Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên, các đặc trưng thống kê, độc lập, tương quan và hiệp phương sai đối với các biến vector ngẫu nhiên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN & TRUYỀN THÔNG
----------o0o----------

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
Môn học: Quá trình ngẫu nhiên ứng dụng
Đề 1: Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên, các đặc trưng thống kê, độc lập,
tương quan và hiệp phương sai đối với các biến vector ngẫu nhiên. So sánh các đặc
trưng thống kê của biến vector ngẫu nhiên với các đặc trưng thống kê của quá trình
ngẫu nhiên.

Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Thị Hoàng Lan
Sinh viên thực hiện:
•
•
•
•
•

Đinh Hữu Hội – 20106093
Nguyễn Mạnh Cường – 20121365
Nguyễn Trung Anh – 20121221
Phạm Minh Hiếu – 20121693
Đinh Công Tuyền – 20122724

Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên 1


BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC
Họ và tên

Công việc

Đinh Hữu Hội

Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên.

Nguyễn Mạnh Cường

Các đặc trưng thống kê của biến ngẫu nhiên.

Nguyễn Trung Anh

So sánh các đặc trưng thống kê của biến vector ngẫu
nhiên với các đặc trưng thống kê của quá trình ngẫu
nhiên.

Phạm Minh Hiếu

Bài tập + Matlab

Đinh Công Tuyền

Bài tập + Matlab

Bạn Nguyễn Trung Hiếu rời nhóm.

Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên 2

Mục lục

Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên 3


CHƯƠNG I.
TÌM HIỂU CHUNG VỀ BIẾN VECTOR NGẪU NHIÊN,
CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA NÓ.
1. Khái niệm biến vector ngẫu nhiên
-

Một biến ngẫu nhiên được định nghĩa như một hàm có giá trị thực xác định trên không
gian các sự kiện sơ cấp.
Trong thực tế nhiều khi phải xét đồng thời nhiều biến khác nhau có quan hệ tương hỗ dẫn
đến khái niệm vector ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên nhiều chiều.
Định nghĩa: Một biến vector ngẫu nhiên n chiều là một bộ có thứ tự (X 1, …, Xn) với các
thành phần X1 ,…, Xn là các biến ngẫu nhiên. Ta kí hiệu vector ngẫu nhiên hai chiều là
(X,Y), trong đó X là biến ngẫu nhiên thành phần thứ nhất và Y là biến ngẫu nhiên thành
phần thứ hai.

-

Biến vector ngẫu nhiên n chiều (X 1, …, Xn) là liên tục hay rời rạc nếu tất cả các biến
ngẫu nhiên thành phần X1, …, Xn là liên tục hay rời rạc.

2. Hàm phân phối và hàm mật độ xác suất của biến vector ngẫu nhiên
2.1.
Hàm phân phối xác suất
Định nghĩa: Hàm n biến ngẫu nhiên F(x1, …, xn) xác định bởi:
F(x1, …, xn) = P{ X1

Được gọi là hàm phân phối của biến vector ngẫu nhiên X= (X 1, …, Xn) hay được gọi là
phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên X1, …, Xn.
Tính chất:
[1].
[2].
[3].
[4].
[5].
[6].

0 F(x1,…,xn) 1
, với k [1,n]
F(x1,…,xn) không giảm theo từng biến
= P{ X1Đặc biệt F(x,y) là hàm phân phối của biến vector ngẫu nhiên hai chiều
(X,Y) thì:
= P{X= P{YFX(x), FY(y) là các hàm phân phân phối của biến ngẫu nhiên X, Y hay còn
được gọi là các phân phối thành phần của vector ngẫu nhiên (X,Y) cũng là
phân phối biên của phân phối đồng thời F(x,y).

Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên 4


2.2.
Hàm mật độ xác suất
Định nghĩa: Hàm n biến ngẫu nhiên f(x1,…,xn) xác định bởi đạo hàm hỗn hợp cấp n của
hàm phân phối:
f(x1,…,xn) =

Được gọi là hàm mật độ của biến vector ngẫu nhiên X=(X1,…,Xn).
 Hàm mật độ của biến vector ngẫu nhiên liên tục
• Định nghĩa: Hàm mật độ của vector NNLT X=(X1, X2,…, Xn) là hàm n biến f(x1,
x2, …, xn ) ≥ 0 thỏa mãn :
F(x1,x2,…,xn) = P{X1f(x1, x2, …,xn ) còn được gọi là hàm mật độ đồng thời của X1, X2, …, Xn.
• Tính chất (xét trường hợp vector ngẫu nhiên 2 chiều (X,Y) có hàm mật độ f(x,y))
[1]. f(x,y) ≥0 với mọi (x,y) và = 1
[2]. P{(X,Y) A } = với A R2.
[3]. f(x,y)=
[4]. hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X
hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Y

3. Tính độc lập của biến vector ngẫu nhiên
-

Các biến ngẫu nhiên x1,…,xn được gọi là độc lập nếu các sự kiện {x 1≤x1},…,{xn≤xn} là
độc lập. Từ đó ta có:
F(x1,…,xn) = F(x1)F(x2)…F(xn)
f(x1,…,xn) = f(x1)f(x2)…f(xn)

-

Xét trường hợp biến vector ngẫu nhiên hai chiều (X,Y), trong đó hai biến ngẫu nhiên X
và Y gọi là độc lập nếu mỗi biến ngẫu nhiên nhận giá trị này hay giá trị khác sẽ không

-

ảnh hưởng gì đến phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên kia.
Giả sử F(x,y) là hàm phân phối của vector ngẫu nhiên (X,Y), khi đó X, Y độc lập khi và

chỉ khi:
F(x,y) = FX(x)FY(y)

-

Trong đó FX(x), FY(y) lần lượt là hàm phân phối của X và Y.
Phát biểu tương đương, nếu X và Y là độc lập thì ta cũng phải có:
f(x,y) = fX(x)fY(y)

Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên 5


Trong đó fX(x), fY(y) lần lượt là hàm mật độ của X và Y.
Hai biến rời rạc X và Y được gọi là độc lập nếu với mọi cặp giá trị xi, yj ta luôn có:

-

P(X= xi,Y= yj) = P(X=xi)P(Y=yj)
Với i = 1,…,n và j = 1,…,m ta có các phân phối biên của biến vector ngẫu nhiên 2
chiều:
P(Y=yj) = (X= xi,Y= yj) = ij
P(X=Xi) = (X= xi,Y= yj) = ij

ij

ij

P11
P21
…

Pi1
…
Pm1

P12
P22
…
Pi2
…
Pm2

… P1j … P1n
… P2j … P2n
… … … …
… Pij … Pin
… … … …
… Pmj … Pmn

Ta có hàm phân bố xác suất đồng thời:
F(x,y) = ij
F(x,y) còn gọi là tổng tích lũy.

4. Các đặc trưng thống kê của biến vector ngẫu nhiên
4.1.

Kỳ vọng
Xét X(X1, X2,…,Xn) là một véc-tơ ngẫu nhiên n chiều, kỳ vọng của X là:
-

µ = E(X) = E(E(X1), E(X2), …,E(Xn))

Trường hợp X liên tục

X(X1, X2,…,Xn) có hàm mật độ xác suất đồng thời f(X1,X2,…,Xn)
E(Xi) = f(x1, …, xn) dx1 … dxn, với i = 1, …, n.
-

Trường hợp X rời rạc
E(Xi) = với i = 1, …, m.
*Điều kiện tính kì vọng: các biến ngẫu nhiên thành phần của véc-tơ ngẫu nhiên
phải có cùng phân phối xác suất
Một số tính chất :
Với Y là véc-tơ ngẫu nhiên n-chiều và α, β là các hằng số
Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên 6


E(αX +βY) = α E (X) + β E(Y)
Nếu A là ma trận số thực kích thước m x n thì:
E(AX)=AE(X)
Nếu X và Y là 2 biến véc-tơ ngẫu nhiên độc lập :
E(XY)=E(X).E(Y)
4.2.

Phương sai
Xét X(X1, X2,…,Xn) là một véc-tơ ngẫu nhiên n chiều, phương sai của X là:
var(X) = E[(X-µ)(X-µ)t] = cov(X , Xt) =Ʃ
Trong đó:
-

cov(X,Xt) là hiệp phương sai của X và X chuyển vị với cov(Xi, Xj) được tính
theo công thức: cov(Xi,Xj) = E [(Xi –E(Xi))(Xj – E(Xj))]

Ʃ là ma trận hiệp phương sai

Gọi ϭ ij là hiệp phương sai của 2 biến ngẫu nhiên thành phần Xi, Xj (i,j = 1,2,…,n) thì:
Ʃ=
Nếu véc-tơ Y có kỳ vọng là và ma trận hiệp phương sai Ʃ thì:
cov(X, Yt) =E[(X –E(X))(Y – E(Y))t]= E(XYt) - µt
Tính chất của ma trận hiệp phương sai Ʃ
Với at =(a1, …., an) và A, B là ma trận số thực
var(at X) =at var (X)a = aiajij =atƩ a
var (AX +a)= Avar(X) At
cov(X+Y,Z)=cov(X, Z) + Cov(Y, Z)
var(X+Y)=var(X) + cov(X,Y) + cov(Y,X) + var(Y)
cov(AX,BY)=Acov(X,Y) Bt
4.3.

Tương quan
- Hiệp biến của các biến ngẫu nhiên x i, xj được chỉ rõ trong (7-6). Với các biến
ngẫu nhiên phức
Cij = E{(xi –Ƞn) (xj –Ƞj)} = E(xi xj*) - E{xi}E{ xj*}
Theo định nghĩa. Phương sai xi là
i

2

= Cij = E{| xj –Ƞ j |} = E{|xi|2} + |E{xi}|2

Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên 7


Các biến ngẫu nhiên xi được gọi là không tương quan là nếu Cij = 0 với i j

Trong trương hợp đó, nếu x = x1 + … + xn thì x2 = 12 + …. + n2 (8-22)
Nếu các biến ngẫu nhiên x1, …., xn là độc lập thì chúng cũng không tương quan.
Điều này được chứng minh như (7-14) dối với các biến thực. Đối với số phức thì
cũng chứng minh tương tự: Nếu các biến ngẫu nhiên z 1 = x1 + jy1 , …, zn = xn + jyn
là độc lập thì f(x1 x2 y1 y2) = f(x1y1)f(x2y2). Từ đó có :
z1z2*f(x1 x2 y1 y2) dx1 dx2 dy1 dy2
= z1 f(x1 y1) dx1 dy1 z2*f(x2 y2) dx2 dy2
Với kết quả E{ z1z2*} = E{ z1} E{ z2*} cho nên z1 và z2 là không tương quan

Chú ý : nếu các biến ngẫu nhiên xi là độc lập thì
E{ g1(x1) + .… + gn(xn)} = E{ g1(x1) } + ….. + E{ gn(xn) }
Tương tự, nếu các nhóm x1 …. xn và y1 …. yn là độc lập thì
E{ g(x1 …. xn) h(y1 …. yn)} = E{ g(x1 …. xn) } + ….. + E{ h(y1 …. yn)}

-

Ma trận tương quan.

cho các ma trận
Rn =

Cn =

có
Rij = E{ xixj*} = Rij* (1)

Cij = Rij - Ƞi Ƞj* = Cij*

(2)

(1) là ma trận tương quan của vector ngẫu nhiên X[x 1 …. xn ] và (2) là ma
trận hiệp phương sai. Rõ ràng :
Rn = E{Xt X*}Với Xt là chuyển vị của X
Chúng ta sẽ thảo luận về các tính chất của ma trận R n và định thức n.Các tính chất
của Cn cũng tương tự.
Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên 8


Ma trận Rn là xác định không âm. Nghĩa là
Q = ARnA+ 0
Với A+ là liên hợp chuyển vị của vector A = [a1, …, an]
Các biến ngẫu nhiên xi được gọi là độc lập tuyến tính nếu
E {| a1x1 + …. + anxn |2 } > 0

với mọi A 0

Khi đó ma trận tương quan Rn được gọi là xác định đương
Các biến vector ngẫu nhiên xi được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu
a1x1 + …. + anxn = 0

với mọi A 0

khi đó Q = 0, và ma trận Rn là duy nhất
Từ các ý trên ta có, nếu các biến ngẫu nhiên x i là độc lập tuyến tính thì bất kì tập con nào
lấy ra từ xi đều độc lập tuyến tính.

CHƯƠNG II.
SO SÁNH CÁC ĐẶC TRƯNG THỐNG KÊ CỦA BIẾN
VECTOR NGẪU NHIÊN VỚI QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN.
1

Kỳ vọng
-

Trung bình của một quá trình ngẫu nhiên:
Biểu diễn giá trị trung bình của 1 quá trình x(t). trung bình của một quá trình có

-

thể phụ thuộc vào chỉ số thời gian t.
Trung bình của biến vector ngẫu nhiên:
Mở rộng công thức cho n biến ngẫu nhiên, kết luận rằng trung bình của bằng
Nếu các biến ngẫu nhiên là phức thì trung bình của bằng

Từ đó rút ra rằng

Với bất kỳ vector ngẫu nhiên X thực hoặc phức.
-

Sự khác nhau
Biến vector ngẫu nhiên

Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên 9

Quá trình ngẫu nhiên


Biến vector phụ thuộc vào không gian Quá trình ngẫu nhiên phụ thuộc vào chỉ
vector
số thời gian t

5. Hiệp phương sai
-

Hàm tự hiệp phương sai:
Hàm tự hiệp phương sai của một quá trình x(t) là hiệp phương sai của các biến
ngẫu nhiên và
Theo đó thì là trung bình của x(t)
Hệ số:
Là hệ số tương quan của quá trình x(t)
Chú ý : Hàm tự hiệp phương sai của một quá trình x(t) là hàm tự tương quan của
quá trình nhiễu tập trung.
Vì đó là hàm xác định
Hệ số tương quan r(t1t2) của x(t) là hàm tự hiệp phương sai của quá trình chuẩn tắc
vì nó cũng là hàm xác định. Hơn nữa từ

Tương quan chéo của 2 quá trình x(t) và y(t) là hàm
Tương tự như thế
Là hiệp phương sai chéo của hai quá trình ngẫu nhiên x(t) và y(t)
2 quá trình x(t) và y(t) được gọi là trực giao tương hỗ nếu với mọi t1 và t2
Chúng được gọi là không tương quan nếu với mọi t1 và t2
-

Hiệp phương sai
Hiệp phương sai ( hay còn gọi là momen tương quan) của hai biến ngẫu nhiên x,y
ký hiệu là Cov(X,Y) là kỳ vọng toán của tích các sai lệch của các biến ngẫu nhiên
đó với kỳ vọng toán của chúng
Cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=EXY-EX.EY
Nếu X,Y rời rạc thì

Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên10


Nếu X,Y liên tục có hàm mật độ đồng thời fx,y(x,y) thì
Các tính chất :

-

[1]. Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
[2]. Cov(X,X)=DX
[3]. Cov(aX+c,bY+d)=abCov(Y,X) với mọi hằng số a,b,c,d
[4]. Nếu X,Y độc lập thì Cov(X,Y)=0 nhưng ngược lại chưa chắc đúng
Sự khác nhau
Biến vector ngẫu nhiên

Quá trình ngẫu nhiên

Hiệp phương sai ( hay còn gọi là momen
tương quan) của hai biến ngẫu nhiên x,y ký
hiệu là Cov(X,Y) là kỳ vọng toán của tích
các sai lệch của các biến ngẫu nhiên đó với
kỳ vọng toán của chúng

Hàm tự hiệp phương sai của một quá
trình x(t) là hàm tự tương quan của quá
trình nhiễu tập trung.
Vì đó là hàm xác định

6. Sự tương quan
-

Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X,Y ký hiệu và định nghĩa bởi công
thức:

-

Các tính chất:
[1]. với X,Y
[2]. Nếu X,Y độc lập thì =0 nhưng ngược lại chưa chắc đúng
[3]. Với mọi hằng số a,b,c,d
[4]. Y=a.X+b, a≠0 khi và chỉ khi

-

Ý nghĩa: hệ số tương quan đo mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa X và Y. Khi càng
gần 1 thì tính chất quan hệ tuyến tính càng chặt, khi càng gần 0 thì sự phụ thuộc
tuyến tính càng ít, càng lỏng lẻo.
Khi ta nói X và Y không tương quan.

-

Hàm tự tương quan của một quá trình X(t) được xác định như sau :
Và nó biểu diễn mối quan hệ tương quan giữa các biến ngẫu nhiên X1=X(t1) và

-

X2=X(t2) được phát sinh từ quá trình X(t)
Các tính chất :

Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên11

-

[1].
[2]. (average instaneous power)
[3]. biểu diễn một hàm xác định không âm .
VD: cho bất cứ bộ hệ số
(1)

-

-

Từ (1) nhận thấy rằng với
Hàm: (2)
Biểu diễn hàm tự tương quan của quá trình x(t)
Ví dụ 1:
Cho
Thì
Sự khác nhau
Biến vector ngẫu nhiên

Quá trình ngẫu nhiên

Sự tương quan phụ thuộc vào hệ số tương Sự tương quan phụ thuộc vào hàm tự
quan
tương quan

7. Tương quan và hiệp phương sai

-

Tương quan và hiệp phương sai của quá trình ngẫu nhiên
Hàm tự tương quan của một quá trình x(t) thực hoặc phức được định nghĩa bằng
trung bình tích số X(t1)X*(t2), hàm này sẽ được bao hàm bởi R(t 1,t2) hoặc Rx(t1,t2)
do đó:
Trong đó số hạng liên hợp gắn liền với biến thứ 2 trong
Từ đây suy ra
(1)
Hơn nữa nhận thấy là R(t,t)=E{|x(t)|2} ≥ 0 (2)
Hai phương trình cuối là các trường hợp đặc biệt dưới đây. Hàm tự tương quan
R(t1,t2) của 1 quá trình ngẫu nhiên x(t) là 1 hàm xác định rõ ràng. Với mỗi ai và aj
Đây là hệ quả mang tính đồng nhất
Nhưng ngược lại chưa chắc đúng. Cho một hàm xác định R(t 1,t2) có thể tìm thấy

-

một quá trình X(t) với hàm tự tương quan R(t1,t2)
Tương quan và ma trận hiệp phương sai của biến vector ngẫu nhiên
Hiệp phương sai Cij của hai biến ngẫu nhiên thực xi và xj được định nghĩa như
Cho biến ngẫu nhiên phức

Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên12


Theo định nghĩa. Phương sai của xi được cho bởi
Các biến ngẫu nhiên xi được gọi là không tương quan nếu Cij=0 với mỗi i≠j
Trong trường hợp nếu X=x1+…+xn thì (1)
Ví dụ: Các biến ngẫu nhiên
Được định nghĩa là trung bình mẫu và phương sai mẫu tương ứng của x i . thấy

rằng nếu các biến ngẫu nhiên x i không tương quan với trung bình mẫu E{x i}=ɳ và
phương sai
�i2 =�2 thì
Và (2)
Chứng minh. Theo tính chất tuyến tính của giá trị kỳ vọng và từ (1)
Để chứng mình (2) quan sát
Vì các biến ngẫu nhiên xi và xj tương quan theo giả thuyết, từ đó
Từ đó suy ra
Chú ý nếu các biến ngẫu nhiên xi là I.I.D với thì
-

Sự khác nhau

Biến vector ngẫu nhiên
Quá trình ngẫu nhiên
Hiệp phương sai Cij của hai biến ngẫu Hàm tự tương quan của một quá trình x(t)
nhiên thực xi và xj được định nghĩa thực hoặc phức được định nghĩa bằng trung
như :
bình tích số X(t1)X*(t2) do đó:
Phụ thuộc vào phương sai với các Phụ thuộc vào hàm tự tương quan với quá
biến ngẫu nhiên phức
trình x(t) thực hoặc phức

8. Độc lập
-

-

Quá trình độc lập
Hai quá trình x(t) và y(t) được gọi là độc lập nếu các biến ngẫu nhiên x(t 1),…,x(tn)

và y(t1’),…, y(tn’) là độc lập tương hỗ
Nếu các biến ngẫu nhiên x1,…,xn là độc lập và không tương quan. Điều này theo
E{xy}=E{x}E{y} cho các biến ngẫu nhiên thực. Việc chứng minh là tương tự đối

Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên13


với các biến ngẫu nhiên phức. Nếu các biến ngẫu nhiên z1=x1+jy1 và z2=x2+jy2 độc
lập thì f(x1,x2,y1,y2)=f(x1,y1)( x2,y2) do đó

Suy ra E{z1z2*} = E{z1}.E{z2*} do đó z1 và z2 không tương quan.
Chú ý là nếu các BNN xi độc lập thì
E{g(x1,…,gn( xn)}=E{g(x1)}…E{gn( xn)}
Tương tự nếu các nhóm x1,…,xn và y1,…,yn là độc lập thì

-

Sự khác nhau

Biến vector ngẫu nhiên
Quá trình ngẫu nhiên
Hai quá trình x(t) và y(t) được gọi là độc Các BNN xi độc lập thì
lập nếu các biến ngẫu nhiên x(t 1),…,x(tn) E{g(x1,…,gn(xn)}=E{g(x1)}…E{gn( xn)}
và y(t1’),…, y(tn’) là độc lập tương hỗ

CHƯƠNG III. BÀI TẬP
1

Bài 8.2
-

-

Yêu cầu:
Cho các sự kiện A,B,C với
P=P(B)=P(C)=0.5 P(AB)=P(BC)=P(AC)=P(ABC)=0.25
Chứng minh rằng các vector liên quan đến các biến ngẫu nhiên kia là không độc
lập tổng thể nhưng độc lập từng đôi một.
Bài làm:
Hai biến rời rạc X và Y được gọi là độc lập nếu với mọi cặp giá trị xi, yj ta luôn có:
P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi) P(Y=yj)

∀i,j

Ta có:
P(A)P(B)=0,5*0,5=0,25=P(AB) A và B độc lập.

(1)

P(B)P(C)=0,5*0,5=0,25=P(BC)  B và C độc lập.

(2)

P(A)P(C)=0,5*0,5=0,25=P(AC)A và C độc lập.

(3)

Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên14

Từ (1), (2) và (3) A,B,C độc lập đôi một.
Lại có:
P(A)P(B)P(C)=0,5*0,5*0,5=0.125≠P(ABC)
 A,B,C không độc lập tổng thể.

9. Bài 8.3
-

-

Yêu cầu:
Hãy chứng minh rằng nếu các biến ngẫu nhiên x, y, z đều tuân theo luật phân phối
chuẩn và độc lập từng đôi một, thì chúng độc lập với nhau.
Bài làm:
Do 2 biến ngẫu nhiên x, y tuân theo phân phối chuẩn nên ta có:
f(X) =

.

(1)

với X = và μ =
 X–μ=
 =
Đồng thời
Ʃ= E=E
=

=
=

 |Ʃ| = và =
Thay vào công thức (1) ta có:
f(X) = f(x,y) = .
=.
= .
Mà x, y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập và tuân theo phân phối chuẩn nên ta có:
f(x,y) = f(x).f(y)
.
= .. .
Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên15


.
= .
 = (*)
Tương Tự như khi xét 2 cặp 2 biến ngẫu nhiên x, z và y,z ta cũng có:
=

(**)

=

(*** )

Và

Xét một vector X bất kì 3 chiều với 3 biến ngẫu nhiên x, y, z ta có:
f(X) = .

(2)

Với:
X = và μ =
 X–μ=
 =
Và
Ʃ= E=E

=
= =

 |Ʃ| = và =
Thay vào (2) ta có:
f(X) = .
= .
=

(3)

Từ (*), (**), (***) ở trên ta có:

Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên16


Thay lại vào (3) ta được:
f(X)= f(x,y,z) = .
=. ... .
= f(x) . f(y) . f(z)
 Điều phải chứng minh.
Vậy, với các biến ngẫu nhiên x, y, z tuân theo phân phối chuẩn và đôi một độc lập thì

chúng sẽ độc lập với nhau.

10.Bài 10.8
-

Yêu cầu:
Cho x(t) là quá trình ngẫu nhiên WSS và phân phối chuẩn với:
E[x(t)]=0 và Rxx=4.e-2|τ|
a) Tìm P(x(t)≤3)
b) E{[x(t+1) – x(t-1)]2}
- Bài làm:
a) Ta có: Fx(x,t) = P{X(t)Lại có X(t) là phân phối chuẩn nên: Fx (x,t) = G()
Ta có: Cxx (t1, t2)= Rxx(t1, t2) - E[x(t1)] E[x(t2)]
Mà: E[x(t)]=0Cxx (t, t)= Rxx(t, t)
-2|τ|
0
Cxx (t, t)= 4.e = 4.e = 4
Lại có:
σ2x=C(t,t)σ = = = 2
P(x≤3) = Fx(3,t)= G((3-0)/2) = G(3/2)
b) Ta có:
E{[x(t+1) – x(t-1)]2}= E[x2(t+1)] + E[x2(t-1)] – 2E[x(t+1).x(t-1)]
Mặt khác:
Rxx(t, t)=E[|x(t)|2]
R(τ)=Rxx(t1, t2)= E{|x(t1)|.|x(t2)|}
=R(x+1,x+1) + R(x-1,x-1)-2R(2)
=R(0)+R(0)-2R(2)
=2+2-4.e-2.2
=4(1-e - 4)

11.Bài 10.12
-

Yêu cầu:
Chỉ ra rằng:
a) Nếu x(t) là 1 quá trình với trung bình bằng 0 và hàm tự tự quan f(t 1)f(t2)w(t1-t2)
thì quá trình y(t)=x(t)/f(t) là WSS với hàm tự tương quan w(τ).
b) Nếu x(t) là một quá trình nhiễu trắng với hàm tự tương quan q(t 1).δ(t1-t2), thì
quá trình z(t)= x(t) là WSS nhiễu trắng (white noise) với hàm tự tương quan
δ(τ).

Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên17


-

Bài làm:
f(t) là tín hiệu xác định

a) Xét x(t) có:
μ(t) = 0

x(t)

là WSS

Lại có:
y(t) = x(t)/f(t)
 E{y(t)} = E{x(t)}/f(t) = 0/f(t)=0 vì E{x(t)}= µ(t)=0

 y(t) là WSS
Ta có: f(t) là tín hiệu xác định nên:
R(f(t1).f(t2))= f(t1).f(t2)
Ryy(t1, t2)

= Rxx(t1, t2)/ R(f(t1).f(t2))= Rxx(t1, t2)/ f(t1).f(t2)
=
= ω(t1 – t2) = ω(τ)

b) Ta có x(t) là nhiễu trắng với hàm tự tương quan:
Rxx(t1, t2) = q(t1).δ(t1 – t2)
Xét t1#t2
 E{x(t)}=0
x(t) là nhiễu trắng WSS
nếu x(t) là nhiễu trắng ổn định, thì q(t) = q
Ta có:
z(t) = x(t)/
 E{z(t)} = E{x(t)}/ = const
z(t) là WSS
Ta có
Rzz(t1,t2)= Rxx(t1,t2)/
= q(t1).δ(t1 – t2)== δ(t1 – t2) = δ(τ)
z(t) là nhiễu trắng WSS với tự tương quan δ(τ)

CHƯƠNG IV. MATLAB
1
-

Đôi nét về MatLab

MatLab (Matrix Laboratory) là một công cụ phần mềm của Math Work, ban đầu nó
được phát triển nhằm phục vụ chủ yếu cho việc mô tả các nghiên cứu kĩ thuật bằng toán
học với những phần tử cơ bản là ma trận.

Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên18


-

Trong các lĩnh vực kĩ thuật chuyên ngành như điện và điện tử, vật lý hạt nhân điều khiển
tự động, robot công nghiệp, trong các ngành xử lý toán chuyên dụng như thống kê – kế
toán và ngay cả trong lĩnh vực nghiên cứu về gien sinh học hay khí hậu và thời tiết…
thường gặp những dữ liệu rời rạc (discret) ta có thể lưu trữ dưới dạng ma trận. Còn đối
với hệ dữ liệu liên tục (continuous) như âm thanh, hình ảnh hay đơn giản như các đại
lượng vật lý tương tự (analog): điện áp, dòng điện, tần số, áp suất, lưu lượng… phải được
biến đổi thành các tín hiệu số (digital) rồi mới tập hợp lại trong các file dữ liệu, quá trình

-

đó có thể được xử lý bằng các hàm toán học trong MatLab.
Mức phát triển của MatLab ngày nay đã chứng tỏ nó là một phần mềm có giao diện cực
mạnh cùng nhiều lợi thế trong kĩ thuật lập trình để giải quết những vấn đề rất đa dạng

-

trong nghiên cứu khoa học kĩ thuật.
Trong đề tài “Vector ngẫu nhiên”này chúng ta sẽ thử nghiệm các công cụ của Matlab
trong việc tạo các Vector ngẫu nhiên; tính toán các hàm phân phối, mật độ; vẽ đồ thị các
hàm…
- Một số hàm vẽ cơ bản:

[1]. Subplot (m,n,p):
chia màn hình đồ họa làm m hàng, n cột và p là phần cửa sổ hiện thời. Các
cửa sổ con của màn hình đồ họa được đánh số theo hàm từ trái qua phải, từ
trên xuống dưới.
[2]. Reshape:
hàm này cho phép định dạng lại ma trận với số hàng và số cột khác với ma
trận gốc. Số phần tử của ma trận gốc và ma trận định dạng lại phải bằng
nhau. Hàm có 3 tham số: tham số đầu vào là ma trận gốc, 2 tham số còn lại là
số hàng và số cột của ma trận mới.
[3]. Surf ( X, Y, Z, C):
Tạo mặt 3 chiều lên màn hình đồ họa xác định bởi các tọa độ x ij, yij, zij. Nếu x
và y là các vector có độ dài m, n thì z là ma trận tương ứng m n và bề mặt
được định nghĩa bởi xi, yj, và zij. Nếu X, Y không được định nghĩa thì
MatLab sẽ sử dụng lưới grid hình chữ nhật được xác định bởi giá trị các phần
tử trong ma trận C. Nếu C không được xác định thì giá trị mặc định của C =
Z.
[4]. [u, v] = meshgrid (x,y):
đưa ra ma trận định dạng lưới theo tọa độ x, y từ 2 vector tương ứng x, y.
Vector có chiều dài n chưa tạo độ x và vector y có chiều dài m chứa tọa độ y.
Ma trận u, v tạo thành có độ lớn tương ứng mn. Ma trận biểu diễn bao trùm
miền chữ nhật. Cặp tọa độ tương ứng (u ij và yij) với i=1,…,m và j=1,…,n. Giá
trị zij=f(uij,vij) tương đương với lệnh z=f(u,v).
[5]. Linspace :
Tạo một vecto(tạo bộ số liệu cách đều nhau)
Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên19


-

 Linspace(n1,n2): sẽ tạo ra một vecto gồm có 100 phần tử cách đều nhau

phần tử đầu là n1 ,phần tử cuối là n2.
Linspace(n1,n2,x): sẽ tạo ra một vecto gồm có x phần tử cách đều nhau,phần tử đầu

-

là n1,phần tử cuối là n2 . Nếu x<2 thì matlab sẽ cho kết quả ans=n2.
Bảng các hàm trong matlab với biến ngẫu nhiên:

Phân phối

Hàm phân phối
(P.D.F)

Hàm mật độ
(p.d.f)

Tạo số ngẫu nhiên

Chuẩn
Đều
Mũ

normpdf(X,µ, σ)
unifpdf(X,a,b)
exppdf(X, µ)

normcdf(X,µ, σ)
unifcdf(X,a,b)
expcdf(X, µ)

normrnd(X,µ, σ)
unifrnd(X,a,b)
exprnd(X, µ)

Nhị thức
Poison

binopdf(X,N,P)
poisspdf(X, λ)

binocdf(X,N,P)
poisscdf(X, λ)

binornd(N,P,m,n)
poissrnd(λ,m,n)

-

Bảng các hàm trong matlab với biến vector ngẫu nhiên:

Phân phối

Chuẩn
Student

Hàm phân phối
(P.D.F)
mvnpdf(X,μ,σ)
mvtpdf(X,C,df)

Hàm mật độ
(p.d.f)
mvncdf(X,μ,σ)
mvtcdf(X,C,df)

Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên20

Tạo số ngẫu nhiên

mvnrnd(μ,σ,n)
mvtrnd(X,C,df)


12.Thử nghiệm bài tập
Example 1: Vẽ đồ thị của hàm phân mối và hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên:
Code:
%khoi tao gia tri, dinh nghia cac ham
muy = 100 ; sigma = 15; x1 = 50; x2 = 150; n = 100;
x = linspace(x1, x2, n);
p = normpdf(x, muy, sigma);
c = normcdf(x, muy, sigma);
%ve do thi ham phan phoi
subplot(1,2,1);
plot(x, p);
xlabel('x'); ylabel('pdf'); title('Ham phan phoi');
%Ve do thi ham mat do
subplot(1,2,2);
plot(x, c);
xlabel('x'); ylabel('cdf'); title('Ham mat do');

Kết quả:

Example 2: Vẽ đồ thị của hàm phân phối và hàm mật độ của biến vector ngẫu nhiên:
Code:
%khoi tao gia tri, dinh nghia ham
muy = [1 -1]; SIGMA = [0.9 0.4; 0.4 0.3];
[X1,X2] = meshgrid(linspace(-1,3,40)',linspace(-3,1,40)');
X = [X1(:) X2(:)];
p = mvnpdf(X,muy,SIGMA);
c = mvncdf(X,muy,SIGMA);
%ve ham phan phoi
subplot(1,2,1);

Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên21


surf(X1,X2,reshape(p,40,40));
title('Ham phan phoi');
%ve ham mat do
subplot(1,2,2);
surf(X1,X2,reshape(c,40,40));
title('Ham mat do');

Kết quả:

Example 3: Minh họa hàm mật độ của x(t) trong bài tập 10.8 với N(0,4) bằng cách dùng
hàm tự định nghĩa trên không gian hai chiều:
Code:
a = 1./(2*sqrt(2*pi));
t = -10:0.005:10;

y = a*exp(-t.*t./8);
plot(t,y);
grid on

Kết quả:

Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên22


Example 4: Minh họa hàm phân phối và hàm mật độ của x(t) trong bài tập 10.8 với
N(0,4) bằng cách dùng hàm có sẵn trên không gian hai chiều:
Code:
%khoi tao gia tri, dinh nghia ham
x = -10:0.005:10;
p = normpdf(x,0,2);
c = normcdf(x,0,2);
%ve ham phan phoi
subplot(1,2,1);
plot(x,p);
grid on
%ve ham mat do
subplot(1,2,2);
plot(x,c);
grid on

Kết quả:

Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên23

Example 5: Minh họa hàm phân phối và hàm mật độ của x(t) trong bài tập 10.8 với
N(0,4) bằng cách dùng hàm có sẵn trên không gian ba chiều:
Code:
%khoi tao gia tri, dinh nghia ham
x = -10.:0.3:10.;
y = x;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
p = normpdf(X,0,2);
c = normcdf(X,0,2);
%ve ham phan phoi
subplot(1,2,1);
mesh(p);
title('Ham phan phoi');
%ve ham mat do
subplot(1,2,2);
mesh(c);
title('Ham mat do');

Kết quả:

Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên24


Tìm hiểu chung về biến vector ngẫu nhiên25