanh AB dài l = 1 (m), lò xo có độ cứng k = 4 (N/m). M là trung điểm AB.
Vật nặng m = 100 (g). Bỏ qua mọi ma sát. Bỏ qua khối lượng thanh và lò xo. Khi cân bằng thì AB
thẳng đứng. Kéo (hay nén) B một đoạn 2 (cm) rồi thả nhẹ. Chứng minh hệ DĐĐH.

Bằng phương pháp năng lượng:
Chọn mốc thế năng ngang qua vị trí cân bằng.
x
2

Tại vị trí x bất kỳ (xem hình): lò xo dãn một đoạn l  .
2

1
1 x 1 k 2
Thế năng đàn hồi của lò xo: Wt  k(l) 2  k   
x
2
2 2 2 4

Thế năng trọng trường của vật nặng:


2 
2 1
x 2 1 mg 2
Wt  mgh  mgl(1  cos)  mgl 1  1    mgl  mgl 2 
x
2 
2 2
l
2 l

2
x2
( cos  1 - ; x  l   2  2 )
2
l
1 mg 2 1 k 2 1  mg k  2
x 
x  
 x
Thế năng tổng cộng: W't 
2 l
24
2 l 4
1
Động năng của vật: Wd  mv 2
2
1 2 1  mg k  2
W = Wd  W't  mv  
  x  const
2

2 l 4
 mg k 
 (W)' = mv(v)' + 
  x(x) '  0
l
4

Cơ năng của hệ:
 mg k 
 m(x) '(x) '' 
  x(x) '  0
 l 4
 mg k 
g k 
 m(x) '' 
  x  0  (x) ''  
x  0
 l 4
 l 4m 


g k
 (x) '' 2 x  0 . Vậy hệ DĐĐH.
l 4m

Đặt 2  

4. Cơ hệ 4:
Cho bốn thanh mảnh có thể quay không ma sát quanh A, B, C, D (xem hình). Lò xo có độ cứng k
= 20 (N/m). Vật nặng m = 200 (g). Bỏ qua khối lượng các thanh và lò xo. Khi hệ cân bằng thì ABCD

là hình vuông. Kéo (hay nén) B, D để các thanh AB và AD hợp với vị trí ban đầu một góc  nhỏ rồi
thả nhẹ. Tìm tần số DĐĐH của vật.

Bằng phương pháp năng lượng:
Vì  nhỏ  x  l .
1
1
2
2
1
Động năng của vật: Wd  mv 2
2
1
1
W = Wd  Wt  mv 2  kx 2  const
2
2

(W)'
=
mv(v)'
+
kx(x)'
Cơ năng của hệ:  m(x)'(x)'' + kx(x)' = 0 = 0
k
 m(x)'' + kx = 0  (x)'' + x  0
m
k
Đặt 2   (x) '' 2 x  0
m

Thế năng đàn hồi của lò xo: Wt  k(l)2  kx 2

Vậy tần số dao động của vật:
f

1  1 k
1 20



 1,59 (Hz).
T 2 2 m 2 0, 2

IV. Chu kỳ của các cơ hệ con lắc lò xo:
CƠ HỆ
CLLX

ĐỘ CỨNG
TƯƠNG ĐƯƠNG

k

k1k 2
k1  k 2

CHU KỲ

T  2

m(k1  k 2 )
k 1k 2

GHI CHÚ


k  k1  k 2

T  2

m
k1  k 2

k  k1  k 2

T  2

m
k1  k 2

k  k1  k 2

T  2

m
k1  k 2

k

(k1  k 2 )k 3

k1  k 2  k 3

T  2

m(k1  k 2  k 3 )
(k1  k 2 )k 3

T  2

m1  m 2
k


k  k1  k 2  k 3

k  k1  k 2 

k 3k 4
k3  k 4

T  2

m1  m2
k

T  2

m1  m 2
k

T  2

m
k1  k 2  k 3

T  2

m
k

T  2

m
k

T

2


Với


g k

l 4m


T  2

k

k 1k 2
k1  4k 2

T  2

4m
k

m(k1  4k 2 )
k 1k 2

-----------------------------------------------------------