Phương pháp giải toán hình học (Phần 2: HHKG)

TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC VĨNH VIỄN

PHÂN DẠNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

HÌNH HỌC
DÀNH CHO HỌC SINH 10–11–12
VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

PHẦN 2
HÌNH HỌC
KHƠNG GIAN
Biên soạn:

TRẦN MINH QUANG
TRẦN MINH THỊNH
HOÀNG HỮU VINH
Hình học

75


Lời nói đầu
Các em học sinh thân mến!
Chúng tôi là nhóm giáo viên Toán của Trung tâm luyện thi Vónh Viễn có
nhiều kinh nghiệm trong việc giảng dạy và biên soạn sách tham khảo.
Nhằm mục đích giúp các em học sinh tự học, nâng cao bài tập ở các lớp 10,
11, 12 và nhất là các em đang sắp thi vào Đại học, chúng tôi cùng biên
soạn bộ Toán gồm ba quyển.
Quyển 1: Hình học (3 Phần).
Quyển 2: Khảo sát hàm số – Tích phân – Số phức
Quyển 3: Lượng giác – Đại số – Giải tích tổ hợp

Mỗi quyển sách gồm:
• Tóm tắt lý thuyết một cách có hệ thống và đầy đủ.
• Phân loại các dạng toán cùng với cách giải dễ hiểu. Nhiều bài tập mẫu
từ dễ đến khó, trong đó có nhiều bài được giải bằng nhiều cách khác nhau.
Chúng tôi hy vọng quyển sách này sẽ giúp các em thích thú, nâng cao
học lực và thành công trong kì thi tuyển sinh Đại học sắp đến. Dù đã cố
gắng nhiều, nhưng chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót, mong sự đóng góp ý
kiến của các em học sinh và của độc giả.
Nhóm biên soạn

76

Nhiều tác giả


BÀI 1

QUAN HỆ SONG SONG VÀ VUÔNG GÓC
I. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Đònh nghóa:
 Hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng đồng phẳng và không có
điểm chung
Lưu ý: Hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng
Đònh lý: Trong không gian
 Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng
song song với đường thẳng đó.
 Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
 Đònh lí: Nếu ba mặt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao
tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc song song. (h.1,2)
 Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song

song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng
với một trong hai đường thẳng đó). (h.3)

P

c
a

R

Q

(h.1,2)

R

b

c

(Q)
a

(P)
b

Ba giao tuyến đồng qui hoặc song song
P

b

c

(h.3)
a
Q

P) ∩ (Q) = c, a ⊂ (Q), b ⊂ (P) và a // b

⇒Ta PHẲ
// b //NcG(khô
ng xé
t c ≡ a, b)
II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶ
SONG
SONG
Hình học

77


1. Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
 d và (α) không có điểm chung ⇔ d // (α)
 d và (α) có 1 điểm chung duy nhất M ⇔ d ∩ (α) = M
 d và (α) có từ 2 điểm chung trở lên ⇔ d ⊂ (α)
d

(P)

(P)
d // (P)

d

(P)
d cắt (P)

d ⊂ (P)

2.  Đònh lí:

d

Nếu đường thẳng a không nằm trên mp(P) và song song với một đường thẳng
nào đó nằm trên mp(P) thì a song song với mp(P)
a ⊄ (P), d ⊂ (P), a // d ⇒ a // (P)
 Đònh lí:
Nếu đường thẳng a song song với mp(P), mọi mp(Q) chứa a và cắt (P) thì
giao tuyến của (P) và (Q) song song với a.
Q

aa // (P), a

(Q), (P)

(Q) = b

a // b

b

(h.1)
P
 Hệ quả:
 Nếu đường thẳng d song song mp(P) thì d song song một đường thằng nào
đó trong (P).

 Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song đường thẳng d thì giao tuyến
của chúng song song với d.(h.2)
(P) (Q) = a, (P) // d , (Q) // d ⇒ a // d
 Đònh lí:
Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng (P)
chứa a và song song với b. (h.3)
b

P

(h.3)

Q

d

(P)

b'
a

III. HAI MẶT PHẲNG SONG
(h.2) SONG
1. Hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q); có hai vò trí tương đối:

 Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d: (P) (Q) = d.
78

Nhiều tác giả


 Hai mặt phẳng song song nếu chúng không có điểm chung.
2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song.
 Đònh lí: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song
với mp(Q) thì (P) song song (Q).
a

a ⊂ (P), b ⊂ (P), a ∩ b ≠ ∅ 
 ⇒ (P) // (Q)
α // ( Q), b // (Q)


b

P
Q

 Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trong mặt
phẳng này đều song song mp kia.
(P) // (Q),a ⊂ (P) ⇒ a // (Q)

3. Tính chất
 Tính chất 1:
Qua một điểm nằm ngoài mp(P) có một và chỉ một mp(Q) song song với
mp(P).

• Hệ quả 1: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) thì có duy nhất một
mp(Q) chứa a và song song mp(P).
• Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba
thì song song với nhau.
• Hệ quả 3: Cho điểm A không nằm trên mp(P). Mọi đường thẳng đi qua A
và song song mp(P) đều nằm trong một mp(Q) đi qua A và song song
mp(P).
 Tính chất 2:
Có hai mặt phẳng song song mọi mặt phẳng cắt mặt phẳng thứ nhất thì cắt
mp thứ hai và hai giao tuyến song song nhau.
(P) // (Q), (R) ∩ (P) = a ⇒ (R) ∩ (Q) = b, b // a
• Hệ quả: Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những
đoạn bằng nhau.
b

a

P

(h.1)

Q

a
(h.2)

b

P
Q

A

A'
B'

B

Hình học

79


BÀI 2

QUAN HỆ VNG GĨC
I. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG
1. Đònh nghóa: Đường thẳng d được gọi là vuông góc mp (P) nếu d vuông góc mọi
đường nằm trong (P). Kí hiệu d ⊥ (P).
2. Điều kiện để đường thẳng d vuông góc mp(P).
Nếu d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P) thì d vuông góc
(P).
d
d ⊥ b ⊂ (P) 

d ⊥ a ⊂ (P)  ⇒ d ⊥ (P)
a ∩ b ≠ ∅ 
a
3. Tính chất:
a) Qua một điểm có duy nhất một mặt

phẳng vuông góc với một đường thẳng
cho trước.
b) Mặt phẳng vuông góc đoạn thẳng AB tại
trung điểm của nó gọi là mặt phẳng trung
trực của đoạn AB.
M trên mặt phẳng trung trực

(P)

b

(P)
I

A

B

M

⇔ MA = MB.
c) Qua một điểm có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng
cho trước.
4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt
phẳng.
a) • Có hai đường thẳng song song, mặt
phẳng nào vuông góc đường này
thì vuông góc đường kia
• Hai đưởng thẳng phân biệt cùng
α

vuông góc một mặt phẳng thì song
song nhau.
β
b) • Có hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào vuông góc mặt phẳng này thì
80

Nhiều tác giả


vuông góc mặt phẳng kia
• Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc một đường thẳng thì song song
nhau.
c) • Một đường thẳng và một mặt phẳng song song, đường thẳng nào vuông góc
mặt phẳng thì vuông góc đường thẳng.
• Một đường thẳng và một mặt phẳng cùng vuông góc một đường thẳng thì
đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng.
5. Đònh lí ba đường vuông góc
Cho a là đường thẳng nằm trong mp (P), b là đường thẳng không thuộc (P) và
vuông góc (P) có hình chiếu vuông góc trên (P) là b’.
Khi đó a vuông góc b khi và chỉ khi a vuông góc b’.
6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
 Góc giữa đường thẳng d và mp(P) là góc giữa nó và hình chiếu của nó trên
(P).
 Khi d vuông góc (P) ta nói góc giữa d và (P) bằng 90 0.
 Gọi α là góc giữa d và mp (P) thì 00 ≤ α ≤ 900.
b

A
d
O

(P)

d'

B

b′

P

a

II. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
1. Đònh nghóa:
Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau là góc
giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt
phẳng và cùng vuông góc vời giao tuyến.

I
A

(P)

B

(Q)

2. Diện tích hình chiếu của một đa giác:
Góc giữa (P); (Q) bằng
Cho hình H có diện tích S nằm trong mặt phẳng (P) và hình H’ có diện tích S’ là

hình chiếu của H trên mặt phẳng (Q).

Hình học

81


Nếu góc giữa (P) và (Q) là ϕ thì:
S’ = S.cosϕ
3. Hai mặt phẳng vuông góc
a) Đònh nghóa:
Hai mặt phẳng gọi là vuông góc
nhau nếu góc giữa chúng là 900
Kí hiệu (P) ⊥ (Q).

d

(P)
(Q)
d ⊥ (P) và d ⊂ (Q) ⇒ (Q) ⊥ (P)

b) Đònh lí 1:
Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa
một đường thẳng vuông góc mặt phẳng kia.
c) Các hệ quả
• Hai mặt phẳng vuông góc nhau, đường thẳng trong mặt phẳng này vuông
góc với giao tuyến thì vuông góc mặt phẳng kia.
(P) ⊥ (Q); (P) ∩ (Q) = d 
 ⇒ a ⊥ (Q)
a ⊂ (P), a ⊥ d


• Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc mặt phẳng (P) thì giao tuyến của
chúng vuông góc mặt phẳng (P).

d
(Q)

(P)

82

Nhiều tác giả

(R)


 Các vấn đề thường gặp

VẤN ĐỀ 1: BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P): bằng độ dài đoạn vuông
góc vẽ từ điểm M đến mp (P)
a) Cách tính:
Q
• Ta tìm mp (Q) chứa M và vuông góc
M
(P) theo giao tuyến d
d
• Vẽ MH vuông góc d thì MH vuông
góc mp(P)
H

• Khoảng cách từ M đến (P) bằng
P
đoạn MH.
b) Đặc biệt:
Khi tính khoảng cách từ M đến (P) bằng cách tính đoạn MH mà quá khó thì
ta đổi khoảng cách như sau :
 Đổi điểm song song: Ta cũng tìm mặt phẳng (Q) vuông góc (P) theo giao
tuyến d (không cần phải chứa M), từ M vẽ đường thẳng (D) song song với
(P), đường thẳng (D) này cắt mặt phẳng (Q) tại A.
A
Suy ra: MA // mp(P)
M
thì d(A,(P)) = d(M,(P))

K
(P)

H

 Đổi điểm cắt nhau:
d(M,(P))
MH CM
= d(A,(P))
Nếu đoạn MA cắt mp(P) tại CMA
thì //(P)
ta có⇒ d(M,(P))
=
=
d(A,(P))
AK

CA
M

A
C
(P)

H

K

2. Khoảng cách giữa đường thẳng d song song mp(P) đến mp(P) bằng khoảng cách
từ một điểm bất kỳ trên d đến (P)
3. Cách dựng đoạn vuông góc chung của 2 đường chéo nhau
Hình học

83


• Cách 1: (Dựng song song)
– Xác đònh một mp (P) chứa d’ và song song d.
– Lấy M trên d, vẽ MH vuông góc (P) tại H, qua H vẽ đường song song d đường
này cắt d’ tại B.
d
M
– Qua B vẽ đường song song MH cắt d tại
A
A. Khi đó AB là đoạn vuông góc chung.

H

• Cách 2: (Dựng vuông góc)
B
d′
(P)
– Dựng mp (β) vuông góc có d tại H
– Dựng đường thẳng (D) hình chiếu vuông góc của d′ lên mp(β)
– Trong mp(β) vẽ HK ⊥ (D)
– Từ K vẽ đường thẳng song song với d đường này cắt d′ tại B
– Từ B vẽ đường thẳng // HK đường này cắt d tại A
AB là đường vuông góc chung cần dựng
• Chú ý: Khi d vuông góc d′
– Xác đònh mp (P) chứa d và vuông góc d’ tại B. Từ B vẽ BA vuông góc d
– Khi đó AB là đoạn vuông góc chung của d và d’.
d′

B
(P)

A

d

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:
– Bằng độ dài đoạn vuông góc chung.
– Bằng khoảng cách giữa đường thẳng thứ nhất đến mặt phẳng chứa đường
thẳng thứ hai và song song đường thẳng thứ nhất.
– Bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song nhau lần lượt chứa hai
đường thẳng đó.

B/ BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Đề dự bò ĐH khối B/04
·
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc mp(ABC), SA = 3a, BA = BC = 2a, ABC
=
o
120
84

Nhiều tác giả


Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC)
Giải

S

Vẽ AI ⊥ BC, AH ⊥ SI
Ta có BC ⊥ AI và SA
⇒ BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ AH
Vậy AH ⊥ (SBC)
∆ABI ⊥

⇒ sin60o =

AI
3
=
AB
2

C

3
.2a = a 3
2

⇒ AI =

Do đó AH = d(A, (SBC)) =
3a.a 3

=

H

A

9a + 3a
2

SA.AI
SI
=

2

B

3a 2 3 3

= a
2
2a 3

I

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a,
SA vuông góc mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi I là trung điểm SC. Tính
khoảng cách từ I đến (SBD).
I

Giải

S

K

G

I

G
M

SBD
K

A

B

A

H
O
D

C

Hình học

85


Gọi O là trung điểm AC thì SO cắt AI tại G trọng tâm ∆SAC
Ta có AI cắt (SBD) tại G nên

d(I,(SBD))
IM
GI 1
=
=
=
d(A,(SBD)) AK GA 2

1
d(A, (SBD))
2
Vẽ AH ⊥ BD và AK ⊥ SH
Do BD ⊥ SA và AH nên BD ⊥ (SAH) ⇒ BD ⊥ AK

Do AK ⊥ SH và BD nên AK ⊥ (SBD)
AB.AD
a.2a
2a
=
=
∆ABD ⊥ ⇒ AH =
2
2
BD
5
a + 4a
⇒ d(I(SBD)) =

SA.AH
∆SAH ⊥ ⇒ AK = SH =

Do đó: d(I, (SBD) =

2a
2a
5
=
2
3
4a
a2 +
5
a.

1
AK a
=
d(A, (SBD)) =
2
2
3

Bài 3. Đề dự bò ĐH khối D/2002
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a = 6 2 cm. Xác đònh và tính độ dài đoạn
vuông góc chung của AD và BC.
Giải

A

Gọi I và J lần lượt là trung điểm
của AD và BC
∆ABD và ∆ACD đều cạnh a nên
a 3
2
∆IBC cân tại I nên IJ ⊥ BC (1)
Tương tự: ∆JAD cân tại J
nên IJ ⊥ AD
Từ (1) và (2)
⇒ IJ là đoạn vuông góc chung
của AD và AC

I

BI = CI =

B
(2)

J
C

2

2

a 3
a2
a
∆AIJ ⊥⇒ IJ = AJ – AI = 
÷– ÷ =
2
 2
 2 
a
Vậy IJ = d(AD, BC) =
= 6 cm
2
2

86

Nhiều tác giả

2

2

D


Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều.
Mặt bên (SAB) vuông góc mặt phẳng đáy (ABCD). Gọi M, N, K lần lượt là
trung điểm của BC, SD, SB. Xác đònh và tính đoạn vuông góc chung của
a) NK và AC
b) MN và AK.
Giải
S
AC
K

P

N

B

C

H
I
A

NK
P

KNL

L

L

D

Vẽ SI ⊥ AB
Do (SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ SI ⊥ (ABCD)
a) Vẽ HK // SI, HL // BD
Ta có: AC ⊥ BD ⇒ AC ⊥ HL
HK // SI ⇒ HK ⊥ AC
Vậy AC ⊥ (HKNI) tại L
Vẽ LP ⊥ NK thì LP là đoạn vuông góc chung của AC và NK
Do HKPL là hình chữ nhật nên
S
SI a 3
=
d(AC, NK) = LP = HK =
2
4
N
b) Gọi R là trung điểm SA
R
uuur 1 uuur
uuuu
r 1 uuur
Ta có RN = AD và BM = BC

2
2
K
uuur uuur
uuur uuuu
r
G′
G
Mà AD = BC nên RN = BM
Do đó BR // MN
Vậy (SAB) là mặt phẳng chứa
AK và NM (xem cách 1)
Vẽ GG′ // MB
Ta có: BM ⊥ AB và SI

D

A

I
B

M

C

Hình học

87

Nên MB ⊥ (SAB)
⇒ GG′ ⊥ (SAB) ⇒ GG′ ⊥ AK (1) và GG′ ⊥ BR ⇒ GG′ ⊥ AK và MN
Vậy GG′ là đoạn vuông góc chung của AK và MN
a
Ta có: GG′ = d(AK, MN) = BM =
2

VẤN ĐỀ 2: CÁC BÀI TOÁN TÍNH GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng: Bằng góc giữa hai đường thẳng cùng phương với
chúng và phát xuất từ một điểm.
 Tìm trong bài toán các đường thẳng song song với hai đường đó để đổi
đường.
 Để tính giá trò của góc dùng hệ thức trong tam giác.
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng d và mp (P) là góc giữa nó và hình chiếu vuông góc của
nó trên (P).
Gọi α là góc giữa d và mặt phẳng (P) thì 00 ≤ α ≤ 900.
 Đầu tiên ta tìm giao điểm của d và (P) là A.
 Trên d chọn điểm B khác A, xác đònh BH vuông góc (P), suy ra AH là hình
chiếu cùa d trên (P).
·
 Vậy góc giữa d và (P) là góc BAH
 Chú ý: Khi xác đònh góc giữa d và (P) khó quá (không chọn được điểm B để
dựng BH vuông góc (P)), thì ta sử dụng công thức sau đây:
Gọi α là góc giữa d và (P) suy ra:
sinα =

d(M,(P))
AM

với M là một điểm bất kỳ trên d và A là giao điểm của d với mặt phẳng (P).
Ta chuyển bài toán góc về bài toán tính khoảng cách từ M đến (P).
Công thức trên chứng minh rất đơn giản,nên coi như là hiển nhiên .
3. Góc giữa hai mp (P) và (Q)
Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt
phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm.
 Để tìm góc giữa hai mặt phẳng ta phải tìm giao tuyến của hai mặt phẳng sau
88

Nhiều tác giả


đó tìm hai đường thẳng trong hai mặt phẳng lần lượt vuông góc giao tuyến
theo các cách nêu ở những hình vẽ sau đây:
Trường hợp 1:
Trường hợp 2:
Hai tam giác cân ABC;
Hai tam giác ABC; DBC có AD ⊥ (DBC). Vẽ
DBC chung cạnh đáy BC
DH ⊥ BC thì AH ⊥ BC nên góc giữa hai mặt
·
phẳng là AHD
Gọi M là trung điểm BC thì góc giữa
·
hai mặt phẳng là AMD
AA

B
B

D

D

M
H

C

C

Trường hợp 3:

C
H
B

D

Hai tam giác ABC và DBC có các cạnh tương
ứng bằng nhau.
Vẽ AH ⊥ BC thì DH ⊥ BC
·
Vậy góc của hai mặt phẳng là AHD

A
 Chú ý:
• Khi xác đònh góc của hai mặt phẳng khó quá, ta nên sử dụng công thức sau:
Gọi ϕ là góc giữa (P) và (Q) suy ra:

sinϕ =

d(A,(Q))
d(A,u)

với A là một điểm trên mặt phẳng (P) và u là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P)
và (Q). Công thức này chứng minh rất đơn giản, nên coi như là hiển nhiên.
• Có thể tìm góc giữa hai mặt phẳng bằng công thức S’ = S.cosϕ.

B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA a và SA vuông góc
Hình học

89


đáy. Tính góc giữa:
a) SB và CD.
b) SD và (ABCD).

c) SC và (SAD).

Giải
a) Ta có: CD // AB nên góc giữa SB và
CD bằng góc giữa SB và AB bằng
·
góc SBA
SA
·
Tam giác SAB có tan SBA

=
=
AB
·
⇒ SBA
= 60o.
b) Ta có:

S

3

SD I (ABCD) = D

A

D

B

C

SA ⊥ (ABCD)
⇒ AD là hình chiếu vuông góc của SD trên (ABCD)
·
Nên góc giữa SD và (ABCD) là góc SDA
.
·
Tam giác SAD có tan SDA
=

SA
=
AD

·
3 suy ra SDA
= 60o

c) Ta có: CD ⊥ AD 
 ⇒ CD ⊥ (SAD)
CD ⊥ SA 
SC ∩ (SAD) = S
CD ⊥ (SAD)
⇒ SD là hình chiếu vuông góc của SC trên (SAD)
·
Nên góc giữa SC và (SAD) là CSD
tam giác CSD
Khi đó

CD
1
1
·
·
có tan CSD
=
= ⇒ CSD
= arctan .
SD

2
2
Bài 2. Cho hai tam giác ABC và DBC không đồng phẳng có cạnh đáy BC chung.
Gọi I là trung điểm BC, vẽ AH vuông góc ID. Cho AB = AC = AD = a, BC =
DB = DC = 2a/3. Tính góc giữa:
a) BA và (BCD).
b) (ABC) và (BCD).
c) (ABD) và (ACD)
Giải

A

a) Gọi H là tâm của ∆ đều BCD
thì HB = HC = HD
Mặt khác do AB = AC = AD nên AH
là trục đường tròn (BCD) ⇒ AH ⊥ (BCD)
Vậy BH là hình chiếu vuông góc
90

Nhiều tác giả

B

D
I

H

J
C

của AB lên (BCD)
Ta có: BH =

2
2  2a  3 2a 3
=
BJ =  ÷
3
3 3  2
9

BH 2 3
·
=
Vậy cos ABH
= cos(AB, (BCD)) =
AB
9
2 3
·
⇒ ABH
= arcos
9
b) Gọi I là trung điểm BC
Ta có DI ⊥ BC, AI ⊥ BC
·
Vậy AID
là góc của hai mp(ABC) và (BCD)

2

8a 2
a
∆ABI ⊥ ⇒ AI = AB – BI = a –  ÷ =
9
 3
2

∆BDC đều ⇒ IH =

2

2

2

1
1  2a  3
a 3
DI =  ÷
=
3
3 3  2
9

·
∆AIH ⊥ ⇒ cos AIH
=

IH a 3 3
3
6
=
.
=
=
AI
9 a 2 3 2
6

Bài 3. Tuyển sinh ĐH khối A/2003
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tính góc của hai mặt phẳng (BA′C) và
(DA′C)
Giải
Vẽ BH ⊥ A′C
Ta có ∆A′BC = ∆A′CD (c.c.c)
·
·
⇒ BCH
= HCD

A′

⇒ ∆HBC = ∆HCD (c.g.c)

D′

·
·

⇒ CHD
= 1v
= CHB
·
Vậy BHC
là góc của

B′

C′

hai mp(BA′C), (DA′C)
∆A′BC ⊥ tại B ⇒ BH =

B′A.BC
A ′C

A

D
H

B

C Hình học

91


⇒ HB = HD =

a 2.a
2a + a
2

2

=

a 6
3

Áp dụng đònh lý hàm cosin trong
∆HBD ta có:
·
BD2 = HB2 + HD2 – 2HB.HDcos BHD
2HB2 − BD2
·
⇒ cos BHD
=
=
2HB2

2

6a 2
− 2a 2
1
9
= − ⇒ BHD

·
= 120o
2
2
 6a 
2
÷
 9 

Bài 4. Đề dự bò ĐH khối A/2003
·
Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác có AB = AC = a, BAC
=
o
120 , cạnh bên BB′ bằng a. Gọi I là trung điểm của OO′. Chứng minh ∆AB′I
vuông. Tính cosin góc của hai mp(ABC) và (AB′I)
Giải
• ∆ABC ⇒ BC2 = a2 + a2 – 2a2cos120o = 3a2
∆BB′A ⊥ cân ⇒ B′A = 2a2
a 2 5a 2
=
∆IAC ⊥ ⇒ AI2 = a2 +
4
4
2
a
13a 2
=
∆B′C′I ⊥ ⇒ B′I2 = 3a2 +
4

4
2
5a
13a 2
Ta có B′A2 + AI2 = 2a2 +
=
= B′I2
4
4
⇒ ∆B′IA ⊥ tại A
• Ta có Dt(∆AIB′) =
Dt(∆ABC) =

B′

C′

A′

B

I

C
A

1
a 2 10
AI.AB′ =
2

4
1 2
a2 3
a sin120o =
2
4

Ta thấy rằng ∆ABC là hình chiếu vuông góc của ∆IB′C vuông mp(ABC). Vậy
gọi ϕ là góc của hai mặt phẳng (AB′I) và (ABC) thì
cosϕ =

Dt(∆ABD)
=
Dt(∆AB′I)

3
30
=
10
10

·
·
·
Bài 5. Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = a, ASB
= 600, CSB
= 900, ASC
=
92

Nhiều tác giả


1200
a. Chứng minh: ∆ABC vuông.

b. Tính d(S, (ABC))

c. Tính góc giữa SB và (ABC).

d. Tính d(A, (SCB)).
Giải

S

a/ Tam giác SAB đều ⇒ AB = a.
Tam giác SBC vuông cân
⇒ BC = a 2
D

A

·
Tam giác SAC cân có ASC
= 120o

H

C

M

AC2 = SA2 + SC2 – 2SA.SCcos120o
 1
= a2 + a2 – 2a2  − ÷ = 3a2 ⇒ AC = a 3
 2

B

Xét tam giác ABC có AC2 = AB2 + BC2 nên tam giác vuông tại B.
b/ Ta có SA = SB = SC. Gọi D trung điểm AC. Ta có DA = DB = DC
Vậy SD là trục đường tròn (ABC) ⇒ SD ⊥ (ABC)
Vậy d(S, (ABC)) = SD =

SC2 − DC2 =

a
2

c/ Ta có: SB ∩ (ABC) = B; SD ⊥ (ABC)
·
⇒ BD là hình chiếu của SB trên (ABC) nên góc giữa SB và (ABC) là SBD
·
Tam giác SBD có tan SBD
=

1
SD
=
.

3
BD

Vậy góc giữa SB và (ABC) là 60o
d) Ta có đoạn AC cắt (SBC) tại C và D là trung điểm AC nên:
d(A, (SBC)) = 2d(D, (SBC)).
Gọi M là trung điểm BC suy ra BC ⊥ DM (DM // AB) và SD ⊥ BC nên BC ⊥
(SDM)
Vẽ DH ⊥ SM thì DH ⊥ BC (do BC ⊥ (SDM))
Suy ra: DH ⊥ (SBC) ⇒ d(D, (SBC)) = DH.

Hình học

93


Tam giác DHM có DH.SM = DS.DM ⇒ DH =
Vậy d(A, (SBC)) = 2.DH =
d
B
A
d’

a
2 2

.

a
.

2

C. BÀI TẬP TỰ GIẢI
BT1. Cho tứ diện DABC có DA, DB, DC đôi một vuông góc. DA = a,
DB = 2a, DC = 3a.
a) Tính d(AD, BC)
b) Tính d(C, (ABD)).
c) Tính góc giữa (ACD) và (BCD).
BT2. Cho hình chóp S.ABCD có SA = 2a vuông góc đáy, ABCD là hình vuông tâm
O cạnh a. Vẽ AI vuông góc SO.
a) Tính d(A, (SBD))
b) Tính d(C, (SBD))
c) Tính d(CD, (SAB)).
d) Tính d(D, (SBC)).
BT3. Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, BC ⊥ AD. Có ∆ACD đều và H là trực tâm.
AB = AC = a
a) Chứng tỏ BH ⊥ (ACD)
b) Tính d(B, (ACD))
c) Chứng minh d(A, (BHC)) = d(D, (BHC)).
BT4. Cho tứ diện SABC, SA ⊥ (ABC). Vẽ CI ⊥ AB, AJ ⊥ BC. Cho tam giác ABC
đều cạnh a, SA = a/2.
a) Tính góc giữa (SBC) và (ABC)
b) Tính d(A, (SBC))
c) Tính d(B, (SIC)).
BT5. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt
phẳng vuông góc. Gọi I là trung điểm AB.
a) Chứng minh SI ⊥ (ABCD).
b) Tính góc giữa SI và (SCD).
c) Tính d(SB, CD). d) Tính d(B, (SCD)).
BT6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB = a, SA = 3a.

a) Tính chiều cao hình chóp.
b) Tính góc giữa mặt bên và đáy.
c) Tính d(SC, AB). d) Tính d(C, (SAB)).
BT7. Hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, AB = 2a, AC = a, SA = SB =
SC = a 2 . Gọi O, I là trung điểm BC, AB.
a) Chứng minh (SBC) ⊥ (ABC).
c) Chứng minh (SOI) ⊥ (SAB).

94

Nhiều tác giả

b) Tính góc giữa AS và (ABC).
d) Tính d(O, (SAB)).


BT8. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có AB = a, góc giữa cạnh bên và đáy là
600.
a) Tính d(S, (ABCD)).
b) M là tâm điểm CD, tính góc (SCD) và đáy.
c) Tính d(SA, (SCD)).
d) Tính góc (SAB) và (SCD).
BT9. (DB/D07) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M
là trung điểm AA’. Chứng minh BM vuông góc B’C và tính khoảng cách giữa
BM và B’C
·
·
BT10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC
= 900, BA = BC
= BAD

= a, AD = 2a. Cạnh SA vuông góc đáy, SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu của A
trên SB. Chứng tỏ tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến (SCD).
·
BT11. (DB/B04) Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = 3a, BA = BC = 2a, ABC
= 120. Tính d(A, (SBC))
3a
Đáp số:
.
2
BT12. D/2002
Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ (ABC), AC = AD = 4
AB = 3, BC = 5. Tính d(A, (BCD))
12
Đáp số:
34
BT13. DB/A02
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC) và SA =
a 6
. Tính d(A, (SBC)).
2
Đáp số:

a 2
2

BT14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với AB = a, AD = 2a.
SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Tính d(A, (SBD)). Suy ra khoảng cách từ trung điểm I
của SC đến (SBD).
BT15. Cho hình thoi ABCD cạnh a và AC = a. Từ trung điểm H của AB, vẽ SH
vuông góc (ABCD) với SH = 2a. Tính d(A, (SBC)).

BT16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình thang ABCD vuông tại A và D,
AB = AD = a, CD = 2a, SD ⊥ (ABCD), SD = a.
a) Chứng minh ∆SBC vuông. Tính diện tích ∆SBC.
b) Tính d(A, (SBC))

Hình học

95


Đáp số:

a 6
6

BT17. (B2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a) Tính d(BA’, DB’)
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD, A’D’. Tính góc của hai
đường thẳng MP và NC.
BT18. (B2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD
cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm đoạn SA. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của AE và BC. Chứng minh: MN vuông góc BD. Tính d(MN,
AC).
a 2
.
4
(HD: d(MN, AC’ = d(MN, (SAC))) = d(N, (SAC)) = NH.
Đáp số:

BT19. Dự bò ĐH A/02

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi α, β, γ là góc của
(ABC) và các mặt phẳng (OBC) (OCA) (OAB)
Chứng minh cosα + cosβ + cosγ ≤

96

Nhiều tác giả

3


BÀI 3

CÁC BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH
VẤN ĐỀ 1: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
V=

1
B.h
3

B: diện tích đáy
h: chiều cao

S

 Chú ý: Cho khối chóp S.ABC. Trên các cạnh
SA, SB, SC lấy các điểm A’,B’,C’ khác S
thì:
VS.A'B'C' SA'.SB'.SC'

=
VS.ABC
SA.SB.SC

A′

C′
B′

A

C

B
Dạng 1: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TỨ DIỆN
Bài 1. Tuyển sinh ĐH khối D/2011
Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vuông tại B
·
BA = 3a, BC = 4a, mp(SBC) vuông góc mp(ABC) SB = 2a 3 , SBC
= 30o
Tính thể tích khối S.ABC và khoảng cách từ B đến mp(SAC)
Giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên BC
Do (SBC) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)
Ta có: AB ⊥ BC ⇒ AB ⊥ SB
SH
1
1
∆SBH ⊥ ⇒ sin30o =
= ⇒ SH = (2a 3 ) = a 3 2a 3

SB
2
2
1
1
1
Vậy VS.ABC = SHdt(∆ABC) = a 3 . 3a × 4a = 2 3 a3
4a
3
3
2
B
o
30
∆SAB ⊥ ⇒ SA2 = SB2 + AB2 = 12a2 + 9a2 = 21a2
3a

S

H

Hình học

A

C

97

∆SBH ⊥ ⇒ BH2 = SB2 – SH2 = 12a2 – 3a2 = 9a2
⇒ HC = BC – BH = 4a – 3a = a
∆SHC ⊥ ⇒ SC2 = SH2 + HC2 = 3a2 + a2 = 4a2
∆BAC ⊥ ⇒ AC2 = AB2 + BC2 = 9a2 + 16a2 = 25a2
Ta có SA2 + SC2 = 21a2 + 4a2 = AC2
⇒ ∆SAC ⊥ tại S
1
1
Vậy dt(∆SAC) = SA.SC = a 21 (2a) = a2 21
2
2
1
Ta có VS.ABC = VB.SAC = d(B, SAC) dt (∆SAC)
3
⇒ d(B, (SAC)) =

3V
6a 3 3 6a
= 2
=
.
dt(∆SAC) a 21
7

Bài 2. Trong mặt phẳng (α) cho tam giác OAB có OA = OB = 2a,
·
= 120o. Trên đường vuông góc với (α) tại O lấy hai điểm C, D về hai
AOB
phía của O sao cho ∆ABC vuông tại C và ∆ABD đều. Tính thể tích khối chóp
ABCD theo a.

Giải
Do CD ⊥ (OAB)
và OA = OB nên DA = DB và CA = CB
∆OAB ⇒ BA2 = OA2 + OB2 – 2OAOBcos120o

D

 1
⇒ BA2 = 4a2 + 4a2 – 2(2a)(2a)  − ÷
 2
⇒ BA2 = 12a2 ⇒ BA = 2a 3
∆ABC ⊥ cân tại C ⇒ AC = CB =

AB
=a 6
2

∆OAC ⊥ tại O ⇒ OC2 = AC2 – OA2
⇒ OC2 = 6a2 – 4a2 = 2a2

A

∆DAB đều ⇒ DA = DB = AB = 2a 3
∆DOA ⊥ tại O
⇒ OD2 = AD2 – OA2 = 12a2 – 4a2 = 8a2
Mặt khác: dt(∆OAB) =

98

Nhiều tác giả

1
OAOBsin120o
2

O

C

2a
B


⇒ S = dt(∆OAB) =

 3
1
2
(2a)2 
÷=a 3
2
 2 

Vậy VA.BCD = VD.OAB + VC.OAB
=

1
1
1
ODdt(∆OAB) + OCdt(∆OAB) = (OD + OC)dt(∆OAB)

3
3
3

=

1
1
(2a 2 + a 2 ).a2 3 = .3a 2 .a2 3 = a3 6
3
3

Bài 3. (Đề dự bò Tuyển sinh ĐH khối A 2007) Cho hình chóp S.ABC có góc của hai
mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o. Tam giác ABC và SBC đều cạnh a. Tính
theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
Giải
• Gọi I là trung điểm BC.
∆ ABC đều ⇒ AI ⊥ BC
∆ SBC đều ⇒ SI ⊥ BC
· ˆ = 60o là góc của (SBC) và (ABC)
Vậy SIA
a 3
2
Gọi H là trung điểm AI ⇒ SH ⊥ AI
Do BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ SH
Vậy SH ⊥ (ABC)
Do đó ∆ SIA đều cạnh

a 3 3 3a
.

=
.
2 2
4
1 3a a 2 3 a 3 3
=
Vậy VS.ABC = .
3 4 4
16
• Gọi M là trung điểm SA
∆ SAC cân tại C ⇒ CM ⊥ SA
Ta có: SH =

S

M

A

C

o

60

H

I
B

a 3 2 13a 2
) =
4
16
2
1
1 a 13 a 3 a 39
.
=
Vậy dt( ∆ SAC) = CM.SA = .
2
2 4
2
16
1
Ta có: VS.ABC = VB.SAC = d(B,(SAC).Dt(∆ASC))
3
3VSABC
3a 3 . 3 16
3a
⇒ d(B,(SAC)) =
=
. 2
=
.
Dt(∆SAC)
16 a 39
13
∆AMC ⊥ ⇒ CM2 = CA 2 − AM2 = a 2 − (

Bài 4. (Đề dự bò ĐH khối A/08) Cho hình chóp S.ABC có ba mặt bên là các tam
giác vuông, SA = SB = SC = a. Gọi M, N, E là trung điểm AB, AC, BC. Gọi D là

Hình học

99