Giải một số bài tập phương pháp tính

[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]

GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TÍNH

***Giải bài tập dựa trên:
Sách Phương pháp tính
Nguyễn Thành Long- Nguyễn Công Tâm- Lê Thị Phương Ngọc- Nguyễn Văn Ý
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM -2013***

Chương 1: SAI SỐ
Câu 9: (Trần Đình Trọng)
Ta có: a = 12,3075 là số gần đúng có 2 chữ số đáng nghi:
=> Da £ 0,5.10

-2

Da 0,5.10-2
;d a =
=
= 4, 0626.10 -4
a
12,3075

Chương 2: GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1:
a/ x3+3x2-3=0 , sai số 10-3 trong khoảng phân ly nghiệm (-3,-2).
Giải:
b-aù
-2 + 3 ù
é
Ta có: n = éêlog 2

+ 1 = êlog 2
» 10, 97
ú
e û
10 -3 úû
ë
ë

[Trần Đình Trọng]

Page 1


[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
f ( -3) = - 3 < 0 , f ( -2 ) = 1 > 0

c=

-3 - 2
= 2,5
2

f ( c ) = f ( -2,5 ) > 0 Þ b = c

Ta có bảng:
n

an

bn

0

f ( cn )

bn - an

-2

-2,5

0,125

1

-3

-2,5

-2,75

-1,109375

0,5

-2,75

-2,5

-2,625 -0,416015625

0,25

-2,625

-2,5

-2,5625 -0,127197266

0,125

-2,5625

-2,5

-2,5625

2

4

an + bn
2

-3

1

3

cn =

0,003387451

0,0625

-2,53125

-2,546875 -0,060771942

0,03125

-2,546875

-2,53125

-2,5390625 -0,028410435

0,015625

-2,5390625

-2,53125

-2,53515625 -0,012441218

0,0078125

-2,53515625

-2,53125 -2,533203125 -0,004509337

0,00390625

-2,533203125

-2,53125 -2,532226563 -0,000556559

0,001953125

-2,532226563

-2,53125 -2,531738281

0,001416542

0,000976563

-2,532226563 -2,531738281 -2,531982422
Vậy: c =-2,531982422 là nghiệm của phương trình.

0,000430265

0,000488281

5
6
7
8
9

10
11

-2,53125

b/ x3-6x+2=0 , sai số 10-3 trong khoảng phân ly nghiệm (2,3).
Giải:
b-aù
1 ù
é
Ta có: n = êélog 2
+ 1 = ê log 2 -3 ú » 11
ú
e û
10 û
ë
ë

f ( a ) = -2 < 0 , f ( b ) = 11 > 0

[Trần Đình Trọng]

Page 2


[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
Ta có bảng:
n

an

bn

0

cn =

f ( cn )

an + bn
2

bn - an

2

3

2,5

2,625

1

2

2,5

2,25

-0,109375

0,5

2,25

2,5

2,375

1,146484375

0,25

2,25

2,375

2,3125

0,491455078

0,125

2,25

2,3125

2,28125

0,184356689

0,0625

2,25

2,28125

2,265625

0,035831451

0,03125

2,25

2,265625

2,2578125 -0,037185192

0,015625

2,2578125

2,265625

2,26171875 -0,000780404

0,0078125

2,26171875

2,265625

2,263671875

0,017499618

0,00390625

2,26171875

2,263671875

2,262695313

0,008353134

0,001953125

2,26171875

2,262695313

2,262207031

0,003784747

0,000976563

2,26171875 2,262207031 2,261962891
Vậy: c = 2,261962891 là nghiệm của phương trình.

0,001501767

0,000488281

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

c/ 2x-5x-3=0 , sai số 10-3 trong khoảng phân ly nghiệm (4,5).
Giải:
b-aù
1 ù
é
Ta có: n = êélog 2
+ 1 = ê log 2 -3 ú » 11
ú
e û
10 û
ë

ë

f ( a ) = -7 < 0 , f ( b ) = 4 > 0

Ta có bảng:
n

an

0
1
[Trần Đình Trọng]

bn

cn =

4

5

4,5

5

f ( cn )

an + bn
2

4,5 -2,872583002
4,75

0,158685288

bn - an

1
0,5
Page 3


[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
2

4,5

4,75

4,625 -1,449626793

0,25

4,625

4,75

4,6875 -0,669654689

0,125

4,6875

4,75

4,71875

4,75

4,734375

4,75

4,734375

4,7421875

4,73828125

4,7421875

4,740234375

0,025983191

0,00390625

4,73828125

4,740234375

4,739257813

0,012780472

0,001953125

4,73828125

4,739257813

4,738769531

0,006183703

0,000976563

4,73828125 4,738769531 4,738525391
Vậy: c =4,738525391 là nghiệm của phương trình.

0,002886465

0,000488281

3
4
5
6
7
8

9
10

4,71875

-0,26166235

0,0625

4,734375 -0,053049715

0,03125

4,7421875

0,052425374

0,015625

4,73828125 -0,000410008

0,0078125

11

d/ x3-x-1=0 , sai số 10-3 trong khoảng phân ly nghiệm (1,2).
Giải:
é

b-aù

é

1 ù

Ta có: n = êlog 2
+ 1 = ê log 2 -3 ú » 11
e úû
10 û
ë
ë
f ( a ) = -1 < 0 , f ( b ) = 5 > 0

Ta có bảng:
n

an

bn

0

1,5

0,875

1

1

1,5

1,25

-0,296875

0,5

1,25

1,5

1,375

0,224609375

0,25

1,25

1,375

1,3125 -0,051513672

0,125

1,3125

1,375

1,34375

0,082611084

0,0625

1,3125

1,34375

1,328125

0,014575958

0,03125

1,3125

1,328125

1,3203125 -0,018710613

0,015625

3

6

bn - an

2

2

5

f ( cn )

an + bn
2

1

1

4

cn =

[Trần Đình Trọng]

Page 4


[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
7

1,3203125

1,328125

1,32421875

1,328125

1,326171875

0,00620883

0,00390625

1,32421875

1,326171875

1,325195313

0,002036651

0,001953125

1,32421875

1,325195313

1,324707031

-4,65949.10-3

0,000976563

1,324707031 1,325195313 1,324951172
Vậy: c =1,324951172 là nghiệm của phương trình.

0,000994791

0,000488281

8
9
10

1,32421875 -0,002127945

11

0,0078125

e/ x3-x-1=0 , sai số 10-3 trong khoảng phân ly nghiệm (-0,8;-0,5).
Giải:
b-aù
0, 3 ù
é
Ta có: n = éêlog 2
+ 1 = ê log 2 -3 ú » 6
ú
e û
10 û
ë
ë

f ( a ) = 0,486 >0 , f ( b ) = -0,75<0

Ta có bảng:
n

an

bn

0

cn =

an + bn
2

f ( cn )

bn - an

-0,8

-0,5

-0,65

-0,36

0,3

-0,8

-0,65

-0,725

-0,021

0,15

-0,8

-0,725

-0,7625

-0,2058

0,075

-0,7625

-0,725

-0,74375

-0,0866

0,02125

-0,74375

-0,725

-0,734375

0,0314

0,01875

-0,734375

-0,725

-0,7296875

4,88.10-3

9,375. 10-3

-0,7296875
-0,725
-0,7273375
Vậy: c =-0,7273375 là nghiệm của phương trình.

8,18. 10-3

4,469. 10-3

1
2
3
4
5
6

Bài 2:
a/ (Trần Đình Trọng)
[Trần Đình Trọng]

Page 5


[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
x3 + 3x 2 - 3 = 0 với sai số 10-4 trong khoảng phân ly nghiệm (-3,-2)

· Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số
x3 = 3 - 3 x 2 Û x =
Þ j ( x) =

j '( x) =

3
-3
x2

3
-3
x2

-2
³ 0, "x Î ( -3; -2 ) . Do đó là hàm tăng trên[-3,-2]
x3

Vậy:
-3 <

-8
-9
= j (-3) £ j ( x) £ j (-2) =
< -2, "x Î [ -3; -2]
3
4

Mặt khác, ta có q = max j ' ( x ) =
xÎ[ -3; -2]

1
< 1 . Vậy hàm j ( x ) thỏa mãn yêu cầu của
4

phương pháp lặp.
Chọn x0=

-2 + -3
= -2,5 . Tính các giá trị x1,x2,… theo công thức lặp
2

xn = j ( xn -1 ) =

3
- 3, n = 1, 2,...
x n2-1

Ta nhận được dãy lặp này hội tụ và có đánh giá sai số
xn - a £

q
1
xn - xn -1 = xn - xn -1 , n = 1, 2,...
1- q
3

Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây:
n

xn = j ( xn-1 )

1
xn - xn-1
3

1

-2,52

6,666.10-3

2

-2,52759

2,53. 10-3

3

-2,53042

9,433.10-3

4

-2,53147

3,5.10-4

5

-2,53186

1,3. 10-4

6

-2,53200

4,66667. 10-5

[Trần Đình Trọng]

Page 6


[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]

Vậy x6=2,53200 ±4,66667.10-5 là nghiệm gần đúng thỏa mãn yêu cầu về sai số.
b/ (Trần Đình Trọng)
x3 - 6 x + 2 = 0 với sai số 10-5 trong khoảng phân ly nghiệm (2,3)

· Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số:
Chọn M = max f '( x) = 21 . Đặt:
xÎ[2,3]

j ( x) = x j '( x) =

f ( x)
x3 - 6 x + 2 - x3 + 27 x - 2
= x=
M
21
21

-3x 2 + 27
³ 0, "x Î ( 2;3) . Do đó là hàm tăng trên[2,3]
21

Vậy:
2<

41
52
= j (2) £ j ( x) £ j (3) =
< 3, "x Î [ 2;3]
21
21

Mặt khác, ta có q = max j ' ( x ) =
xÎ[ 2;3]

5
< 1 . Vậy hàm j ( x ) thỏa mãn yêu cầu của
7

phương pháp lặp.
Chọn x0=

2+3
= 2,5 . Tính các giá trị x1,x2,… theo công thức lặp
2

- xn3-1 + 27 xn-1 + 1
xn = j ( xn-1 ) =
, n = 1, 2,...
21

Ta nhận được dãy lặp này hội tụ và có đánh giá sai số
xn - a £

q

xn - xn-1 = 2,5 xn - xn-1 , n = 1, 2,...
1- q

Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây:
n

xn = j ( xn-1 )

2,5 xn - xn -1

1

2,517857

0,0446425

2

2,524758

0,0172525

[Trần Đình Trọng]

Page 7


[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
3

2,527364

6,515. 10-3

4

2,528339

2,4375. 10-3

5

2,528702

9,075.10-4

6

2,528838

3,4.10-4

7

2,528888

1,25.10-4

8

2,528906

4,5.10-5

9

2,528914

2.10-5

10

2,528916

5.10-6

Vậy x10=2,528916 ±5.10-6 là nghiệm gần đúng thỏa mãn yêu cầu về sai số.

c/(Trần Đình Trọng)
2 x - 5x - 3 = 0 với sai số 10-4 trong khoảng phân ly nghiệm (4,5)

· Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số
2 x = 5 x + 3 Û x = log 2 ( 5 x + 3)
Þ j ( x ) = log 2 ( 5 x + 3)
j '( x) =

5
³ 0, "x Î ( 4;5 ) . Do đó là hàm tăng trên[4,5]
( 5 x + 3) ln 2

Vậy:
4 < log 2 ( 23) = j (4) £ j ( x) £ j (5) = log 2 ( 28 ) < 5, "x Î [ 4;5]

Mặt khác, ta có q = max j ' ( x ) =
xÎ[ 4;5]

5
» 0,3136 < 1 . Vậy hàm j ( x ) thỏa mãn
23ln ( 2 )

yêu cầu của phương pháp lặp.
Chọn x0=

4+5
= 4,5 . Tính các giá trị x1,x2,… theo công thức lặp
2

xn = j ( xn -1 ) = log 2 ( 5 x + 3) , n = 1, 2,...

Ta nhận được dãy lặp này hội tụ và có đánh giá sai số
[Trần Đình Trọng]

Page 8


[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
xn - a £

q
xn - xn -1 = 0, 4569 xn - xn-1 , n = 1, 2,...

1- q

Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây:
n

xn = j ( xn-1 )

0, 4569 xn - xn-1

1

4,67243

0,07878

2

4,72039

0,02191

3

4,73346

5,9397.10-3

4

4,73700

1,617426.10-3

5

4,73796

4,38624.10-4

6

4,73822

1,18794.10-4

7

4,73829

3,1983.10-5

Vậy x7= 4, 73829 ± 3,1983.10-5 là nghiệm gần đúng thỏa mãn yêu cầu về sai số.
d/ (Trần Đình Trọng)
x3 - x - 1 = 0 với sai số 10-5 trong khoảng phân ly nghiệm (1,2)

· Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số:
Chọn M = max f '( x) = 11 . Đặt:
xÎ[1,2]

j ( x) = x j '( x) =

f ( x)
x3 - x + 1 - x3 + 12 x + 1
= x=
M
11
11

-3x 2 + 12
³ 0, "x Î (1; 2 ) . Do đó là hàm tăng trên[2,3]
11

Vậy:
1<

12
17
= j (1) £ j ( x) £ j (2) = < 2, "x Î [1; 2]
11
11

[Trần Đình Trọng]

Page 9


[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
Mặt khác, ta có q = max j ' ( x ) =
xÎ[ 2;3]

9
< 1 . Vậy hàm j ( x ) thỏa mãn yêu cầu của
11

phương pháp lặp.
Chọn x0=

2 +1
= 1,5 . Tính các giá trị x1,x2,… theo công thức lặp
2

- xn3-1 + 12 xn-1 + 1
xn = j ( xn -1 ) =
, n = 1, 2,...
11

Ta nhận được dãy lặp này hội tụ và có đánh giá sai số
xn - a £

q
xn - xn-1 = 1,5 xn - xn -1 , n = 1, 2,...
1- q

Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây:
n
1
2
3
4
5

6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
[Trần Đình Trọng]

xn = j ( xn-1 )

1,5 xn - xn -1

1,420455

0,119318

1,379947

0,060762

1,357418

0,0337935

1,344351

0,0196005

1,336599

0,011628

1,331942

0,0069855

1,329122

0,00423

1,327408

0,002571

1,326362

0,001569

1,325724

0,000957

1,325334

0,000585

1,325095

0,0003585

1,324949

0,000219

1,324859

0,000135

1,324804

8,25.10-5

1,324771

4,95.10-5

1,32475

3,15.10-5
Page 10


[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
18

19
20

1,324738

1,8.10-5

1,32473

1,2.10-5

1,324725

7,5.10-6

Vậy x20=1,324725 ± 7, 5.10 -6 là nghiệm gần đúng thỏa mãn yêu cầu về sai số.

Bài 3:
b/ (Trần Đình Trọng)

x3 - 0, 2 x 2 - 0, 2 x - 1, 2 = 0 trên (1; 1,5) với sai số ε = 0,003
Ta có:
f ' ( x ) = 3x 2 - 0, 4 x - 0, 2; f '' ( x ) = 6 x - 0, 4; f ''' ( x ) = 6
ìï f '' ( x ) = 0 Û x = 0, 4 Ï [1;1,5],
í
ïî f ' (1,5 ) = 5,95; f ' (1) = 2, 4

Suy ra:
ì
ï f '( x) > 0, "x Î [1;1,5]

ï
f ' ( x ) = 2, 4
ím = 1min
£ x £1,5
ï
ï M = max f '' ( x ) = 8, 6
1£ x £1,5
î

· Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số:
Chọn x0=1,5(vì f (1,5) f '' ( x ) > 0, "x Î [1;1,5]
· Đánh giá sai số
xn - a £

M
43
xn - xn-1 =
xn - xn-1 , n = 1, 2,...
2m
24

Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây:
[Trần Đình Trọng]

Page 11


[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
f ( xn -1 )
f ' ( xn -1 )

n

xn = xn-1 -

0

1,5

1

1,260504

43/24(0,239496)2=0,429097

2

1,203173

5,234.10-3

3

1,200010

1,79249.10-5

43

Dn =

43
2
xn - xn-1
24

-5
· Đến bước k =3 thì D n = 24 xn - xn-1 =1,79249.10 <0,003 thoả mãn yêu cầu bài
2

toán.

Vậy nghiệm của phương trình là:
a = 1, 20001 ± 1, 79249.10-5

c/(Trần Đình Trọng)

x3 + 3x + 5 = 0 với độ chính xác 10-2
Ta tìm được khoảng ly nghiệm: [-1,5;-1]
Ta có:
f ' ( x ) = 3x 2 + 3; f '' ( x ) = 6 x; f ''' ( x ) = 6
ìï f '' ( x ) = 0 Û x = 0 Ï [-1,5;-1],
í
ïî f ' ( -1,5 ) = 9, 45; f ' ( -1) = 6

Suy ra:
ì
ï f '( x) > 0, "x Î [-1,5;-1]
ï
min f ' ( x ) = 6

ím = -1,5
£ x £-1
ï
ï M = max f '' ( x ) = 9
-1,5£ x £-1
î

· Kiểm tra (-1,5;-1) là khoảng ly nghiệm.
[Trần Đình Trọng]

Page 12


[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
Ta có:
ì f ( x) lien tuc tren [-1,5;-1]
ï
í f ( -1,5 ) f ( -1) = -2,875 < 0
ï
î f ' ( x ) > 0, "x Î [-1,5;-1]

· Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số:
Chọn x0=-1,5(vì f (-1,5) f '' ( x ) > 0, "x Î [-1,5;-1]
· Đánh giá sai số
xn - a £

M
3
xn - xn -1 = xn - xn -1 , n = 1, 2,...
2m

4

Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây:
f ( xn -1 )
f ' ( xn -1 )

n

xn = xn-1 -

0

-1,5

1

-1,205128

0,065212

2

-1,155430

1,852.10-3

3

Dn =

3
2
xn - xn -1
4

-3
-2
· Đến bước k =2 thì D n = 4 xn - xn -1 =1,852.10 <10 thoả mãn yêu cầu bài toán.
2

Làm tròn số: x=-1,154172≈-1,154

Sai số làm tròn
' x2 - x2 = -1, 72.10 -4

Sai số cuối cùng:
' x2 - a £ ' x2 - x2 + D n £ 1, 72.10 -4 + 1,852.10-3 » 2, 024.10-3

Vậy nghiệm của phương trình là:
a = -1,154 ± 2,024.10-3

d/(Trần Đình Trọng)

x 4 + 3x + 1 = 0 với độ chính xác 10-2
[Trần Đình Trọng]

Page 13


[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]

Ta tìm được khoảng ly nghiệm: [-0,5;-0,25]
Ta có:
f ' ( x ) = 4 x3 + 3; f '' ( x ) = 12 x 2 ; f ''' ( x ) = 24 x
ìï f '' ( x ) = 0 Û x = 0 Ï [-0,5;-0,25],
í
ïî f ' ( -0,5 ) = 2,5; f ' ( -0, 25) = 2,9375

Suy ra:
ì
ï f '( x) > 0, "x Î [-0,5;-0,25]
ï
f ' ( x ) = 2,5
ím = -0,5min
£ x £-0,25
ï
ï M = max f '' ( x ) = 0, 75
-0,5£ x £-0,25
î

· Kiểm tra (-0,5;-0,25) là khoảng ly nghiệm.
Ta có:
ì f ( x) lien tuc tren [-0,5;-0,25]
ï
455
ï
<0
í f ( -0,5 ) f ( -0, 25 ) = 4096
ï
ïî f ' ( x ) > 0, "x Î [-0,5;-0,2]

· Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số:
Chọn x0=-0,25(vì f (-0, 25) f '' ( x ) > 0, "x Î [-0,5;-0,25]
· Đánh giá sai số
xn - a £

M
3
xn - xn -1 = xn - xn -1 , n = 1, 2,...
2m
2

Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây:
n

xn = xn-1 -

0

-0,25

1

-0,336436

[Trần Đình Trọng]

f ( xn -1 )
f ' ( xn -1 )

Dn =

3
2
xn - xn -1
2

0,011206
Page 14


[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
2

-0,337666
3

2,26935. 10-6

-6
· Đến bước k =2 thì D n = 2 xn - xn -1 =2,26935. 10 <10-2 thoả mãn yêu cầu bài
2

toán.

Vậy nghiệm của phương trình là:
a = -0,337666 ± 2, 26935.10-6

e/(Trần Đình Trọng)

x 4 - 3x 2 + 75 x - 10000 = 0 với 5 chữ số chắc ( đáng tin)=> D n <0,5.10-4

· Ta tìm được khoảng ly nghiệm: [5;5,5]
Ta có:
f ' ( x ) = 4 x3 - 6 x + 75; f '' ( x ) = 12 x 2 - 6 x; f ''' ( x ) = 24 x

Suy ra:
ì
ï f '( x) > 0, "x Î [5;5,5]
ï
f ' ( x ) = 545
ím = 5min
£ x £5,5
ï
ï M = max f '' ( x ) = 357
5£ x £5,5
î

· Kiểm tra (5;5,5) là khoảng ly nghiệm.
Ta có:
ì f ( x) lien tuc tren [5;5,5]
ï
í f ( 5,5 ) f ( 5) < 0
ï
î f ' ( x ) > 0, "x Î [5;5, 5]

· Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số:
Chọn x0=5(vì f (5) f '' ( x ) > 0, "x Î [5;5,5]
· Đánh giá sai số
[Trần Đình Trọng]

Page 15

[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
xn - a £

M
357
xn - xn -1 =
xn - xn -1 , n = 1, 2,...
2m
1090

Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây:
f ( xn -1 )
f ' ( xn -1 )

n

xn = xn-1 -

0

5

1

5,137615

7,875238.10-3

2

5,132780

3,605475. 10-8

357

Dn =

357
2
xn - xn-1
1090

xn - xn-1 =3,605475. 10-8<0,5.10-4 thoả mãn yêu cầu
· Đến bước k =3 thì D n =
1090
2

bài toán.

Vậy nghiệm của phương trình là:
a = 5,132780 ± 3, 605475.10-8

[Trần Đình Trọng]

Page 16

[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]

Chương 3: GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN
TÍNH
Bài 1:
e/(Trần Đình Trọng)
-6
4 8 ù
é8 ù
é 2 10
ê3 ú
ê -3 -12 -9
ú
6 3 ú
ê ú
ê
ê
ú
1
1
34
15
18
; b = ê 29 ú
A=
ê ú
ê
ú
4 14 ú
ê -2 ú

ê 4 18 0
êë 23 úû
êë 5
26 -19 25 36úû

Ax = b ta có hệ phương trình:
Lập bảng tính:
HS

HS

HS

HS

HS của

của x1 của

của

của x4

x5

Vế phải

Phương trình

x2

x3

2

10

-6

4

8

8

E1

-3

-12

-9

6

3

3

E2

-1

1

-34

15

18

29

E3

4

18

0

4

14

-2

E4

5

26

-19

25

36

23

E5

1

5

-3

2

4

4

E1(2)=1/2 E1

0

3

-18

12

15

15

E2(2)= E2+3E1(2)

0

16

-43

21

30

41

E3(2)= E3+ E1(2)

0

-2

12

-4

2

-18

E4(2) = E4- 4E1(2)

[Trần Đình Trọng]

Page 17


[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
0

1

-4

15

16

3

E5(2)= E5- 5E1(2)

1

5

-3

2

4

4

E1(2)

0

3

-18

12

15

15

E2(2)

0

0

53

-43

-50

-39

E3(3)= E3(2)-16/3 E2(2)

0

0

0

4

12

-8

E4(3)= E4(2) +2/3 E2(2)

0

0

2

11

11

-2

E5(3)= E5(2)-1/3 E2(2)

0

0

0

669/53 683/53

-50

E5(4)= E5(3)-2/53E3(3)

0

0

0

0

5296/669 9262/669

0

0

0

0

1

E5(5)= E5(4)-212/669 E4(3)

1,7488867 E5(6)= 669/9262E5(5)

Từ bảng suy ra:

ì x1 + 5 x2 - 3 x3 + 2 x4 = -2,995468 ì x1 = -298,165171
ï3x - 18 x + 12 x = -11, 233006
ï x = 66, 009304
2
3
4
2
ïï
ïï
Û í x3 = 6, 794000
í53x3 - 43x4 = 48, 443353
ï4 x = -28,989641
ï x = -7, 247410

ï 4
ï 4
ïî x5 = 1, 748867
ïî x5 = 1, 748867
Bài 2:
c/(Trần Đình Trọng)

ì10 x1 - x2 - 2 x3 + 3x4 = 0
ï x - 10 x - x + 2 x = 5
ï 1
2
3
4
í
ï2 x1 + 3x2 + 20 x3 - x4 = -10
ïî3x1 + 2 x2 + x3 + 20 x4 = 15
với sai số ε=10-3
[Trần Đình Trọng]

(C)
Page 18


[Phng phỏp tớnh-H cụng nghip Thc phm TP.HCM]
ã Kim tra h cú nghim duy nht:
ộ10 -1 2 -3ự
ờ 1 -10 -1 2 ỳ
ỳ = -39012 ạ 0
Ta cú det ờờ 2
3 20 -1ỳ

ờ
ỳ
2
1 20 ỷ
ở3

Vy h ó cho cú 1 nghim duy nht.
ã Bin i h (C) ta c:
ỡ x1 = 0 x1 + 0,1x2 - 0, 2 x3 + 0,3x4
ù x = -0,1x + 0 x - 0,1x - 0, 2 x
ù 2
1
2
3
4
ớ
ù x3 = -0,1x1 - 0,15 x2 + 0 x3 + 0, 05 x4
ợù x4 = -0,15 x1 - 0,1x2 - 0, 05 x3 - 0 x4
0,1 -0, 2 0,3 ự
ộ 0
ờ -0,1
0
-0,1 -0, 2 ỳỳ
ờ
t B= ờ -0, 2 -0,3
0
0,1 ỳ
ờ
ỳ
0 ỷ

ở -0,3 -0, 2 -0,1

c=(0;5;-10;15)T, X=(x1,x2,x3).

Khi ú ta cú h (C) c vit di dng: X=BX+c
Ta cú B

Ơ

= max {0, 4; 0, 6; 0, 6} = 0, 6 < 1 vy ma trn B tha iờu kin hi

t.
ã Chn X(0)=c=(0;5;-10;15)T
Tớnh X(1), X(2), theo cụng thc

X(k+1)=B X(k)+c, k=0,1,2,3
Ta nhn c dóy lp ny hi t v cú ỏnh giỏ sai s
X (k ) - a

Ơ

Ê

B

X ( k ) - X ( k -1)

Ơ

1- B

Ơ

Ơ

=

3 (k )
X - X ( k -1)
2

Ơ

, k = 1, 2,...

Tớnh toỏn theo tng bc cựng vi gii thớch bờn di bng ny, ta c kt
qu:
[Trn ỡnh Trng]

Page 19


[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
x1(k)

k

x2(k)

x3(k)

x4(k)

3 (k )
X - X ( k -1)
2

0

0

5

-10

15

1

3

3

-10

15

4,5

2

2,8

3,3

-10

14,5

0,75

3

2,68

3,38

-10,1

14,5

0,18

4

2,668

3,378

-10,1

14,53

0,018

5

2,6768

3,3708

-10,094

14,534

0,0132

6

2,67848

3,37028

-10,0932

14,5322

2,7.10-3

7

2,678048

3,370728

-10,0936

14,53172

7,2.10-4

¥

Giải thích cột sai số(cột cuối):
X (1) - a
X (2) - a

¥

¥

£

3 (1)
X - X (0)
2

£

3 (2)

X - X (1)
2

£

3 (3)
X - X (2)
2

¥

¥

=

3
3
max X i (1) - X i (0) = max {3; -2;0; 0} = 4, 5
2 1£i £ 4
2

=

3
3
max X i (2) - X i (1) = max {0, 2;0,3; 0;0,5}
2 1£i £ 4
2

=

3
3
max X i (3) - X i (2) = max {0,12; 0, 08; 0,1; 0}
2 1£i £ 4
2

= 0, 75
X (3) - a

¥

¥

= 0,18

[Trần Đình Trọng]

Page 20


[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
X (4) - a

¥

£

3 (4)
X - X (3)

2

¥

=

3
max X i (4) - X i (3)
2 1£i £ 4

3
max {0, 012;0, 002;0; 0, 03} = 0, 018
2
3
3
X (5) - a £ X (5) - X (4) = max X i (5) - X i (4)
¥
¥
2
2 1£i £ 4
3
= max {0, 0088; 0, 0072; 0, 006; 0, 004} = 0, 0132
2
=

X (6) - a
=

3 (6)
X - X (5)

2

¥

=

3
max X i (6) - X i (5)
2 1£i £ 4

3
max {0, 00168; 0, 00052; 0, 0008; 0, 0018} = 2, 7.10-3
2

X (7) - a
=

¥

£

¥

£

3 (7)
X - X (6)
2

¥

=

3
max X i (7) - X i (6)
2 1£i £ 4

3
max {0, 00043;0, 00048;0, 00036; 0, 00048} = 7, 2.10-4
2

· k=7 thì ε= 7,2.10-4<10-3
Làm tròn số:

ì x1(7) = 2, 678048 » 2, 678 = ' x1(7)
ï
(7)
(7)
ï x2 = 3,370728 » 3,371 = ' x2
í ( 7)
(7)
ï x3 = -10, 0936 » -10, 094 = ' x3
ïî x4 (7) = 14, 53172 » 14,532 = ' x4 (7)

Sai số làm tròn
' X (7) - X (7 ) = ( 4,8.10-5 ;0, 00027;0, 00044;0, 00028 )

' X (7) - X (7)

¥

=4,4.10-4

Từ cột cuối và dòng cuối của bảng, ta có:
X (7) - a

¥

£

3 (7)
X - X (6)
2

¥

= 7, 2.10-4

Sai số cuối cùng:
[Trần Đình Trọng]

Page 21


[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
' X (7) - a

¥

£ ' X (7) - X (6)

-4

¥

+ X ( 7) - a

-4

¥

-3

£ 4, 4.10 + 7, 2.10 = 1,16.10 » 1, 2.10 -3

Vậy nghiệm của hệ:
ì a1 = 2, 678 ± 1, 2.10 -3
ï
-3
ï a 2 = 3,371 ± 1, 2.10
í
-3
ïa 3 = -10, 094 ± 1, 2.10
ïî a 4 = 14, 532 ± 1, 2.10 -3

j/(Trần Đình Trọng)

ì2 x + 40 y - 6 z + 4u + 8v = 8
ï-3x - 12 y - 9 z + 50u + 3v = 3
ïï

í- x + y - 75 z + 15u + 18v = 29
với sai số ε=10-2 (D)
ï65 x + 18 y + 0 z + 4u + 14v = -2
ï
ïî5 x + 26 y - 19 z + 25u + 120v = 23
· Kiểm tra hệ có nghiệm duy nhất:
4
é 2 40 -6
ê -3 -12 -9
50
ê
Ta có det ê -1 1 -75 15
ê
0
4
ê 65 18
êë 5 26 -19 25

8 ù
3 úú
18 ú = -1030066610 ¹ 0
ú
14 ú
120 úû

Vậy hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất.
· Biến đổi hệ (C) ta được:
4
é 2 40 -6
ê -3 -12 -9

50
ê
ê -1 1
-75 15
ê
0
4
ê 65 18
êë 5 26 -19 25

[Trần Đình Trọng]

8 ù
0
4
é 65 18
ú
ê
3 ú
4
ê 2 40 -6
18 ú Û ê -1 1 -75 15
ú
ê
14 ú
50
ê -3 -12 -9
êë 5 26 -19 25
120 úû

14 ù
8 úú
18 ú
ú
3 ú
120 úû

Page 22


[Phng phỏp tớnh-H cụng nghip Thc phm TP.HCM]
ỡ x = 0 x - 0, 28 y - 0 z - 0, 06u + 0, 22v
ù y = -0, 05 x + 0 y + 0,15 z - 0,1u - 0, 2v
ùù
ớ z = 0, 01x - 0, 01 y + 0 z - 0, 2u - 0, 24v
ùu = 0, 06 x + 0, 24 y + 0,18 z - 0u - 0, 06v
ù
ùợv = -0, 04 x - 0, 22 y + 0,16 z - 0, 21u - 0v
-0, 28
0
-0, 06 0, 22 ự
ộ 0
ờ -0, 05
0
0,15 -0,1 -0, 2 ỳỳ
ờ
t B= ờ 0, 01 -0, 01 0 -0, 2 -0, 24 ỳ
ờ
ỳ
0 -0, 06 ỳ

ờ 0, 06 0, 24 0,18
ờở -0, 04 -0, 22 0,16
-0, 21 0 ỳỷ

c=(8;3;29;-2;23)T, X=(x,y,z,u,v).

Khi ú ta cú h (D) c vit di dng: X=BX+c
Ta cú B

Ơ

= max {0,56;0,5; 0, 46;0,54;0, 63} = 0, 63 < 1 vy ma trn B tha

iu kin hi t.
ã Chn X(0)=c=(8;3;29;-2;23)T
Tớnh X(1), X(2), theo cụng thc

X(k+1)=B X(k)+c, k=0,1,2,3
Ta nhn c dóy lp ny hi t v cú ỏnh giỏ sai s
X (k ) - a

Ơ

Ê

B

X ( k ) - X ( k -1)

Ơ

1- B

Ơ

Ơ

=

63 ( k )
X - X ( k -1)
37

Ơ

, k = 1, 2,...

Tớnh toỏn theo tng bc cựng vi gii thớch bờn di bng ny, ta c kt
qu:
k

x(k)

y(k)

z(k)

u(k)

v(k)

63 ( k )
X - X ( k -1)
37

0

8

3

29

-2

23

1

2,22

11,75

34,57

5,8

-18,92

2

0,1996

11,2785

33,4455

8,311

-21,3606 4,275486486

[Trn ỡnh Trng]

Ơ

14,89865

Page 23


[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
3

-0,35597

11,44787 34,01576 8,020642 -21,8833 0,97097473

4

-0,50096

11,69475 34,13395 8,161962 -21,7461 0,420379334

5

-0,54839

11,6782

6

-0,56061

11,68051 34,11103 8,215659 -21,8191 0,023700441

7

-0,56368

11,68694 34,11417 8,218816 -21,8148 0,010947412

8

-0,56473

11,68639 34,11305 8,220483 -21,8163 0,002839241

34,0971

8,22556

-21,8054 0,108289073

· Giải thích cột sai số(cột cuối):
X (1) - a

¥

£

63 (1)
X - X (0)
37

¥

{

63
max x (1) - x (0) , y (1) - y (0) , z (1) - z (0) , u (1) - u (0) , v (1) - v (0)
37
63
=
max {5, 78;8, 75;5,57;7,8; 4, 08} = 14,8986
37
=

X (2) - a

¥

£

63 (2)
X - X (1)
37

¥

{

63
max x (2) - x (1) , y (2) - y (1) , z (2) - z (1) , u (2) - u (1) , v (2) - v (1)
37
63
=
max {2, 0204; 0, 4715;1,1245; 2,511; 2, 4406} = 4, 275486
37
=

X (3) - a

¥

£

63 (3)
X - X (2)
37

{

}

}

¥

}

63
max x (3) - x (2) , y (3) - y (2) , z (3) - z (2) , u (3) - u (2) , v (3) - v (2)
37
63
=
max {0,55557;0,169365;0,570255;0, 29036; 0, 52268} = 0, 970975
37
=

[Trần Đình Trọng]

Page 24


[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]
X (4) - a

¥

£

63 (4)
X - X (3)
37

¥

{

}

63
max x (4) - x (3) , y (4) - y (3) , z (4) - z (3) , u (4) - u (3) , v (4) - v (3)
37
63
max {0,14499; 0, 246889;0,118195; 0,14132;0,137179} = 0, 420379
=
37
=

X (5) - a

¥

£

63 (5)
X - X (4)
37

¥

{

}

63
max x (5) - x (4) , y (5) - y (4) , z (5) - z (4) , u (5) - u (4) , v (5) - v (4)
37
63
max {0, 04743; 0, 01659; 0, 03684; 0, 063598;0, 05928} = 0,108289
=
37
=

X (6) - a

¥

£

63 (6)
X - X (5)
37

¥

{

}

63
max x (6) - x (5) , y (6) - y (5) , z (6) - z (5) , u (6) - u (5) , v (6) - v (5)
37
63
=
max {0, 01221; 0, 002342; 0, 013919; 0, 0099;0, 0137} = 0, 0237
37
=

X (7) - a

¥

£

63 (7)
X - X (6)
37

¥

{

}

63
max x (7) - x (6) , y (7) - y (6) , z (7) - z (6) , u (7) - u (6) , v (7) - v (6)
37
63

=
max {0, 00308;0, 006429; 0, 003143;0, 003157;0, 00428} = 0, 010947
37
=

X (8) - a

¥

£

63 (8)
X - X (7)
37

¥

{

}

63
max x (8) - x (7) , y (8) - y (7) , z (8) - z (7) , u (8) - u (7) , v (8) - v (7)
37
63
=
max {0, 00105; 0, 00055; 0, 00112;0, 001667; 0, 00145} = 0, 002839
37
=

· k=8 thì ε=0,002839241<10-2

[Trần Đình Trọng]

Page 25